INSTITUTO TECNOLGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS ESTADO DE MXICO

Control de posicin de un motor de CD

Omar Rodrigo Muoz Gmez A01169881

Julia Ins Rodrguez Cruz A01370570

Profesor: Virgilio Vsquez Lpez

Materia: Control computarizado (MR2007)

Febrero 22, 2015

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Contenido Funcin de transferencia para la velocidad de un motor de DC ............................................................... 3

Funcin de transferencia de la posicin angular en un motor de DC ....................................................... 7

Diseo de controlador PD ......................................................................................................................... 8

Diseo en Op Amps ................................................................................................................................ 10

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Funcin de transferencia para la velocidad de un motor de DC

Para un sistema conformado por un motor de CD y un tacmetro podemos aproximar el

comportamiento del mismo mediante una funcin de transferencia de primer orden, el sistema en

lazo abierto es de la siguiente forma

Ilustracin 1. Sistema en lazo abierto

En donde:

T es la constante de tiempo del motor

Km la constante del motor y

Ks la constante del sensor (tacmetro)

De forma experimental en el laboratorio podemos encontrar dichos valores. Para encontrar la

constante de tiempo del sistema en su totalidad aplicamos un voltaje de alimentacin al motor (Vi)

y por lo tanto el motor alcanzar un estado estable de velocidad, dicha velocidad se puede traducir

a un voltaje mediante el tacmetro (sensor) y con esto podemos obtener una grfica de tiempo

contra voltaje y observar el tiempo que tarda el motor en estabilizarse, dicha respuesta tiene una

apariencia como la siguiente curva.

Ilustracin 2. Respuesta al escaln

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Al aplicar un voltaje de entrada al motor, ste produce una velocidad angular, dicha velocidad es

registrada por el sensor y la traduce a un voltaje. Aplicar por ejemplo 5 Volts a la entrada del motor

no significa que la seal que entrega el sensor (velocidad) de voltaje tenga un valor de 5 Volts

debido a la constante del motor y la constante del sensor, es decir existe una relacin entre la

magnitud de la velocidad angular que ingresa al sensor y el voltaje de salida que ste produce (Ks)

que es independiente del voltaje aplicado al motor (Vi).

Recurdese que un sistema de primer orden excitado por un escaln unitario tiene la siguiente

respuesta en el tiempo.

1 {1

+ 1

1

} = 1

Evaluar dicha expresin cuando t = T da como resultado

1 = 0.6321

Por lo que sabemos que la constante de tiempo del sistema se encuentra cuando la seal de salida

alcanza el valor mximo de la seal al 63.2 % de su valor final.

Primeramente de las pruebas experimentales encontramos la constante de tiempo.

Registramos 3 pruebas diferentes de las cuales obtuvimos

Tabla 1. Mediciones experimentales de T

Nmero de prueba Valor de la constante de

tiempo [seg]

T1 0.240

T2 0.280

T3 0.248

Finalmente promediamos para obtener la constante de tiempo que utilizaremos en nuestros

clculos

=(T1 + T2 + T3)

3= 0.256

Para encontrar la constante total del sistema (Kt) encontramos la ganancia del sistema es decir

Vo/Vi. Hacemos una grfica para el voltaje de entrada contra el voltaje de salida.

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Tabla 2. Caracterizacin del sistema

Es necesario definir un punto de operacin por que el sistema no tiene un comportamiento lineal,

es decir el valor de Vo/Vi no es el mismo para todo voltaje aplicado en este caso elegimos como

punto de operacin el voltaje a 2.5 Volts.

Kt =1.81

2.5= 0.724

De la ilustracin 1 sabemos que Kt = Km*Ks, adems la constante del sensor la podemos obtener

al caracterizar el mismo registrando la velocidad angular del motor contra el voltaje de salida.

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Tabla 3. Caracterizacin del tacmetro

Ilustracin 3. Velocidad vs Voltaje de salida

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De la grfica observamos que la constante del sensor es

Ks = 0.021

Por lo que finalmente sabemos que

Km =

= 34.47619

Hasta este momento podemos definir la funcin de transferencia del motor (Gm) como

Gm =Km

+ 1=

34.47619

1 + 0.256 =

()

Vi()

Funcin de transferencia de la posicin angular en un motor de DC

Sabemos que la velocidad angular es igual a la derivada de la velocidad

() =

()

Pasando al dominio de Laplace esto es

() = ()

O lo que es lo mismo

()

= ()

Y para encontrar la funcin de transferencia de la posicin angular respecto al voltaje de entrada

esto es

()

Vi()=

()

Vi()=

( + 1)

Por lo tanto ser

()

Vi()=

34.47619

(1 + 0.256 )

El sistema en lazo abierto ser ahora similar a la figura 1, donde el motor en vez de entregarnos

velocidad nos entregar posicin que se medir mediante un encoder y dicho encoder entregar el

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voltaje de salida que nos interesa controlar. El voltaje de salida del encoder es resultado de una

conversin Digital / Analgica pues como se mencionaba anteriormente este sensor entrega un

cdigo binario.

