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Convergence d'une méthode de LagrangeGalerkinpour un problème d'interaction entre un uidevisqueux et un corps rigide en formulation ALE

Guillaume Legendre

CEREMADE, Université ParisDauphine

Collaboration avec Takéo Takahashi

Groupe de travail applications des mathématiques,ENS Cachan Bretagne, Bruz, 16 janvier 2008

Guillaume Legendre Convergence d'une méthode de LagrangeGalerkin pour un problème d'interaction entre un uide visqueux et un corps rigide en formulation ALE

Un problème d'interaction uide-solide

On considère l'évolution d'un solide rigide S contenu dans une cavitébidimensionnelle (le domaine O) remplie d'un uide visqueux

Exemples de domaine O.

À l'instant t, le solide occupe le domaine

S(ζ(t), θ(t)) =ζ(t) + Rθ(t)x, x ∈ S

,

et le uide le domaine

F(ζ(t), θ(t)) = O \ S(ζ(t), θ(t))


Équations modélisant l'évolution du système

Équations de NavierStokes pour le uide visqueux

∂u

∂t+ (u ·∇)u− ν∆u+ ∇p = f dans F(ζ(t), θ(t)), t ∈ [0, T ],

divu = 0 dans F(ζ(t), θ(t)), t ∈ [0, T ],

u = 0 sur ∂O, t ∈ [0, T ],

Lois de Newton pour le solide rigide

M ζ′′(t) = −∫∂S(ζ(t),θ(t))

σ(u, p)n dΓ +

∫S(ζ(t),θ(t))

ρs f(x, t) dx, t ∈ [0, T ],

I θ′′(t) = −∫∂S(ζ(t),θ(t))

σ(u, p)n · (x− ζ(t))⊥ dΓ

+

∫S(ζ(t),θ(t))

ρs f(x, t) · (x− ζ(t))⊥ dx, t ∈ [0, T ],

Condition d'adhérence du uide sur la paroi du solide

u(x, t) = ζ′(t) + θ′(t)(x− ζ(t))⊥, x ∈ ∂S(ζ(t), θ(t)), t ∈ [0, T ],

et conditions initialesGuillaume Legendre Convergence d'une méthode de LagrangeGalerkin pour un problème d'interaction entre un uide visqueux et un corps rigide en formulation ALE

Quelques résultats théoriques

Concernant le caractère bien posé de ce type de problème :Desjardins & Esteban 2000 (existence globale de solutions faibles)Grandmont & Maday 2000San Martín, Starovoitov & Tucsnak 2002 (existence globale desolutions faibles)Takahashi 2003 (existence globale de solutions fortes)

Note : existence en l'absence de collision ou contact à vitesse relativenulleEn particulier, si

f ∈ C([0, T ];H1(O)2), u(0) ∈ H1(F)2, divu(0) = 0 dans F ,

u(0)(x) = ζ(1) + θ(1)x⊥, ∀x ∈ ∂S, et u(0) = 0 sur ∂Oet dist(S(ζ(t), θ(t)), ∂O) > 0, ∀t ∈ [0, T ].

alors

u ∈ L2(0, T ;H1(F(ζ(t), θ(t)))2) ∩H1(0, T ;L2(F(ζ(t), θ(t)))2)

∩ C([0, T ];H1(F(ζ(t), θ(t)))2),

p ∈ L2(0, T ;H1(F(ζ(t), θ(t)))), ζ ∈ H2(0, T ; R2), θ ∈ H2(0, T ; R).


Méthodes numériques de résolution

Méthodes utilisant un maillage xe :

domaines ctifs (Glowinski, Pan, Hesla, Joseph & Périaux 2000)

méthode de LagrangeGalerkin (San Martín, Scheid, Takahashi &Tucsnak 2005)

formulation pénalisée (Janela, Lefebvre & Maury 2005)

Méthodes permettant au maillage d'évoluer :

formulation Arbitraire LagrangienneEulérienne (Hu 1996)

formulation ALE et méthode de LagrangeGalerkin (Maury 1999)


Analyse numérique de schémas

Problèmes similaires d'interaction uide-structure :

interaction uide-structure élastique en dimension un en formulationALE : stabilité et convergence de schémas (Grandmont, Guimet &Maday 2001)

méthode de LagrangeGalerkin : convergence d'un schéma àmaillage xe (San Martín et al. 2005)

Problèmes impliquant des domaines en mouvement

Stabilité de schémas pour des formulations ALE d'une équationd'advection-diusion (Formaggia & Nobile 1999)

