SECo 10-6] CARACT ERSTICAS DE LOS PRODUCT OS DE LA DESINTEGRACIN 293

mricamente representados por la luz de aquel tamiz que deje pasar el 80 % del producto. W. es una constante de energa (work index) que requiere ser conocida previamente para poder aplicar la [10-8]. Esta constante se define como el nmero de kilovatios-hora necesarios para subdividir una pieza de una tonelada desde un tamao prcticamente infinito hasta que 800 Kg (el 80 %) tengan tamao inferior a 100 micrones.

El autor ha demostrado que W. es prcticamente independiente de la relacin de desintegracin. En las rocas, sin embargo, se observan pequeas variaciones en el sentido de que W. es ligeramente mayor en el molido fino que en el que-brantado o la trituracin gruesa, posiblemente porque los trozos grandes con-servan grietas dada la forma en que corrientemente se obtienen estos bloques rocosos (dinamita). Hay frmulas para determinar W. en el laboratorio, pero lo ms aconsejable es determinarlo para cada sustancia mediante ensayos previos basados en la aplicacin de la frmula [10-8] con W. como incgnita.

Ejemplo 10-3.-Se trata de calcular la potencia necesaria en un triturador capaz para tratar 1000 ton/dia de roca silcea de t amao L, "= 20 cm (es decir ,_ que el 80 % de la materia prima tiene un tamao menor que 200000 micrones), cuyo producto final ha de tener un tamao de 6,25 cm (= 62500 micrones), o sea que el 80 % del producto triturado ha de ser inferior a dicha cifra. Para esta materia, W . = 12 Kwh ton-1 El triturador funcionar 7 h/dia.

SOLUClN.-La alimentacin horaria del triturador ser = 142,9 ton/h. La relacin de desintegracin, r, valdr 20/6,25 = 3,2.

Por tanto, segn [10-8): 100 ) .5320.5 - 1 W = ( 62500 ' e = 0,211 Kwhton-1 = 0,211/0,7357 = 0,286 eVh ton-1

Luego la potencia necesaria (sin t ener en cuent a las prdidas en el motor yen la transmisin dd motor al triturador) ser:

0,286142,9 = 41 ev. Aparte las prdidas citadas, la potencia debe ser superior a esta terica en un 50 % para

prevenir las posibles sobrecargas en el trabajo.

10-6. Caracteristicas de los productos de la desintegraci6n.-El producto de una desintegracin es una sustancia ms o menos pulverulenta, segn su na-turaleza, las caractersticas de la mquina desintegradora, el t iempo que sta actuado, etc. Ocurre que no todas las partculas producidas tienen el mismo tamao. Es del mayor inters conocer el reparto de tamaos que cada mquina puede producir. Con este objeto se han realizado numerosos estudios tendentes a obtener una ley general l. Como no ha sido posible unificar los procesos que se verifican en cada sistema mquina-materia a moler-grado de desintegracin al-canzado, el procedimiento seguido para obtener una correlacin general ha sido establecer las ecuaciones que en cada caso ligan el reparto de tamaos en funcin del tamao, y ver cul de todas ellas presenta la mxima generalidad. En este sentido cabe afirmar lo siguiente:

1 Vase MARTIN: Trans. Brit. Ceram. Soc., 23, 61 (1923); 25, 51, 63, 226 Y 240 (1925-26); 26, 21, 34 Y 35 (1926-27); 27, 247,259 Y 285 (1927-28); ANDREAsEN: Koll. Beih., 27, 370 (1 928). RAMMLER: Verfahrenslechnik, n.O 5 (1937); ROLLER y colab.: J . Franklin Inst., 223, 609 (1937); EpSTEIN: Ind. Eng. Chem. , 40, 2289 (1948) Y J . Franklin Insl. , 244, 471 (1947); ROLLER: J. Phys. Chem., 45, 241 (1941).

