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Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 5, Número 2, Junio 2014. Página 130—
Contextualización del estudio de la convergencia para series de
Fourier
Emma Miryam Di Bárbaro; Rolando Javier Peralta; Edgardo Arguello
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca. [email protected]
RESUMEN
Es necesario contextualizar los diferentes temas en el Profesorado de Matemática, enfocada principalmente a la enseñanza de la convergencia de las series de Fourier. Para que en el aprendizaje de esta temática los estudiantes construyan en forma activa el conocimiento, y además profundicen posteriormente este aprendizaje, estructuren y asimilen con sus propios esquemas el problema de la convergencia de las series de Fourier.
Presentamos una propuesta de enseñanza de las series de Fourier y el estudio de su convergencia contextualizada, con el propósito de que el trabajo en la clase sea claro y accesible para los alumnos ya que las demostraciones de los teoremas están desarrolladas en su totalidad.
Palabras clave: contextualización, convergencia, series, Fourier.
Context of the study of convergence for Fourier series
ABSTRACT
It is necessary to contextualize the different subjects in the Faculty of Mathematics, focused mainly on the teaching of the convergence of Fourier series. For the learning of this subject students actively construct knowledge, and further deepen this learning later,
Emma Miryam Di Bárbaro; Rolando Javier Peralta; Edgardo Arguello: Contextualización del estudio de la convergencia para series de Fourier.
Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 5, Número 2, Junio 2014. Página 131—
structured and assimilate with their own schemes the problem of the convergence of Fourier series.
We present a proposal for teaching Fourier series and contextualized study of its convergence with the purpose of the class work is clear and accessible to students and the proofs of theorems are developed in full.
Keywords: contextualize, convergence, series, Fourier.
INTRODUCCIÓN
No es fácil introducir a los alumnos en la enseñanza y el
aprendizaje de las series de Fourier por los conocimientos previos necesarios que
se deben tener en cuenta. En el presente artículo se presenta el estudio del
desarrollo de las series de Fourier, con un tratamiento completo desde el punto de
vista de los conceptos previos hasta llegar a la forma de la serie contextualizándola
con un ejemplo sencillo. Luego se profundiza en los criterios de convergencia de
series en general, para poder estudiar el problema de convergencia y mejor
aproximación de las series de Fourier y su contextualización.
Se ha investigado mucho sobre las series de Fourier debido a que
estas tienen un campo muy amplio de aplicación como por ejemplo la física, la
química, la electrónica, en señales, en sonido, en medicina, etc.
Mostramos a continuación una idea de enseñanza de las series de
Fourier contextualizándola, como así también su convergencia. Teniendo como fin
apoyar la actividad del docente en el aula y la de los alumnos.
REFERENTE TEÓRICO
En 1807 Jean Baptiste Joseph Fourier presentó ante la Academia
de Ciencias de París su trabajo (la primera versión) “Théorie de la propagation de
la chaleur dans les solides”, cuyo objetivo era el estudio de la distribución del calor
en los sólidos conductores, bajo diferentes hipótesis. Su investigación abría un
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nuevo campo en la ciencia de la época, además de introducir nuevas técnicas en el
planteamiento de los problemas de la Física y la Matemática en ese periodo.
Antes de la publicación de su trabajo Fourier había realizado
algunas contribuciones al problema de la vibración de los cuerpos sonoros.
También estudió la Mecánica Celeste de Lagrange, el problema de la cuerda
vibrante de Daniel Bernoulli y el trabajo de J.B: Biot sobre la evolución temporal de
la distribución de calor en una barra metálica delgada y muy larga (cuando esta se
calienta desde uno de sus extremos). Luego Biot reconoció que su modelo no era
correcto.
En sus comienzos Fourier trato de evitar las dificultades que
encontró Biot proponiendo un modelo discreto que podía resolver con técnicas
similares a las empleadas por Lagrange en el problema de la cuerda vibrante. Por
este camino fue capaz de deducir la expresión general de la solución, pero
aparecían ciertos coeficientes que no pudo hallar salvo para casos especiales.
Entonces decidió volver al problema en el caso continuo. En su primer intento llego
a una ecuación errónea que luego corrigió por la siguiente:
𝜕𝑢
𝜕𝑡= 𝐾 (
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2)
ésta es la ecuación de difusión de calor que incluyo en su memoria de 1807, la cual
es para los puntos interiores de un sólido y en donde K representa una constante
de conductividad térmica que depende del material del sólido en cuestión.
Veremos un ejemplo de uno de los casos que consideró Fourier en
su trabajo: se harán los cálculos para el caso de la ecuación de calor cuando el
sólido es una barra metálica homogénea y delgada, con superficie lateral aislante
cuya distribución de temperatura inicial es una función dada y cuyos extremos se
mantienen constantes a temperatura cero.
En estado estacionario la temperatura u(x,t) de un punto (x,t)
estará dada por la ecuación en derivadas parciales 𝜕𝑢
𝜕𝑡= 𝑘2.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
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Supongamos que la ecuación solo depende de dos variables,
primero buscamos soluciones u(x,t) de la ecuación que tengan la forma
u(x,t)= X(x).T(t).
Esto transformara la ecuación en dos ecuaciones diferenciales
ordinarias cuya solución general buscaremos.
Si u(x, t)= X(x).T(t) resuelve la ecuación entonces 𝑋(𝑥). 𝑇´(𝑡) =
𝑘2𝑋´´(𝑥). 𝑇(𝑡) o lo que es equivalente, 𝑘2𝑋´´(𝑥)
𝑋(𝑥)=
𝑇´(𝑡)
𝑇(𝑡). Como las variables x, t no
están ligadas por relación alguna, se sigue que las expresiones que aparecen a
ambos lados de la última igualdad, son constantes e iguales entre sí. Esto permite
reformular el problema como el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
siguiente:
{𝑋´´(𝑥) −
𝜆
𝑘2. 𝑋(𝑥) = 0
𝑇´(𝑡) − 𝜆 𝑇(𝑡) = 0
La solución general de 𝑇´(𝑡) − 𝜆 𝑇(𝑡) = 0 es 𝑇(𝑡) = 𝐶 𝑒𝜆𝑡, como el
calor se disipa con el tiempo, el límite de u(x, t) cuando el tiempo tiende a infinito
es 𝑋(𝑥) y también el límite de 𝑇(𝑡) cuando el tiempo tiende a infinito es cero, por
lo que necesariamente se debe cumplir que
lim𝑡→∞
𝑇(𝑡) = lim𝑡→∞
𝐶𝑒𝜆𝑡 = 0 es decir 𝜆 < 0 .
Por otra parte la solución general de 𝑋´´(𝑥) −𝜆
𝑘2 . 𝑋(𝑥) = 0; es de
la forma 𝑋(𝑥) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠√𝜆
𝑘2 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 √𝜆
𝑘2 𝑥 con 𝜆 < 0 .
Si imponemos las condiciones iniciales del problema que eran la
de que los extremos se mantienen constantes a temperatura cero, y esos extremos
son [0, 𝜋] se traduce en las condiciones de contorno 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0 , que nos
da el par de ecuaciones: 𝑋(0) = 𝑋(𝜋) = 0 , lo que nos lleva a:
√𝜆
𝑘2 = 𝑚 y 𝑋(𝑥) = 𝐵 𝑠𝑒𝑛 (𝑚 𝑥)
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para cierto número natural m. Se sigue que 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐶𝑒−
𝑚2
𝑘2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) y por lo
tanto la solución general de la ecuación del calor para este problema en particular
es de la forma:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑏𝑚 ∞𝑚=1 𝑒
− 𝑚2
𝑘2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) (I)
Las series de Fourier aparecen en este contexto en forma natural,
puesto que al sustituir 𝑡 = 0 en la expresión (I) obtenemos lo siguiente:
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑚 ∞𝑚=1 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) (II)
Si probamos que la convergencia de la serie de Fourier es
suficientemente buena, podremos derivar término a término en (I) y comprobar
directamente que ésta es solución de la ecuación de calor.
Fourier para calcular los coeficientes 𝑏𝑚 trabajó de la siguiente
manera, tomo el desarrollo de Taylor de 𝑓(𝑥) en el origen de coordenadas,
sustituyendo los desarrollos de Taylor en el mismo punto de las funciones
𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) , en (II) reemplazó esta última reagrupando para que aparezca en ambos
lados de la igualdad un desarrollo en serie de potencias e igualando los coeficientes
de ambos desarrollos se llega al sistema infinito de ecuaciones lineales dado por
∑ (−1)𝑛 𝑚2𝑛+1 𝑏𝑚 = 𝑓(2𝑛+1) (0) ; 𝑛 = 0, 1, 2, …
∞
𝑚=1
Luego truncó el sistema considerando solamente las primeras n
variables 𝑏𝑚 y lo resolvió, haciendo tender n a infinito y llegó a la expresión
𝑏𝑚 =2
𝜋 ∑ ∑ (−1)𝑚+𝑛+1 𝑚−2𝑛−1 𝑓(2𝑛) (𝜋)∞
𝑚=0∞𝑛=0 ,
que es el resultado de iterar cierto número de veces el proceso de
integración por partes de la expresión
𝑏𝑚 =2
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0 (III)
asumiendo que el área encerrada por el gráfico de 2
𝜋𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥)
entre las abscisas 0 𝑦 𝜋 es finita.
