Control por Sincronizacion de un Sistema deLevitacion Magnetica de CA

J.L. Garcıa–Antonio, R. Castro–Linares, M. Velasco–VillaCINVESTAV, Departamento de Ingenierıa Electrica

Av. Instituto Politecnico Nacional 2508. 07300 Mexico D.F., MexicoTelefono (+52) (55) 5747 3791 E-mail: (jlgarcia, rcastro, velasco)@cinvestav.mx

Resumen— En este trabajo se presenta el control porsincronizacion de una plataforma de levitacion magneticaformada por un par de Anillos de Thomson, la cual tiene laparticularidad de ser alimentada por una senal de corrientealterna. Se realiza el seguimiento de una trayectoria deseada almismo tiempo que se muestra la convergencia de una funcionformada por el error de sincronıa entre los dos modulos deThomson y el error de seguimiento. Con el fin de contrarrestarel efecto de dinamicas no modeladas y de perturbacionesexternas se propone una estrategia de control basada en unenfoque por modos deslizantes de segundo orden. La estrategiapropuesta es evaluada mediante experimentos en tiempo real.

Palabras clave: Levitacion magnetica, corriente alterna,sincronizacion

I. I NTRODUCCION

El transporte de materiales o productos es un problemaimportante en la industria de la manufactura. Las especi-ficaciones de transporte pueden ser tan variables en unaplanta que cada operacion en la misma puede requerir supropio sistema de traslado. Esto ha permitido la existenciade dispositivos de alta eficiencia que presentan poco o nulocontacto con sistemas de rieles o columnas, minimizandoası un posible problema de friccion entre superficies.

Ademas de disminuir los efectos de friccion, los MagLevtienen la ventaja importante de funcionar con bajos nivelesde ruido y la posibilidad de funcionar en ambientes alalto vacio. Por otro parte, ademas de tareas de transporte(Luguang, 2006), se pueden encontrar otras aplicacionesimportantes de los MagLev enareas como la microrobotica(Khamesee et al., 2002), la fitolitografia (Kim and Trum-per, 1998) y los sistemas de lanzamiento (Jacobs, 2001).

En general, un sistema MagLev puede clasificarse, deacuerdo con el tipo de fuerzas que emplea (Wang et al.,1991); como un sistema de atraccion o de repulsion, te-niendo cada una de estas clasificaciones diferentes tipos dearreglos. Estos tipos de sistemas son altamente no linealeseinestables en lazo abierto por lo que requieren un esquemade control especıfico para obtener una operacion estable enlazo cerrado.

La bobina de Thomson, llamada ası en honor a su inven-tor el cientıfico Elihu Thomson (1853–1937), consiste enuna bobina con un nucleo de algun material ferromagnetico.Cuando se hace circular una corriente alternaI sin (ωt) enla bobina, esta induce una corriente en el anillo; el campomagnetico debido a esta corriente inducida se opone alcampo producido por la bobina creandose una fuerza derepulsion sobre los dos devanados y con ello haciendo que

el anillo se eleve sobre el nucleo de la bobina. En estetrabajo se tiene como objetivo controlar dos modulos delanillo de Thomson de manera tal que ambos anillos sedesplacen al mismo tiempo de forma sincrona por mediode una estrategia propuesta inicialmente en la coordinacionde movimientos de robots moviles (Sun et al., 2009).

El presente artıculo esta estructurado de la siguientemanera. Primeramente se presenta una breve introduccionen la seccion I sobre la importancia que tienen los sistemade levitacion en la actualidad; en la seccion II se planteala obtencion del modelo del anillo de Thomson que sera laparte principal que conformara al Maglev. El diseno delesquema de control se presenta en la seccion III, posterior-mente se muestran algunos resultados experimentales en laseccion IV y por ultimo en la seccion V se describen lasconclusiones de este trabajo.

II. M ODELADO DEL ANILLO DE THOMSON

Considere la estrutura formada por un anillo levitado auna distanciaZ sobre la parte superior del nucleo de unabobina, como se muestra en la Figura 1. La corriente quecircula por la bobina producira un campo magnetico donde,de acuerdo con la ley de Faraday, la componente axialalterna inducira una fuerza electromotriz (fem)εfem en elanillo.

