Contoh perbandingan penyelesaian problem dengan eksak dan Analisa numerik

Contoh perbandingan penyelesaian problem dengan eksak dan Analisa numerik

Model matematika

Contoh :

Seorang bungee jumping dengan berat 68,1 kg melompat dari pinggir jurang yang sangat dalam. Hitung kecepatan untuk 12 detik pertama saat dia meloncat. Tentukan juga kecepatan akhir yang dapat dicapai dengan panjang tali yang tak terhingga (atau kemungkinan lain dia bernasib buruk pada saat itu). Gunakan koefisien gesek sebesar 0,25 kg/m.Penyelesaian:

Penyelesaian ini disebut sebagai penyelesaian secara analitis (closed-form) Penyelesaian dengan Analisa numerik

Finite difference untuk pendekatan kasus bungee jumping

Penyelesaian dengan Analisa numerik

Penyelesaian dengan Analisa numerikHitung kembali kecepatan bungee jumper dengan metode analisa numerik (Eulers method) dengan step size 2 detik.

Materi dan Aplikasi Analisa Numerik

Pendekatan dan KesalahanError dalam Metode Numerik

Bahasan Error dalam Metode NumerikAngka Signifikan (Penting)Akurasi dan PresisiDefinisi KesalahanKesalahan PembulatanKesalahan PemotonganKesalahan Numerik Total(Kekeliruan, Kesalahan Formulasi, dan Ketidakpastian Data)

Toleransi Error dalam Metode NumerikMetode Numerik Pendekatan dari solusi analitis yg pastiMetode Numerik Melibatkan aproksimasiMetode Numerik Ada kesalahan/tdk cocok

Pertanyaan:Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?

Hubungan Analisa Numerik dengan errorSetiap Manusia KesalahanKesalahan Biaya, Korban, dllKesempurnaan tujuan yang terpujiMasalah? (sangat jarang terjadi)Contoh Kasus:Kecepatan benda jatuh BAGAIMANA KALAU ADAAngin? Perubahan tekanan Udara? Dimensi Benda? Deviasi (Penyimpangan)

Angka SignifikanKomputasi thd suatu bilangan Bilangan hrs meyakinkan ?Konsep angka signifikan keandalan sebuah nilai numerikBanyak angka signifikan banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkanSelain angka signifikan, jg ada angka taksiran

Angka SignifikanAngka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiahHow?0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)12.300 Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak!1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Angka Signifikan dua makna angka pentingAngka Signifikan akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerikAngka Signifikan memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas (kesalahan pembulatan/round-off-error)Akurasi dan PresisiPresisiJumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaranPenyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alat yg mengukur suatu perilaku fisik tertentuAdalah bagaimana dekatnya hasil individual perhitungan dengan nilai sebenarnya

AkurasiDekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakanAdalah bagaimana dekatnya hasil perhitungan dengan nilai sebenarnyaINAKURASI (Bias)Simpangan sistematis dari kebenaranKesalahan mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukanKonsep akurasi dan presisi

(a) tidak akurat dan tidak presisi (b) akurat tapi tidak presisi (c) tidak akurat dan presisi (d) akurat dan presisiDefinisi KesalahanMeliputi:Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.Kesalahan pemotongan (truncation error) saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.

Kesalahan Numerik Adanya aproksimasiDefinisi KesalahanSehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

Bisa dikatakan: Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi

Et = Harga sebenarnya aproksimasi

Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan sebenarnya

Definisi Kesalahan

Definisi KesalahanKelemahan definisi?Tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, mis: kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang paku dari pada pengukuran panjang jembatanContoh: dalam pengukuruan jembatan yang panjang 10 m dan paku 10 cm. Bila pengukuran didapat 9.999 cm dan 9 cm makaTrue error: Et = 10.000 9.999 = 1 cm dan Et = 10 9 = 1 cm Relative error: t = (1/10.000 ) x 100% = 0.01% dan t = (1/10) x 100% = 10%

