CONTROLO - ULisboausers.isr.ist.utl.pt/~fmg/controlo05-06-sem2/Cap2-Tempo-ParteI.pdf4 a 5 K .a cons tan te de tempo 1 declive = K0. = 0 6 3. 2% 86.5% 95 % 9 8% Tempo de estabelecimento

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2005/2006 1/Cap.2Setembro.2005

MODELAÇÃO/RESPOSTA NO TEMPO

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

CONTROLO3º ano – 2º semestre – 2005/2006

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 2 – Modelação de Sistemas Físicose Resposta no Tempo

PARTE I

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Setembro de 2001revistas em Março de 2002,

Setembro de 2004 e Setembro de 2005

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos

autores



M

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al

MODELAÇÃOREPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA eRESPOSTA NO TEMPOde sistemas físicos

• Sistemas mecânicos• Circuitos eléctricos• Sistemas electromecânicos• Sistemas térmicos• Sistemas hidráulicos• Dinâmica de populações• ......

Entrada Saída

r(t) y(t)Sistema

Representação matemática• De entrada-saída – relaciona directamente a entrada com

a saída

• Equação diferencial

• Função de Transferência (para SLITs)

• De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema



M

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al

Sistemas mecânicos de translação

Lei de Newton (séc. XVII)

– F = soma das forças aplicadas ao corpo (N)– v = vector velocidade do corpo (m/s)– m = massa do corpo (Kg)– mv= momento linear Kgm/s

A força total aplicada a um corpo rígido é igual à

derivada em ordem ao tempo do seu momento linear

F= d(mv)/dt



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al

Sistemas mecânicos de translação• Elementos básicos

X2

2

dt)t(xd

m)t(f =

Massa

Armazena energia cinéticam f(t)

Mola X

K

)t(x K)t(fs −=

Mola armazena energia potencial

K=constante da mola

Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0)

fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão).

K )t(x K

)t(fs



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al

Sistemas mecânicos de translação

• Elementos básicos

Atrito

dt)t(xd

)t(fd β−=

Atrito - Elemento dissipador de energia

β=coeficiente de atrito viscoso

A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade

• simplificação da realidade

• é usualmente uma função não linear da velocidade

X

β

β

Xx(t)

dt)t(xd

β

)t(fd



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al

Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem

X

β

m f(t) Força externa aplicada

f(t) dt)t(xd

(t)v =Sistema

dt)t(dv

mdt

)t(xdmaplicadas forças 2

2

==∑

dt)t(dv

m)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+

A força de atrito opõe-se ao movimento

)t(f)t(vdt

)t(dvm =β+

• Representação de entrada-saída

o no domínio do tempo

o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem

o Sistema de 1ª ordem

Força externa

Força do atrito

Lei de Newton



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al

Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo

)t(f)t(vdt

)t(dvm =β+

• Para

�Uma entrada f(t)=F para t≥0

�A massa inicialmente em repouso, v(0)=0

• Como é a evolução temporal da velocidade ?

tme

FF)t(v

β−

β−

β= Para 0t ≥

Resolução da equação diferencial

Resposta forçada Resposta natural

βF

t

F

F

saída

β1

Ganho em regime estacionário



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al


)t(f)t(vdt

)t(dvm =β+

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Representação matemática do sistema no domínio do tempo

• para uma dada entrada

• a saída pode obter-se por resolução da equação diferencial

Sistema Linear Invariante no Tempo

Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas

)s(F)s(V)s(msV =β+

∫∞

τ−

−

ττ=

=

=

0

s de)(x)s(X

)]t(f[TL)s(F

)]t(v[TL)s(V

Transformada de Laplaceunilateral

β+=

ms1

)s(F)s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Representação matemática do sistema no domínio da variável complexa s



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al

Transformada de Laplace Unilateral

∫∞

τ−

−

ττ=0

s de)(x)s(XTransformada de Laplaceunilateral

TLu

2

2

dt)t(xd

dt)t(dx

)t(x

)(x)(sx)s(Xs

)(x)s(sX

)s(X

−−

−

−−

−

00

0

2 &

TL

TL

TL

Propriedades da TL unilateral

Propriedades semelhantes às da TL bilateral, mas

( )44 344 21

43421

)(

0)0(

00

)()()(

ssX

st

x

ststdtsetxetxdte

dt

tdx

−

∞−

−

∞−−∞

∫∫−

−

−

−

−−=

verificação

• desempenha papel importante na análise de sistemas causais especificados por equações diferenciais com condições iniciais não nulas.

