CONTROLE DIGITAL

Introduo. Sistemas de tempo discreto, ou sistemas de dados amostrados, so sistemas

dinmicos em que uma ou mais variveis podem mudar apenas em instantes discretos de tempo.

Estes instantes, que denotaremos por kT ou tk (k=0,1,2,...) podem especificar o instante em que feita

alguma medida fsica ou o instante em que lida a memria de um computador digital, etc. O

intervalo de tempo entre dois instantes discretos considerado suficientemente pequeno, de tal forma

que os dados para os tempos entre estes instantes discretos podem ser aproximados por interpolao

simples.

Sistemas de tempo discreto diferem dos de tempo contnuo, em que os sinais para um sistema

de tempo discreto esto na forma amostrada.

Sistemas de tempo discreto ocorrem na prtica quando as medidas necessrias para o controle

so obtidas de forma intermitente, ou um controlador de larga escala ou computador multiplexado

no tempo entre vrios processos de tal forma que um sinal de controle mandado para cada processo

apenas periodicamente ou quando um computador digital usado para fazer as computaes

necessrias para controle. Muitos sistemas de controle industrial modernos so sistemas de tempo

discreto uma vez que invariavelmente incluem alguns elementos cujas entradas e/ou sadas so

discretas no tempo. s vezes, entretanto, a operao de amostragem, ou discretizao, pode ser

inteiramente fictcia e introduzida apenas para simplificar a anlise de um sistema de controle que na

realidade contm apenas elementos contnuos.

Sistemas discretos. Na maioria de sistemas que so estudados em sistemas de controle e

automao industrial, o tempo importante e os sinais relacionados com estes so funes do tempo.

Estas funes do tempo podem ser discretas ou contnuas, isto , estarem definidas para um nmero

contvel de pontos no eixo dos tempos ou para intervalos com infinitos pontos.

O ndice da bolsa do RJ (mdia dos ndices de cotao das diferentes aes da bolsa) um

sinal discreto, pois para cada dia tem-se um ndice.

I(k) = *8,3; 7,2; 5,0; +

A temperatura de um forno medida com termopar um sistema contnuo, pois para cada

instante ,0,) tem-se um dado valor de temperatura.

Os sistemas associados a sinais discretos so chamados de Sistemas Discretos e os associados

a sinais contnuos de Sistemas Contnuos. Muitas vezes, na prtica, sobretudo nos sistemas de

controle, trabalha-se com combinao de sinais e/ou sistemas contnuos e discretos. Ento para poder

analisar matematicamente estas combinaes, faz-se necessrio amostrar os sinais contnuos de

forma tal a construir seqncias que os representam. Este processo realizado colhendo amostras do

sinal contnuo em determinados instantes.

O sinal obtido dito sinal amostrado. Em geral este processo feito usando um intervalo T

entre amostras de valor constante. Este valor chamado de amostragem e sua inversa 1/T de

freqncia de amostragem.

() = (0)( = 0) + ()( = ) + (2)( = 2)

+ + ()( = )

CONVERSOR A/D

Amostra sinais analgicos ocorre em intervalos de tempo regulares, a cada T segundos.

Pode ser considerado como uma chave que fechada a cada T segundos por um intervalo

de tempo t.

f(t) sinal analgico.

f*(t) sinal digital.

Qualquer que seja a forma da funo de tempo contnuo, a sada digital uma seqncia

de impulsos.

Cada impulso na seqncia um impulso unitrio multiplicado pelo valor de f(t) naquele

instante de tempo.

Uma funo f*(t) que descreve a seqncia de pulsos para uma funo f(t) com perodo de

amostragem T pode ser escrita como:

Quando o processo de amostragem feito para obter uma representao discreta de um sinal

contnuo, deve se considerar quanta informao de sinal perdida nesse processo. De forma

intuitiva, pode-se afirmar que quanto mais prximas no tempo sejam as amostras, menos informao

ser perdida. Por outro lado, a utilizao de freqncias de amostragem muito altas eleva o custo

computacional e produz problemas de identificao.

