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Controllo di sistemi non lineari
P. Valigi
Ottimizzazione e Controllo
04 Marzo 2015
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
x = f (x) + g(x) u, x ∈ Rn, u ∈ R,
y = h(x), y ∈ R
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
x = f (x) + g(x) u, x ∈ Rn, u ∈ R,
y = h(x), y ∈ R
Modelli non lineari nello stato, affini negli ingressi.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
Ae :=∂ (f + g u)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe , u=ue
,
be :=∂ (f + g u)
∂u
∣
∣
∣
∣
x=xe
= g |x=xe.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
Ae :=∂ (f + g u)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe , u=ue
,
be :=∂ (f + g u)
∂u
∣
∣
∣
∣
x=xe
= g |x=xe.
Sistema lineare (approx piccolisegnali)
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
Ae :=∂ (f + g u)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe , u=ue
,
be :=∂ (f + g u)
∂u
∣
∣
∣
∣
x=xe
= g |x=xe.
Sistema lineare (approx piccolisegnali)
Se si riesce a stabilizzare il sistema lineare, lo stesso controllore stabilizzaanche il sistema non lineare.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
Ae :=∂ (f + g u)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe , u=ue
,
be :=∂ (f + g u)
∂u
∣
∣
∣
∣
x=xe
= g |x=xe.
Sistema lineare (approx piccolisegnali)
Se si riesce a stabilizzare il sistema lineare, lo stesso controllore stabilizzaanche il sistema non lineare.Limiti approccio:
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
Ae :=∂ (f + g u)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe , u=ue
,
be :=∂ (f + g u)
∂u
∣
∣
∣
∣
x=xe
= g |x=xe.
Sistema lineare (approx piccolisegnali)
Se si riesce a stabilizzare il sistema lineare, lo stesso controllore stabilizzaanche il sistema non lineare.Limiti approccio:
ok solo se x0 appartiene ad un opportuno intorno di xe ;
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione per approssimazione
x = f (x) + g(x) u,
y = h(x),
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe
f (xe) + g(xe) ue = 0
⇒
˙δx = Aeδx + beδu
Ae :=∂ (f + g u)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xe , u=ue
,
be :=∂ (f + g u)
∂u
∣
∣
∣
∣
x=xe
= g |x=xe.
Sistema lineare (approx piccolisegnali)
Se si riesce a stabilizzare il sistema lineare, lo stesso controllore stabilizzaanche il sistema non lineare.Limiti approccio:
ok solo se x0 appartiene ad un opportuno intorno di xe ;
non consente di definire a priori le prestazioni del sistemacomplessivo.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Approcci geometrici “globali”
Strumenti geometrici possono aiutare a risolvere il problema in modo piugenerale.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Approcci geometrici “globali”
Strumenti geometrici possono aiutare a risolvere il problema in modo piugenerale.Due strumenti:
trasformazioni di coordinate nello spazio di stato
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Approcci geometrici “globali”
Strumenti geometrici possono aiutare a risolvere il problema in modo piugenerale.Due strumenti:
trasformazioni di coordinate nello spazio di stato
retroazione non lineare.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
con inversa:
z1 =√
x21 + x22
z2 = atan2(x2, x1).
Nelle nuove coordinate:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
con inversa:
z1 =√
x21 + x22
z2 = atan2(x2, x1).
Nelle nuove coordinate:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),
Utilizzando il modello:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
con inversa:
z1 =√
x21 + x22
z2 = atan2(x2, x1).
Nelle nuove coordinate:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),
Utilizzando il modello:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
= (u cos(z2) + u sin(z2)) sin(z2) +
+z11
z1(u cos(z2) − u sin(z2)) cos(z2)
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
con inversa:
z1 =√
x21 + x22
z2 = atan2(x2, x1).
Nelle nuove coordinate:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),
Utilizzando il modello:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
= (u cos(z2) + u sin(z2)) sin(z2) +
+z11
z1(u cos(z2) − u sin(z2)) cos(z2)
= u cos(z2) sin(z2) + u sin(z2)2 +
−u cos(z2) sin(z2) + u cos(z2)2
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio
Sistema planare:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2) − u sin(z2))
Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
con inversa:
z1 =√
x21 + x22
z2 = atan2(x2, x1).