D Núcleo

Anillo

Centro de la bobina

r

rr

A

LR ,

cc

cc

NA

LR

,

,

rB

BzB

cI

2

cl

Z2

l

Figura 1: Esquema completo del anillo de Thomson

II-A. Estimacion de la fuerza de repulsion

El flujo magneticoΦ a traves del anillo esta dado por

Φ = MZic (1)

dondeM representa la induccion mutua del sistema bobina- anillo calculada para cierta distanciaZ a la que seencuentren separados eic es el valor instantaneo de lacorriente que circula en la bobina.

Entonces, al aplicar la ley de Faraday, se obtiene la feminducida en el anillo como resultado del cambio de flujoque lo atraviesa con respecto al tiempo. El sentido de lacorriente se obtiene de aplicar la ley de Lenz, esto es,

vr = εfem = −dΦdt

= −MZdicdt

= −MZIcω cos (ωt) ,(2)

dondeεfem es la fuerza electromotriz inducida en el anillo,vr es el voltaje en el anillo,MZ es el coeficiente deinduccion mutua yω es la frecuencia angular. Por lo tanto,el valor instantaneo de la corrienteir que circula en el anillopuede ser aproximado mediante la siguiente expresion

ir =vrzr

= −MZIcω

zrcos (ωt− φr) , (3)

dondezr es la impedancia en el anillo yφr es el desfaseprovocado por la impedancia del anillo, dados por:

zr =

√R2

r + (ωLr)2, φr = tan−1

(ωLr

Rr

),

dondeRr es la resistencia del anillo,dl es una diferencialde longitud yLr es la inductancia del anillo. La fuerza queactua sobre el anillo, esta dada por la ecuacion de Lorentz,

f =

∮

L

ir · dl ×B , (4)

donde∮L

es una integral sobre una superficie cerradaL.Para nuestro caso la fuerza que se deriva de la ecuacion(4), esta expresada por:

f = 2πbirBr, (5)

dondeb es radio del anillo yBr la componente radial della induccion magnetica.

Notese que la ecuacion (5) no depende de la distancialevitada Z. Para lograr esa dependencia se hace uso delcambio de energıa magnetica almacenada en una formacompacta. De esta manera, la fuerza ejercida sobre el anillose puede expresar como,

f = iric∂MZ

∂Z, (6)

donde ic es la corriente en la bobina. La ecuacion (6)representa una expresion de fuerza en funcion deZ, dadoque la inductancia mutuaM varıa de acuerdo a la posicionentre sı de los devanados. Recordando que en circuitosacoplados existen corrientes inducidas por efecto de lainductancia mutua y queesta depende de la cercanıa que hayentre los circuitos, es posible, siguiendo por ejemplo (Barryand Casey, 1999) y (Tjossem and Cornejo, 2000) considerarque para pequenos cambios alrededor de una alturaZ, Mpuede expresarse comoM = MZ(1 −∆Z/Z) dondeMZ

es un valor fijo deM tomado a la distanciaz = Z sobre elnucleo de la bobina y∆Z = Z− z. Bajo estas condiciones

∂M

∂Z≈ MZ

Z.

Entonces la fuerza ejercida sobre el anillo, toma la forma

f = iricMZ

Z. (7)

Dado que la corrienteir que circula en el anillo esta ex-presada por la ecuacion (3) y teniendo en cuenta que lacorrienteic tiene la formaic = Ic sin (ωt), entonces com-binando ambas expresiones se tiene que la fuerza ejercidaf puede reescribirse como,

f = −M2Zω

zr

I2cZ(1− ∆Z

Z) cos (ωt− φr) sinωt . (8)

La fuerza promedio sobre un ciclo completo, a la quedesignaremos con la letraF , se puede obtener integrandola ecuacion (8),

F = −M2Zω

zr

I2cZ(1− ∆Z

Z) (9)

× 1

2π/ω

∫ 2π

ω

0

cos (ωt− φr) sin(ωt)d (ωt)

= KI2cZ

(10)

dondeK =M2

Zω

zr(1 − ∆Z

Z) sinφr

2. Notese que para valores

suficientemente pequenos de∆Z es posible aproximarKen la formaK =

M2

Zω

zr

sinφr

2.

Designaremos al promedio de la fuerzaF comoFm, deigual forma al def comofm para hacerenfasis en el hechode que se trata de una fuerza generada por interaccionesentre campos magneticos y que aparece en la ecuaciondinamica del sistema.