Figura 1: Sinal amostrado

Quantizao. A incluso de um computador em um sistema analgico produz sinais em

forma digital (normalmente como nmeros binrios) em parte do sistema. O sistema ento toma a

forma de uma combinao mista digital-analgica. A introduo de um computador digital em um

sistema de controle requer o uso de conversores digital-analgico e analgico-digital. A converso de

um sinal analgico para o correspondente sinal digital (nmero binrio) uma aproximao porque o

sinal analgico pode assumir um nmero infinito de valores, ao passo que a variedade de diferentes

nmeros que podem ser formados por um conjunto finito de dgitos limitada. Este processo de

aproximao chamado de quantizao.

O processo de quantizao (converso de um sinal em forma analgica para um em forma

digital) pode ser ilustrado atravs da curva caracterstica da Figura abaixo. A gama de amplitudes de

entrada dividida em um nmero finito de intervalos disjuntos hi que no so necessariamente

iguais. Todas as amplitudes caindo dentro de cada intervalo so equacionadas a um valor nico

dentro do intervalo. Este valor nico a aproximao digital para as amplitudes do sinal de entrada

analgico. Portanto, se x a entrada analgica, a sada digital dada por y=Q(x), onde Q a funo

de quantizao.

Figura 2: Sinal quantizado

A operao de sistemas de controle digital envolve quantizao tanto em amplitude quanto

em tempo.

Sinal contnuo no tempo e em amplitude

Sinal contnuo no tempo e discreto em amplitude

Sinal discreto no tempo e contnuo em amplitude

Sinal discreto no tempo e discreto em amplitude

Sistema numrico binrio. O sistema numrico mais simples que usa notao posicional o

sistema numrico binrio. Como o prprio nome diz, um sistema binrio contm apenas dois

elementos ou estados. Num sistema numrico isto expresso como uma base dois, usando os dgitos

0 e 1. Esses dois dgitos tm o mesmo valor bsico de 0 e 1 do sistema numrico decimal.

Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binrio de numerao para

manipular dados. Dados binrios so representados por dgitos binrios chamados "bits". O termo

"bit" derivado da contrao de "binary digit". Microprocessadores operam com grupos de "bits" os

quais so chamados de palavras. O nmero binrio 1 1 1 0 1 1 0 1 contm oito "bits".

Notao Posicional. Tal qual no sistema numrico decimal, cada posio de "bit" (dgito) de

um nmero binrio tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele nmero. O peso de

cada posio determinado por alguma potncia da base do sistema numrico.

Potncias de 2

20 = 110 25 = 3210

21 = 210 26 = 6410

22 = 410 27 = 12810

23 = 810 28 = 25610

24 = 1610 29 = 51210

Para calcular o valor total do nmero, considere os "bits" especficos e os pesos de suas

posies (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potncias de 2). Por exemplo, o nmero

binrio 110101 pode ser escrito com notao posicional como segue:

(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)

Para determinar o valor decimal ao nmero binrio 1101012, multiplique cada "bit" por seu

peso posicional e some os resultados.

(1x32)+(1x16)+(0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) =

32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310

O "bit" mais a direita, chamado o bit menos significativo ou (LSB) tem o menor peso inteiro

de 20 = 1.

O "bit" mais a esquerda o bit mais significativo ou (MSB) pois ele comporta o maior peso

na determinao do valor do nmero neste caso, ele tem um peso de 25 = 32.

ENGENHARIA ELETRNICA OU ELETRO-ELETRNICA eletronorte Engenheiro de

Automao e Controle/Engenheiro de Manuteno Eletrnica NCE/UFRJ 2006

Letra D

ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO ELETRNICA petrobras maio 2006

fundao cesgranrio

Tenso (V) Valor binrio

-4 0000

-3.5 0001

-3 0010

-2.5 0011

-2 0100

-1.5 0101

-1 0110

-0.5 0111

0 1000

0.5 1001

1 1010

1.5 1011

2 1100

2.5 1101

3 1110

3.5 1111

101001100010

Como 10 amostras percorreu 01 ciclo da

senide, 250 amostras (que durou 01

segundo) percorrer 25 ciclos. Ou seja, a

freqncia de 25 ciclos/s (Hz)

Letra B

SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL

Podem executar duas funes:

1) SUPERVISO (externa malha de realimentao): sincronismo de tarefas, monitorao de

valores fora da faixa de parmetros e a seqncia de interrupo em condies seguras de

operao.

