•

CAPITULO VIII

TENSOR METRICO

A- INTRODUCCION

Vamos a estudiar ahora un tensor que nos permite cuantificar el espacio que estemos considerando; el tensor métricO, como veremos, es simple­mente un conjunto de cantidades, en general funciones, que nos sirve para Il!edir distancias sobre el espacio y por lo tanto calcular áreas y vo­lúmenes; en otras palabras, con el tensor métrico logramos introducir una métrica en ese espacio, sea euclediano o no -euclediano.

Llamamos espacio euclediano n-dimensional aquel en el cual la distan-cia entre dos puntos cercanos PI (x"'P1),:-p1. ... '--"X"",,) y 1\ (]{'fll+~X1'1 , __ _ -- ___ x-rl'l'\-\"~t;>"'" ") se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras en n dimensiones siempre y cuando pueda existir siquiera un sistema coor­denado -::t~ ( x" "Lt.,- _--:xfil) fijo en el espacio con referencia al cual se pueda expresar para todos los pares de puntos próximos de ese espacio la distancia entre ellos ( A y) corno:

- "Z.. '" "lo "lo

8-1 Jj'f f =- A :L-r, T l\ X'f" -+- b .:t:'f3 'l..

+- - __ - - +- ~::L-p""

1.\ Y., es la distancia entre los puntos cercanos PI. y P2 ; si la misma fór­mula (con referencia al mismo sis tema coordenado) se puede aplicar pa-ra cualquier otro par de puntos a.1(:::c.~'J:LiIl~, ___ . .:tQ .... ) y a. .... (~~,+Al(EI.~_-;;Cq ... +ll:tt!_) decimos que el espacio es euclideano, así ~v~ será:

"l. '1... 't.. ' ,

..6 y~ .:; A XCilI + /j:t.. Q. 'L .. 6 ::I..~~ +- - - - b:(' ~"'t'\

Espacios euclideanos que conocemos son por ejemplo: un plano en 2 di­mensiones y nuestro espacio ordinario -intuitivo tridimensional I sin em­bargo, no hay razón para que no conside,remos espacios euclideanos de mayor número de dimensiones; en todos e,l1os la característica es la de la introducción de un solo sistema coordenado que nos permita para cual­quier par de puntos próximos medir la distancia entre ellos de acuerdo con Pitágoras.

Llamamos espacio no-euclideano n-dimensional ( o espacio riemanniano) aquel en el cual no es posible encontrar un sistema coordenado fijo (;x 1) X "lo - -- x~que nos permita para todos los pares de puntos próxi­

mos de ese espacio expresar la distancia entre ellos según 8-1; de este modo para medir distancias en un espacio no euclideano se necesita considerar coordenadas variables en ese espacio; por ejemplo la superfi­cie esférica es un espacio no euclideano de dos dimensiones porque no

52

se puede encontrar un sistema de coordenadas ( Xl) Xz ) fijo en esa su­perficie de modo que se pueda expresar para todos los pares de puntos próximos en la esfera la distancia /J. y como

Pocemos también apreciar que la superficie esférica se puede considerar como espacio euclideano si se estudia en un número mayor de dimensio­nes que dos ya que si introducimos en el espacio tridimensional un siste­ma (xl x 1 x 3 ) para todos los pares PI, t.i si se puede expresar 6 v por: ) 2

-

Se puede generalizar, (esto se demuestra en el estudio de las geometrías no euclideanas) y afirmar que todo espacio riemanniano n-dimensional se puede estudiar como euclideano si se considera en un número mayor de dimensiones; por lo tanto todos los espacios no euclideanos de dos di­mensiones se comportan euclideanamente (esto es Av se mide por 8-1) si se analizan en el espacio ordinario tridimensional. Debemos pues no­tar que el carácter de euclideanidad o de no-euclideanidad se define cuan­do se considera el espacio n-dimensional en esas mismas n-dimensiones, no en un espacio mas amplio; así, nos encontramos con la no euclediani­dad de una superficie bidimensional (se pueden considerar" superficie s 11

de 3 ... n-dimensiones, los llamados manifold s en inglés) si estudiamos su geometría intrínseca es decir referida a coordenadas variando sobre la superficie, pero no cuando es eudiamos esa superÍicie con ejes coordena-dos fijos .