Estimations d'erreur pour le système de Stokes stationnaire enformulation ALE (Gastaldi 2001)

Estimations d'erreur pour le système de Stokes instationnaire enformulation ALE (San Martín, Smaranda & Takahashi, preprint)


Formulation variationnelle

Introduisons les espaces :

V(ζ, θ) =

(v, ξv, ωv) ∈ H1(F(ζ, θ))2 × R3 ; v = 0 sur ∂O

et v(x) = ξv + ωv(x− ζ)⊥, ∀x ∈ ∂S(ζ, θ)

et Q(ζ, θ) = L20(F(ζ, θ)) =

q ∈ L2(F(ζ, θ)) ;

∫F(ζ,θ)

q(x) dx = 0.

Formulation faible : pour tout t in (0, T ), trouver (u, ζ, θ, p) satisfaisant∫F(ζ(t),θ(t))

(∂u

∂t+ (u ·∇)u

)· v dx+M ξ′ · ξv + I ω′ωv

+ 2ν

∫F(ζ(t),θ(t))

D(u) : D(v) dx−∫F(ζ(t),θ(t))

p div v dx

=

∫F(ζ(t),θ(t))

f · v dx+ fM · ξv + fI ωv, ∀ (v, ξv, ωv) ∈ V(ζ(t), θ(t)),

−∫F(ζ(t),θ(t))

q divudx = 0, ∀q ∈ Q(ζ(t), θ(t)).

en posant notamment ξ = ζ′ et ω = θ′.


Méthode de LagrangeGalerkin pour la convection-diusion

C'est une méthode numérique combinant une approximation par élémentsnis avec une discrétisation de la dérivée particulaire par la méthode descaractéristiques (Pironneau 1982, Süli 1988).

Il est en eet bien connu que(∂u

∂t+ (u ·∇)u

)(x, t) =

d

dt[u(C(t; s,x), t)]|s=t

,

où l'on a déni la caractéristique C, pour tout x de F(ζ(s), θ(s)),comme solution de

∂C∂t

(t; s,x) = u(C(t; s,x), t),

C(s; s,x) = x.


Formulation Arbitraire LagrangienneEulérienne

Formulation introduite par Hughes, Liu & Zimmermann 1981, Donea,Giuliani & Halleux 1982

On dénit une vitesse du domaine, notée w, qui permet au maillage dediscrétisation de suivre l'évolution du domaine.

On met en évidence, via les caractéristiques associées à cette vitesse, unetransformation reliant une conguration de référence (initiale) dudomaine à la conguration courante :

A(t; 0, ·) : F → F(ζ(t), θ(t)), ∀t ∈ [0, T ].



On suppose que A(t; 0, ·) est un homéomorphisme et que l'applicationt 7→ A(t; 0,x) est diérentiable presque partout sur [0, T ].

La vitesse du domaine est alors dénie par :

w(x, t) =∂A∂t

(t; 0,A(t; 0, ·)−1(x)

), ∀x ∈ F(ζ(t), θ(t)),

avec t 7→ A(t; s,x), ∀x ∈ F(ζ(s), θ(s)), solution de∂A∂t

(t; s,x) = w(A(t; s,x), t)

A(s; s,x) = x.



La transformation ALE doit être compatible avec les espacesapparaisssant dans la formulation faible.

Proposition (Formaggia & Nobile 1999)

Supposons que la transformation ALE A(t; 0, ·) satisfasse, ∀t ∈ (0, T ),les conditions suivantes

F(ζ(t), θ(t)) = A(t; 0,F) est borné

et la frontière ∂F(ζ(t), θ(t)) est Lipschitzienne,

A(t; 0, ·) ∈W 1,∞(F)2, A(t; 0, ·)−1 ∈W 1,∞(F(ζ(t), θ(t)))2.

Alors, la fonction v appartient à H1(F(ζ(t), θ(t))) si et seulement si

v = v A(t; 0, ·) appartient à H1(F).



Il existe diverses façons de construire une transformation vériant cesconditions, notamment en résolvant un problème d'élasticité linéaire(Farhat, Lesoinne & Maman 1995, Gastaldi 2001) :

A(t; 0,x) = x+ d(x, t), ∀x ∈ F .

où le champ de déplacement d est solution de−∆d(·, t)− λ∇ divd(·, t) = 0 dans F ,

d(x, t) = ζ(t) + Rθ(t)x− x sur ∂S,

d(·, t) = 0 sur ∂O,

vérie toutes les conditions nécessaires, sous réserve que lesdéplacements du solide soient susamment petits.


