CONTENTS · CONTENTS Ⅰ. 자연수의 성질 Ⅱ. 정수와 유리수 Ⅲ. 문자와 식 Time 01 소인수분해 gg 10 Time 02 최대공약수와 그 활용 gg 22 Time 03 최소공배수와

■ CONTENTS

Ⅰ. 자연수의 성질

Ⅱ. 정수와 유리수

Ⅲ. 문자와 식

Time 01 소인수분해 gg 10

Time 02 최대공약수와 그 활용 gg 22

Time 03 최소공배수와 그 활용 gg 32

중단원 마무리 gg 42

대단원 TEST gg 44

Time 04 정수와 유리수의 뜻과 성질 gg 50

Time 05 절댓값과 수의 대소 관계 gg 60


Time 06 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈 gg 72

Time 07 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈 gg 84


대단원 TEST gg 100

Time 08 문자의 사용 gg 108

Time 09 식의 계산 gg 120


■

분기 학년

1학기 2학기

1학년 중1 1학기 [1호] 중1 1학기 [2호] 중1 2학기 [3호] 중1 2학기 [4호]

2학년 2014년 개정

3학년 2015년 개정

해라클래스 중학 수학(분기용) Series

Structure이 책의 구성과 특징

개념노트

스토리텔링

개념확인+유형학습

개념 돌다리기 두드리기

교과서 핵심 개념과 원리를 완벽하게 이해할 수 있도록 자세

하게 정리하였고 오른쪽 노트부분에는 선생님 보충강의와 주

의해야 할 내용들을 기록할 수 있게 하였다.

본 단원을 학습하기에 앞서 다양한 배경지식과 학습할 개념

에 대한 유래, 그리고 실생활에서의 여러 상황을 통해 학습

동기를 유발하고 있다.

각 단원의 대표적인 문제를 통하여 개념을 이해하고 적용 및

응용을 충분히 익히도록 핵심문제와 더불어 예제와 지도 Tip

을 실었다.

학습한 정의와 개념을 적용하여 해결할 수 있는 기본적인 문제를 반복을 통하여 충분히 연습하여

개념을 확실하게 익힐 수 있도록 구성하였다.

� � �1�0� � �|� � Ⅰ�.� 자연수의� 성질

#01. 소인수분해 개념학습 ①

1. 거듭제곱

2. 소수

3. 합성수

⑴ 거듭제곱 : 같은 수나 같은 문자를 거듭해서 곱한 것을 간단히 나타

낸 것

예 3 3 32# = , 2 2 2 5 5 2 53 2# # # # #=

⑵ 밑 : 거듭 곱한 수나 문자

⑶ 지수 : 거듭하여 곱해진 수나 문자의 개수

예 24 에서 2는 밑, 4는 지수이다.

⑴ 소수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 그 자신만을 약수로 가지는 수

예 2, 3, 5, 7, 11, g

⑵ 소수의 성질

2는 가장 작은 소수이고, 소수 중에서 짝수는 2뿐이다.

모든 소수의 약수의 개수는 2개이다.

⑴ 합성수 : 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수

예 4, 6, 8, 9, 10, g

⑵ 합성수의 성질

1과 그 자신이 아닌 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있다.

약수의 개수는 3개 이상이다.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.

⑴ 2 2 2# # ⑵ 5 5 5 5# # #

⑶ 31

31

31

31

# # # ⑷ 2 2 5 5 7# # # #

�A

�B다음 중 합성수를 모두 찾아라.

오른쪽과 같은 거듭제

곱에서 곱하는 수 3을 거

듭제곱의 , 곱한 개수를 나타내

는 수 4를 거듭제곱의 라고

한다.

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기

자신만을 약수를 가지는 수를

라 하고, 1과 자기 자신 이외의 수

를 약수로 가지는 수를 라

고 한다.

a a a a3# # =

3개 밑

지수

1 2 5 9 13 21

용어정리

지수(가르키다 指, 수 數)

몇 번 곱했는지 가르키는 수

소수(순수하다 素, 수 數)


자신만을 약수로 가지는 수

34

답 ⑴ 23 ⑵ 54 ⑶ 31

4 ⑷ 2 5 72 2# #

밑

지수

소수

합성수

x2 , x3 , x4 , …을 x의 거듭제곱이라하고

각각 x의 제곱, x의 세제곱, x의 네제곱,

…이라 읽는다.

보충강의 1

소(素 바탕)수 → 2, 3, 5, 7, g

소(小 작다)수 → 0.1, 0.2, 0.3, g

보충강의 2

풀이 | 9의 약수는 1, 3, 9이므로 합성수이다.

21의 약수는 1, 3, 7, 21이므로 합성수이다.

9, 21

0x ! 일 때, x x1 = 이다.

주의

소수로 착각하기 쉬운 수

① 57 3 19#= ② 91 7 13#=

③ 111 3 37#= ④ 133 7 19#=

주의

1은 소수도 합성수도 아니다.

보충강의 3

자연수 소수

합성수

1

⑴� 자연수의� 성질� �|� �1�1� � � � �

Tip

1

2

3

4

5

다음 중 옳지 않은 것은?

① 2 2 2 2 24# # # =

② 5 5 7 7 5 72 2# # # #=

③ 3 3 3 3 11 3 113# # # # = +

④ 7 7 3 5 5 3 5 72 2# # # # # #=

⑤ 21

21

21

21

21

21

5# # # # =

수타면은 밀가루 반죽을 손으로 직접 늘이고 치대어 뽑은 면이다. 이때 반죽을

늘여 한 번 접으면 두 가닥이 되고, 두 번 접으면 네 가닥이 된다. 또 세 번 접으

면 여덟 가닥이 된다. 가장 맛있는 자장면을 만들기 위해 일곱 번 면을 접었다고

할 때, 면은 몇 가닥이 되는지 거듭제곱을 사용하여 나타내어라.

다음 중 소수와 합성수를 각각 골라라.

거듭제곱은 같은 수나 문자를 여러 번

곱한 것을 곱하는 수와 곱한 횟수를 사용

하여 간단히 나타낸 것이다.

1-1 다음을 거듭제곱으로 나타내어라.

3-1 다음 수가 소수인지 합성수인지 말하여라.

30 이하의 자연수 중 가장 큰 소수와 가장 작은 소수의 차를 구하여라.

소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과

자기 자신만을 약수로 갖는 수이다.

11 29 51 15 91

다음 설명 중 옳지 않은 것은?

① 소수의 약수는 항상 2개이다.

② 모든 소수는 홀수이다.

③ 가장 작은 합성수는 4이다.

④ 약수의 개수가 1개인 자연수도 있다.

⑤ 합성수는 2개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다.

1은 약수의 개수가 1개, 소수는 약수

의 개수가 2개, 합성수는 약수의 개수가

3개 이상이다.

5-1 다음 중 옳은 것은 , 틀린 것은 #표시하여라.

⑴ 2 2 3 3 2 32 2# # # #= ^ h

⑵ 1은 소수가 아니다. ^ h

⑶ 5 5 5 5 5 4 ( )# # # # #=

⑷ 합성수는 약수가 2개이다. #^ h

⑴ 2 2 2# #

⑵ 3 3 5 5# # #

⑶ 2 3 3 3 7 7# # # # #

⑷ 51

51

51

51

# # #

⑸ 3 3 7 7 7

1# # # #

⑴ 9 ⑵ 15

⑶ 17 ⑷ 21

⑸ 31 ⑹ 49

V 교과서


풀이 | ③ 3 3 3 3 11 3 114# # # # #=

풀이 | 11의 약수는 1, 11이므로 소수이다.

29의 약수는 1, 29이므로 소수이다.




소수 : 11, 29

합성수 : 51, 15, 91

풀이 | 2 2 2 2 2 2 2 27# # # # # # = (가닥)

27 가닥

풀이 | ⑴ 2 2 2 23# # =

⑵ 3 3 5 5 3 52 2# # # #=

⑶ 2 3 3 3 7 7 2 3 73 2# # # # # # #=

⑷ 51

51

51

51

51

4# # # =

⑸ 3 3 7 7 7

13 7

12 3# # # # #

=

풀이 | ⑴ 합성수 ⑵ 합성수

⑶ 소수 ⑷ 합성수

⑸ 소수 ⑹ 합성수풀이 | 30 이하의 자연수 중 가장 큰 소수는 29 ,

가장 작은 소수는 2이므로 그 차는 29 2 27- =

27

풀이 | ⑶ 5 5 5 5 54# # # =

⑷ 합성수는 약수가 3개 이상이다.

풀이 | ② 2는 소수이고 짝수이다.

23=

3 52 2#=

2 3 73 2# #=

51

4=

3 71

2 3#=

� � �1�6� � �|� � Ⅰ�.� 자연수의� 성질

개념 돌다리 두드리기

1

2

3다음에서 밑과 지수를 각각 말하여라.

다음 수를 [ ] 안의 수의 거듭제곱으로 나타내어라.

⑴ 32 밑 : 지수 :

⑵ 53 밑 : 지수 :

⑶ 78 밑 : 지수 :

⑷ 9a 밑 : 지수 :

⑸ yb 밑 : 지수 :

⑹ 31 2

c m 밑 : 지수 :

⑴ [ ]32 2

⑵ 49 76 @

⑶ [ ]81 3

⑷ [ ]125 5

⑸ 256 26 @

⑹ [ ]10000 10

⑴ 5 5#

⑵ 2 2 3 3# # #

⑶ 7 7 7 8 8# # # #

⑷ 4 4 4# #

⑸ 3 3 3 8 8 8# # # # #

⑹ 21

21

21

21

# # #

⑺ 3 5 5 3 5 5# # # # #

⑻ 21

21

21

21

71

71

71

# # # # # #

⑼ 3 5 5 5 7 7

1# # # # #

⑽ 2 2 3 3 7 7 11 11 11

1# # # # # # # #

⑾ 한 변의 길이가 3인 정사각형의 넓이

⑿ 한 변의 길이가 7인 정육면체의 부피


⑴ 거듭제곱 : 같은 수나 같은 문자를 거듭해서 곱한 것을 간단히 나타낸 것

⑵ 밑 : 거듭제곱에서 거듭해서 곱한 수를 밑이라고 한다.

⑶ 지수 : 거듭제곱에서 같은 수를 곱한 개수 2, 3, 4, …를 지수라고 한다.

1. 거듭제곱

25

72

34

53

28

104

3 2

5 3

7 8

9 a

y b

31

2

52

2 32 2#

7 83 2#

43

3 83 3#

21 4

` j

3 52 4#

21

714 3

#` cj m

3 5 713 2# #

2 3 7 111

2 2 2 3# # #

32

73

1, 2, 4, 8

1, 5

1, 13

1, 2, 7, 14

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136

5, 15, 25, 30, 35, 40

9, 18, 27, 36

21

13, 26, 39

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39

7, 14, 21, 28, 35

○

×

○

×

소수

합성수

합성수

소수

합성수

합성수

1, 5

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 19

1, 2, 13, 26

1, 3, 37, 111

⑴� 자연수의� 성질� �|� �1�7� � � � �

1

2

다음 수의 약수를 모두 구하여라.

40 이하의 자연수 중 다음 수의 배수를 모두 구하여라.

⑴ 8

⑵ 5

⑶ 13

⑷ 14

⑸ 30

⑹ 136

⑴ 5

⑵ 9

⑶ 21

⑷ 13

⑸ 3

⑹ 7

자연수 a를 자연수 b로 나눌 때 나머지가 0이면 a

는 b로 나누어떨어진다고 한다. 이때 a를 b의 배

수, b를 a의 약수라고 한다.

