CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS DE 4º ESO · 2019-06-24 · Tema 1 – El número real – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 2 EJERCICIO 4 : Representa en la recta

PLAN DE REPASO DE SEPTIEMBRE - CEO Andrés Orozco - Curso 2018-2019Departamento Científico – Tecnológico 4º ESO – Matemáticas Académicas

CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS DE 4º ESO

NOTA: El alumno/a con la materia suspendida deberá realizar la prueba extraordinaria el día 3 deseptiembre de 2019 de 9 a 13:30 horas junto a otras materias del Ámbito Científico- Tecnológico.

Los contenidos mínimos en los que se basa la prueba de septiembre se detallan a continuación.

Criterio de evaluación 1. Resolver problemas numéricos, geométricos, funcionales y estadístico -probabilísticos de la realidad cotidiana, desarrollando procesos y utilizando leyes de razonamientomatemático; asimismo, analizar y describir de forma oral o mediante informes, el proceso seguido, losresultados, las conclusiones, etc., a través del lenguaje matemático. Además, comprobar, analizar einterpretar las soluciones obtenidas, reflexionando sobre la validez de las mismas y su aplicación endiferentes contextos, valorar críticamente las soluciones aportadas por las demás personas y losdiferentes enfoques del mismo problema, trabajar en equipo, superar bloqueos e inseguridades yreflexionar sobre las decisiones tomadas, aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.

Criterio de evaluación 3. Conocer y utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto consus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información, resolver problemasrelacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico e interpretar el significado dealgunas de sus propiedades más características: divisibilidad, paridad, infinitud, proximidad, etc.

Criterio de evaluación 4. Utilizar el lenguaje algebraico, sus operaciones y propiedades para expresare interpretar situaciones cambiantes de la realidad, y plantear inecuaciones, ecuaciones y sistemas, pararesolver problemas contextualizados, contrastando e interpretando las soluciones obtenidas, valorandootras formas de enfrentar el problema y describiendo el proceso seguido en su resolución de forma oralo escrita.

Criterio de evaluación 5. Utilizar las razones trigonométricas y las relaciones entre ellas para resolverproblemas de contexto real con la ayuda de la calculadora y de otros medios tecnológicos, si fueranecesario. Calcular magnitudes directa e indirectamente empleando los instrumentos, técnicas ofórmulas más adecuadas a partir de situaciones reales.

Criterio de evaluación 7. Identificar y determinar el tipo de función que aparece en relacionescuantitativas de situaciones reales, para obtener información sobre su comportamiento, evolución yposibles resultados finales, y estimar o calcular y describir, de forma oral o escrita, sus elementoscaracterísticos; así como aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, dedatos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión.

Criterio de evaluación 8. Analizar críticamente e interpretar la información estadística que aparece enlos medios de comunicación. Asimismo, planificar y realizar, trabajando en equipo, estudiosestadísticos relacionados con su entorno y elaborar informaciones estadísticas, utilizando unvocabulario adecuado, para describir un conjunto de datos mediante tablas y gráficas, calcular einterpretar los parámetros de posición y de dispersión de una variable estadística discreta o continua endistribuciones unidimensionales y bidimensionales, mediante el uso de la calculadora o de una hoja decálculo; así como justificar si las conclusiones obtenidas son representativas para la población enfunción de la muestra elegida. Además construir e interpretar diagramas de dispersión en variablesbidimensionales estudiando la correlación existente.

PLAN DE REPASO PARA SEPTIEMBRE.

Hacer en folios aparte. Entregar el día del examen: 3/09/2019

Tema 1: 1,3, del 7 al 35, del 42 al 46, del 49 al 60

Tema 2: 1, 2a, 3a, 4b, 5b, del 6 al 12, 13b, del 14 al 19

Tema 3: 1,2,3,4,10, 16 abcde

Tema 7: Del 1 al 8, del 13 al 52

Tema 8: 1,del 3 al 29

Tema 4: 2 abd, del 3 al 8

Tema 5: Del 1 al 22, 32, 33,39, 40, 41,42,43

Tema 9: Del 1 al 14

NOTA: Se recuerda que la realización de este plan de repaso no supone que se apruebe la materia, sino que se tendrá en cuenta a la hora de evaluar al alumno/a. Por tanto, es importante su realización.

Tema 1 – El número real – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 1

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO 1 : Clasifica los siguientes números como

4 10; ; 2,333...; 7; 36; ; 5; 7,45 5 2

Solución:

54 = 0,8 Decimal exacto, Fraccionario, Racional, Real

510 = 2 Natural, Entero, Racional, Real

-2,3333…= 3,2 Decimal periódico puro, Fraccionario, Racional, Real

7 Decimal no periódico, Irracional, Real

36 = 6 Natural, Entero, Racional, Real

2 Decimal no periódico, Irracional, Real

-5 Entero negativo, Entero, Racional, Real

7,45 Decimal periódico mixto, Fraccionario, Racional, Real

EJERCICIO 2 : Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

5 33,42; ; ; 81; 5; 1; ; 1,4555...6 4 4

Solución:

EJERCICIO 3 : Representa sobre la recta los siguientes números: 72,3; ; 34

Solución:


EJERCICIO 4 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:

a) 50 b) 82 Solución:

22 1750)a La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 7 y 1 es la longitud pedida. Con el compás podemos trasladar esta medida a donde deseemos.

22 1982)b

EJERCICIO 5 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras: a) 18 b) 46 Solución:

EJERCICIO 6 : Representa en la recta real: a) 3,47 b) 3,4777777…. Solución: a) b)


INTERVALOS Y SEMIRECTAS EJERCICIO 7 : Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas: a x / 2 x 3 b , 2 c Números mayores que -1 d Solución: a 2, 3 Intervalo semiabierto Números comprendidos entre -2 y 3, incluido -2

b x / x 2 Semirrecta Números menores o iguales que -2

c 1, Semirrecta x / x 1

d [5, 7] Intervalo cerrado x / 5 x 7 Números comprendidos entre 5 y 7, ambos incluidos

FRACCIONES, POTENCIAS Y DECIMALES EJERCICIO 8

a Opera y simplifica el resultado: 1 21 3 3 1 31,16

2 4 5 2 4

b Simplifica: 5 2

12 4

2

Solución: a Expresamos 1,16 en forma de fracción:N

100 116,666...10 11,666...

105 790 10590 6

NN

N N

Operamos y simplificamos:

1 21 3 3 7 1 3 1 3 5 7 1 3 1 5 7 12 4 5 6 2 4 2 4 3 6 4 4 2 4 6

6 15 14 12 1112 12 12 12 12

5 2 5 4 1

1 1 1

2 4 2 2 2b 12 2 2

EJERCICIO 9

a Calcula y simplifica el resultado:

12 1 3 2 1 10,833 2 2 3 2 3

b Simplifica, usando las propiedades de las potencias:

46 -5 13 3

3


100 83,333...10 8,333...

75 590 7590 6

NN

N N



12 1 3 5 2 1 1 2 1 2 5 2 1 2 2 5 2 13 2 2 6 3 2 3 3 2 3 6 3 6 3 6 6 3 6

4 2 5 4 1 06 6 6 6 6

46 5 6 5 4 51b 3 3 3 3 3 3 243

3

EJERCICIO 10

a) Efectúa y simplifica:

11 3 2 1 1 21,164 2 3 2 3 5

b) Reduce a una sola potencia: 5 4

6 03 93 3

Solución: a) Expresamos 1,16 en forma de fracción:N

100 116,666...10 11,666...

105 790 10590 6

NN

N N


11 3 2 7 1 1 2 1 3 3 7 1 5 1 9 7 1 5:4 2 3 6 2 3 5 4 2 2 6 2 6 4 4 6 2 6

3 27 14 6 10 6 112 12 12 12 12 12 2

b)

5 4 5 89

6 0 6

3 9 3 3 33 3 3 1

EJERCICIO 11

a Opera y simplifica: 21 3 1 32,16

4 2 2 8

b Reduce a una sola potencia y calcula: 13 25 3:

3 5


100 216,666...10 21,666...

195 1390 19590 6

NN

N N


213 1 3 1 3 13 3 1 3 13 3 1 36 4 2 2 8 6 8 4 8 6 8 4 8

52 9 6 9 28 724 24 24 24 24 6

1 1 13 2 3 2 1 15 3 5 5 5 5 3b : :3 5 3 3 3 3 5

RAÍCES EJERCICIO 12 : Averigua el valor de k en cada caso:

4

5

a) 7b) 125 5c) 32

k

k

k

Solución:


44

55

a) 7 7 2401

b) 125 5 5 125 3

c) 32 32 2

kk

k k k

k

k k k

EJERCICIO 13 : Expresa como potencia de x y simplifica. Da el resultado final en forma de raíz:

3 2

23

324

a) x

1b)

c)

x x

xx

x

Solución:

2 13 2 32 1 1 6 67 6 7 6 63 2

1 2a) x x x x x x x x x x xxx

3 2 1 22 23

1b) x x x x xx

3 4 6 4 3 22 6 34c) x x x x x x x

EJERCICIO 14 : Extrae del radical todos los factores que sea posible:

5 4

4 5

3

3 4 6 7

a) 864

b)

c)

a b

x yz

a b c

Solución:

5 4 5 3 5 4 2 2 2 2 2a) 864 2 3 2 3 2 3 12 6a b a b a b a a b a

4 5 2 2

3b) x y x y yz zz

3 4 6 7 2 2 3c) a b c ab c ac

EJERCICIO 15 : Simplifica y extrae los factores que puedas fuera del radical:

7 10

26 4

103

a)

b)

c)

a

a

a

Solución:

7 710 3a) a a a 2

8 6 4 36 6 34 8 4 3b) a a a a a a a 10

10 6 5 36 3 310 5 23c) a a a a a a a

EJERCICIO 16 : Expresa como potencia de exponente fraccionario y simplifica. Da el resultado final en forma de raíz:

4 10

3

6615

3

a)

1b)

1c) 927

aa

aa

Solución:


10 4 5 24 10

3 2 3 23a) a a a a

a aa

5 2 1 26 15 / 6 6 / 2 3615

1b) a a a a a a aa

3 2 2 3 5 63 23 63 5

1 1 1c) 9 3 3 3 327 3 3

EJERCICIO 17

1 1a) Opera y simplifica: 300 12 35 2

3 2b) Racionaliza y simplifica: 3 2

Solución:

2 2 21 1 1 1 1 1a) 300 12 3 2 3 5 2 3 3 2 5 3 2 3 35 2 5 2 5 2

2 3 3 3 2 3

3 2 3 23 2 9 2 6 2 11 6 2b)

9 2 73 2 3 2 3 2

EJERCICIO 18

1a) Calcula y simplifica: 28 63 2 73


Solución:

2 21 1 1a) 28 63 2 7 2 7 3 7 2 7 2 7 3 7 2 73 3 3

2 7 7 2 7 3 7

1 3 1 31 3 1 3 2 3 4 2 3b) 2 3

1 3 21 3 1 3 1 3

EJERCICIO 19 a) Efectúa y simplifica: 405 45 8 5


Solución: 4 2a) 405 45 8 5 3 5 3 5 8 5 9 5 3 5 8 5 14 5

26 2 6 26 2 6 2 2 12 8 2 12 8 2 2 3b) 6 2 4 46 2 6 2 6 2

8 4 3 2 34

EJERCICIO 20 a) Opera y simplifica: 2 48 300 5 3



Solución: 4 2 2a) 2 48 300 5 3 2 2 3 2 3 5 5 3 8 3 10 3 5 3 3 3

3 2 3 2 2 3 6 6 3 6 2 6 5 6b) 2 3 6 6 62 3 2 2 3 3

EJERCICIO 21

3a) Efectúa y simplifica: 2 32 5 2 8b) Racionaliza y simplifica:

7 3

Solución:

3 4a) 2 32 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 4 2 5 2 3 2

8 7 3 8 7 3 8 7 38b) 2 7 3 2 7 2 3

7 3 47 3 7 3 7 3

EJERCICIO 22

2 1a Calcula y simplifica : 80 180 53 4

1 2b Racionaliza y simplifica :5 3

Solución:

4 2 22 1 2 1 8 6a 80 180 5 2 5 2 3 5 5 5 5 53 4 3 4 3 4

8 6 131 5 53 4 6

1 2 5 31 2 5 3 10 6 5 3 10 6b5 3 25 3 5 3 5 3

EJERCICIO 23

1 1a Opera y simplifica : 75 3 2435 2

5 3b Racionaliza y simplifica :5 3

Solución:

2 51 1 1 1 9 5a 75 3 243 3 5 3 3 3 3 3 35 2 5 2 2 2

5 3 5 35 3 5 2 15 3 8 2 15b 4 155 3 25 3 5 3 5 3

EJERCICIO 24 1a Opera y simplifica: 24 54 6002

3b Racionaliza y simplifica:2 3 2


Solución:

3 3 3 21 1 3 13a 24 54 600 2 3 2 3 2 3 5 2 6 6 10 6 62 2 2 6

3 2 3 23 6 6 6 6b12 2 102 3 2 2 3 2 2 3 2

EJERCICIO 25 : Calcula y simplifica:

3 4 3

6

1a) 2 8 18 323

b)

x xx

Solución:

3 2 51 1a) 2 8 18 32 2 2 2 3 2 4 2 2 4 2 7 23 3

3 4 3 8 96 3 316 8 2 26

6b) x x x x x x x x

xx

EJERCICIO 26 : Opera y simplifica:

4 3

3 2

1a) 27 12 2 752

b)

a aa

Solución:

3 2 21 1a) 27 12 2 75 3 2 3 2 3 5 3 3 3 10 3 6 32 2

4 3 9 612 712

83 2b) a a a a a

aa

EJERCICIO 27 : Calcula y simplifica el resultado:

3

a) 27 3 192 2 129 3b)

27

Solución:

3 6 2a) 27 3 192 2 12 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 8 3 4 3 6 3

3 2 4 33

6 369 23

9 3 3 3 3 3 1 1b)33 327 3


3

a) 48 3 75 81 10875 25b)

15

Solución:

4 2 4 2 3a) 48 3 75 81 108 2 3 3 3 5 3 2 3 4 3 15 3 9 6 3 25 3 9


32 2 3 6 436 7 66

3 3

75 25 3 5 5 3 5 5b) 5 5 53 515 3 5

EJERCICIO 29 : Calcula y simplifica:

3

6

1a) 3 32 72 1283

9 27b)3

Solución:

5 3 2 71 1a) 3 32 72 128 3 2 2 3 2 12 2 2 2 8 2 18 23 3

3 2 3 4 936 12 26

6 6

9 27 3 3 3 3b) 3 3 933 3

EJERCICIO 30

a Simplifica y extrae los factores que puedas fuera del radical:

31I 279

104II a 5 6III 162a b

3b Racionaliza y simplifica :5 2

Solución:

3 32

1 1a) I 3 3 133

10 410 8 5 58 4II a a a a a a 4 5 6 2 3III 2 3 9 2a b a b a

3 5 2 3 5 2 3 5 23b 5 25 2 35 2 5 2 5 2

EJERCICIO 31 : Expresa como un solo radical: 3a) 2 5

4 23b) 2 2 3 5c) 7 7

Solución:

3 3 6a) 2 5 10 10 64 12 122 4 6 10 53b) 2 2 2 2 2 2

30 305 6 113 5 6 5c) 7 7 7 7 7 7 7 EJERCICIO 32 : Racionaliza y simplifica:

4

2a)31b)

3 5c)5 3

a

Solución:

2 2 3 2 3a)33 3 3

4 43 3

4 4 34

1b) a aaa a a


3 5 5 33 5 3 5 2 15 8 2 15c) 4 155 3 25 3 5 3 5 3

EJERCICIO 33 : Racionaliza y simplifica:

3

3a)2

2b)

2c)5 2

a

Solución:

3 3 2 3 2a)22 2 2

3 32 2

3 3 23

2 2 2b) a aaa a a

2 5 22 5 2 2 2 5 2c)25 2 235 2 5 2 5 2


5

1a)53b)

3 2c)3 2

2a

Solución:

1 1 5 5a)55 5 5

5 53 3

5 5 52 2 3

3 3 3b) a aaa a a

3 2 3 23 2 3 2 2 6 5 2 6c) 5 2 63 2 13 2 3 2 3 2


7 4

2a)3 2

1b)

5c)2 2 5

a

Solución:

2 2 2 2 2 2a)3 2 33 5 3 2 2

7 73 3

7 7 74 4 3

1 1b) a aaa a a

5 2 2 55 2 10 5 2 10 5c)8 5 32 2 5 2 2 5 2 2 5


APROXIMACIONES Y ERRORES EJERCICIO 36 : Halla con ayuda de la calculadora, aproximando, cuando sea necesario, hasta las

centésimas: a) 347 5b) 7776 4 3c) 7

125d)3

Solución:

5

a) 347 18,63

b) 7776 6

4 3c) 7 4,30

125d) 3,733

EJERCICIO 37 : a Aproxima cada una de las siguientes cantidades, dando dos cifras significativas:

I Hay 1 527 estudiantes en un instituto. II Victoria pesa 58,23 kg.

b Halla el error absoluto y el error relativo cometidos al hacer las aproximaciones. Solución: I 1 527 estudiantes 1 5 cientos de estudiantes

Error absoluto Valor real – Valor aproximado = 1 527 – 1 500 27 estudiantes 210.77,1...01768,0

152727relativo_Error

II 58,23 kg 58 kg Error absoluto 58,23 – 58 0,23 kg

33 10.95,310...9498,323,5823,0relativo_Error

EJERCICIO 38 a Aproxima hasta las décimas cada uno de los siguientes números:

A 1,84 B 39,174 b Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al tomar esas aproximaciones. Solución: A 1,84 1,8

Error absoluto Valor real – Valor aproximado = 1,84 1,8 0,04 210.18,2...021739,0

84,104,0relativo_Error

B 39,174 39,2 Error absoluto 39,174 39,2 0,026

410.64,6...0006637,0174,39026,0relativo_Error

EJERCICIO 39 : Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones: a La altura de un edificio es de 35 metros. b En una biblioteca hay 56 miles de libros. Solución: El error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra significativa:Error absoluto

Una cota para el error relativo es:

Error relativoValor aproximado


Por tanto:

a) Error absoluto 0,5 metros 210.43,1...01428,035

5,0relativo_Error

b) Error absoluto 500 libros 33 10.93,810...9285,856000

500relativo_Error

EJERCICIO 40 a Expresa con un número razonable de cifras significativas cada una de las siguientes cantidades:

I 3 842 ejemplares vendidos de un libro. II Hemos gastado 1 212,82 € en nuestras vacaciones. b ¿Qué error absoluto estamos cometiendo al considerar 29 miles de habitantes como aproximación de

29 238? ¿Y error relativo? Solución: a I 3 842 ejemplares 3 8 cientos de ejemplares

II 1 212,82 € 1 2 cientos de € b Error absoluto Valor real Valor aproximado 29 238 29 000 238 habitantes

33 10.15,810...14009,8238.29

238relativo_Error

EJERCICIO 41 : En una librería se han vendido 5 271 ejemplares de un determinado libro, a 32,45 € cada uno. a) ¿Cuánto dinero se ha recaudado en la venta? Aproxima la cantidad obtenida dando dos cifras

significativas. b) Di cuál es el error absoluto y cuál el error relativo cometidos al hacer la aproximación. Solución: a) 5 271 32,45 171 043,95 € 17 decenas de miles de € b) Error absoluto Valor real Valor aproximado 171 043,95 170 000 1 043,95 €

33 10.11,610...1034,695,171043

95,1043relativo_Error

NOTACIÓN CIENTÍFICA EJERCICIO 42 a Escribe en forma decimal estos números: A 3,42 · 1012 B 1,43 · 108

b Expresa en notación científica las siguientes cantidades: C 3 410 000 000 000 D 0,00000002 E 82 300 · 1018

Solución: a A 3 420 000 000 000 B 0,0000000143 b C 3,41 · 1012 D 2 · 108 E 8,23 · 1022

EJERCICIO 43 a Al realizar con la calculadora la operación 330 hemos obtenido en la pantalla lo siguiente:

.2.05891132114. Expresa en notación científica el número anterior. ¿De cuántas cifras es dicho número?

b Aproxima el resultado anterior dando tres cifras significativas. Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer la aproximación. Solución:

a 2,058911321 · 1014 Tiene 15 cifras


b Aproximación 2,06 · 1014

Error absoluto 5 · 1011

11

14

5 10| Error relativo | 0,002Valor aproximado 2,06 10

427…10-3 < 2,43.10-3

EJERCICIO 44

a Si calculamos 220 con la calculadora, obtenemos en pantalla: .9.53674316407.

