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Artículo Revista de Tecnología e Innovación Septiembre 2015 Vol.2 No.4 899-909
Control PD+G Difuso Tipo 2 de Intervalo para Regulación de Posición de Robots
Manipuladores
OROZCO-SOTO, Santos†
Recibido 24 de Julio, 2015; Aceptado 10 de Septiembre, 2015
Resumen
En este trabajo se presenta una alternativa para mejorar el
Control PD+G clásico para regulación de las posiciones
articulares de robots manipuladores, utilizando lógica
difusa tipo 2 de intervalo para compensar variaciones en
el vector de pares gravitacionales del modelo dinámico
del robot. El controlador propuesto mide la variación en
el vector de gravedad y realiza un mapeo difuso tipo
Takagi-Sugeno tomando dicha variación como entrada y
una ganancia de compensación como salida por medio de
conjuntos difusos del tipo 2 de intervalo. Asimismo, se
utiliza la propiedad de pasividad del modelo dinámico de
los robots manipuladores para el diseño del controlador
por medio del método directo de Lyapunov para
garantizar estabilidad asintótica. Los experimentos se
llevaron a cabo a utilizando simulaciones numéricas con
un modelo de un robot de 2 GDL, mismas que mostraron
resultados satisfactorios para la regulación de las
posiciones articulares del robot.
Control PD+G, Regulación de posición, Lógica difusa
tipo 2 de intervalo, Robot manipulador
Abstract
This paper presents an alternative to enhance the classical
PD+G Control for position regulation of robot
manipulators, using interval type-2 fuzzy logic to
compensate variations in the gravitational forces vector
of the dynamic model of the robot. The proposed control
strategy detects the variation in the gravity vector and
performs a Takagi-Sugeno type fuzzy mapping using the
mentioned variation as the input and a compensation gain
as the output using interval type-2 fuzzy sets.
Furthermore, the passivity property of the dynamic
model of robot manipulators is used for the controller
design by means of the direct Lyapunov’s method in
order to guarantee asymptotic stability. The experiments
were performed using numerical simulations with a
model of a 2 DOF robot manipulator, showing successful
results for the position regulation of the robot joints.
PD+G Control, Position regulation, Interval type-2
fuzzy logic, Robot manipulator
____________________________________________________________________________________________________ Citación: OROZCO-SOTO, Santos. Control PD+G Difuso Tipo 2 de Intervalo para Regulación de Posición de Robots
Manipuladores. Revista de Tecnología e Innovación 2015, 2-4:899-909
_____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
† Investigador contribuyendo como primer autor.
© ECORFAN-Bolivia www.ecorfan.org/bolivia
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de Intervalo para Regulación de Posición de Robots
Manipuladores. Revista de Tecnología e Innovación 2015
Introducción
Los robots manipuladores constituidos por
cadenas cinemáticas seriales requieren un par
considerablemente grande en cada articulación
para compensar la carga de inducida por la
gravedad hacia los eslabones (Ulrich & Kumar,
1991), por tal motivo, diferentes autores en el
área de control de robots manipuladores han
utilizado el Controlador Proporcional-
Derivativo con Compensación de Gravedad,
mejor conocido como Control PD+G, ya que
calcula y añade al control tipo PD el par que
ejerce la fuerza de gravedad utilizando parte del
modelo dinámico del robot (Kelly &
Santibáñez, 2003). La popularidad de este
controlador radica en que, además de ser
sencillo de implementar, garantiza la
estabilidad asintótica en la regulación de las
posiciones articulares del robot con mínimo
error en el estado estacionario (Spong &
Vidyasagar, 1989), (Kelly & Santibáñez, 2003),
(Ordaz-Oliver, Domínguez-Ramírez, Parra-
Vega, & Jarillo-Silva, 2009). El hecho de que
este controlador utilice parte del modelo
dinámico para ser sintonizado lo hace
susceptible a posibles variaciones en las masas,
los momentos de inercia o las longitudes de las
articulaciones a los centros de gravedad de los
eslabones.