Este estudio realizado por Fourier de la propagación de calor es
un análisis cualitativo y empírico del fenómeno del calor y de su intuición acerca de
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la convergencia de la solución teniendo en cuenta la naturaleza de la temperatura
que no es infinita.
Luego de presentado el trabajo, los jueces de la Academia de
Ciencias de París recomendaron a Fourier que puliera su trabajo, y lo presentara
para el gran premio de 1812. El panel de jueces de la academia para este concurso
incluía a Lagrange, Laplace y Legendre. Los jueces entregaron a Fourier el gran
premio, pero con el siguiente comentario:
La forma en que el autor arriba a sus ecuaciones no está exenta de
dificultades, y su análisis deja algo que desear, sea en generalidad o aún en
rigurosidad.
Al final el trabajo nunca fue publicado por la academia. El trabajo
de Fourier sobre la conducción del calor y la teoría de las series trigonométricas
que lo sostenían, recién se publicó en 1822 con “Théorie analytique de la chaleur”.
Desde ese año la publicación recibió comentarios más entusiastas que los de la
Academia de París. La carrera de James Clerk, Maxwell y de William Thopson (Lord
Kelvin) estuvo marcada por la teoría del calor de Fourier.
Más adelante Dirichlet tomó el trabajo de Fourier y lo fundamentó
de manera rigurosa, sentando bases firmes para el análisis moderno. En primer
lugar era necesario precisar el concepto de función, y la definición de Dir ichlet es
la que se estudia en los cursos de análisis actuales: una función es una regla que
asigna un valor definido 𝑓(𝑥) a todo 𝑥 en un conjunto de puntos. Bajo esta
definición una función ya no tiene que ser una fórmula o un gráfico como se
pensaba en esa época. En 1828 Dirichlet dio un ejemplo de la función característica
del conjunto de los números racionales, definida como:
𝑓(𝑥) = {1 𝑠𝑖 𝑥 𝜖 ℚ0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ ℚ
(IV)
ésta función no puede representarse con ningún gráfico; tampoco encierra ningún
área de modo que sus coeficientes de Fourier no pueden ser calculados con (III).
Sin embargo para todas las funciones que pueden dibujarse
Dirichlet probó que la serie de Fourier converge a 𝑓(𝑥) en cualquier punto 𝑥 donde
la función sea continua, y converge al valor medio [𝑓(𝑥+) +𝑓(𝑥−) ]
2 si la función tiene
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una discontinuidad en 𝑥 . Además demostró que si una función es suave en un
intervalo [𝑎, 𝑏], entonces la serie de Fourier converge uniformemente a 𝑓(𝑥) para
todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Este fue el primer resultado importante sobre la convergencia de
las series de Fourier.
Una vez demostrado el teorema de Dirichlet la balanza se puso del
lado de Fourier y de Daniel Bernoulli. Los matemáticos aceptaron que las series de
Fourier eran un instrumento adecuado para la representación de funciones muy
generales.
En 1904 Féjer probó que la serie de Fourier de una función
continua es sumable en un sentido particular, el promedio de las primeras sumas
parciales converge, y bajo este punto de vista converge uniformemente a la
función. Este teorema es muy útil e impulsó al estudio de la sumabilidad de las
series.
METODOLOGÍA
La metodología manejada es la propia de la investigación en
matemática aplicada a la enseñanza aprendizaje de contenidos de análisis
armónico. Para la cual se trabajó partiendo del rastreo bibliográfico, se analizó
desde distintos puntos de vistas los temas en consideración, se indagó el material
disponible, se establecieron conexiones no señaladas en el mismo. Además, se
trató de obtener una presentación diferente de los temas planteados. Para el
desarrollo de los teoremas vistos también se trabajó con métodos del tipo
inductivo-deductivo e interpretativos.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Como todo conocimiento implica creación, necesitamos
conceptos previos para poder acercarnos y entender la forma general de la serie
de Fourier.
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1. Funciones: periódica, impar y par.
Función periódica: se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene periodo T o que es
periódica de periodo T si para todo x, 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥), siendo T una constante
positiva. El mínimo valor de 𝑇 > 0 se llama periodo mínimo o simplemente
periodo de 𝑓(𝑥).
Un ejemplo de funciones periódicas son las funciones trigonométricas seno y
coseno, donde 𝑇 = 2𝜋 , ya que verifican: 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝜋) 𝑦 cos(𝑥) =
cos(𝑥 + 2𝜋) para todo 𝑥 ∈ ℝ.
Función impar: una función 𝑓(𝑥) se dice impar si 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Por ejemplo
𝑥3, 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥 son funciones impares.
Función par: una función 𝑓(𝑥) se dice par si 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) . Por ejemplo
𝑥4, 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 son funciones pares.
2. Series trigonométricas
Se llama polinomio trigonométrico de grado N y periodo 2𝜋, a la
función definida de ℝ en ℝ de la forma:
𝑃(𝑥) =𝛼0
2+ ∑(𝛼𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝛽𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥)
𝑁
𝑘=1
Donde 𝛼0, 𝛼1, … , 𝛼𝑁 𝑦 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑁 son constantes reales.
Se llama serie trigonométrica de periodo 2𝜋 a toda serie de
funciones de la forma:
𝑆(𝑥) =𝛼0
2+ ∑(𝛼𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝛽𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥)
∞
𝑘=1
Se observa que las sumas parciales de las series trigonométricas son polinomios
trigonométricos.
En el estudio de problemas físicos que conducen a ecuaciones en
derivadas parciales se necesitan series trigonométricas, estas tienen como ventaja
que son capaces de representar funciones muy generales a diferencia de las series
de potencia que solo pueden representar funciones continuas.
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3. Series de Fourier
Sea 𝑓(𝜃) definida en el intervalo (– 𝐿 , 𝐿) y fuera del intervalo por
𝑓(𝜃 + 2𝐿) = 𝑓(𝜃) , esto es, supóngase que 𝑓(𝜃) tiene periodo 2L. La serie de
Fourier o desarrollo de Fourier de 𝑓(𝜃) se define por
𝑆[𝑓(𝜃)] =𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos
𝑛𝜋
𝐿𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿𝜃)
∞
𝑛=1
(1)
Donde los coeficientes de Fourier 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 son:
𝑎𝑛 =1
𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) cos
𝑛𝜋
𝐿 𝜃 𝑑𝜃
𝐿
−𝐿
(2)
𝑏𝑛 =1
𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) sen
𝑛𝜋
𝐿 𝜃 𝑑𝜃
𝐿
−𝐿
𝑛 = 1, 2, 3, …
Si 𝑓(𝜃) tiene periodo 2L, los coeficientes 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 se pueden
determinar por:
𝑎𝑛 =1
𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) cos
𝑛𝜋
𝐿 𝜃 𝑑𝜃
𝑐+2𝐿
𝑐
(3)
𝑏𝑛 =1
𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) sen
𝑛𝜋
𝐿 𝜃 𝑑𝜃
𝑐+2𝐿
𝑐
Siendo c un número real cualquiera. En el caso especial 𝑐 = −𝐿 (3) se convierte en
(2).
Para determinar 𝑎𝑜 en (1) se utiliza (2) o (3) con 𝑛 = 0. Por ejemplo, de (2) se
deduce que 𝑎0 =1
𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑑𝜃
𝐿
−𝐿.
Obsérvese que el término constante en (1) es igual a 𝑎0
2=
1
2𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑑𝜃
𝐿
−𝐿 que es el promedio de 𝑓(𝜃) en el periodo.
Si 𝐿 = 𝜋 , la serie (1) y los coeficientes (2) y (3) son especialmente
sencillos. La función en ese caso tiene periodo 2𝜋.