Diseo de controlador PD

El sistema de control en lazo cerrado es

Ilustracin 4. Sistema en lazo cerrado

Por lo que la funcin de transferencia total es

Gt =(Gc )

1 + Gc

Adems encontramos la nueva constante del sensor pues la constante total de la planta es la

multiplicacin de Km y Ks. La constante del sensor Ks se obtiene de la caracterizacin del mismo

en rad

Ks = 0.7987

Sea G la funcin de transferencia del la planta en su totalidad

= Gm Ks

=

27.53

(1 + 0.256 )

La funcin de transferencia de un controlador de tipo PD es

Gc = Kp + Kd

La funcin de transferencia en su totalidad considerando un controlador (Gc) de tipo PD es

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27.536(Kp + Kd)

(1 + 0.256)(1 +27.536(Kp + Kd)

(1 + 0.256))

O de forma simplificada 1. Kp + 1. Kd

1. Kp + (0.036315 + 1. Kd + 0.00929 )

Podemos reescribir el denominador de la expresin como

1. Kp + 0.03631 + 1. Kd + 0.002723 2

Factorizamos el coeficiente del mayor grado y despreciamos la constante (0.002723) que queda

multiplicando a la expresin para obtener que el polinomio caracterstico ser

367.14844 Kp + 13.333 + 367.14844 Kd + 1. 2

Ahora proponemos un comportamiento deseado de la respuesta del sistema, consideramos para lo

siguiente que se requiere de una respuesta da tipo sobre amortiguada por lo tanto hacemos la

igualacin con el polinomio caracterstico

2 + 2 + 2

De lo que se obtiene

= 367.148 Kp

Proponemos una > 1 para obtener un sistema sobre amortiguado por lo tanto elegimos el valor de 2 y un tiempo de establecimiento (ts) de 0.5 segundos para resolver la siguiente ecuacin

ts =5

2 1

De dicha expresin podemos despejar el valor de

= 37.3205

Y por lo tanto podemos resolver para Kp encontrando el valor de

Kp = 3.79361

Con los valores de y encontramos por igualacin el valor de Kd

Kd = 0.370283

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Diseo en Op Amps

Un tpico controlador PD en Op Amps tiene la siguiente forma

Ilustracin 5. Diseo en Op Amps

Este es un diseo de un PD tpico y la ganancia Kp est dada por

Kp =R3

R2

La ganancia Kd est dada por

Kd = R1 C1

Proponemos R3 = 1 KOhm y por lo tanto

R2 = 263.600 Proponemos C1 = 100 uF y por lo tanto

R1 = 3702.83

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Simulacin en MATLAB

Simulamos la planta para observar su comportamiento

Ilustracin 6. Diagrama a bloques del sistema

Introducimos las ganancias del controlador y habilitamos la opcin de saturar el voltaje de salida

del controlador para simular la energa limitada cuando se implemente en Op Amps que es de +15

y -15, esta limitacin de voltaje cambiara ligeramente el comportamiento esperado del sistema.

Ilustracin 7. Parmetros del controlador Los resultados de la simulacin son los siguientes

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Ilustracin 8. Resultados de la simulacin

En azul podemos observar la entrada del sistema (Set Point), en amarillo se muestra la salida y

en morado se muestra la ley de control con el voltaje limitado.

Resultados experimentales

Elaboramos el circuito de un PD en Op Amps como se explic anteriormente, para esto se

utilizaron los circuitos integrados UA741 como se muestra en la ilustracin

Ilustracin 9. Armado del controlador

Introducimos un Set Point de 2.5 Volts y la salida es la siguiente

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Ilustracin 10. Resultados experimentales.

Como observamos el sistema tiene un tipo de respuesta sobreamortiguada como la deseada y

adems tiene un error en estado estacionario cercano a cero, esto se puede justificar por la

resolucin del sensor.