Corso di DISPOSITIVI ELETTRONICI A SEMICONDUTTORE · ME-A-1 1 Corso di DISPOSITIVI ELETTRONICI A SEMICONDUTTORE F. Della Corte [email protected] testi consigliati R. S

ME-A-1 1

Corso di

DISPOSITIVI ELETTRONICI A SEMICONDUTTORE

F. Della Corte

[email protected]

testi consigliati

R. S. Muller - T. I. Kamins “Dispositivi elettronici nei circuiti integrati” Ed. Boringhieri

G. Giustolisi, G. Palumbo “Introduzione ai dispositivi elettronici” Ed._Franco Angeli

S. Dimitrijev “Understanding semiconductor devices” Ed. Oxford University Press

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed. Hoepli

S. Middelhoek “Silicon sensors”

ME-A-2

Argomenti del Corso

- Richiami di fisica dei semiconduttori

materiali semiconduttori, concentrazione dei portatori, parametri caratteristici dei semiconduttori, correnti, ricombinazione, eq. di continuità, impostazione del problema del calcolo di I e V nei dispositivi a semiconduttore

- Diodo a giunzione p-n modello del diodo ideale, modelli avanzati (basse ed elevate correnti, polarizzazione inversa, breakdown), componenti capacitive, modello SPICE

- Giunzioni metallo-semiconduttore contatti ohmici, diodo Schottky, diodo Gunn

- BJT modello del BJT ideale (richiamo), modelli avanzati, effetti secondari, BJT per elevate frequenze, tansistor ad eterogiunzione, modello SPICE

- MOSFET

modello del MOSFET ideale (richiamo), modelli avanzati, effetti secondari, componenti capacitive, modello SPICE

ME-A-3

- Semiconduttori amorfi

caratteristiche ed applicazioni, Transistor a Film Sottile (TFT)

-  Dispositivi ad effetti quantici

buche quantiche, HEMT, dispositivi ed emissione di luce monocromatica

-  Dispositivi di potenza

-  Sensori di luce, dispositivi fotovoltaici

-  Sensori piezoresistivi e piezoelettrici, MEMS

-  Sensori di temperatura a semiconduttori

-  Sensori chimici

-  Semiconduttori polimerici

-  Cenni di sulle microtecnologie

-  Optoelettronica in silicio

-  Simulazione numerica di dispositivi a semiconduttore: programma PISCES (tesina)

-  esperienze in laboratorio

Modalità d’esame

ME-A-4

Semiconduttori

Concentrazione dei portatori

Drogaggio

ME-A-5 S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-6

Reticolo caratteristico del diamante, valido anche per il silicio.

Il passo reticolare “a” del Si vale 5.4 Å.

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-7 S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-8

( ) eVT

TTEg 6361073.417.1

24

+

⋅−=

−

( ) eVT

TTEg 204104.552.1

24

+

⋅−=

−

(Si)

(GaAs)

DISTANZA INTERATOMICA


ME-A-9

Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.

212

3

2

24)( EhmEN n ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= π densità degli stati in banda di conduzione

h = 6.626 × 10-34 J·s (costante di Planck)

∫∞

=0

)()( dEEFENn ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+

=kT

EE F

eEF

1

1dove:

funzione di distribuzione di Fermi-Dirac

k = 1.381 × 10-23 J/K (costante di Boltzmann)

EF livello di Fermi

Se: E-EF>3kT → F(E) ≈ e-(E-EF

)/kT

funzione di distribuzione di Boltzmann

ME-A-10

dEeEhmn kT

EE

En

F

C

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−∞

∫⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 212

3

2

24π

kTEE

nFC

ehkTmn

−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=23

2

22 πin cui:

Cn NhkTm

≡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 23

2

22 π densità efficace degli stati in banda di conduzione

In banda di valenza:

kTEE

pVF

ehkTm

p−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

23

2

22

πV

p NhkTm

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 23

2

22

πin cui: densità efficace degli stati in banda di valenza

per il Si : NC=2.8 1019 cm-3 a 300 K

per il Si : NV=1.04 1019 cm-3 a 300 K

ME-A-11

In un semiconduttore intrinseco n=p :

kTEE

nFC

ehkTm −

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 23

2

22 πkTEE

pVF

ehkTm −

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

23

2

22

π

e quindi :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+==

n

pVC

C

VVCiF m

mkTEENNkTEEEE ln

43

2ln

22

2VC

iEEE +

≈ a temperatura ambiente

ME-A-12

Ad una data temperatura il prodotto n·p in un semiconduttore all’equilibrio è costante e dato da:

kTEE

C

FC

eN−

−kTEE

VCkTEE

V

VCVF

eNNeN−

−−

−=×

con EC – EV = Eg, energia di gap del semiconduttore.