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Cuando se desea tener una serie de senos y cosenos, la función a
que corresponde está por lo general definida en el intervalo (0 , 𝐿) mitad del
intervalo (– 𝐿 , 𝐿), razón por la cual suele decirse que la serie es de medio intervalo
y, siendo además impar o par, queda claramnte definida en la otra mitad del
intervalo, (−𝐿 , 0). En ese caso se tiene:
𝑎𝑛 = 0 , 𝑏𝑛 =2
𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿𝜃 𝑑𝜃
𝐿
0 para una serie de solo senos
(4)
𝑏𝑛 = 0 , 𝑎𝑛 =2
𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋
𝐿𝜃 𝑑𝜃
𝐿
0 para una serie de solo
cosenos
3.1 Notación compleja para las series de Fourier
Mediante las identidades de Euler : 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑒−𝑖𝜃 = cos 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃
(6)
Usando las siguientes fórmulas:
2 cos(𝑛𝜋
𝐿𝜃) = 𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 + 𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 y 2𝑖𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
𝐿𝜃) = 𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 − 𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿
Definimos la serie de Fourier expresadas en términos de
exponenciales complejas, donde: 𝑎𝑛−𝑖 𝑏𝑛
2= 𝛼𝑛 y
𝑎𝑛+𝑖 𝑏𝑛
2= 𝛽𝑛
𝑆[𝑓(𝜃)] =𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos
𝑛𝜋
𝐿𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿𝜃)
∞
𝑛=1
=𝑎0
2+ ∑(𝛼𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 + 𝛽𝑛 𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿)
∞
𝑛=1
Si hacemos además 𝛼0 =𝑎0
2 y 𝛼−𝑛 = 𝛽𝑛 podemos escribir la forma exponencial
compleja más brevemente como sigue: 𝑆[𝑓(𝜃)] = ∑ 𝛼𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿∞𝑛=−∞ ; donde 𝛼𝑛 =
1
2𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 𝑑𝜃
𝐿
−𝐿, 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, ….
Definición: los Coeficientes de Fourier de una función f son los números
complejos
𝑓(𝑛) =1
2𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 𝑑𝜃
𝐿
−𝐿
, 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, ….
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Denotaremos 𝑆𝑁𝑓 para representar la suma parcial N-ésima de la serie de
Fourier de f, es decir 𝑆𝑁𝑓(𝜃) =𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos
𝑛𝜋
𝐿𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿𝜃)𝑁
𝑛=−𝑁 , o
bien si 𝐿 = 𝜋 entonces
𝑆𝑁𝑓(𝜃) =𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)𝑁
𝑛=−𝑁 .
Usando la notación exponencial compleja, la suma parcial N-ésima
de la serie de Fourier de f es: 𝑆𝑁𝑓(𝜃) = ∑ 𝑓(𝑛)𝑒𝑖𝑛𝜃𝑁𝑛=−𝑁
3.2 Contextualización de la serie de Fourier
Dada la función salto 𝑓(𝜃) = {−1 𝑠𝑖 − 𝜋 ≤ 𝜃 < 0
1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , buscamos el
desarrollo en series de Fourier de esta función, la grafica de la función es la
siguiente:
En este caso f es una función impar de periodo 2𝜋 . En
consecuencia: 𝑓(𝜃) ∙ cos 𝑛𝜃 será impar y el coeficiente an = 0 para todo n.
𝑎𝑛 =2
𝜋∫ 1 ∙
𝜋
0
cos(𝑛𝜃) 𝑑𝜃 =2
𝑛𝜋𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋)|0
𝜋 = 0
Por otra parte 𝑓(𝜃) ∙ sen (𝑛𝜃) es par y por lo tanto se tiene:
𝑏𝑛 =2
𝜋∫ 1 ∙
𝜋
0
𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃) 𝑑𝜃 =2
𝑛𝜋 [−cos(𝑛𝜃)]|0
𝜋
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𝑏𝑛 =2
𝑛𝜋[− cos (𝑛𝜋) − (−cos 0)] =
2
𝑛𝜋[1 − cos(𝑛𝜋)]
como cos(𝑛𝜋) = {−1 𝑠𝑖 𝑛 = 1, 3, 5, 7, … .
1 𝑠𝑖 𝑛 = 2, 4, 6, … . , luego 𝑏𝑛 =
2
𝑛𝜋[1 − (−1)𝑛] para n=1, 2,
3,…
Por lo tanto la N-ésima suma parcial de f correspondiente a su
serie de Fourier viene dada por la expresión: 𝑆𝑁𝑓(𝜃) = ∑2
𝜋𝑁𝑛=1 (
1−(−1)𝑛
𝑛) 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃)
La representación gráfica de esta serie obtenida es la siguiente
para distintos valores de N:
Para N=15
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Para N=30
Para N=50
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4. Convergencia
Muchas funciones importantes se definen mediante sucesiones y
series infinitas. Para el estudio de tales funciones, necesitamos comprender el
concepto de convergencia. Veremos algunos criterios específicos para la
convergencia uniforme como el criterio M de Weierstrass para series, el criterio de
Cauchy que se emplea principalmente con fines teóricos y también veremos el de
Abel y Dirichlet.
4.1 Convergencia puntual
Hay varias formas distintas de concebir la convergencia de una
sucesión de funciones, de las cuales la más natural seria la convergencia puntual.
Con esta idea, solo exigimos que para cada punto 𝜃 del dominio, la sucesión de
valores 𝑓𝑘(𝜃) converja.
Definición: sea V un espacio métrico, A un conjunto. Una sucesión de
funciones {𝑓𝑘} , 𝑓𝑘: 𝐴 → 𝑉, k=1,2, …, converge puntualmente a una función
𝑓: 𝐴 → 𝑉 si para cada 𝜃 ∈ 𝐴, 𝑓𝑘(𝜃) → 𝑓(𝜃). Con frecuencia escribimos 𝑓𝑘 → 𝑓
si 𝑓𝑘 converge puntualmente a f.
Este tipo de convergencia especifica las condiciones suficientes de
convergencia de una serie en un punto.
4.2 Convergencia uniforme
Definición: sea una sucesión de funciones {𝑓𝑘} , 𝑓𝑘: 𝐴 → 𝑉, con la propiedad
de que para cada 휀 > 0 existe un entero L tal que 𝑘 ≥ 𝐿 implica que
𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) < 휀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴. Aquí d es la métrica en V. Bajo estas
condiciones, decimos que la sucesión {𝑓𝑘} converge uniformemente a f en
A, y escribimos 𝑓𝑘 → 𝑓 (uniformemente).
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Proximidad uniforme para 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ
Uno de los criterios es el M de Weierstrass, éste es el más
conveniente para la convergencia uniforme de una serie de funciones. Se
caracterizan las series de funciones que son uniformemente convergentes
expresadas en términos de las funciones de las series, sin hacer referencia explícita
a la función límite a la cual converge la serie. La idea es usar la condición de Cauchy
para la convergencia de la sucesión de sumas parciales. Recordamos que toda
sucesión convergente satisface la condición de Cauchy. Es decir estas son las
sucesiones que deben converger.
Definición: un espacio métrico V es completo si en V cada sucesión de Cauchy es
convergente.
Recordamos que una sucesión {𝑎𝑛} se dice que es de Cauchy
cuando para todo 휀 > 0 existe un N tal que para todo 𝑛, 𝑚 > 𝑁 implica 𝑑(𝑎𝑛, 𝑎𝑚) <
휀. Una sucesión convergente es de Cauchy.
4.3 Criterios de convergencia
4.3.1 Criterio de Cauchy
Este criterio es una caracterización de serie de funciones que son
uniformemente convergentes expresadas en términos de las funciones de la serie
sin hacer referencia explícita a la función límite a la cual converge la serie.
Teorema: sea V un espacio métrico con métrica d y sea A un conjunto.
Supóngase que V es completo y que 𝑓𝑘: 𝐴 → 𝑉 forman una sucesión de
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funciones. Entonces {𝑓𝑘} converge uniformemente en A si y solo si para
cada 휀 > 0 existe un N tal que 𝑙, 𝑘 ≥ 𝑁 implica 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) < 휀 para todo
𝜃 ∈ 𝐴.
Demostración directo: por hipótesis {𝑓𝑘} converge uniformemente en A, es
decir 𝑓𝑘 → 𝑓 uniformemente, entonces dado 휀 > 0, podemos determinar un
entero N tal que 𝑘 ≥ 𝑁 implique 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) <𝜀
2 para todo 𝜃 ∈ 𝐴 .
Entonces si 𝑙, 𝑘 ≥ 𝑁
𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) ≤ 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) + 𝑑(𝑓(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) <휀
2+
휀
2= 휀
𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) < 휀
Demostración recíproco: por hipótesis tenemos que, dado un 휀 > 0 ,
podemos encontrar un entero N tal que 𝑘, 𝑙 ≥ 𝑁 implica 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) < 휀
para todo 𝜃 ∈ 𝐴, lo que nos dice que {𝑓𝑘(𝜃)} es una sucesión de Cauchy en
cada punto 𝜃 , entonces {𝑓𝑘(𝜃)} converge puntualmente a algo, que
denotamos 𝑓(𝜃) . Además podemos encontrar un N tal que 𝑘, 𝑙 ≥ 𝑁
implique 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) <𝜀
2 para todo 𝜃 ∈ 𝐴. Como 𝑓𝑘 → 𝑓 en cada punto 𝜃
podemos determinar para cada 𝜃 un 𝑁𝜃 tal que 𝑙 ≥ 𝑁𝜃 implique que
𝑑(𝑓𝑙(𝜃), 𝑓(𝜃)) <𝜀
2. Sea 𝑙 ≥ max{𝑁, 𝑁𝜃}. Entonces 𝑘 ≥ 𝑁 implica
𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) ≤ 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) + 𝑑( 𝑓𝑙(𝜃), 𝑓(𝜃)) <휀
2+
휀
2= 휀
Como esto es cierto para cada punto 𝜃 hemos encontrado
N tal que 𝑘 ≥ 𝑁 implique
𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) < 휀 para todo 𝜃 . Por lo tanto 𝑓𝑘 → 𝑓
uniformememte.