1

2

다음 수의 약수를 모두 구하고, 소수인지 합성수인지

( ) 안에 써넣어라.

소수에 대한 다음 설명 중 옳은 것은 를, 틀린 것은 #

표를 ( ) 안에 써넣어라.

⑴ 5 ( )

약수 :

⑵ 12 ( )

약수 :

⑶ 18 ( )

약수 :

⑷ 19 ( )

약수 :

⑸ 26 ( )

약수 :

⑹ 111 ( )

약수 :

⑴ 소수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만

을 약수로 가지는 수

⑵ 합성수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신

이외의 수를 약수로 가지는 수

⑴ 소수의 약수는 1과 자기 자신뿐이다. ( )

⑵ 1은 소수이다. ( )

⑶ 소수의 약수는 2개이다. ( )

⑷ 10 이하의 소수는 3개뿐이다. ( )

2. 약수와 배수 3. 소수와 합성수

25

72

34

53

28

104

3 2

5 3

7 8

9 a

y b

31

2

52

2 32 2#

7 83 2#

43

3 83 3#

21 4

` j

3 52 4#

21

714 3

#` cj m

3 5 713 2# #

2 3 7 111

2 2 2 3# # #

32

73

1, 2, 4, 8

1, 5

1, 13

1, 2, 7, 14

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136

5, 15, 25, 30, 35, 40

9, 18, 27, 36

21

13, 26, 39

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39

7, 14, 21, 28, 35

○

×

○

×

소수

합성수

합성수

소수

합성수

합성수

1, 5

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 19

1, 2, 13, 26

1, 3, 37, 111

� � �1�8� � �|� � Ⅰ�.� 자연수의� 성질

1 2

3

다음은 소인수분해하는 과정이다. 안에 알맞은 수

를 써넣어라.

⑴ 36g

18g

9g

36 2` = 3#

⑵ 60 2 #=

2 2# #=

2 2 3 5# # #=

⇒ 60 = 3 5# #

⑶

48

24

12

6

48` = 4 #

⑴ 10

⑵ 25

⑶ 42

⑷ 48

⑸ 70

⑴ 60

⑵ 75

⑶ 108

⑷ 140

⑸ 243

다음 수를 소인수분해하여라.

다음 수의 소인수를 모두 구하여라.

⑴ 인수 : 자연수 a, b, c에 대하여 a b c#= 일 때, a의 약수 b, c를 a의 인수라고 한다.

⑵ 소인수 : 소수인 인수를 소인수라고 한다.

⑶ 소인수분해 : 어떤 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 그 자연수를 소인수분해한다고 한다.

⑷ 소인수분해하는 방법

① 나누어 떨어지는 소수로 나눈다.

② 몫이 소수가 될 때까지 나눈다.

③ 나눈 소수들과 마지막 몫을 곱셈 기호 #로 연결한다. 이때 같은 소인수의 곱은 거듭제곱을 사용하여 나타

낸다.

4. 소인수분해

2

2

2 2

3

3

30

15

22

3

32

2

2

2

2

10 2 5#=

25 52=

42 2 3 7# #=

48 2 34 #=

70 2 5 7# #=

2, 3, 5

3, 5

2, 3

2, 5, 7

3

⑴� 자연수의� 성질� �|� �1�9� � � � �

1

2

3주어진 표를 완성하고, 이를 이용하여 주어진 수의 약수를 모두 구하여라.

다음 수의 약수의 개수를 구하여라.

⑴ 2 32 2#

⑵ 2 53 2#

⑴ 25

⑵ 3 53 2#

⑶ 2 3 52 2# #

⑷ 3 5 72 3 4# #

⑸ 135

⑹ 120

⑴ 16 ( )

⑵ 21 ( )

⑶ 26 ( )

⑷ 45 ( )

⑸ 64 ( )

⑹ 34 ( )

⑺ 2 32 # ( )

⑻ 2 33 2# ( )

⑼ 24 ( )

⑽ 80 ( )

⑾ 162 ( )

⑿ 136 ( )

다음 수의 약수를 모두 구하고, ( ) 안에 약수의 개

수를 써넣어라.

자연수 N 이 N a bm n#= (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로 소인수분해될 때

⑴ N 의 약수는 (am의 약수)와 (bn의 약수)의 곱으로 구한다.

⑵ N 의 약수의 개수 : ( ) ( )m n1 1#+ + 개

# 1 2 22

1 4

3 3

32

# 1 2 22 23

1

5 40

52 50

5. 소인수분해를 이용하여 약수 구하기

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1

1

2

2

6 12

9 18 36

4 8

5 10 20

25 100 200

약수 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

6

12

18

60

8

16

5

약수 : 1, 2, 4, 8, 16

4

약수 : 1, 3, 7, 21

4

약수 : 1, 2, 13, 26

4

약수 : 1, 5, 9, 45

7

약수 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

5

약수 :1, 3, 9, 27, 81

6

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

8

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

10

약수 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

10

약수 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162

8

약수 : 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

스토리텔링

매미의 일생

여름철에 가장 자주 볼 수 있는 곤충인 매미의 일생에는 신기한 특징이 있다.

매미는 보통 나뭇가지에 알을 낳는다. 알에서 깨어난 유충은 땅속으로 내려가서

나무뿌리의 수액을 먹으며 몇 년 또는 10년 넘게 시간을 보낸 후에 여름에 나무

위로 올라와 자란벌레가 되어서 ~2 3주 동안 산다.

우리나라에서 많이 볼 수 있는 유지매미, 참매미의 수명은 7년 정도이다. 북아메

리카에서만 볼 수 있는 13년 매미, 17년 매미는 글자 그대로 그 수명이 각각 13

년, 17년이다. 그래서 주기 매미라고도 불린다. 신기한 것은 유지매미, 참매미 등의 주기 매미의 공통점은 그 수명이 7년,

13년, 17년으로 약수의 개수가 모두 2개인 수라는 것이다. 이처럼 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수라고 한다.

왜 매미는 6년이나 8년 또는 12년이나 15년이 아닌 소수 주기의 삶을 사는 것일까?

매미는 아주 오래 전에는 6년이나 8년 또는 12년이나 15년 주기의 매미가 있었는데 세월이 흐름에 따라 이런 주기를 가

진 매미들은 사라지고 오늘날 소수 주기를 가진 매미들이 살게 되었다고 한다.

그 원인에 대해서 두 가지 설명이 있는데, 하나는 소수 주기를 가진 매미들이 다른 주기를 가진 천적을 피하기가 쉽다는 것

이고 다른 하나는 같은 주기의 매미들이 자손을 낳으면 같은 주기의 매미가 태어나는데 다른 주기의 매미가 자손을 낳으

면 또 다른 주기를 가진 매미가 태어나 그 매미가 자란벌레가 될 즈음에는 주위에 동료들이 없어서 자손을 만들지 못한다

는 것이다.

다음은 여러 종류의 매미의 주기를 나타낸 것이다.

1. 위 표를 보고 매미의 종류별로 주기의 약수를 알아보자.

2. 20 이하의 자연수 중에서 소수를 찾아보자.

매미종류 늦털매미 유지매미 참매미북아메리카

13년 주기 매미

북아메리카

17년 주기 매미

주기 (년) 5 7 7 13 17

풀이 | 늦털매미 : 1 , 5 / 유지매미, 참매미 : 1 , 7 /

북아메리카 13년 주기 매미 : 1 , 13 / 북아메리카 17년 주기 매미 : 1 , 17

풀이 | 소수는 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수이므로 20 이하의 소수는 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17이다.

십간 십이지

옛날 사람들은 하늘에는 10가지 기운이 있고, 땅에는 12가지 기운이 있다고 믿었다. 하늘의 기운인 십간(十干)은 사람

의 손가락 개수에서 연상된 수로 천간(天干)이라고 하며 땅의 기운인 십이지(十二支)는 달의 움직임과 계절의 변화에서

나온 수로 지지(地支)라고 하였다.

십간(十干)과 십이지(十二支)를 사용하여 예로부터 우리나라는 연도를 나타냈는데 십간과 십이지는 다음과 같다.

십간은 10년마다 십이지는 12년마다 나타나는데 십간과 십이지를 차례로 짝지어 갑자년, 을축년, 병인년, 정묘년, ... 과

같이 연도를 나타내었다.

우리나라 역사에서 임진왜란(1592 )과 임오군란(1882 ), 갑신정변(1884 )과 갑오개혁(1894 ) 등은 연도의 끝자리 수가 같

음을 알 수 있다.

십이지는 해당하는 연도의 띠를 말하는 것으로 십이지에 각각을 상징하는 동물은 쥐, 소, 호랑이, 토끼, 용, 뱀, 말, 양, 양,

원숭이, 닭, 개, 돼지이다. 그래서 12년마다 같은 띠가 된다.

즉, 2008년이 쥐띠이면 12년 후인 2020년도 쥐띠가 되고, 24년 후인 2032년도 쥐띠가 된다. 그래서 12년의 배수인

사람들을 띠동갑이라고 한다.

그렇다면 십간과 십이지가 일치하는 해는 언제일까?

이를테면, 1984년은 갑자년이었다. 다시 갑자년이 돌아오는 최초의 해는 60년 후인 2044년이 된다. 그래서 태어난 지

60년이 되는 해를 환갑 또는 회갑이라고 한다.

십간 갑(甲) 을(乙) 병(丙) 정(丁) 무(戊) 기(己) 경(庚) 신(辛) 임(壬) 계(癸)

십이지 자(子) 축(丑) 인(寅) 묘(卯) 진(辰) 사(巳) 오(午) 미(未) 신(申) 유(酉) 술(戌) 해(亥)

1984년 갑 자 1996년 병 자 2008년 무 자 2020년 경 자 2032년 임 자 2044년 갑 자 2056년 병 자

1985년 을 축 1997년 정 축 2009년 기 축 2021년 신 축 2033년 계 축 2045년 을 축 2057년 정 축

1986년 병 인 1998년 무 인 2010년 경 인 2022년 임 인 2034년 갑 인 2046년 병 인 2058년 무 인

1987년 정 묘 1999년 기 묘 2011년 신 묘 2023년 계 묘 2035년 을 묘 2047년 정 묘 2059년 기 묘

1988년 무 진 2000년 경 진 2012년 임 진 2024년 갑 진 2036년 병 진 2048년 무 진 2060년 경 진

1989년 기 사 2001년 신 사 2013년 계 사 2025년 을 사 2037년 정 사 2049년 기 사 2061년 신 사

1990년 경 오 2002년 임 오 2014년 갑 오 2026년 병 오 2038년 무 오 2050년 경 오 2062년 임 오

1991년 신 미 2003년 계 미 2015년 을 미 2027년 정 미 2039년 기 미 2051년 신 미 2063년 계 미

1992년 임 신 2004년 갑 신 2016년 병 신 2028년 무 신 2040년 경 신 2052년 임 신 2064년 갑 신

1993년 계 유 2005년 을 유 2017년 정 유 2029년 기 유 2041년 신 유 2053년 계 유 2065년 을 유

1994년 갑 술 2006년 병 술 2018년 무 술 2030년 경 술 2042년 임 술 2054년 갑 술 2066년 병 술

1995년 을 해 2007년 정 해 2019년 기 해 2031년 신 해 2043년 계 해 2055년 을 해 2067년 정 해

1 . 자신이 태어난 해를 십간 십이지로 나타내어 보고 자신의 환갑은 언제인지 알아보자.

