CONTROL ANÁLOGO PARTE 2

CONTROL ANÁLOGOPARTE 2

LUIS EDO GARCÍA JAIMESINSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE ENVIGADO

2018

Luis Edo Garcia Jaimes

RESPUESTA EN LA FRECUENCIASe entiende por respuesta en frecuencia, a la respuesta de un sistema en estado

estacionario ante una entrada sinusoidal. En los métodos de respuesta en frecuencia,

la frecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango, para estudiar la

respuesta resultante.

En un sistema lineal e invariante en el tiempo si la entrada x(t) es una señal sinusoidal,

la salida en estado estacionario será también una señal sinusoidal de la misma

frecuencia, pero con diferente magnitud y ángulo de fase.

Sea 𝐺(𝑆) la función de transferencia de un sistema y 𝑋(𝑆) una entrada sinusoidal. La

salida del sistema en el dominio temporal y régimen permanente es:

𝑦 𝑡 = 𝐺(𝑗𝜔) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−

𝐼𝑚𝑅𝑒


MÉTODOS RESPUESTA EN FRECUENCIA


a) Diagramas de Nichols

b) Diagramas de Nyquuist

c) Diagramas de Bode

DIAGRAMAS DE BODE

Un diagrama de Bode consta de dos gráficas: una para la amplitud de la salida y otra

para el ángulo de fase de la salida ambas en escala logarítmica en función de la

frecuencia.

El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal

de salida transformada a decibelios. El diagrama de fase representa en el eje de

ordenadas el ángulo de desfase de la señal de salida en grados.

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 20 log 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 𝑑𝐵

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛− 𝐼𝑚𝑅𝑒

𝐷𝑒𝑔


DIAGRAMA DE BODE DE UNA CONSTANTEPara este caso se tiene:

𝐺 𝑆 = 𝐾 𝐺 𝑗𝜔 = 𝐾

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 = 𝐾 ∠𝐺 𝑗𝜔 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝐼𝑚𝑅𝑒

= 0

𝑑𝐵 = 20log(𝐾)


DIAGRAMA DE BODE DE UN INTEGRADOR


𝐺 𝑆 =1

𝑆 𝐺 𝑗𝜔 =

1

𝑗𝜔= −

𝑗

𝜔

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 =

1

𝜔 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝐼𝑚

𝑅𝑒 = 𝑡𝑎𝑛−1 −∞ 𝜃 = −90°

𝐺(𝑗𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔 1

𝜔 𝜔 = 1 𝐺(0) = 0 𝜔 = 10 𝐺(10) = −20

DIAGRAMA DE BODE DE UN DERIVADOR

𝐺 𝑆 = 𝑆 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 = 𝜔 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝐼𝑚𝑅𝑒