Por medio de la condición de Cauchy para series podemos obtener
la siguiente técnica importante para determinar la convergencia uniforme de una
serie.
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4.3.2 Criterio M de Weierstrass
El desarrollo del concepto de convergencia uniforme y este
criterio M de Weierstras para series de funciones permite construir con facilidad
funciones continuas en forma de series.
Las constantes 𝑀𝑘 proporcionan una cota de la tasa de
convergencia y esa cota no depende de 𝜃. Este criterio falla en ciertos casos en
los que queremos determinar si tenemos convergencia uniforme, para esos casos
contamos con otros criterios como los de Abel y Dirichlet.
Teorema: suponemos que V es un espacio vectorial normado completo y
que: 𝑔𝑘: 𝐴 → 𝑉 son funciones tales que existen constantes 𝑀𝑘 que cumplen
‖𝑔𝑘(𝜃)‖ ≤ 𝑀𝑘 para cada 𝜃 ∈ 𝐴 y ∑ 𝑀𝑘∞𝑘=1 converge. Entonces ∑ 𝑔𝑘
∞𝑘=1
converge uniformemente (y absolutamente).
Demostración: por hipótesis, sabemos que ∑ 𝑀𝑘∞𝑘=1 converge, para todo 휀 >
0 existe un N tal que 𝑘 ≥ 𝑁 implica |𝑀𝑘 + 𝑀𝑘+1 + ⋯ + 𝑀𝑘+𝑝| < 휀 para todo
p=1,2,3,… Para 𝑘 ≥ 𝑁 la desigualdad triangular implica
‖𝑔𝑘(𝜃) + 𝑔𝑘+1(𝜃) + ⋯ + 𝑔𝑘+𝑝(𝜃)‖ ≤ ‖𝑔𝑘(𝜃)‖ + ‖𝑔𝑘+1(𝜃)‖ + ⋯ + ‖𝑔𝑘+𝑝(𝜃)‖
≤ 𝑀𝑘 + 𝑀𝑘+1 + ⋯ + 𝑀𝑘+𝑝 < 휀
‖𝑔𝑘(𝜃) + 𝑔𝑘+1(𝜃) + ⋯ + 𝑔𝑘+𝑝(𝜃)‖ < 휀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴.
Así, por el criterio de Cauchy para series, ∑ 𝑔𝑘∞𝑘=1 converge
uniformemente. ∎
Contraejemplo: sea 𝑓𝑛: ℝ → ℝ dada por 𝑓𝑛(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑛 mostraremos que 𝑓𝑛 →
0 uniformemente cuando 𝑛 → ∞.
Debemos probar que |𝑓𝑛(𝜃) − 0| = |𝑓𝑛(𝜃)| se hace
pequeño independientemente de 𝜃 cuando 𝑛 → ∞. Tomamos
|𝑓𝑛(𝜃)| = |𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑛| =
|𝑠𝑒𝑛 𝜃|
𝑛≤
1
𝑛
|𝑓𝑛(𝜃)| ≤1
𝑛 de esta desigualdad vemos que efectivamente |𝑓𝑛(𝜃)| se hace
pequeño independientemente de 𝜃 cuando 𝑛 → ∞ . Pero ∑1
𝑛∞𝑛=1 diverge,
por lo tanto no es posible aplicar el criterio M de Weierstras
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Observación: en el criterio M, las constantes 𝑀𝑘 proporcionan una cota de
la “tasa de convergencia” y la clave está en que tal cota no depende de 𝜃.
No siempre es posible usar el criterio M, pero es muy eficaz en la
mayoría de los casos. A continuación, veremos criterios más elaborados como los
de Dirichlet y Abel.
4.4 Criterios de Abel y de Dirichlet
El criterio M de Weierstrass falla en ciertos casos en los que
queremos determinar si tenemos convergencia uniforme, para esos casos se han
diseñado otros como el creado por el matemático noruego Niels Abel y el criterio
que se le atribuye a P.G. Dirichlet, alemán de origen francés. Estos criterios son
útiles en muchos ejemplos en particular para el estudio de las series de potencia y
de las series de Fourier. Son importantes cuando tenemos convergencia uniforme
pero no absoluta.
4.4.1 Criterio de Abel
En este criterio las condiciones sobre 𝜑𝑛 una sucesión decreciente
no implican que converja.
Teorema: sea 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 y 𝜑𝑛: 𝐴 → ℝ una sucesión decreciente de funciones,
es decir 𝜑𝑛+1(𝜃) ≤ 𝜑𝑛(𝜃) para cada 𝜃 ∈ 𝐴 y todo n. Supóngase que existe
una constante M tal que |𝜑𝑛(𝜃) | ≤ 𝑀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴 y todo n. Si
∑ 𝑓𝑛(𝜃)∞𝑛=1 converge uniformemente en A, entonces también lo hace
∑ 𝜑𝑛(𝜃) ∙ 𝑓𝑛(𝜃)∞𝑛=1 .
Demostración: usaremos la fórmula de sumación parcial de Abel:
considérense dos sucesiones 𝑎1, 𝑎2, … y 𝑏1, 𝑏2, …de números reales y sea
𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ entonces, ∑ 𝑎𝑘𝑏𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑠𝑛𝑏1 + ∑ (𝑠𝑛 − 𝑠𝑘)(𝑏𝑘+1 − 𝑏𝑘)𝑛
𝑘=1 .
Sean 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 y 𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛
𝑘=1 . Por la fórmula de
sumación parcial de Abel tenemos que: 𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1
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𝑟𝑛(𝜃) = 𝑠𝑛(𝜃)𝜑1(𝜃) + ∑(𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑘(𝜃))
𝑛
𝑘=1
(𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)) (1)
Por la fórmula de sumación parcial de Abel tenemos que
𝑟𝑚(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)
𝑚
𝑘=1
𝑟𝑚(𝜃) = 𝑠𝑚(𝜃)𝜑1(𝜃) + ∑(𝑠𝑚(𝜃) − 𝑠𝑘(𝜃))
𝑚
𝑘=1
(𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)) (2)
Luego hacemos 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 − ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑚
𝑘=1
Reemplazamos (1) y (2) en la expresión anterior y suponiendo que 𝑛 ≥ 𝑚
obtenemos 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = [𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)]𝜑1(𝜃) + ∑ (𝑠𝑛(𝜃) −𝑛𝑘=𝑚+1
𝑠𝑘(𝜃)) (𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)) . De modo que: |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ |𝑠𝑛(𝜃) −
𝑠𝑚(𝜃)| ∙ |𝜑1(𝜃)| ∑ |𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑘(𝜃)|𝑛𝑘=𝑚+1 ∙ |𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)|
Por hipótesis 𝜑𝑛 es una sucesión decreciente de funciones, es decir
𝜑𝑘+1(𝜃) ≤ 𝜑𝑘(𝜃) para cada 𝜃 ∈ 𝐴 , por lo tanto |𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)| =
𝜑𝑘(𝜃) − 𝜑𝑘+1(𝜃).
Dado un 휀 > 0 sea N tal que 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 implica |𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)| <𝜀
3𝑀 para
todo 𝜃 ∈ 𝐴.
Entonces para todo 𝜃 ∈ 𝐴,
|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| <𝜀
3𝑀∙ 𝑀 + (
𝜀
3𝑀) ∑ |𝜑𝑘(𝜃) − 𝜑𝑘+1(𝜃)|𝑛
𝑘=𝑚+1
Desarrollando la sumatoria obtenemos el primer y último término del
desarrollo, pues los términos intermedios se cancelan y de esta forma
conseguimos lo siguiente:
|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| <𝜀
3+ (
𝜀
3𝑀) |𝜑𝑚+1(𝜃) − 𝜑𝑛+1(𝜃)| ≤
𝜀
3+ (
𝜀
3𝑀) [|𝜑𝑚+1(𝜃)| +
|𝜑𝑛+1(𝜃)|]
|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤𝜀
3+ (
𝜀
3𝑀) |𝜑𝑚+1(𝜃)| + (
𝜀
3𝑀) |𝜑𝑛+1(𝜃)| ≤
𝜀
3+ (
𝜀
3𝑀) ∙ 𝑀 +
(𝜀
3𝑀) ∙ 𝑀 <
𝜀
3+
𝜀
3+
𝜀
3= 휀
Por lo tanto el criterio de Cauchy para series implica que
𝑟𝑛(𝜃) converge uniformemente.