B- Componentes del tensor métrico (componentes covariantes del tensor métri­co ó fundamental) .

Hemos visto en la introducción que para un espacio euclediano n-dimen­sional la distancia entre dos puntos cercanos se puede calcular utilizan-

•

do la regla de Pitágoras y tomando un sistema cartesiano fijo yl; si los puntos en cuestión están infinitamente próximos, la distancia entre ellos la llamamos d,5 y se cumple entonces:

8-2) (sumando sobre i= 1, 2 .. n según la con­vención de Eisntein) .

Si el espacio es no euclcdiano de todos modos se pl.!ede estudidr como

•

S3

euclediano o sea aplicar 8-2 con tal de tomar un número suficientemente grande de dimensiones; por lo tanto 8-2) es la expresión de d.s para to­do espacio sea euclediano o riemanniano.

Ahora , si definimos un nuevo sis tema coordenado xi I tal que

o en general inversa es

o en general

::z:1::,zJ ( J' J 1._ --- :1"'1) 7~:::t-z..f...j"'JJ: ---J~)

• 1 , ,

;t"'-:. x"" L:r~ j'Z.J - ---J""')

X L',. .:i L' (J', J 'Z., ------ J "")

J' -:.. J' l Xl, X"L, ___ - - -.x. '>l)

J 'Z..:: J" (X" .:i.. '2-, ____ - - -X 7)) I , •

I '2.. .." . ) ),'1'1::,. J~(:t.J:t J - --- _-:i..

• 'J L -= 1 ( (:X., X2. I - -- -- .:t"") • d J L'::; d~j

y si la transformación

, entonce s tenemos:

( sumando sobre j= 1,2 -n)

cambiamos el índice en el segundo factor

mudo J por 1< para efectuar la multiplicación.

Tenemos así:

iI.jL· d.-=t i d:LK

dX" (suma sobre i, j, k =

1,2 I 3 .. n)

\-5:2-En el espacio n-dimensional esta expresión de c. tiene n 3 sumando;, )

llamemos:

8-3)

• •

~.:¿t, . d ':.r ::. 3 J "" a:;tJ axll. osee :

a:e', "dJ~ + d ::(J' ct:L ,;.

,2>.1: d'j:J,

d::L J a.x.""

-

S4

Resulta: (j I k índices mudos = 1, 2 I --n)

• d ""J Sabemos que los J.. son las componentes contravariantes del vector

desplazamiento y como d..:S1.. es un invariante, ya que la distancia en­tre dos puntos cercanos no depende del sistema coordenado empleado, obtenemos de 7-3 que los ;}ix son las componentes covariantes de un tensor; este tensor es el llamado tensor métrico el cual propiamente ha­bIendo es d..s 'L (invariante) y sus componentes las podemos escribir en la siguiente matriz en el caso de espacio tridimensional:

~ll

§-21

~31

;]12

~22

De la definición de ~il( en 8-3) observamos que:

;entonces corno para el

tensor métrico se cumple g,:.i = gú' decimos que es un tensor por lo tanto: 8-4) d.5"L;;: ~f.i a :tldxJ' con {j'J'simétrico,

, , , Slmetnco

Veamos como está relacionado el tensor métrico ~ IJ' (lo designamos por una componente genérica) a; J --- «I';J .

--":lO

y los vectores base covariantes 0., a1.. ,J J

~ ~ En el sistema cartesiano en n-dimensiones ( jI) Jz. ____ ~ j ...... ) si l.,) t:~ ,---- ) --.i I'Y) son los vectores unitarios ba se la expresión del vector posición Y de un punto 'j t' (i= 1,2 I " n ) es la siguiente:

La expresión para el elemento ds es:

G~I~"l.+- @Jl..)~?- ~----- @-J"')~ -:= d J t' d 'j t' (L' ::. J) 2 , ---- M) ,

~

Ahora: d. y puede expresarse en funci.ón del nuevo sistema de coorde-nadas curvil~as ~'}~\ ~~ ___ x"" con 'XL':: xL'tt'f~· __ -.:(")así:

d y "'- pY. Ji' 1" Ji? J.~ 1. + __ , t- a"?.. d. x "'l ~ a y <:>LX L

é) X I a :::l. 'l. 'o x:.... . ;:;.:x. l'

,

r-

55

en cada una de las derivadas parciales solo varía y a lo lar-.

go de la coordenada Xl (para un i específico) permaneciendo constantes , - ~ los dsmás .:x J ; esta derivada 9'( es el vector base Q.,' (t':I

J2.-,.,.,\

a.xJ ') definido en el capitulo 3 ..

Obtenemos así: --?

- a -::; a.. ~L. ay el ~J' . , aY!.

,

ax. J ,

d )!. t' d]i.J -=-~

8-5

- -Comparando 8-5 con 8-4 concluimos: 8-6) gaJ'" Q,·.a,j' ;para emplear una notación utilizada ampliamente en los libros sobre cálculo tensorial. seguiremos llamando de ahora en adelante los vectores bases covariantes (o directos corno los hemos llamado por diferenciarlos de los vectores b::¡-

" -::;?¡ ) ~ ? ' ses reCIprocas..,.., V~t' ar: como ci l ' ; segun esto podernos escribir 8-6): ~U· = €lt" ~j" ó sea que cada component~ ¿j'".J del tensor métrico es igual al producto escalar de los correspondientes vectores ba-

-';> --ses fJ¡.· J ~i ; desde este punto de vista se puede apreciar nuevamente la simetría del tensor métrico ya que el producto escalar es conmutativo e s decir: -.-, -

~I:J : fll" ~J' ~ \,""l..

A partir de Al-.J se introduce una métrica en el espacio considerado de modo que se puede encontrar la expresión para los diferenciales de área y

/

de volumen en espacios referidos a coordenadas curvilíneas y luego por in-tegración se encuentra longitud de curvas, área de superficies y volume­nes de sólidos; esto lo estudiaremos en el artículo referente a tensores re­lativos,

Veamos algunos ejemplos del tensor métrico f/I'J' referido a varios siste­mas coordenados en el espacio de 3 dimensiones.

a) Coordenadas cartesianas

Sabemos que J5'L-"" (J ~ 1) 1.. +@1")1.. + --_~ j"')"l.. por lo tanto: 8,1 :=. I I /ln.,;:. ') 833:::' I y el resto de los ~ L'J' es cero; por lo tanto en coor­denadas cartesianas el tensor métrico coincide con el delta de Kro­necker ~IJ' = áLJ' ; si colocamos los componentes del tensor CJ <J' como elementos de una matriz se obtiene:

56

1 o o

1 o

o o 1

• b) Coordenadas cilíndricas.::¿L; la relación entre las coordenadas car-

• • tesianas J L Y las cilíndricas ::t. l es la siguiente:

Ejemplo del art. 3)

Sabemos de 8-3) que:

por lo tanto:

a~' ~l - ,

éJ~t' a::LJ

Obtenernos por lo tanto:

::: a:1~ .. d J'~ J;(L d:xJ"

(k índice mudo)

... ~(X'5.w X 1) ,d[:¡" .s~:tl) •

d :x.t" a .:x. J

Desarrollando J obtenernos que los demás 8'j' son cero; por lo tanto el ten­sor métrico (dispuesto como matriz) resulta ser:

1 o o

o o

o o 1

c) Coordenadas esféricas: la relación entre las coordenadas cartesia­nas .J~' y las esféricas .:xl'es la siguiente:

,

57

x.::. J ':<- y S.(/V\ ~ ea!> ~.:; .:t..'..s ' "t. ,)I! '1. l...D S ::L 3

J ~ .j"L;: Y j~? ~Q-~ .::L' ,5..(.N¡ ::L2. 5~.x3

.z. -::.. .j:) -;:. -y e,o> 9 ~ Y.. I cp .s )L "lo

Estas relaciones se aprecian en el siguiente gráfico

tenemos:

lé=:e , -

... - "..... ~ -.. --- .... "'-----... (ql .- '" '\ .... " 2': , , . , . . , . , , ;

... --------- ---~-.-.-.--- ,<:¡P ~ Lx,:t.:t)::; (~9, &) '\

\~ \ ~z.