• pode ser considerada como a transformada bilateral de um sinal cujo valor para t<0 é zero.

t

x(t) Transformada bilateral = Transformada unilateral

ROCRegião de convergência



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al

Função de TransferênciaCaso Geral

SLITr(t) y(t)

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais

0.i.c)s(R)s(Y

)s(G=

=G(s)

R(s) Y(s)

Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =

r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TL TL-1

Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída

)s(R).s(G)s(Y =

Se as condições iniciais forem nulas

A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

Resolução da eq.diferencial



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al

Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem-continuação

msm1

)s(Gβ+

=

β

m f(t) )s(VG(s)

)s(F

u(t) = escalão de Heaviside

1sF

))t(f(TL s1

))t(u(TL =→=

β+=

ms1

.sF

)s(V

β+== −−

ms1

.sF

TL))s(V(TL)t(v 11

( )

β+

β−

β=

β+=

β+ )ms1

s1

.F)ms(s

m1Fms

1sF

TL-1

decomposição em fracções parciais

0t para e1

F1

F)t(v

)t(ue1

F)t(u1

F)t(v

tm

tm

≥β

−β

=

β−

β=

β−

β−

f(t) = F u(t)



M

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G(s)R(s) Y(s)

n grau de polinómiom grau de polinómio

)s(D)s(N

)s(G ==

001

1n1n

nn

011m

1mm

m Nn,m ,asasbsabsbsbsb

)s(D)s(N

)s(G ∈++++++++

==−

−

−−

L

L

Função de transferência

• própria ⇔ n≥m

• estritamente própria ⇔ n>m

• não própria ⇔ n<m

Só estudaremos este tipo de FT

Pólo

λ∈C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=∞

Zero

λ∈C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=0

)s(D)s(N

)s(G =

Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns

• Os pólos do sistema são os zeros de D(s)

• Os zeros do sistema são as zeros de N(s)

cuidado ao cancelar factores comuns nos polinómios N(s) e D(s)



M

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al


001

1n1n

nn

011m

1mm

m Nn,m ,asasbsabsbsbsb

)s(D)s(N

)s(G ∈++++++++

==−

−

−−

L

L

Representações alternativasSe não houver pólos e/ou zeros na origem, n≥m

0n21

m21 Nn,m ,)ps)....(ps)(ps()zs)....(zs)(zs(

K)s(D)s(N

)s(G ∈++++++

==

021

210 , ,

)1)....(1)(1(

)1)....(1)(1(

)(

)()( Nnm

sss

sTsTsTK

sD

sNsG

n

m ∈+++

+++==

τττ

i

ip

1=τ

i

iz

T1

=

Pólos {-p1, -p2, ... , -pn}

Zeros {-z1, -z2, ... , -zm}

Forma das constantes de tempo

Se -pi for um pólo real

constante de tempo

0K ganho estático Atenção ao valor do ganho estático quando houver pólos

e/ou zeros na origem

(em rad/seg)

(em seg)

i

ip

1=τ



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Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem-continuação

msm1

)s(Gβ+

=

β

m f(t) )s(VG(s)

)s(F

σ

jw

mβ

−

pólo =mβ

−

não tem zeros

1m

=β

375.0m

=β

|pólo| a aumentar

σ

jw

375.0−1−

Quando aumenta,

• a resposta do sistema torna-se mais rápida.