II-B. Subsistema mecanico

Se puede obtener un modelo mecanico simplificado quepermita solo trabajar con valores de amplitudes pico tantoen voltaje como en corriente al tomar como la componentede fuerza, al promedio descrito en la ecuacion (10) (Barryand Casey, 1999). De esta forma se obtiene un modelo conuna estructura mas simple, por lo tanto, la ecuacion dinami-ca que describe el comportamiento del desplazamientoZ sepuede expresar como,

Z = −g +KI2cmZ

. (11)

II-C. Subsistema electrico

El subsistema electrico bobina-anillo puede ser conside-rado como un circuito acoplado magneticamente, como semuestra en la Figura 2. A partir de esta configuracion esposible aplicar un analisis de mallas utilizando las leyes deKirchhoff. Aplicando esta metodologıa se obtiene el par deecuaciones diferenciales:

Lcdicdt

+MZdirdt

+Rric = Vc sin (ωt+ φc)MZ

dicdt

+ Lrdirdt

+Rrir = 0(12)

Bobina Anillo

rLc

L

cR

rR

rV

ZM

( )cc

tV φω +sin

Figura 2: Circuito acoplado magneticamente (bobina–anillo)

donde Vc, ic, ir y MZ estan definidas como antes,Rc

es la resistencia de la bobina,Lc es la inductancia dela bobina, Rr es la resistencia en el anillo,φc es eldesfasamiento provocado por la impedancia en la bobinay Lr la inductancia en el anillo.

Es posible trabajar con solo la ecuacion de la primeramalla del circuito si se considera que la corriente en elanillo se puede describir por medio de la ecuacion (3), esdecir,

ir =MZωIc

zrcos (ωt− φr) . (13)

Al considerar la ecuacion diferencial de la primera malladel circuito en la Figura 2, se tiene que,

Vc sin (ωt+ φc) = Lc

dicdt

+MZ

dirdt

+Rric, (14)

donde,dicdt

= Icω cosωtdirdt

= −MZω2Iczr

sin (ωt− φr) .

De acuerdo a (Barry and Casey, 1999), la ecuacion (14)puede reescribirse entonces como,

Vc = RcIc sinωt+ LcIcω cosωt−MZIrω sin (ωt− φr)

= RcIc sinωt+ LcIcω cosωt− M2ZIcω

2

zrsin (ωt− φr)

=

[Rc −

M2Zω

2

|Zr|cosφr

]Ic sinωt

+

[Lcω +

M2Zω

2

zrsinφr

]Ic cosωt (15)

que puede expresarse finalmente como,

Vc sin (ωt+ φc) = R′

cIc sinωt+ L′

cωIc cosωt,

dondeR′

c y L′

c son los valores equivalentes en un circuitoserieR− L dados por,

R′

c = Rc − M2

Zω2

zrcosφr

L′

c = Lcω +M2

Zω2

zrsinφr.

De igual manera a partir de la ecuacion (15) la corrienteIc y el cambio de faseφc son expresados como,

Ic = Vc√R

′2c+ω2L

′2c

= Vc

zc

φc = tan−1

(ωL

′

c

R′

c

).

II-D. Modelo aproximado en valores pico

Dado que ya se tiene la amplitud pico de corriente enfuncion del valor pico de voltaje, entonces al sustituirIc enla ecuacion (11) se puede obtener un modelo aproximadodado por,

Z = −g +KV 2c

mz2cZ. (16)

Como se puede observar, esta ecuacion representa unmodelo que ya no depende de las funciones periodicas queoriginan la naturaleza de la senal alterna, pero que susefectos ya se encuentran inmersos dentro del modelo. Sibien es solo una aproximacion mas al modelo, el sistema(16) esutil para disenar un control que solo este basado enla variacion de la amplitudVc.

III. E STRATEGIA DE CONTROL

El esquema del control por sincronizacion se basa en eltrabajo presentado en (Sun et al., 2009), en el cual se tomala idea basica de regular los movimientos de un conjuntode robots moviles cuando se aproximen a ciertas posicionesdenominadas posiciones objetivos

(qdi)

y asegurar que semantengan en la frontera de la trayectoria deseada. Losconceptos del control por sincronizacion seran acopladasen nuestro caso para controlar de manera simultanea ycoordinada dos modulos del anillo de Thomson. Para podercumplir con esta tarea considere como posicion objetivo(Zdi

), y defınase el error de posicion como,

ei = Zdi − Zi , (17)

parai = 1, 2 . . . n .. De esta forma se define entoncese =[e1, e2, · · · , en]T .