Nelle nuove coordinate:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),
Utilizzando il modello:
x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)
= (u cos(z2) + u sin(z2)) sin(z2) +
+z11
z1(u cos(z2) − u sin(z2)) cos(z2)
= u cos(z2) sin(z2) + u sin(z2)2 +
−u cos(z2) sin(z2) + u cos(z2)2
= u
x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2)
= (u cos(z2) + u sin(z2)) cos(z2) +
−z11
z1(u cos(z2) − u sin(z2)) sin(z2)
= u cos(z2)2+ u cos(z2) sin(z2) +
+u cos(z2)2− u cos(z2) sin(z2)
= u.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio (2)
Ricapitolando:Sistema in coordinate originali:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2)− u sin(z2))
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio (2)
Ricapitolando:Sistema in coordinate originali:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2)− u sin(z2))
Cambio di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio (2)
Ricapitolando:Sistema in coordinate originali:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2)− u sin(z2))
Cambio di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
Sistema nelle nuove coordinate:
x1 = u
x2 = u.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio (2)
Ricapitolando:Sistema in coordinate originali:
z1 = u cos(z2) + u sin(z2)
z2 =1
z1(u cos(z2)− u sin(z2))
Cambio di coordinate:
x1 = z1 sin(z2)
x2 = z1 cos(z2),
Sistema nelle nuove coordinate:
x1 = u
x2 = u.
In coordinate opportune, il sistema e lineare.OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R
n
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R
n
Per x ∈ A1, f (x) descrive un campo di vettori: campo vettoriale.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R
n
Per x ∈ A1, f (x) descrive un campo di vettori: campo vettoriale.
m campi vettoriali f1, . . . , fm, fi ∈ C∞(A1,A2), i = 1, 2, . . . ,m.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R
n
Per x ∈ A1, f (x) descrive un campo di vettori: campo vettoriale.
m campi vettoriali f1, . . . , fm, fi ∈ C∞(A1,A2), i = 1, 2, . . . ,m.
Fissato x ∈ Rn, i campi fi si riducono ad m vettori fi (x), i quali
determinano un sottospazio vettoriale G(x) di Rn.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R
n
Per x ∈ A1, f (x) descrive un campo di vettori: campo vettoriale.
m campi vettoriali f1, . . . , fm, fi ∈ C∞(A1,A2), i = 1, 2, . . . ,m.
Fissato x ∈ Rn, i campi fi si riducono ad m vettori fi (x), i quali
determinano un sottospazio vettoriale G(x) di Rn.
Distribuzione G(x): mappa che associa ad ogni punto x ∈ A1, unsottospazio vettoriale.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale
Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,
f ∈ C∞(A1,A2)
A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.
f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R
n
Per x ∈ A1, f (x) descrive un campo di vettori: campo vettoriale.
m campi vettoriali f1, . . . , fm, fi ∈ C∞(A1,A2), i = 1, 2, . . . ,m.
Fissato x ∈ Rn, i campi fi si riducono ad m vettori fi (x), i quali
determinano un sottospazio vettoriale G(x) di Rn.
Distribuzione G(x): mappa che associa ad ogni punto x ∈ A1, unsottospazio vettoriale.
Dati f1, . . . , fm, la corrispondente distribuzione sara denotata con
G := span{f1, . . . , fm}.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (2)
Possono essere estesi tutti i concetti associabili agli spazi vettoriali.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (2)
Possono essere estesi tutti i concetti associabili agli spazi vettoriali.
In particolare l’immagine di una distribuzione ed il rango di unadistribuzione.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (2)
Possono essere estesi tutti i concetti associabili agli spazi vettoriali.
In particolare l’immagine di una distribuzione ed il rango di unadistribuzione.
Operazione fondamentale tra campi vettoriali: parentesi di Lie.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (2)
Possono essere estesi tutti i concetti associabili agli spazi vettoriali.