2 . 1982년에 태어난 사람의 환갑은 언제인지 알아보고 십간 십이지로 나타내어 보자.

풀이 | 예) 2000년 경진에 태어났으므로 환갑은 60년 후인 2060년이다.

풀이 | 1982년에서 60년 후인 2042년이 환갑이고 2042년을 십간 십이지로 나타내면 임술년이다.

개념학습

개념학습

개념확인+

유형학습

개념확인+

유형학습

교과서 다지기

중단원 마무리

STEAM

대단원 TEST

교과서 다지기

교과서에서 다루고 있는 내용 중 상황학습이나 심화학습 위주의 문항을 선별하여 단계별로 개념을

적용하며 문제를 해결해 나가는 학습을 도모하였다. (스스로 해결을 위한 쌍둥이문제 제공)

� � �2�0� � �|� � Ⅰ�.� 자연수의� 성질

교과서 다지기

1

2

개념활동 소인수의 합 구하기

개념활동

쌍둥이 문제

약수의 개수 구하기

360의 약수의 개수와 2 3 5a 2# # 의 약수의 개수가 같을 때, 자연수 a의 값을

구하여라.

980을 소인수분해했을 때, 모든 소인수들의 합을 a , 396을 소인수분해했을 때

모든 소인수들의 합을 b라고 할 때, a b+ 의 값을 구하여라.

[문제 접근하기] al×bm×cn의 약수의 개수는 (l+1)(m+1)(n+1)개이다.

[문제 접근하기] 각 수의 소인수를 각각 구한다.

⑴ 360을 소인수분해하여라.


⑵ 360의 약수의 개수를 구하여라.

⑵ a를 구하여라.

⑶ 396을 소인수분해하여라.

⑷ a b+ 의 값을 구하여라.

⑶ a의 값을 구하여라.

1-1 735를 소인수분해했을 때, 모든 소인수들의 합을 x , 756을 소인수분해

했을 때, 모든 소인수들의 합을 y라고

할 때, x y+ 의 값을 구하여라.

2-1 540의 약수의 개수와 2 5 7n2 # #의 약수의 개수가 같을 때, 자연수 n의

값을 구하여라.

980 2 5 72 2# #=

980의 소인수는 2, 5, 7이므로 2 5 7 14a = + + =

396 2 3 112 2# #=

396의 소인수는 2, 3, 11이므로 2 3 11 16b = + + =

14 16 30a b` + = + =

360 2 3 53 2# #=

360 2 3 53 2# #= 이므로 약수의 개수는 3 1 2 1 1 1 24# #+ + + =^ ^ ^h h h (개)

2 3 5a 2# # 의 약수의 개수가 24개이므로

6 24a a1 1 1 2 1 1# # #+ + + = + =^ ^ ^ ^h h h h

3a` =

540 2 3 52 3# #= 이므로

2 1 3 1 1 1# #+ + +^ ^ ^h h h

n2 1 1 1 1# #= + + +^ ^ ^h h h

3n` =

735 3 5 72# #= 이므로 소인수는

3, 5, 7이다.

3 5 7 15x` = + + =

756 2 3 72 3# #= 이므로 소인수는

2, 3, 7이다.

2 3 7 12y` = + + =

15 12 27x y` + = + =

27

3

⑴� 자연수의� 성질� �|� �2�1� � � � �

교과서 다지기

쌍둥이 문제

3

4

개념활동

개념활동

약수의 개수가 주어졌을 때, 가장 작은 자연수 구하기

소인수분해의 응용

x y630 2# = 을 만족하는 자연수 x , y 중에서 가장 작은 수를 각각 a , b라 할

때, a b+ 의 값을 구하여라.

자연수 A에 대하여 A 53# 의 약수의 개수는 12개이다. 이때, A의 값 중 가장

작은 수를 구하여라.

[문제 접근하기] 제곱수는 소인수분해했을 때 지수가 모두 짝수이다.

[문제 접근하기] am×bn 의 원소의 개수는 (m+1)×(n+1)임을 이용하여 A의 최솟값을 구한다.


⑴ A am= (a는 소수)일 때, m의 값을 구하여라.

⑵ a의 값을 구하여라.

⑵ A의 값 중 가장 작은 수를 구하여라.

⑶ b의 값을 구하여라.


3-1 자연수 A에 대하여 A 34# 의 약수의 개수는 20개이다. 이때, A의

값 중 가장 작은 수를 구하여라.

4-1 p q420 2# = 을 만족하는 자연수 p , q 중 가장 작은 수를 m , n이라

할 때, m n+ 의 값을 구하여라.

A am= (a는 소수)이라 하면

1 4 1 20m #+ + =^ ^h h 이므로 3m =

따라서 a의 최솟값은 2가 되고 A의 값

중 가장 작은 수는 2 83 =

8

1 3 1 12m #+ + =^ ^h h 이므로 2m =

a의 최솟값은 2이고 A의 값 중 가장 작은 수는 2 42 =

420 2 3 5 72 # # #= 이므로

420 2 3 5 7p p q2 2# # # # #= = 을 만족

하는 p의 값은 3 5 7p # # #= (제곱수)이

어야하고, 이 중 가장 작은 자연수 m은

3 5 7 105# # = 이다.

또, 420 2 3 5 7m 2 2 2 2# # # #= 이므로

2 3 5 7 210n # # #= =

105 210 315m n` + = + =

315

630 2 3 5 72# # #=

2 3 5 7 x2# # # # 가 제곱수이므로 지수가 모두 짝수이다.

따라서 x의 값 중 가장 작은 자연수는 2 5 7 70# # =

70a` =

70a = 이므로 2 3 5 7 b2 2 2 2 2# # # =

210b` =

70 210 280a b+ = + =

� � �4�2� � �|� � Ⅰ�.� 자연수의� 성질

1. 자연수의 성질

다음 중 소수는 모두 몇 개인가?

다음 중 옳지 않은 것을 모두 고르면? (정답 2개)

140의 모든 소인수의 합을 구하여라.

n72 가 자연수가 되게 하는 자연수 n의 개수를 구하

여라.

① 2개 ② 3개 ③ 4 개

④ 5개 ⑤ 6개

, , , , , ,2 6 9 11 12 13 21

① 3 3 3 3 3 35# # # # =

② 2 2 2 7 7 7 2 73 3# # # # # #=

③ a a a a a4# # # =

④ 21

21

21

21

21 4# # # #=

⑤ b b c c c b c2 3# # # # # # #=

01

02

03

04

세 자연수 , ,A B C의 최소공배수가 16일 때, 다음 중

, ,A B C의 공배수가 아닌 것을 모두 고르면? (정답 2

개)

다음 중 서로소인 것은?

① ,2 4 ② ,6 12 ③ ,9 15

④ ,7 17 ⑤ ,10 22

① 12 ② 16 ③ 32

④ 40 ⑤ 80

05

06

다음 그림과 같이 가로, 세로의 길

이가 각각 m, m32 20 인 직사각형

모양의 실내 낚시터가 있다. 이 낚

시터에 일정한 간격으로 의자를 놓는데, 가능한 한 의자의

수를 적게 하고, 네 모퉁이에는 반드시 의자를 놓는다고

할 때, 필요한 의자의 수를 구하여라.

풀이

답

32m

20m

07

풀이 | 서로소는 공약수가 1뿐인 두 자연수, 즉 최대공약수가 1인 두

자연수이다.

④ 7, 17은 최대공약수가 1이므로 서로소이다.

풀이 | 세 수 , ,A B C 의 공배수는 최소공배수 16의 배수이다.

26개

채점 기준 점수

가로와 세로 길이의 최대공약수 구하기 2

가로와 세로에 놓을 수 있는 의자 수 구하기 2

필요한 의자 수 구하기 2

일정한 간격으로 의자를 놓으려면 간격은 32와 20의 공약수가

되어야 한다. 이때 가능한 한 의자의 수를 적게 하여야 하므로 간

격은 가능한 한 크게 하여야 한다. 그러므로 간격은 32와 20의

최대공약수이다. 32 2 , 20 2 55 2 #= = 이므로 최대공약수는 4이

다. … 2점

따라서 의자를 놓는 간격은 4m가 되므로 가로에 32 4 1 9' + =

(개), 세로에 20 4 1 6' + = (개)의 의자를 놓을 수 있다. … 2점

그런데 네 모퉁이에서 두 번씩 겹치므로 필요한 의자의 수는

9 2 6 2 4 26# #+ - = (개)이다. … 2점

풀이 | 소수는 1을 제외한 자연수 중에서 1과 그 자신만을 약수로

가지는 수이다. 따라서, 소수는 2, 11, 13으로 3개이다.

풀이 | 140을 소인수분해하면 2 5 72 # # 이므로 소인수 2, 5, 7의

합은 14이다.

풀이 | n

72 가 자연수가 되게 하는 자연수 n은 72의 약수이다.

72를 소인수분해하면 2 33 2# 이므로 72의 약수의 개수는

4 3 123 1 2 1# #+ + = =^ ^h h (개)

12개

풀이 | ④ 21

21

21

21

21

214

4# # # = =` j

⑤ b b c c c b c2 3# # # # #=

14

중단원� 마무리� �|� �4�3� � � � �

세 수 , ,2 3 2 3 5 2 52 2# # # # 의 공배수 중 200에

가장 가까운 수를 구하여라.

두 수 ,2 5 7 2 5a b# # # 의 최소공배수가 2 5 73 4# #

일때, a b+ 의 값을 구하여라. (단, ,a b는 자연수)

가로와 세로의 길이가 각각 cm, cm8 12 인 직사각형

모양의 타일을 겹치지 않게 이어 붙여서 가능한 한 작

은 정사각형을 만들려고 한다. 이때, 필요한 타일은 모

두 몇 장인가?

① 6장 ② 8장 ③ 12 장

④ 14장 ⑤ 24장

세 수 , ,2 3 5 2 3 7 2 3 53 2 2 3 2 2# # # # # # 의 최대공약

수를 구하여라.

08

11

09

10

두 분수 125 와 21

10 의 어느 것에 곱해도 그 결과가 자연수

가 되게 하는 수 중 가장 작은 분수를 구하여라.

톱니의 수가 각각 16개, 24개인 두 톱니바퀴 A , B가 서

로 맞물려 있다. 두 톱니바퀴가 회전하기 시작하여 최초

로 같은 톱니에서 다시 맞물릴 때까지의 톱니바퀴 A의 회

전 수를 구하여라.

공책 33권, 연필 50자루, 지우개 66개를 학생들에게 똑

같이 나누어 주려고 하였더니 공책은 3권이 부족하고, 연

필은 4자루가 부족하고, 지우개는 3개가 남았다. 이때,

한 학생에게 나누어 주려고 했던 연필은 몇 자루인지 구

하여라.

풀이

답

12

13

14

풀이 | 12와 21의 최소공배수는 84이고, 5와 10의 최대공약수는

5이므로 구하는 수는 584

584

풀이 | 16과 24의 최소공배수를 구하면 2 2 2 2 3 48# # # # = 이므로

최초로 두 톱니가 만나려면 84 개의 톱니가 지나

야 한다.

따라서 같은 톱니에서 다시 맞물릴 때까지

톱니바퀴 A는 48 16 3' = (번) 회전한다.

g

g

g

8 12

16 24

4 6

2 3

2

2

2

3번

학생 수는 33 3 36+ = , 50 4 54+ = , 66 3 63- = 의

공약수이다.

