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Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseCorso di Laurea in Ingegneria Informatica
Elaborato finale in Controlli Automatici
Controllo di sistemi discontinuiAnno Accademico 2016/2017
Candidato: Alessandro Di Paolamatr. N46/1085
Indice
1 Introduzione 1
2 Sliding Mode Control Classico 2
2.1 Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Pro e Contro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Il Pendolo 8
3.1 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Con-
trol 12
4.1 Scelta di σ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Esistenza della regione di scivolamento . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Progettazione del controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Robustezza del controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Conclusioni 19
Bibliografia 20
ii
Capitolo 1
Introduzione
In questo lavoro di tesi e descritta con particolare attenzione una tec-
nica di controllo discontinua chiamata sliding mode control.
La tecnica dello sliding mode control verra applicata con successo all’e-
quazione del pendolo semplice in modo tale da stabilizzarlo intorno ad un
punto desiderato. Questa tecnica inoltre, migliora il comportamento di-
namico del sistema e diventa molto utile quando esso opera in presenza di
disturbi sconosciuti e incertezze di impianto.
Nel prima parte dell’elaborato sono descritti l’idea e gli obiettivi di questa
tecnica di controllo non lineare, e in che modo viene scelta la superficie
di scivolamento dove le traiettorie del sistema dovranno convergere e la
legge di controllo necessaria a trattenere queste traiettorie sulla superficie.
L’esempio utilizzato per mostrare l’implementazione e l’efficacia di questa
tecnica di controllo e il pendolo semplice di cui viene descritta la dinamica
e l’equazione del moto, utilizzare questo tipo di sistema e di particolare
importanza pratica perche equazioni simili a quella del pendolo descrivono
sistemi piu complicati come ad esempio il circuito a giunzione di Josephson
e il modello del generatore asincrono collegato ad un cavo infinito. Il ca-
pitolo fondamentale e dedicato all’applicazione dello sliding mode control
al pendolo, quindi come viene disegnata la superficie di scivolamento e la
scelta degli ingressi di controllo. Infine, le previsioni teoriche fatte, sono
validate dalla simulazione con il software Matlab di cui sono presentati i
risultati.
1
Capitolo 2
Sliding Mode Control
Classico
Lo Sliding Mode Control e una legge di controllo discontinua proposta
dall’ingegnere russo Vladimir Utkin.
Questa tecnica e ampiamente utilizzata per stabilizzare un sistema non li-
neare attorno ad un determinato punto oppure specifiche di inseguimento
di una traiettoria nello spazio di stato. Il nome allude al fatto che, per
risolvere le specifiche di controllo, la traiettoria del sistema viene forzata a
scivolare su una superficie detta sliding surface. Questa metodologia offre
robustezza e versatilita; infatti e stata applicata con successo in molti si-
stemi di controllo non lineare tra i quali i veicoli sottomarini, manipolatori
robotici e motori di autoveicoli,
2.1 Sintesi
Dato il sistema non lineare:x = f(x) + g(x)u
y = h(x)(2.1)
L’idea chiave e quella di trovare un ingresso u(x) capace di portare il
sistema in una posizione desiderata che puo essere sia costante nel tempo,
ad esempio stabilizzazione attorno ad un punto desiderato oppure variabile
nel tempo ovvero inseguimento di una traiettoria desiderata nello spazio
di stato.
2
Capitolo 2. Sliding Mode Control Classico
La legge di controllo discontinua viene definita come:
u(x) =
u+(x), σ(x) > 0
u−(x), σ(x) < 0(2.2)
dove σ(x) e una funzione scalare che dovra essere scelta in modo da
soddisfare le specifiche di regolazione (tracking).
In particolare un’adeguata scelta di σ(x) e della legge di controllo per-
mettono che tutte le traiettorie del sistema convergono verso la superficie
σ(x) e soddisfano la dinamica desiderata, in modo che il sistema a ciclo
chiuso diventa un sistema dinamico detto switched system. La dinamica
dello sliding, cioe il campo vettoriale definito sulla discontinuita, puo es-
sere ricavato atttraverso il controllo equivalente ueq.
Scegliamo:
σ(x) = P Tx (2.3)
dove P T e un vettore arbitrario di parametri.
