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CORRIENTE ALTERNA
I. OBJETIVOS.
Objetivos Generales.- Verificar el comportamiento de las conexiones RL
y RC serie, en régimen permanente de corriente alterna.
Objetivos Específicos.- Determinar la potencia activa. Comprobar las
relaciones del modulo de la impedancia y el ángulo de fase con la
frecuencia.
II. JUSTIFICACION.
1.- Conexión RL.
Sea la conexión RL serie de la figura:
Que esta operando en régimen
permanente de corrinte alterna, esto quiere decir que desde hace un
tiempo suficiente como para que haya desaparecido cualquier fenómeno
transitorio, se tiene:
v = Vm sen wt
la corriente estará dada por la solución particular que tien la forma:
i = Im sen(wt - φ)
2.- Conexión RC.
Para u circuito como el de la figura la ecuación de malla es:
G. i. r. g. f.
wVm cos wt = R di/dt +1/C i
Se montara el circuito mostrado en la siguiente figura con el cual se
trabajara en laboratorio
III. HIPOTESIS.
G. i. r. g. f.
Como hipótesis presentes debemos verificar el comportamiento de
conexiones RL y RC serie, en corriente alterna.
De la misma forma debemos verificar que valores se obtienen como ser
la Potencia, la impedancia y el ángulo de fase.
IV. MARCO TEORICO.
Corriente Alterna (CA / AC)
Onda Senoidal.
Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en
inglés, de Alternating Current) a la corriente eléctrica en la que la
magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la
corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda
sinusoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisión más
eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan
otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.
Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la
electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las
señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son
también ejemplos de corriente alterna. En estos usos, el fin más
importante suele ser la transmisión y recuperación de la información
codificada (o modulada) sobre la señal de la CA.
La diferencia de la corriente alterna con la corriente continua, es que
la corriente continua circula sólo en un sentido.
La corriente alterna (como su nombre lo indica) circula por durante
G. i. r. g. f.
un tiempo en un sentido y después en sentido opuesto, volviéndose a
repetir el mismo proceso en forma constante.
Este tipo de corriente es la que nos llega a nuestras casas y la usamos
para alimentar la TV, el equipo de sonido, la lavadora, la refrigeradora,
etc.
En el siguiente gráfico se muestra el voltaje (que es también alterno) y
tenemos que la magnitud de éste varía primero hacia arriba y luego
hacia abajo (de la misma forma en que se comporta la corriente) y nos
da una forma de onda llamada: onda senoidal.
El voltaje varía continuamente, y para
saber que voltaje tenemos en un
momento específico, utilizamos la
fórmula; V = Vp x Seno (Θ) donde Vp
= V pico (ver gráfico) es el valor
máximo que obtiene la onda y Θ es
una distancia angular y se mide en
grados.
Las matemáticas y la CA senoidal
Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas:
La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna.
Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes
G. i. r. g. f.
frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier.
Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica.
Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores.
Parámetros característicos de una onda senoidal
Una señal sinusoidal, a(t), tensión, v(t), o corriente, i(t), se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos, como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:
donde
A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico),
ω la pulsación en radianes/segundo,
t el tiempo en segundos, y
β el ángulo de fase inicial en radianes.
Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros, la fórmula anterior se suele expresar como:
G. i. r. g. f.
donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del
período . Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz.
Valores significativos
A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal:
Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado.
Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es -1, una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0.
Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El valor medio se puede interpretar como la componente de continua de la onda sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que su expresión es la siguiente:
Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período:
G. i. r. g. f.
Representación fasorial
Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las siguientes características:
Girará con una velocidad angular ω. Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.
Representación fasorial de una onda senoidal
La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.
V. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.
1.- Conexión RL
- Montar correctamente el circuito mostrado anteriormente. El
voltaje sobre la conexión RL v debe ser senoidal, con Vpp= 6
[V] y nivel DC nulo.
- Obtener datos de VRpp y φ verificando que Vpp sea de 6 [V] ya
que por las características del generador de funciones, ese
voltaje puede variar con la frecuencia; en tal caso, debe
ajustarse la amplitud de la señal del generador.