= 𝑡𝑎𝑛−1 ∞ 𝜃 = 90°

𝐺(𝑗𝜔) = 20𝑙𝑜𝑔 𝜔 𝜔 = 1 𝐺(0) = 0 𝑑𝐵 𝜔 = 10 𝐺(10) = 20 𝑑𝐵


DIAGRAMA DE BODE DE UN ATRASO DE PRIMER ORDEN

𝐺 𝑆 =1

𝜏𝑆 + 1 𝐺 𝑗𝜔 =

1

𝑗𝜏𝜔 + 1

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 =

1

1 + 𝜏2𝜔2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝐼𝑚𝑅𝑒

= −𝑡𝑎𝑛−1 𝜏𝜔


1 + 𝜏2𝜔2 𝜏 = 3

𝜔 = 0 𝐺(0) = 0 𝑑𝐵 𝜃 = 0 𝜔 = 100 𝐺(100) ≈ −50 𝑑𝐵 𝜃 ≈ −90°


DIAGRAMA DE BODE DE UN ATRASO DE SEGUNDO ORDEN

𝐺 𝑆 =𝜔𝑛

2

𝑆2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑆 + 𝜔𝑛2

𝐺(𝑗𝜔) =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2 − 𝜔2 + 𝑗2𝜉𝜔𝑛𝜔

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚

2 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2 − 𝜔2 2 + 2𝜉𝜔𝑛𝜔 2

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝐼𝑚𝑅𝑒

= −𝑡𝑎𝑛−1 2𝜉𝜔𝑛𝜔

𝜔𝑛2 − 𝜔2

𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2 − 𝜔2 2 + 2𝜉𝜔𝑛𝜔 2


DIAGRAMA DE BODE DE UN ADELANTO DE PRIMER ORDEN

𝐺 𝑆 = 𝜏𝑆 + 1 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜏𝜔 + 1

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 = 1 + 𝜏2𝜔2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝐼𝑚𝑅𝑒

= 𝑡𝑎𝑛−1 𝜏𝜔


1 + 𝜏2𝜔2 𝜏 = 3

𝜔 = 0 𝐺(0) = 0 𝑑𝐵 𝜃 = 0 𝜔 = 100 𝐺(100) ≈ 50 𝑑𝐵 𝜃 ≈ 90


DIAGRAMA DE BODE DE UN ADELANTO DE SEGUNDO ORDEN

𝐺 𝑆 =𝑆2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑆 + 𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2

𝐺(𝑗𝜔) = 𝜔𝑛

2 − 𝜔2 + 𝑗2𝜉𝜔𝑛𝜔

𝜔𝑛2

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚

2 = 𝜔𝑛

2 − 𝜔2 2 + 2𝜉𝜔𝑛𝜔 2

𝜔𝑛2

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝐼𝑚𝑅𝑒

= 𝑡𝑎𝑛−1 2𝜉𝜔𝑛𝜔

𝜔𝑛2 − 𝜔2

𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2 − 𝜔2 2 + 2𝜉𝜔𝑛𝜔 2


CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BODE


Obtener el diagrama de bode del sistema:

𝐺 𝑆 =3 𝑆 + 2

𝑆 𝑆 + 5 𝑆2 + 4𝑆 + 3 → 𝐺 𝑗𝜔 =

3(𝑗𝜔 + 2)

𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 5)( 3 − 𝜔2 + 𝑗4𝜔)

𝐺 𝑗𝜔 =3 4 + 𝜔2

𝜔 (25 + 𝜔2)( 3 − 𝜔2 2 + 16𝜔2) 𝜃 = −90 + 𝑡𝑎𝑛−1

𝜔

2 − 𝑡𝑎𝑛−1

𝜔

5 − 𝑡𝑎𝑛−1

4𝜔

3 − 𝜔2 2

w 20logw Fase

0.1 12.002 -95.903 0.3 2.1623 -107.31 0.5 -2.8062 -117.70 0.7 -6.4053 -126.81 0.9 -9.3323 -134.66 1.1 -11.836 -141.46 1.3 -14.036 -147.41 1.5 -16.005 -152.70 1.7 -17.79 -157.49 1.9 -19.428 -161.86 2.1 -20.945 -165.91 2.3 -22.362 -169.69 2.5 -23.694 -173.23 2.7 -24.953 -176.56 2.9 -26.15 -179.71 3.1 -27.293 -182.69

PROGRAMA EN MATLAB


%DIAGRAMA DE BODE clc num=[3 6]; den=conv([1 5 0],[1 4 3]); w=0.1:0.2:10; [mag,fase,w]=bode(num,den,w); % magnitud, fase y frecuencia Y=[w 20*log10(mag) fase]; %Escribe los tres datos en columna bode(num,den,w) % Grafica el diagrama de bode grid

MARGEN DE GANANCIA


Es importante resaltar que los márgenes de fase y de ganancia de un sistema en lazo

cerrado, se miden sobre el diagrama de Bode de lazo abierto.

El margen de ganancia MG, se mide en la frecuencia de cruce de fase (𝜔𝜋), del

diagrama de Bode en lazo abierto. Es el valor en decibelios que le faltan al sistema

para alcanzar los 0 dB.

