Copyright B. Buchberger 20031 Mathematik an Fachhochschulen: Inhaltliche und methodische Überlegungen Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Bozen, 26. September

Copyright B. Buchberger 2003 1

Mathematik an Fachhochschulen:Inhaltliche und methodische Überlegungen

Bruno Buchberger

RISC, Uni Linz

Bozen, 26. September 2003


• Copyright Bruno Buchberger 2003:

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Inhalt

• Mathematik innerhalb der Wissenschaft• Der Computer innerhalb der Mathematik• Inhalte und Didaktik der FH-Mathematik

– Typ F– Typ IT


Die Mathematik innerhalb der Wissenschaften

Realitätmit Frageoder Problem

Modell

Antwortoder Lösungim Modell

Antwortoder Lösungin Realität

Beobachten, ModellierenSinne, SensorikNaturwissenschaften

Handeln, InterpretierenHände, MotorikTechnische Wissenschaften

Denken, SchließenGehirn

MathematikDie drei Schritte sind verschieden,bilden aber ein Ganzes.


Der Computer: Selbstanwendung der Wissenschaften

Beobachten, ModellierenSinne, SensorikNaturwissenschaftenMikroskop, …, Tomograph, …Mikroskop, …, Tomograph, …

Handeln, InterpretierenHände, MotorikTechnische WissenschaftenLaserschneider, ..., Roboter, ...Laserschneider, ..., Roboter, ...

Denken, SchließenGehirn

Mathematik...ComputerComputer


Der Computer: Die Erfüllung der Mathematik

GGT[18,12]=GGT[6,12]

Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] ?

Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]

GGT[m,n]=max …GGT[m,n]= GGT[m-n,n]

Die Erfindungsspirale der Mathematik

GGT[18234565,12382928]..=...GGT[18,12]


EinzelfaktenGGT[18,12]=GGT[6,12]

Allgemeine VermutungFür alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] ?

TheoremFür alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]

AlgorithmusGGT[m,n]=max …

AlgorithmusGGT[m,n]= GGT[m-n,n]

Die Erfindungsspirale der Mathematik

EinzelfaktenGGT[18234565,12382928]..=...GGT[18,12]

RECHNEN EINSEHEN

BEWEISENPROGRAMMIEREN


Die inhaltliche und methodische Dimension der Mathematik

...PhilosophieLogikstruktureller Aspektalgorithmischer AspektAnwendungsaspektdidaktischer AspektSoftware-Implementierung„Natureware“...

Mengl.

Zahl.

th.

Analy.

Funk.th.

Fkt.a

n.

lin.Al.

kom.Al.

.

.

.

.

.

siehez.B.AMSDez.Klass.


Ein Grundprinzip für den Entwurf eines FH-Mathematik-Lehrplans

• Die Auswahl in den folgenden Stufen organisieren:

– Berufsbild– Bildungsziele– „Stoff“.

• In der methodischen Dimension so weit möglich Vollständigkeit anstreben! (In Abhängigkeit vom Studiengang.)

• In der inhaltlichen Dimension Mut zur Lücke haben! (In Abhängigkeit vom Studiengang.)


Berufsbild der FH-Studiengänge

F. Der Absolvent des FH-Studienganges F soll

Problemlöser im Fachgebiet F sein.

S. Sonderstellung: Fachgebiet ist IT (Software Engineering u.ä.)

Bei F: IT ist ein Hilfsmittel.

Bei S: IT ist das Hilfsmittel.


Der Problemlöseprozess im Fach F

Modellieren

Anwenden

Arbeiten imModell


„Modellieren“:

– Problem Erarbeiten im Kontext des Kunden und des technischen Umfelds

– Problem-Spezifikation


Arbeiten im Modell:

– System-Entwurf im Team– Zusammenbau aus vorhandenen und neu entwickelten

Komponenten

– vorhandene (und neue) Mathematik-Komponenten– vorhandene (und neue) Software-Komponenten

Sonderstellung der IT-Studiengänge


Anwenden:

– Einbetten des entwickelten Systems in den betrieblichen Kontext des Kunden


Es geht also um die Welle „vom Kunden zum Kunden“ realisiert werden.

Problem Lösung


Bildungsziele für die FH-Mathematik

• Sprache der Mathematik:

– Prädikatenlogik in den gängigen Ausprägungen– algorithmische Konstrukte als Teil der Prädikatenlogik– Notationen für mathematische Sprachkonstrukte in den

mathematischen Software-Systemen.

– Bei IT Studiengängen: sprachliche Seite verfeinern, Zusammenhang mit Programmiersprachen herstellen.


• Modellieren:

Die wichtigsten Problemstellungen im Fachgebiet in mathematische Probleme übersetzen können.

Wissen, wie man die entsprechenden bekannten mathematischen Verfahren in den mathematischen Software-Systemen benutzt.

(Mathematisches Arbeiten im Team.)

Bei IT-Studiengängen: Exemplarische Problemstellungen aus

verschiedenen Bereichen.


• Schließen:

– Bei Studiengängen F: Anschauliches Verständnis, wie, warum und wie gut Verfahren funktionieren, ist ausreichend.

– Bei IT-Studiengängen: Einfache mathematische Überlegungen formal sauber durchführen können. Eigene Ideen für einfache mathematische Probleme entwickeln und mit dem Bekannten verbinden können.