In particolare l’immagine di una distribuzione ed il rango di unadistribuzione.
Operazione fondamentale tra campi vettoriali: parentesi di Lie.
Dati due campi vettoriali f e g , si dice parentesi di Lie, o prodotto
di Lie, e si indica con [f , g ], (od anche con adf g oppure Lf g), ilvettore cosi ottenuto:
[f , g ] :=∂ g
∂xf −
∂ f
∂xg .
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (2)
Possono essere estesi tutti i concetti associabili agli spazi vettoriali.
In particolare l’immagine di una distribuzione ed il rango di unadistribuzione.
Operazione fondamentale tra campi vettoriali: parentesi di Lie.
Dati due campi vettoriali f e g , si dice parentesi di Lie, o prodotto
di Lie, e si indica con [f , g ], (od anche con adf g oppure Lf g), ilvettore cosi ottenuto:
[f , g ] :=∂ g
∂xf −
∂ f
∂xg .
Ricorsivamente si definisce la parentesi di Lie di ordine i come:
ad if g := [f , ad i−1
f g ], i ≥ 1,
ad0f g := g .
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (3)
Applicazione al caso lineare
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (3)
Applicazione al caso lineare
x = Ax + bu
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (3)
Applicazione al caso lineare
x = Ax + bu
Ax e b campi vettoriali.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (3)
Applicazione al caso lineare
x = Ax + bu
Ax e b campi vettoriali.
[Ax , b] =∂ b
∂xAx −
∂ Ax
∂xb = −Ab = adAx b.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (3)
Applicazione al caso lineare
x = Ax + bu
Ax e b campi vettoriali.
[Ax , b] =∂ b
∂xAx −
∂ Ax
∂xb = −Ab = adAx b.
E quindi, la distribuzione
G = {b, adAx b, . . . adn−1Ax b}
vale, a meno di segni:
{b, adAx b, . . . , adn−1Ax b} = [b, Ab, . . . An−b]
Matrice di raggiungibilita del sistema lineare.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (4)
Distribuzioni commutative e distribuzioni involutive.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (4)
Distribuzioni commutative e distribuzioni involutive.
Due campi vettoriali f e g commutano se la loro parentesi di Lie eidenticamente nulla,
[f , g ] = 0.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (4)
Distribuzioni commutative e distribuzioni involutive.
Due campi vettoriali f e g commutano se la loro parentesi di Lie eidenticamente nulla,
[f , g ] = 0.
Per estensione, una distribuzione G := span{f1, . . . , fm} si dicedistribuzione commutativa se tutti i vettori che la compongonocommutano due a due:
[fi , fj ] = 0, i , j = 1, . . . ,m.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (4)
Distribuzioni commutative e distribuzioni involutive.
Due campi vettoriali f e g commutano se la loro parentesi di Lie eidenticamente nulla,
[f , g ] = 0.
Per estensione, una distribuzione G := span{f1, . . . , fm} si dicedistribuzione commutativa se tutti i vettori che la compongonocommutano due a due:
[fi , fj ] = 0, i , j = 1, . . . ,m.
La proprieta di commutativita di due vettori non dipende dallecoordinate nelle quali vengono rappresentati i vettori.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (4)
Distribuzioni commutative e distribuzioni involutive.
Due campi vettoriali f e g commutano se la loro parentesi di Lie eidenticamente nulla,
[f , g ] = 0.
Per estensione, una distribuzione G := span{f1, . . . , fm} si dicedistribuzione commutativa se tutti i vettori che la compongonocommutano due a due:
[fi , fj ] = 0, i , j = 1, . . . ,m.
La proprieta di commutativita di due vettori non dipende dallecoordinate nelle quali vengono rappresentati i vettori.
Una distribuzione G = span{f1, . . . , fm} si dice distribuzione
involutiva se la parentesi di Lie di due vettori qualunque delladistribuzione e un vettore ancora appartenente alla distribuzione:
[fi , fj ] ∈ G, i , j = 1, . . . ,m.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (5)
Ulteriore nozione: diffeomorfismo. Estensione della nozione ditrasformazione regolare di coordinate.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Strumenti di geometria differenziale (5)
Ulteriore nozione: diffeomorfismo. Estensione della nozione ditrasformazione regolare di coordinate.