Considerando la simplicidad y la
efectividad de la implementación de esta
estrategia de control respecto a otras técnicas
basadas en el modelo dinámico, diversos
autores han realizado mejoras en el Control
PD+G para contrarrestar los efectos de las
variaciones en los parámetros de los robots tales
como sintonización automática de las ganancias
por medio de lógica difusa (Kelly, Haber,
Haber-Guerra, & Reyes, 1999), compensación
difusa del término gravitacional del controlador
(Pan & Woo, 2000) o funciones no lineales de
saturación (Zhao, Li, & Gao, 2009).
Dichas propuestas presentan resultados
satisfactorios para la regulación de las
posiciones articulares de robots manipuladores
en diferentes configuraciones cinemáticas. El
uso de técnicas difusas para mejorar
controladores basados en el modelo, por su
naturaleza de aproximadoras universales
(Orozco-Soto, 2011), permiten el manejo de
incertidumbre, en cierto grado (Castillo &
Melin, 2008), en el conocimiento de los
parámetros del robot, por lo que aún existe la
posibilidad de que una sintonización
inadecuada del modelo o con diferentes
técnicas de parametrización, conduzcan a un
diseño de las particiones difusas que resulte en
un comportamiento no deseable del
controlador. En este trabajo se presenta un
alternativa para el mejoramiento del Control
PD+G utilizando lógica difusa tipo 2 de
intervalo, la cual utiliza un grado de libertad
adicional en las particiones difusas comunes
para el manejo de incertidumbre en el sistema
robótico o en el mismo sistema difuso del
controlador (Karnik, Mendel, & Liang, 1999).
El controlador propuesto mide el grado de
variación en del término de pares
gravitacionales del robot y lo introduce a un
sistema difuso tipo 2 de intervalo (Mendel,
John, & Liu, 2006), el cual tiene como salida
una ganancia escalar que compensa la variación
medida. Esta técnica se diseñó utilizando la
propiedad de pasividad para garantizar la
estabilidad asintótica local durante la regulación
de las posiciones articulares del robot (Ordaz-
Oliver, Domínguez-Ramírez, Parra-Vega, &
Jarillo-Silva, 2009).
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El controlador se probó a nivel
simulación para un robot de dos grados de
libertad (GDL) en configuración serial planar
afectado por la gravedad, mostrando resultados
satisfactorios y motivantes para su
implementación en dispositivos programables
debido a la simplicidad del cómputo de los
pares gravitacionales y del sistema difuso tipo
2. El artículo está organizado de la siguiente
manera: En la siguiente Sección se presenta la
propiedad de pasividad de los robots
manipuladores, misma que es útil para el diseño
del controlador por medio del método directo
de Lyapunov garantizando estabilidad
asintótica. Posteriormente, en la Sección 3, se
presenta una introducción a los sistemas difusos
tipo 2 de intervalo, La Sección 4 trata de la
formulación del problema y los objetivos de
control; En la Sección 5 se presenta el diseño
del controlador, para continuar con los
resultados en la Sección 6 y, finalmente,
presentar las conclusiones del trabajo en la
Sección 7.
Pasividad de Sistemas Robóticos.
La dinámica de los manipuladores robóticos
puede expresarse matemáticamente de la
siguiente forma (Spong & Vidyasagar, 1989):
(1)
Donde es la matriz de fuerzas inerciales, es la matriz de fuerzas centrípetas y de
Coriolis, misma que [ ] ; es el vector de pares
gravitacionales, es el vector de entradas
de control y son los vectores de
posición, velocidad y aceleración de las
articulaciones del robot.
La energía total del robot puede
representarse por la siguiente ecuación
Hamiltoniana (Ordaz-Oliver, Domínguez-
Ramírez, Parra-Vega, & Jarillo-Silva, 2009):
(2)
Cuyos términos representan las energías
cinética y potencial respectivamente. Si se
calcula la derivada temporal de (2) se obtiene:
(3)
Integrando ambos lados de la expresión
(3) resulta:
∫
(4)
Expresión que representa la diferencia
entre la energía del sistema y la energía
suministrada (Maschke, Ortega, & Van Der
Schaft, 2000), de la cual se deduce que el
sistema es pasivo (Ordaz-Oliver, Domínguez-
Ramírez, Parra-Vega, & Jarillo-Silva, 2009) .