36, 54, 63의 최대공약수는 9이므로 학생 수는 9의 약수 중

4보다 큰 수이다. 즉, 학생 수는 9명이다. … 4점

따라서 구하는 연필의 수는 9 650 4 '+ =^ h (자루) … 2점


학생 수 구하기 4

연필의 수 구하기 2

6자루풀이 | 정사각형의 한 변의 길이는 8과 12의 최소공배수인 24cm이다.

가로 : 24 8 3' = (장), 세로 : 24 12 2' = (장), 3 2 6` # = (장)

풀이 | 두 수 2 5 7, 2 5a b# # # 의 최소공배수는 2 5 7a b# # 이므로

3, 4a b= = 이다. 3 4 7a b` + = + =

7

풀이 | 세 수의 최소공배수는 2 3 5 602 # # = 이므로 공배수는 60의

배수이다. 60의 배수는 60, 120, 180, 240, g이므로 200에

가장 가까운 수는 180이다.

180

풀이 |

` 최대공약수는 12

2 3 5

2 3 7

2 3 5

2 3

3 2

2 3

2 2

2

# #

# #

# #

#

� � �4�4� � �|� � Ⅰ�.� 자연수의� 성질 �P�o�l�y�a� �M�a�t�h


01

02

03

04

05

06

07


108을 자연수 x로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되

게 하려고 한다. 다음 중 x로 적당하지 않은 것은?

x224 # 가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장

작은 자연수 x를 구하여라.

① 소수의 약수는 2개이다.

② 23은 소수이다.

③ 두 소수의 합은 소수이다.

④ 2보다 작은 소수는 없다.

⑤ 10보다 작은 소수의 개수는 4개이다.

2 3 5a 2# # 의 약수의 개수가 24개일 때, a의 값을

구하여라.

① 3 ② 6 ③ 12

④ 27 ⑤ 108

다음 중 두 수가 서로소인 것은?

다음 중 2 3 53 2# # 의 약수가 아닌 것은?

① 4와 28 ② 6과 48

③ 8과 15 ④ 9와 36

⑤ 13과 39

① 2 3 5# # ② 3 52#

③ 2 53 # ④ 2 33 2#

⑤ 2 3 53 2# #

두 수 A 2 3a b#= , B 2 3 73 # #= 의 최대공약수가

12 , 최소공배수가 504일 때, a b+ 의 값을 구하여라.

(단, a , b는 자연수)

풀이

답

풀이 | ③ (예) 소수 2와 7의 합은 9이고 9는 합성수이다.

풀이 | 108 2 32 3#=

① 108 3 2 32 2' #= ② 108 6 2 32' #=

③ 108 12 32' = ④ 108 27 22' =

⑤ 108 108 12' =

풀이 | 224 2 75 #= 이므로 2 7 14x #= =

풀이 | 24a 1 1 1 2 1# #+ + + =^ ^ ^h h h

6 24 3a a1 `#+ = =^ h

3

14

풀이 | 서로소인 두 수는 최대공약수가 1이다.

① 4와 28의 최대공약수는 4

② 6과 48의 최대공약수는 6

③ 8과 15의 최대공약수는 1

④ 9와 36의 최대공약수는 9

⑤ 13과 39의 최대공약수는 13

풀이 | ④ 32은 2 , 3, 53 2의 어느 것의 인수도 아니므로 2 3 53 2# # 의

약수가 될 수 없다.

12 2 32 #= 이므로 2a = … 2점

504 2 3 73 2# #= 이므로 2b = … 3점

4a b` + = … 1점

4채점 기준 점수

a 의 값 구하기 2

b 의 값 구하기 3

a b+ 의 값 구하기 1

대단원� �T�E�S�T� � �|� � �4�5� � � � � � � � � � � � � � � �

대단원� �T�E�S�T 자연수의 성질

08

09

10

11

세 자연수 A , B , C의 최소공배수가 15일 때, A , B ,

C의 공배수 중 두 자리의 자연수는 모두 몇 개인지 구

하여라.

세 수 , ,2 3 2 3 2 3 52 3 2# # # # 의 최소공배수는?

두 자연수의 곱이 320이고, 최대공약수가 8일 때, 이

두 자연수의 최소공배수를 구하여라.

① 2 3# ② 2 32#

③ 2 32 2# ④ 2 3 5# #

⑤ 2 3 52 3# #

사탕 80개, 껌 98개, 초콜릿 117개를 되도록 많은 학

생들에게 똑같이 나누어 주려고 하였더니 사탕은 딱 맞

고, 껌은 2개가 남고, 초콜릿은 3개가 부족했다. 학생

수를 구하여라.

두 수 n

18 과 n27 이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 n

을 모두 구하여라.

톱니의 수가 각각 45개, 72개인 톱니바퀴 A, B가 서

로 맞물려 있다. 두 톱니바퀴가 회전하기 시작하여 처음

으로 원래의 위치에서 다시 맞물리려면 A 톱니바퀴는

몇 번 회전해야 하는지 구하여라.

가로의 길이가 2cm , 세로의 길이가

4cm , 높이가 5cm인 직육면체 모양

의 상자를 같은 방향으로 쌓아서 정

육면체를 만들려고 할 때, 최소 몇 개

의 상자가 필요한지 구하여라.

풀이

답

4cm

5cm

2cm

12

13

14

풀이 | , ,A B C 의 공배수는 최소공배수 15의 배수이고,

15의 배수 중 두 자리의 자연수는 15, 30, 45, 60, 75, 90의

6개이다.

6개

풀이 | 공통인 소인수 중에서 지수가 같은 것은 그대로, 다른 것은 큰 것을

선택하고, 공통이 아닌 소인수는 모두 선택하여 곱한다.

` (최소공배수) 2 3 52 3# #=

풀이 | 두 자연수의 곱은 두 자연수의 최대공약수와 최소공배수의

곱과 같으므로 320 8 #= (최소공배수)

`최소공배수는 40이다.

40

풀이 | 80, 98 2 96, 117 3 120- = + = 의 최대공약수는 8이므로

구하는 학생수는 8명이다.

8명

풀이 | 45, 72의 최소공배수는 360이므로 360 45 8' = (번)

8번

200개

2, 4, 5의 최소공배수는 20이므로 완성된 정육면체의 한

풀이 | n은 18과 27의 공약수이므로 최대공약수인 9의 약수이다.

따라서 자연수 n은 1, 3, 9이다.

1, 3, 9


정육면체의 한 모서리의 길이 구하기 3

상자의 개수 구하기 3

모서리의 길이는 20cm이다. … 3점

가로 : 20 2 10' = (개), 세로 : 20 4 5' = (개), 높이 : 20 5 4' = (개)

따라서, 가로 10개, 세로 5개, 높이 4개가 필요하므로 상자는 모두

10 5 4 200# # = (개)가 필요하다. … 3점

� � � � � �4�6� �|� Ⅰ�.� 자연수의� 성질

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식목일(植木日)

나무 심기를 통해 나무와 숲의 소중함을 알고 산지의 자원화를 위해 제정한 기념일로, 해마다

4월 5일이다.

1949년에 공휴일로 정해진 뒤 1960년 3월 15일을 사방(砂防)의 날로 대체 지정하면서 공휴

일에서 제외되었다가 이듬해 다시 식목의 중요성이 강조되면서 공휴일로 환원되었다. 1990년

공휴일에서 제외하자는 견해가 있기도 했지만, 청명(淸明)·한식(寒食) 등과 겹치는 날이라 하

여 그대로 두기로 하였다. 그러다 '관공서의 공휴일에 관한 규정'이 2005년 6월에 개정되면

서 2006년부터 기념일로 변경되어 공휴일에서 제외되었다.

식목일을 4월 5일로 정한 유래는 24절기의 하나인 청명 무렵이 나무 심기에 적합하다는 이유도 있지만, 신라가 삼국통일의 위

업을 달성한 날(음력 2월 25일)이자 조선 성종(成宗)이 동대문 밖 선농단(先農壇)에서 직접 밭을 일군 날(1343년)이 바로 이 날

이기 때문이다.

우리나라에서 공식적으로 식목 행사가 시작된 것은 1911년 조선총독부가 4월 3일을 식목일로 지정하면서부터이지만, 이보다

앞서 신학기를 맞은 학교에서는 식목 방학이라 하여 1주일 정도 나무를 심는 기간을 학생들에게 주기도 하였다. 그러다 1946년

미 군정청이 4월 5일을 식목일로 제정해 오늘날까지 행사를 계속하고 있다.

다음은 어느 학생이 식목일 행사를 다녀와서 쓴 일기이다. 이 일기에 쓰인 규칙대로 나무를 심었을 때 A B+ 의 값을 구

하여라.

오늘 아빠와 함께 아주 특별한 식목일 행사에 참석했다. 거기에는 많은 사람들이 참석했

는데 나무를 심는데 다음과 같은 규칙에 맞게 심으라고 하셨다.

1. 가로의 길이가 m408 , 세로의 길이가 m288 인 직사각형 모양의 땅의 가장자리를 따라 일정

한 간격으로 나무를 심는다.

2. 나무의 간격을 가능한 한 크게 한다.

3. 직사각형 땅의 모퉁이에는 반드시 가장 큰 나무 3그루를 심는다.

아빠와 나는 열심히 생각한 후 이 규칙에 맞게 나무 심기를 하였다. 모두 심고 난 후 나

무와 나무 사이의 간격을 재어보니 Am였고, 전체 나무의 수를 세어보니 B그루였다.

땀도 나고 힘은 들었지만 나무를 심으면서 매우 즐겁고 유익한 하루를 보냈다.

408 2 3 173 # #= , 288 2 35 2#= 에서 408m와 288m의 최대공약수는 24m이므로 나무 사이의 간격은 24m이다. 24A` =

모퉁이를 뺀 가로에 1 16408 24' - =^ h (그루), 모퉁이를 뺀 세로에 1 11288 24' - =^ h (그루), 모퉁이에 3그루씩 있으므로

전체 나무의 수는 54 12 6616 2 11 2 3 4# # #+ + = + =^ ^h h (그루) 66B` =

따라서 A B 90+ = 이다.

90

대단원 TEST 대단원 TEST

■ Study_Flow

A

개념 학습

개념 예제

개념확인+유형연습


교과서 다지기

SECTION (차시)

스토리텔링

A

목표 점수

오답 노트

(문제풀이 동영상)

진도학습

③ 성취테스트/마무리학습

END

YES

2차 학습

개념이해 동영상

NO

진도학습

① 유형/확인학습

② 맞춤테스트

!90분( ×5분 )

!45분

± 90분

± 45분

자기주도학습

CONTENTS


Time 01 소인수분해 소수와거듭제곱 소인수분해

Time 02 최대공약수와 그 활용 최대공약수와그활용

Time 03 최소공배수와 그 활용 최소공배수와그활용

중단원 마무리대단원 TEST

1. 자연수의 성질

8 | Ⅰ. 자연수의 성질

스토리텔링

매미의 일생

여름철에 가장 자주 볼 수 있는 곤충인 매미의 일생에는 신기한 특징이 있다.

매미는 보통 나뭇가지에 알을 낳는다. 알에서 깨어난 유충은 땅속으로 내려가서

나무뿌리의 수액을 먹으며 몇 년 또는 10년 넘게 시간을 보낸 후에 여름에 나무

위로 올라와 자란벌레가 되어서 ~2 3주 동안 산다.