( ) =⋅== pnpn ii

( ) kTEE

VC

VC

eNN 221

−−

=

concentrazione intrinseca


ME-A-13

Si drogato con As Si drogato con B


ME-A-14

In un semiconduttore drogato con atomi donori:

D

iN

np2

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

D

CFC N

NkTEE lnDNn=

In un semiconduttore drogato con atomi accettori:

ANp=A

iN

nn2

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

A

VVF N

NkTEE ln

ME-A-15

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

== kTEE

ikTEE

C

FiFFC

eneNn

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

== kTEE

ikTEE

V

FFiVF

eneNp

In un semiconduttore drogato con atomi accettori e donori: DA NpNn +=+

Se

Se

ADnAD NNnNN −≅⇒>

DApDA NNpNN −≅⇒>

ME-A-16

E F-E

i [eV

]

T [K]


ME-A-17


ME-A-18

Leggi del trasporto

di elettroni e lacune nei semiconduttori

ME-A-19

EnqvnqAIJ nnn

n µ=−== EpqvpqJ ppp µ==

EpnqJJJ pnpn )( µµ +=+=

( ) σµµ =+ pn pnq conducibilità 1−=σρ resistività

ME-A-20


ME-A-21

MISURA DELLA CONDUCIBILITA’ DI UN SEMICONDUTTORE

il metodo delle quattro punte

a

s

I I V

dt

CFtIV

⋅⋅=ρ Ω⋅cm

se d >> s → CF = 4.54

d/s


ME-A-22

wtL

ALR ρρ==

Se L=w, allora il campione è quadrato e tt

RR⋅

===σ

ρ 1

Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.

area = A

length = L I

t

w

Quindi dalla misura con le 4 punte si ottiene direttamente R

Resistenza R (r-quadrato)

ME-A-23

Sheet Resistance (resistenza di strato)

•  ogni “quadrato” ha una resistenza pari a R�� (Ω/square) •  R�� è misurata con la tecnica delle 4 punte •  si conta il numero di quadrati per ottenere L/w •  la resistenza in Ω si ottiene da R ×��(L/w)

ME-A-24

substrato a basso drogaggio

atomo drogante

Sheet resistance: caso di un profilo di drogaggio

N (cm-3)

x

xj

ME-A-25

Sheet Resistance •  Dipende dallo spessore xj , dalla mobilità µ, e dal profilo di

drogaggio n(x)

•  Se prendiamo ad es. il caso di un profilo di drogaggio ottenuto per diffusione da sorgente finita:

1 1 2 2 3 30

1 1.... ( )jx

Rt t t q n x dxσ σ σ µ

= =+ + + ⋅ ⋅∫

2

( , ) exp2oxn x t nDt

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

no = concentrazione alla superficie (dipende a sua volta da t)

t = tempo di diffusione

D = coeff. di diffusività del drogante la sheet resistance, e dunque la (resistività media, con

xj=profondità di giunzione), dipende solo dalla mobilità e dalla concentrazione superficiale no

jxR=ρ

ME-A-26

Diffusione da sorgente infinita (erfc)

Diffusione da sorgente finita (gaussiana)

0n Q Dtπ=no= conc. superficiale

Q = conc. per unità di superficie ( , ) erfc2oxn x t nDt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

n/no

n/S

(cm

-1)

S=q.tà di drogante disponibile (cm-2)

ME-A-27

Le curve di Irvin mettono in relazione la conc. superficiale (cm-3) con la resistività media e la profondità di giunzione xj, per diversi profili standard

jxR=ρ

Nb=drogaggio di fondo del wafer (di bulk)

xj=profondità di giunzione

n-type, erfc

ME-A-28

Irvin Curves

n-type, Gaussian

ME-A-29

Determinazione sperimentale del profilo di drogaggio

N (cm-3)

x

xj

quattro punte

ME-A-30

dxdnDqJ nn =

nthn qTklvD µ=≡

CORRENTI DI DIFFUSIONE

l = cammino libero medio

dxdpDqJ pp −=

pthp qTklvD µ=≡

S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli

[ ]VTVqTk

T 11600≈=

(relazione di Einstein)

