CONTOH SOAL ANALISA MATRIKS (Deformasi aksial diabaikan)

GAMBAR PORTAL

Data Properties Penampang

Tinggi balok, h = 35 cm

Lebar balok, b = 20 cm

Mutu beton, fc' = 250 kg/cm2

Modulus elastisitas beton, Ec =4700 x sqrt (fc'/10) x 10 Ec = 235000 kg/cm2

Momen inersia balok, Ix = 1/12 x bh3

Ix = 71458.33 cm4

Span (bentang) balok, L1 = 400 cm

Span (bentang) balok, L2 = 300 cm

Span (bentang) balok, L3 = 600 cm

Span (bentang) balok, L4 = 250 cm

Jarak beban, a1 = L1/2 a1 = 200 cm

Jarak beban, a2 = L2/3 a2 = 100 cm

Jarak beban, a3 = L3/3 a3 = 200 cm

Beban-beban yang bekerja

q1 = 9 kg/cm

P = 1500 kg

M1 = 150000 kg.cm

M2 = 125000 kg.cm

Penyusunan matriks-matriks

GAMBAR PORTAL DIKEKANG

BEBAN HILANGKAN, GBRKAN DOF (misalkan DOF positif semua)

h

b

q1 = 9 Kg/cm

L4 = 2.50 m

a1 L1-a1

B A C D

E

P = 1000 Kg

M2 = 125000 kgcm M1 = 150000 kgcm

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

a2 L2-a2 a3 L3-a3

L4 = 2.50 m

B A C D

E

D2

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

D1

D3

D4

Hal.1 dari 12 Sondra Raharja, ST

GAMBAR 2 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANG

BEBAN HILANGKAN, KECUALI BEBAN SELARAS DOF

Susun matrik AD, ---> gaya luar yang selaras DOF

Dari perletakan didapat DOF = 4 Bh --> orde matriks d x 1 = AD4x1

0 0

AD = M1 AD = 150000

0 0

0 0

Selanjutnya menghitung reaksi ujung batang akibat gaya luar dan kekangan

GAMBAR PORTAL DIKEKANG

BEBAN DI MASUKAN, KECUALI YG SELARAS DOF,

YG SELARAS DOF DIHILANGKAN (M1 DI TITIK B TIDAK ADA),

GAMBARKAN REAKSI PERLETAKAN AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)

Catatan : ARL adalah reaksi perletakan semula, akibat beban primer

ADL adalah rekasi perletakan akibat kekangan pada posisi DOF atau

gaya akibat beban terjepit yg selaras dg DOF

L4 = 2.50 m

B A C D

E

M1 = 150000 kgcm

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

q1 = 9 Kg/cm

L4 = 2.50 m

a1 L1-a1

B A C D

E

P = 1000 Kg

M2 = 125000 kgcm

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

a2 L2-a2 a3 L3-a3

Hal.2 dari 12 Sondra Raharja, ST

Freebody A- B (Bentang 1) :

GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG

BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)

ARL1 = 13/32. q2.L3 = 1462.5 kg

ARL2 = 11/192.q2.L32

= 82500 kg.cm

Arp1ka = 3/32. q2.L3 = 337.5 kg

ADL2 = - 5/192. q2.L32

= -37500 kg.cm

Freebody B- C (Bentang 2) :

GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG

BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)

Arp2ki = P.(L2-a2)2

.[3.a2 + (L2-a2)] = 1111.111111 kg

L23

ADL2 = P.a2.(L2-a2)2

/ L22

= 66666.66667 kg.cm

ARL4 = P.a22

.[a2 + 3.(L2-a2)] = 388.8888889 kg

L23

ADL3 = - P.a22

.(L2-a2) / L22

= -33333.3333 kg.cm

Freebody C - D (Bentang 3) :

GAMBAR 2 . GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG

BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)

ALR4 = 6.M2.a3.(L3-a3) = 277.7777778 kg

L33

ADL3 = M2.(L3 - a3).[2.a3 - (L3 - a3)] = 0 kg.cm

L32

ARL5 = - 6.M2.a3.(L3-a3) = -277.777778 kg

L33

ARL6 = M2.a3.[2.(L3 - a3) - a3] = 41666.66667 kg.cm

L32

B C

P = 1000 Kg

a2= 1 m L2-a2 = 2 m

ADL2 ADL3

Arp2ki ARL4

D C

M2

a3 = 2 m L3-a2=4 m

ADL3 ARL6

ARL4 ARL5

B A

q1 = 9 Kg/cm

L3/2 = 1.5 m L3/2 = 1.5 m

ARL2 ADL2

ARL1 Arp1ka

Hal.3 dari 12 Sondra Raharja, ST

Freebody B - E (Bentang 4) :