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Aplicación: mostraremos que ∑(−1)𝑛
𝑛𝑒−𝑛𝜃∞
𝑛=1 converge uniformemente en el
intervalo [0, +∞).
Sea 𝜑𝑛(𝜃) = 𝑒−𝑛𝜃 . Para cada 𝜃 ≥ 0, 𝜑𝑛 es decreciente y |𝑒−𝑛𝜃| ≤ 1. Por
otro lado recordemos que la serie alternante ∑(−1)𝑛
𝑛∞𝑛=1 converge y
entonces por el criterio de Abel, la serie ∑(−1)𝑛
𝑛𝑒−𝑛𝜃∞
𝑛=1 converge
uniformemente.
4.4.2 Criterio de Dirichlet
Teorema: sea 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑖(𝜃)𝑛𝑖=1 para una sucesión 𝑓𝑛: 𝐴 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ .
Supóngase que existe M constante tal que |𝑠𝑛(𝜃) | ≤ 𝑀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴 y
todo n.
Sea 𝑔𝑛: 𝐴 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ tal que 𝑔𝑛 → 0 uniformemente, 𝑔𝑛 ≥ 0 y 𝑔𝑛+1(𝜃) ≤
𝑔𝑛(𝜃). Entonces ∑ 𝑓𝑛(𝜃) ∙ 𝑔𝑛(𝜃)∞𝑛=1 converge uniformemente en A.
Demostración: usaremos la fórmula de sumación parcial de Abel:
considérense dos sucesiones 𝑎1, 𝑎2, … y 𝑏1, 𝑏2, …de números reales y sea
𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ entonces: ∑ 𝑎𝑘𝑏𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑠𝑛𝑏𝑛+1 − ∑ 𝑠𝑘(𝑏𝑘+1 − 𝑏𝑘)𝑛
𝑘=1 .
Sean 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 y 𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛
𝑘=1 . Por la fórmula
de sumación parcial de Abel tenemos que:
𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)
𝑛
𝑘=1
= 𝑠𝑛(𝜃)𝑔𝑛+1(𝜃) − ∑ 𝑠𝑘(𝜃) ∙
𝑛
𝑘=1
(𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃)) (3)
Por la fórmula de sumación parcial de Abel tenemos que: 𝑟𝑚(𝜃) =
∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑚𝑘=1 = 𝑠𝑚(𝜃)𝑔𝑚+1(𝜃) − ∑ 𝑠𝑘(𝜃)𝑚
𝑘=1 ∙ (𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃)) (4)
Luego hacemos: 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 − ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑚
𝑘=1
Reemplazamos (3) y (4) en la expresión anterior y suponiendo que 𝑛 ≥ 𝑚
obtenemos: 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = 𝑠𝑛(𝜃)𝑔𝑛+1(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)𝑔𝑚+1(𝜃) −
∑ 𝑠𝑘(𝜃)𝑛𝑘=𝑚+1 (𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃))
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De modo que: |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ |𝑠𝑛(𝜃)𝑔𝑛+1(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)𝑔𝑚+1(𝜃)| +
∑ |𝑠𝑘(𝜃)|𝑛𝑘=𝑚+1 ∙ |𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃)|
Por hipótesis 𝑔𝑛 ≥ 0 y 𝑔𝑘+1(𝜃) ≤ 𝑔𝑘(𝜃) para cada 𝜃 ∈ 𝐴.
|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 𝑀|𝑔𝑛+1(𝜃) − 𝑔𝑚+1(𝜃)| + 𝑀 ∑ |𝑔𝑘(𝜃) − 𝑔𝑘+1(𝜃)|𝑛𝑘=𝑚+1
Aplicando la desigualdad triangular en el primer término de la derecha
|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 𝑀|𝑔𝑛+1(𝜃)| + 𝑀|𝑔𝑚+1(𝜃)| + 𝑀 ∑ |𝑔𝑘(𝜃) − 𝑔𝑘+1(𝜃)|
𝑛
𝑘=𝑚+1
Desarrollando la sumatoria
|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 𝑀[𝑔𝑛+1(𝜃) + 𝑔𝑚+1(𝜃) + 𝑔𝑚+1(𝜃) − 𝑔𝑛+1(𝜃)]
= 2𝑀𝑔𝑚+1(𝜃)
Luego |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 2𝑀𝑔𝑚+1(𝜃)
Dado un 휀 > 0 elegimos N tal que 𝑚 > 𝑁 implica 𝑔𝑚(𝜃) <𝜀
2𝑀 para todo 𝜃 ∈
𝐴.
Entonces si 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 implica |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| < 휀, que es lo que queríamos
probar.
Aplicación: mostraremos que ∑𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
𝑛∞𝑛=1 converge uniformemente en el
intervalo [𝛿, 2𝜋 − 𝛿] donde 0 < 𝛿 < 2𝜋.
Aplicaremos el criterio de Dirichlet con 𝑓𝑛(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 y 𝑔𝑛(𝜃) =1
𝑛. Primero
probaremos que se cumple la hipótesis 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑖(𝜃)𝑛𝑖=1 y |𝑠𝑛(𝜃) | ≤ 𝑀
para todo 𝜃 ∈ 𝐴 y todo n.
Para mostrar esto usaremos la siguiente identidad trigonométrica
𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =1
2{cos(𝐴 − 𝐵) − cos(𝐴 + 𝐵)}, Donde 𝐴 = 𝑙𝜃 y 𝐵 =
1
2𝜃
2𝑠𝑒𝑛 (𝑙𝜃) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (1
2𝜃) = cos [(𝑙 −
1
2) 𝜃] − cos [(𝑙 +
1
2) 𝜃]
Haciendo variar l desde 1 a n y sumando obtenemos una suma telescópica
de modo que: |2 𝑠𝑒𝑛 (1
2𝜃) ∙ (𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + ⋯ + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)| =
|cos (1
2𝜃) − cos (𝑛 +
1
2𝜃)|
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Aplicando en la última expresión módulo del producto y desigualdad
triangular se obtiene: |2 𝑠𝑒𝑛 (1
2𝜃)| ∙ |𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + ⋯ +
𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤ |cos (1
2𝜃)| + |cos (𝑛 +
1
2𝜃)| ≤ 2
Así pues |𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + ⋯ + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤1
|𝑠𝑒𝑛 1
2𝜃|
Lo que da una cota para ∑ 𝑓𝑖(𝜃)𝑛𝑖=1 , la cual sirve mientras 𝑠𝑒𝑛
1
2𝜃 se
mantenga lejos de cero. Por ejemplo en [𝛿, 2𝜋 − 𝛿] obtenemos dicha cota.
5. Lema de Riemann-Lebesgue
Necesitaremos, antes de demostrar el Lema, recordar lo siguiente:
Definición: una función f es uniformemente continua en un intervalo I si para
cada 휀 > 0 existe un 𝛿 > 0, dependiendo en general de 휀 pero no de 𝜃, tal
que
|𝑓(𝜃1) − 𝑓(𝜃2)| < 휀 siempre que 𝜃1 y 𝜃2 estén en I, y |𝜃1 − 𝜃2| < 𝛿.
Teorema: si 𝑓(𝜃) es continua en un intervalo cerrado 𝑎 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏, entonces
es uniformemente continua en ese intervalo.