ME-A-31

dxdnDqEnqJ nnn += µ

dxdpDqEpqJ ppp −= µ

EQUAZIONI DELLA CORRENTE

pnT JJJ +=

ME-A-32

EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Jn(x)

x x+dx

Jn(x+dx) R

G

( ) dxARGq

AdxxJqAxJdxA

tn

nnnn −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

+−

−=

∂

∂ )()(

Ponendo: dxxJxJdxxJ n

nn ∂

∂+=+ )()( si ottiene

( )nnn RGxJ

qtn

−+∂

∂=

∂

∂ 1eq. di continuità per gli elettroni

ME-A-33

( )ppp RGxJ

qtp

−+∂

∂−=

∂

∂ 1

( )nnn RGxJ

qtn

−+∂

∂=

∂

∂ 1

s

s

dxdE

ερ

=

Il funzionamento di qualsiasi dispositivo a semiconduttore è descritto dal sistema di equazioni differenziali nelle funzioni incognite n, p, V:

a cui vanno aggiunte le opportune condizioni al contorno.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

s

s

dxVd

ερ

2

2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=dxdnDqEnqJ nnn µ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=dxdpDqEpqJ ppp µ

ME-A-34

GENERAZIONE E RICOMBINAZIONE DEI PORTATORI

R [cm-3s-1] velocità di ricombinazione G [cm-3s-1] velocità di generazione

U [cm-3s-1] = R - G velocità netta di ricombinazione

All’equilibrio si ha: U = 0

In presenza di portatori minoritari in eccesso (p. es. lacune), si ha U>0. In particolare:

a) in caso di ricombinazione diretta banda-banda

p

non ppUτ−

= τp vita media delle lacune

ME-A-35

b) in caso di ricombinazione indiretta (assistita da trappole o centri di ricombinazione)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⋅=

−−kTEE

inokTEE

ipo

itiit

enpenn

nnpUττ

2

τpo = (Nt vth σp)-1 τno = (Nt vth σn)-1

Nt concentrazione di trappole o centri di ricombinazione

σp ,σn sezioni di cattura per le lacune e gli elettroni

Et livello energetico delle trappole o centri di ricombinazione

La trappola o centro è più efficace se Et≈ Ei

Eq. di Shokley-Reed-Hall

ME-A-36

prima

dopo

emissione lacuna

cattura lacuna emissione

elettrone

cattura elettrone


ME-A-37

c) ricombinazione Auger (o a tre portatori)

Questo tipo di ricombinazione coinvolge tre portatori (e-e-h / h-h-e)

In un semiconduttore n, la vita media delle lacune che si ricombinano per effetto Auger segue l’espressione:

21 nBpnA +=τ

così la velocità di ricombinazione diventa:

pnBpnApU 22 +=≅τ

(dipendenza dal cubo delle concentrazioni di portatori)

ME-A-38

d) Ionizzazione da impatto (moltiplicazione a valanga) Un portatore accelerato da un elevato campo elettrico può generare, per impatto contro un atomo di Si, una coppia e-h.

Ipotizzando che elettroni e lacune abbiano la stessa massa efficace m:

2

21

imv energia cinetica prima dell’impatto imv quantità di moto

prima dell’impatto

m , vi ⇒

m , vf

m , vf

m , vf

22

23

21

fgi mvEmv +=

conservazione dell’energia

fi mvmv 3=

conservazione della quantità di moto

Si Si

ME-A-39

gi EmvE23

21 2

min ==

Risolvendo, si determina la minima energia cinetica che deve essere posseduta dal portatore per produrre la ionizzazione da impatto:

In realtà nel silicio si trova: Emin = 3.6 eV (elettroni) e 5.0 eV (lacune)

Si può definire una velocità di generazione GA di coppie e-h dovuta alla ionizzazione da impatto:

( )ppnnA JJq

G αα +=1

in cui αn e αp [cm-1] sono detti coefficienti di ionizzazione.