𝑀𝐺 𝑑𝑏 = 20 log1

𝐺(𝑗𝜔𝜋)

Frecuencia de cruce de fase (𝜔𝜋): Es la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la

función de transferencia de lazo abierto alcanza −180º

MARGEN DE FASE

El margen de fase MF, se mide en la frecuencia de cruce de ganancias 𝜔𝑐 del

diagrama de Bode en lazo abierto. Es el valor en grados que le faltan al sistema para

llegar – 180°

𝜙𝑃𝑀 = 180𝑜 + 𝜃𝑐

Frecuencia de cruce de ganancia (𝜔𝑐): Se define como la frecuencia a la cual la

magnitud de la función de transferencia de lazo abierto es igual a 1 es decir 0 db.

Un sistema en lazo cerrado es estable cuando sus márgenes de fase y ganancia

son ambos positivos.

Para lograr un funcionamiento satisfactorio del sistema de control, el margen de

ganancia debe ser superior a 6 db y el margen de fase debe estar comprendido entre

30º y 60º.


INTERPRETACIÓN DEL MG Y DEL MF


EJEMPLO DIAGRAMA DE BODE: MG Y MF


Hallar el margen de ganancia y el margen de fase del sistema de control de la figura

en lazo cerrado.

NOTA: Es importante resaltar que los márgenes de fase y de ganancia de un en lazo

cerrado, se miden sobre el diagrama de Bode de la función de transferencia en lazo

abierto.

La función de transferencia del Sistema en lazo abierto es:

𝐺 𝑆 =1.5𝑒−4𝑆

(10𝑆 + 1)(5𝑆 + 1) → 𝐺 𝑗𝜔 =

1.5𝑒−𝑗4𝜔

(𝑗10𝜔 + 1)(𝑗5𝜔 + 1)

𝐺(𝑗𝜔) =1.5

(1 + 100𝜔2)(1 + 25𝜔2) 𝜃 = −229.2𝜔 − 𝑡𝑎𝑛−1 10𝜔 − 𝑡𝑎𝑛−1 5𝜔

PROGRAMA EN MATLAB


0.01 3.4678 -10.865 0.03 3.0509 -32.106 0.05 2.2894 -52.061 0.07 1.2881 -70.326 0.09 0.14419 -86.843 0.11 -1.0699 -101.75 0.13 -2.3062 -115.25 0.15 -3.5352 -127.56 0.17 -4.7393 -138.86 0.19 -5.9084 -149.32 0.21 -7.0375 -159.07 0.23 -8.1242 -168.21 0.25 -9.1682 -176.84 0.27 -10.17 -185.03 0.29 -11.131 -192.85

DIAGRAMA DE BODE: MG Y MF


Para los sistemas mostrados, obtenga el margen de ganancia y el margen de fase

del sistema en lazo cerrado. Determine la estabilidad de cada sistema

𝐾 = 20 𝐾 = 12

𝐾 = 0.5 𝐾 = 20

MODOS DE CONTROL Y DISEÑO DE CONTROLADORES


Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la

entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación (error) y produce

una señal de control que reducirá la desviación (error) a cero o a un valor pequeño.

La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se

denomina acción de control.

El diseño del controlador consiste en modificar las características de respuesta de

los elementos que se encuentran en la trayectoria directa o en la de realimentación,

de manera tal que la respuesta de la configuración en lazo cerrado satisfaga los

requisitos de funcionamiento.

MODOS DE COTROL


Control ON-OFF

Control proporcional (P).

Control integral (I).

Control derivativo (D).

Además, los controladores pueden combinarse entre sí, lo que da por resultado la

formación de las siguientes configuraciones:

Control proporcional-integral (PI).

Control proporcional-derivativo (PD).

Control proporcional-integral-derivativo (PID).

CONTROL ON-OFF (TODO-NADA)


El controlador trabaja en una de dos posiciones fijas, “conectado” o “desconectado”.

este control es elemental y consiste en activar el mando de acción cuando la variable

controlada está por debajo del valor deseado y luego desactivarlo cuando esté por

arriba.