Expresa el número anterior en notación científica y en forma decimal.

b Aproxima el resultado anterior dando dos cifras significativas. Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer la aproximación. Solución:

a 9,536743164 · 107 Notación científica

0,0000009536743164 Notación decimal

b Aproximación 9,5 · 107

Error absoluto 5 · 109

9

7

5 10| Error relativo | 0,005Valor aproximado 9,5 10

2631…. < 5,27.10-3

EJERCICIO 45 : Calcula, expresando el resultado en notación científica con tres cifras significativas:

a) 8 9

3

4,58 10 3,21 10I)

2 10

7 5 8II) 4,53 10 5,84 10 3,4 10

b) 5 6

4

3,42 10 2,81 10I)

2 10

II) 3,45 · 109 4,3 · 108 3,25 · 1010

c) 10 2

4

2,53 10 3,41 10I)

2 10

II) 5,23 · 108 3,03 · 109 2,51 · 107

Solución:

8 9 17 1720 20

3 3 3

4,58 10 3,21 10 4,58 3,21 10 14,7018 10a) I) 7,3509 10 7,35 102 10 2 10 2 10

II) 4,53 · 107 5,84 105 3,4 108 453 105 5,84 105 3 400 105

453 5,84 3. 400 105 2 941,16 105 2,94116 108 2,94 108

5 6 11 117 7

4 4 4

3,42 10 2,81 10 3,42 2,81 10 9,6102 10a) I) 4,8051 10 4,8 102 10 2 10 2 10

II) 3,45 109 4,3 108 3,25 1010 34,5 108 4,3 108 325 108

34,5 4,3 325 108 286,2 108 2,862 1010 2,9 1010

10 2 8 84 4

4 4 4

2,53 10 3,41 10 2,53 3,41 10 8,6273 10a) I) 4,31365 10 4,31 102 10 2 10 2 10

II) 5,23 · 108 3,03 · 109 2,51 · 107 52,3 · 107 303 · 107 2,51 · 107 52,3 303 2,51 107 352,79 · 107 3,5279 · 109 3,53 · 109

EJERCICIO 46 : Dados los números: A 5,23 · 108 B 3,02 · 107 C 2 109


Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado en notación científica con dos cifras significativas: A BI)

C II) A B C

Solución:

8 7 15 156 6

9 9 9

5,23 10 3,02 10 5,23 3,02 10 15,7946 10a) I) 7,8973 10 7,9 10

2 10 2 10 2 10

II) 5,23 · 108 3,02 · 107 2 109 52,3 · 107 3,02 · 107 200 · 107

52,3 3,02 200 · 10 7 144,68 · 107 1,4468 · 10 9 1,4 · 10 9

EJERCICIO 47 a) Halla, con ayuda de la calculadora, el resultado de estas operaciones en notación científica con tres

cifras significativas: 8 5

4 3

5,47 10 3,42 103,5 10 2,53 10

b) Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al dar el resultado aproximado. Solución: a) ( 5.47 EXP 8 3.42 EXP 5 ) ( 3.5 EXP 4 2.53 EXP 3 ) .

.16856.85248. Por tanto:

8 54

4 3

5,47 10 3,42 10 1,69 103,5 10 2,53 10

b) Error absoluto 5 · 101

Error relativoValor real Valor aproximado

Error relativo 0,003

EJERCICIO 48 a) Halla, con ayuda de la calculadora, dando el resultado en notación científica con tres cifras

significativas: 9 8

2 3

2,428 10 3,54 104,25 10 3,4 10

b) Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al dar el resultado aproximado. Solución: a) ( 2.428 EXP 9 3.54 EXP 8 ) ( 4.25 EXP 2 / 3.4 EXP 3 / ).

4.518518519 10. Por tanto:

9 810

3

2,428 10 3,54 10 4,52 104,25 10 3,4 10

b) Error absoluto 5 · 107

Error relativoValor real Valor aproximado

Error relativo 0,0011061…. < 1,11 10-3

EJERCICIO 49 : La velocidad de la luz, en el vacío, es 300.000 km/s. ¿Cuántos metros recorre la luz en un día?. Expresa el resultado en notación científica. Solución:

8 4 131 día =24 60 60=86.400 s e 3 10 8,64 10 =2,592 10 m.


EJERCICIO 50 :Una determinada bacteria mide 2.10-6 m. ¿Cuántas bacterias colocadas en línea recta serían necesarias para cubrir 1 metro de longitud? Solución:

16 6x 2 10 =0,5 10 500.000 bacterias.

EJERCICIO 51 : El diámetro de la luna es de 3500 Km., aproximadamente, ¿cuánto tiempo tardaría en dar una vuelta completa un satélite cuya órbita se encuentra a 200 Km. de la superficie lunar, si su velocidad media es de 800.000 m./h? Solución: LLUNA= r··2 = 1950··2 = 1,2252 · 104 Km = 1,2252 · 107 m.

t = horas10·15315,010·8

10·2252,1ve 2

5

7

= 15 horas , 18 minutos y 3 segundos aproximadamente.

EJERCICIO 52 : Un virus se duplica cada 2 minutos. ¿Podrías decir cuántos virus habrá al cabo de una hora?, ¿y de un día? Solución: Inicio: 1 virus A los 2 min. : 21 = 2 virus A los 4 min.: 22 = 4 virus ................. A los 60 min. 230 = 1,074· 109 virus

EJERCICIO 53 : Sabemos que un año luz equivale a 9,4.1012 Km. Si la distancia de la Tierra a Andrómeda son 2,11.106 años luz. ¿Cuántos kilómetros son la distancia que nos separa de Andrómeda? Solución:

.Km10·98,110·11,2·10·4,9 19612 CALCULADORA EJERCICIO 54 : Halla, con ayuda de la calculadora:

8 7

2

3,5 10 2,34 10a4,5 10

4 3b 7

Solución:

a ( 3,5 EXP 8 2,34 EXP 7 ) 4,5 EXP 2 / . 7257777778.

Por tanto:

8 79

2

3,5 10 2,34 10 7,26 104,5 10

b 7 .xy ( 3 4 ) 4.303517071. Por tanto: 4 37 4,30

EJERCICIO 55 : Utiliza la calculadora para hallar el resultado de estas operaciones:

a 2,54 · 103 3,45 · 104 · 3,5 · 1020 3 2b3


Solución:

a ( 2,54 EXP 3 / 3,45 EXP 4 / ) x 3,5 EXP .

20 1.0097518. Por tanto: 2,54 · 103 3,45 · 104 · 3,5 1020 1,01 · 1018

b ( 3 2 ) 3 2.548547389. Por tanto: 3 2 2,553

EJERCICIO 56 : Halla, con ayuda de la calculadora: 9 10

5

2,96 10 3,5 10a2,3 10

5b 425

Solución:

a ( 2,96 EXP 9 3,5 EXP 10 ) 2,3 EXP 5 / . 1.65043478315

Por tanto:

9 1015

5

2,96 10 3,5 10 1,65 102,3 10

b 425 .x1/y 5 3.354886144.. Por tanto: 5 425 3,35

EJERCICIO 57 : Utiliza la calculadora para obtener el resultado de estas operaciones: 5 7

84,06 10 3,2 10a

2 10

2 3 1b)

5

Solución:

a ( 4,06 EXP 5 / 3,2 EXP 7 / ) 2 EXP 8 2.014-13 .

Por tanto:

5 713

8

4,06 10 3,2 10 2,014 102 10

b ( 2 X 3 1 ) 5 1.996406934.

Por tanto:

2 3 1 1,9965

EJERCICIO 58 : Halla con ayuda de la calculadora: 14 16

5

5,8 10 3,5 10a2,5 10

5 2b 3

Solución:

a ( 5,8 EXP 14 3,5 EXP 16 ) 2,5 EXP 5 / . 1.423221.

Por tanto:

14 1621

5

5,8 10 3,5 10 1,4232 102,5 10

b 3 xy .( 2 5 . 1.551845574. Por tanto: 5 23 1,55


CUESTIONES EJERCICIO 59 : Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

2 3 5a)a a a 3 3b)a a 1

2 2 2c)a a 2a 2 2d)a : a 0

Solución:

2 3a) Falso, la expresión a a no puede ser reducida a un único sumando. 3 3 0b) Verdadero, a a =a =1.

c) Verdadero. 2 2 2-(-2) 4d) Falso, a : a =a =a .

EJERCICIO 60 : Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

a b a ba)2 2 2 b) a b a b 22 2c)a b a b a b 2a bd) 4 2 2

Solución:

a b a+ba) Falso, 2 2 =2 . b) Falso. c) Verdadero.

aa b 2 b 2a bd) Verdadero, 4 2 = 2 2 2 .