\

\ \

\ \ \

'-..... \ '-..,. I

......... -.....,¡

'iJ (( ~ _a (x '.,Ú..nx1.cpsx3 ) .. é">(t Ij.¿." X 1.co.sX3) + a [x~~JL2. ~;t") :;3 (X~:¿lJ¡.,.;( éi .x L d x) a x t." ;;) ::i. j'

a (X'c.oS;tI) . .a ():,'loj-X1) I o sea que:

O:X l é);X.,J' -1-

~1I :: (5 ~ xl- Co.1 .z J y-+ (.shn x 1. .5 ~ :x.1)'lo T ~..s x.1.) '1.

::= S..u..,'l xl. ( ÚJJ"l.:¿3 + .5~"t x;) T OJJL;:L7.. .::: I

8 l. '1. .:; (.x' C,o.5 X ~ t..o S ::t.. J ) 2. 1'" (x I cp S ~ L 5..(..on re 3) 2. + (x J J -<hI X 1. ) ,

= (.:r ,) 'L. [ Co.5 z X. "l. ( ÚJ~ 7.. ::t:3 + .5-Vv\"l. x) ') + .5 ~ 't :x. -z.] ::: (.::( I Y' .. y"l.

833 -;:. (:t..I ~.kr)X1..s~ :c3) 1. t ( )t' -S.vnx.'2. [JJs,:;¿]) 'l..

.=(:(.)"1. [5~x'l( 5.....","Lx 3 +-~~\ x"!l)] ~(x')'Z.~~X7..",," y-ls~t~

58

Desarrollando obtenemos que los demás para coordenadas esféricas:

3 'J 'son cero l por lo tanto,

1 o o

o o

o o , -

Los mismos resultados anteriores se pueden obtener a partir de los ~ - -::":>

vectores base covariantes 3(' ya que 8':J- = gl" [,., J así:

a-l)

b-2)

.....,. ..,. Para coordenadas cartesianas los vectore s base son L ,J'. K que son vectores unitarios y constantes en dirección por lo tan-

to " 8: ~ r J g~:= T } g;:: -¡¿ } se obtiene: ...,..... -- -... ~

g.,:.l..i=/J 3u.::.j·J-=-/ J - J - ..... fl'1;: L', j ::: 0.) etc~los demás son cero.

En el ejemplo final del artículo 3) obtuvimos: -.... &, ::. ~ :::. ~.s:xl. 1; r .5..(rn :x. lo i: -:::. t J

--. -fJ 1.. ':- ti lo ""-

~ ~ lb ~ • L,3

Se obtiene: -e --. -.. ___

::. ez:;~"l X Z ¿ . i. +- 5~'a xl. L~, ¿~ ::. J -. -; (- X I .5.(;'W');i. 1.. ) (~ .:~~.I _'Í..t.o."I xl.) ( I • ¿' I +

J

TL:t'ÚJ~x1.+- X'WJYl.) ¿:r.l: -;:.~,y~:::. "(1-Q __ ~-"7*

el 33=- fh .~h: Lj. L 3 :: J

á'12.:: ¡.. g: ~(Ct;!>::t.7. Z +- 5.kn;{Z¿;),(-.x I 5..v., Xl.Zt-:x. 1 co.r::t't7:),..o .J

los demás gJ'j' son cero

c3 ) Encontremos para coordenadas esféricas. -.. -.

d (J, l: r f}. {t. -1- 'j, 7 3 )

Tenemos:

~ .--. _-....... ~l -:: S.lh\::l'l. l..OJ:t" {¡ t-S~:::L"l.s~X~¿2 -I-UJS;CZ i3

g;. ::: X I Ü?~l2. ú:J.>x3 t:' + -X. 'c.o:sxl.S~::t) G-X' ~)l2 Z; !:"""1t --"11 -=-~:3::: - X .s..tH\:t l 5..f.m Al. 3 l. +- :t 1 .s..(.,Y\ :t 't. (!.o S :t.) ü --'i>

S9

a " := - -'8" 'J, =- I

De los resultados obtenidos en los tres casos anteriores se desprende que el diferencial de arco J ~ se puede expresar en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas respectivamente I de la siguiente manera:

cf!,?.~ G~,)"t+(d)'lr-+@)l)\ d-;'"l. + J'j'-4- d?::"2..

dS7..:: G.:t')l"t"(X·)~Xl)\@y?)\:: d~1.. ~ .(2-d.'8-"L+ d~?.