Bagaimana untuk menutupi kelemahan di atas??Metode numerik tertentu memakai pendekatan interasi utk menghitung jawaban. Suatu aproksimasi skrg dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sblmnya dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik.Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg perbedaan antara aproksimasi sblmnya dgn aproksimasi sekarang, Sehingga kesalahan relatif persen ditentukanBagaimana untuk menutupi kelemahan di atas??Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:

Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya

Bagaimana untuk menutupi kelemahan di atas??Kalau hubungan (a < s ) dipegang, hasil kita anggap berada dlm tingkat praspesifikasi yang dapat diterima s(Scarborough, 1966) Jk kriteria di atas bs diterima, maka dapat menjamin bhw hasilnya adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.s = ( 0,5 x 102-n ) % Buku Chapra,hal 79-81

Kesalahan Pembulatan (round-off error)Berasal dari kenyataan bhw komputer hy menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasiMisalnya:Bila ia menyimpan 7 angka signifikan maka sebagai = 3,141592, dgn mengabaikan suku2 yg dikalikan dlm kesalahan pembulatan:Et = 0,00000065 Kelemahan pembulatan di atas ia mengabaikan suku-suku sisa dalam menyatakan desimal lengkap. Jika dibulatkan = 3,141593 karena angka ke-8 adalah 6, maka kesalahan pembulatan berkurang menjadi:Et = 0,00000035

Kesalahan Pembulatan (round-off error)Untuk membulatkan bilangan sesuai dengan aturan pembulatan dari syarat di atas Menambah biaya komputasi & akibatnya beberapa mesin memakai chopping (mengambil suku2 sisa dalam menyatakan desimal lengkap) sederhana.Pendekatan ini bs diterima dengan asumsi bhw jumlah angka signifikan pd kebanyakan komputer cukup besar, hingga kesalahan pembulatan berdasarkan permotongan biasanya diabaikan.Aturan pembulatan Lihat buku Chapra, hal 85-87

Kesalahan Pemotongan (truncation error)Adalah kesalahan yg dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika eksak suatu kesalahan pemotongan dimskan ke dlm solusi numerik karena kesamaan diferensial hanya melakukan aproksimasi harga turunan sebenarnya. Agar memperkuat pengertian thd perilaku kesalahan semacam ini, sekarang kita kembalipada suatu rumus matematika yg secara luas telah digunakan dalam metode numerik untuk menyatakan fungsi2 dalam suatu bentuk pendekatan yaitu Deret taylorDeret Taylor

(Zero order)(1st order)(2nd order)h = Xi+1 - Xi Error dalam pendekatan deret taylor

Kesalahan Numerik TotalKekeliruanKesalahan FormulasiKetidakpastian Data

Akar - akar persamaanKuliah ke - 3Penyelesaian eksak Untuk persamaan atau fungsi tertentu kita bisa menggunakan rumus abc untuk mencari akar persamaan diatas

Penyelesaian numerik untuk menentukan akar-akar persamaanMetode tertutup (Bracketing method) Grafik Bagi dua Posisi salah (Regula falsi) Metode terbuka (open method) Metode Iterasi Satu TitikMetode Newton-RaphsonMetode Secant

Metode grafikMetode grafikMembuat grafik fungsi dan mengamati di mana grafik tersebut memotong sumbu x

Dengan bantuan MATLAB

Hasil komputasi dengan MatlabAkar persamaan hasil perpotongan kurva dengan sumbu x

Kelebihan dan kekurangan metode grafikKelebihan Dapat dimanfaatkan untuk memperoleh taksiran akar-akar secara kasarSebagai tebakan awal untuk metode numerikInterpretasi grafik untuk memahami sifat-sifat fungsi Memperkirakan jebakan pada metode numerikKekurangan Nilai praktis yang terbatasTidak presisi

Metode Bagi Dua(Binary chopping, interval halfing, atau metode Bolzano)

Langkah langkah metode bagi duaLangkah 1

Langkah 2

Langkah 3Pilih xl dan xu f(xl)(f(xu)