• a constante de tempo diminui

• o regime transitório atenua-se mais rapidamente

mβ

−

constante de tempo= β

m

β+β=

ms111

)s(GFT na forma das constantes de tempo

75.0=β

Ganho estático= = 1.33β1

(seg)

(rad/seg)



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al

Resposta no TempoCaso Geral – 1ªordem

R(s) Y(s)as

aK)s(G 0 +

=

σ

jw

a−

Pólo = -a (rad/seg)

Constante de tempo = 1/a (seg)

Ganho estático = K0

r(t)=u(t)s1

)s(R =as

Ks

Kas

a.

s1

K)s(Y 000 +

−=+

=

at00 eKK)t(y −−= Para t≥0

K0

a1

a2

a3

a4

a5

a.Ktempo de tetancons

1.Kdeclive 00 ==

63. 2

%

86.5

%

9 5%

9 8%

Tempo de estabelecimento (a 2%)– tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de ±2% do valor final.

tempo de tetancons*4a4

ts ==

ts a 5%

a3

ts =



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al

Teorema dos Valores Inicial e Final

Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (SLIT)

)]t(x[TL)s(X =Teorema do Valor Inicial

)s(sX lim)t(xlims0t ∞→→

=+

quando os limites existem

Teorema do Valor Final

)s(sX lim)t(xlim0st →∞→

= quando os limites existem

De que modo estes teoremas podem ser usados na análise do comportamento (da saída) de SLITs ?

G(s)R(s) Y(s)

)s(R).s(G)s(Y =

Sem o cálculo explícito da saída para uma da entrada é possível avaliar valores particulares da saída:

),....0(y ),0(y ),t(ylim ),0(yt

&&&∞→



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Teorema dos Valores Inicial e Finalno cálculo de características da saída de um SLIT

Valor Inicial da Saída

)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylimss0t ∞→∞→→

==+

Valor Final da saída

)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylim0s0st →→∞→

==

G(s)R(s) Y(s)

Entrada escalão unitário

)s(G lims1

)s(sG lim)t(ylimss0t ∞→∞→→

==+s

1)s(R =

Entrada escalão unitário

)s(G lims1

)s(sG lim)t(ylim0s0st →→∞→

==s1

)s(R =

Valor do ganho em regime estacionário



M

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Ganho Estáticoexemplos

β

m f(t)

)s(X)s(F)s(G1

)s(V)s(F

msm1β+

)s(X

s1

)ms(sm1

)s(G1 β+=

∞==→

)s(GlimK0s

0

X

Entrada=f(t)

Saída = x(t)este sistema tem um pólo na origem (a posição

é o integral da velocidade)



M

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A FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i.não nulas

Utilização da Função de Transferência na obtenção da resposta de um SLIT

r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TL TL-1

)s(R).s(G)s(Y =

Resolução da eq.diferencial

Se as condições iniciais forem nulas

E se as condições iniciais não forem nulas?

Não é possível continuar a usar a Função de Transferência ?

G(S)

R(s)

c.i. ≠0

TLueq.diferencial Y(s) y(t)

TL-1

Já tem em linha de conta as c.i.exemplo

)(/)()( sRsYas

KsG =

+=

1)0(y =−

)t(Kr)t(aydt

)t(dy=+

)s(KR)s(aY)0(y)s(sY =+− −

)s(Ras

Kas)0(y

)s(Y+

++

=−

)t(y

TL-1

TLu



M

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al


X

m f(t)Força externa aplicada

f(t) (t)xSistema

2

2

dt)t(xd

maplicadas forças =∑

2

2

dt)t(xd

m)t(Kxdt

)t(dx)t(f =−β−

• Representação de entrada-saídao Sistema de 2ª ordem

o Dois pólos. O sistema não tem zeros.

β

K

dt)t(xd

β−

)t(Kx−

)t(f)t(Kxdt

)t(dxdt

)t(xdm 2

2

=+β+

)s(F)s(KX)s(sX)s(Xms2 =+β+

Ksms1

)s(F)s(X

)s(G 2 +β+==

TL com condições iniciais nulas



M

. Isa

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al

Sistema mecânico de translaçãoexemplo 2 - 2ªordem

β

m f(t)

X

Objectivo: controlar o sistema em posição

)s(V)s(F

msm1β+

)s(X

s1K+

_

)s(R

Qual é a função de transferência do sistema controlado?

)s(G1

[ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X 11 −==

)s(R)s(KG)s(X))s(KG1( 11 =+

)s(KG1)s(KG

)s(R)s(X

1

1

+=

mK

mss

mK

)s(R)s(X

)s(G2 +

β+

==

• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros

• ganho estático = ?