Il controllo equivalente viene espresso come:
σ(x) = P T x = P T [f(x) + g(x)ueq] = 0 (2.4)
quindi:
ueq = −PT f(x)
P T g(x)(2.5)
3
Capitolo 2. Sliding Mode Control Classico
Se vogliamo dare un’interpretazione grafica, la superficie divide lo spa-
zio di stato in due parti come mostrato in Fig 1:
Fig. 1: Superficie nello spazio di stato
In modo tale che:
x =
F+(x), x ∈ S+
F−(x), x ∈ S−(2.6)
dove:
S+ = {x ∈ R : σ(x) > 0}
S− = {x ∈ R : σ(x) < 0}
e
F+(x) = f(x, u+(x))
F−(x) = f(x, u−(x))
4
Capitolo 2. Sliding Mode Control Classico
Quando i campi vettoriali di S+ e S− puntano alla superficie nella stes-
sa direzione le traiettorie la attraversano in maniera trasversale (crossing),
come di vede in Fig. 2. La regione dove avviene cio e detta proprio regio-
ne di attraversamento e la condizione algebrica che determina la dinamica
del crossing e data da:
LF+σ(x) · LF−σ(x) > 0 (2.7)
dove:
LFσ(x) = ∇σT · F (2.8)
Fig. 2: Crossing della superfice
Altrimenti quando i campi vettoriali puntano entrambi alla superficie,
le traiettorie la colpiscono e rimangono intrappolate su di essa come si
vede nella Fig. 3.
Le condizioni algebriche che garantiscono lo sliding sono:
LF+σ(x) < 0 LF−σ(x) > 0 (2.9)
5
Capitolo 2. Sliding Mode Control Classico
Fig. 3: Sliding sulla superfice
La (2.9) implica anche la stabilita della regione di scivolamento e a
quel punto si dice che il sistema non lineare si trova in sliding mode ossia
in regime di sliding. In tale regime:
• σ(x) = 0
• Le traiettorie del sistema non escono dalla regione di scivolamento
Affinche la seconda condizione sia vera e necessario che la regione di
scivolamento sia stabile perche se cosı non fosse anche una piccola pertur-
bazione farebbe uscire le traiettorie da essa. Cio vuol dire che la u(x) che
si andra a scegliere deve soddisfare la (2.9).
Una volta che il sistema e in sliding mode ponendo:
σ(x) = 0
e sostituendo l’espressione del controllo equivalente nel modello del
sistema non lineare si ottengono le dinamiche a ciclo chiuso in sliding
mode dette anche sliding dynamics ossia le dinamiche del sistema dopo
aver applicato la ueq, ovvero la legge di controllo che trattiene le traiettorie
del sistema sulla superficie.
6
Capitolo 2. Sliding Mode Control Classico
2.2 Pro e Contro
Lo sliding control risulta essere robusto rispetto a perturbazioni strut-
turali del sistema da controllare, ed e relativamente semplice da proget-
tare inoltre puo essere utilizzato per ”rinforzare” una determinata azione
di controllo, ad esempio puo essere utilizzato insieme ad un controllo inte-
grale per eliminare l’errore[2].
Oltre a tutti questi lati positivi pero lo sliding mode control porta con se
una serie di problemi implementativi tra cui quello piu importante e la
presenza del chattering.
Fig. 4: Chattering
Questo problema e dovuto al fatto che quando portiamo le traiettorie
sulla superficie di scivolamento il sistema comincia ad oscillare a frequenza
infinita in prossimita della stessa. Le soluzioni piu comuni per questo tipo
di problema sono:
• Introduzione di un’isteresi
• Introduzione di un ritardo
• Saturazione
Con l’introduzione di queste soluzioni c’e un aumento della sicurezza
del sistema ma una perdita in termini di qualita e performance.
7
Capitolo 3
Il Pendolo
In questo capitolo presentiamo il modello del pendolo semplice su cui
verra implementato un esempio di Sliding Mode Control.