Tema 2 – Polinomios y fracciones algebraicas 1

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: a) 22 5 4 3 21 5 x x x x x x x b) 2 22 3 2 4 1 2 x x x x

c) 22 2 3 2 1 4 1 x x x x d)

22 1 3 6 1 1 23

x x x x x

Solución: a)

22 5 4 3 2 4 3 2 5 4 3 21 5 1 2 5x x x x x x x x x x x x x x x 5 4 3 4 3 2 5 4 3 2 4 32 2 5 6 2x x x x x x x x x x x x b)

2 2 2 3 2 22 3 2 4 1 2 4 12 9 2 4 4 8 2x x x x x x x x x x x

2 3 2 3 3 24 12 9 2 7 2 4 12 9 2 7 2 2 4 5 11x x x x x x x x x x x

c) 22 3 2 2 22 3 2 1 4 1 2 4 2 6 3 16 8 1x x x x x x x x x x x

3 2 2 3 22 3 4 3 16 8 1 2 19 12 2x x x x x x x x d)

2 2 2 22 1 3 6 1 1 2 2 4 3 6 1 4 43

x x x x x x x x x x x

2 2 2 22 6 1 4 4 2 3 11x x x x x x x EJERCICIO 2 a Opera y simplifica: 2 22 3 2 4x x x b Halla el cociente y el resto de esta división: 5 3 24 2 3 1 2x x x x Solución:

2 2 2 2 2a 2 3 2 4 4 4 3 6 12 2 10 8x x x x x x x x x

b 4x5 2x3 3x 1 x2 2

4x5 8x3 4x3 10x 10x3 3x 1 10x3 20x

17x 1

Cociente 4x3 10x Resto 17x 1

EJERCICIO 3 a Opera y simplifica: 21 1 2 2 1

2x x x

b Halla el cociente y el resto de esta división: 5 3 27 2 3 2 2x x x x Solución:

2 2 21a 1 2 2 1 2 2 2 12

x x x x x x x x 2 23 2 2 1 1x x x x x

b 7x5 2x3 3x 2 x2 2

7x5 14x3 7x3 16x

16x3 3x 2

16x3 32x

35x 2

Cociente 7x3 16x Resto 35x 2


EJERCICIO 4 : Calcula el cociente y el resto de cada división: 5 4 2 3a) 2 3 2 1 : 2 1 x x x x x x 5 3b) 2 3 2 1 : 2x x x x

Solución: a) 2x5 3x 4 2x 2 x 1 x 2 2 1

2x5 4x3 2x2 2x 2 3x 4 3x4 4x3 x 1 3x4 6x 2 3x

4x 3 6x 2 2x 1 4x 3 8x 4

6x 2 10x 3

Cociente 2x2 3x 4 Resto 6x2 10x 3 b) Aplicamos la regla de Ruffini:

2 0 3 0 2 1

2 4 8 10 20 44 2 4 5 10 22 45

Cociente 2x4 4x3 5x2 10x 22 Resto 45

EJERCICIO 5 : Halla el cociente y el resto de cada división:

4 3 2 2a) 2 7 3 1 : 2x x x x 4 2b) 3 6 2 : 1x x x x Solución: a) 2x4 7x3 3x2 1 x 2 2

2x4 4x2 2x 2 7x 1 7x3 x2 1

7x3 14x x2 14x 1

x2 2 14x 1

Cociente 2x 2 7x 1 Resto 14x 1

b) Aplicamos la regla de Ruffini:

3 0 6 1 2 1 3 3 3 4

3 3 3 4 2

Cociente 3x3 3x2 3x 4 Resto 2

EJERCICIO 6 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta: 23 2 2x kx x Solución: Llamamos P(x) 3x 2 + kx 2.


Para que la división sea exacta, ha de ser P(2) 0; es decir: P(2) 12 2k 2 10 2k 0 k 5 EJERCICIO 7 a) Halla el valor numérico de P(x) 2x3 x2 3x 6 para x 1 b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x 1? Solución: a) P(1) 2 1 3 6 0 b) Sí. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x 1) coincide con P(1). En este

caso P(1) 0; por tanto, P(x) es divisible entre x 1. EJERCICIO 8 : Dado el polinomio P(x) 4x 3 8 x 2 3x 1: a) Halla el cociente y el resto de la división: : 2P x x b) ¿Cuánto vale P(2)? Solución: a) Aplicamos la regla de Ruffini:

4 8 3 1

2 8 0 6 4 0 3 5

Cociente 4x 2 3 Resto 5

b) Por el teorema del resto, sabemos que P(2) 5. EJERCICIO 9 a) Halla el valor numérico de P(x) 3x 4 2x 3 2x 3 para x 1. b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x 1? Solución: a) P(1) 3 2 2 3 0 b) Si. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) (x 1) coincide con P(1). En este

caso P(1) 0, por tanto, P(x) es divisible entre x 1. EJERCICIO 10 : Opera y simplifica cada una de estas expresiones: a 2x2x 1 2x 32 4b

2x

x x

c x 3x 3 x3x 7 23

5 5b :3

x xx x

Solución: a 2x2x 1 2x 32 4x2 2x 4x2 12x 9 4x2 2x 4x2 12x 9 10x 9

2 2 2

2

4 24 4 8 4 8b2 2 2 2 2

xx x x x x xx x x x x x x x x x

c x 3x 3 x3x 7 x2 9 3x2 7x 2x2 7x 9

2 232 3 2

3

5 3 55b : 3 5 3 1553

x x xx x x x xx x xx



a 3x 22 x2x 9 3 5b2 2

xx x

c 2x 12 x1 2x

4 2

25 10b :

6 6x x

x x

Solución: a 3x 22 x2x 9 9x2 12x 4 x3 9x2 x3 12x 4

2 2

2

3 2 5 23 5 3 6 5 10 3 11 10b2 2 2 2 2 2 2 2 4

x x xx x x x x xx x x x x x x x x

c 2x 12 x1 2x 2x2 2x 1 x 2x2 2x2 4x 2 x 2x2 5x 2

24 24 2 3 2

2 2

5 6 65 10 6b :6 2 210 66

x x x xx x x xx x xx

EJERCICIO 12 : Factoriza los siguientes polinomios: a) x5 5x4 x3 5x2 b) x5 x4 4x3 4x2 c) x4 2x3 9x2 18x d) x4 6x3 x2 6x e) x4 6x3 x2 6x f) x4 6x3 8x2 6x 9 Solución: a) x5 5x4 x3 5x2 Sacamos x2 factor común: x2 x3 5x2 x 5 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 5x2 x 5:

1 5 1 5 1 1 6 5

1 6 5 0

1 1 5

1 5 0

Por tanto: x5 5x4 x3 5x2 x2 x 1 x 1 x 5

b) x5 x4 4x3 4x2 Sacamos x2 factor común: x2 x3 x2 4x 4 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 x2 4x 4:

1 1 4 4

1 1 0 4 1 0 4 0

2 2 4

1 2 0

Por tanto: x5 x4 4x3 4x2 x2 x 1 x 2 x 2

c) x4 2x3 9x2 18x Sacamos x factor común: x x3 2x2 9x 18 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 2x2 9x 18:

1 2 9 18

3 3 15 18

1 5 6 0

3 3 6

1 2 0


Por tanto: x4 2x3 9x2 18x x x 3 x 3 x 2

d) x4 6x3 x2 6x Sacamos x factor común: x x3 6x2 x 6 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 6x2 x 6:

1 6 1 6

1 1 7 6

1 7 6 0

1 1 6

1 6 0

Por tanto: x4 6x3 x2 6x x x 1 x 1 x 6 e) x4 6x3 x2 6x Sacamos x factor común: x x3 6x2 x 6 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 6x2 x 6:

1 6 1 6

1 1 7 6

1 7 6 0

1 1 6

1 6 0

Por tanto: x4 6x3 x2 6x x x 1 x 1 x 6 f Usamos la regla de Ruffini:

1 6 8 6 9 1 1 5 3 9

1 5 3 9 0

1 1 6 9

1 6 9 0

3 3 9

1 3 0

Luego: x4 6x3 8x2 6x 9 x 1 x 1 x 32

EJERCICIO 13 a Halla el cociente y el resto de la siguiente división: 3x5 16x3 6x 2 7x 2 : 3x 2 1 b Factoriza este polinomio: 2x4 4x 2 Solución: a) 3x5 16x3 6x2 7x 2 3x2 1 3x5 x 3 x3 5x 2

15x3 6x2 7x 15x3 5x

6x2 2x 2 6x2 2

2x Cociente x3 5x 2 Resto 2x


b 2x4 4x2 2x2x2 2 El polinomio x2 2 no tiene raíces reales. EJERCICIO 14 a Calcula y simplifica: x 3 x 3 2xx 2 5x b Descompón en factores este polinomio: 3x3 16x 2 23x 6 Solución: a x 3 x 3 2xx2 5x x2 9 2x3 10x2 2x3 11x2 9 b Utilizamos la regla de Ruffini:

3 16 23 6 2 6 20 6

3 10 3 0 3 9 3

3 1 0

Luego: 3x3 16x2 23x 6 x 2 x 3 3x 1

EJERCICIO 15 : Factoriza los siguientes polinomios: a) 2x4 18x 2 b) x 4 x 3 x 2 x 2 c) x 3 13x 2 36x d) 2x 3 9x 2 8x 15 e) x 5 x 4 2x 3 e) x 3 3x 2 Solución: a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a2 b2 (a b) (a b): 2x4 18x2 2x2 x 2 9 2x 2 (x 3) (x 3) b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 1 1 1 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 0

2 2 0 2

1 0 1 0

x 4 x 3 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 1 El polinomio x 2 1 no tiene raíces reales).

c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado: x x x x x x

xx x x

x

3 2 2

2

13 36 13 36

913 169 144 13 25 13 513 36 0

2 2 24

Por tanto: x 3 13x 2 36 x x x 9 x 4 d) Utilizamos la regla de Ruffini:

2 9 8 15 1 2 7 15

2 7 15 0 5 10 15

2 3 0

2x 3 9x 2 8x 15 x 1 x 5 2x 3

e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación: x 5 x4 2x3 x 3 x 2 x 2


2

11 1 8 1 9 1 32 0

2 2 22

xx x x

x

Por tanto: x 5 x4 2x3 x 3 x 1 x 2 f) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 3 2 1 1 1 2

1 1 2 0 1 1 2

1 2 0

x 3 3x 2 x 12 x 2


22 2a

11x

xx

2

22 1 1b

3 9x x x

x x

2

21 2a1

x xx x x

22

2

21b2 2 1

xxx x x

2

21 1a2 4

x xx x

2 2 1b

2 4 2x x x

x x

22 1 3a

39x

xx

2 2

3 22b

4x x x

x x

2

23 1 2a

1x x

xx x

1 1b 1 11

xx x x

Solución:

2 2

2 12 2 2 2 2 2 2a1 1 1 1 1 1 11 1

xx x x xx x x x x x xx x

2 22

2

1 1 1 3 32 1 1b3 3 3 3 3 19

x x x x xx x xx x x x x xx

21 3 4 3x x x x

2 2 2 2

2 2

11 2 2 2 2a1 1 1 1

x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x

2 22 2

2 2

2 1 1 2 1 21 2b2 2 1 12 1 1

x x x x x xx x xx x x xx x x

2 2 2 2 2

2 2

1 21 1 1 2 1 2 1a2 2 2 2 2 2 24 4

x xx x x x x x x xx x x x x x xx x

2 2 1 1 1 1 21b2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2

x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x

2 2

3 32 1 3 2 1 2 1 3 9 5 8a3 3 3 3 3 3 39 9

xx x x x xx x x x x x xx x

2 2 2

3 2 3

22 1b2 2 24

x xx x x xx x xx x x

2 2 2 2 2 2

2 2

3 1 2 3 1 2 3 1 2 1a1 1 1 1

x x x x x x xx x x x x x xx x x x

2

2 2 2

1 11 1 1 1b 1 1 11 1 1 1

x xx x x x xx x x x x xx x x

1 11xx x


EJERCICIO 17 : Calcula y simplifica si es posible:

a) 2

2 31 2 2 1

x xx x x

b) :x x x

x x x x

2 2

2 29 6 9

2 4 4 1

c) 2

2 31 1 2 6

2x x

x x x

d) :

42

2 3

2 4 85

x xxx x x

e)

22 5 5 6 55 5 3 15

x x xx x x

f)

3 2

22 5 3

2 6x x x

x x

g) 3 2

3 27 12

3 16 48x x x

x x x

h)

3

53 3x x

x x

i) 3 2

3 22 10 16 84 8 4 8x x xx x x

j) 3

4 3497

x xx x

Solución: a) Observa que 2x 2 2x 1, por tanto: m.c.m. x 1, 2x 2, x 12 2x 12

Así:

2 2 2 2

4 1 3 12 3 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1

x x xx x xx x x x x x

2 2

2 2 2 2

4 4 4 3 2 4 4 4 3 22 1 2 1 2 1 2 1

x x x x x x x xx x x x

b)

2 22 2

2 2 2 2

9 4 4 19 6 9:2 4 4 1 2 6 9

x x xx x xx x x x x x x x

Factorizamos para simplificar:

2

22

22

9 3 3

4 4 1 2 1 Productos notables

6 9 3

x x x

x x x

x x x

2x2 x x2x 1

Así:

22 2 2

2 22 2

9 4 4 1 3 3 2 1 3 2 1 2 7 33 32 6 9 2 1 3

x x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x

c) m.c.m. x, x2, 2x3 2x3 2 2 2

2 3 3 3 3

2 11 1 2 6 2 2 62 2 2 2

x xx x x xx x x x x x

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2 2 2 2 6 2 2 6 32 2 2 2

x x x x x x x xx x x x x

d)

3 2 34 3 42

2 3 2 3 4

2 52 4 8 2 4 8: :5 5 4 8

x x xx x x x xxx xx x x x x x x

Factorizamos para simplificar: x 2 5x3 2x 1 5x 4x4 8x 4xx3 2

Luego:

3 2 3 3 2

4 3

2 5 2 1 5 1 544 8 4 2

x x x x x x xx x x x x x

e) Como 3x 15 3x 5, se tiene que: m.c.m. x 5, x 5, 3x 5 3x 5 x 5

Así:

22 3 2 5 5 15 5 6 5 52 5 5 6 55 5 3 15 3 5 5 3 5 5 3 5 5

x x x x x xx x xx x x x x x x x x

2 3 2 23 2 5 25 15 75 6 25 253 5 5 3 5 5 3 5 5

x x x x x xx x x x x x

2 3 2 2 3 26 15 75 15 75 6 25 25 15 75 40 50

3 5 5 3 5 5x x x x x x x x x

x x x x

3 2

2

15 75 40 503 25

x x xx

f) Factorizamos ambos polinomios: 2x 3 5x 2 3x x · 2x 2 5x 3


6 34 25 25 24 5 1

4 44 14

x

Luego:

3 2 32 5 3 12

x x x x x x

2 32 6 2 ya que:2

x x x x

6 34 21 1 48 1 49 1 7

4 4 48 2

4

x

Por tanto:

3 2

2

31 12 5 3 23 22 6 22

x x x x xx x xxx x x x

g) Numerador Sacamos factor común y descomponemos en factores el polinomio de grado 2 que nos queda:

x3 7x2 12x xx2 7x 12

8 427 49 48 7 1

2 26 32

x

Así: x 3 7x 2 12x xx 4 x 3 Denominador Descomponemos aplicando Ruffini:

1 3 16 48 4 4 28 48

1 7 12 0

x 2 7x 12 es una expresión de 2º grado cuyas raíces se calculan resolviendo la ecuación: x 2 7x 12 0, que coincide con la del numerador. Así, finalmente, el denominador descompuesto en factores será: x3 3 x2 16x 48 x 4 x 4 x 3

Simplificación de la fracción algebraica:

3 2

3 2

4 37 124 4 3 43 16 48

x x xx x x xx x x xx x x

h)

2 23

5 24 2 2

3 1 3 13 3 311 1 1

x x x xx xx x xx x x x x

En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable a2 b2 a b a b a la expresión x4 1. i) Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador: Numerador Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º

grado: 2x3 10x2 16x 8 2x 3 5x 2 8x 4

1 5 8 4

2 2 6 4 1 3 2 0


2

4 223 9 8 3 13 2 0

2 22 1

2

x x x

Así: 2x3 10x2 16x 8 2 x 2 2 x 1 Denominador Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º

grado: 4x3 8x2 4x 8 4x3 2x 2 x 2

1 2 1 2

2 2 0 2 1 0 1 0

x 2 1 0 x 2 1 x 1 Así: 4x3 8x2 4x 8 4 x 2 x 1 x 1

Simplificación:

23 2

3 2

2 2 1 22 10 16 8 24 2 1 1 2 1 2 24 8 4 8

x x xx x x xx x x x xx x x

Se obtiene dividiendo numerador y denominador entre el M.C.D. del ambos, que es 2x 2 x 1.

j)

23

4 3 3 3 2

49 7 749 77 7 7

x x x x xx x xx x x x x x x

En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable a2 b2 a b a b a la expresión x2 49, y finalmente dividimos numerador y denominador entre el M.C.D. de ambos, que es x (x 7).

EJERCICIO 18 : Opera y simplifica: 2 21 1a) x x

x x

21 2b)2 4

x xx x x x

Solución: a) Observamos que tenemos el producto notable a b · a b a2 b2.

Así:

62

2 2 4 4

1 1 1 1xx x xx x x x

x x x x 22b) Calculamos el m.c.m. 2 , 4 4 que es 2 .

x 2 4x 4 x 22

Luego:

2 2

2 2 2 2 2

1 21 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

x xx x x x x x x xx x x x x x

EJERCICIO 19 : Calcula y simplifica: 2

1 2 1 3 1a)1

x xx xx x

2

2 26 9 2 10b) :2 15 25

x x xx x x

Solución:

2a) m.c.m. , 1 , 1x x x x x x

2

2 1 3 1 11 2 1 3 1 11 1 1 1

x x x xx xx x x x x x x xx x

2 2 2 21 2 3 3 1 1 2 3 3 11 1 1 1

x x x x x x x x x xx x x x x x x x

2 33 31 1 1

x xx x xx x x x x

b) Efectuamos el cociente:

2 22

2 2 2

6 9 256 9 2 102 15 25 2 15 2 10

x x xx x xx x x x x x

Factorizamos para simplificar:


x 2 25 x 5 x 5 Producto notable

2x 10 2(x 5)

x2 6x 9 (x 3)2, ya que las raíces de x2 6x 9 0 son:

6 36 36 6 3 Raíz doble2 2

x

x2 2x 15 x 5 x 3, ya que las raíces de x2 2x 15 0 son:

10 522 4 60 2 64 2 8

2 2 26 32

x

Así:

22 2

2

6 9 25 3 5 5 35 3 2 5 22 15 2 10

x x x x x x xx x xx x x

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 1

TEMA 3 – ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 6

x13

1x2

1x2 2

b) x4 – 26x2 + 25 = 0 c) 4.(5x + 1)2 – 9 = 0 d) 2x4 + 9x2 – 68 = 0

e x4 4x2 3 0 f) 25

x2

2x

g) 4x2x3 h)65

x1

1xx2

i) x4 – 9x2 = 0 j) x51x k) 3xx3

x1

l) 3x4 – 10x2 – 8 = 0

m) 16

5x72

5x3

)1x3)(5x2( 2

n) 22xx ñ) 47

x2x

2x1

o) 5x2

8x p) 31x6x2 q) 4

151x

x21x

x

r) 21

x

813

s) 31x4x t) x(4x + 1)(2x – 7)(x2 - 4) = 0 u) x(9x2 – 1)(2x + 3 ) = 0 v) 5x1x

w) 22 1 5 6 0x x x x x) 72x1x5

x1

y) x4 3x 2 4 0 z) x531x5

1) 33x2

x43x2

5

Solución:

a) Multiplicamos los dos miembros por 6: 2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1x x x x x x

2

8 212 31 1 48 1 76 2 0

12 126 1

12 2

x x x 1 2

2 1Las soluciones son y .3 2

x x

b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2 z:

2

2 1226 676 100 26 576 26 2426 25 0

2 2 250 252

z z z

2

2

Si 1 1 1 Si 25 25 5

z x xz x x

Las soluciones de esta ecuación son x 1 1, x 2 1, x 3 5 y x 4 5.

c) Sabemos que si a2 b2, entonces, o bien a b o bien a b.