M

. Isa

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al

Resposta no Tempocaso geral – sistema de 2ª ordem sem zeros

2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=G(s)R(s) Y(s)

Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?

• depende da localização dos pólos

0wsw2s 2nn

2 =+ζ+

Pólos complexos conjugados

1wws 2nn −ζ±ζ−=

10 <ζ≤

1=ζ

1>ζ

Pólo real duplo

Pólos reais distintos

2nn 1jww ζ−±ζ−

nn ww −=ζ−

1ww 2nn −ζ±ζ−

Sistema subamortecido

Sistema criticamente amortecido

Sistema sobreamortecido

>>ζ

nw

nw−

njw

njw−

djw

djw−

ζ=θ arcsin

0=ζ

0=ζ

1=ζ

nwζ−

21 ζ−= nd ww



M

. Isa

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al

Resposta no Tempocaso geral-2ª ordem sem zeros

0 ,1wn =ζ=

0.3 ,1wn =ζ=

1 ,1wn =ζ=

2 ,1wn =ζ=

Sistema subamortecido

Sistema criticamente amortecido

Sistema sobreamortecido



M

. Isa

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al

Resposta no Tempocaso geral-2ª ordem sem zeros –derivada na origem

0.3 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido

zoom zoom

A derivada na origem é nula

Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:

0wsw2s

swlim)t(ylim 2

nn2

2n

s0t=

+ζ+=

∞→→ +

&



M

. Isa

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al

Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros - Subamortecido 10 <ζ≤

43421dw

2nn2,1 1wjws ζ−±ζ−=pólos complexos

Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas

-- coeficiente de amortecimento

Wd – frequência das oscilações amortecidas

ζ

Resposta a uma entrada escalão unitária

)t1wsin(e1

11)t(y 2

ntw

2

n Ψ+ζ−ζ−

−= ζ−

ζ

ζ−=Ψ

21arctg

parte real dos pólos

parte imaginária dos pólos

Consequência de o ganho estático ser unitário

Nota: wn actua apenas como factor de escala de tempo

S

Td

tp ts

%2±sobreelevação

Tempo de pico Tempo de estabelecimento

Período das oscilações

0t ≥



M

. Isa

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al

Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – SubamortecidoCaracterísticas da resposta

• Pontos em que a derivada se anula

•Período das oscilações - Td

•Tempo de pico - tp

•Sobreelevação – S%

0dt

)t(dy= ,...2,1,0n

1w

nwn

t2

nd

=ζ−

π=

π=

dd w

2T

π=

Para n=0 0)0(y =+& A derivada na origem é nula

Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)

2T

wt d

dp =

π= n=1

final

finalmax

yyy

100%S−

=

21pmax e1)t(yy ζ−

ζπ−

+==

21e.100%S ζ−

ζπ−

=

Só depende do coeficiente de amortecimento

↓↑⇒⇔↑ pd tw pólos dos imaginária parte

↑⇒↓ζ %S



M

. Isa

bel R

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asco

al


•Tempo de estabelecimento a 2% - ts

ns w

4t

ζ=

Valores aproximados

Verifique a analogia com os sistemas de 1ªordem

ns w

3t

ζ=a 5%

• Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de ± 2% do valor final

• A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem

)t1wsin(e1

11)t(y 2

ntw

2

n Ψ+ζ−ζ−

−= ζ−

02.0e1

1 tw

2

n =ζ−

ζ−

1)t1wsin( 2n =Ψ+ζ−

aproximação

n

sw

tζ

6.4=a 1%

a 2% ↓↑⇒⇔↑ sn tw |pólos dos real parte| ζ



M

. Isa

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al


•Tempo de subida - tr

Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final

trNão há uma expressão analítica simples que relacione tr com o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.