La salida del controlador es:

𝑚 𝑡 = 𝑀1 𝑠𝑖 𝑒 𝑡 > 0

𝑀2 𝑠𝑖 𝑒(𝑡) ≤ 0

FUNCIONAMIENTO DEL CONTROL ON-OFF


CONTROL PROPORCIONAL (P)


Esta acción de control se caracteriza porque la salida del controlador es proporcional

a la señal de error actuante.

La ecuación de este controlador es:

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 + 𝑚𝑜

La función de transferencia es:

𝐺𝑐 𝑆 =𝑀 𝑆

𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝

𝑚(𝑡) = Señal de control.

𝑚𝑜 = Señal de salida cuando 𝑒(𝑡) = 0.

𝑒(𝑡) = Señal de error actuante.

𝑆𝑃 = valor de referencia (set point).

𝐾𝑝 =Ganancia proporcional

CONTROL PIEn un controlador proporcional-integral (PI), la salida del controlador 𝑚(𝑡) es

proporcional al error 𝑒(𝑡) mas una cantidad proporcional a la integral del error e(t).

Ecuación del controlador PI

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1

𝜏𝑖 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑚𝑜

La función de transferencia del controlador PI es:


𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆


CONTROL PDUn controlador es de tipo proporcional-derivativo (PD) cuando la salida del

controlador 𝑚(𝑡) es proporcional al error 𝑒(𝑡), sumado más una cantidad proporcional

a la derivada del error 𝑒 𝑡 .

La ecuación del controlador PD es:

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒(𝑡) + 𝜏𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝑚𝑜

La función de transferencia del controlador PD es:

𝐺𝑐𝑆) =𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 𝐾𝑝 1 + 𝜏𝑑𝑆


CONTROL PID

Un controlador es de tipo proporcional-integral-derivativo (PID) cuando la salida del

controlador 𝑚(𝑡) es proporcional al error 𝑒(𝑡), más una cantidad proporcional a la

integral del error 𝑒(𝑡) más una cantidad proporcional a la derivada del error 𝑒(𝑡):

Ecuación del controlador PID

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1

𝜏𝑖 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜏𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝑚𝑜

La función de transferencia del controlador PID es:

𝐺𝑐𝑆) =𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆+𝜏𝑑𝑆


e(t)r(t)

+

-

EFC PLANTAm(t)

CONTROLADOR

y(t)

CONTROL PID (2)


PROPIEDADES DE LOS CONTROLADORES


SINTONIA DE CONTROLADORESLa sintonía de un controlador consiste en determinar el valor de sus parámetros para

lograr un comportamiento del sistema de control aceptable y robusto de conformidad

con algún criterio de desempeño establecido.

Los procedimientos de sintonía de controladores requieren del conocimiento de la

dinámica del proceso la cual se obtiene generalmente por medio de un modelo

identificado mediante métodos experimentales.

A partir del modelo estimado para el proceso, se determinan los valores requeridos

para los parámetros del controlador.

Es necesario conocer también la función de transferencia del controlador que se

desea sintonizar y cuáles son los parámetros necesarios para la sintonía del

controlador empleado.


MÉTODO DE GANANCIA LÍMITE

Para determinar los parámetros de ajuste del controlador utilizando este método se

trabaja con el sistema en lazo cerrado, es decir, con el controlador en automático y

se procede experimentalmente así:

a) Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador, es decir trabajar con el

controlador como proporcional únicamente.

b) Con el controlador en automático, colocar una ganancia pequeña e irla

incrementando paso a paso introduciendo pequeños cambios en el set-point a uno y

otro lado del punto de operación hasta que el sistema empiece a oscilar con amplitud

constante. Se anota el valor de la ganancia 𝐾𝑢 con la cual se produce la oscilación.

c) En la gráfica que se obtiene de la variable, se mide el período de oscilación, este

es el período último 𝑇𝑢 .


MÉTODO DE GANANCIA LÍMITE (2)


Los parámetros del controlador se dan en la tabla adjunta:

EJEMPLO CONTROLADOR POR GANANCIA LÍMITE

Aplique el método de ganancia límite al sistema representado en la figura para y

calcule los parámetros de un controlador:

a) Proporcional (P).

b) Proporcional-integral (PI).

c) Proporcional-integral-derivativo (PID).