Un’applicazione φ tra due spazi vettoriali e un diffeomorfismo se ebiiettiva ed inoltre sia φ sia φ−1 sono applicazioni regolari.
Condizione di invertibilita: matrice Jacobiana Jφ =∂φ
∂xnon
singolare.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:teorema
Teorema (Linearizzazione mediante trasformazione di coordinate)
Dato il sistema non lineare
x = f (x) + g(x) u, x(t0) = x0, x ∈ Rn, u ∈ R,
esso e trasformabile mediante un cambio di coordinate
ξ = φ(x)
in un sistema lineareξ = A ξ + b u
con
A =
0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...
.
.
....
. . ....
0 0 0 · · · 0
, b =
00...1
,
se e solo se la distribuzione
G = span{g , adf g , . . . , adn−1f
g}
e commutativa.
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Linearizzazione tramite retroazione: esempio
θm
l
x
y
x1 = x2
x2 = −
g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio
θm
l
x
y
x1 = x2
x2 = −
g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
x1 = θ posizione angolare;
x2 velocita angolare.
u coppia/forza esterna.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio
θm
l
x
y
x1 = x2
x2 = −
g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
x1 = θ posizione angolare;
x2 velocita angolare.
u coppia/forza esterna.
x = f (x) + g(x)u
y = h(x)
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio
θm
l
x
y
x1 = x2
x2 = −
g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
x1 = θ posizione angolare;
x2 velocita angolare.
u coppia/forza esterna.
x = f (x) + g(x)u
y = h(x)
f (x) =
[
x2
−
g
ℓsin(x1)
]
, g(x) =
[
01
mℓ2
]
, h(x) = x1,
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
il sistema a ciclo chiuso diviene:
x1 = x2
x2 = v
y = x1.
Catena di due integratori.
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
il sistema a ciclo chiuso diviene:
x1 = x2
x2 = v
y = x1.
Catena di due integratori.Stabilita?
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Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
il sistema a ciclo chiuso diviene:
x1 = x2
x2 = v
y = x1.
Catena di due integratori.Stabilita? No!
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Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
il sistema a ciclo chiuso diviene:
x1 = x2
x2 = v
y = x1.
Catena di due integratori.Stabilita? No!Legge stabilizzante (allocazioneautovalori)
v = −k1x1 − k2x2
OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari
Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
il sistema a ciclo chiuso diviene:
x1 = x2
x2 = v
y = x1.
Catena di due integratori.Stabilita? No!Legge stabilizzante (allocazioneautovalori)
v = −k1x1 − k2x2
Sistema a ciclo chiuso dopo laretroazione:
x1 = x2
x2 = −k1x1 − k2x2
y = x1.
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Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)
x1 = x2
x2 = −g
ℓsin(x1) +
1
mℓ2u,
y = x1.
I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:
u = mℓ2[g
ℓsin(x1) + v
]
,
il sistema a ciclo chiuso diviene:
x1 = x2
x2 = v
y = x1.
Catena di due integratori.Stabilita? No!Legge stabilizzante (allocazioneautovalori)
v = −k1x1 − k2x2
Sistema a ciclo chiuso dopo laretroazione:
x1 = x2
x2 = −k1x1 − k2x2
y = x1.
Funzione di trasferimento
W (s) =1
s2 + k2s + k1
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Caso generale: trasformazione di coordinate e retroazione
Problema (Linearizzazione esatta del legame ingresso-uscita)
Dato il sistema dinamico scalare
x = f (x) + g(x)u, x ∈ RnNL , u ∈ R
y = h(x), u ∈ R,
trovare, se possibile, una legge di controllo
u = α(x) + β(x)v
ed una trasformazione di coordinate
z = Φ(x)
tale che il legame ingresso-uscita, nelle nuove coordinate ed a ciclo
chiuso, sia descritto da un sistema lineare e raggiungibile:
z = Az + bv , x ∈ RnL
y = cz
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