Mas há expressões aproximadas

n

rw

t8.1

≅



M

. Isa

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Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – SubamortecidoVários exemplos

Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001Reprodução proibida



M

. Isa

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al

Resposta no Tempo2ª ordem sem zeros – Sistema criticamente amortecido

nw−

1=ζ

2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=

2n

2n

)ws(w

)s(G+

=

1=ζ

s1

)s(R =entrada escalão de amplitude unitária

n

32

n

212

n

2n

wsc

)ws(c

sc

)ws(sw

)s(Y+

++

+=+

=

twtwn

nn etew1)t(y −− −−=

twn

n)tew1(1)t(y −+−=

0t ≥

0t ≥

ganho estático unitário



M

. Isa

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al

Resposta no TempoSistemas de ordem superior só com pólos

)as)(wsw2s(w.a

)s(G 2nn

2

2n

++ζ+=

s1

)s(R =as

Rw)ws(

wR)ws(Rs

R)s(Y 4

2d

2n

d3n21

++

+ζ++ζ+

+=

at4d3d2

tw1 eR)twsinRtwcosR(eR)t(y n −ζ− +++= 0t ≥

• De que modo um pólo influencia a resposta global?

• Através de:

– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)

– parte real - que determina o ritmo de decaimento da componente transitória associada

– resíduo associado – que depende da localização dos outros pólos e zeros.



M

. Isa

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asco

al

Resposta no TempoSistemas de ordem superior só com pólos

a=1

a=3

a=8

sistema de 2ª ordem

)25s4s)(as(a*25

)s(G 2 +++=

-1-3-8

-2

� Quando |a| aumenta• a influência do pólo real diminui• O pólo torna-se “menos dominante”• A resposta é “dominada” pelos pólos complexos

� Em qualquer das situações o sistema torna-se mais lento• A largura de banda DECRESCE tanto mais quanto maior for |a|

sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real

a =1, 3, 8 rad/seg



M

. Isa

bel R

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io P

asco

al

Resposta no TempoSistemas de ordem superior – pólos dominantes

)25s4s)(as(a*25

)s(G 2 +++=

� Quando |a| aumenta• a influência do pólo diminui• O pólo torna-se “menos dominante”• Os pólos complexos são pólos dominantes

� Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?

� Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas as contribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.

� Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezesmaior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.

)25s4s)(10s(250

)s(G 2 +++=

)25s4s)(1s101

(

25)s(G

2 +++=

)25s4s(25

)s(G 2 ++≅

O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o

ganho estático

3ªordem

2ªordem

Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no

tempo

Que acontece no domínio da frequência?

Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Resposta no TempoSistemas com zeros

• Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?

)cs)(bs()as(

abc

)s(G++

+=


Entrada escalão de amplitude unitária

)cs

Rbs

Rs

R(

abc

)s(Y 321

++

++=

-b

-c -aCálculo geométrico dos resíduos

)cb)(c(ac

R

)bc)(b(ba

Rbca

R

3

2

1

−−+−

=

−−−

=

=

• Os resíduos R2 ou R3 serão pequenos se o zero estiver próximo de pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.

)eReRR(a

bc)t(y ct

3bt

21−− ++=

32 RR << )eRR(a

bc)t(y ct

31−+=

aproximação

______



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Resposta no TempoSistemas com zeros

• Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?

)1s)(4s()as(

a4

)s(G++

+=


Zero = -3.5 Zero = -2.5

Zero = -2.0 Zero = -1.1

Regime transitório associado ao pólo em - 4

Regime transitório associado ao pólo em - 1

)1s(1

)1s)(4s()5.3s(

5.34

)s(G+

≅++

+=

4s4

)1s)(4s()1.1s(

1.14

)s(G+

≅++

+=

Regime transitório associado ao pólo em -1

Pólo -1






M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Resposta no tempoPólos não dominantes -Redução de ordem

Em que condições:Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?

• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES– o resíduo associado ao pólo é pequeno

• Proximidade com um zero

– a parte real do pólo é elevada• Regime transitório extingue-se muito rapidamente

Como se faz a aproximação ?– despreza-se o pólo e o zero– despreza-se o pólo

Cuidado a ter na aproximaçãoO sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático

]3)2s)[(20s)(1s()1.1s(236

)s(G 22 +++++

=

exemplo



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Resposta no TempoSistemas com zeros - Efeito de um zero adicional