Yenissei Melissa Hernndez Castaeda

294 DESINTEGRACIN MECNICA DE SLIDOS [CAP. 10

1.0 Ninguna de las muchas correlaciones obtenidas es universal. 2.0 La ley ms general es la de Rosin, Rammler y Sperling (RRS). 3.0 Esta correlacin pierde su validez cuando la molturacin se lleva a la

obtencin de partculas extremadamente finas, en cuyo caso la distribucin de los tamaos se rige por las leyes de la probabilidad segn una curva de Gauss.

1. Correlacin de Rosin, Rammler y Sperling.-EI producto que se descarga de un molino se puede someter a una separacin por tamaos-por tamizado,

p. ej.--, y as obtener las cantidades de pro-ducto de tamao superior a la luz de cadan

SECo 10-6] CARACTERSTICAS DE LOS PRODUCTOS DE LA DESINTEGRACIN 295

2. Evaluacin de la expreSlOn matemtica de RRS.-Si en la [10-11] 1 = [', entonces lag In = O, Y esto ocurre cuando R = 36,8. Al valor de la abscisa que cumple esta condicin (o sea, a 1') se le llama tamao medio estadstico ..

Fcilmente se advierte que en la recta que corresponde a la ecuacin [10-11] n es el coeficiente angular. Si la lnea granulomtrica RRS fuera paralela a las ordenadas, ello significara que la muestra no tiene ms que un solo tamao; n sera infinito. Si la lnea resulta paralela al eje de abscisas, n = O Y significa que en la muestra no hay ningn tamao repetido. De manera que n mide la mayor o menor unHormidad de tamaos del producto analizado.

Si se deriva otra vez la expresin diferencial [10-9] y se iguala a cero esta segunda, se tendr la condicin de mximo para la curva de distribucin. Esta condicin conduce a

n n

n-lVn-l l' I _ = _ __ , o sea, I = [lO-12J Vr n II en la que l representa el tamao ms abundante en la muestra considerada. Como se ve, este importante dato se puede encontrar una vez trazada la recta RRS e identificados l' (abscisa correspondiente a la ordenada cero, o sea, a R = 36,8) Y n (coeficiente angular). Es evidente que l corresponde al mximo. de la curva de distribucin, y se observar tambin que cuando n = 1 el mximo se produce para 1 = 0, lo cual no tiene sentido fsico. Cuando n < 1 no hay mximo en la curva de distribucin. (Vanse las curvas de la Fig. 10-2.)

3. Determinacin de superficies especficas mediante el grfico RRS.-Como la leyes logartmica, se cumplir tambin para x . lag l. El caso estudiado es para x = 1 (tamaos lineales). Si x = 2, la ley relacionara superficies. Por eso se pue-den obtener los valores de las superficies especficas partiendo del trazado de la recta RRS 1, como se ver en el ejemplo 10-4.

Ejemplo 10-4.- Una muestra de 100 g del producto de un molino ha sido clasificada por tamaos, con el siguiente resultado:

Cantidad,Tamao superior a, mm Totalesgramos

30 4 4 15 14 18 lO 12 30

5 24 54 3 10 ()4 2 10 74 1 9 8:{ 0,5 8 91 0,2 5 96

Inferior a 0,2 4 100

\'ase si se cumple la ley HRS y deducir los parmetros tiles de sta. SOLUClN.- ).a figura se ha trazado con una escala de ordenadas dividida segn log In

desde 0,1 a 99,5; el eje de abscisas se ha dividido segnlog desde (1,1 hasta 100, o sea, con ampli-tud un poco mayor que el intervalo O,2-:lO de la granuloI1lctra del producto. Se han llevado

1 Vase E. Forschullgm L/lid Forlsl'lIrille (Berln), 30 (1)1; 1 (1956).

296 DESINTEGRACIN ME CNICA DE SLIDOS [CAP. 10 a abscisas los nmeros de la columna primera y a ordenadas los de la tercera. Los puntos obte-nidos caen en una recta, con bastante aproximacin; luego se cumple la ley de RRS.

