Controldeprocesosindustriales1 Tema4 Modelamientomatemtico 120811210345 Phpapp01

8/18/2019 Controldeprocesosindustriales1 Tema4 Modelamientomatemtico 120811210345 Phpapp01

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Control de procesos industriales I

Ing Ángela Bravo Sánchez M Sc


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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012

MODELADO MATEMÁTICO


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Modelado matemático

Un modelo matemático de un sistema dinámicose define como un conjunto de ecuaciones querepresentan la dinámica del sistema

La dinámica de muchos sistemas, ya seanmecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,biológicos, etc., se describe en términos de

ecuaciones diferenciales.


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Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen apartir de leyes físicas que gobiernan un sistemadeterminado, como las leyes de Newton parasistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoffpara sistemas electrices.

Ej: segunda ley de Newton


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Simplicidad frente a precisión: Al obtener un modelo matemático de un sistema

es importante llegar a un compromiso entre

precisión y simplicidad del modelo Para obtener un modelo matemático

simplificado, es necesario ignorar ciertaspropiedades físicas inherentes al sistema e

ignorara las no linealidades y parámetrosdistribuidos que pueden hacer difícilmenteanalizable al sistema


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DefinicionesParámetros concentrados y distribuidos

Parámetros concentrados Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o

sistemas reales con frecuencia se utilizan entidades ideales(masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio

etc.) Es decir, consideramos que los valores que determinan las

características físicas de los objetos se encuentranconcentrados en un punto. Estas entidades que no tienenexistencia real reciben el nombre de elementos de

parámetros concentrados. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización

de ecuaciones diferenciales ordinarias.


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DefinicionesParámetros concentrados y distribuidos

Parámetros distribuidos

En el mundo real las masas no son puntuales, las

resistencias eléctricas presentan un efectocapacitivo e inductivo distribuido a lo largo delcomponente

Estos modelos suelen estar caracterizados por la

utilización de ecuaciones diferenciales enderivadas parciales.



DefinicionesModelos determistas y no deterministas

Modelos determistas

Se dice que un modelo es determinista cuando elcomportamiento del sistema queda determinadopor la especificación de las condiciones iniciales yla evolución de las magnitudes de entrada.



DefinicionesModelos determistas y no deterministas

Modelos no deterministas

Se dice que un modelo es no determinista cuandointervienen fenómenos aleatorios, imposibles demodelar y predecir.

Para unas mismas condiciones iniciales e igualevolución de las magnitudes de entrada, elsistema evolucionará cada vez de una formadistinta.



Definiciones: Ecuaciones variantes einvariantes en el tiempo.

Ecuaciones variantes en el tiempo

Una ecuación diferencial es variable en el tiempo,si alguno de los coeficientes que multiplican a lavariable dependiente o a sus derivadas es funcióndel tiempo.



Definiciones: Ecuaciones variantes einvariantes en el tiempo.

Ecuaciones invariantes en el tiempo.

Una ecuación diferencial es invariante en eltiempo si todos los coeficientes que multiplican ala variable dependiente o a sus derivadas sonconstantes


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DefinicionesLinealidad y no linealidad

LinealidadUna ecuación diferencial lineal es aquella queconsiste en una suma de términos lineales, o sea,

términos de primer grado en la variablesdependientes y en sus derivadas.

Ejemplo de no linealidad


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Definiciones

Sistemas lineales

Un sistema se denomina lineal si se aplica el

principio de superposición. Este principio establece que la respuesta

producida por la aplicación simultánea de dosfunciones de entradas diferentes es la suma de

las dos respuestas individuales.


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Definiciones

Sistemas no lineales

A un sistema lineal no se le puede aplicar el

principio de superposición

Los procedimientos para solucionar sistemas nolineales son complicados. Por tal motivo resultanecesario considerar sistemas lineales«equivalentes». Tales sistemas son solo validosen un rango limitado de trabajo.


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Definiciones

La mayoría de los fenómenos del mundo realpresentan características no lineales.

Los sistemas lineales resultan convenientes por

la sencillez en su tratamiento y análisis.Mientras que las ecuaciones con no lineales sonde difícil manejo

Gracias a la linealización de ecuaciones no

lineales es posible aplicar numerosos métodosde análisis lineal que producirán informaciónacerca del comportamiento del sistema no lineal


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DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA

Existen distintas formas de expresar el modeladomatemático de un sistema dinámico:

Descripción interna

Descripción externa


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CONCEPTOS BÁSICOS:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIADIAGRAMA EN BLOQUESMODELADO EN EL ESPACIO DEESTADOS


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Función de transferencia

En la teoría de control, a menudo se usan las

funciones de transferencia para caracterizar lasrelaciones de entrada-salida de componentes.


