Control Feedforward (Prealimentacion)Antonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe

November 13, 2002

1 Introduccion

El efecto de las pertubaciones sobre el proceso a controlar, consiste en alejar a estedel punto de operacion deseado. En el esquema de control feedback tradicional, elcontrolador corrige por desviaciones en el punto de operacion solamente hasta que laperturbacion ha afectado a la operacion del proceso.

Una idea que se ha explotado para mejorar el desempeno de esquemas de control,consiste en la posibilidad de medir las perturbaciones que ingresan al proceso, de man-era tal que el controlador actue sobre la planta aun antes de que tales perturbacionesalejen al proceso del set-point deseado.

Para lograr este proposito, la perturbacion medida d se alimenta a un controladordenominado feedforward Kff (o de prealimentacion) el cual genera una accion de controlu para tratar de mantener a la variable controlada y cerca del set-point. El diagramade bloques del esquema de control feedforward se muestra en la figura 1. En esta figuraGp representa la funcion de transferencia del proceso a controlar y Gd es la funcion detransferencia de la perturbacion.

K Gp

Gd

ff

d

y++u

Figura 1: Esquema de control de tipo Feedforward.

2 Diseno del controlador Feedforward

Como se muestra en la figura 1, el controlador feedforward requiere el diseno del con-trolador Kff . A pesar de que, en principio, uno podrıa utilizar diversas formas pararepresentar al controlador Kff , la funcion de transferencia de Kff normalmente seobtiene de la correspodiente funcion de transferencia entre y y d. Del diagrama debloques de la figura 1:

y = Gpu + Gdd (2.1)

= GpKffd + Gdd (2.2)

recordemos que el proposito del controlador feedforward consiste en, idealmente, man-tener al proceso a controlar siempre en el valor de operacion deseado. Para lograr esteobjetivo notese que y = 0 (es decir, el proceso nunca se desvia del set-point). Entoncesla ecuacion 2.2 se puede reescribir como,

0 = GpKffd + Gdd (2.3)

de esta ecuacion podemos obtener la funcion de transferencia de KF que lograrıa,idealmente, rechazar perfectamente el efecto de la perturbacion d sobre la respuesta delproceso.

Kff = −(

Gd

Gp

)(2.4)

la estructura de Kff aun puede hacerse mas clara si suponemos que, como casi siemprees posible, la funciones de transferencia de la planta Gp y de la perturbacion Gd sonde primer orden con retardo:

Gp =kp

τps + 1e−θps (2.5)

Gd =kd

τds + 1e−θds (2.6)

en terminos de estas funciones de transferencia KF estarıa dada por:

Kff = −kd

kp

(τps + 1

τds + 1

)e(θp−θd)s (2.7)

como observamos de esta ecuacion, el controlador feedforward ideal o perfecto no esotra cosa que un controlador proporcional al cual se la ha adicionado un compensadorlead-lag.

3 Desventajas del control Feedforward

Desde luego, como cualquier otro esquema de control, el controlador feedforward noesta exento de algunas desventajas. Entre estas podemos mencionar el efecto que loserrores de modelamiento tienen sobre el desempeno del controlador. Estos erroresde modelamiento surgen debido a que, para disenar KF , requerimos de los modelosmatematicos, o funciones de transferencia, del modelo del proceso a controlar Gp y dela perturbacion Gd.

Sin embargo, existen al menos dos situaciones concretas cuando el controlador feed-forward no debe ser usado.

• Cuando el orden del lag de la planta Gp es mayor que el correspondiente orden dellag de Gd.

Para ilustrar este punto supongamos que la funcion de transferencia de Gp es desegundo orden sin retardo:

Gp =1

s2 + 2s + 1

2

y que la funcion de transferencia de Gd es de primer orden sin retardo:

Gd =1

s + 1

en este caso KF estara dado por:

Kff =s2 + 2s + 1

s + 1

desde luego, la imposibilidad de usar esta funcion de transferencia para repre-sentar a Kff , radica en el hecho de dicha funcion de transferencia es fısicamenteirrealizable o no implementable.

• El retardo de la planta θp es mayor que el retardo asociado a la perturbacion θd.

Supongamos que las funciones de transferencia de la planta y perturbacion, re-spectivamente, estan dadas por:

Gp =1

2s + 1e−2s

y

Gd =1

10s + 1e−s

en este caso, la funcion de transferencia del controlador Kff estarıa dada por:

Kff =2s + 1

10s + 1es

notese que el exponente del exponencial es positivo, lo cual implica el empleode un elemento predictor. De nueva cuenta, la expresion anterior de Kff nopodrıa ser usado como controlador, debido a la imposibilidad de implementarlofısicamente.