La abscisa correspondiente a R = 100fe = 36,8 es 8,2 mm, cuyo valor corresponde al ta-mao estadstico del producto, 1'

El coeficiente angular, determinado por el cociente entre la diferencia de ordenadas (a) y la de abscisas (b) vale 0,854, cuyo valor corresponde a n o ndice de uniformidad, que es bas-tante pequeo (poca uniformidad de granos).

r---.r-t-r++tttl

tamao de?rano,mm FIG. 10-3.-Aplicacin de la ley de R.R. y S. en el ejemplo 10-4.

Segn la [10-11], el tamao ms frecuente, IJ, no tiene significado por ser n < 1 (vase pgi-na 295), es decir, que no tiene mximo la curva de distribucin.

Todava se puede deducir ot ro parmetro de inters estadistico, como es el intervalo funda-mental, Too, indicativo del intervalo de tamaos que comprende al 90 % del p,roducto, que-dando fuera el 5 % ms fino y el 5 % ms grueso. De la (10-10) se deduce que para R = 5 %, . . 1=1' Vln 20; y para R = 95 %, I = l' Vln 1,052.

Por tanto: n

Too = l' (V2,995 - VO,0483) Too = 8,2 (3,61 - 0,0286) = 29,25 mm.

La abscisa correspondiente a 20 % de rechazos seria, para este producto, el valor Lf a tomar en la aplicacin de la frmula de Bond. Vale 15 mm, es decir, 15000 micrones.

Hay veces que la representacin RRS no da una sola recta, sino dos que for-man un cierto ngulo. Esto ocurre cuando el producto procede de la desinte-

SECo 10-6] CARACTERSTICAS DE LOS PRODUCTOS DE LA DESINTEGRACIN 297

gracin de rocas complejas que tienen ms de una especie mineral de distinta fragilidad. En estos casos la curva de distribucin presenta dos o ms mximos; asi, la curva granulomtrica de la figura 10-4 se puede interpretar como la sqperpo-sicin de dos curvas de distribucin, una de n > 1 Y otra de n < 1 (vase Fig. 10-2).

4. Estudio del trabajo de un desintegrador a travs de las representaciones RRS. El trabajo de un desintegrador se puede seguir e interpretar con facilidad repre-sentando las lneas RRS que corresponden a los productos que origina en distintas condiciones de trabajo (tiempo de funcionamiento, en los discon-tinuos, o velocidad de alimentacin, en los con-t inuos; carga de cuerpos molt uradores; nmero de revoluciones, et c.). Las rectas obtenidas darn dR idea de cmo varian la uniformidad de tamaos, d1 el tamao estadstico, etc. La facilidad con que puede obtenerse la superficie especfica del pro-ducto mediante la grfica de la Norma DIN 4190 hace tambin interesante el estudio de los pro-cesos de desintegracin mediante las rectas RRS. I

Por lo que se refiere a las superficies especificas obte- FIG. 1O-4.-Curva de distribuci6n nidas por este medio, hay que hacer notar que los res,ultados . compleja. del grfico DIN 4190 corresponden a supuestas partculas esfricas. Si se quieren obtener valores absolutos, es preciso determinar separadamente la forma real de las partculas y multiplicar la superficie especifica RRS -que representamos luego por Ao-por el cociente que resulta de dividir la superficie de una partcula por la de la esfera de igual tamao. En cambio, para comparar dos estadios de desintegracin de una m isma sustancia ho-mognea puede no ser necesaria esa correccin, pues cabe admitir aproximadamente que a lo largo de la desintegracin se mantienen las formas iniciales, en la zona de altas figuras. La com-paracin se har por cociente, para que al dividir las superficies de uno y otro estadio desapa-rezca el coeficiente de correccin de superficie, presente en el numerador y en el denominador.

Para ilustrar la forma de obtener estas superficies especificas vase el ejemplo siguiente, donde se utiliza el grfico normalizado DIN 4190 para la representacin RRS, ligeramente simplificado en la figura 10-5.