2) CONTROLE (interna malha de realimentao): executa mtodos de compensao

implementados com controladores digitais.

VANTAGENS DO USO DE CONTROLADORES DIGITAIS:

1) Variaes na lei de controle de um controlador analgico requerem variaes de hardware,

enquanto que no controlador digital podem ser obtidas por mudanas no software.

2) Reduo do custo.

3) Alta imunidade rudo.

DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL

PROCESSO DE CONTROLE DIGITAL

1) Clock no controlador fornece um pulso a cada T segundos.

2) Para cada instante de tempo, o conversor A/D recebe um pulso e amostra o sinal de erro.

3) O sinal de erro, que varia de forma contnua, convertido pelo conversor A/D em um sinal

digital.

4) O erro amostrado a cada T segundos.

5) O controlador aplica a lei de controle, de acordo com o software.

6) A sada convertida em um sinal analgico por um conversor D/A e utilizado para atuar na

varivel da planta.

PROCESSO DE RECONSTRUO

CONVERSOR D/A: converte o sinal codificado em binrio, em algum instante do tempo,

em um impulso cuja amplitude est relacionada com o cdigo binrio.

A entrada, que era uma seqncia de sinais codificados em binrio, torna-se uma

seqncia de impulsos.

O tempo entre dois impulsos sucessivos igual ao perodo de amostragem T.

RECONSTRUTOR DE ORDEM ZERO = ZERO ORDER HOLD: a seqncia de

impulsos convertida em um sinal analgico com forma de degraus que se mantm

constantes durante o intervalo T.

Funo de transferncia: Ghoz(s) = (1 e-Ts) / s

ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO ELTRICA PETROBRAS

DEZEMBRO 2005 FUNDAO CESGRANRIO

Letra D

TRANSFORMADA Z

Conceito. Ferramenta matemtica utilizada para o estudo dos sistemas de tempo discreto no domnio

da freqncia, que possibilita uma grande simplificao na anlise dos sinais e posterior

representao dos sistemas digitais.

Substituio: esT

= z (varivel complexa para operao com sistemas discretos)

Processo de transformao:

a) O sinal necessariamente conhecido nos instantes de amostragem e ignorado ou

irrelevante fora dos mesmos teremos uma sucesso de impulsos.

b) Calcula-se a transformada de Laplace F*(s) da sucesso de impulsos.

c) Faz-se a substituio de varivel esT

= z, que resulta numa srie de potncias em z-1

. Esta

funo resultante a transformada Z do sinal, para a qual usa-se a notao:

Z [ F(s) ] ou Z [ F*(s) ]

d) Funo descrevendo uma seqncia de impulsos:

f*(t) = f(0)(impulso em t=0) + f(1T)(impulso em t=1T) + f(2T)(impulso em t=2T) + ... +

f(kT)(impulso em t=kT)

e) Aplicando-se a transformada de Laplace:

de um impulso em t=0 1

de um impulso em t=T e-Ts

de um impulso em t=2T e-2Ts

de um impulso em t=kT e-kTs

Assim: { f*(t) } = F*(s) = f(0).1 + f(T).e-Ts

+ f(2T).e-2Ts

+...+ f(kT).e-kTs

f) Fazendo z = eTs

podemos simplificar e escrever como:

s = (1/T) . ln z

Ou ainda:

F*(s) s=(1/T)lnz = k=0 k=

f(kT) z-k

F(z) = F*(s) s=(1/T)lnz = f(0).z-0

+ f(T).z-1

+ f(2T).z-2

+..+ f(kT).z-k

onde: s = nmero complexo; z = nmero complexo tambm

Propriedades bsicas da Transformada z:

1) A multiplicao da funo no tempo por uma constante resulta na multiplicao da

transformada Z pela mesma constante: k.f(t) k.F(z)

2) A adio de duas funes no tempo resulta na adio de duas transformadas Z separadas:

[f1(t) + f2(t)] [F1(z) + F2(z)]

3) O teorema do valor final d o valor que ser alcanado pela funo de tempo amostrado,

isto , o valor em regime permanente: lim f(t)t = lim (z-1).F(z)z 1

4) O teorema do valor inicial d o valor que a funo no tempo tem quando (t = 0): lim f(t)t 0

= lim F(z)z

5) Se a funo no tempo deslocada por um intervalo kT, ento a transformada Z da funo

multiplicada por z-k

: Z[f(t - kT)] = z-k

F(z)

ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JNIOR (ELETRNICA) Termoau fundao

cesgranrio maio 2008

() = 1 + 2 + 4 +

2() = 2 + 4 +

() 2() = 1

() =1

1 2=

2

2 1

Letra C

Resoluo de Equaes de diferena

A resoluo de equaes diferena pelo mtodo da Transformada Z muito til, tal como a

soluo de equaes diferenciais por Transformadas de Laplace. Essencialmente, usando o mtodo

da Transformada Z, podemos transformar equaes de diferenas em equaes algbricas em z. A

seguir usaremos a notao simplificada x(k) para denotar x(kT).

Transformada z de x(k+1). A transformada z de x(k+1) dada por:

Z[x(k+1)]=zX(z)-zx(0)

onde X(z)=Z[x(k)].

Note que se x(0)=0, ento

Z[x(k+1)]=zX(z)

De uma forma geral,

Z[x(k+m)]=zmX(z)-z

mx(0) -z

m-1x(1) -z

m-2x(2) -z

m-3x(3)-... -zx(m-1)

Exemplo. Resolver a equao de diferenas usando o mtodo da transformada z

( + 2) + 3 ( + 1) + 2 () = 0 (0) = 0, (1) = 1

Tomando a transformada z em ambos os lados desta equao de diferenas, obtemos:

2() 2 (0) (1) + 3() 3 (0) + 2() = 0

Substituindo os dados iniciais e simplificando, temos:

() =

2 + 3 + 2=

( + 1)( + 2)=

+ 1

+ 2

Notando que

( ) =

temos:

,(1) - =

1, ,(2) - =

2

Portanto

() = (1) (2) ( = 0,1,2, )

ENGENHARIA ELETRNICA OU ELETRO-ELETRNICA eletronorte Engenheiro de Automao e Controle/Engenheiro de Manuteno Eletrnica NCE/UFRJ 2006

() = () + ()

( + 1) = () + ()

Tem-se que:

( + 1) = ( + 1) + ( + 1)

( + 1) = () + () + ( + 1)

( + 1) + () = () + ( + 1)

() + () = () + ()

Logo:

() = +

+ ()

Letra A

Engenheiro(a) de Equipamentos Jnior Eletrnica UnB/CESPE PETROBRAS 2007

107C

108C

109E

110E

116C

117E

118E

119C

() =0 + 1 + 1

()

ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JNIOR ELETRNICA CESGRANRIO

PETROBRAS - 2010

Soluo:

Freqncia natural do sistema

= 50 /

Perodo natural:

= 2 =2

2

=

=2

50=6,28

50 =

6.280

50

Condio 1:

5=6.280

250 = 25

Letra A

() =52 7

( 2)( 1)

() =

2+

1

2 + 2 2 = 52 7

{ + = 5 + 2 = 7

= 3 = 2

() = 3

2+ 2

1

() = ,3 (2) + 2 (1)-()

Letra D

5() + 31() + 22() = 1()

31() 82() + 1() = ()

() + 31() + 82()= 5() + 31() + 22()

()

()=5 + 31 + 22

1 + 31 + 82

()

()=52 + 3 + 2

2 + 3 + 8

Letra E.

ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JNIOR ELETRNICA CESGRANRIO

PETROBRAS - 2011

Soluo:

=

4

25 =

4 =

1

100 = 10

Letra B

Soluo:

Letra D

Soluo:

= 8 /

2 = 8 = 0,5

=

3

= 3

81 .12/

2=

2 3

83 4

=

63=3

18

10

=3

180

Letra B

Soluo:

Letra A