Ahora se introduciran los errores de sincronizacion, loscuales forman un subconjunto de todos los posibles paresde anillos vecinos para el caso del sistema de levitacion,aunque hay que senalar que en nuestro caso particular soloexisten dos anillos, estos errores toman la forma,

ε1 = c1e1 − c2e2ε2 = c2e2 − c3e3...εn = cnen − c1e1

(18)

donde εi denota el error de sincronizacion del i-esimoanillo.

Para lograr que los errores de posicion ei y de sincroni-zacion εi tiendan a cero, se introduce un error de posicionacopladoEi que relaciona a estos errores dentro de lasiguiente ecuacion,

Ei = ciei + β

∫ t

0

(εi − εi−1) dw, (19)

dondeβ es una constante positiva. El error de sincroniza-cion en (19) esta sujeto a condiciones de frontera tal quecuandoi = 1, i − 1 = n. Ahora bien, tomando el modelosimplificado de nuestro sistema dado en la ecuacion (16), sedesea llevar a ambos anillos a la referencia

(Zdi

). Derivando

la ecuacion (19) se tiene,

Ei = ciei + β (εi − εi−1)

= ci

(Zdi − Zi

)+ β (εi − εi−1)

(20)

donde,

Zi = −g +Ki

V 2ci

miz2ciZi

. (21)

Entonces, sustituyendo (21) en (20),

Ei = ci

(Zdi + g −Ki

V 2ci

miz2ciZi

)+ β (εi − εi−1) . (22)

A partir de la ecuacion (22) es posible ahora proponer lasenal de control,

Vci =

√miz2ciZi

ciKi

[ciZd

i + cig + β (εi − εi−1) + v].

(23)donde v representa una nueva entrada de control definidacomo,

v = −k1Ei − k2Ei.

Sustituyendo la ecuacion (23) en (22) se obtiene unaecuacion en el errorEi, de la forma,

Ei + k1Ei + k0Ei = 0, (24)

donde los valores de las gananciaski se escogen detal manera que el polinomio caracterıstico asociado a ladinamica del error sea un polinomio Hurwitz con las raıceslocalizadas suficientemente lejos del eje imaginario en elsemiplano izquierdo del plano complejo.

Con el fin de proporcionar robustes al esquema de controlse agrega a la retroalimentacion una accion de controldiscontinua basada en el metodo de modos deslizantes desegundo orden. Para nuestro caso particular en el cualse desea sincronizar el movimiento de dos anillos, lassuperficies deslizantes mencionadas en el problema tomanla forma,[

s1s2

]+z0

[s1s2

]=

[E1

E2

]+k1

[E1

E2

]+k0

[ ∫ t

0E1dw∫ t

0E2dw

]

(25)donde,

k1 =

[k11 00 k22

], k0 =

[k10 00 k20

].

Derivando la ecuacion (25) y considerandos = [s1, s2]T ,

E = [E1, E2]T es posible obtener,

s+ z0s = E+ k1E+ k0E, (26)

donde,

E =

[c1 00 c2

]e+ β

[(ε1 − ε2)(ε2 − ε1)

]

E =

[c1 00 c2

]e+ β

[(ε1 − ε2)(ε2 − ε1)

]

s = −Ωs− ΓSign (s)

MODULO 1

AMPLIFICADORES

DE POTENCIA

STK4050 II

TARJETA DE ADQUISICIÓN

DE DATOS SENSORAY 626

COMPUTADORA

ACONDICIONAMIENTO

DE SEÑALSENSORES DE

POSICIÓN

MODULO 2

Figura 3: Diagrama esquematico del sistema de levitacion

E

h

Sección

transversal del

anillo100 mm

Ø 20 mm

40 mm

46 mm

60 mm

Anillo

20.10 mm

25.4 mm

h = 3.14 mmE = 2.74 mm

Núcleo

Bobina

Figura 4: Dimensiones del prototipo utilizado

Ahora bien, la ecuacion (26) se puede reescribir como,

−Ωs− ΓSign (s) = cZd − cZ+ β

[(ε1 − ε2)(ε2 − ε1)

]

+k1E+ k0E− z0s.(27)

La columna deZ corresponde a la ecuacion dinamicade cada modulo del anillo de Thomsom descrita en (16).Para simplificar la notacion considerandoZ = [Z1, Z2]

T ,Z puede renombrarse como,

Z = g +G (Z)u. (28)