Esta propiedad es útil para el diseño de
controladores que garanticen estabilidad
asintótica (Orozco-Soto & Ramos-Fernández,
2015).
Sistemas Difusos Tipo 2 de Intervalo
Los sistemas difusos tipo 2 permiten el manejo
de incertidumbre en la base de reglas o en la
selección de las funciones de pertenencia de los
sistemas difusos tipo 1 (Mendel & John, 2002),
lo cual no significa que se la lógica difusa tipo
2 se utilice en situaciones ―extremadamente
difusas‖, existen diversos problemas cotidianos
que pueden solucionarse con este enfoque
(Castillo & Melin, 2008). Existen 2 tipos de
sistemas difusos tipo 2: los sistemas difusos
tipo 2 generales, que utilizan conjuntos difusos
representados por particiones difusas
tridimensionales, y los sistemas difusos tipo 2
de intervalo, mismos que utilizan particiones
difusas bidimensionales.
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En la Figura 1 se ilustra una función de
pertenencia utilizada en lógica difusa tipo 1,
misma que está constituida únicamente por una
línea, la cual representa los posibles valores de
pertenencia de una variable hacia un conjunto
difuso. En la Figura 2 se presenta una función
de pertenencia utilizada en lógica difusa tipo 2
general, en la cual se puede apreciar que una
variable puede tener cualquier valor de
pertenencia en una superficie tridimensional
que representa a un conjunto difuso de tipo 2.
En la Figura 3 se puede apreciar una función de
pertenencia utilizada en lógica difusa tipo 2 de
intervalo, misma que representa un conjunto
difuso bidimensional al cual puede tener cierto
grado de pertenencia una variable determinada.
En el presente trabajo se trata únicamente con
sistemas de lógica difusa tipo 2 de intervalo
debido a que su simplicidad computacional
permite la implementación de este tipo de
sistemas en plataformas de hardware embebido.
A continuación se presentan algunos conceptos
básicos acerca de la lógica difusa tipo 2 de
intervalo.
Figura 1 Función de pertenencia difusa tipo 1
Figura 2 Función de pertenencia difusa tipo 2 general.
Figura 3 Función de pertenencia difusa tipo 2 de
intervalo.
Conjuntos difusos tipo 2 de intervalo
En lógica difusa tipo 1, un conjunto difuso
representa una variable lingüística dentro de
un universo de discurso continuo, a la cual
una variable puede tener cierto valor de
pertenencia , tal que:
∫
(5)
Nótese que el signo de integral en (5) no
denota integración, sino la colección de todos
los puntos con la función de pertenencia
asociada (Wang, 1997). De esta manera,
un conjunto difuso tipo 2 general se puede
representar como:
∫ ∫
, (6)
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Donde y forman el universo de
discurso bidimensional. En este caso
∬ denota unión en todo y admisibles
(Mendel, John, & Liu, 2006). Cuando
, el conjunto difuso de tipo 2 se
considera como tipo 2 de intervalo, mismo que
se puede representar como:
∫ ∫
, (7)
Si se considera en el plano ,
entonces el conjunto difuso tipo 2 de intervalo
se puede expresar de la siguiente forma:
∫
∫ *∫
+
,
(8)
Características de los conjuntos difusos tipo
2 de intervalo
Considerar la Figura 4, en la cual se ilustra una
función de pertenencia difusa tipo 2 de
intervalo con sus respectivas características. A
partir de dicha consideración se presentan las
siguientes definiciones:
Definición 1: La huella o dominio de
incertidumbre (FOU) es la región acotada a la
cual una variable puede pertenecer en un
grado . En la Figura 4 se puede observar
que la FOU está representada por el área
sombreada. Se denomina huella de
incertidumbre debido a que es una extensión de
una partición difusa de tipo 1, es decir, añade
un grado de incertidumbre cuando se establece
la partición difusa de tipo 1 extendiéndo su área
en lugar de ser únicamente una línea como la
mostrada en la Figura 1 (Castillo & Melin,
2008).