ME-A-40

ESEMPIO: INIEZIONE LATERALE A REGIME

x 0

aria silicio

hν>Eg

blocco semiconduttore drogato n, neutro e in bassi livelli di iniezione, ma con p(x=0)>>pno

corrente totale JT=0 dovunque →

Jdiff,p+Jdrift,p+Jdiff,n+Jdrift,n=0

ma Jdrift,p= q µp p E << Jdrift,n= q µn n E (p<<n)

Ciò implica |Jdrift,n | ≈ | Jdiff,p+Jdiff,n | , in cui Jdiff,p è confron-tabile con Jdiff,n (infatti dn/dx ≈ dp/dx)

Allora q µp p E << q Dp dp/dx

cioè: Jp ≈ q Dp dp/dx

iniezione a regime → dp/dt = dn/dt = 0

p(x=0) = p(0) p(x=∞) = po (condizioni al contorno per blocco semi-infinito)

02

2

=−

−∂

∂

p

op

ppxpD

τDall’eq. di continuità per le lacune:

[ ] pLx

epppxp−

−+= 00 )0()(ppp DL τ=con: lunghezza di

diffusione

ME-A-41

In caso di regione di lunghezza finita L, il profilo delle lacune si calcola da:

( ) pLx

p

pppp epp

LDq

xppDq

xpDqJ

−

−=∂

−∂−=

∂

∂−= 0

0 )0()(

02

2

=−

−∂

∂

p

op

ppxpD

τ( ) pp L

xLx

BeAexp +=−

'

con le condizioni al contorno: p ' 0( ) = quantità notap ' L( ) = 0

!"#

$#

ME-A-42

Da queste si ricava:

( )pp

p

LL

LL

LL

ee

epA

−

−=−

0' ( )pp

p

LL

LL

LL

ee

epB

−

=−

−

0'

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

−

−=

−

−−−

p

p

LL

LL

LxL

LxL

LL

LxL

p

ee

eepxppp

pp

sinh

sinh0'0''

Due casi particolari: Là ∞, L à 0

ME-A-43

EFFETTI DOVUTI AD ALTO CAMPO ELETTRICO

Se la velocità di trascinamento diventa confrontabile con la velocità termica vth ≈ 107 cm/s (per il Si), si è in condizioni di elevato campo elettrico.

Effetti sulla mobilità:

γγ1

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

o

os

n

EE

EEv

v

vs = 1.7·109·T -0.87 cm/s (velocità di saturazione degli elettr. nel Si)

Eo = 1.01·T 1.55 V/cm

γ = 2.57·10-2·T 0.66


ME-A-44

In presenza di alti campi elettrici, nel GaAs si ha un singolare fenomeno di mobilità differenziale negativa dovuto alla particolare conformazione delle bande di energia (possibilità che gli elettroni occupino valli diverse in banda di conduzione)

( ) µµµσ qnnnq LLHH =+= Evnnnn

nLH

LLHH µµµ

µ =⇒+

+=⇒


ME-A-45

E’ dato un blocco di silicio con drogaggio ND=1016 cm-3, a temperatura ambiente. A seguito di una esposizione ad una sorgente luminosa, la concentrazione di lacune raggiunge, a regime, uniformemente il valore di 108 cm-3.

Determinare il tempo occorrente, dallo spegnimento della sorgente luminosa, affinché la concentrazione di lacune raggiunga il valore di 1/10 della concentrazione di partenza.

Si assuma τp=1 ms, ni=1010 cm-3 , modello di G-R diretta

ME-A-46

Condizioni di bassi livelli di iniezione.

Assenza di polarizzazione (assenza di campi elettrici imposti)

Concentrazioni dei portatori uniformi (assenza di campi elettrici di built-in, assenza di correnti di diffusione)

L’eq. di continuità per le lacune diventa: pp

o ppRGtp

ττ−=−=

∂

∂

in cui po è la concentrazione a regime (ni2/ND). Dunque:

p

ptp

τ''

−=∂

∂

BeAtp p

t

+=−τ)(' D

i

Nnp2

810)0(' −=

0)(' =∞p

ME-A-47

p

p

t

o

t

epptp

eptp

τ

τ

−

−

+=

=

)0(')(

)0(')('

in cui, nel nostro caso,

3810)0()0(' −==≈ cmtpp

ME-A-48

DIODO A GIUNZIONE P-N

Giunzione all’equilibrio termodinamico (Va=0)

Jn= 0 → Jn,diff = - Jn,drift Jp= 0 → Jp,diff = - Jp,drift


ME-A-49

Disposizione delle bande in presenza di una polarizzazione


ME-A-50

Giunzione p-n in assenza di polarizzazione e in polarizzazione inversa

ME-A-51

p n

ρ (densità di carica)

x

qND

-qNA

-Wp Wn

Wn -Wp E (campo elettrico)

x

x

V (potenziale)