Otro problema que se puede presentar con el uso de controladores feedforward serefiere a la posibilidad de que la funcion de transferencia de Kff sea inestable. Paraentender la razon por la que podrıa surgir este problema resscribamos la ecuacion 2.4de la siguiente forma:

Kff = −(

Nd

Dd

)(

Np

Dp

) = −NdDp

NpDd

(3.8)

donde Nd y Dd representan a los polinomios en el numerador y denominador de lafuncion de transferencia de la perturbacion Gd. De manera semejante, Np y Dp repre-sentan a los polinomios en el numerador y denominador de la funcion de transferenciade la planta Gp. Notese que el polinomio del numerador de la planta Np ahora seencuentra en el denominador de Kff . Si sucede que la planta es de fase no-mınima (esdecir, posee un cero positivo), entonces dicho cero positivo se transforma en un polo

3

positivo de Kff . Esto implica que Kff es inestable. Para ilustrar este punto, considerelas siguientes funciones de transferencia de la planta y perturbacion, respectivamente:

Gp =s − 1

s + 1

Gd =1

2s + 1

entonces,

Kff = − (s + 1)

(s − 1)(2s + 1)

como podemos observar, el controlador es inestable con un polo positivo en s = 1.Aun cuando en teorıa la funcion de transferencia de Kff tambien podrıa ser in-

estable debido a un polo inestable en Gd, difıcilmente uno considerarıa seriamente elempleo de solo control feedforward si la perturbacion desestabliza al proceso. Estaobservacion resulta importante ya que el esquema de control feedforward no cambialas caracterısticas de estabilidad del proceso. Es decir, si la planta Gp es estable alazo abierto, cuando se aplique control feedforward permanecera estable. Si, por elcontrario, la planta Gp es inestable, la aplicacion de control feedforward puro jamaspodra estabilizar la planta. Esto se debe a que, como se muestra en la figura 1, elesquema de control feedforward no utiliza informacion de la variable controlada. Esdecir, no existe retroalimentacion hacia el controlador del valor de dicha variable.

Como consecuencia del punto discutido anteriormente (no retroalimentacion delvalor de las variables controladas), el control feedforward no puede tomar ningunaaccion correctiva cuando ingresan al proceso perturbaciones no medidas. La mismasituacion se presenta si el modelo del proceso Gp y la perturbacion Gd contienen er-rores de modelamiento. El esquema de control feedforward es incapaz de corregir pordesviaciones en el punto de operacion deseado en la presencia de errores de mode-lamiento.

Debido a que estas dos ultimas desventajas del control feedforward constituyen,precisamente, las fortalezas del control feedback (rechazo de perturbaciones no medi-das y correccion por errores de modelamiento), en algunas aplicaciones practicas seacostumbra usar simultaneamente los esquemas de control feedback y feedforward. Deesta forma se tendran acumuladas las ventajas que cada tipo de esquema de control.Este punto sera retomado mas adelente.

4 Ejemplos de control feedforward

En esta seccion presentamos dos ejemplos que muestran la forma como el uso del controlfeedforward coadyuva al rechazo de perturbaciones cuando estas pueden ser medidas.

Ejemplo 1 Dada la siguiente planta:

Gp =3

0.5s + 1

4

usar el esquema de control feedforward puro para rechazar la perturbacion unitaria (d cambiade 0 a 1) representada por la siguiente funcion de transferencia:

Gd =5

2s + 1

De la ecuacion 2.4,

Kff = −(2.5s + 5)

(6s + 3)

en la figura 2 se muestra la respuesta de la planta cuando la perturbacion d cambia de0 a 1. Tambien se muestra la conducta dinamica de la variable manipulada u. Comopuede notarse de esta figura, el rechazo de la perturbacion es perfecto. La razon de esterechazo perfecto puede entenderse facilmente examinando la figura 2c. En esta figurase grafican las respuestas de la funcion de transferencia de la perturbacion Gd y de laplanta Gp justo antes de que ambas entren al sumador para asi obtener la respuestaglobal de la planta y. El control es perfecto debido a que los dos efectos anteriores secancelan mutuamente.

Ejemplo 2 Considere las mismas plantas del ejemplo 1 pero modificadas para incluirretardos debido a mediciones:

Gp =3e−2s

0.5s + 1

Gd =5e−3s

2s + 1

emplear un controlador feedforward para el control de este sistema cuando la perrturbaciond cambia de 0 a 1.