2.- Conexión RC
G. i. r. g. f.
- En el circuito montado, reemplazar el inductor por un
capacitor de 10 [nF]. Usar como señal de disparo la señal del
canal 2. Con los cambios correspondientes, tomar datos de
forma similar a los de el circuito RL.
VI. ANALISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS.
Conexión RL.
Datos experimentales:
R=1.8 [K Ω ]
L=34.2 [mH ]
Vpp=6.0 [V ]
RL=18.6 [Ω ]
f (KHz) VRpp (V) φ (⁰)2 5,8 14,43 5,6 25,25 5,2 28,87 4,6 39,6
10 4 5415 3 61,220 2,3 72,7230 1,6 180
1. Sabemos que: v=V m senωt (1) ω=2πf (2)
Ademas: V m=√2¿V ef (3)
(2), (3) en (1): v=√2¿V ef∗sen2 πft
Reemplazando valores tenemos:
v=√2¿V ef∗sen2 πft=√2∗220∗sen2π∗10000∗1∗10−5
v=3.41 (V )
Sabiendo que : i=Im sen (ωt−φ ) (1 ) ω=2πf (2)
G. i. r. g. f.
Ademas : V m=√2¿V ef (3 ) Im=V m
√R2+¿¿¿
Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):
i=√2¿V ef∗sen (2πft−φ)
√R2+(2πfL)2
De los datos:
f=10000 (Hz ) ;V ef=220 (V ) ; t=1∗10−5 ( s) ;φ=54 ° ;R=1800 (Ω )
L=0.0342 (H )
Reemplazando valores, tenemos:
i=√2¿V ef∗sen (2πft−φ )
√R2+(2 πfL)2=√2∗220∗sen (2π∗10000∗10−5−54 )
√¿¿¿
i=−0.0891 ( A )
Sabiendo que: p=12V m Imcosφ−
12V m Imcos (2ωt−φ )(1)
Ademas: Im=i
sen (ωt−φ)(2) V m=√2¿V ef (3 )ω=2 πf (4 )
Reemplazando (2), (3),(4) en (1):
p=10.07 (W )
De la ecuación: p=I ef2∗R
p2=11.1
Tenemos: % dif=|p1−p2p2 |∗100=9.28%2. Elaborando la tabla ω, Zexp y Zteo, tenemos:
G. i. r. g. f.
Tenemos las siguientes ecuaciones:
Zexp=V m
Im(1 )Zteo=√R2+ (ωL )2
ℑ= isen (ωt−φ)
V m=v / senωt
Pero: Zteo=√¿¿
La nueva tabla es:
Graficando estos valores tenemos:
G. i. r. g. f.
ω(rad/s) Zexp Zteo12566,37 1852,3 1868,718849,55 1918,5 1929,4831415,93 2110,2 2112,3
43982,3 2352,87 2360,162831,85 2798,25 2815,1194247,78 2998,75 3700,9125663,7
1 4662,31 4666,64188495,5
6 6620,74 6698,15
020000
4000060000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
2000000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Zteo vs w - Zexp
Series2Series4
w
Zteo
3. Elaborar una tabla ω, φexp, φteo calculando φteo con la ecuación (6.b)
(tomando en cuenta la resistencia óhmica del inductor, RL). Dibujar
la curva φteo vs. ω y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos
correspondientes a φexp.
Sabiendo que:
φ=tg−1(ω∗LR );ω=2πf
Se obtiene la siguiente tabla:
ω(rad/s) φexp φteo12566,3
7 14,4 13,2918849,5
5 25,2 19,5231415,9
3 28,8 30,5743982,3 39,6 39,5962831,8
5 54 49,7594247,7
8 61,2 60,56
G. i. r. g. f.
125663,71 72,72 67,1
188495,56 180 74,25
La grafica es la siguiente:
020000
4000060000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
2000000
10
20
30
40
50
60
70
80
φteo vs. ω - φexp
Series2Series4
ω(rad/s)
φteo
φexp
φteo
4. Elaborar una tabla ω2 , Zexp2. Mediante un análisis de regresión
determinar y dibujar la relación Zexp2 = f(ω2). Por comparación con
la relación teórica, determinar los valores de R+RL y L, y
compararlos con los valores esperados.