En este caso:

22 2 29 34 5 1 9 0 5 1 5 1

4 2x x x

Así:

3 15 1 10 2 3 10 12 10

3 5 15 1 10 2 3 10 52 10 2

x x x x

x x x x

1 2

1 1Las soluciones son y .10 2

x x

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 2 d) 2x4 + 9x2 – 68 = 0 equivale a 2z2 + z – 68 = 0, siendo z = x2.

34 174 29 81 544 9 625 9 25

4 4 416 44

z

2

2

17 17Si no hay solución real.2 2

Si 4 4 2

z x

z x x

Las soluciones pedidas son x1 2 y x 2 2.

e Hacemos el cambio: x2 z x4 z2

Así obtenemos:

2

6 324 16 12 4 4 4 24 3 0

2 2 22 12

z z z

2

2

Si 3 3 3

Si 1 1 1

z x x

z x x 1 2 3 4Por tanto, hay cuatro soluciones: 3, 3, 1, 1x x x x

f) x54xx4x5

x24

x2x

25

x2

2x 2

2

2

45 25 16 5 9 5 35 4 0

2 2 21

xx x x

x

g) x42x34x2x3 . Elevamos al cuadrado y operamos:

2 2 2 23 2 4 9 2 16 8 9 18 16 8x x x x x x x x

2

21 1 8 1 9 1 30 2

2 2 21

xx x x

x

)1x(x6)1x(x5

)1x(x6)1x(6

)1x(x6x12

65

x1

1xx2)h

2

2 2 212 6 6 5 5 7 11 6 0x x x x x x

211 121 168 11 289 11 17

14 14 146 3

14 7

xx

x

i) x4 - 9x2 = 0 x2(x2 – 9) = 0

39x09x

0x0x2

2 Hay tres soluciones: x1 0, x2 3, x3 3

j) 5x1xx51x

Elevamos al cuadrado y operamos: 2 2 2 21 5 1 10 25 0 11 24x x x x x x x

811 121 96 11 25 11 5

2 2 23 no válida

xx

x

k) xx3

xx

x3

x13x

x3

x1 2

2 21 3 3 0 3 2x x x x

23 9 8 3 1 3 1

2 2 21

xx

x


l) Haciendo x2 z, se obtiene: 3z2 10z 8 0

24 46

10 100 96 10 146 6

4 26 3

z

2

2

Si 4 4 22 2Si no hay solución real.

3 3

z x x

z x

Las soluciones son x1 2 y x2 2.

m) Multiplicamos ambos miembros por 6: 22 2 5 3 1 3 5 7 5 6x x x x

2 212 4 30 10 3 15 7 5 6 0x x x x x 215 19 4 0x x

30 130

19 361 240 19 121 19 1130 30 30

8 430 15

x

1 2

4Las soluciones son 1 y .15

x x

n) 2x2x Elevamos al cuadrado ambos miembros:

2 4 4 4 6 2 3x x x x x

Volvemos a elevar al cuadrado: 94 9 es la posible solución.4

x x

Lo comprobamos: 9 9 3 1 42 24 4 2 2 2 9Luego es la solución buscada.

4x

ñ) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x 2): 2 2 24 4 2 7 2 4 4 4 4 7 14x x x x x x x x x

2 2 24 4 16 16 7 14 3 2 16 0x x x x x x x

22 4 192 2 196 2 14

6 6 616 86 3

x

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación:

1 4 1 8 7 2 es solución.4 2 4 4

8 221 1 3 2 14 7 83 3 es solución.8 8 2 8 2 8 8 4 32

3 3 3 3

1 28Las soluciones son 2 y .

3x x

o) Multiplicamos ambos miembros por 2x:

2 2 22 8 10 2 10 8 0 5 4 0x x x x x x

5 25 16 5 9 5 3

2 2 2x

4

1

Comprobación de las posibles soluciones: 84 4 1 5 4 es solución8

; 81 1 4 5 1 es solución2

Las soluciones son x1 4 y x2 1.

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 4 p) x231x6 Elevamos ambos miembros al cuadrado:

2 2 26 1 9 12 4 4 18 8 0 2 9 4 0x x x x x x x

9 81 32 9 49 9 74 4 4

x

2 14 2

16 44

Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación: 1 6 12 1 1 4 1 2 3 es solución2 2 2

x

8 24 1 8 25 8 5 13 4 no es soluciónx 1La única solución es .2

x

q) Hacemos común denominador:

2 2 2

2 2 2

4 1 8 1 15 1 1

4 4 8 8 15 1512 4 15 15 3 4 15 0

x x x x x x

x x x x xx x x x x

18 36

4 16 180 4 196 4 146 6 6

10 56 3

x

Comprobamos las soluciones:

3 6 3 6 3 12 15 3 es solución.

3 1 3 1 4 2 4 4

5 10 5 105 10 20 10 30 15 53 3 3 3 es solución.

5 5 2 8 2 8 8 8 4 31 13 3 3 3

1 25Las soluciones son 3 y .

3x x

r) Multiplicamos ambos miembros por x3: 3 33

81 3 81 3x 27 3x xx

Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial: 81 1 3 1 2 3 es solución27

x

s) 1x34x Elevamos ambos miembros al cuadrado:

4 9 1 6 1 6 1 4 3 1 2x x x x x

Volvemos a elevar al cuadrado: 139 1 4 9 9 4 9 139

x x x x

Comprobamos si es, o no, solución: 13 49 749 9 3

; 13 4 2 73 1 3 39 9 3 3

13Ambos miembros coinciden, luego es la solución buscada.9

x

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 5 t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así:

2

2

014 1 0

44 1 2 7 4 072 7 02

4 0 2

x

x xx x x x

x x

x x

1 7Las soluciones son 0, , , 2 y 2. 4 2

x x x x x

u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que: x 0

2 2 1 19 1 09 332 3 0

2

x x x

x x

1 2 3 41 1 3Las soluciones son 0, , y .3 3 2

x x x x

v) 5x1x5x1x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

x 1 x 52 x 1 x2 10x 25 x2 11x 24 0

11 121 96 11 25 11 52 2 2

x

8

3

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 8 1 8 9 8 3 8 5 8 es solución.x

3 1 3 4 3 2 3 1 3 no es solución.x

w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir: x 0

1 0 1 1x x x

2 5 25 24 5 15 6 02 2

x x x

3

2 Las soluciones son 0, 1, 2 y 3. x x x x

x) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por xx 2:

1 5 1 7 2 5 1 7 22

x x x x x xx x

x 2 5x2 x 7x2 14x 12x2 14x 2 0 6x2 7x 1 0

7 49 24 7 25 7 512 12 12

x

1

2 112 6

Comprobamos si son o no solución, sustituyendo en la ecuación inicial: 1 5 1 1 6 7 1 es solución.1 1 2

x

1 5 1 11 11 11 2 6 : 6 1 7 es solución.1 6 6 6 6 66

x

y) Haciendo x2 z, obtenemos z2 3z 4 0 3 9 16 3 25 3 52 2 2

z

4

1

Así: z 4 x2 4 x 2

z 1 x2 1 no hay solución. Las soluciones son: x1 2, x2 2

z) x531x5x531x5 Elevamos al cuadrado ambos miembros:

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 6 5x 1 3 5x2 5x 1 9 30x 25x2 25x2 35x 10 0 5x2 7x 2 0

7 49 40 7 310 10

x

1

4 210 5

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 5 1 1 3 4 3 2 3 1 5 1 no es solución.x

2 2 25 1 3 1 3 2 5 es solución.5 5 5

x

1) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 2x 3 2x 3:

5 4 3 5 2 3 4 2 3 3 2 3 2 32 3 2 3

x x x x x xx x

10x 15 8x2 12x 34x2 9 8x2 22x 15 12x2 27

4x2 22x 12 0 2x2 11x 6 0 11 121 48 11 169 11 134 4 4

x

2 14 2

6

Comprobamos estas soluciones en la ecuación: 5 2 5 1 13 es solución.