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Un sistema dinámico puede ser descrito por lasiguiente ecuación diferencia invariante en eltiempo:


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Pasando la ecuación al dominio de Laplace yconsiderando que las condiciones iniciales soncero se obtiene:

La función de trasferencia entre y(t) y u(t) estádada por:


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Las raíces de N(s) son llamadas polos delsistema

Las raíces de M(s) son llamadas ceros delsistema

Función característica se obtiene al igualar eldenominador a cero N(s)=0


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Una función de transferencia tiene las siguientescaracterísticas:

La función de trasferencia está definidaúnicamente para sistemas lineales.

Todas las condiciones iniciales del sistemas sonfijadas a cero

La función de trasferencia es independiente a laentrada del sistema


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MATLAB

OPCIÓN 1

s = tf('s');

H = s/(s^2 + 2*s +10)

Transfer function:

s

--------------

s^2 + 2 s + 10

OPCIÓN 2

h = tf([1 0],[1 2 10])

Transfer function:

s

--------------

s^2 + 2 s + 10


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Diagrama en bloques

Un sistema de control puede consistir, engeneral, por un cierto número de componentes.

Con el fin de mostrar las interaccionesexistentes de forma cómoda, se acostumbra ausar una representación gráfica denominadadiagrama a bloques.


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Diagrama en bloques

Un diagrama de bloques es unarepresentación grafica de una función detrasferencia.

Muestra la relación existente entre los diversoscomponentes e indica el flujo de las señales del

sistema real


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Diagrama en bloques

Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo pararepresentar la operación matemática que sobre la señalde entrada hace el bloque para producir la salida.

Las funciones de transferencia de los componentes porlo general se introducen en bloques correspondientes,que se conectan mediante flechas para indicar ladirección de flujo de señal.


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Diagrama en bloques: Simbología

Bloque ó bloque funcional:

Punto suma ó diferencia:

Punto de ramificación


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Algebra de diagrama de bloques

La modificación de los diagramas en bloques

para efectuar simplificaciones u ordenacionesse denomina algebra de diagrama de bloques


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Asociación de bloques Cascada o serie

X2(s) X1(s) C(s)

?


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Asociación de bloques Cascada o serie


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Asociación de bloques Paralelo

?


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Asociación de bloques Paralelo


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Asociación de bloques retroalimentados

?


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Asociación de bloques retroalimentados


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Intercambio del orden de los bloques


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Combinación o expansión del bloquesuma/resta


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Ejemplo de algebra de diagrama debloques

Simplifique


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Paso 1


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Paso 2


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Paso 3


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Paso 4


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MATLAB


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MATLAB

Ejemplo

G1(s)=4

G2(s)=1/(s+2)

H(s) = 5 s

G1 = tf([0 4],[0 1]);

G2 = tf([0 1],[1 2]);H = tf([5 0],[0 1]);

SYS = feedback(G1*G2,H)

Transfer function:

4--------

21 s + 2


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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques

1. Escriba las ecuaciones que describen elcomportamiento dinámico de cada componente

2. Obtenga las transformadas de Laplace deestas ecuaciones, suponiendo que lascondiciones iniciales son cero.

3. Represente individualmente en forma debloques cada ecuación transformada por el

método de Laplace4. Por último, integre los elementos en un

diagrama de bloques completo


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Ejercicio: Circuito RC

1. Escriba las ecuaciones que describen elcomportamiento dinámico de cadacomponente. En este caso i y eo


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1. Escriba las ecuaciones que describen elcomportamiento dinámico de cadacomponente. En este caso i y eo

2. Obtenga las transformadas de Laplace deestas ecuaciones, suponiendo que lascondiciones iniciales son cero.


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2. Obtenga las transformadas de Laplace de estasecuaciones, suponiendo que las condicionesiniciales son cero.

3. Represente individualmente en forma debloques cada ecuación transformada por elmétodo de Laplace


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3. Represente individualmente en forma debloques cada ecuación transformada por elmétodo de Laplace.