Vbi+Vb

Vb

- giunzione brusca (passaggio netto da p a n)

- NA >> ND (giunzione asimmetrica)

Poiché la carica totale è nulla, deve essere:

Wn ND = Wp NA

per cui: Wn >> Wp e quindi W= Wn+ Wp≈ Wn

εDqN

dxVd

−=2

2

Ponendo V(0)≈0, si ottiene:

( )WxxqNV D 22

2 −−

=ε

da cui:

( )WxqNEdxdV D −−=−=

ε

da cui:

( )ε2

2WqNVVWV Dbbin =+=

ME-A-52

( )bbiDA

DAs VVNNNN

qW −

+=

ε2

( )bbiD

s VVqN

W −=ε2

L’espressione ricavata è valida sia in polarizzazione inversa che diretta. In generale quindi:

con Vb > 0 in polarizzazione diretta.

In caso di giunzione brusca ma non asimmetrica:

ρ (densità di carica)

x

ND

-NA

-W/2

W/2

ND= NA

Caso della giunzione a variazione lineare del drogaggio

ρ = -a x ( )

31

12⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= bbis VVa

W ε

2max n

W

Wbbi

WEEdxVVn

p

≈−=− ∫−

ME-A-53

CAPACITA’ DELLA GIUNZIONE dVdQCj =

p n

ρ

x -Wp

Wn

Wn -Wp E

x

V+dV

dQ

dQ

W

ss

dQdxdEεε

ρ==dV

Una variazione del potenziale a p p l i c a t o d e t e r m i n a u n a variazione dell’ampiezza della regione di svuotamento. Alla variazione della carica scoperta nella regione di svuotamento è associata una capacità, detta capacità di svuotamento o della giunzione.

Il campo elettrico aumenta di una stessa quantità in ogni punto della regione di carica spaziale.

ME-A-54

( )ss

dQdxxdEεε

ρ==

W1 W2

dE dV1

dV2

dQWWdEdEWdEWdVdVdVsε

==+=+= 2121

WdQWdQ

dVdQC s

s

jε

ε

===

Per una giunzione brusca, asimmetrica e con drogaggio costante:

( )VVNq

WC

bi

ssj −

==−

2εε

VNqNq

VC ss

bi

j−− −=

εε221

2

E

Cj-2

V

Vbi

valori sperimentali

ε/W è la capacità di un condensatore di spessore W.

Infatti, a seguito di una dV, le due dQ che si sommano o si sottraggono sono posizionate a distanza W

ME-A-55

P+ n

ρ

x W

E

x

V+dV

dQ=qN(W)dW

W

s

dQdEε

=

dV

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≈ WdQWdEdV

sε

( ) ( ) ( )2

2WdWNqWdWWNq

ss εε=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒= 2

22 1

js

sj C

dWdW

C εε

METODO C-V PER LA MISURA DEL PROFILO DI DROGAGGIO

Poiché: W

ME-A-56

p n

ρ

x W

E

x

V+dV

dQ=qN(W)dx

W

s

dQdEε

=

dV

METODO C-V PER LA MISURA DEL PROFILO DI DROGAGGIO

( )

dVC

dq

WN

j

s

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

ε

j

s

CW ε=

ME-A-57

LEGGE DELLA GIUNZIONE

Ec

qVa

regione P

EFn EFp

Ev

regione N

q(Vbi-Va)

disposizione delle bande per polarizzazione diretta

L’applicazione di una polarizzazione diretta pari a Va produce la riduzione della barriera di potenziale da qVbi a q(Vbi-Va) ---> il numero di elettroni (e lacune) che riescono a transitare verso la regione P (o N) aumenta.

Tale numero può essere valutato ricorrendo alla statistica di Boltzman:

( )

dEenabi

Fn

VVq

kTEE

p ∫∞

−

−−− ∝)0(

Integrando si ottiene:

kTVq

kTVq

kTE

p

abiFn

eekTen−− ∝)0( ovvero T

aaVV

kTVq

p eAeAn ==− )0(

x=0 0+ 0 -

ME-A-58

Poiché per Va= 0 deve risultare np(0-) = npo, allora: A = npo e dunque:

T

aVV

pop enn =− )0( ed equivalentemente: T

aVV

non epp =+ )0(

Moltiplicando per la concentrazione dei maggioritari, e ricordando la legge d’azione di massa, si ottiene:

T

a

T

aVV

iVV

poApp enenNnp 2)0()0( ==−−

T

a

T

aVV

iVV

noDnn enepNpn 2)0()0( ==++

Tali relazioni possono essere scritte a qualunque ascissa x attraverso la giunzione (0- < x < 0+), per cui più in generale si ha:

T

aVV

i enxpxn 2)()( =

ME-A-59

CARATTERISTICA I-V DEL DIODO P-N IN POLARIZZAZIONE DIRETTA

modello fondamentale Ipotesi:

1) bassi livelli di iniezione: la concentrazione di portatori maggioritari non è influenzata dalla presenza di portatori minoritari in eccesso:

2) E ≈ 0 al di fuori della r.c.s.: è un’ipotesi che massimizza la corrente nel diodo (massima riduzione della barriera di potenziale). A valle del calcolo della corrente totale, l’attendibilità di questa ipotesi è verificabile calcolando le cadute di potenziale (ohmiche) attraverso le regioni neutre. Vale ovviamente solo per basse polarizzazioni.

3) assenza di generazione-ricombinazione nella r.c.s.

4) µ e τ indipendenti da p, n, x

5) contatti ideali

DnnoDn NppNn ≈++= 'AppoAp NnnNp ≈++= '

(nella regione n) (nella regione p)

ME-A-60

CARATTERISTICA I-V DEL DIODO P-N

modello fondamentale

L’eq. di continuità per le lacune nella regione n diventa:

( ) ( ) pTp Lx

VV

noLx

nonop

no eepepppxpLpp

dxpd −−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=−=−⇒

−= 1)0(22

2

avendo imposto la condizione al contorno: nopp =+∞)(

Dall’ascissa x=0+ le lacune diffondono verso x = +∞ determinando una corrente di diffusione. Poiché E(0+) ≈ 0, non esiste una corrente di deriva di lacune, o è certamente trascurabile rispetto alla corrente di deriva degli elettroni. Quindi:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−==

+=

+ 1)0(0

TVV

nop

p

xpp ep

LDq

dxdpqDJ

ME-A-61

All’ascissa x=0+ esiste una corrente di diffusione di elettroni, ma è in genere trascurabile poiché la concentrazione di elettroni è poco variabile (circa pari a ND).

Esiste invece una corrente di deriva (anche se E(0+) ≈ 0) poiché ND è grande.

D’altra parte all’ascissa x=0- la corrente di elettroni è costituita solo dalla componente di diffusione:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−==

−=

− 1)0(0

TVV

pon

n

xnn en

LDq

dxdnqDJ

Per l’ipotizzata assenza di ricombinazione nella r.c.s. si ha:

)0()0()0()0( −++− == ppnn JJJJ

La corrente totale nella giunzione può essere calcolata in x = 0+ (o in x = 0-) :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ++ 1)0()0( TV

V

nop

ppo

n

npnT ep

LD

nLDqJJJ

ME-A-62

Jp

Jn Jn,diff

Jp,diff

P r.c.s. N

W

JT = Jn,diff (0− )+ Jp,diff (0

+ )

COMPONENTI DELLA CORRENTE NEL DIODO

Jn,drift

Jp,drift

Jp(0-)=Jp(0+)

ME-A-63

polarizzazione diretta polarizzazione inversa


ME-A-64

Calcolo del profilo dei minoritari in polarizzazione inversa

02

2

=−

−∂

∂

p

op

ppxpD

τ( ) pp L

xLx

BeAexp +=−

'

con le condizioni al contorno: p '(0) = −pnop '(∞) = 0

#$%

&%

Da cui si ricava B=0 , A= - pno e dunque:

p(x) = pno + p ' x( ) = pno 1− e−xLp

"

#$$

%

&''

ME-A-65

CASO DEL DIODO CORTO (Ln>>dn, Lp>>dp)

-xp +xn -dp dn

P N

n, p

Jn,diff

Jp,diff

Le concentrazioni dei minoritari decadono linearmente lungo x, dunque nella regione N, per esempio, la corrente di diffusione delle lacune non cambia lungo x (gradiente costante). Ciò vuol dire che non vi è ricombinazione di lacune (ad ogni ascissa, il numero di lacune che transita nell’unità di tempo è costante). Dunque non vi è neanche ricombinazione di elettroni, per cui nella regione N n=costante e Jdiff,n=0. Esiste però una Jn,drift (costante lungo x) che serve ad alimentare la Jn,diff in P

Jn,drift(N)=Jn,diff(P)

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−==

++ 10)0( 0

'

,TVV

nn

p

npdiffp ep

dDq

dpqDJ

ME-A-66

Jp

Jn Jn,diff

JR

Jp,diff

P r.c.s. N

W

RdiffpdiffnT JJJJ ++= ,,

CORRENTE DI RICOMBINAZIONE NELLA R.C.S.