J5 1.. ~ @ X') 1. +-C?l' )'(d :r1.) '"+ (t ~ xl.) ~ y))'L:= dY1. .f- Y'dcJ,'L+- .. (l 5.v~;t rp Je."l..

Estas expresiones de el ') nos permiten por ejemplo, hallar la longitud de un arco de curva referida a un sistema dado de coordenadas ( sea car­tesiano , cilíndrico, esférico u otro tipo cualquiera); en este caso, ca-­mo se e studia en geometría diferencial, las variables :;:L' J X \ x ~ ( y por lo tanto los correspondientes diferenciales dx', d x"L, d,,¿3) son funciones de un solo parámetro) por lo tanto d.s queda expresando en fun­ción de una sola variable pudiéndose hallar la longitud de un arco fini­to de curva por simple integración.

c- Componentes contravariantes del tensor métrico ( tensor conjugado)

-'l..

Acabamos de estudiar la cantidad d S como un invariante que se pue-de expresar en función de los diferenciales contravariantes Jx t ' (i =1,2 , .. , n en el espacio n-:- dimensional) y de ciertos coeficientes ~'T los cuales, como hemos visto, son propiamente las componentes del tensor

d? estos 81")' se transforman doblemente covariantes al cambiar ) --

de un sistema coordenado a otro; también hemos estudiado que ~I:'f = ~'" 3i por lo tanto podemos apreciar que la fórmula: d:$'Z.:: g ... f d. ~l' cJ ::t J '

expresa el hecho de que el tensor se encuentra referido a la base cova-- -# riante lJ,· (llamada al' en el artículo 3) ; sabernos sin embargo que las

componentes de todo tensor se pueden expresar ya sea referidas a la ba­se covariante ( 4:. ) o a la base recíproca o contravariante (aL' -=- ~t' );

en síntesis:

8-6)

siendo d'X l..' los diferenciales tomados a lo largo d e la base contravarian--, --. te al :: V ::t l' (ver ecuación S-7 a) ,

I

I

,

I

I

\

60

Así como en la parte B de este artículo concluimos que 'l,,{ son las com­ponentes covariantes del tensor métrico, de la misma manera podemos . , ahora (de 8-6 ) concluir que g'J son las componentes contravariantes de un tensor de 2 o. Orden ya que a 1 multiplicarla s por las componente s cova­riantes de dos vectores ( J.:t~) d~i :componentes covariantes del vector

d-:; ) produce el invariante c1~~ (ver art. 7 I cociente tensorial).

Encontremos el valor de los términos :J ''J' del tensor conjugado l' • 3 J •

Tenemos en coordenadas cartesianas:

- '1. _1 L' ) L' doS :=. a ':1 a ~ ;:: d ~ " d J(' ya que en el sistema cartesia-

no no hay diferencia entre las componentes covariante s y contravariantes de cualquier vector (ver art: 5: producto escalar). Ahora I si pasamos a otro sistema coordenado Xl (i = 1,2 I •• n) sabemos que las componentes covarian tes se transforman así:

Tenemos entonces: •

a~J axl(

son: 01 'jL' -d 'j'" J

8-7)

, . a.:tt., ~ x J

. .' é)'jK a~1(

Ahora: de 8- 3 "

por lo tanto el producto interno

a 'j ~ a j"?1"¡ - . a:xJ . 'dX1

• a ){.J

a 'j 1(

Tenemos pue s ' ,

por lo tanto:

d. :::i. i d::t. I C

con: J

por lo tanto los términ03 S J'J'

(k: índice mudo :1,2, .. n)

(m: índice mudo: 1,2 I ., n)

es igual a:

pero:

(vale -.l para k= m y --º para k;i: m )

a::t.' _ a.~R

,

61

• . ' L

Al concluir que;S-S) ~ü. ~ tJ :: &R hemos deducido que el tensor conjugado 9 t"J' I como matriz, es la matriz inversa del tensor métrico ya que el producto interno de dos tensores I el uno doblemente covarian­te y el otro doblement~ covariante nos produce, como matriz, la matriz producto yademás S;, como matriz, es la matriz unitaria; por ejemplo si estamos en el espacio tridimensional S-S} resulta:

$11 g12 '/13 ~ll ~12 d-13 1 o o

Ó 21 3-22 ~23 • l21 ~22 (f23 - O 1 o

J31 !-32 d33 3-31 ~32 J33 o o 1

• de sarrollando se obtiene: ./

dI' 3/1 1" á'1l. d 'l.' + ~ l' d 11 :; I

~" S/2 + 3,1 d l.l .¡.8,) 83 1- -:-0

~JI d" 3- d 13 d33 r,lo ~d" :.0

¿ZI 8" +:Jo d 11 +- 32) ~31 "'0

Estas 32 ecuaciones (n2 en el espacio n-dimensional) ~ estan representa-

das tensorialmente por la ecuación gJ"~ g <.1' ¿,~. •

De lo anterior podemos apreciar que una forma de encontrar las componen­tes d ((' del tensor conjugado es:

G ·:f. •

I <J id siendo el cofactor del rermino

en la matriz ~ 'l' y \ ~ 'J 1 el determinante de esta matriz, esto es así

62

porque como sabemos del álgebra de matrices, la matriz inversa de una matriz dada es igual a la transpuesta de la matriz de los cofactores divi­dida~or~u determinante y como 31J' es una matriz simétrica (~I'J·=¡","i.~

;;. ji. gl' ::. dJ'l')) entonces coincide la matriz de los cofactores con su transpuesta.

Así como las componentes !lIJ' se pueden expresar en función de los vec-- -tores bases~.: (ll.i como los llamamos en el arto 3 ) de la misma ma-ne~ los ~t'j' se expresan en función de los vectores bases recíprocos

\{"X.~) si estamos en el espacio tridimensional: - a :t.,' -:"' a ' ---. ~ ~ ..,. ~:ú' .. e. + :t!. lz + ?x~ l~ "::: C7-X': tIC

é)'j, é91t fJj3 .;;J'j"

vectores unitaria; en el sistema cartesiano '1t 'í 1-,:1 J siendo - - --, , C. J (, J l..)

Ahora: - - d .:t.t.' - -.. d Xl' OYf.. '(j ::ú' • 'V :tJ' éf.Yj' ,

~ 1(1 - LK e¿ -- , - , , ;.> 'jI< é) .'J'~ O> 'j '" d JR.

~ --:o

~ kl!

, ;;) jJ' porque Lw. , l..t, = .

~ . .. "d.:ú' • ::?' '1 ~l' , 'V'Xj • • -- .;3 'j J< ;;; J J(

Comparando con 8-7 obtenernos :

, )

para seguir una convencióh am-

pliamente utilizada, seguiremos llamando ,por lo tanto " • , -. --11'

~ IJ :=- fr', ~ j Resumiendo lo obtenido hasta este momento con respecto al tensor métrico y su conjugado, tenemos:

l:fS 1...= dlJ el X t ti ';:f.J':= ~ ,'J' d :L.,' s el. ' d~' ~, J{(dx' J '!:: O, J

con: 3 c'~' ':. ~ K ,é> 'j ~ ;;f1O

ax J dX~

(k índice mudo: 1,2 1-- n)

- -~ ,', ~ J' , ,

~(f= ( -~ .q " a.:l l ax J

a'j;{ a'J~ -? •

• :,j

3 = ( ~IJ' : cofactor de ~IJ en la matriz ~) d.:; -.. a ::>/.4.'. -- d JI(

• -r1 -."