GAMBAR 2 . GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANG

BESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)

Karena tidak ada gaya luar disepanjang bentang, maka reaksi perletakan tidak ada kecuali ARL3

sebagai akibat reaksi ujung batang diatasnya (penjumlahan gaya ujung batang di joint)

Arp4ats = 0 = 0 kg

Arp4axial = 0 = 0 kg

ADL2 = 0 = 0 kg.cm

ARL3 = Arp4axial = 0 kg

ADL1 = 0 = 0 kg

ADL4 = 0 = 0 kg.cm

Gabungkan seluruh reaksi ujung batang akibat gaya luar dan kekangan sehingga dapat disusun matriks ADL dan ARL

Pada joint B reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :

Arp1ka + Arp2ki + Arp4axial = 1448.611 kg

ADL2btg1 + ADL2btg2 + ADL2btg4 = 29166.67 kg.cm

Pada joint C reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :

ARL4 btg2 + ARL4 btg3 = 666.6667 kg

ADL3 btg2 + ADL3 btg3 = -33333.3 kg.cm

B

E

L4 = 2.5

ARL3

Arp4axial =0

ADL4=0

ADL2=0

ADL1=0

Arp4ats=0

B A

q1 = 9 Kg/cm

L3/2 = 1.5 m L3/2 = 1.5 m

ARL2 ADL2

ARL1 Arp1ka

B C

P = 1000 Kg

a2= 1 m L2-a2 = 2 m

ADL2 ADL3

Arp2ki ARL4

D C

M2

a3 = 2 m L3-a2=4 m

ADL3 ARL6

ARL4 ARL5

B

E

L4 = 2.5

ARL3

Arp1ka Arp2ki

ADL4=0

ADL2=0

ADL1=0

Arp4ats=0

Arp4axial=0

Hal.4 dari 12 Sondra Raharja, ST

Susun matriks ADL dan ARL sbb :

ADL1 ADL1 0

ADL2 = ADL2btg1 + ADL2btg2+ADL2btg4 = 29166.67

ADL = ADL3 ADL3btg2 + ADL3btg3 -33333.3

ADL4 ADL4 0

ARL1 ARL1 1462.5

ARL2 ARL2 82500

ARL = ARL3 = Arp1ka + Arp2ki + Arp4axial = 1448.611

ARL4 ARL4btg2 + ARL4btg3 666.6667

ARL5 ARL5 -277.778

ARL6 ARL6 41666.67

Susun matriks kekakuan [S] dan matriks reaksi perletakan [ARD]

Hitung matriks akibat displacement / perpindahan yaitu matriks kekakuan [S] dan matriks

reaksi perletakan semula akibat displacement [ARD]