ME-A-67

Per portare in conto la ricombinazione nella r.c.s. si può utilizzare la:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⋅=

−−kTEE

inokTEE

ipo

itiit

enpenn

nnpUττ

2

Ponendo Et = Ei (massima efficacia del centro di ricombinazione) si ha:

( ) ( )inoipo npnnpnU

+++≅

ττin cui n , p >> ni per polarizzazione diretta.

Nel calcolo della corrente bisogna considerare la frazione di portatori che si ricombinano nella r.c.s.:

[ ]RnpnpT JJJJJJ ++=+= −+++ )0()0()0()0(

∫=W

R qUdxJ0

con

ME-A-68

Assumendo U = Umax in tutta la r.c.s. :

WpqJpo

R τ2= N.B. valida per polarizzazione diretta

TT

i

VV

iVV

enpenpn 22 =⇒=

Ponendo τno ≈ τpo ≈ τo , si ha U = Umax per n = p

Poiché

e dunque:

TVV

io

R enWqJ 2

2τ=

ME-A-69

Alle basse polarizzazioni prevale la JR (η≈2) mentre alle medie polarizzazioni prevale la Jdiff (η≈1)

JSi>JGaAs perché ni,Si > ni,GaAs (quindi a parità di drogaggio i minoritari sono in concentrazione inferiore nel GaAs)


ME-A-70

FUNZIONAMENTO AD ELEVATI LIVELLI DI INIEZIONE

02

2

=−∂

∂ UxpDp

Considerando un diodo asimmetrico P+ N, quando si opera in condizioni di elevati livelli di iniezione nella regione n si ha:

DNp >>L’eq. di continuità per le lacune diventa:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⋅=

−−

kTEE

inokTEE

ipo

itiit

enpenn

nnpUττ

2

in cui questa volta:

con: p ≈ n >> ND >> ni

ME-A-71

Ipotizzando ancora una volta: Et = Ei , si ottiene:

U =p ⋅n− ni

2

τ po n+ ni[ ]+τ no p+ ni[ ]≈

p ⋅nτ pon+τ no p

≈p2

τ po p+τ no p

02

2

=+

−∂

∂

nopop

pxpD

ττdove per semplicità si può

porre τpo ≈ τno

( ) pLx

n epxp 2)0(−

+=La soluzione è:

ME-A-72

La corrente di diffusione delle lacune è quindi:

( ) ( )+=

+ ==+

02

00

np

p

xpp p

LD

qdxdpqDJ

e siccome pn = nn :

( ) ( ) ( ) T

in

VV

nn enpnp 22 000 ==⋅ +++

( ) TVV

ip

pp en

LD

qJ 2

20 =+

η = 2

ME-A-73

PROBLEMI DERIVANTI DAGLI ALTI DROGAGGI NEI DISPOSITIVI BIPOLARI - 1

Nei dispositivi unipolari le regioni molto drogate svolgono per lo più il ruolo di “riserva” di cariche. In esse il trasporto di carica avviene quasi esclusivamente per drift ed i portatori minoritari non hanno praticamente nessuna importanza.

Nei dispositivi bipolari, il trasporto dei portatori minoritari ha un ruolo fondamentale (diodo ad iniezione, cella solare, BJT, ….).

L’evidenza sperimentale dimostra che gli elettroni minoritari delle regioni molto drogate P (heavily doped) si comportano diversamente rispetto agli elettroni delle regioni P a basso drogaggio, o rispetto agli elettroni delle regioni N.

ME-A-74

PROBLEMI DERIVANTI DAGLI ALTI DROGAGGI NEI DISPOSITIVI BIPOLARI -2

I principali effetti sui minoritari riguardano:

1) diminuzione della vita media (e dunque della lunghezza di diffusione) dovuta alla ricombinazione Auger

2) diminuzione della mobilità (e dunque della lunghezza di diffusione), al di sotto dei valori assunti in regioni in cui sono maggioritari, anche se molto drogate

3) aumento della concentrazione rispetto a quanto previsto dalla legge di azione di massa e dalla legge della giunzione (restringimento della banda proibita)

La misura di questi parametri è complessa per il fatto che i portatori in questione sono pur sempre minoritari ed anche perché il più delle volte i profili di drogaggio delle regioni molto drogate non sono costanti, il che dà origine a campi elettrici che falsano i risultati.