우리나라에서 많이 볼 수 있는 유지매미, 참매미의 수명은 7년 정도이다. 북아메

리카에서만 볼 수 있는 13년 매미, 17년 매미는 글자 그대로 그 수명이 각각 13

년, 17년이다. 그래서 주기 매미라고도 불린다. 신기한 것은 유지매미, 참매미 등의 주기 매미의 공통점은 그 수명이 7년,

13년, 17년으로 약수의 개수가 모두 2개인 수라는 것이다. 이처럼 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수라고 한다.

왜 매미는 6년이나 8년 또는 12년이나 15년이 아닌 소수 주기의 삶을 사는 것일까?

매미는 아주 오래 전에는 6년이나 8년 또는 12년이나 15년 주기의 매미가 있었는데 세월이 흐름에 따라 이런 주기를 가

진 매미들은 사라지고 오늘날 소수 주기를 가진 매미들이 살게 되었다고 한다.

그 원인에 대해서 두 가지 설명이 있는데, 하나는 소수 주기를 가진 매미들이 다른 주기를 가진 천적을 피하기가 쉽다는 것

이고 다른 하나는 같은 주기의 매미들이 자손을 낳으면 같은 주기의 매미가 태어나는데 다른 주기의 매미가 자손을 낳으

면 또 다른 주기를 가진 매미가 태어나 그 매미가 자란벌레가 될 즈음에는 주위에 동료들이 없어서 자손을 만들지 못한다

는 것이다.

다음은 여러 종류의 매미의 주기를 나타낸 것이다.

1. 위 표를 보고 매미의 종류별로 주기의 약수를 알아보자.

2. 20 이하의 자연수 중에서 소수를 찾아보자.

매미종류 늦털매미 유지매미 참매미북아메리카

13년 주기 매미

북아메리카

17년 주기 매미

주기 (년) 5 7 7 13 17

풀이 | 늦털매미 : 1 , 5 / 유지매미, 참매미 : 1 , 7 /

북아메리카 13년 주기 매미 : 1 , 13 / 북아메리카 17년 주기 매미 : 1 , 17

풀이 | 소수는 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수이므로 20 이하의 소수는 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17이다.

스토리텔링 | 9

십간 십이지

옛날 사람들은 하늘에는 10가지 기운이 있고, 땅에는 12가지 기운이 있다고 믿었다. 하늘의 기운인 십간(十干)은 사람

의 손가락 개수에서 연상된 수로 천간(天干)이라고 하며 땅의 기운인 십이지(十二支)는 달의 움직임과 계절의 변화에서

나온 수로 지지(地支)라고 하였다.

십간(十干)과 십이지(十二支)를 사용하여 예로부터 우리나라는 연도를 나타냈는데 십간과 십이지는 다음과 같다.

십간은 10년마다 십이지는 12년마다 나타나는데 십간과 십이지를 차례로 짝지어 갑자년, 을축년, 병인년, 정묘년, ... 과

같이 연도를 나타내었다.

우리나라 역사에서 임진왜란(1592 )과 임오군란(1882 ), 갑신정변(1884 )과 갑오개혁(1894 ) 등은 연도의 끝자리 수가 같

음을 알 수 있다.

십이지는 해당하는 연도의 띠를 말하는 것으로 십이지에 각각을 상징하는 동물은 쥐, 소, 호랑이, 토끼, 용, 뱀, 말, 양, 양,

원숭이, 닭, 개, 돼지이다. 그래서 12년마다 같은 띠가 된다.

즉, 2008년이 쥐띠이면 12년 후인 2020년도 쥐띠가 되고, 24년 후인 2032년도 쥐띠가 된다. 그래서 12년의 배수인

사람들을 띠동갑이라고 한다.

그렇다면 십간과 십이지가 일치하는 해는 언제일까?

이를테면, 1984년은 갑자년이었다. 다시 갑자년이 돌아오는 최초의 해는 60년 후인 2044년이 된다. 그래서 태어난 지

60년이 되는 해를 환갑 또는 회갑이라고 한다.

십간 갑(甲) 을(乙) 병(丙) 정(丁) 무(戊) 기(己) 경(庚) 신(辛) 임(壬) 계(癸)

십이지 자(子) 축(丑) 인(寅) 묘(卯) 진(辰) 사(巳) 오(午) 미(未) 신(申) 유(酉) 술(戌) 해(亥)

1984년 갑 자 1996년 병 자 2008년 무 자 2020년 경 자 2032년 임 자 2044년 갑 자 2056년 병 자

1985년 을 축 1997년 정 축 2009년 기 축 2021년 신 축 2033년 계 축 2045년 을 축 2057년 정 축

1986년 병 인 1998년 무 인 2010년 경 인 2022년 임 인 2034년 갑 인 2046년 병 인 2058년 무 인

1987년 정 묘 1999년 기 묘 2011년 신 묘 2023년 계 묘 2035년 을 묘 2047년 정 묘 2059년 기 묘

1988년 무 진 2000년 경 진 2012년 임 진 2024년 갑 진 2036년 병 진 2048년 무 진 2060년 경 진

1989년 기 사 2001년 신 사 2013년 계 사 2025년 을 사 2037년 정 사 2049년 기 사 2061년 신 사

1990년 경 오 2002년 임 오 2014년 갑 오 2026년 병 오 2038년 무 오 2050년 경 오 2062년 임 오

1991년 신 미 2003년 계 미 2015년 을 미 2027년 정 미 2039년 기 미 2051년 신 미 2063년 계 미

1992년 임 신 2004년 갑 신 2016년 병 신 2028년 무 신 2040년 경 신 2052년 임 신 2064년 갑 신

1993년 계 유 2005년 을 유 2017년 정 유 2029년 기 유 2041년 신 유 2053년 계 유 2065년 을 유

1994년 갑 술 2006년 병 술 2018년 무 술 2030년 경 술 2042년 임 술 2054년 갑 술 2066년 병 술

1995년 을 해 2007년 정 해 2019년 기 해 2031년 신 해 2043년 계 해 2055년 을 해 2067년 정 해

1 . 자신이 태어난 해를 십간 십이지로 나타내어 보고 자신의 환갑은 언제인지 알아보자.

2 . 1982년에 태어난 사람의 환갑은 언제인지 알아보고 십간 십이지로 나타내어 보자.

풀이 | 예) 2000년 경진에 태어났으므로 환갑은 60년 후인 2060년이다.

풀이 | 1982년에서 60년 후인 2042년이 환갑이고 2042년을 십간 십이지로 나타내면 임술년이다.


#01. 소인수분해 개념학습 ①

1. 거듭제곱

2. 소수

3. 합성수

⑴ 거듭제곱 : 같은 수나 같은 문자를 거듭해서 곱한 것을 간단히 나타

낸 것

예 3 3 32# = , 2 2 2 5 5 2 53 2# # # # #=

⑵ 밑 : 거듭 곱한 수나 문자

⑶ 지수 : 거듭하여 곱해진 수나 문자의 개수

예 24 에서 2는 밑, 4는 지수이다.

⑴ 소수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 그 자신만을 약수로 가지는 수

예 2, 3, 5, 7, 11, g

⑵ 소수의 성질

2는 가장 작은 소수이고, 소수 중에서 짝수는 2뿐이다.

모든 소수의 약수의 개수는 2개이다.

⑴ 합성수 : 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수

예 4, 6, 8, 9, 10, g

⑵ 합성수의 성질

1과 그 자신이 아닌 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있다.

약수의 개수는 3개 이상이다.


⑴ 2 2 2# # ⑵ 5 5 5 5# # #

⑶ 31

31

31

31

# # # ⑷ 2 2 5 5 7# # # #

A

B다음 중 합성수를 모두 찾아라.

오른쪽과 같은 거듭제

곱에서 곱하는 수 3을 거

듭제곱의 , 곱한 개수를 나타내

는 수 4를 거듭제곱의 라고

한다.


자신만을 약수를 가지는 수를

라 하고, 1과 자기 자신 이외의 수

를 약수로 가지는 수를 라

고 한다.

a a a a3# # =

3개 밑

지수

1 2 5 9 13 21

용어정리

지수(가르키다 指, 수 數)

몇 번 곱했는지 가르키는 수

소수(순수하다 素, 수 數)


자신만을 약수로 가지는 수

34

답 ⑴ 23 ⑵ 54 ⑶ 31

4 ⑷ 2 5 72 2# #

밑

지수

소수

합성수

x2 , x3 , x4 , …을 x의 거듭제곱이라하고

각각 x의 제곱, x의 세제곱, x의 네제곱,

…이라 읽는다.

보충강의 1

소(素 바탕)수 → 2, 3, 5, 7, g

소(小 작다)수 → 0.1, 0.2, 0.3, g

보충강의 2

풀이 | 9의 약수는 1, 3, 9이므로 합성수이다.


9, 21

0x ! 일 때, x x1 = 이다.

주의

소수로 착각하기 쉬운 수

① 57 3 19#= ② 91 7 13#=

③ 111 3 37#= ④ 133 7 19#=

주의

1은 소수도 합성수도 아니다.

보충강의 3

자연수 소수

합성수

1

⑴ 자연수의 성질 | 11

Tip

1

2

3

4

5

다음 중 옳지 않은 것은?

① 2 2 2 2 24# # # =

② 5 5 7 7 5 72 2# # # #=

③ 3 3 3 3 11 3 113# # # # = +

④ 7 7 3 5 5 3 5 72 2# # # # # #=

⑤ 21

21

21

21

21

21

5# # # # =

수타면은 밀가루 반죽을 손으로 직접 늘이고 치대어 뽑은 면이다. 이때 반죽을

늘여 한 번 접으면 두 가닥이 되고, 두 번 접으면 네 가닥이 된다. 또 세 번 접으

면 여덟 가닥이 된다. 가장 맛있는 자장면을 만들기 위해 일곱 번 면을 접었다고

할 때, 면은 몇 가닥이 되는지 거듭제곱을 사용하여 나타내어라.

다음 중 소수와 합성수를 각각 골라라.

거듭제곱은 같은 수나 문자를 여러 번

곱한 것을 곱하는 수와 곱한 횟수를 사용

하여 간단히 나타낸 것이다.

1-1 다음을 거듭제곱으로 나타내어라.

3-1 다음 수가 소수인지 합성수인지 말하여라.

30 이하의 자연수 중 가장 큰 소수와 가장 작은 소수의 차를 구하여라.

소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과

자기 자신만을 약수로 갖는 수이다.

11 29 51 15 91


① 소수의 약수는 항상 2개이다.

② 모든 소수는 홀수이다.

③ 가장 작은 합성수는 4이다.

④ 약수의 개수가 1개인 자연수도 있다.

⑤ 합성수는 2개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다.

1은 약수의 개수가 1개, 소수는 약수

의 개수가 2개, 합성수는 약수의 개수가

3개 이상이다.

5-1 다음 중 옳은 것은 e , 틀린 것은 #표시하여라.

⑴ 2 2 3 3 2 32 2 e# # # #= ^ h

⑵ 1은 소수가 아니다. e^ h

⑶ 5 5 5 5 5 4 ( )# # # # #=

⑷ 합성수는 약수가 2개이다. #^ h

⑴ 2 2 2# #

⑵ 3 3 5 5# # #

⑶ 2 3 3 3 7 7# # # # #

⑷ 51

51

51

51

# # #

⑸ 3 3 7 7 7

1# # # #

⑴ 9 ⑵ 15

⑶ 17 ⑷ 21

⑸ 31 ⑹ 49

V 교과서


풀이 | ③ 3 3 3 3 11 3 114# # # # #=

풀이 | 11의 약수는 1, 11이므로 소수이다.