Perpindahan 1 ---> yaitu akibat D1

GAMBAR PERPINDAHAN 1 SATUAN (PUT. TRANSLASI) PD TITIK E

UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN

GAMBAR SEMUA FREEBODY

GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT

PERPINDAHAN TSB

ARD11=0

L4 = 2.50 m

B A C D

E

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

∆ =1

ARD21=

ARD41 ARD51=0

ARD31

ARD61=0

S11

S41

S21

ArdB11

S31=0

EI

L1

ARD11

ARD21 S21

ArdB21

A B EI

L2

ArdB21

S21 S31

ARD41

B C EI

L3

ARD41

S31 ARD61

ARD51

C D

EI

∆ S41

B

ArdB11

S11

S21

E

L4

ARD31

ArdB21axial

Hal.5 dari 12 Sondra Raharja, ST

ARD11 = 0 = 0 kg

ARD21 = 0 = 0 kg.cm

ArdB11 = - 12.Ec.Ix = -12896.8 kg

L43

ArdB21 = ArdB21 Btg 1 + ArdB21 Btg2 + ArdB21 axial btg4 = 0 kg

S21 = S21 Btg1 + S21 Btg 2 + S21 Btg 4 = - 6.Ec.Ix = -1612100 kg.cm

L42

ARD41 = ARD41 Btg2 + ARD41 Btg3 = 0 kg

S31 = S31 Btg2 + S31 Btg3 = 0 kg.cm

ARD51 = 0 = 0 kg

ARD61 = 0 = 0 kg.cm

S11 = 12.Ec.Ix = 12896.8 kg

L43

ARD31 = ArdB21 = 0 kg

S41 = - 6.Ec.Ix = -1612100 kg.cm

L42

Perpindahan 2 ---> yaitu akibat D2

GAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK B

UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN

ARD12

L4 = 2.50 m

B A C D

E

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

ARD22

ARD42 ARD52=

ARD32

ARD62=0

S12 S42

S22

ArdB12

S32

Hal.6 dari 12 Sondra Raharja, ST

GAMBAR SEMUA FREEBODY

GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT

PERPINDAHAN TSB

ARD12 = 6.Ec.Ix = 629726.5625 kg

L12

ARD22 = 2.Ec.Ix = 83963541.67 kg.cm

L1

ArdB12 = 6.Ec.Ix = 1612100 kg

L42

ArdB22 = ArdB22 Btg1 + ArdB22 Btg2 + ArdB22 axial btg4 = -6.Ec.Ix/L12

+ 6.Ec.Ix/L22

+ 0 = 489787.3264 kg

S22 = S22 Btg1 + S22 Btg 2 + S22 Btg 4 = 4.Ec.Ix / L1 + 4.Ec.Ix / L2 + 4.Ec.Ix / L4 = 660513194.4 kg/cm

ARD42 = ARD42 Btg2 + ARD42 Btg3 = -6.Ec.Ix / L22

+ 0 = -1119513.89 kg

S32 = S32 Btg2 + S32 Btg3 = 2.Ec.Ix / L2 + 0 = 111951388.9 kg/cm

ARD52 = 0 = 0 kg

ARD62 = 0 = 0 kg.cm

S12 = - 6.Ec.Ix = -1612100 kg/cm

L42

ARD32 = ArdB22 = 489787.3264 kg

S42 = 2.Ec.Ix = 134341666.7 kg/cm

L4

EI θ = 1

θ = 1

ARD12

ARD22 S22

ArdB22

A B

L1

θ = 1

θ = 1 EI B C

ArdB22

S32

ARD42

S22

L2

EI

ARD42=0

S32=0 ARD62=0

ARD52=0

C D

L3

B

E

L4 = 2.5

ARD32

ArdB22axial

S42

S22

S12

ArdB12

Hal.7 dari 12 Sondra Raharja, ST

Perpindahan 3 ---> yaitu akibat D3

GAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK C

UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN

GAMBAR SEMUA FREEBODY

GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT

PERPINDAHAN TSB

ARD13 = 0 = 0 kg

ARD23 = 0 = 0 kg.cm

ArdB13 = 0 = 0 kg

ARD13

L4 = 2.50 m

B A C D

E

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

ARD23

ARD43

ARD53

ARD33

ARD63

S13 S43

S23

S33 ArdB23

EI θ = 1

θ = 1

ArdB23

S23 S33

ARD43

B C

L2

θ = 1

θ = 1 EI C D

ARD43

ARD63

ARD53

S33

L3

EI

ARD13=0

ARD23=0 S23=0

ArdB23=0

A B

L1

B

E

L4 = 2.5

ARD33

ArdB23axial=0

S43=0

S23=0

S13=0

ArdB13=0

Hal.8 dari 12 Sondra Raharja, ST

ArdB23 = ArdB23 Btg1 + ArdB23 Btg2 + ArdB23 axial btg4 = 0 + 6.Ec.Ix/L22

+ 0 = 1119513.889 kg

S23 = S23 Btg1 + S23 Btg 2 + S23 Btg 4 = 0 + 2.Ec.Ix / L2 + 0 = 111951388.9 kg/cm

ARD43 = ARD43 Btg2 + ARD43 Btg3 = -6.Ec.Ix / L22

+ 6.Ec.Ix / L32

= -839635.417 kg

S33 = S33 Btg2 + S33 Btg3 = 4.Ec.Ix / L2 + 4.Ec.Ix / L3 = 335854166.7 kg/cm

ARD53 = - 6.Ec.Ix / L32

= -279878.472 kg

ARD63 = 2.Ec.Ix / L3 = 55975694.44 kg.cm

S13 = 0 = 0 kg/cm

ARD33 = ArdB23 = 1119513.889 kg

S43 = 0 = 0 kg/cm

Perpindahan 4 ---> yaitu akibat D4

GAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK E

UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUAN

ARD14=0

L4 = 2.50 m

B A C D

E

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

ARD24=

ARD44= ARD54=0

ARD34

ARD64=0

S14

S44

S24

ArdB14

S34=0

Hal.9 dari 12 Sondra Raharja, ST

GAMBAR SEMUA FREEBODY

GAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBAT

PERPINDAHAN TSB

ARD14 = 0 = 0 kg

ARD24 = 0 = 0 kg.cm

ArdB14 = 0 = 0 kg

ArdB24 = ArdB24 Btg1 + ArdB24 Btg2 + ArdB24 axial btg4 = 0 + 0

+ 0 = 0 kg

S24 = S24 Btg1 + S24 Btg 2 + S24 Btg 4 = 0 + 0 + 2.Ec.Ix / L4 = 134341666.7 kg/cm