La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

𝐺𝑤 𝑆 =

𝐾 𝑆 + 1 𝑠 + 2 𝑠 + 3

1 +𝐾

𝑆 + 1 𝑠 + 2 𝑠 + 3

𝐺𝑤 𝑆 =𝐾

𝑆3 + 6𝑆2 + 11𝑆 + 6 + 𝐾

EJEMPLOLa ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:

𝑆3 + 6𝑆2 + 11𝑆 + 6 + 𝐾 = 0

Utilizando el criterio de Routh:

𝑆3

𝑆2

𝑆1

𝑆0

1 116 6 + 𝐾

(60 − 𝐾) 6 0

6 + 𝐾

60 − 𝐾

6> 0

6 + 𝐾 > 0

−6 < 𝐾 < 60

𝐾𝑢 = 60

Tomando la fila 𝑆2 del arreglo: 6𝑆2 + 6 + 𝐾 = 0 y reemplazan el valor de 𝐾𝑢 = 60

Resulta:

6𝑆2 + 66 = 0 𝑆 = 𝑗3.316 𝜔 = 3.316 𝑟𝑎𝑑/𝑠


Así el periodo de oscilación es:

𝑇𝑢 =2𝜋

𝜔 𝑇𝑢 =

6.28

3.316 𝑇𝑢 = 1.893 𝑠.

CONTINUACION EJEMPLO


Según la tabla de ganancia límite se obtiene:

a) Control proporcional (P):

𝐾𝑝 = 0.5𝐾𝑢 𝐾𝑝 = 30 𝐺𝑐 𝑆 =𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 30

b) Control Proporcional-Integral (PI):

𝐾𝑝 = 0.45𝐾𝑢 𝐾𝑝 = 27 𝑇𝑖 =𝑇𝑢

1.2 𝑇𝑖 = 1.577

𝐺𝑐 𝑆 =𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 𝐾𝑝 1 +

1

𝑇𝑖𝑆 𝐺𝑐 𝑆 =

𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 27

𝑆 + 0.634

𝑆

c) Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

𝐾𝑝 = 0.6𝐾𝑢 𝐾𝑝 = 36 𝑇𝑖 =𝑇𝑢

2 𝑇𝑖 = 0.946 𝑇𝑑 =

𝑇𝑢

8 𝑇𝑑 = 0.236


𝐸(𝑆)= 𝐾𝑝 1 +

1

𝑇𝑖𝑆+ 𝑇𝑑𝑆 𝐺𝑐 𝑆 =

𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 36 1 +

1.057

𝑆+ 0.236𝑆

OTRO MÉTODO

La ecuación característica del sistema en lazo cerrado dio:

𝑆3 + 6𝑆2 + 11𝑆 + 6 + 𝐾 = 0

Haciendo 𝑆 = 𝑗𝜔 rsulta:

𝑗𝜔 3 + 6 𝑗𝜔 2 + 11 𝑗𝜔 + 6 + 𝑘 = 0

6 + 𝐾 − 6𝜔2 + 𝑗𝜔 11 − 𝜔2 = 0

Igualando parte real y parte imaginaria a cero resulta:

𝜔 11 − 𝜔2 = 0 𝜔 = 0 𝜔2 = 11 𝜔 = 3.316 𝑟𝑎𝑑/𝑠

6 + 𝐾 − 6𝜔2 = 0 6 + 𝐾 − 66 = 0 𝐾 = 60

Con los valores de 𝐾 = 60 𝑦 𝜔 = 3.316 se calculan los controladores como se vió

anteriormente.


RESPUESTAS DEL SISTEMA CON LOS CONTROLADORES


MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN ZIEGLER-NICHOLS

Ziegler y Nichols propusieron otro método de ajuste de controladores asumiendo que

la función de transferencia de lazo abierto de la planta se puede aproximar a un

modelo de primer orden con retardo (POR)


𝐺𝑝 𝑆 =𝐾𝑒−𝜃𝑆

𝜏𝑆 + 1

En donde 𝐾 es la ganancia, 𝜏 la constante de tiempo y 𝜃′ es el retardo.