29의 약수는 1, 29이므로 소수이다.




소수 : 11, 29

합성수 : 51, 15, 91

풀이 | 2 2 2 2 2 2 2 27# # # # # # = (가닥)

27 가닥

풀이 | ⑴ 2 2 2 23# # =

⑵ 3 3 5 5 3 52 2# # # #=

⑶ 2 3 3 3 7 7 2 3 73 2# # # # # # #=

⑷ 51

51

51

51

51

4# # # =

⑸ 3 3 7 7 7

13 7

12 3# # # # #

=

풀이 | ⑴ 합성수 ⑵ 합성수

⑶ 소수 ⑷ 합성수

⑸ 소수 ⑹ 합성수풀이 | 30 이하의 자연수 중 가장 큰 소수는 29 ,

가장 작은 소수는 2이므로 그 차는 29 2 27- =

27

풀이 | ⑶ 5 5 5 5 54# # # =

⑷ 합성수는 약수가 3개 이상이다.

풀이 | ② 2는 소수이고 짝수이다.

23=

3 52 2#=

2 3 73 2# #=

51

4=

3 71

2 3#=


개념학습 ②

어떤 자연수의 소수인 인수를 그 자

연수의 라 하고, 자연수를 소

인수들만의 곱으로 나타내는 것을 그

수를 한다고 한다.

⑴ 인수 : 자연수 , ,a b c에 대하여 a b c#= 일 때, ,b c를 a의 인

수라 한다.

예 18 3 6#= 에서 3과 6을 12의 약수 또는 인수라 한다.

⑵ 소인수 : 인수 중에서 소수인 것

예 24 2 33 #= 이므로 24의 소인수는 2, 3이다.

⑴ 소인수분해 : 자연수를 소인수들만의 곱으로 나타내는 것

예 60 2 3 52 # #=

⑵ 소인수분해하는 방법

① 나누어떨어지는 소수로 차례로 나눈다.


③ 나눈 소수들과 마지막 몫을 곱셈 기호 ×로 연결한다.

이때, 같은 소인수의 곱은 거듭제곱을 사용하여 나타낸다.

4. 인수와 소인수

5. 소인수분해

C

D

용어정리

인수(유래 因, 수 數)

유래가 되는 수

60을 소인수분해하기

[방법 1] 60 2 30 2 2 15 2 2 3 5 2 3 52# # # # # # # #= = = =

[방법 2] [방법 3]60

2 30

2 15

3 52 3 52` # #

2 3 52` # #

223

g

g

g

6030155


⑴ 32 ⑵ 48

⑶ 84 ⑷ 126

⑴ 40

⑵ 90


Tip

자연수 a를 자연수

b로 나눌 때 나머지

가 0이면 이는 b로

나누어떨어진다고

하고 이때 a를 b의

배수, b를 a의 약

수라고 한다.

풀이 | ⑴ 32 25= ⑵ 48 2 34 #=

⑶ 84 2 3 72 # #= ⑷ 126 2 3 72# #=

풀이 | ⑴ 40 2 53 #= 이므로 소인수는 2와 5이다.

⑵ 90 2 3 52# #= 이므로 소인수는 2, 3, 5이다.

18 2 32#= 에서 32 은 18의 인수이지

만 소수는 아니므로 소인수가 아니다.

18의 소인수는 2 , 3이고 이처럼 소인

수는 밑만을 말하는 것이다.

주의

수에서 인수와 약수는 같은 뜻으로

쓰인다.

주의

① 소인수분해할 때에는 작은 소수에서 큰

소수의 순으로 나누면 편리하다.

② 소인수분해한 결과는 보통 작은 소인수

부터 차례로 쓴다.

자연수를 소인수분해한 결과는 사용된 소

인수와 그 소인수의 개수가 같으므로 순

서를 생각하지 않으면 오직 한 가지로 결

정된다. 이를 소인수분해의 일의성이라고

한다.

보충강의 4

보충강의 5

소인수

소인수분해

25 2 34 #

2 3 72 # # 2 3 72# #

2, 3, 5

2, 5


6

7

8

9

10

Tip

다음 중 소인수분해가 바르게 된 것은?

① 36 2 33 2#= ② 48 2 33 3#=

③ 60 2 3 52 2# #= ④ 80 2 54 2#=

⑤ 100 2 52 2#=

① 2 ② 3 ③ 5

④ 7 ⑤ 11

120을 소인수분해하면 2 3 5a b c# # 이다. 자연수 , ,a b c에 대하여 a b c- +

의 값을 구하여라.

7-1 24를 소인수분해하면 2 3a b# 이다. 자연수 ,a b에 대하여 a b+ 의 값을 구

하여라.

8-1 54의 소인수를 모두 구하여라.

6-1 다음 d안에 알맞은 수를 써넣어라.

다음 두 자연수를 소인수분해하고, 소인수를 모두 구하여라.

다음 수 중에서 252의 소인수가 아닌 것을 모두 고르면? (정답 2개)

⑴ 108

⑵ 180

소인수분해는 자연수를 소인수들만의

곱으로 나타내는 것이다.

작은 소인수부터 차례로 나누어 구하

고, 같은 소인수의 곱은 거듭제곱을 써

서 나타낸다.

48에 가장 작은 자연수 A를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 할 때,

A의 값을 구하여라.

어떤 자연수를 소인수분해했을 때, 지

수들이 모두 짝수이면 이 수는 어떤 자연

수의 제곱이 된다.

소인수 ⇒ 인수 중에서 소수인 것

10-1 18에 가장 작은 자연수 N을 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 할

때, N의 값을 구하여라.

3618

93


풀이 | 120 2 2 2 3 5 2 3 53# # # # # #= = 이므로 3, 1, 1a b c= = =

3a b c` - + =

풀이 | ① 36 2 32 2#= ② 48 2 34 #=

③ 60 2 3 52 # #= ④ 80 2 54 #=

풀이 | 252를 소인수분해하면 252 2 3 72 2# #= 이므로 소인수는 2, 3, 7이다.

3

풀이 | 24 2 2 2 3 2 33# # # #= = 이므

로 3, 1a b= = 4a b` + =

풀이 | 54를 소인수분해하면 54 2 33#=

이므로 소인수는 2, 3이다.

4

풀이 | ⑴ 108 2 2 3 3 3 2 32 3# # # # #= = 이므로 소인수는 2와 3이다.

⑵ 180 2 2 3 3 5 2 3 52 2# # # # # #= = 이므로 소인수는 2, 3, 5이다.

2 3 , 2, 32 3#

2 3 5, 2, 3, 52 2# #

풀이 | 48 A 2 3 A4# # #= 의 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 A는 3이다.

2 3 3 2 3 2 34 4 2 22## # #= = ^ h

A 3` =

3

풀이 | 18 N 2 3 N2# # #= 의 소인수의

지수가 모두 짝수가 되도록 하는

가장 작은 자연수 N은 2이다.

2 3 2 2 3 2 32 2 22## # #= = ^ h

2N` =

2

2

2

3

2, 3


개념학습 ③


⑴ 2 32 2# ⑵ 20

⑴ 9 ⑵ 15 ⑶ 20

⑷ 48 ⑸ 56 ⑹ 64

소인수분해를 이용하여 다음 수의 약수를 모두 구하여라.

⑴ 거듭제곱꼴 N an= (a는 소수, n은 자연수)으로 소인수분해될 때

① an의 약수 : 1 , a , a2 , …, an

② an의 약수의 개수 : n 1+^ h개

예 27 33= 이므로 27의 약수는 1 , 3 , 32 , 33 이고 약수의 개수는 3 1 4+ = (개)이다.

⑵ 자연수 N 이 N a bm n#= (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연

수)으로 소인수분해될 때

① N 의 약수 : (am의 약수)# (bn의 약수)

② N 의 약수의 개수 : m n1 1#+ +^ ^h h개


E

F

어떤 수의 약수의 개수는 어떤 수를

소인수분해했을 때 각각 지수에

을 더하여 곱한다.

약수 구하는 순서

① 소인수분해하기

② 표 만들기

12의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

22 의 약수:(2 1)+ 개

× 1 2 22

1 1 1 1# = 1 2 2# = 1 2 42# =

3 3 1 3# = 3 2 6# = 3 2 122# =

31 의 약수:(1 1)+ 개

설명 12를 소인수분해하면 2 32 # 이고 이때 22 의 약수는 , , ,1 2 2 32 의 약수는 ,1 3

이므로 2 32 # 의 약수는 , ,1 2 22 과 ,1 3에서 하나씩을 택하여 두 수를 곱한 값

들과 같고 이것은 아래 표와 같다. 즉 2 32 # 의 약수는 , , , , ,1 2 3 4 6 12이다.

또 12 2 32 #= 의 약수의 개수는 2 1 1 1 6#+ + =^ ^h h (개)이다.

자연수 A가 A a b cl m n= (단, , ,a b c는

서로 다른 소수, , ,l m n은 자연수)으로

소인수분해되면 A의 약수의 개수는

l m n1 1 1# #+ + +^ ^ ^h h h개이다.

소인수분해를 이용하여 약수를 구하는 이

유는 작은 수의 약수는 초등학교때 배운

방법으로 구해도 시간이 별로 안 걸리지만

큰 수의 약수는 시간도 많이 걸리고 한 두

개를 빠뜨릴 수도 있기 때문이다.

보충강의 6

보충강의 7

풀이 | ⑴ 9 32= 이므로 약수의 개수는 2 1 3+ = (개)이다.

⑵ 5 3 51 #= 이므로 약수의 개수는 41 1 1 1#+ + =^ ^h h (개)이다.

⑶ 20 2 52 #= 이므로 약수의 개수는 62 1 1 1#+ + =^ ^h h (개)이다.

⑷ 48 2 34 #= 이므로 약수의 개수는 104 1 1 1#+ + =^ ^h h (개)이다.

⑸ 56 2 73 #= 이므로 약수의 개수는 83 1 1 1#+ + =^ ^h h (개)이다.

⑹ 64 26= 이므로 약수의 개수 6 1 7+ = (개)이다.

3개

10개

4개

8개

6개

7개

풀이 | ⑴ ⑵ 20 2 52 #=1 2 22

1 1 2 4

3 3 6 12

32 9 18 36

1 2 22

1 1 2 4

5 5 10 20

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 1, 2, 4, 5, 10, 20

1


11

12

14

13

15

Tip

196의 약수를 모두 구하여라.

다음 중 2 3 72 3 2# # 의 약수가 아닌 것은?

약수에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?

11-1 75의 약수를 모두 구하여라.

① 2 32 # ② 2 32# ③ 2 3 72 # #

④ 2 73 2# ⑤ 2 3 72 2# #

① 2 52 # 의 약수는 모두 22, 5이다.

② 98의 약수의 개수는 5개이다.

③ 4 332 # 의 약수의 개수는 6개이다.

④ 150의 약수의 개수는 12개이다.

⑤ 2 32 2# 의 약수는 모두 1, 2, 22, 3, 32, 2 32 2# 이다.

2 3 5a 2# # 의 약수의 개수가 18개일 때, 자연수 a의 값을 구하여라.

다음 중 72와 약수의 개수가 같은 것은?

① 48 ② 64 ③ 81

④ 108 ⑤ 120

a bm n# 의 약수의 개수는

m n1 1#+ +^ ^h h개이다.

a b cl m n# # 의 약수의 개수는

l m n1 1 1+ + +^ ^ ^h h h개이다.