Sustituyendo (28) en (27) es posible hallar una ley decontrol, la cual asegura que todos los movimientos queinicien en el hiperplanos = 0 permaneceran sobreelgarantizando su atractividad, dicha ley de control esta dadopor,

u = [cG (Z)]−1

cg + cZd + βε+ k1E+ k0E

−z0sΩs+ ΓSign (s).(29)

IV. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Las pruebas experimentales en tiempo real se llevaron acabo con considerando dos modulos del anillo de Thomson.La Figura 3 muestra un diagrama esquematico del sistemacompleto de levitacion. Las dimenciones de cada prototipodel anillo del anillo de Thomson se muestran en la Figura4

Cada bobina consta de un arrollamiento de 1200 espirasde alambre magneto calibre 23, un nucleo de acero tem-plado sobre el cual va montado un anillo de aluminio, elsensado de la posicion de ambos anillos se realizo con un

Figura 5: Plataforma experimental de levitacion magnetica

TABLA I: Experimental magnetic levitation platform

Anillo 1 Anillo 2Rr1 = 0,2081× 10−3Ω Rr2 = 0,20551× 10−3Ω

Lr1 = 2,7023× 10−6H Lr2 = 2,6942× 10−6Hφr1 = 1,3692rad/sec φr2 = 1,3712rad/secMz1 = 36,2× 10−6H Mz2 = 32,8× 10−6HRc1 = 23,2040Ω Rc2 = 23,669Ω

Lc1 = 101,905× 10−3H Lc2 = 101,191× 10−3H

arreglo de sensores infrarojos, las senales recibidas de lossensores se procesaron previamente en una etapa de filtradoy despues enviados a una tarjeta de adquisicion de datosSENSORAY 626 que se encuentra montado en un PC y enel cual se llevo a cabo el algoritmo de control utilizado. Lasenal de control obtenida es amplificada mediante una etapade potencia que consta de dos amplificadores STK4050IIde la marca SANYO y despues enviada a cada una de lasbobinas. La Figura 5 muestra la plataforma experimentaldonde se pueden observar los dos modulos del anillo deThomson utilizados.

Se realizo el seguimiento de una trayectoria senoidal dela forma,

Zd = A sin (ωt) +A0, (30)

dondeA = 5 mm, A0 = 10 mm y una frecuenciaω = π2

.Los parametros asociados con los modelos de cada anillo

de Thomson fueron obtenidos siguiendo el procedimientodescrito en (Sun et al., 2009) y (Garcıa-Antonio, 2011)para una frecuencia de operacion ω = π

2rad/sec y una

distancia de levitacion de 10 mm. Los valores obtenidosson mostrados en la Tabla I.

Los experimentos se realizaron considerando una retro-alimentacion con los parametrosC = diag[c1, c2] = [1, 1],κ10 = κ20 = 10, κ11 = κ21 = 5,69, z0 = 12,64,Ω = ωn = 10, Γ = 10, β = 5 y un periodo de muestreo de5 milisegundos.

Las Figuras 6-8 muestran el comportamiento del controlpor sincronizacion al realizar el seguimiento de trayectoriala cual es presentada en la ecuacion (30). La figura 6 mues-tra el seguimiento de las trayectorias deseadas mientras queen la figura 7 se muestran las senales de control resultantes.

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

time[s]

z1dz1[m

m]

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

time[s]

z2dz2[m

m]

z1d

z1

z2d

z2

Figura 6: Seguimiento de trayectoria de ambos anillos

0 10 20 30

−50

0

50

time[s]

Vc1sin(ω

t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−50

0

50

time[s]

0 10 20 30

−50

0

50

time[s]

Vc2sin(ω

t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−50

0

50

time[s]

Figura 7: Senal de control para ambas bobinas

La figura 8 muestra la evolucion de los diferentes erroresconsiderados.

Con el fin de comprobar la robustez del control im-plementado y de observar tambien el efecto de sincronıaque se obtiene al variar el parametroβ se realizaron dosexperimentos adicionales. La primera consistio en detenerartificialmente uno de los anillos durante unos segundosmientras se realizaba el seguimiento de trayectoria, fijandoal parametroβ = 5, como se puede observar en la Figura 9se sigue conservando la sincronizacion entre ambos anillosaunque se compromete el seguimiento de la trayectoriadeseada. La Figura 10muestra los errores obtenidos.