Sea la siguiente tabla:
ω²(rad/s)² Z²exp1579136
553331720
,093553055
35,23680642
,259869606
57,84452944
,041934442
7135535997
,24
G. i. r. g. f.
3947841374
7830203,06
8882644035
8992501,56
15791368011
21737134,5
35530576140
43834198,1
Sea la ecuación: Z2=R2+ω2 L2
Realizando cambios de variable, tenemos:
Z2=z ; R2=r ; ω2=w; L2=1
Se tiene: z=r+1∗w (forma de una ecuación lineal y = a +bx)
Entonces apt ltticando regresión lineal, obtenemos:
0 100000000002000000000030000000000400000000000
5000000
10000000
15000000
20000000
25000000
30000000
35000000
40000000
45000000
50000000
f(x) = 0.00114283525673759 x + 2769309.35780747R² = 0.987059297506069
Z² vs. ω²
Series2Linear (Series2)
ω²
Z²ex
p
Conexión RC.
Datos experimentales: R=1.8 (K Ω );C=10.62 (nF );V pp=6.0 (V )
f (KHz) VRpp (V) φ (⁰)2 1,32 75,63 2 68,6
G. i. r. g. f.
5 3 57,67 3,75 50,4
10 4,5 43,215 5,2 32,420 5,4 21,630 5,6 14,4
1. Repetir los pasos del 1 al 3 del anterior procedimiento, entonces,
tenemos:
Sabiendo que: v=V m senωt (1) ;ω=2πf ;V m=√2¿V ef
Reemplazando en (1), tenemos:
v=√2¿V ef sen2 πft
v=√2∗220∗sen (2π∗10000∗10−6 )=3.41
Sabiendo que : i=Im sen (ωt−φ ) ;ω=2πf ;V m=√2¿V ef
Im=V m
√R2+( 1ω∗C )
2
Tenemos:
i=√2¿V ef sen (2 πft−φ )
√R2+( 12πf∗C )
2
i=−0.1 ( A )
Sabiendo que: p=12V m Imcosφ−
12V m Imcos (2ωt−φ )
Im=i
sen (ωt−φ);V m=√2¿V efω=2 πf
Tenemos:
p=22.99
De la ecuación: p=I ef2∗R
P2=19.66 (W )
%dif=|22.99−19.6619.66 |∗100=16.94%
G. i. r. g. f.
2. Elaborar una tabla w, Zexp, Zteo calculando Zexp con la ecuación (5)
(con Im determinada en base a VRpp) y Zteo con la ecuación (10.a)
Dibujar la curva Zteo vs. ω y, en el mismo gráfico ubicar los puntos
correspondientes a Zexp.
Sabiendo que:
Zexp=V m
Im(1 );V m=v /senωt
Pero: Zteo=√¿¿
La nueva tabla es:
ω(rad/s) Zexp Zteo12566,37 8211.46 7706,3318849,55 5700.41 5309,8431415,93 3690.23 3496,23
43982,3 2912.85 2797,0462831,85 2453.11 2342,294247,78 2165.24 2058,68125663,7
12000.53
1949,73188495,5
61899.24
1868,03Graficando estos valores tenemos:
G. i. r. g. f.
020000
4000060000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
2000000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Zteo vs w - Zexp
Series2Series4
w
Zteo
Zexp
3. Elaborar una tabla ω, φexp, φteo calculando φteo con la ecuación
(10.b). Dibujar la curva φteo vs. ω y, en el mismo gráfico, ubicar los
puntos correspondientes a φexp.