~L' • ~ J J

~t' = -- ( de 2-3 )

I

•

63

•

E s te último resultado surge así: J!, 'l.... d-;, ~:: d X¿·. c:i. '.)(. lo (de 5-17) ,

por lo tanto - 't. <:;. J l' d.5 :. <:J" d -:;¿ d ').'i

se obtiene' , )

En el caso de que el sistema coordenado considerado sea ortogonal, tene-- -mas: ~'i =: gL', ~i -= o ,para l..:J.{ ;enestecaso 1 ~':.I'f es igual al producto de todos los ténninos de la diagonal principal y el cDfactor de cada ~ ,'j" e s cero para c:::J:. J' e igual al producto de todos los término~.de la diagonal excluyendo el término ~I'J" para i=jJPor lo tanto de: ~ .. j;:. ~'J".deducimos que si el sistema coordenado es ortogonal en-

1$.:1'1 .. tonces: ~ t'J':::. ~"f:: o (l"* s') y tg-q,;: ~I"J: : 8-9) para • • c.::J .

Diferentes componentes de un tensor dado (ascenso v descenso de Índices)

Al principio del capítulo VI definimos que un tensor de orden 'r se puede considerar formado por un conjunto dado de componentes y qu= cada una de estas componentes está asociada, o pertenece a \{" vectores base; así en 3 dimensiones, un tensor de segundo orden se puede expresar de algu­na de estas cuatro maneras:

--. - ..., '?: -1 2. - -1 Al. /1 a.1. A t '. _ LI' d ""a.' ... A' z Q I 0...1.;- A :3 (.J.. a. +- A I a. l a.. +- 2. ~ 'L

"J - r¡ I I

2. ....... .... 3 _.... :) - --lo A) - -l .} A ~ al. a') .. A I a~ al ~ A z. al a..: .,. ,.., ") a~ a.. •

A", ' .l •

-A' ,-:: I a a, ....

..... -.. A 3,n1.(J lo U. -3

En la primera forma están dadas las componentes covariantes del tensor ( es decir referido al tensor a la base recíproca), en la segunda están da­das las componentes contravariantes (es decir referido al tensor a la base directa), en la tercera forma está referido el tensor por su primer índice (en este superíndice) a la base directa y por su segundo índice( subíndice) a la base recíproca , finalmente en la última forma e stá referido el tensor por su primer índice (en este caso subíndice) a la base recíproca y por su se­gundo índice (superíndice) a la base directa; en los casos 30. y 40. se ha

64

colocado un punto en donde hay espacio vacío de índice, por ejemplo en A~~. el punto a la izquierda de la j quiere decir que a la izquierda de

j no hay subíndice sino un superíndice que es 1. 'f el punto a la dere­cha de i quiere decir que a la derecha de i no hay otro superíndice sino el subíndice j ; es muy importante entonces colocar los puntos en el lugar preciso ya que de otro modo se presentaría una gran confusión, por ejem­plo si no se colocan puntos en los casos 30. y 40. tendremos Aj:, A j: es deci:" aparentemente no habría diferencia entre las componentes de la 3a. formé! y las de la 4a. lo cual es falso ya que si por ejemplo, en el caso del tensor de tensiones convenimos en que el primer índice (sea superíndice o subíndice) que aparezca representa la normal a la superficie sobre la cual se define la tensión entonces en el caso 3 esa norma está en la dirección

• • -"""11 - ---.

de los vectore s de la base directa ( A'. j' = A' i ar.: 0...1 ,siendo aL' vector directo) y en el caso 40. la normal al área está en dirección de los . . --. --. ---. . vectores de la base recíproca (A/ ;: AJ' L ai Ql' siendo Q I vector r,e-cIproco) p,or lo tanto son fundamentalmente distintas las componentes A Lj' Y las AJ L ,

Se nos presenta ahora la tarea de pasar de unas componentes dadas del ten­sor a otras componentes o sea encontrar nuevas componentes a partir de u-. ' nas dadas; por ejemplo: si conocemos las componentes A LJ como podemos encontrar las ' ALJ' ? Este problema ya lo hemos resuelto en el caso de tensores de orden ~ (o sea vectores) en el arto 5~ las ecuaciones 5-17 a y S-17b nos dicen

,

Al - A J g IJ' -Al'

,

- Ai 3iJ -- ' ' -- - '

~IJ' - 3 L.J :::: ,

tl:1 siendo ~ a,' . aJ y D.L • - , o sea las compo-

nentes del tensor métrico y conjugado estudiado.sen este artículo.