Fig. 5: Pendolo Semplice
Il pendolo in figura e costituito da un’asta rigida di lunghezza l e una
massa m alla sua estremita, mentre θ denota l’angolo sotteso dall’asta con
l’asse verticale. Il pendolo e libero di oscillare su tutto il piano verticale
e la massa m si muove formando un cerchio di raggio l. Per descrivere
l’equazione del moto del pendolo dobbiamo identificare le forze che agi-
scono sulla massa, ovvero, una forza gravitazionale verso il basso uguale
8
Capitolo 3. Il Pendolo
a g e una forza di attrito resistente al moto che assumiamo proporzionale
alla velocita della massa con coefficiente di attrito k. Detto cio possiamo
scrivere l’equazione del moto in maniera tangenziale alla direzione:
mlθ = −mg sin θ − klθ +u
l(3.1)
3.1 Dinamica
Possiamo scrivere l’equazione del pendolo nella forma canonica ponen-
do:
x1 = θ
x2 = θ
quindi:
x1 = x2
x1 = θ
L’equazione di stato risulta:
x1 = x2
x2 = − gl sinx1 − k
mx2 + 1ml2
u(3.2)
I punti di equilibrio del sistema si trovano in (nπ, 0) ma per la descri-
zione fisica del pendolo e chiaro che ha solo due punti di equilibrio che
corrispondono ai punti (0,0) e (π, 0). Gli altri punti di equilibrio sono
ripetizioni di queste due posizioni che corrispondono al numero di oscilla-
zioni complete che fa il pendolo prima di arrestarsi in uno dei due punti
di equilibrio. Queste due posizioni pero, sono ben distinte l’una dall’altra
perche mentre il pendolo puo rimanere a riposo nel punto (0,0), difficilmen-
te ci rimane nel punto (π, 0) perche in questa posizione anche un disturbo
infinitesimale puo spostare il sistema.
9
Capitolo 3. Il Pendolo
3.2 Equilibri
Per la simulazione del sistema del pendolo sono stati utilizzati i para-
metri della seguente tabella:
Parametro Simbolo Valore
Massa m 0.1Kg
Lunghezza della corda l 1m
Gravita g 10m/sec2
Attrito k 0.02
Tabella 3.1: Tabella dei valori
In Fig. 6 e mostrata la simulazione a Matlab del pendolo partendo
da un’unica condizione iniziale nel punto [0 0]; si nota come il sistema si
stabilizza attorno al suo punto di equilibrio.
Fig. 6: Equilibrio del Pendolo
Mentre, in Fig. 7, e stato utilizzato un vettore costituito da quattro
condizioni iniziali, ovvero:
[0 0; −π2
π
2; −π π; −3π
2
3π
2]
10
Capitolo 3. Il Pendolo
che vanno a definire il bacino di attrazione verso il quale evolve questo
sistema dinamico perche le traiettorie del pendolo convergono tutte verso
lo stesso punto.
Fig. 7: Bacino di attrazione
11
Capitolo 4
Stabilizzazione del pendolo
attraverso lo Sliding Mode
Control
In questo capitolo applicheremo la tecnica dello sliding mode con-
trol al pendolo semplice introdotto nel capitolo precedente. Prendiamo
l’equazione del moto:
mlθ + klθ +mg sin θ =u
l(4.1)
L’obiettivo e quello di portare il pendolo in una posizione desiderata
ad esempio x1 = θ − δ1. Quindi poniamo proprio:
x1 = θ − δ1x2 = θ
(4.2)
in modo da poter scrivere il sistema nella forma i-s-u:x1 = x2
x2 = − gl sin(x1 + δ1)− k
mx2 + 1ml2
u(4.3)
12
Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control
4.1 Scelta di σ(x)
Al fine di raggiungere l’obiettivo di controllo procediamo con la scelta
di σ(x).
σ(x, xd) = P T (x)⇒[p1 p2
] [x1x2
]⇒ p1x1 + p2x2 (4.4)
essendo P T un vettore arbitrario di paramentri scegliamo:
p1 = α con α > 0
p2 = 1(4.5)
cosı la nostra regione di scivolamento diventa:
σ(x) = αx1 + x2 (4.6)
4.2 Esistenza della regione di scivolamento
Al fine di garantire l’esistenza della regione di scivolamento dobbiamo
verificare la condizione di trasversalita, ovvero:
Lg(σ) 6= 0 (4.7)
dove:
Lg(σ) = ∇σ · g(x) =[p1 p2
] [ 01ml2
]= p2
1
ml2(4.8)
dato che avevamo imposto p2 = 1 allora:
Lg(σ) =1
ml26= 0 (4.9)
13
Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control
quindi e rispettata la condizione di trasversalita che garantisce l’esi-
stenza della regione di scivolamento.