Formulation ALE et méthode des caractéristiques

Idée de Maury : combiner formulation ALE et méthode deLagrangeGalerkin

On introduit pour cela la caractéristique B telle que

C(t; s,x) = A(t; s,B(t; s,x)), ∀x ∈ F(ζ(s), θ(s))

d'où ∂B∂t

(t; s,x) = (u−w)(B(t; s,x), t),

B(s; s,x) = x,

avec u(x, t) = [∇A(t; s,x)]−1u(A(t; s,x), t) et

w(x, t) = [∇A(t; s,x)]−1w(A(t; s,x), t).


Formulation ALE et méthode des caractéristiques

On obtient alors la formulation faible : pour tout t in (0, T ), trouver(u, ζ, θ, p) satisfaisant∫

F(ζ(t),θ(t))

d

dt[u (A (t; ·,B(t; ·,x)) , t)] (t) · v dx+M ξ′(t) · ξv + I ω′(t)ωv

+ 2ν

∫F(ζ(t),θ(t))

D(u) : D(v) dx−∫F(ζ(t),θ(t))

p div v dx

=

∫F(ζ(t),θ(t))

f ·v dx+fM (t)·ξv+fI(t)ωv, ∀ (v, ξv, ωv) ∈ V(ζ(t), θ(t)),

−∫F(ζ(t),θ(t))

q divudx = 0, ∀q ∈ Q(ζ(t), θ(t)).


Discussion sur l'approximation du domaine

Pour les besoins de l'analyse, nous ferons le choix d'une approximationgéométrique non conforme du solide

Nous souhaitons avoir l'inclusion du domaine uide approché dans ledomaine uide exact, ce qui requiert une approximation polygonalenon standard.

La mise en ÷uvre d'éléments nis courbes reste incertaine à causede la condition aux limites réalisant le couplage, incluse dansl'espace V(ζ(t), θ(t)).


Description du schéma

Algorithme de couplage semi-implicite : le nouveau domaine est obtenude manière explicite tandis que les non-linéarités et le couplage sonttraités implicitement.

On note h le pas de maillage initial et δt le pas de temps.

À l'étape k+ 1, nous supposons les approximations ζkh, θkh, u

kh, ξ

kh, ω

kh et

pkh connues, ainsi que les approximations des domaines solide et uide Skhet Fkh .



1 Calcul des approximations courantes de la position et de l'orientationdu solide rigide :

ζk+1h = ζkh + (δt) ξkh et θk+1

h = θkh + (δt)ωkh



2 Obtention de l'approximation courante du domaine :

Sk+1h =

ζk+1h + Rθk+1

h −θkh(x− ζkh), x ∈ Skh

et Fk+1

h = O\Sk+1h



3 Construction de la transformation ALE discrète

Ak+1h (x) = x+ dk+1

h (x), ∀x ∈ F0h,

avec

dk+1h (x) = ζk+1

h + Rθk+1hx− x, ∀x ∈ ∂S0

h, et dk+1h = 0 sur ∂O,

et ∫F0

h

∇dk+1h : ∇γh dx+ λ

∫F0

h

(divdk+1h )(div γh) dx = 0,

∀γh ∈ (P0h)

2 tel que γh = 0 sur ∂F0h.



4 Construction de la vitesse du domaine

On dénit

wh(x, t) =∂Ah

∂t

(t,Ah(·, t)−1(x)

)avec

Ah(x, t) =(tk+1 − t

δt

)Akh(x) +

(t− tk

δt

)Ak+1h (x),

∀x ∈ F0h, ∀t ∈ [tk, tk+1], et on pose

wkh = lim

t→tk, t>tkwh(·, t).



5 Construction des caractéristiques associées à la vitesse relative

On introduit Bh qui, ∀x ∈ Fk+1h , est solution de

∂Bh

∂t(t; tk+1,x) = (uk

h −wkh)(Bh(t; tk+1,x)),

Bh(tk+1; tk+1,x) = x,

où ukh(x) =[∇Ak+1,k

h (x)]−1

ukh(Ak+1,kh (x)) et

wkh(x) =

[∇Ak+1,k

h (x)]−1

wkh(Ak+1,k

h (x)), ∀x ∈ Fk+1h .

On pose alorsBkh = Bh(tk; tk+1, ·).



6 Calcul des approximations courantes de la vitesse et de la pression

Une triangulation T k+1h du domaine courant est obtenue à partir de

celle de l'itération précédente via la transformationAk,k+1h = Ak+1

h Akh.