Enunciado del Lema de Riemann-Lebesgue: si g es continua por tramos en el
intervalo [𝑎, 𝑏] , entonces lim𝜆→∞
∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏
𝑎=
lim𝜆→∞
∫ 𝑔(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏
𝑎= 0
Demostración: debido a que la demostración es semejante para ambas
funciones trabajaremos solamente para 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) . En este caso
definimos
𝐼(𝜆) = ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏
𝑎
(1)
Tomando un 휀 > 0 probaremos que existe una constante 𝜆0 tal que |𝐼(𝜆)| <
휀 para todo 𝜆 > 𝜆0 . Para ello se considerara por el momento, que g es
continua y haremos la sustitución 𝜃 = 𝑡 +𝜋
𝜆 en (1), y teniendo en cuenta que
𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃) = −𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃 + 𝜋), obtenemos
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𝐼(𝜆) = − ∫ 𝑔 (𝑡 +𝜋
𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑡) 𝑑𝑡
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎−𝜋𝜆⁄
Haciendo cambio de variable 𝑡 = 𝜃 tenemos
𝐼(𝜆) = − ∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎−𝜋𝜆⁄
(2)
Sumando (1) y (2) obtenemos
2𝐼(𝜆) = ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏
𝑎
− ∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎−𝜋𝜆⁄
2𝐼(𝜆) = − ∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃
𝑎
𝑎−𝜋𝜆⁄
+ ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏
𝑏−𝜋𝜆⁄
+ ∫ [𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆)] 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎
En consecuencia si M indica el valor máximo de la función |𝑔| en el intervalo
[𝑎, 𝑏] , y si 𝜋
𝜆≤ 𝑏 − 𝑎 entonces tomando modulo en ambos miembros
obtenemos
|2𝐼(𝜆)| = |∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃
𝑎
𝑎−𝜋𝜆⁄
+ ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏
𝑏−𝜋𝜆⁄
+ ∫ [𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆)] 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎
|
2|𝐼(𝜆)| ≤ 𝑀 ∫ |𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| 𝑑𝜃𝑎
𝑎−𝜋𝜆⁄
+ 𝑀 ∫ |𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| 𝑑𝜃𝑏
𝑏−𝜋𝜆⁄
+ ∫ |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆)|
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎
|𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| 𝑑𝜃
Recordando que |𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| ≤ 1
2|𝐼(𝜆)| ≤2𝑀𝜋
𝜆+ ∫ |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +
𝜋
𝜆)|
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎
𝑑𝜃
|𝐼(𝜆)| ≤𝑀𝜋
𝜆+
1
2∫ |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +
𝜋
𝜆)|
𝑏−𝜋𝜆⁄
𝑎
𝑑𝜃
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Por hipótesis, sabemos que g es uniformemente continua en el intervalo
[𝑎, 𝑏] y por definición existe una constante 𝜆0 tal que |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋
𝜆)| <
𝜀
𝑏−𝑎 para toda 𝜆 > 𝜆0 y toda 𝜃 ∈ [𝑎, 𝑏] . Por teorema previo g es
uniformemente continua, además se supone que 𝜆0 se escoge de modo
que, al mismo tiempo 𝑀𝜋
𝜆<
𝜀
2 siempre que 𝜆 > 𝜆0. Entonces |𝐼(𝜆)| <
𝜀
2+
𝜀
2=
휀 para todo 𝜆 > 𝜆0 como queríamos probar.
5.1 Núcleo de Dirichlet
Nuestro objetivo es estudiar la convergencia puntual de la
sucesión de funciones 𝑆𝑁𝑓(𝜃) =𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)𝑁
𝑛=−𝑁
Conviene representar la suma parcial de una forma más
manejable. Para ello sustituimos los coeficientes 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 por sus expresiones
integrales y obtenemos
𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1
2𝜋∫ 𝑓(𝜙)
𝜋
−𝜋
𝑑𝜙 +1
𝜋∑ ∫ 𝑓(𝜙)
𝜋
−𝜋
𝑁
𝑛=−𝑁
[cos 𝑛𝜙 cos 𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃] 𝑑𝜙
=1
𝜋∫ 𝑓(𝜙)
𝜋
−𝜋
[1
2+ ∑ cos 𝑛(𝜃 − 𝜙)
𝑛
𝑛=−𝑁
] 𝑑𝜙 =1
𝜋∫ 𝑓(𝜙)
𝜋
−𝜋
𝐷𝑁(𝜃 − 𝜙) 𝑑𝜙
Donde hemos utilizado la notación 𝐷𝑁(𝜙) =1
2+ cos 𝜙 + cos 2𝜙 +
… + cos 𝑛𝜙 y llamamos a esta función el núcleo de Dirichlet.
Podemos escribir para representar la suma parcial N-ésima de la
serie de Fourier de f como 𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1
𝜋∫ 𝑓(𝜙)
𝜋
−𝜋𝐷𝑁(𝜃 − 𝜙) 𝑑𝜙
Definición: la función núcleo de Dirichlet se denota por
𝐷𝑁(𝜃) =1
2+ ∑ cos 𝑛𝜃
𝑁
𝑛=1
o bien 𝐷𝑁(𝜃) = ∑ 𝑒𝑖𝑛𝜃
𝑁
−𝑁
, para todo 𝑛 ∈ ℤ
5.1.1 Propiedades del núcleo de Dirichlet:
𝐷𝑁(𝜃) es par
𝐷𝑁(𝜃) función periódica con periodo 2𝜋, es decir 𝐷𝑁(𝜃) = 𝐷𝑁(𝜃 + 2𝜋)
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1
𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)𝑑𝜃
𝜋
−𝜋= 1
𝐷𝑁(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 (𝑁+
1
2)𝜃
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2)
, con 𝜃 ≠ 0, ±2𝜋, ±4𝜋, …
Demostración de 1): 𝐷𝑁(−𝜃) =1
2+ ∑ cos(−𝑛𝜃)𝑁
𝑛=1
Como cos(−𝑛𝜃) = cos 𝑛𝜃, entonces
𝐷𝑁(−𝜃) =1
2+ ∑ cos(𝑛𝜃)
𝑁
𝑛=1
= 𝐷𝑁(𝜃)
Demostración de 2): 𝐷𝑁(𝜃 + 2𝜋) =1
2+ ∑ cos 𝑛(𝜃 + 2𝜋)𝑁
𝑛=1
=1
2+ ∑ cos(𝑛𝜃 + 2𝑛𝜋)
𝑁
𝑛=1
Como cos(𝑛𝜃 + 2𝑛𝜋) = cos 𝑛𝜃, entonces
𝐷𝑁(𝜃 + 2𝜋) =1
2+ ∑ cos 𝑛𝜃
𝑁
𝑛=1
= 𝐷𝑁(𝜃)
Demostración de 3)
1
𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)𝑑𝜃
𝜋
−𝜋
=1
𝜋∫ [
1
2+ ∑ cos 𝑛𝜃
𝑁
𝑛=1
]
𝜋
−𝜋
𝑑𝜃
=1
𝜋[∫
1
2
𝜋
−𝜋
𝑑𝜃 + ∑ ∫ cos 𝑛𝜃𝜋
−𝜋
𝑁
𝑛=1
𝑑𝜃]
La integral del segundo término se anula, entonces
1
𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)
𝜋
−𝜋
𝑑𝜃 =1
𝜋∫
1
2
𝜋
−𝜋
𝑑𝜃 =1
𝜋∙ [
1
2𝜃]
−𝜋
𝜋
1
𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)
𝜋
−𝜋
𝑑𝜃 =1
𝜋∙ 𝜋 = 1
Demostración de 4) 𝐷𝑁(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 (𝑁+
1
2)𝜃
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2)
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2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 +
1
2) 𝜃
De la definición de núcleo, trabajando el primer miembro de la igualdad:
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2) ∙ [
1
2+ ∑ cos 𝑛𝜃
𝑁
𝑛=1
]
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2) ∙
1
2+ 2 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2) ∙ ∑ cos 𝑛𝜃
𝑁
𝑛=1
= 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) + ∑ 2 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2) ∙ cos 𝑛𝜃
𝑁
𝑛=1
Haciendo uso de la igualdad siguiente: 2 𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∙ cos 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) −
𝑠𝑒𝑛 (𝐵 − 𝐴)
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (
1
2𝜃) + ∑ {𝑠𝑒𝑛 (
1
2𝜃 + 𝑛𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃 −
1
2𝜃)}
𝑁
𝑛=1
Haciendo variar n=1, 2, …N obtenemos:
𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (
1
2𝜃) + 𝑠𝑒𝑛 (
1
2𝜃 + 𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −
1
2𝜃) +
+ 𝑠𝑒𝑛 (1
2𝜃 + 2𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (2𝜃 −
1
2𝜃) +. . +
+𝑠𝑒𝑛 (1
2𝜃 + 𝑁𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑁𝜃 −
1
2𝜃)
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (
1
2𝜃 + 𝑁𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (
1
2+ 𝑁) 𝜃
Por lo tanto 𝐷𝑁(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 (𝑁+
1
2)𝜃
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃
2)
Observación: La primera propiedad permite cambiar el intervalo de
integración a cualquier otro de longitud 2𝜋. Como además f es de periodo
2𝜋, podemos escribir
𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1
𝜋∫ 𝑓(𝜃 + 𝜙)
𝜋
−𝜋
𝐷𝑁(𝜙) 𝑑𝜙
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Y por la propiedad 4) también se puede expresar como
𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1
𝜋∫ 𝑓(𝜃 + 𝜙)
𝜋
−𝜋
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 +12)𝜃
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃2)
𝑑𝜙 (3)
Gráfico del núcleo de Dirichlet de 𝐷𝑁(𝜃) para N=6
6. Convergencia puntual de las series de Fourier
La serie de Fourier converge puntualmente al promedio del salto
en una discontinuidad. El ejemplo más utilizado para su contextualización es en
una función escalonada.
Teorema: sea f continua por tramos en ℝ con periodo 2𝜋, y suponemos que:
𝑓(𝜃) =1
2[𝑓(𝜃+) + 𝑓(𝜃−)] para todo 𝜃. Entonces, el desarrollo en serie de
Fourier para f converge a 𝑓(𝜃0) en cada punto 𝜃0 donde f tenga una
derivada por la derecha y por la izquierda. En particular si f tiene primera
derivada continua por tramos, su serie de Fourier converge a 𝑓(𝜃) para todo
𝜃.