1 3 4 2 2 2x

5 24 5 24 1 8 9 3 6 es solución.12 3 12 3 15 9 3 3 3

x

1 21Las soluciones son: , 62

x x

EJERCICIO 2 : , .1 1 3Escribe una ecuación cuyas soluciones sean y2 2 2

Solución:

1 1 3La ecuación 0 tiene como soluciones las pedidas.2 2 2

x x x

Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuación buscada:

2 3 2 3 21 3 3 1 30 0 8 12 2 3 0 es la solución.4 2 2 4 8

x x x x x x x x

SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO 3 : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

y3

1x2

55y2

21x

6 1 3 1

b) 76 3

x y

y x

c)

4y4x2x1y2 d)

1x33

1y

23y

23x

e)

5yxy53xy3

f)

2 123 5 42

x y

x y

g)

2 85

1 1 22 4

x y

y x

h)

55 2x2

54 23

y

x y

i)

1 4 83 2

2 5 5 36 2

x y

y x

j)

2 210 3 5y 1

5

y xx

k)

2 2 510 8 102

3 3

y xx y

l)

2 2

2 2

3 5 26 5

x yx y

m) 2 2 13

6x yxy

n)

2 35 2x y

x x y

ñ)

2 41

xy xy x

o)

136

6

x yy xxy

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 7 Solución: a Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema:

1 2 5 5 4 555 1 4 502 5

2 1 2 3 12 1 33

x yx yx y

x x yx yy

Despejamos y de la 1ª ecuación y de la 2ª, e igualamos:

5 55

5 55 2 14 3 5 55 4 2 12 1 4 3

3

xy x x x xxy

161 2 7 1 1515 165 8 4 161 23 7 523 3 3

x x x x y La solución es: x 7, y 5

b) 6 1 3 1 6 1 21 21 6 21 207

6 3 6 36 3

x y x y x yx y x y

y x

Aplicamos el método de reducción en x multiplicando la segunda ecuación por 6:

6 21 206 36 18

38 257 3857 3

x yx y

y y y

2Luego: 3 6y 3 6 3 4 13

x 2La solución es: 1,3

x y

c Despejamos x de la 2ª ecuación y sustituimos en la primera: 2 1 2 2 1 2 2 1 4 4 2 2 1 2 4

4 4 4 4y x y x y y y yx y x y

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 2y 1 2 4y2 2y 1 4 16y 16y2 16y2 14y 3 0

14 196 192 14 4 14 232 32 32

y

16 132 2

12 332 8

Así:

1 14 4 2 4 22 23 3 3 54 4 48 8 2 2

y x

y x

Comprobamos si ambas soluciones son válidas sustituyendo en la 1ª ecuación: 1 12 1 2 0 2 2 2, es solución del sistema.2 2

x y

3 5 3 5 1 5 1 52 1 1 3 28 2 4 2 4 2 2 2

5 3, no es solución del sistema.2 8

x y

d) Simplificamos cada una de las ecuaciones del sistema:

3 2 3 3 2 12 3 2 32 31 3 3 11 9 23 1

3

x yx y x y

y xy x yx

Aplicamos el método de reducción en y, multiplicando por 2 la 2ª ecuación:

3 2 318 2 4

7 1 121 7 9 2 3 2 121 3 3

x yx yx x x y

1La solución del sistema es: , 13

x y

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 8 e Despejamos x de la 2ª ecuación y sustituimos en la primera:

23 3 53 5 3 5 3 15 3 5

5xy y

y y y y y yx y

23 10 3 0y y

10 100 36 10 64 10 86 6 6

y

2 16 3

18 36

Así: 1 1 1453 3 33 3 5 2

y x

y x

Las soluciones del sistema son: 1 1

2 2

14 1; 3 3

2; 3

x y

x y

f) Método de sustitución Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

2 123 10 60 43 25 2 12 4

2

y xx x

x x

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 2: 1283 20 120 8 23 12823

x x x x

Se calcula el valor de y : 128 256 276 202 1223 23 23

y y y

Comprobamos con la calculadora: 2 128 ab/c 23 20 ab/c 3 / 12

3 ab/c 2 128 ab/c 23 5 20 ab/c 23 / 4

g) Comenzamos por simplificar el sistema:

2 2 5 40 5 4285

1 1 2 2 72 1 1 82 4

x x y x yy

y xy xy x

Utilizaremos el método de reducción en x, multiplicando la primera ecuación por 1:5 422 77 49 7

x yx y

y y

Calculamos el valor de x: x 7 2y x 7 2 · 7 x 7 14 x 7 La solución que cumple el sistema es: x 7, y 7

Comprobamos dicha solución:

7 2 7 1 7 85

7 1 7 1 4 2 22 4

h) Utilizaremos el método de reducción en y; para ello multiplicamos la 2ª ecuación por 3:

52 52

12 5 65 7 114 6 142 2 4

x y

x y

x x x

Calculamos y sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación: 1 5 1 5 35 2 5 5 34 2 2 2 5

y y y y

1 3La solución buscada es: ,4 5

x y

Comprobamos la solución:

3 1 1 55 2 35 4 2 21 5 34 1 1 24 3 5

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 9 i) Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema:

1 4 8 2 12 462 1 12 483 22 5 5 15 2 232 5 15 183

6 2

x yx yx y

y x x yy x6 23

15 2 23x yx y

Despejamos x de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: x 23 6y

15 23 6 2 23 345 90 2 23y y y y

322 792 32292 2

y y y

Calculamos el valor de x: 723 6 23 21 22

x x x

Comprobamos con la calculadora: 2 2 12 x 7 ab/c 2 / 46

15 2 2 x 7 ab/c 2 / 23 j) Comenzamos por simplificar la segunda ecuación transformándola en otra equivalente:

10 3 5 5 1 10 3 25 5 10 25 8x y x y x y

El sistema es: 2 2

Resolvemos por el método de sustitución: 2 210 25 8y x

y xx y

42 710 25 2 2 8 10 50 50 8 60 4260 10

x x x x x x x

Luego: 7 7 32 2 210 5 5

y y y 7 3La solución al sistema es: ,10 5

x y

Comprobamos la solución: 3 7 3 14 202 25 10 5 10 10

710 3 3 10 510 5 3 15 5 5 5

k) Transformamos la segunda ecuación en una equivalente sin denominadores: 10 8 6 10 10 6 2 5 3 1x y x y x y

El sistema a resolver es: 2 2 5

5 3 1y x

x y

Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: 1 35

yx

22 2 2 2 21 3

5 25 1 6 9 125 25 1 6 9 125 025

yy y y y y y y

2 216 6 126 0 8 3 63 0y y y y

33 9 2016 3 2025 3 45

16 16 16218

y

1 9Si 3 25

y x

63 55121 118 8Si 8 5 5 8

y x

Las soluciones al sistema son: 1 1

2 2

2 311 218 8

x y

x y

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 10 l) Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para aplicar el método de reducción:

2 2

2 2

2 2

3 5 23 18 15

13 13 1 1

x yx y

y y y

2 2Como 6 5x y

2

2

si 1 6 5 1 1

si 1 6 5 1 1

y x x

y x x

Las soluciones son:

1 1

2 2

3 3

4 4

1 11 1

1 11 1

x yx yx yx y

m) Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

22 2 4 2

2

6

6 3613 13 36 13

yx

x x x xx x

2 4 2Hacemos el cambio: x z x z

Así obtenemos:

2

913 169 144 13 25 13 513 36 0

2 2 24

zz z z

z

2

2

Si 3 2Si 9 9 9 3

Si 3 2

Si 2 3Si 4 4 4 2

Si 2 3

x yz x x

x y

x yz x x

x y

n)

2 3El sistema inicial es equivalente a 5

x yx y

Aplicamos el método de igualación: 3 2 3 2 5 2 25

y x x x x xy x

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la última igualdad: 2 22 2 2 2 0x x x x

2 0 2

2 2 1 0 2 3 03 0 3

x xx x x x

x x

Si 2 3Si 1 2

x yx y

Comprobamos las soluciones sobre el sistema: 2 3 2 2 3 3 3 2 2 1 2 35 2 3 5 2 3 5

x yx y

1 1

2 2

Luego ambas soluciones son válidas: 2 33 2

x yx y

ñ) Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

2 2

11 2 4 2 4 0 3 2 0

y xx x x x x x x x

2 33 9 8 3 1

2 21 2

yx

y

Las soluciones son: 1 1

2 2

2 31 2

x yx y


o) Empezamos simplificando la primera ecuación multiplicándola por xy:: 2 26 6 13x y xy

Como xy 6: 2 2 2 26 6 13 6 13x y x y Por tanto, el sistema a resolver es: 2 2 13

6

x yxy

Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera: 6yx

; 2 4 22

36x 13 13 36 0x xx

Ecuación bicuadrada: 2

9 313 169 144 13 5

2 24 2

xx

x

Si 3 2Si 2 3

x yx y

2Si 3Si 2 3

yxx y

Comprobemos si las dos primeras soluciones son, o no, válidas: 3 2 132 3 63 2 6

2 3 4 9 133 2 6 63 2 6

Análogamente se cumpliría para las otras dos. Luego, las soluciones son:

1 1

2 2

3 3

4 4

3 22 3

3 22 3

x yx yx yx y

PROBLEMAS

EJERCICIO 4 : Un grupo de amigos alquilan un piso por 600 € al mes para vivir en él. Con el fin de ahorrar en los gastos del piso, deciden que dos personas más compartan con ellos el piso; de esta manera pagarían 80 € menos. Calcula cuántas personas van a vivir inicialmente en el piso y la cantidad que pagaría cada una por el alquiler. Solución: x nº de personas que alquilan el piso y precio que paga cada una por el alquiler

El sistema a resolver será:

600 Aplicamos el método de sustitción:600 600 600 600 80600 8080 2 22

yx

xy x x x xx

600x 600x 2 80x x 2 600x 600x 1200 80x2 160x

80x2 160x 1 200 0 x2 2x 15 0 2 4 60 2 82 2

x

NO SIRVE

5

3

Luego el número de personas que alquilan el piso es 5, y cada una paga mensualmente 600 120 €.5

EJERCICIO 5 : Hace cinco años, la edad de un padre era seis veces superior a la del hijo; sin embargo, en la actualidad solo es 5 años más que el triple de la edad del hijo. Calcula las edades actuales de ambos. Solución:

EDAD DEL HACE 5 AÑOS HOY

PADRE 6x 6 x 5

HIJO x x 5

En la actualidad: edad del padre 3 · edad hijo 5 6x 5 3x 5 5 6x 5 3x 15 5 3x 15 x 5 La edad actual del padre es de 35 años, y la del hijo, 10 años.