On introduit alors les espaces d'éléments nis

Vk+1h =

(vk+1h , ξ

vk+1h

, ωvk+1

h) ∈ C(Fk+1

h )2 × R3 ;

vk+1h |K ∈ (P1(K)⊕ 〈λ1λ2λ3〉)2 , ∀K ∈ T k+1

h ,vk+1h = 0 sur ∂O

et vk+1h (x) = ξ

vk+1h

+ ωvk+1

h(x− ζk+1

h )⊥, ∀x ∈ ∂Sk+1h

,

Qk+1h =

qk+1h ∈ C(Fk+1

h ) ∩ L20(Fk+1

h ) ; qk+1h |K ∈ P1(K), ∀K ∈ T k+1

h

,



6 Calcul des approximations courantes de la vitesse et de la pression

et l'on résout : trouver (uk+1h , ξk+1

h , ωk+1h ) ∈ Vk+1

h et pk+1h ∈ Qk+1

htels que

∫Fk+1

h

(uk+1h − ukh Ak+1,k

h Bkh

δt

)· vk+1

h dx+Mξk+1h − ξkhδt

· ξvk+1

h

+ Iωk+1h − ωkhδt

ωvk+1

h+ 2ν

∫Fk+1

h

D(uk+1h ) : D(vk+1

h ) dx

−∫Fk+1

h

pk+1h div vk+1

h dx =

∫Fk+1

h

fk+1h ·vk+1

h dx+fk+1h,M ·ξvk+1

h+fk+1

h,I ωvk+1h

,

∀(vk+1h , ξ

vk+1h

, ωvk+1

h) ∈ Vk+1

h ,

−∫Fk+1

h

qk+1h divuk+1

h dx = 0, ∀qk+1h ∈ Qk+1

h ,


Résultat de convergence

Sous les hypothèses de régularité additionnelle

u ∈ C([0, T ];H2(F(ζ(t), θ(t)))2),du

dt∈ C([0, T ];L∞(F(ζ(t), θ(t)))2),

d2u

dt2∈ L∞(0, T ;L2(F(ζ(t), θ(t)))2), p ∈ C([0, T ];H1(F(ζ(t), θ(t)))),

ζ ∈W 3,∞(0, T )2, ω ∈W 2,∞(0, T ),

f ∈ C([0, T ];L∞(O)2),

nous avons le résultat suivant.


Résultat de convergence

Théorème

Supposons qu'il existe deux constantes positives cs et Cs telles que

cs h1/2 ≤ δt ≤ Cs h1/2.

Alors, sous les hypothèses mentionnées précédemment et d'autres,

usuelles, sur la discrétisation en espace, il existe deux constantes positives

C et κ, ne dépendant ni de h, ni de δt, telles que, ∀δt ∈ (0, κ) et

∀k ∈ 0, . . . , N, nous avons

|ζ(tk)− ζkh|+ |θ(tk)− θkh| ≤ C(δt),

‖u(A(tk; 0, ·), tk)−ukh Akh‖L2(F)2 + |ξ(tk)−ξkh|+ |ω(tk)−ωkh| ≤ C(δt).


Plan de la preuve

Une diculté majeure provient de la consistance en temps.

Il faut s'inspirer ou adapter des techniques d'analyse existantes pour desproblèmes en domaines xes (Achdou & Guermond 2000 notamment).


Plan de la preuve

1 On injecte la solution exacte dans le schéma. La régularitéadditionnelle supposée permet de montrer qu'elle satisfait unsystème d'équations semi-discrètes perturbées :

u(·, tk+1)− u(C(tk; tk+1, ·), tk)

δt−ν∆u(·, tk+1)+∇p(·, tk+1) = f(·, tk+1)

+ ekdtu dans F(ζ(tk+1), θ(tk+1)),

Mξ(tk+1)− ξ(tk)

δt= −

∫∂S(ζ(tk+1),θ(tk+1))

σ(u, p)n(x, tk+1) dΓ

+ fM (tk+1) + ekξ,

Iω(tk+1)− ω(tk)

δt= −

∫∂S(ζ(tk+1),θ(tk+1))

(x−ζk+1h )⊥·σ(u, p)n(x, tk+1) dΓ

+ fI(tk+1) + ekω,


Plan de la preuve

2 Changement de variables ramenant le solide exact à la position dusolide approchéOn utilise une transformation inspirée de Inoue & Wakimoto 1977 etdéjà utilisée dans San Martín et al. 2005 :