• Interpretieren:

• Die Ergebnisse interpretieren und kritisch beurteilen können.

( neue Iteration des Zyklus.)


Inhalte der FH-Mathematik

• Bei F. und S. sehr verschieden:

– Bei F. sind die typischen realen Problemstellungen bekannt, bei S. nicht.

– Von S. soll / kann man formale Aspekte betonen (denn Informatik ist vor allem eine Sprachdisziplin), bei F. eher nicht.


Inhalte der Mathematik für FH, Typ F.

• Planung der Inhalte:

– Von den wesentlichen (mathematisch angreifbaren) inhaltlichen Probleme des Fachs ausgehen.

– Die für deren Lösung anwendbaren mathematischen Verfahren und Teilverfahren heraussuchen. (Siehe „Help“von Mathematica, Maple, etc. Warum?)

– Überlegen, welche Grundbegriffe („Bereiche“ und „Wissen“ man braucht, um die mathematischen Verfahren und dann die realen Probleme lösen zu können).


Beispiel: BWL Studiengang

• Inhaltliche Probleme:

Darstellen, Analysieren, Optimieren, Organisieren, Sichern, ...

• Mathematische Verfahren:– Graphische Darstellungen– Statistische Kenngrößen– Elementare Mengenlehre, logische Verknüpfungen– Gleichungen, Ungleichungen, – Optimierungsverfahren– Codierung, Kryptographie– ...?


Problemtypen

DatentypenWissenstypen

MethodentypenAlgorithmentypen

GleichungenUngleichungenOptimierenInterpolierenApproximieren....

Nat Zahlen...MengenTupeln....Funktionen...

Eliminieren, Simplifizieren, kritische Paare, Divide and Conquer, ...

Überblick verschaffen über mathematische Inhalte:an „Achsen“ aufhängen!


• Diese Strukturierung muss man für die inhaltlichen Probleme und die dazu notwendigen mathematischen Verfahren des Fachs durchführen.

Führt zu einer klaren Landschaft für die Inhalte der Mathematik für dieses Fach.


Methodik der Mathematik für FH, Typ F.

• Die wesentlichen Probleme aus dem Fach, die mathematisch gelöst werden können, präsentieren. (Sie sind am Anfang der Ausbildung noch nicht lösbar.) An einem Beispiel die Lösung „black-box“ als Motivation zeigen.

• Notwendige Daten- und Wissenstypen einführen.

• Den eigentlichen Teil nach Problemtypen und zugehörigen Methodentypen strukturieren. Korrektheit der Methoden erläutern, nicht beweisen.


• Methoden an Beispielen einüben, Aufrufen der Methoden lernen.

• Modellieren der realen Probleme auf (Kombination von) mathematischen Problemen üben und mathematische Probleme durch Aufruf der Routinen aus math Software-Systemen lösen. (Allenfalls „Programmieren“ in diesen Systemen.)

• Interpretieren der Ergebnisse (allenfalls Iteration des Vorgangs), Dokumentieren, Präsentieren.


Es geht also um die Welle „vom Problem zum Problem“

Problemals Motiviation

Problemals Erfüllung


Inhalte der Mathematik für FH, Typ IT.

• Planung der Inhalte:

– Zum Unterschied von Studiengängen F: Einsatz kann in allen Fachgebieten sein!

– Auf die wesentlichen algorithmischen Verfahren der Mathematik ausrichten (Siehe „Help“ von Mathematica, Maple, etc.)

– Überlegen, welche Grundbegriffe („Bereiche“ und „Wissen“ man braucht, um die mathematischen Verfahren anwenden zu können.


Problemtypen

DatentypenWissenstypen

MethodentypenAlgorithmentypen

GleichungenUngleichungenOptimierenInterpolierenApproximieren....

Nat Zahlen...MengenTupeln....Funktionen...

Eliminieren, Simplifizieren, kritische Paare, Divide and Conquer, ...

Überblick verschaffen über mathematische Inhalte:an „Achsen“ aufhängen! Noch wichtiger als bei Typ F.


Methodik der Mathematik für FH, Typ IT.

• Einige Probleme aus verschiedenen Fächern, die mathematisch gelöst werden können, präsentieren. (Sie sind am Anfang der Ausbildung noch nicht lösbar.) An einem Beispiel die Lösung „black-box“ als Motivation zeigen.

• Notwendige Daten- und Wissenstypen einführen.

• Die Inhalte nach Problemtypen und zugehörigen Methodentypen strukturieren. Korrektheit der Methoden erläutern, nicht beweisen.

• Aber: an einigen Beispielen das formale Schließen bei Sätzen undAlgorithmen in großem Detail machen. (Theorema wäre hier ein schöner Rahmen.)


• Methoden an Beispielen einüben, Aufrufen der Methoden lernen. (White-Box / Black-Box Prinzip.)

• Modellieren von realen Probleme auf (Kombination von) mathematischen Problemen üben und mathematische Probleme durch Aufruf der Routinen aus math Software-Systemen lösen. („Programmieren“ in diesen Systemen lernen.)

• Interpretieren der Ergebnisse (allenfalls Iteration des Vorgangs), Dokumentieren, Präsentieren.

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