El procedimiento que debemos seguir para obtener nuevas componentes a partir de unas dadas consiste en reemplazar aquellos vectores base que de­bamos cambiar para que las componentes queden referidas a una nueva ba-se, por ejernp~o si: ,A c.'~ 1lJ' liL' ~' y necesitamos obtener l~~ com-ponentes A.L~,;:. A"j' Cit' al entonces en la expresión ... d~ Al; debe-mos reemplazar a.J en función de los vectores recíprocos QJ • El pro­blema se reduce pues a encontrar los vectores bases directos en función de los recíprocos y viceversa, los vectores recíprocos en función de los direc­tos.

En la parte "operacione s con vectore s en coordenadas curvilíneas" del ca.p, S obtuvimos:

•

65

5-16)

5-16 b) A,' = - -A ,a,.

:: CA.~·), -A • -t a

- -En e~ caso de que el vector A sea el vector base directo aJo

obtenernos:

Similannente :

\

• .. , 5-16 d

-Q' 'J

--. 1 . • d '

:::. o/L' O . 5-16 e

Estas dos últimas expresiones nos van a permitir encontrar las distintas componentes de un tensor.

• • • • J ~ Si tenemos te forma:

A¿J x se pueden obtener las AL' .• de la siguien-

A= --.

Hemos reemplazado el vector base directo a.L' en función de los vectores base recíproca a...i esto es: a:

t, = jlR al(

Queda así expresado el tensor en Íunción de la base recíproca por su pri­mer índice y de la base directa por el segundo y tercer índices o sea al efectuarse el producto interno Afj'i( ;I,.~se obtienen la s componentes mixtas A~~ ~ del tensor A. El re sultado, llamémoslo visual, fué la caida o

descenso del primer superíndice~ similarmente si tenemos las componentes Aij' JI.. se pueden obtener las componentes A::H de es ta manera ~

- ..... ;' ~I( ('.,l -.1 .... .t A.2·· - .... J'-I( A .=. A {J' K a t a a. :.:: A ij'1< g ~ (). o.::=. • J 1< a,R a. a. - 'JZ. -Hemos reemplazado oC: así! al,.':::. ~ L a Jl ; se obtiene pues:

,t.i.. t'J Tl·J'x = ALj'K g ;concluimos, que el ascenso de un subíndice i se

obtiene efectuando el producto interno del tensor (e s decir, sus componen­tes) por el tensor conjugado 3 t',.f Aplicando en forma reiterado el proced imiento a n te rior se pue den obtener mas componentes; por ejemplo u. par ti r de A w'l( s e con sigue :

A'J"( _ AL'J·i(Ci. A"'< _ A'J"O\. Ato{XQ (J A • • - o d) - 1 ,. ¿JJ'ff'TI;;' d ~'l di rm l..,.

• • .J

., K _ A L J K ql'n

:: AJI'J'r1, dI("" - d ... t'ffl) dXHl)

, . , Al~ '" ::: ..di j j( c¡ .

, rM ,r) <r s ""'" .J

etc .

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Si efectuamos el procedimiento inverso, o sea subímos los índices que habíamos bajado, debemos llegar a las componentes iniciales y en efec-to: A · J' p< q 2 L' -::. ~ L'it<

R.. a / I , ,

A· .)( ,'R tritrY) _ A I.J J(

RN'I'I. ~ () - ..

A ~('j :t''''' 8J(1Y! = A l..J ~ ..v _1"\ Q , ,

AL'. xi,.,." _ A' J Jo( ~ _, 8 - .J etc,

• •

Concluimos así que el proceso de descenso y ascenso de índices de un ten-sor dado ( o sea el proceso de encontrar nuevas componentes tensoz-iales ha partir de unas dadas) se efectúa por medio de la multiplicación inter­na del tensor dado (sus componentes) con el tensor métrico y el conjugado respectivamente.

•