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Demostración: por hipótesis f tiene derivadas por derecha y por izquierda
en 𝜃0, lo cual requiere que existan los limites
limℎ→0+
𝑓(𝜃0 + ℎ) − 𝑓(𝜃0+)
ℎ y lim
ℎ→0−
𝑓(𝜃0 + ℎ) − 𝑓(𝜃0−)
ℎ
Recordamos que la suma parcial N-ésima de la serie de Fourier para f es por
(3)
𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1
𝜋∫ 𝑓(𝜃 + 𝜙) ∙
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
−𝜋
Y por propiedad del núcleo de Dirichlet 1
𝜋∫
𝑠𝑒𝑛 (𝑁+12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
−𝜋= 1 , lo cual
podemos escribir 1
𝜋∫
𝑠𝑒𝑛 (𝑁+12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
0=
1
𝜋∫
𝑠𝑒𝑛 (𝑁+12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
0
−𝜋=
1
2
Debemos demostrar que la diferencia 𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0) tiende a cero cuando
N tiende a infinito.
𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0) =1
𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
−𝜋
− 𝑓(𝜃0) ∙ 1
=1
𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
−𝜋
−1
2𝑓(𝜃+)
−1
2𝑓(𝜃−)𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0)
=1
𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
0
+1
𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
0
−𝜋
+
−𝑓(𝜃+)1
𝜋∫
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
0
− 𝑓(𝜃−)1
𝜋∫
𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
0
−𝜋
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=1
𝜋∫ [𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0
+)] ∙𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1
2⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
0
+1
𝜋∫ [𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0
−)] ∙𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1
2⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
0
−𝜋
Trabajando el primer término se obtiene lo siguiente
1
𝜋∫ [𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0
+)] ∙𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1
2⁄ )𝜙
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )𝑑𝜙
𝜋
0
=1
𝜋∫ [
𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0+)
𝜙∙
𝜙2⁄
𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )] ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1
2⁄ )𝜙 𝑑𝜙𝜋
0
Para 𝜙 ∈ [0, 𝜋] , sea 𝑔(𝜙) = (𝑓(𝜃0+𝜙)−𝑓(𝜃0
+)
𝜙) ∙ (
𝜙2⁄
𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ ))
Por hipótesis existen las derivadas por derecha e izquierda de f en 𝜃0 y
lim𝜙→0
𝑔(𝜙) existe al cual lo llamaremos 𝑔(0). Luego g es continua a trozos en
[0, 𝜋].
En consecuencia, por el lema de Riemann-Lebesgue,
lim𝑁→∞
1
𝜋∫ (
𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0+)
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1
2⁄ )𝜙 𝑑𝜙𝜋
0
= 0
De manera análoga se prueba que
lim𝑁→∞
1
𝜋∫ (
𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0−)
2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙
2⁄ )) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1
2⁄ )𝜙 𝑑𝜙0
−𝜋
= 0
Por lo tanto lim𝑁→∞
[𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0)] = 0, como queríamos demostrar.
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6.1 Contextualización de la convergencia puntual en series de Fourier
Dada la función 𝑓(𝑥) estudiaremos la convergencia del desarrollo
en serie de Fourier de dicha función
𝑓(𝑥) = {
0 𝑠𝑖 – 𝜋 < 𝑥 < 01
2⁄ 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 𝜋
1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋
La gráfica de la función es la siguiente:
Al observar la gráfica de f la misma presenta discontinuidades de
salto. Por el teorema de convergencia puntual, para 𝑥 = 0.𝑓(0+) = 1 𝑓(0−) = 0
𝑓(0) =1
2[𝑓(0+) + 𝑓(0−)] =
1+0
2=
1
2 Por el teorema de convergencia puntual, para
𝑥 =𝜋
2. 𝑓 (
𝜋
2
+) = 1, 𝑓 (
𝜋
2
−) = 1 𝑓 (
𝜋
2) =
1
2[𝑓 (
𝜋
2
+) + 𝑓 (
𝜋
2
−)] =
1+1
2= 1
Por el teorema de convergencia puntual, para 𝑥 = −𝜋
2,
𝑓 (−𝜋
2
+) = 0, 𝑓 (−
𝜋
2
−) = 0, 𝑓 (−
𝜋
2) =
1
2[𝑓 (−
𝜋
2
+) + 𝑓 (−
𝜋
2
−)] =
0+0
2= 0
A continuación, calcularemos la serie de Fourier para la función
𝑎0 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 =
1
𝜋∫ 0
0
−𝜋 𝑑𝑥 +
1
𝜋∫
1
2
0
0 𝑑𝑥 +
1
𝜋∫ 1
𝜋
0 𝑑𝑥, 𝑎0 =
1
𝜋[0 + 0 + 𝜋] = 1
Luego calculamos 𝑎𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)
𝜋
−𝜋cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝜋∫ 0 cos 𝑛𝑥
0
−𝜋 𝑑𝑥 +
1
𝜋∫
1
2
0
0cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 +
1
𝜋∫ 1 cos 𝑛𝑥
𝜋
0 𝑑𝑥, 𝑎𝑛 =
1
𝑛𝜋𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋)|0
𝜋 = 0
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Por otro lado 𝑏𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 =
1
𝜋∫ 0
0
−𝜋𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 +
1
𝜋∫
1
2
0
0𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 +
1
𝜋∫ 1𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥
𝜋
0 𝑑𝑥 ; 𝑏𝑛 =
1
𝑛𝜋 [−cos(𝑛𝑥)]|0
𝜋 =1
𝑛𝜋[− cos(𝑛𝜋) −
(−cos 0)]; 𝑏𝑛 =1
𝑛𝜋[1 − cos(𝑛𝜋)]; 𝑏𝑛 =
1
𝑛𝜋[1 − (−1)𝑛] para n=1, 2, 3, ……
Por lo tanto la serie de Fourier correspondiente a f viene dada por
la expresión: 𝑆[𝑓(𝑥)] =1
2+ ∑
1
𝜋∞𝑛=1 (
1−(−1)𝑛
𝑛) 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)
𝑆[𝑓(𝑥)] =1
2+
2
𝜋(𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3+
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
5+
𝑠𝑒𝑛 7𝑥
7+
𝑠𝑒𝑛 9𝑥
9+ ⋯ )
Calcularemos el desarrollo en serie de Fourier para 𝑥 = 0
𝑆[𝑓(0)] =1
2+
2
𝜋(𝑠𝑒𝑛 0 +
𝑠𝑒𝑛 (3 ∙ 0)
3+
𝑠𝑒𝑛 (5 ∙ 0)
5+
𝑠𝑒𝑛 (7 ∙ 0)
7+
𝑠𝑒𝑛 (9 ∙ 0)
9+ ⋯ . )
𝑆[𝑓(0)] =1
2+
2
𝜋∙ 0 =
1
2 que coincide con 𝑓(0).
Calcularemos el desarrollo en serie de Fourier para𝜃 =𝜋
2
𝑆[𝑓(𝜋2⁄ )] =
1
2+
2
𝜋(𝑠𝑒𝑛 𝜋
2⁄ +𝑠𝑒𝑛 (3∙𝜋 2⁄ )
3+
𝑠𝑒𝑛 (5∙𝜋 2⁄ )
5+
𝑠𝑒𝑛 (7∙𝜋 2⁄ )
7+
𝑠𝑒𝑛 (9∙𝜋 2⁄ )
9+ ⋯ . )
𝑆[𝑓(𝜋2⁄ )] =
1
2+
2
𝜋∙ (1 −
1
3+
1
5−
1
7+
1
9− ⋯ . . ) =
1
2+
2
𝜋∙
𝜋
4=
1
2+
1
2= 1
que coincide con 𝑓(𝜋2⁄ ).
Calcularemos ahora el desarrollo en serie de Fourier para 𝑥 = −𝜋
2
𝑆[𝑓(− 𝜋2⁄ )] =
1
2+
2
𝜋(𝑠𝑒𝑛 (− 𝜋
2⁄ ) +𝑠𝑒𝑛 (−3∙𝜋 2⁄ )
3+
𝑠𝑒𝑛 (−5∙𝜋 2⁄ )
5+
𝑠𝑒𝑛 (−7∙𝜋 2⁄ )
7+
𝑠𝑒𝑛 (−9∙𝜋 2⁄ )
9+ ⋯ . )
𝑆[𝑓(− 𝜋2⁄ )] =
1
2+
2
𝜋∙ (−1 +
1
3−
1
5+
1
7−
1
9+ ⋯ . . ) =
1
2+
2
𝜋∙ (−1) (1 −
1
3+
1
5−
1
7+
1
9− ⋯ . . )
𝑆[𝑓(− 𝜋2⁄ )] =
1
2−
2
𝜋∙
𝜋
4=
1
2−
1
2= 0 , que coincide con el valor de 𝑓(− 𝜋
2⁄ ).