13-1 다음 자연수의 약수의 개수를 구

하여라.

⑴ 36 ⑵ 54

14-1 2 3a2 # 의 약수의 개수가 6개일 때, 자연수 a의 값을 구하여라.


풀이 | 72 2 33 2#= 이므로 약수의 개수는 123 1 2 1#+ + =^ ^h h

① 48 2 3 104 `#= 개 ② 64 2 76 `= 개

③ 81 3 54 `= 개 ④ 108 2 3 122 3 `#= 개

⑤ 120 2 3 5 163 `# #= 개

풀이 | 2 73 2# 은 2 3 72 3 2# # 의 약수가 될 수 없다.

풀이 | ① 2 52 # 의 약수는 1, 2, 2 , 5, 2 5, 2 52 2# # 이다.

② 98 2 72#= 의 약수의 개수는 61 1 2 1#+ + =^ ^h h (개)

③ 4 33 2 3 112 4# # #= 의 약수의 개수는 204 1 1 1 1 1# #+ + + =^ ^ ^h h h (개)

⑤ 2 32 2# 의 약수는 1, 2, 3, 2 , 2 3, 3 , 2 3, 2 3 , 2 32 2 2 2 2 2# # # # 이다.

풀이 | 196 2 72 2#=

1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196`

풀이 |

1, 3, 5, 15, 25, 75`

# 1 2 22

1 1 2 4

7 7 14 28

72 49 98 196

# 1 5 52

1 1 1# 1 5# 1 52#

3 3 1# 3 5# 3 52#

풀이 | ⑴ 36 2 32 2#= , 2 1 2 1 9+ + =^ ^h h

9` 개

⑵ 54 2 33#= , 1 1 3 1 8+ + =^ ^h h

8` 개

풀이 | 2 1 1 6 1a a`+ + = =^ ^h h풀이 | 18 2a a1 2 1 1 1 `# #+ + + = =^ ^ ^h h h

2



1

2

3다음에서 밑과 지수를 각각 말하여라.

다음 수를 [ ] 안의 수의 거듭제곱으로 나타내어라.

⑴ 32 밑 : 지수 :

⑵ 53 밑 : 지수 :

⑶ 78 밑 : 지수 :

⑷ 9a 밑 : 지수 :

⑸ yb 밑 : 지수 :

⑹ 31 2

c m 밑 : 지수 :

⑴ [ ]32 2

⑵ 49 76 @

⑶ [ ]81 3

⑷ [ ]125 5

⑸ 256 26 @

⑹ [ ]10000 10

⑴ 5 5#

⑵ 2 2 3 3# # #

⑶ 7 7 7 8 8# # # #

⑷ 4 4 4# #

⑸ 3 3 3 8 8 8# # # # #

⑹ 21

21

21

21

# # #

⑺ 3 5 5 3 5 5# # # # #

⑻ 21

21

21

21

71

71

71

# # # # # #

⑼ 3 5 5 5 7 7

1# # # # #

⑽ 2 2 3 3 7 7 11 11 11

1# # # # # # # #

⑾ 한 변의 길이가 3인 정사각형의 넓이

⑿ 한 변의 길이가 7인 정육면체의 부피


⑴ 거듭제곱 : 같은 수나 같은 문자를 거듭해서 곱한 것을 간단히 나타낸 것

⑵ 밑 : 거듭제곱에서 거듭해서 곱한 수를 밑이라고 한다.

⑶ 지수 : 거듭제곱에서 같은 수를 곱한 개수 2, 3, 4, …를 지수라고 한다.

1. 거듭제곱

25

72

34

53

28

104

3 2

5 3

7 8

9 a

y b

31

2

52

2 32 2#

7 83 2#

43

3 83 3#

21 4

` j

3 52 4#

21

714 3

#` cj m

3 5 713 2# #

2 3 7 111

2 2 2 3# # #

32

73

1, 2, 4, 8

1, 5

1, 13

1, 2, 7, 14

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136

5, 15, 25, 30, 35, 40

9, 18, 27, 36

21

13, 26, 39

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39

7, 14, 21, 28, 35

○

×

○

×

소수

합성수

합성수

소수

합성수

합성수

1, 5

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 19

1, 2, 13, 26

1, 3, 37, 111


1

2

다음 수의 약수를 모두 구하여라.

40 이하의 자연수 중 다음 수의 배수를 모두 구하여라.

⑴ 8

⑵ 5

⑶ 13

⑷ 14

⑸ 30

⑹ 136

⑴ 5

⑵ 9

⑶ 21

⑷ 13

⑸ 3

⑹ 7

자연수 a를 자연수 b로 나눌 때 나머지가 0이면 a

는 b로 나누어떨어진다고 한다. 이때 a를 b의 배

수, b를 a의 약수라고 한다.

1

2

다음 수의 약수를 모두 구하고, 소수인지 합성수인지

( ) 안에 써넣어라.

소수에 대한 다음 설명 중 옳은 것은 e를, 틀린 것은 #

표를 ( ) 안에 써넣어라.

⑴ 5 ( )

약수 :

⑵ 12 ( )

약수 :

⑶ 18 ( )

약수 :

⑷ 19 ( )

약수 :

⑸ 26 ( )

약수 :

⑹ 111 ( )

약수 :

⑴ 소수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만

을 약수로 가지는 수

⑵ 합성수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신

이외의 수를 약수로 가지는 수

⑴ 소수의 약수는 1과 자기 자신뿐이다. ( )

⑵ 1은 소수이다. ( )

⑶ 소수의 약수는 2개이다. ( )

⑷ 10 이하의 소수는 3개뿐이다. ( )

2. 약수와 배수 3. 소수와 합성수

25

72

34

53

28

104

3 2

5 3

7 8

9 a

y b

31

2

52

2 32 2#

7 83 2#

43

3 83 3#

21 4

` j

3 52 4#

21

714 3

#` cj m

3 5 713 2# #

2 3 7 111

2 2 2 3# # #

32

73

1, 2, 4, 8

1, 5

1, 13

1, 2, 7, 14

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136

5, 15, 25, 30, 35, 40

9, 18, 27, 36

21

13, 26, 39

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39

7, 14, 21, 28, 35

○

×

○

×

소수

합성수

합성수

소수

합성수

합성수

1, 5

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 19

1, 2, 13, 26

1, 3, 37, 111


1 2

3

다음은 소인수분해하는 과정이다. d 안에 알맞은 수

를 써넣어라.

⑴ 36g

18g

9g

36 2` = 3#

⑵ 60 2 #=

2 2# #=

2 2 3 5# # #=

⇒ 60 = 3 5# #

⑶

48

24

12

6

48` = 4 #

⑴ 10

⑵ 25

⑶ 42

⑷ 48

⑸ 70

⑴ 60

⑵ 75

⑶ 108

⑷ 140

⑸ 243



⑴ 인수 : 자연수 a, b, c에 대하여 a b c#= 일 때, a의 약수 b, c를 a의 인수라고 한다.

⑵ 소인수 : 소수인 인수를 소인수라고 한다.

⑶ 소인수분해 : 어떤 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 그 자연수를 소인수분해한다고 한다.

⑷ 소인수분해하는 방법

① 나누어 떨어지는 소수로 나눈다.


③ 나눈 소수들과 마지막 몫을 곱셈 기호 #로 연결한다. 이때 같은 소인수의 곱은 거듭제곱을 사용하여 나타

낸다.

4. 소인수분해

2

2

2 2

3

3

30

15

22

3

32

2

2

2

2

10 2 5#=

25 52=

42 2 3 7# #=

48 2 34 #=

70 2 5 7# #=

2, 3, 5

3, 5

2, 3

2, 5, 7

3


1

2

3주어진 표를 완성하고, 이를 이용하여 주어진 수의 약수를 모두 구하여라.


⑴ 2 32 2#

⑵ 2 53 2#

⑴ 25

⑵ 3 53 2#

⑶ 2 3 52 2# #

⑷ 3 5 72 3 4# #

⑸ 135

⑹ 120

⑴ 16 ( )

⑵ 21 ( )

⑶ 26 ( )

⑷ 45 ( )

⑸ 64 ( )

⑹ 34 ( )

⑺ 2 32 # ( )

⑻ 2 33 2# ( )

⑼ 24 ( )

⑽ 80 ( )

⑾ 162 ( )

⑿ 136 ( )

다음 수의 약수를 모두 구하고, ( ) 안에 약수의 개

수를 써넣어라.

자연수 N 이 N a bm n#= (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로 소인수분해될 때

⑴ N 의 약수는 (am의 약수)와 (bn의 약수)의 곱으로 구한다.

⑵ N 의 약수의 개수 : ( ) ( )m n1 1#+ + 개

# 1 2 22

1 4

3 3

32

# 1 2 22 23

1

5 40

52 50


약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1

1

2

2

6 12

9 18 36

4 8

5 10 20

25 100 200

약수 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

6

12

18

60

8

16

5

약수 : 1, 2, 4, 8, 16

4

약수 : 1, 3, 7, 21

4

약수 : 1, 2, 13, 26

4

약수 : 1, 5, 9, 45

7

약수 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

5

약수 :1, 3, 9, 27, 81

6

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

8

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

10

약수 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

10

약수 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162

8

약수 : 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136

약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72


교과서 다지기

1

2

개념활동 소인수의 합 구하기

개념활동

쌍둥이 문제

약수의 개수 구하기

360의 약수의 개수와 2 3 5a 2# # 의 약수의 개수가 같을 때, 자연수 a의 값을

구하여라.

980을 소인수분해했을 때, 모든 소인수들의 합을 a , 396을 소인수분해했을 때

모든 소인수들의 합을 b라고 할 때, a b+ 의 값을 구하여라.

[문제 접근하기] al×bm×cn의 약수의 개수는 (l+1)(m+1)(n+1)개이다.

[문제 접근하기] 각 수의 소인수를 각각 구한다.



⑵ 360의 약수의 개수를 구하여라.

⑵ a를 구하여라.

⑶ 396을 소인수분해하여라.


⑶ a의 값을 구하여라.

1-1 735를 소인수분해했을 때, 모든 소인수들의 합을 x , 756을 소인수분해

했을 때, 모든 소인수들의 합을 y라고

할 때, x y+ 의 값을 구하여라.

2-1 540의 약수의 개수와 2 5 7n2 # #의 약수의 개수가 같을 때, 자연수 n의

값을 구하여라.

980 2 5 72 2# #=

980의 소인수는 2, 5, 7이므로 2 5 7 14a = + + =

396 2 3 112 2# #=

396의 소인수는 2, 3, 11이므로 2 3 11 16b = + + =

14 16 30a b` + = + =

360 2 3 53 2# #=

360 2 3 53 2# #= 이므로 약수의 개수는 3 1 2 1 1 1 24# #+ + + =^ ^ ^h h h (개)

2 3 5a 2# # 의 약수의 개수가 24개이므로

6 24a a1 1 1 2 1 1# # #+ + + = + =^ ^ ^ ^h h h h

3a` =

540 2 3 52 3# #= 이므로

2 1 3 1 1 1# #+ + +^ ^ ^h h h

n2 1 1 1 1# #= + + +^ ^ ^h h h

3n` =

735 3 5 72# #= 이므로 소인수는

3, 5, 7이다.

3 5 7 15x` = + + =

756 2 3 72 3# #= 이므로 소인수는

2, 3, 7이다.