Sabiendo que: φ=tg−1( 1R∗ω∗C );ω=2πf
Se obtiene la siguiente tabla:
ω(rad/s) φexp φteo12566,37 75,6 76,4918849,55 68,6 70,1831415,93 57,6 59,01
43982,3 50,4 49,9462831,85 43,2 39,7894247,78 32,4 29,03125663,7
1 21,6 22,6188495,5
6 14,4 15,51La grafica es:
G. i. r. g. f.
020000
4000060000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
2000000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
φteo vs. ω - φexp
Series2Series4
W
φteo
φexp
4. Elaborar una tabla (1/ω)2, Zexp2 Mediante un análisis de regresión,
determinar y dibujar la relación Zexp2 = f ((1/ω)2). Por comparación
con la relación teórica, determinar los valores de R y C, y
compararlos con los valores esperados.
Sea la siguiente tabla:
ω²(rad/s)² Z²exp1579136
556742807
5,33553055
35,23249467
4,29869606
57,81361779
7,51934442
7138484695
,123947841
3746017748
,678882644
0354688264
,261579136
80114002120
,283553057 3607112
G. i. r. g. f.
6140 ,58
Sea la ecuación: Z2 = R2 + 1/ω2C2
Realizando los cambios de variable: Z2 = z ; R2 = r ; 1/ω2 = w ; 1/C2 = c
Se tiene: z = r + c w (ecuación lineal de la forma y = a+bx)
Aplicando regresión lineal se obtiene la ecuación experimental y la
siguiente grafica:
VII.
CONCLUCIONES.
Se logró cumplir con los objetivos planteados al inicio del
experimento motivo por el cual se obtuvieron resultados que
concuerdan de forma aproximada.
Las pequeñas variaciones en los resultados se deben en esencia a
las variaciones en la frecuencia entregada por el generador de
G. i. r. g. f.
0 0.000000002 0.000000004 0.000000006 0.0000000080
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
f(x) = 1.06559707713491E+016 x + 3195228.73673343R² = 0.999812582075475
Z²exp vs.(1/ω)²
Series2Linear (Series2)
(1/ω)²
Z²ex
p
ondas y a las pequeñas imprecisiones acarreadas en el
establecimiento de dichas frecuencias, además de las variaciones
en la lectura de la onda entregada y representada en el
osciloscopio.
VIII. CUESTIONARIO.
1.- Mostrar que las unidades de los módulos de la impedancia son
ohmios.
R. De las ecuaciones: Z= √ R2 + (ωL)2 ; Z = √ R2 + (1/ωC)2
[Z] = √ Ω2 + ( rad * H )2 = √ Ω2 + Ω2 = [Ω]
[Z] = √ Ω2 + ( s ) 2 = √ Ω2 + Ω2 = [Ω]
C * rad
2.- ¿Cuál es la naturaleza de las conexiones RL y RC serie para
frecuencias muy bajas y para frecuencias muy altas?
R. En ambos casos para frecuencias altas y bajas, la onda mostrada en
el osciloscopio mostrará el voltaje tanto disminuido como en el caso del
inductor o conservado en parte como en el caso del capacitor,
notándose de ésta manera un aumento o disminución de ondas en las
unidades de tiempo.
3.- Para las conexiones RL y RC serie puede verificarse que, en general,
Vm ≠ VmR + VmL y que Vm ≠ VmR +VmC, respectivamente ¿Es esto una
violación de la ley de tensiones de Kirchoff?
R. No puesto que por ejemplo en el caso del inductor, se genera una fem
autoinducida que lógicamente hará variar la sumatoria de tensiones en
la malla.
G. i. r. g. f.
4.- ¿Cuáles son lo módulos de la impedancia y los ángulos de fase
correspondientes a un resistor, a un capacitor y a un inductor?
R. Sean las expresiones siguientes las que se usan para el cálculo de los
datos requeridos:
Z = √ R2 + ( ωL – 1/ωC)2
φ = tg-1 ( ω L – ω C -1 )
R
5.- Siendo variables los voltajes senoidales, ¿qué valor se lee con un
voltímetro fabricado para medir esos voltajes?
R. Se lee los valores de los voltajes sobre las resistencias, es decir los
voltajes que circulan por el circuito, y no así los que se administran en
un principio.
IX. BIBLIOGRAFIA.
Física “Volumen II” Serway – Jewett
La biblia de la Física y de la Química Enciclopedia
G. i. r. g. f.