4. Por último, integre los elementos en undiagrama de bloques completo


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4. Por último, integre los elementos en undiagrama de bloques completo

MODE ADO EN E ESPACIO DE


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MODELADO EN EL ESPACIO DEESTADOS

La tendencia moderna en los sistemas deingeniería es hacia una mayor complejidad.

Los sistemas complejos pueden tener entradasy salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.

El modelado en el espacio de estados permite

considerar aquellos sistemas de múltiplesentradas y múltiples salidas.


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Modelado en el espacio de estados

Estado

Es el conjunto de variables, tales que elconocimiento de esas variables, determinan elcomportamiento del sistema.


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Variables de estado

Es un conjunto de variables que determinan el

estado del sistema. Se necesitan n variablespara describir totalmente el comportamiento de un

sistema dinámico X1,X2, … ,Xn

Vector de estado

Es un vector con las n variables de estado.


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Espacio de estados.

Es un espacio de n dimensiones cuyos ejes de

son las variables de estado X1,X2,…,Xn.

Cualquier estado puede representarse medianteun punto en el espacio de estados.


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Ecuaciones de estadosConjunto de n ecuaciones diferencialessimultaneas de primer orden con n variables,donde las n variables al ser despejadas son lasvariables de estado.

Ecuación de salida

Ecuación algebraica que expresa las variables desalida del sistema como combinaciones linealesde las variables de estado y las entradas


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Considere un sistemas dinámico linealinvariante en el tiempo, de múltiples entradas ymúltiples salidas


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El sistema está representado en el espacio deestados por la siguiente ecuación

Dónde:

Ecuación de estados

Ecuación de salida


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u: un vector que contiene cada una de las p entradas alsistema

y : un vector que contiene cada una de las q salidas alsistema

x : es un vector que contiene cada una de las n variablesde estado del sistema


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El tamaño de las matrices debe ser eladecuado:

p entradas al sistema

q salidas al sistema

n variables de estado del sistema


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Ejercicio: Obtener el diagrama en bloques


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Obtención de las ecuaciones de estadoLa representación en espacio de estado puede serderivada desde las ecuaciones diferenciales querepresentan a un sistema.

1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento delsistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda leyde Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de

Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.

2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimasque determinan el comportamiento dinámico del sistema.

3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razónde cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (suderivada).


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EjemploConsidere el sistema mecánico

u(t) es una fuerza externa

y(t) es el desplazamiento de la masa


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Cuál es la variable deentrada del sistema?

Cuál es la variable desalida del sistema?


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Cuál es la variable deentrada del sistema?

La fuerza externa u(t) es la entradapara el sistema.

Cuál es la variable de

salida del sistema?el desplazamiento y(t) de la masa esla salida.


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La ecuación del sistema es

Definamos las variables de estadox1(t) y x2(t) como:


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Obtenemos

De acuerdo a (2) obtenemos

(2)(1)


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La forma matricial de estas ecuaciones es:


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La forma matricial de estas ecuaciones es:


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La ecuación de salida es:

En forma matricial


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La ecuación de salida es:

En forma matricial


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En resumen,

La forma estándar es:

Donde:


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Donde:

Diagrama en bloques es:


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Donde:

Diagrama en bloques es:


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Ejercicio:Calcular la Función de transferencia


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Aplicando Laplace, con x(0)=0

Despejamos x(s) (multiplicamos por en ambos lados )


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Por otro lado

Y

Remplazando

Por lo tanto la función de transferencia es:

M d l d l i d t d


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Se puede reescribir como:

Donde

Polinomio característico

Polinomio en s

M d l d l i d t d


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EJERCICIOObtenga la función de transferenciadel sistema descrito por lassiguiente ecuación de estado:

M d l d l i d t d


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De las ecuaciones de estado obtenemos losvalores de A, B, C Y D

Remplazamos en la ecuación de la función detransferencia

M d l d l i d t d


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MATLAB

syms k m b s

A=[0 1; -k/m -b/m]

B=[0; 1/m]

C=[0 1]

D=0

%Forma Manual

G=C*(s*eye(2)-A)^(-1)*B+D

G=

s/(m*s^2 + b*s + k)

MATLAB


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MATLAB

El comando ss2tf retorna el numerador ydenominador de la función de trasferencia

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

El comando tf2ss convierte la función detransferencia de un sistema en la forma espacio

de estado[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)


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