Definición 2: La función de pertenencia
superior (UMF) es una función de pertenencia
de tipo 1 que sirve como cota superior de la
FOU, la cual se puede apreciar indicada en la
Figura 4 y está representada matemáticamente
como (Mendel, John, & Liu, 2006):
( ) (9)
Definición 3: La función de pertenencia
de tipo 1 que sirve como cota inferior de la
FOU se denomina función de pertenencia
inferior (LMF). Esta función de pertenencia
está indicada en la Figura 4 y se puede expresar
matemáticamente por medio de:
( ) (10)
Figura 4 Función de pertenencia tipo 2 de intervalo con
FOU, UMF y LMF indicadas.
Sistemas difusos tipo 2 de intervalo
Al igual que los sistemas difusos tipo 1, los
sistemas difusos que utilizan funciones de
pertenencia de tipo 2 de intervalo también
mapean una variable dura hacia una salida
difusa (Tipo Mamdani) o hacia un modelo
matemático (Tipo Takagi-Sugeno ó TK) por
medio de un conjunto de reglas SI-ENTONCES,
con la diferencia de que, antes de la salida
definitiva del sistema difuso, existe una
reducción de tipo, misma que no está presente
en los sistemas difusos tipo 1.
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En las Figuras 5 y 6 se ilustran los
diagramas a bloques de los sistemas difusos
tipo 1 y tipo 2 de intervalo respectivamente, en
las cuales se puede apreciar la diferencia
mencionada anteriormente respecto a la
reducción de tipo previa a la salida total del
sistema (Castillo & Melin, 2008).
Figura 5 Diagrama a bloques de un sistema difuso tipo 1.
Figura 6 Diagrama a bloques de un sistema difuso tipo 2
de intervalo.
A continuación se describen brevemente
los bloques que intervienen en un sistema
difuso tipo 2 de intervalo (Castillo & Melin,
2008):
Fusificación: es el proceso de mapear un
valor duro hacia un conjunto
difuso por medio del cálculo del valor de
pertenencia .
Base de reglas: la estructura de reglas
tanto para los sistemas difusos tipo 1 como para
los tipo 2 de intervalo es la misma que se
muestra a continuación:
(11)
Inferencia: es el proceso en el cual se
combinan las reglas para realizar un mapeo de
los conjuntos difusos de entrada hacia las
salidas calculando uniones o intersecciones
de los conjuntos difusos.
Reducción de tipo: Es la forma en la que
el sistema difuso genera una salida difusa tipo 1
a partir de la lógica tipo 2 para poder llevar a
cabo la defusificación posteriormente. La forma
más común para realizar la reducción de tipo es
por medio de las siguientes expresiones:
∑
∑
(12)
∑
∑
(13)
Donde y son los centroides de los
consecuentes del conjunto .
Defusificación: Es el proceso en el cual se
obtiene la salida dura del sistema difuso a partir
del siguiente cálculo:
(14)
Formulación del Problema y Objetivos de
Control:
El Control PD+G está representado por la
siguiente expresión:
(15)
Donde y son matrices constantes
diagonales definidas positivas y y
son los errores de posición y
velocidad respectivamente.
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El Control PD+G es una técnica de
control que garantiza la estabilidad asintótica
local y mínimo error en el estado estacionario
para la regulación de posición de robots
manipuladores (Kelly & Santibáñez, 2003), sin
embargo, al estar basada en el modelo dinámico
del robot, es decir, al requerir del conocimiento
preciso del modelo del robot para calcular la
compensación de gravedad, es susceptible a
cambios en los parámetros del robot tales como
las longitudes de las articulaciones al centro de
gravedad de los eslabones, las masas o los
momentos de inercia de los mismos, ya que el
controlador fue sintonizado para una situación
dinámica diferente a la cual se presenta al
momento del cambio en los parámetros y, por
consiguiente, no se logra el objetivo de regular
la posición. Por tal motivo, se plantean los
siguientes objetivos de control:
Objetivo de control 1: Asegurar que el
error de posición → 0 mientras → ∞.
Objetivo de control 2: En caso de que se
presente una variación en los parámetros del
robot, ajustar el controlador (15) para que
suministre la energía suficiente y, de esta
manera, se cumpla el Objetivo de control 1.
A continuación se presenta el diseño de
un controlador inteligente que aprovecha la
propiedad de pasividad de los robots, así como
la lógica difusa tipo 2 para lograr los objetivos
de control mencionados anteriormente.