Los parámetros de ajuste del controlador se estiman a partir de la tabla.

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑲𝒄 𝝉𝒊 𝝉𝒅

𝑷 𝜏

𝐾𝜃 − −

𝑷𝑰 0.9𝜏

𝐾𝜃 3.33𝜃 −

𝑷𝑰𝑫 1.2𝜏

𝐾𝜃 2𝜃 0.5𝜃

EJEMPLO CONTROL POR ZIEGLER-NICHOLS


La función de transferencia de lazo abierto de cierto proceso térmico está dada por:

𝐺𝑝 𝑆 =2.5𝑒−3𝑆

15𝑆 + 1

Utilice el método de Ziegler-Nichols y obtenga para el sistema a) Un controlador

Proporcional b) Un controlador PI c) un controlador PID. d) Grafique la respuesta del

sistema con cada uno de los controladores.

a) Control Proporcional (P)


𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝 𝐾𝑃 =

𝜏

𝐾𝜃=

15

2.5 ∗ 3= 2 𝐺𝑐 𝑆 =

𝑀 𝑆

𝐸 𝑆 = 2

b) Control Proporcional Integral (PI)


𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆 𝐾𝑝 =

0.9𝜏

𝐾𝜃 𝜏𝑖 = 3.33𝜃

𝐾𝑝 =0.9 ∗ 15

2.5 ∗ 3= 1.8 𝜏𝑖 = 3.33 ∗ 3 = 9.99 𝐺𝑐 𝑆 =

𝑀 𝑆

𝐸 𝑆 = 1.8 1 +

1

9.99𝑆

CONTROL POR ZIEGLER-NICHOLS (1)


a) Control proporcional Integral Derivativo (PID)


𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆+ 𝜏𝑑𝑆 𝐾𝑝 =

1.2𝜏

𝐾𝜃 𝜏𝑖 = 2𝜃 𝜏𝑑 = 0.5𝜃

𝐾𝑝 =1.2∗15

2.5∗3= 2.4 𝜏𝑖 = 2 ∗ 3 = 6 𝜏𝑑 = 0.5 ∗ 3 = 1.5 𝐺𝑐 𝑆 =

𝑀 𝑆

𝐸 𝑆 = 2.4 1 +

1

6𝑆+ 1.5𝑆

El controlador así no es realizable, se asume: 𝐺𝑐 𝑆 =𝑀 𝑆

𝐸 𝑆 = 2.4 1 +

1

6𝑆+

1.5𝑆

0.015𝑆+1

CONTROL POR ZIEGLER-NICHOLS (2)


NOTA: En el diseño de controladores se pueden considerar Controladores rápidos,

controladores moderados y controladores lentos. Los controladores moderados y

lentos tienen menor ganancia y disminuyen el sobreimpulso, pero hacen más lenta la

respuesta del sistema.

Para Controladores Rápidos: La ganancia 𝐾𝑝 es la calculada.

Para controladores Moderados: La ganancia es 𝐾𝑝𝑚 = 0.75 ∗ 𝐾𝑝

Para controladores lentos: La ganancia es 𝐾𝑝𝑙 = 0.5 ∗ 𝐾𝑝

CÁLCULO DE CONTROLADORES SEGÚN COHEN-COONCohen y Coon aplicaron los criterios simples: 1/4 de decaimiento; minimización del

offset (error) y minimización de la Integral del cuadrado del error para obtener los

"mejores" valores de los parámetros del controlador en bucle cerrado.