La segunda prueba se realizo considerando el parametroβ = 0 (caso no sincronizado) y como se puede observaren la Figura 11 ante la presencia de una perturbacion enuno de los anillos, el seguimiento de la trayectoria deseadapor parte del otro anillo se mantiene. Para el caso en que elvalor deβ es nulo se puede observar que el comportamientode los errores de posicion queda comprometido solo parael anillo 2 ya que el primer anillo sigue la trayectoriasatisfactoriamente, sin embargo no ocurre los mismo conlos errores de sincronizacion ya que dichos errores son unacombinacion de los propios errores de posicion y al variaruno de ellos hace que los errores de sincronizacion crezcan.

Observacion 1: La etapa de sensado fue un obstaculo

0 5 10 15−20

0

20

tiempo [s]

e1, e

2

0 5 10 15−5

0

5

tiempo [s]

ε 1, ε 2

0 5 10 15−20

0

20

tiempo [s]

E1, E

2

e1

e2

ε1

ε2

E1

E2

Figura 8: Error de posicion, sincronizacion y errores acoplados

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

tiempo [s]

z1

d, z

1 [

mm

]

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

tiempo [s]

z2

d, z

2 [

mm

]

z1d

z1

z2d

z2

Figura 9: Seguimiento ante perturbacion

para poder llevar a cabo los experimentos de sincronizacion,ya que debido a la sensibilidad del sensor con respecto a laluz ambiente se requerıa de una calibracion inicial en cadaexperimento.

Observacion 2: Otro factor de suma importancia fue laobtencion de manera teorica y aproximada del coeficientede induccion mutua, lo que provocaba que el modelomatematico tuviera ciertas discrepancias al momento dehacer la validacion del mismo. Cabe mencionar que no hayuna forma exacta de obtener este parametro y mucho menosmedirlo directamente ya que depende de la geometrıa deambos devanados y de la posicion de uno con respecto alotro.

V. CONCLUSIONES

En este trabajo se presenta el control por sincronizacionpara una pareja de anillos de Thomson. Se propone unasolucion que considera el seguimiento de una trayectoriadeseada a la vez que la convergencia de un error virtualE funcion del error de seguimiento y el error de sincronıay para la cual se asegura su robustes ante perturbacionesexternas y errores de modelado mediante un esquema demodos deslizantes de segundo orden. La estrategia decontrol es evaluada experimentalmente en una plataformade laboratorio, mostrando una adecuada respuesta.

0 5 10 15 20 25−20

0

20

tiempo [s]

e1, e

2 [mm]

0 5 10 15 20 25−20

0

20

tiempo [s]

ε 1, ε 2 [mm]

0 5 10 15 20 25

−20

0

20

tiempo [s]

E1, E

2 [mm]

E1

E2

ε1

ε2

e1

e2

Figura 10: Error de posicion, sincronizacion y errores acoplados

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

tiempo [s]

z1

d, z

1 [

mm

]

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

tiempo [s]

z2

d, z

2 [

mm

]

z1d

z1

z2d

z2

Figura 11: Seguimiento ante perturbacion

REFERENCIAS

Barry, N. and Casey, R. (1999). Elihu thomson’s jumping ring ina levitedclosed-loop control experiment,IEEE Transactions on Education42(1): 72–80.

Garcıa-Antonio, J. L. (2011).Design, construction and control of a mag-netic levitation platform based on alternating current (inspanish),Master’s thesis, CINVESTAV-IPN, Mexico.

Jacobs, W. A. (2001). Magnetic launch assist-nasa’s visionfor the future,IEEE Transactions on Magnetics37(1): 55–57.

Khamesee, M. B., Kato, N., Nomura, Y. and Nakamura, T. (2002). Designand control of a microrobotic system using magnetic levitation,IEEE/ASME Transactions on Mechatronics7(1): 1–14.

Kim, W. J. and Trumper, D. L. (1998). High-precision magnetic levitationstage for photolithography,Precision Engineering22: 66–77.

Luguang, Y. (2006). Progress of high-speed maglev in china,IEEETransactions on Applied Superconductivity16(2): 1138–1141.

Sun, D., Wang, C., Shang, W. and Feng, G. (2009). A synchronizationapproach to trajectory tracking of multiple mobile robots whilemaintaining time-varying formations,IEEE Transactions on Robotics25(5): 1074–1086.

Tjossem, P. J. H. and Cornejo, V. (2000). Measurements and mechanismsof thomson’s jumping ring,American Journal of Physics68(3): 238–244.

Wang, I. Y. A., Li, S. H. and Buch-Vishniac, I. (1991). A magneticlevitation transport path,IEEE Transactions on Semiconductor Ma-nufacturing4(2): 145–154.