Diseño del Controlador
En esta sección se presenta el diseño del
controlador PD+G con compensación difusa
tipo 2 de intervalo.
Fusificación
Para detectar la variación en los parámetros del
vector de pares gravitacionales presente
en el modelo dinámico de robots
manipuladores, se propone el siguiente índice
de variación (Orozco-Soto & Ramos-
Fernández, 2015):
‖ ‖
‖ ‖ (16)
Donde es el vector de pares
gravitacionales para el cual fue previamente
sintonizado el Control PD+G, es el vector
de pares gravitacionales con variación y es el
índice de variación obtenido con el cociente de
las normas de los vectores mencionados
anteriormente. Este índice de variación se
introduce al sistema difuso tipo 2 de interval y
se mapea hacia una salida dura, que es una
ganancia de compensación. Si , quiere
decir que el sistema requiere más energía
porque aumentó el par, de lo contrario, requiere
menos cantidad de energía. Si quiere
decir que el sistema no ha cambiado. En la
práctica, este índice se puede obtener midiendo
el par en las articulaciones. Las particiones
difusas generadas para se pueden apreciar en
la Figura 7, en la cual se observan las 5
particiones difusas gaussianas tipo 2 de
intervalo que representan a cada conjunto
difuso. El universo de discurso está compuesto
por los diferentes valores que puede tener el
índice de variación, con valores menores o
iguales al . Las variables lingüísticas
utilizadas para nombrar a los conjuntos difusos
son:
Variación máxima hacia abajo (Vbajmax)
Variación hacia abajo (Vbaj)
Variación mínima (Vmin)
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Variación hacia arriba (Varr)
Variación máxima hacia arriba (Varrmax)
Figura 7 Particiones difusas tipo 2 de intervalo para .
Al ser un sistema tipo TS, las salidas no
son particiones difusas, sino valores duros
mostrados a continuación:
Compensación máxima hacia abajo
Compensación hacia abajo
Comensación nula
Compensación hacia arriba
Compensación máxima hacia arriba
Reglas difusas
Las base de reglas difusas utilizadas para el
mapeo de la variación hacia son las
siguientes:
SI es Vbajmax, ENTONCES
SI es Vbaj, ENTONCES
SI es Vmin, ENTONCES
SI es Varr, ENTONCES
SI es Varrmax, ENTONCES
Reducción de tipo y defusificación
La reducción de tipo se lleva cabo utilizando las
expresiones (12) y (13), es decir, se calcula la
multiplicación del valor de pertenencia para
UMF y LMF para cada conjunto difuso por la
salida correspondiente; finalmente, se emplea
(14) de la siguiente forma para obtener la
ganancia de compensación total del controlador
(Castillo & Melin, 2008):
∑
∑
∑
∑
(17)
Diseño del Control PD+G con compensación
difusa tipo 2 de intervalo
Para garantizar la estabilidad asintótica del
controlador propuesto, se utilizó el método
directo de Lyapunov. Asimismo, se utilizó el
enfoque de la energía total o Hamiltoniano para
proponer la función candidata a ser Lyapunov,
aprovechando la propiedad de pasividad de los
robots manipuladores presentada en la Sección
2 tal como se presenta a continuación
(Maschke, Ortega, & Van Der Schaft, 2000):
(18)
La cual es una función definida positiva
y cumple con el primer criterio para que una
función sea Lyapunov, es decir, (Ordaz-
Oliver, Domínguez-Ramírez, Parra-Vega, &
Jarillo-Silva, 2009), (Slotine & Li, 1991). La
derivada temporal de la función propuesta es:
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(19)
Despejando de (1) y teniendo en
cuenta que el Objetivo de control 1 establece
únicamente la regulación de posición tal que
y , entonces se obtiene:
[ ] (20)
Donde se consideró en vez de
considerando que existan variaciones en
los parámetros del robot. Nótese que (20) no es
todavía una función definida negativa para
garantizar la estabilidad en el sentido de
Lyapunov (Slotine & Li, 1991), sin embargo, se
puede forzar utilizando:
(21)
Sustituyendo (21) en (20) se obtiene:
[ ] (22)
Finalmente, se puede deducir que el
controlador que permite que se cumpla (22) es
el siguiente:
(23)
Ya que la parte está diseñada
para compensar por medio de la
defusificación (17). Nótese que cuando ,
el controlador (23) es el Control PD+G clásico
mostrado en (15).