De nueva cuenta, de la ecuacion 2.4,

Kff = −(2.5s + 5)

(6s + 3)e−s

en la figura 3 se muestran la respuesta dinamica de la planta, de la accion de controly, de nueva cuenta, la respuesta dinamica de la perturbacion y de la planta antes deque ingresen al sumador.

5 Control Feedback y Feedforward simultaneos

Anteriormente mencionamos que los esquemas de control feedback y feedforward poseen,por separado, vantajas importantes. Entre estas podemos mencionar las siguientes.

• El control feedforward tiene la capacidad de eliminar el efecto de perturbacionesmedidas sobre la respuesta de la planta.

• El control feedback puede corregir el efecto de pertubaciones no medidas sobrela respuesta de la planta a lazo cerrado.

5

• El controlador feedback puede tambien corregir el efecto de errores de mode-lamiento sobre el sistema de control a lazo cerrado.

resulta entonces logico, como una forma de obtener las ventajas de ambos esquemasde control, el uso simultaneo de los esquemas de control feedback y feedforward. En lafigura 4 se muestra el diagrama de bloques del sistema combinado de control feedbackmas control feedforward. El siguiente ejemplo ilustra las ventajas de dicho esquemasimultaneo comparado al uso de solo el esquema de control feedback.

Ejemplo 3 Emplear un esquema combinado de control feedback y feedforward para elcontrol del sistema descrito en el ejemplo 2:

Gp =3e−2s

0.5s + 1

Gd1 =5e−3s

2s + 1

donde Gd1 representa el efecto de la pertubacion d1 que, suponemos, se mide. Supongamostambien que existe otra perturbacion Gd2 que afecta a la respuesta de la planta y que nose mide dada por:

Gd2 =4e−5s

5s + 1

a) Usando control feedforward, determinar el desempeno del esquema de control cuandoambas perturbaciones medida y no medida (Gd1 y Gd2, respectivamente) ingresan alproceso.

b) Emplear un esquema combinado de control feedforward y feedback para el controldel sistema descrito antes. Emplear las reglas de ZN para sintonizar el controladorfeedback.

a) En la figura 5 se presenta el desempeno del esquema de control feedforward cuandoambas perturbaciones Gd1 y Gd2 ingresan al proceso. Como vimos antes en elejemplo 2, el esquema de control feedforward toma accion correctiva cuando laperturbacion se mide. Si alguna perturbacion no medida ingresa al proceso, elsistema de control feedforward no tiene forma de ejercer alguna accion correctiva,debido a que nunca se entera del ingreso de dicha perturbacion.

b) Los parametros de ZN para la sintonizacion del controlador PI feedback sonkc=0.2273 y τI=2.3426. En la figura 6 se muestran la respuesta dinamica dela variable controlada y las obtenidas por el controlador feedforward y feedback;tambien se muestra la respuesta total del esquema de control obtenida como lasuma de ambos controladores. Como podemos notar, el desempeno del esquemacombinado de control feedback y forfeedward es claramente superior al del controlfeedforward, lo cual era claramente de esperar.

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2

x 10−15

(a) Tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

(b) Tiempo

u

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

(c) Tiempo

y

PerturbacionPlanta

Figura 2: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de la accion de control y (c)comparacion entre la respuesta de la perturbacion y la planta antes de que se sumenambas senales.

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

10

15x 10

−4

(a) Tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

(b) Tiempo

u

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

(c) Tiempo

y

PerturbacionPlanta

Figura 3: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de la accion de control y (c)comparacion entre la respuesta de la perturbacion y la planta antes de que se sumenambas senales.

8

K

Gp

Gdff

d

y++

uKfb

+++

-

y r

Figura 4: Esquema de control combinado de tipo Feedforward mas Feedback.

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

4

(a) Tiempo

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1.5

−1

−0.5

0

(b) Tiempo

u

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−5

0

5

(c) Tiempo

y

Perturbacion medidaPlantaPerturbacion no medida

Figura 5: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de la accion de control y (c)comparacion entre las respuestas de la perturbacion medida, la planta y la perturbacionno medida antes de que se sumen las senales.

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) Tiempo

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

(b) Tiempo

u

FeedforwardFeedbackCombinado

Figura 6: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de las acciones de control delos controladores feedforward (–),feedback(-.) y accion de control obtenida por ambos(-).

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