ME-A-75

IL RESTRINGIMENTO DELLA BANDA PROIBITA

(Band-Gap Narrowing)

EC

EV

ED

U n a t o m o d r o g a n t e donore in t roduce un livello permesso in banda proibita prossimo ad EC

EC

EV

Se la concentrazione di drogante è elevata, si crea una banda a ridosso della E C c h e p r o v o c a i l restringimento della gap

ΔEg

ME-A-76

Il restringimento della gap e l’avvicinamento di EF alla banda di conduzione rendono il semiconduttore degenere e costringono ad utilizzare la statistica di Fermi-Dirac al posto di quella di Boltzman nel calcolo della concentrazione degli elettroni:

∫∞

=CE

C dEEFENn )()(

( ) 2123

2

24)( Cn

C EEhmEN −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= π ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+

=kT

EE F

eEF

1

1

in cui:

( ) dEeEEhmn kT

EE

E Cn

F

C

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−∞

∫ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 212

3

2

24π kTEE

C

FC

eN−

−=

Questo integrale non ammette una soluzione analitica, e non è più approssimabile con:

ME-A-77

Per il calcolo della concentrazione di lacune, invece, la statistica di Boltzman continua ad essere utilizzabile:

kTEE

V

VF

eNp−

−=

Nel calcolo di ni non si può quindi utilizzare la:

kTE

kTEE

VCi

gVC

eeNNnΔ−

−=2

in cui è stato introdotto il restringimento della banda proibita, che produce un aumento della concentrazione intrinseca.

Ovviamente la nuova ni (ni,eff) sarà maggiore di quella stimata in precedenza. 22

, ieffi nn >

ME-A-78

Poiché la concentrazione dei maggioritari è uguale al drogaggio, in realtà ni aumenta a causa dell’aumento della concentrazione dei portatori minoritari:

D

effi

Nn

p2,=

Nella pratica però si preferisce continuare ad utilizzare ni come concentrazione intrinseca, attribuendo invece al drogaggio un valore inferiore alla realtà:

effD

i

Nnp,

2

= dove: kTE

DeffD

effg

eNN,

,

Δ−

=

con: effgE ,Δ misurato sperimentalmente.

Il Band-Gap Narrowing può determinare un apprezzabile aumento della corrente di diffusione dei portatori minoritari iniettati nelle regioni ad elevato drogaggio.

ME-A-79

B.J. Baliga “Modern Power Devices” Wiley-Interscience

ME-A-80

MODELLO DEL DIODO “A CONTROLLO DI CARICA”

[ ] pLx

no eppxp−

−= )0()('

Si suppone: NA>>ND

La carica Q dei portatori in eccesso è data da:

( ) == ∫∞ −

dxepAqQ pLx

0

0'

( )0'pLAq p=

(solo polarizzazione diretta)

x=0 x

regione P

p(x)

P(0) regione N

n(0)

Pn0 np0

densità dei portatori minoritari

n(x)

ME-A-81

Ricordando che: ( )0'pLD

AqIp

p= si ottiene:

p

QIτ

=

La corrente in un diodo è proporzionale all’accumulo di portatori minoritari in eccesso.

L’accumulo di portatori minoritari determina la nascita della capacità di diffusione, CD.

TppD VI

dVdI

dVdQC

ηττ ==≡

In polarizzazione diretta: CD >> CJ , in polarizzazione inversa: CD << CJ

ME-A-82

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⋅=

−−

kTEE

inokTEE

ipo

itiit

enpenn

nnpUττ

2

snop

ppo

n

n JpLD

nLDq ≡⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

In polarizzazione inversa il modello ideale prevede l’esistenza della corrente:

Per portare in conto la generazione nella r.c.s. si può utilizzare ancora la:

che è detta corrente di saturazione inversa, dovuta alla generazione termica di coppie e-h nelle regioni neutre del diodo.

con p , n << ni , per cui:

WnqpLD

nLDqJ

nopo

ino

p

ppo

n

nR ττ +

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Corrente di saturazione inversa

ME-A-83

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