Resultados
Para probar el Control PD+G Difuso Tipo 2
propuesto, se realizaron simulaciones
númericas utilizando el modelo de un robot de
2 GDL en configuración planar serial afectado
por la gravedad; dicho robot tiene los siguientes
parámetros con fines ilustrativos (Orozco-Soto
& Ramos-Fernández, 2015):
Parámetro Símbolo Valor
Masa del eslabón 1 2.8
Masa del eslabón 2 1.75
Longitud del eslabón
1 0.35
Longitud del eslabón
1 0.2
Longitud de la
articulación 1 al centro
de gravedad del eslabón
1
0.21
Longitud de la
articulación 1 al centro
de gravedad del eslabón
1
0.14
Momento de inercia
del eslabón 1 0.45
Momento de inercia
del eslabón 2 0.33
Aceleración de la
gravedad 9.81
Tabla 1 Parámetros del modelo dinámico del robot en
estudio.
El vector de posiciones cartesianas
deseadas es el siguiente:
(24)
Las posiciones articulares deseadas se
calcularon a partir de (24) utilizando la
cinemática inversa del robot dada por:
(
) (
)
( √
)
(25)
Donde
y √
(Spong & Vidyasagar, 1989). El tiempo de
simulación es de 10 segundos.
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En las Figuras 8 y 9 se presentan las
gráficas con el comportamiento de las
articulaciones del robot, y
respectivamente, utilizando el Control PD+G
Clásico y el PD+G Difuso Tipo 2 con una
variación del 10% hacia arriba en el vector de
pares gravitacionales, simulando que el robot
carga un objeto que propicia la variación de tal
magnitud. En las Figuras se puede apreciar que
el Control PD+G Clásico presenta error en el
estado estacionario del 1.6% para y del
0.42% para , mientras que el PD+G Difuso
Tipo 2 no presenta error en el estado
estacionario.
Figura 8 Comportamiento de
Figura 9 Comportamiento de
Conclusiones
En este trabajo se presentó el diseño de un
Controlador PD+G Difuso Tipo 2 de Intervalo,
el cual es capaz de adaptarse para compensar
variaciones en los parámetros del término de
pares gravitacionales del modelo dinámico de
robots manipuladores para la regulación de las
posiciones articulares. El controlador propuesto
se diseñó utilizando un índice de variación
como entrada de un sistema difuso tipo 2 de
intervalo que tiene como salida una ganancia de
compensación. La estabilidad asintótica del
controlador se garantiza desde su diseño
realizado utilizando el método directo de
Lyapunov. Los experimentos realizados se
llevaron a cabo utilizando simulaciones
numéricas del comportamiento de un robot
planar serial afectado por la gravedad, ante un
vector de entradas constantes que sirven como
referencia de posición para las articulaciones;
se emplearon los controladores PD+G clásico y
PD+G difuso tipo 2. Los resultados de dichas
simulaciones comprueban que el controlador
PD+G clásico presenta errores en el estado
estacionario para ambas articulaciones al variar
los parámetros del robot +10%, esto debido a
que fue sintonizado utilizando parámetros del
robot distintos y, por lo tanto, la energía
calculada no es la adecuada. El primer eslabón
presenta un mayor error debido a que el
actuador de la primera articulación carga toda la
estructura del robot. En el caso del controlador
PD+G difuso tipo 2, el error en el estado
estacionario es prácticamente nulo, ya que el
controlador se adapta de acuerdo a la variación
presentada y calcula la energía faltante o
restante para la regulación de posición, por lo
tanto, se concluye que los objetivos de control
planteados en la Sección 4 se cumplen
satisfactoriamente al emplear el controlador
propuesto.
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Estos resultados alentadores, así como
también la simplicidad computacional de la
técnica de control propuesta para la regulación
de posición de robots manipuladores motivan a
su implementación utilizando algún dispositivo
programable.
Referencias
Castillo, O., & Melin, P. (2008). Type-2 fuzzy
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Karnik, N. N., Mendel, J. M., & Liang, Q.
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