ARD44 = ARD44 Btg2 + ARD44 Btg3 = 0 + 0 = 0 kg

S34 = S34 Btg2 + S34 Btg3 = 0 + 0 = 0 kg/cm

ARD54 = 0 = 0 kg

ARD64 = 0 = 0 kg.cm

S14 = - 6.Ec.Ix / L42

= -1612100 kg/cm

ARD34 = ArdB24 = 0 kg

S44 = 4.Ec.Ix / L4 = 268683333.3 kg/cm

EI

L1

ARD14=0

ARD24=0 S24=0

ArdB24=0

A B EI

L2

ArdB24=0

S24=0 S34=0

ARD44=0

B C EI

L3 ARD44=

S34=0 ARD64=0

ARD54=0

C D

EI

S44

B

ArdB14

S14

S24

E

L4

ARD34

ArdB24axial=0

θ = 1

θ = 1

Hal.10 dari 12 Sondra Raharja, ST

Matriks kekakuan sbb :

S11 S12 S13 S14

S21 S22 S23 S24

S d x d

= S31 S32 S33 S34

S41 S42 S43 S44

12896.8 -1612100 0 -1612100

-1612100 660513194 111951388.9 134341666.7

S d x d

= 0 111951389 335854166.7 0

-1612100 134341667 0 268683333.3

Matriks reaksi perletakan (ARD) karena displacement (akibat beban translasi & rotasi 1 satuan) sbb :

ARD11 ARD12 ARD13 ARD14

ARD21 ARD22 ARD23 ARD24

ARDr x d

= ARD31 ARD32 ARD33 ARD34

ARD41 ARD42 ARD43 ARD44

ARD51 ARD52 ARD53 ARD54

ARD61 ARD62 ARD63 ARD64

0 629726.56 0 0

0 83963542 0 0

ARDr x d

= 0 489787.33 1119513.889 0

0 -1119514 -839635.417 0

0 0 -279878.472 0

0 0 55975694.44 0

Mencari Displacement dari DOF

D = S-1

.(AD - ADL)

Invers matriks kekakuan

12896.8 -1612100 0 -1612100

-1612100 660513194 111951388.9 134341666.7

S = 0 111951389 335854166.7 0

-1612100 134341667 0 268683333.3

0.00048645 7.0519E-07 -2.35064E-07 2.56612E-06

7.0519E-07 2.8208E-09 -9.40258E-10 2.82077E-09

S-1

= -2.351E-07 -9.403E-10 3.2909E-09 -9.40258E-10

2.5661E-06 2.8208E-09 -9.40258E-10 1.77082E-08

0.00048645 7.0519E-07 -2.35064E-07 2.56612E-06 0 0

D = 7.0519E-07 2.8208E-09 -9.40258E-10 2.82077E-09 150000 - 29166.66667

-2.351E-07 -9.403E-10 3.2909E-09 -9.40258E-10 0 -33333.33333

2.5661E-06 2.8208E-09 -9.40258E-10 1.77082E-08 0 0

Hal.11 dari 12 Sondra Raharja, ST

0.00048645 7.0519E-07 -2.35064E-07 2.56612E-06 0

D = 7.0519E-07 2.8208E-09 -9.40258E-10 2.82077E-09 120833.33

-2.351E-07 -9.403E-10 3.2909E-09 -9.40258E-10 33333.333

2.5661E-06 2.8208E-09 -9.40258E-10 1.77082E-08 0

0.077375 rad

D = 0.00031 rad

-3.92E-06 rad

0.00031 rad

HITUNG REAKSI PERLETAKAN MATRIKS AR

AR = ARL + ARD.D

1462.5 0 629726.5625 0 0 0.077375375

82500 0 83963541.67 0 0 0.000309502

AR = 1448.61111 + 0 489787.3264 1119513.9 0 X -3.91774E-06

666.666667 0 -1119513.889 -839635.4 0 0.000309502

-277.77778 0 0 -279878.5 0

41666.6667 0 0 55975694 0

1462.5 194.9013158 1657.4013 kg -> AR1

82500 25986.84211 108486.84 kg.cm -> AR2

AR = 1448.61111 + 147.2039474 = 1595.8151 kg -> AR3

666.666667 -343.2017544 323.46491 kg -> AR4

-277.77778 1.096491228 -276.6813 kg -> AR5

41666.6667 -219.2982456 41447.368 kg -> AR6

AR1

AR2

AR3

AR4 AR5

AR6 q1 = 9 Kg/cm

L4 = 2.50 m

B A C D

E

P = 1000 Kg

M2 = 125000 kgcm M1 = 150000 kgcm

a1 L1-a1

L1= 4.00 m L3 = 6.00 m L2 = 3.00 m

a2 L2-a2 a3 L3-a3

Hal.12 dari 12 Sondra Raharja, ST