Ejemplo 10-S.- Con los datos del ejemplo 10-4, determinar la superficie especifica. SOLUCN.-Se traza la recta RRS (linea AA, Fig. 10-5). Por el polo P, que est en las

abscisas, se t raza una paralela a la anterior (A' A') que corte a las escalas 1, 2 Y 3 de la parte supe-rior y derecha del grfico. La escala 1 da el ngulo de la recta (= 40,8 0 ); la escala 2 da la t an-gente de dicho ngulo (= 0,86, valor muy coincidente con el calculado en el ejemplo 10-4); en la escala 3 se lee 73. Esta cifra es el valor del producto Ao['; dividindola por l' (= 8,2 en el ejem-plo 10-3; 8,0 en la representacin actual) se obtiene para la superficie especifica, aproximada-mente, 9 mi. Kg-I, o sea' 90 cmag- l.

A lo largo de la desintegracin las rectas RRS que se van obteniendo tienden hacia la parte derecha del grfico (mayores finuras) y a aumentar su n (mayor uniformidad de t amaos). Las que presentan punto angular, o sea, dos tramos rectos, tienden tambin a igualar su pendiente.

5. Ley gaussiana para los productos de la des integracin.-Cuando la moltura-cin es muy fina, las rectas RRS tienden a curvarse en la zona de las altas finuras. La distribucin suele obedecer entonces a la representacin normal o gaussiana, que se representa ma temticamente por

d R di = K h-e -la. (1 - lla)1 (10-13)

t - : >' r o d t l d o A

A . e a1 1 / 2 , / ( " , - ' { ' e l / I l l l l l

I n a c e d e t i / l f f o r m

t a a d / l = t l 7 o < i / l c ! t l a c i / l d e / o r e c i a R R J : 0 < "

0 , 0 / 4 / L

1 1 1 1 T T I

1 1 1 1

r o 0 , 5

1 1

- -1 5

A 1 . 1

-1 0 l o -

t l t 1 1 2 0

( / )V

ZJ O

V " . . ,

-

1 - t 1 1

4 0 . -

C " l 5 0

"-

; . 6 0

l ( 5 .

7 0

1 /

Z . /

c : t : 7 5 ' - -

; ; : :h , 8 0

t 1 1V

l 8 5

V ; . .

! : j z

, 9 0

; .

//

t l

9 5 -A ; i . I ! !

/ t 1 1

. /9 6

( / )

9 7 O

1 , t : t l

9 8 O ' "

9 9 A ' - . . t '

9 9 , 5 ' -I

I ; /

I I

. . . . . I 0 . 1

0 , 2 0 - 3 o , . . 0 , 5 /

P J 4

5

/ 0 2 0 . 3 0 4 0 5 0

/ 0 0 P O O . 3 O ( J I C ( J " J o o / 0 0 0

P O O O " t a m a o d e S J r a / l 1 7 , / , e / l m

m 1 7 e / l m I C r o / l e s

r i ' ; . : - o

F I G . 1 0 - 5 , - R e p r e s e n t a c i n s e g n R O S I N , R A M M L E R , S P E R L I N G y B E N N E T d e l a g r a n u l o me t r a d e u n p r o d u c t o m o l i d o ,

L a r e c t a A A c o r r e s p o n d e a l p r o d u c t o d e l e j e m p l o 1 0 - 4 ( F i g . 1 0 - 3 ) , - O

SECo 10-7] CONSIDERACIONES SOBRE LA TCNICA DE LA DESINTEGHACIN 299

K es una constante, h la amplitud de distribucin y lh el tamao ms frecuente. En la figura 10-6 se exponen varias formas grficas de esta expresin.

La correlacin gaussiana parece cumplirse con gran exactitud en la formacin de gotas y tambin en la molturacin de harinas y del almidn. Posiblemente porque sean materias de bajos valores de z y tiendan rpidamente a las finuras elevadas siguiendo la ley de probabilidad.

6. Comparacin de las representaciones gaussiana y RRS.-Entre las expre-siones [10-13] y [10-9] no hay relacin funcional alguna, lo cual no excluye se-mejanzas parciales cuando la [10-9] adopte una forma simtrica. Esto ocurre para algn / ! valor de n superior a la unidad (vase - /=! Fig. 10-2). Batel 1 ha estudiado las posibi- tI :: ---Iz