2 3 7 12y` = + + =

15 12 27x y` + = + =

27

3


교과서 다지기

쌍둥이 문제

3

4

개념활동

개념활동

약수의 개수가 주어졌을 때, 가장 작은 자연수 구하기

소인수분해의 응용

x y630 2# = 을 만족하는 자연수 x , y 중에서 가장 작은 수를 각각 a , b라 할

때, a b+ 의 값을 구하여라.

자연수 A에 대하여 A 53# 의 약수의 개수는 12개이다. 이때, A의 값 중 가장

작은 수를 구하여라.

[문제 접근하기] 제곱수는 소인수분해했을 때 지수가 모두 짝수이다.

[문제 접근하기] am×bn 의 원소의 개수는 (m+1)×(n+1)임을 이용하여 A의 최솟값을 구한다.


⑴ A am= (a는 소수)일 때, m의 값을 구하여라.

⑵ a의 값을 구하여라.

⑵ A의 값 중 가장 작은 수를 구하여라.

⑶ b의 값을 구하여라.


3-1 자연수 A에 대하여 A 34# 의 약수의 개수는 20개이다. 이때, A의

값 중 가장 작은 수를 구하여라.

4-1 p q420 2# = 을 만족하는 자연수 p , q 중 가장 작은 수를 m , n이라

할 때, m n+ 의 값을 구하여라.

A am= (a는 소수)이라 하면

1 4 1 20m #+ + =^ ^h h 이므로 3m =

따라서 a의 최솟값은 2가 되고 A의 값

중 가장 작은 수는 2 83 =

8

1 3 1 12m #+ + =^ ^h h 이므로 2m =

a의 최솟값은 2이고 A의 값 중 가장 작은 수는 2 42 =

420 2 3 5 72 # # #= 이므로

420 2 3 5 7p p q2 2# # # # #= = 을 만족

하는 p의 값은 3 5 7p # # #= (제곱수)이

어야하고, 이 중 가장 작은 자연수 m은

3 5 7 105# # = 이다.

또, 420 2 3 5 7m 2 2 2 2# # # #= 이므로

2 3 5 7 210n # # #= =

105 210 315m n` + = + =

315

630 2 3 5 72# # #=

2 3 5 7 x2# # # # 가 제곱수이므로 지수가 모두 짝수이다.

따라서 x의 값 중 가장 작은 자연수는 2 5 7 70# # =

70a` =

70a = 이므로 2 3 5 7 b2 2 2 2 2# # # =

210b` =

70 210 280a b+ = + =


#02. 최대공약수와 그 활용 개념학습 ①

1. 공약수와 최대공약수

2. 최대공약수 구하기

⑴ 공약수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 인수

⑵ 최대공약수 : 공약수 중에서 가장 큰 수

⑶ 최대공약수의 성질 : 두 개 이상의 자연수의 공약수는 최대공약수

의 약수이다.

예 12와 18의 공약수인 , , ,1 2 3 6은 12와 18의 최대공약수인 6의 공약수이다.

⑷ 서로소 : 최대공약수가 1인 두 자연수

예 5와 12는 최대공약수가 1이므로 서로소이다.

⑴ 공약수로 나누기

① 1이 아닌 공약수로 각 수를 나눈다.

② 몫에 1 이외의 공약수가 없을 때까지 계속 나눈다.

③ 나누어 준 공약수를 모두 곱한다.

예 최대공약수 : 3 7 21# =

⑵ 소인수분해 이용하기

① 각 수를 소인수분해한다.

② 공통인 소인수를 모두 곱한다.

㉠ 소인수의 지수가 같으면 그대로 곱한다.

㉡ 소인수의 지수가 다르면 작은 것을 택하여 곱한다.

용어정리

최대공약수 G.C.D

(Greatest Common Divisor )

서로소

g

g

3

7

42

14

2

63

21

3

최대공약수 :

42 2 3 7# #=

63 3 72 #=

3 7 21# =

예

두 자연수가 서로소이면 두 수의 최

대공약수는 이다.

다음 수들의 최대공약수를 구하여라.

A

B1

두 수 16 , 20에 대하여 다음을 구하여라.

⑴ 8과 15 ⑵ 12와 21

⑶ 13과 39 ⑷ 20과 57

⑴ 16의 약수 ⑵ 20의 약수

⑶ 16과 20의 공약수 ⑷ 16과 20의 최대공약수

다음 두 수가 서로소인지 아닌지 말하여라.

⑴ ,28 42 ⑵ , ,60 75 150

두 자연수가 서로소이면 두 수의 공약수

는 1뿐이다.

공약수로 나누어서 최대공약수를 구할 때,

나누는 수를 반드시 소수로만 나누는 것이

아니라 공통인 인수로 나누어도 된다. 이

때 공통인 인수가 큰 수일수록 계산은 간

단해진다.

보충강의 1

보충강의 2

서로소인 두 수는 반드시 소수가 아

니어도 된다.

주의

1, 2, 4, 8, 16 1, 2, 4, 5, 10, 20

1, 2, 4 4

풀이 | ⑴ 최대공약수 : 1 ` 서로소이다. ⑵ 최대공약수 : 3 ` 서로소가 아니다.

⑶ 최대공약수 : 13 ` 서로소가 아니다. ⑷ 최대공약수 : 1 ` 서로소이다.

최대공약수 : 3 5 15# =

g

g

3

5

60

20

4

75

25

5

150

50

01최대공약수 : 2 7 14# =

g

g

2

7

28

14

2

42

21

3

1


#02. 최대공약수와 그 활용

Tip

1

2

3

4

5

세 수 , ,2 3 5 2 3 5 2 3 53 2 3 4 2 2 3# # # # # # 의 최대공약수를 구하여라.

두 수 2 3 5a2 3# # , 3 5 7b2 # # 의 최대공약수가 3 52# 일 때, a b+ 의 값을 구

하여라.

두 자연수 ,A B의 최대공약수가 72일 때, A와 B의 공약수가 아닌 것은?

다음 중 12와 서로소인 것을 모두 구하여라.

① 3 ② 8 ③ 9 ④ 12 ⑤ 26

두 자연수의 공약수는 그들의 최대공약

수의 약수이다.

공약수가 1뿐인 두 자연수를 서로소

라 한다.

세 수의 공통인 소인수를 모두 곱한다.

(단, 지수가 가장 작은 것을 선택하여 곱

한다.)

1-1 두 자연수 ,A B의 최대공약수가 12일 때, A와 B의 공약수를 구하여라.

, , , , , , , , ,2 3 4 5 6 7 8 9 10 114-1 다음 중 두 수가 서로소인 것은?

① 2, 6 ② 2, 7

③ 3, 4 ④ 5, 10

① 2 ② 22 ③ 3 ④ 32 ⑤ 5

72와 2 53 d# # 의 최대공약수가 24일 때, d 안에 들어갈 수 있는 수는? 소인수분해하여 공통인 소인수를 찾고 지수의 크기를 비교한다.


풀이 | A와 B의 공약수는 72의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72이다.

풀이 | 최대공약수가 12이므로 두 자연수

의 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다.

60

풀이 |

` 최대공약수는 2 3 5 602 # # =

2 3 5

2 3 5

2 3 5

2 3 5

3 2 3

4 2

2 3

2

# #

# #

# #

# #

풀이 | 12 2 32 #= 이므로 12의 소인수는 2, 3이다.

12와 서로소인 수는 2, 3 중 어느 수도 소인수로 갖지 않는 수이다.

따라서 12와 서로소인 수는 5, 7, 11이다.

풀이 | 1, 2a b= = 이므로 3a b+ =

5, 7, 11

풀이 | ① 2와 6의 공약수는 1, 2

② 두 소수는 서로소이다.

③ 3과 4의 공약수는 1

④ 5와 10의 공약수는 1, 5

풀이 | 72 2 33 2#= , 2 53 d# # 의 최대공약수가 24 2 33 #= 이므로

□ 안에 들어갈 수 있는 수는 3이다.

3


개념학습 ②

3. 최대공약수의 활용

⑴ 수량의 분배

예

㉠ 세 수량 , ,a b c를 가능한 한 많이 분류하는 경우

[해결] , ,a b c의 최대공약수를 구한다.

㉡ a를 나누면 x가 남고, b를 나누면 y가 남는 수 중 가장 큰 수를

구하는 경우

[해결] a x- 와 b y- 의 최대공약수를 구한다.

⑵ 큰 것에 작은 것으로 채우기

예

㉠ 직사각형을 가장 큰 정사각형으로 빈틈없이 채우는 경우

[해결] 정사각형의 한 변의 길이는 처음 직사각형의 가로와 세로의 최대공약수이다.

㉡ 직육면체를 가장 큰 정육면체로 빈틈없이 채우는 경우

[해결] 정육면체의 한 모서리의 길이는 처음 직육면체의 가로, 세로, 높이의 최대공약수이다.

⑶ 일정한 간격으로 놓기

예

㉠ 가능한 한 넓은 간격으로 놓는 경우

[해결] 각 변의 최대공약수를 구한다.

㉡ 가능한 한 적은 수량으로 일정한 간격으로 놓는 경우

[해결] 각 변의 최대공약수를 구한다.

가능한 많은 학생에게 똑같이

나누어 주기사탕 24개, 껌 36개가 있다.

사탕 24 개 껌 36 개 ? 명학생 수 : 24와 36의 공약수

가능한 많은 학생 수 : 24와 36의 최대공약수

벽에 가능한 큰 정사각형 모양

의 타일 붙이기가로의 길이가 cm60 , 세로의

길이가 cm48 인 벽이 있다.

cm60

cm48

한 변의 길이 : 60과 48의 공약수

가능한 큰 정사각형의 한 변의 길이 : 60과 48의 최대공약수

네 모퉁이에는 반드시 나무

를 심고, 가능한 적게 심기가로의 길이가 m120 , 세로의 길이가 m105 인 밭의

둘레에 일정한 간격으로 나무를 심으려고 한다.

m120

m105

간격의 길이 : 120과 105의 공약수

가능한 적게 심을 때 간격의 길이 : 120과 105의 최대공약수

똑같이 나누어 준다. ⇒ 공약수

가능한 한 많은~

될 수 있는 대로 많은~ ⇒ 최대공약수

직사각형을 정사각형으로 남는 부분이

없이 채운다. ⇒ 공약수

가능한 한 큰~ ⇒ 최대공약수

일정한 간격으로 심는다. ⇒ 공약수

가능한 한 적은~ ⇒ 최대공약수

보충강의 3

보충강의 4

보충강의 5


6

7

8

9

10

Tip

가로의 길이가 cm88 , 세로의 길이가 cm72 인 직사각

형 모양의 나무판에 정사각형 모양의 타일을 붙이려고

한다. 이때, 남는 부분이 없이 가능한 한 큰 타일을 붙

인다면, 정사각형 모양의 타일은 몇 장이 필요한지 구하여라.

어떤 수로 61을 나누면 5가 남고, 49를 나누면 1이 남는다고 한다. 이러한 수

중에서 가장 큰 수를 구하여라.

가로, 세로의 길이와 높이가 각각 cm54 , cm36 ,

cm72 인 직육면체 모양의 나무토막을 잘라서 남는 부

분이 없도록 가능한 한 큰 여러 개의 정육면체 모양

의 나무토막을 만들려고 한다. 한 모서리의 길이가 �

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CONTENTS · CONTENTS Ⅰ. 자연수의 성질 Ⅱ. 정수와 유리수 Ⅲ. 문자와 식 Time 01 소인수분해 gg 10 Time 02 최대공약수와 그 활용 gg 22 Time 03 최소공배수와