El método de Cohen-Coon se aplica a sistemas cuya dinámica se aproxima a un

modelo de primer orden con retardo (POR)

𝐺𝑝(𝑆) =𝐾𝑒−𝜃𝑆

𝜏𝑆 + 1


CONTROLADOR 𝑲𝒑 𝝉𝒊 𝝉𝒅

P 𝜏

𝐾𝜃 1 +

𝜃

3𝜏 - -

PI 𝜏

𝐾𝜃 0.9 +

𝜃

12𝜏 𝜃

30𝜏 + 3𝜃

9𝜏 + 20𝜃 -

PID 𝜏

𝐾𝜃 1.33 +

𝜃

4𝜏 𝜃

32𝜏 + 6𝜃

13𝜏 + 8𝜃 𝜃

4𝜏

11𝜏 + 2𝜃

EJEMPLO CONTROLADOR SEGÚN COHEN-COON

La figura muestra un intercambiador de calor al cual se le aplica un cambio del 10%

al 30% en la apertura de la válvula de control de entrada de vapor y la temperatura

en el interior del mismo cambia según la gráfica adjunta. El sensor de temperatura

tiene un rango de 0 a 200 °C. Aproxime la dinámica del sistema a un modelo de

primer orden con retardo y diseñe para el mismo un controlador PI utilizando el

método de Cohen-Coon


RESPUESTA DEL INTERCAMBIADOR


Como la apertura de la válvula está en % y la temperatura en °C, es conveniente que

las dos variables se den en las mismas unidades. Dado que el sensor de temperatura

tiene un rango de 0 a 200 °C, los 20 °C equivalen al 10% y los 50 °C al 25%.

Como el sistema se aproxima a un modelo POR se tiene:

OBTENCIÓN DEL MODELO POR


𝐺𝑝 𝑆 =𝐾𝑒−𝜃𝑆

𝜏𝑆 + 1

𝐾 =

∆𝑦

∆𝑈

𝜃 +𝜏

3= 𝑡1

𝜃 + 𝜏 = 𝑡2

∆𝑌 = 25% − 10% = 15% ∆𝑈 = 30% − 10% = 20%

El 28.3% de cambio en la temperatura está en:

10% + 0.283 ∗ 15% = 14.245% 28.49 °𝐶 𝑡1 = 6 𝑚𝑖𝑛

El 63.2% de cambio en la temperatura está en:

10% + 0.632 ∗ 15% = 19.48% 38.96 °𝐶 𝑡2 = 10 𝑚𝑖𝑛

Por tanto: 𝐾 =∆𝑌

∆𝑈=

15%

20% 𝐾 = 0.75

𝜃 +

𝜏

3= 6

𝜃 + 𝜏 = 10 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

𝜏 = 6 𝑚𝑖𝑛𝜃 = 4 𝑚𝑖𝑛

El modelo es:

𝐺𝑝(𝑆) =0.75𝑒−4𝑆

6𝑆 + 1

CÁLCULO DEL CONTROLADOREl controlador PI según Cohen-Coon es:


𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆

𝐾𝑝 =𝜏

𝐾𝜃 0.9 +

𝜃

12𝜏 =

6

0.75 ∗ 4 0.9 +

4

12 ∗ 6 = 1.911

𝜏𝑖 = 𝜃 30𝜏 + 3𝜃

9𝜏 + 20𝜃 = 4

30 ∗ 6 + 3 ∗ 4

9 ∗ 6 + 20 ∗ 4 = 5.731


𝐸 𝑆 = 1.911 1 +

1

5.731𝑆 𝐺𝑐 𝑆 =

𝑀 𝑆

𝐸 𝑆 = 1.911

𝑆 + 0.1744

𝑆


AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE ERROR MÍNIMO


Integral del valor absoluto del error

Integral del cuadrado del error

Integral del valor absoluto del error

por el tiempo

Integral del cuadrado del error por el

tiempo

𝐼𝐴𝐸 = 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡∞

0

𝐼𝐶𝐸 = 𝑒2 𝑡 𝑑𝑡∞

0

𝐼𝐴𝐸𝑇 = 𝑡 𝑒(𝑡) ∞

0

𝑑𝑡 𝐼𝐶𝐸𝑇 = 𝑡𝑒2∞

0

𝑡 𝑑𝑡

Una de las exigencias que debe cumplir un sistema de control es la exactitud. Esto

implica que el error, es decir, la diferencia entre el Set-point y el valor de la variable

controlada se debe minimizar.