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Gráfica de la función 𝑓(𝑥) y 𝑆𝑁𝑓(𝑥) para N=20, donde el color
negro representa a 𝑓(𝑥) y el color azul a 𝑆𝑁𝑓(𝑥), se observa al compararlas la
convergencia puntual.
La serie de Fourier de f, por el teorema de convergencia puntual,
converge puntualmente a la función f.
Sin embargo la serie de Fourier no puede converger
uniformemente a f pues cada 𝑆𝑁𝑓(𝑥) es continua, y si 𝑆𝑁𝑓(𝑥) → 𝑓(𝑥)
uniformemente, f seria continua lo cual no es cierto.
7. Convergencia uniforme de series de Fourier
Una vez establecida la convergencia puntual para los desarrollos
en serie de Fourier de funciones suaves por tramos, determinaremos ahora las
condiciones bajo las cuales esta convergencia es uniforme en un intervalo cerrado
[a,b]. En el teorema que veremos a continuación se exige solamente que las
funciones sean continuas para garantizar tanto la uniformidad como la
convergencia absoluta. Esta condición es más débil y más sencilla de demostrar,
pero es muy útil en la práctica.
Teorema: sea f una función continua en los reales con periodo 2𝜋, es decir
𝑓(𝜋) = 𝑓(−𝜋), y suponemos que f tiene una primera derivada continua por
tramos. Entonces, la serie de Fourier para f converge uniformemente y
absolutamente a f en cada intervalo cerrado del eje 𝜃.
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Demostración: sean 𝑓(𝜃) =𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)∞
𝑛=1
𝑓´(𝜃) =𝑎´0
2+ ∑ (𝑎´𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏´𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)∞
𝑛=1 , las series de Fourier para f y f´.
Entonces por hipótesis f es periódica con periodo 2𝜋, buscamos la forma
de los coeficientes 𝑎´𝑛 y 𝑏´𝑛
𝑎´0 =1
𝜋∫ 𝑓´(𝜃) 𝑑𝜃
𝜋
−𝜋=
1
𝜋[𝑓(𝜃)]−𝜋
𝜋 =1
𝜋[𝑓(𝜋) − 𝑓(−𝜋)] = 0
Por otro lado para n>0 tenemos 𝑎´𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓´(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝜋
−𝜋
Haciendo integración por partes llamando 𝑢 = cos 𝑛𝜃 y 𝑑𝑣 = 𝑓´(𝜃)𝑑𝜃
𝑎´𝑛 =1
𝜋[𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃|−𝜋
𝜋 + 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑑𝜃𝜋
−𝜋] =
1
𝜋∙ 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝜋
−𝜋
𝑎´𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑏𝑛 (𝐴)
Por otro lado 𝑏´𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓´(𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝜋
−𝜋
Haciendo integración por partes llamando 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 y 𝑑𝑣 = 𝑓´(𝜃)𝑑𝜃
𝑏´𝑛 =1
𝜋[𝑓(𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃|−𝜋
𝜋 − 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃𝜋
−𝜋]
𝑏´𝑛 = −1
𝜋. 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝜋
−𝜋 ; 𝑏´𝑛 = −𝑛 ∙ 𝑎𝑛 (𝐵)
Por la desigualdad de Bessel para números reales sabemos que se verifica
∑ |𝑓´|2∞𝑛=1 ≤ ‖𝑓´‖2 < ∞ ; ∑ (𝑎´𝑛
2 + 𝑏´𝑛2 )∞
𝑛=1 ≤1
𝜋∫ 𝑓´(𝜃)2 𝑑𝜃
𝜋
−𝜋< ∞
Por (A) y (B) tenemos que ∑ (𝑛√𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛
2)2
∞𝑛=1 < ∞
Entonces podemos decir que la sucesión {𝑛√𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛
2} , donde
n=1,2,… pertenece al espacio euclidiano l2 de todas las sucesiones de cuadrado
sumable de números reales. Por otro lado la sucesión {1
𝑛}, donde n=1,2,… también
pertenece a l2 por lo tanto el producto interno de estas dos sucesiones existe, y se
sigue que ∑ (1
𝑛∙ 𝑛√𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛2)∞
𝑛=1 = ∑ √𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛
2∞𝑛=1 debe converger.
Por otro lado, dado cualquier par de números reales a y b, la
desigualdad de Cauchy-Schwarz en ℝ2 aplicada a los vectores 𝑎 ∙ 𝑖 + 𝑏 ∙ 𝑗 y cos 𝑛𝜃 ∙
𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 ∙ 𝑗, siendo 𝑖 y 𝑗 la base canónica, implica que: |𝑎 ∙ cos 𝑛𝜃 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤
√𝑎2 + 𝑏2 ∙ √𝑐𝑜𝑠2𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝑛𝜃; |𝑎 ∙ cos 𝑛𝜃 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤ √𝑎2 + 𝑏2 , para toda 𝜃.
Esto permite comparar la serie |𝑎0
2| + ∑ |𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃|∞
𝑛=1
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con la serie de constantes positivas |𝑎0
2| + ∑ √𝑎2 + 𝑏2∞
𝑛=1 , y por el criterio M de
Weierstrass implica que: 𝑎0
2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)∞
𝑛=1 es uniforme y
absolutamente convergente en cualquier intervalo cerrado del eje 𝜃.
Finalmente, por el teorema de convergencia puntual, se sabe que
esta serie converge por puntos a f, de esta manera se completa la demostración.
Solo podemos esperar convergencia uniforme en series de Fourier
hacia funciones continuas.
7.1 Contextualización de la convergencia uniforme en series de Fourier
A continuación buscamos el desarrollo en series de Fourier de la
función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , − 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y estudiaremos si dicho desarrollo obtenido
converge uniformemente a f(x) en [−𝜋, 𝜋].
Solución: 𝑎0 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 =
1
𝜋∫ 𝑥2𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 =
1
𝜋[
1
3𝑥3|
−𝜋
𝜋
] ; 𝑎0 =2
3𝜋2
Por otro lado 𝑎𝑛 =1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)
𝜋
−𝜋cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝜋∫ 𝑥2 ∙
𝜋
−𝜋cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑛 =2
𝜋∫ 𝑥2 ∙
𝜋
0cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
2
𝜋[
1
𝑛𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥|0
𝜋 +2
𝑛2 𝑥 ∙ cos 𝑛𝑥|0𝜋 −
2
𝑛3 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥|0𝜋]
𝑎𝑛 =4
𝑛2 cos 𝑛𝜋 = {−1 𝑠𝑖 𝑛 = 1,3,5, …1 𝑠𝑖 𝑛 = 2,4,6, …
𝑎𝑛 =4
𝑛2 ∙ (−1)𝑛
En este caso f es una función par en el intervalo [−𝜋, 𝜋]. Por esta
razón al calcular 𝑏𝑛 = 0 para todo n.
Por lo tanto, la serie de Fourier de la función f es
𝑆[𝑓(𝑥)] =𝜋2
3+ ∑
4
𝑛2∙ (−1)𝑛∞
𝑛=1 ∙ cos 𝑛𝑥
La función f es continua en [−𝜋, 𝜋] y 𝑓´es continua en (−𝜋, 𝜋) ,
luego hay convergencia uniforme.
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Gráfica de f (negro) y de 𝑆𝑁𝑓(𝑥), para N=4 (rojo) y N=6 (rosado)
CONCLUSIONES
En el presente artículo se presentó un material de estudio que
puede ser utilizado como una introducción al Análisis de Fourier en donde se
trabajan los siguientes tópicos: Series trigonométricas, Series de Fourier;
Convergencia puntual y convergencia uniforme.
Los tópicos presentados se apoyan en gráficos, además se
desarrollan ejemplos en forma detallada y ordenada. Una vez que este material sea
trabajado en el aula lo que se espera es:
Motivar a los alumnos hacia el estudio del análisis armónico.
Conseguir que entiendan los desarrollos matemáticos rigurosos de los
tópicos planteados para poder comprender los resultados clásicos.
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proceso de transferencia de masa, Tesis, Pachuca, Hidalgo; 2000.
Pinsky, M. A., Introducción al Análisis de Fourier y las Ondoletas, Thomson, 2003.
Almira J. M., Cuerdas vibrantes y calor: La génesis del Análisis de Fourier,
Matematicalia, 4 (1) (2008). http://www.matematicalia.net.
http://www4.ujaen.es/~jmalmira/origenes_analisis_fourier.pdf
Bombal Fernando. Las series de Fourier y el desarrollo del análisis en el siglo XIX,
Universidad Complutense de Madrid.
http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/9_Seri
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Duoandikoetxea Javier. Lecciones sobre las series y transformadas de Fourier .
http://www.busateo.es/busateo/Matematicas/176.pdf