Xk+1 : F(ζ(tk+1), θ(tk+1)) 7→ F(ζk+1h , θk+1

h )

d'où le système

Uk+1 − (JYk+1 Xk+1)(JXk Ck)(Uk Ck)

δt− ν [Lk+1Uk+1]

+ [Gk+1Pk+1] = Fk+1 + Ekdtu dans F(ζk+1

h , θk+1h ),

MΞk+1 −Ξk

δt= −

∫∂S(ζk+1

h,θk+1

h)

σ(Uk+1,Pk+1)n dΓ + Fk+1M + Ek

ξ,

IΩk+1 − Ωk

δt= −

∫∂S(ζk+1

h,θk+1

h)

(x−ζk+1h )⊥·σ(Uk+1,Pk+1)n dΓ+Fk+1

I +Ekω,

conduisant à une formulation variationnelle, posée sur le domaineF(ζk+1

h , θk+1h ), similaire à celle utilisée par le schéma.


Plan de la preuve

3 Étude de consistance en espace et projection de la vitesse et lapression sur les espaces d'éléments nisL'approximation du domaine considérée permet d'utiliser la

Proposition (San Martín et al. 2005)

Supposons les déplacements du solide petits. Alors, ∀k ∈ 0, . . . , N, il existeun unique quadruplet (V k

h, ξV kh, ωV k

h, Qkh) ∈ Vkh × Qkh satisfaisant

2ν

∫F(ζk

h,θk

h)

D(Uk − V kh) : D(vkh) dx−

∫F(ζk

h,θk

h)

(Pk −Qkh) div vkh dx = 0,

−∫F(ζk

h,θk

h)

qkh div(Uk − V kh) dx = 0,

∀(vkh, ξvkh, ωvk

h, qkh) ∈ Vkh × Qkh. De plus, il existe une constante C telle que

‖Uk − V kh‖L2(O)2 ≤ Ch

(1 + |ζ(tk)− ζkh|+ |θ(tk)− θkh|

)2,

‖∇(Uk − V kh)‖L2(O)4 ≤ Ch1/2

(1 + |ζ(tk)− ζkh|+ |θ(tk)− θkh|

)3/2.


Plan de la preuve

4 Diérence des formulations variationnelles et choix de V k+1h − uk+1

hcomme fonction test

1

δt‖V k+1

h −uk+1h ‖2

L2(Fk+1h

)2+M

δt|ξV k+1

h−ξk+1

h |2 +I

δt|ωV k+1

h−ωk+1

h |2

+ 2ν ‖D(V k+1h − uk+1

h )‖2L2(Fk+1

h)4

dx

=1

δt

∫Fk+1

h

(Uk Ck − ukh Ak+1,k

h Bkh

)· (V k+1

h − uk+1h ) dx

+M

δt(ξV k

h− ξkh) · (ξ

V k+1h− ξk+1

h ) +I

δt(ωV k

h− ωkh)(ω

V k+1h− ωk+1

h )

+

8∑i=1

Ei.


Plan de la preuve

4 Diérence des formulations variationnelles et choix de V k+1h − uk+1

hcomme fonction test

1

δt‖V k+1

h −uk+1h ‖2

L2(Fk+1h

)2+M

δt|ξV k+1

h−ξk+1

h |2 +I

δt|ωV k+1

h−ωk+1

h |2

+ 2ν ‖D(V k+1h − uk+1

h )‖2L2(Fk+1

h)4

dx

=1

δt

∫Fk+1

h

(Uk Ck − ukh Ak+1,k

h Bkh

)· (V k+1

h − uk+1h ) dx

+M

δt(ξV k

h− ξkh) · (ξ

V k+1h− ξk+1

h ) +I

δt(ωV k

h− ωkh)(ω

V k+1h− ωk+1

h )

+

8∑i=1

Ei.


Plan de la preuve

5 Des estimations et une récurrence conduisent au résultat annoncé.


Conclusion et perspectives

Convergence of a LagrangeGalerkin method for a uid-rigid body system

in ALE formulation, G. Legendre & T. Takahashi, preprint hal-00142870.

Cas d'un solide rigide polygonal (domaine singulier) :l'approximation géométrique du domaine est conforme et le schémasemble utilisable avec des méthodes de type complément singulier.

Amélioration de la discrétisation en espace pour retrouver l'ordre deconvergence attendu

Implémentation numérique à faire

Cas d'un solide élastique


Documents

Convergence d'une méthode de Lagrange--Galerkin pour un ...€¦ · méthode de Lagrange Galerkin (San Martín, Scheid, akTahashi & ucsnakT 2005) formulation pénalisée (Janela,