Como los sistemas de control son dinámicos, las especificaciones de su

comportamiento pueden dar en términos de un índice de desempeño. El índice de

desempeño es un número que indica la “calidad” del comportamiento de un sistema.

A continuación, se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales

del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control.

CÁLCULO DE CONTROLADORES SEGÚN EL CRITERIO DE ERROR MÍNIMO

Para un sistema de primer orden con retardo (POR), los ajustes del controlador

utilizando el criterio de la integral del error son:

𝐺𝑃(𝑆) =𝐾𝑒−𝜃𝑆

𝜏𝑆 + 1


Ajustes para el controlador P.

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷 𝑰𝑪𝑬 𝑰𝑨𝑬 𝑰𝑨𝑬𝑻

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.411

𝑏 = −0.917

0.902

−0.985

0.940

−1.084

Ajustes para el controlador PI.

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷𝑰 𝑰𝑪𝑬 𝑰𝑨𝑬 𝑰𝑨𝑬𝑻

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.305

𝑏 = −0.959

0.984

−0.986

0.859

−0.977

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 0.492

𝑏 = 0.739

0.608

0.707

0.674

0.680

CÁLCULO DE CONTROLADORES SEGÚN EL CRITERIO DE ERROR MÍNIMO (1)

Ajustes para el controlador PID.

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷𝑰𝑫 𝑰𝑪𝑬 𝑰𝑨𝑬 𝑰𝑨𝑬𝑻

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.495

𝑏 = −0.945

1.435

−0.921

1.357

−0.947

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.101

𝑏 = 0.771

0.878

0.749

0.842

0.738

𝜏𝑑 = 𝑎𝜏 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 0.560

𝑏 = 1.006

0.482

1.137

0.381

0.995


EJEMPLO CALCULO DE CONTROLADOR POR ICE


La función de transferencia de la marmita dada en la figura se puede aproximar a

un sistema de primer orden con retardo (POR), con función de transferencia:

𝐺𝑝 𝑆 =0.8𝑒−6𝑆

18𝑆 + 1 𝑡 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛

Obtenga para el sistema: a) Un controlador Proporcional b) Un controlador PI c) un

controlador PID utilizando el criterio ICE

SOLUCIÓN

Control P


𝐸(𝑆)= 𝐾𝑝 𝐾𝑝 =

𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

𝐼𝐶𝐸 = 𝑎 = 1.411𝑏 = −0.917

𝐾𝑝 =1.411

0.8

6

18 −0.917

= 4.83 𝐺𝑐 𝑆 =𝑀(𝑆)

𝐸(𝑆)= 4.83

Control PI


𝐸(𝑆)= 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆 𝐼𝐶𝐸 =

𝐾𝑝 =

𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.305

𝑏 = −0.959

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 0.492𝑏 = 0.739

𝐾𝑝 =1.305

0.8

6

18 −0.959

= 4.678 𝜏𝑖 =18

0.492

6

18

0.739

= 16.244


SOLUCIÓN (1)

Control PID


𝐸 𝑆 = 𝐾𝑝 1 +

1

𝜏𝑖𝑆+ 𝜏𝑑𝑆 𝐼𝐶𝐸 =

𝐾𝑝 =

𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.495

𝑏 = −0.945

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 1.101𝑏 = 0.771

𝜏𝑑 = 𝑎𝜏 𝜃

𝜏 𝑏

𝑎 = 0.560𝑏 = 1.006

𝐾𝑝 =1.495

0.8

6

18 −0.945

= 5.277 𝜏𝑖 =18

1.101

6

18

0.771

= 7.008 𝜏𝑑 = 0.56 ∗ 18 6

18

1.006

= 3.337


𝐸 𝑆 = 5.277 1 +

1

7.008𝑆+

3.337𝑆

0.0337𝑆 + 1



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CONTROL ANÁLOGO PARTE 2