4.3 Progettazione del controllo
Adesso dobbiamo derivare le dinamiche di scivolamento per vedere se
soddisfano l’obiettivo di controllo. La dinamica del controllo puo essere
scritta come:
σ(x) = 0 (4.10)
quindi:
σ(x) = αx1 + x2 = 0 (4.11)
Adesso sostituiamo i valori di x1 e x2 con quelli della (4.3) per trovarci
la ueq ovvero la legge di controllo che trattiene le traiettorie del sistema
sulla regione di scivolamento quando σ(x) = 0.
ueq = (kl2 − αml2)x2 + gml sin(x1 + δ1) (4.12)
Una volta trovata ueq la regione dove avviene lo scivolamento, come
mostrato in Fig. 6, e data dalla parte dello spazio di stato compresa tra
le due sinusoidi ovvero quando:
−1 ≤ ueq ≤ 1 (4.13)
quindi:
−1 ≤ (kl2 − αml2)x2 + gml sin(x1 + δ1) ≤ 1 (4.14)
14
Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control
Fig. 8: Regione Di Scivolamento
Il campo vettoriale sulla regione di scivolamento e:
fs(x) = f(x) + g(x)ueq =
=
[x2
− gl sin(x1 + δ1)− k
mx2
]+
[01ml2
] [(kl2 − αml2)x2 + gml sin(x1 + δ1)
]=
[x2
−αx2
](4.15)
quindi il campo vettoriale di sliding sara:x1 = x2
x2 = −αx2(4.16)
15
Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control
L’ingresso u(x) capace di attirare le traiettorie del sistema verso la su-
perficie di scivolamento e trattenerle su di essa e:
u(x) = −Lf (σ)
Lg(σ)︸ ︷︷ ︸ueq
−µ 1
Lg(σ)sign(σ) (4.17)
quindi:
u(x) = −(kl2 − αml2)x2 − gml sin(x1 + δ1)− µml2 sign(σ) (4.18)
u(x) =
−(kl2 − αml2)x2 − gml sin(x1 + δ1)− µml2 σ(x) > 0
−(kl2 − αml2)x2 − gml sin(x1 + δ1) + µml2 σ(x) < 0
(4.19)
dove il parametro µ e un guadagno che scegliamo arbitrariamente e che
garantira convergenza al punto desiderato nella superficie di sliding anche
in presenza di incertezza di modello, per cui il controllo e robusto.
16
Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control
4.4 Robustezza del controllore
La simulazione numerica del sistema e stata fatta utilizzando il software
Matlab. Di seguito e riportata la tabella con i valori numerici utilizzati
per la simulazione.
Parametro Simbolo Valore
Massa m 0.1Kg
Gravita g 9.81m/sec2
Lunghezza della corda l 1m
Attrito k 0.02
Guadagno di controllo µ 4
Parametro α 1
Tabella 4.1: Valori utilizzati per la simulazione
Come mostrato in Fig. 9, il sistema e stato portato con successo nella
posizione scelta arbitrariamente δ1 = π2 , infatti dopo un tempo di circa sei
secondi il sistema si stabilizza in questa posizione.
Fig. 9: Stabilizzazione del sistema nel punto π2
17
Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control
In Fig. 10 invece, si nota come la velocita del sistema tende a zero.
Fig. 10: Velocita del sistema
Nell’ultima immagine, Fig. 11, si nota come le traiettorie del sistema
convergono verso la superficie di scivolamento.
Fig. 11: Traiettorie del sistema sulla superficie di scivolamento
18
Capitolo 5
Conclusioni
In questo elaborato si e data una dimostrazione pratica delle peculia-
rita dello sliding mode control e dell’implementazione di questo tipo di
controllo al pendolo semplice, portando il sistema nella posizione deside-
rata. Il risultato della simulazione dimostra la validita di questa tecnica
di controllo che puo essere applicata anche a sistemi piu complessi come
veicoli sottomarini, manipolatori robotici, diversi tipi di motori elettrici e
processi di controllo.
19
Bibliografia
[1] Mario Di Bernardo, Dispense del corso Dinamica e ControlloNon Lineare.
[2] Hassan K. Khalil, Non Linear Systems, Prentice Hall terzaedizione, 2001.
[3] Jean-Jacques Slotine, Applied Non Linear Control, PrenticeHall prima edizione,1990.
[4] Valdim I. Utkin, Sliding Mode Control Design Principlesand Applications to Electric Drives, IEEE Transactions onindustrial electronics, vol.40 NO.1, pp 23-35.
20