2n

2n

)ws()bs(

bw

)s(G+

+=

Para entrada escalão unitário

n2

n

nn2

n

2n

ws1

)ws(b/w)bw(

s1

)ws(s)bs(

bw

)s(Y+

−+

−+=

+

+=

0t ,e1tb

)bw(w1)t(y twnn n ≥

−

−+= −

1 pólo duplo e 1 zero

1)(yb

w)0(y

0)0(y2n

=∞

=

=

+

+

&

Características da respostaUse os teoremas dos valores

inicial e final para chegar a estas conclusões

Pode ser negativo se o zero estiver no

spcd



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


• Pólo duplo e zero menor do que os pólos

2n

2n

)ws()bs(

bw

)s(G+

+=

-wn-b

bw0 n <<

• Pólo duplo e zero no spce menor do que os pólos

nwb0 <<-wn

-b

4b

2wn

=

=

1b

2wn

=

=

1)t(y ≥ )bw(wb

tnn −

≥

Existe sobreelevação

)s(bY)s(sY)ws(s

1b

w)bs(

)ws(s)bs(

bw

)s(Y

11

)s(Y

2n

2n

2n

2n

1

+=+

+=

=++

=

44 344 21

Combinação linear de um sinal e da sua derivada



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


• Pólo duplo e zero no spcd

-wn-b

nw0b <<

Derivada na origem é negativa

Sistema tem um zero no spcd – sistema de FASE NÃO MÍNIMA



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistemas de fase não mínima

• Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um pólo e/ou um zero no semi-plano complexo direito

– Pólo no spcd – instabilidade– Qual é o efeito de um zero no spcd ?

• Exemplo – Barrilete– Centrais termoeléctricas– Produção de vapor

r(t) h(t)

Caudal de água fria à entrada

Altura da água no barrilete

– Relação entre a abertura da válvula da água fria e a altura da água no barrilete depende de:

– Efeito rápido de contracção da água devido à injecção de água fria

– Efeito de integração devido à adição de massa

barrilete

Lento

Rápido



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistemas de fase não mínimaExemplo - Barrilete

• Para certa relação de K1 e ττττ o sistema tem um zero no semi-plano complexo direito (τ τ τ τ <1/ K1 )

• Nos sistemas reais τ<<1, K1<<1.

)s(R)s(H

)s(R)s(H

)s(R)s(H

)s(G 21 +==

)1s(ss)1K(K

1s1

sK

)s(G 111

+τ

−τ+=

+τ−=

entrada escalão r(t) =(t)



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistema de fase não mínima

. Manipulador Rígido

θΤ

T-binário motor

. Manipulador Flexível

t0

T(t)

t0

θ(t)

entrada

saída

θΤ

T-binário motor

t0

T(t)

t

θ(t)

entrada

saída

Efeito de “chicote”(FASE NÃO MÍNIMA)



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistema de fase não mínimaAeronave

Princípio básico em aerodinâmica(geração de força de sustentação numa asa)

Manobra de mudança de altitude

O leme de profundidade deflecte gera força Lgera binário T que roda a aeronave (para atingir uma altitudeSuperior) á custa da força de propulsão dos motores.

mas ... L é uma força que faz a aeronave perder

altitude na fase inicial da manobra! (Fase não mínima)



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo mais complexo-4ªordem com zeros

f(t) (t)x2Sistema

β3

m1 m2

K1

K2

K3

X1 X2

f(t)

β1 β2

No referencial X1

21

2

12131121211 dt)t(xd

m)]t(x)t(x[)t(x)]t(x)t(x[K)t(xK)t(f =−β−β−−−− &&&

No referencial X2

22

2

21232212223 dt)t(xd

m)]t(x)t(x[)t(x)]t(x)t(x[K)t(xK =−β−β−−−− &&&

)s(F)s(X)sK()s(X)]KK(s)(sm[ 232121312

1 =β+−++β+β+

0)s(X)]KK(s)(sm[)s(X)Ks( 232322

2123 =++β+β+++β−

∆+β

=)Ks(

)s(G 23

∆ Polinómio de 4º grau

Sistema com 4 pólos e um zero

Documents

CONTROLO - ULisboausers.isr.ist.utl.pt/~fmg/controlo05-06-sem2/Cap2-Tempo-ParteI.pdf4 a 5 K .a cons tan te de tempo 1 declive = K0. = 0 6 3. 2% 86.5% 95 % 9 8% Tempo de estabelecimento