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 12 EJERCICIO 6 : Halla dos números que sumen 14 y tales que la diferencia de sus cuadrados sea 28. Solución: Llamamos x e y a los dos números buscados y planteamos un sistema:

2 2 2 22 2 2 2

14 1414 28 196 28 28

28 28x y x y

y y y y yx y x y

168196 28 28 168 28 6 14 6 828

y y y x Los números buscados son 8 y 6.

EJERCICIO 7 : 3Antonio gastó la tercera parte del dinero de una herencia en un televisor nuevo, del 5

resto en reformar la casa, el 10 de la cantidad inicial en ropa y el resto, 260 €, los ahorró. ¿Cuánto dinero heredó?

Solución: x “dinero heredado”

00

2Televisor le quedan por gastar3 3

3 2 6 2Casa de 5 3 15 5

Ropa 10 de 10

Ahorro 260 €

x x

x x x

xx

La ecuación que resuelve el problema será: 2 2603 5 10x xx x

Multiplicamos ambos miembros por 30: 10 12 3 7800 30 7800 5x x x x x

7800 1560 € es la cantidad heredada.

5x x

EJERCICIO 8 : El área de un rombo es de 240 cm2. Calcula la longitud de las diagonales sabiendo que suman 46 cm. Solución: Llamamos x y 46 x a las longitudes de ambas diagonales.

Diagonal mayor Diagonal menor2ROMBOA

Así: 2 246

240 480 46 46 480 02

x xx x x x

3046 2116 1920 46 196 46 14

2 2 216

x

Si 30 46 30 16Si 16 46 16 30

xx

Luego, la longitud de las diagonales es de 16 cm y 30 cm.

EJERCICIO 9 : La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 14 cm. Solución:


2 2 2

2 2 14 7

2

x y x y

x x y

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 7y x

2 22 2 2 22 7 4 4 49 14x x x x x x x x

2 214 4 49 4 0 18 45 0x x x x x 18 324 180 18 122 2

x

3

15

Calculamos el valor de y: Si 3 7 3 4Si 15 7 15 8 no sirve una longitud no puede ser negativa

x yx y

Luego las dimensiones del rectángulo son 3 cm y 4 cm. EJERCICIO 10 : Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cuál alquilan un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 € menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno. Solución: x “nº de estudiantes que van a la excursión” y “precio que paga cada estudiante”


540

Aplicamos el método de sustitución: 540 3

6

yx

yx

2540 540 3 540 540 6 3 6 540 540 3240 3 186

x x x x x x x xx x

2 23 18 3240 0 6 1080 0x x x x 36

6 36 4320 6 4356 6 662 2 2

30 no sirvex

El precio por alumno será: 540 1536

y

Luego, van 36 estudiantes a la excursión y cada uno paga 15 €. EJERCICIO 11 : Un bodeguero quiere mezclar vino de calidad superior cuyo precio es de 6 €/l con otro más corriente de 2 €/l. Dispone en total de 315 l. Calcula el número de litros de cada clase para que la mezcla cueste 4,4 €/l. Solución: x litros del vino que cuesta 6 €/l,

y litros del vino que cuesta 2 €/l,


315 315 2 2 6306 2 315 4,4 6 2 1386 6 2 1386 4 756 189

x y x y x yx y x y x y

x x

Luego, y 315 189 126. Ha de mezclar 189 l de vino bueno con 126 l del más corriente. EJERCICIO 12 : Pablo tiene unos ingresos anuales de 24 000 €. Parte de ese dinero está en una cuenta en la que le dan el 4% anual; el resto lo gasta. Calcula la cantidad de dinero gastado y ahorrado, sabiendo que al final del año recibe 360 € de intereses. Solución: x “Dinero gastado” y “Dinero ahorrado”

24000 24000 15000240004 360004 de 360 360 9000

100 4

x y x yx yyy y

Gasta 15 000 € y ahorra 9 000 €.

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 14 EJERCICIO 13 : Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene 48 cm2 de área y que su diagonal mide 10 cm.

Solución: Llamamos x a la base e y a la altura del rectángulo.

2 2 2

48Por tanto, tenemos que:

10x yx y

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

22 2 4 2 4 2

2

48

48 2304100 100 2304 100 100 2304 0

yx

x x x x x xx x

Hacemos el cambio: x2 z x4 z2

Así obtenemos:

2

128 642100 10000 9216 100 784 100 28100 2304 0

2 2 272 362

z z z

2

2

Si 64 64 64 8 8 6

Si 36 36 36 6 6 8

z x x x y

z x x x y

Observa que las soluciones negativas no son válidas, pues x representa una longitud. El rectángulo es, por tanto, de 8 cm x 6 cm. EJERCICIO 14 : Un rectángulo tiene 60 cm2 de área. Su perímetro es de 34 cm. Halla sus dimesiones. Solución: Llamamos x a la base del rectángulo e y a su altura.

Por tanto, tenemos que:

602 2 34 17x yx y x y

Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

2 2

1717 60 17 60 17 60 0

y xx x x x x x

12 517 289 240 17 49 17 7

2 2 25 12

x yx

x y

El rectángulo es, por tanto, de 12 cm x 5 cm.

EJERCICIO 15 : El producto de dos números es 28 y la suma de sus cuadrados es 65. ¿De qué números se trata?

Solución: Llamamos x e y a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que:

2 2

2865

x yx y

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

22 2 4 2

2

28

28 78465 65 784 65

yx

x x x xx x

Hacemos el cambio: x2 z x4 z2

Así obtenemos: z2 65z 784 0

4965 4225 3136 65 1089 65 33

2 2 216

zz

z

2

2

Si 7 4Si 49 49 49 7

Si 7 4

Si 4 7Si 16 16 16 4

Si 4 7

x yz x x

x y

x yz x x

x y

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 15 INECUACIONES EJERCICIO 16 : Resuelve las siguientes inecuaciones y escribe la solución en forma de intervalo:

a) 5 4 6x b) 5 1 128 8

x xx x c) 3 12 2 3 2

3xx x

d) 4 2 33

x

e) 3 1

22

xx

f) 5 3 0x x g) 0

x37x

h) 22 5 2 16x x x

i) 2

2 0xx

j) 2 3 6 8 2x x x k) x2 3x 4 0 l) x2 3x 0

m) x 2 x 1 0 n) 03x1x

ñ) x(x + 4) 0

Solución:

a) 5 4 6 5 6 4 5 10 2x x x x La solución en forma de intervalo será: , 2 b) Multiplicamos por 8 la inecuación y agrupamos los términos como en las ecuaciones:

5 1 16 8 1 21 1 7 1 14 0 0x x x x x x x x La solución buscada es 0, .

c) Multiplicamos la inecuación por 3, quitamos paréntesis y agrupamos los términos como en las ecuaciones:

6 3 1 6 3 2 6 3 1 18 12 1 12 18x 3x1111 1515

x x x x x x

x x

11La solución en forma de intervalo es , .15

d) Multiplicamos todo por 3 para quitar el denominador: 54 6 9 6 56

x x x

5La solución en forma de intervalo es , .6

e) 3x + 3 > 4x -x > -2 x < 3 La solución es el intervalo (-,3)

f) El factor 5 x 0 si x 5, y el factor x 3 0, si x 3.

La solución será el intervalo 3, 5

g) Igualamos, por separado el numerador y el denominador a cero: El numerador: x + 7 = 0 x = -7 (Se coge porque es ) El denominador 3 – x = 0 x = 3 (El denominador nunca se coge) Estudiamos los signos

Solución, 7, 3.

h) Reducimos a una ecuación de segundo grado y calculamos sus soluciones: 2 20 2 16 2 5 4 21 0x x x x x

2

74 16 84 4 100 4 104 21 0

2 2 23

x x x

Luego la solución a la inecuación es , 3 U 7, .

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 16 i) Igualamos, por separado, numerador y denominador a cero:

Numerador: x + 2 = 0 x = -2 (Lo pintamos)

Denominador: x2 = 0 x = 0 (No lo pintamos)

Por tanto, la solución es , 2 .

j) 2 23 6 8 2 5 14 0x x x x x

2Resolvemos la ecuación 5 14 0:x x 2

5 25 56 5 92 2

7x

La solución será: (-,-7) (2,+)

k) Resolvemos la ecuación x2 3x 4 0:

13 9 16 3 25 3 5

2 2 24

xx

x

La solución de la inecuación es , 4 1,

l) Hallamos las raíces de x2 3x resolviendo la ecuación:

2

03 0 3 0

3 0 3

xx x x x

x x

La solución de la inecuación es , 0 3, .

m) Hallamos las raíces de la ecuación:

2 0 22 1 0

1 0 1

x xx x

x x

La solución de la inecuación es 1, 2.

n) Hallamos las raíces del numerador y del denominador: x 1 0 x 1 (No se coge) x 3 0 x 3 (No se coge)

La solución de la inecuación es (, 1) (3, ).


ñ) Hallamos las raíces de xx 4 resolviendo la ecuación:

04 0

4 0 4

xx x

x x

La solución de la inecuación es 4, 0.

SISTEMAS INECUACIONES EJERCICIO 18 : Halla el conjunto de soluciones de los sistemas de inecuaciones:

a)

2 1 33x 6 2

xx

b)

3 7 08 5 0

xx

c)

5 2 07 1 0

xx

d)

2 6 47 0

xx

e)

2 02 3 0xx

Solución: a) Resolvemos cada inecuación por separado; la solución será el conjunto de puntos que cumplan ambas inecuaciones.

2 1 3 2 4 23 6 2 3 2 6 6

x x xx x x x x

La solución al sistema es el intervalo 6, 2. b) Resolvemos independientemente cada inecuación y buscamos las soluciones comunes:

73 7 0 3 7388 5 0 8 55

x x x

x x x

El sistema no tiene solución, puesto que no hay valores que cumplan ambas inecuaciones a la vez.

c) Resolvemos cada inecuación y buscamos las soluciones comunes:

55 2 0 5 2217 1 0 7 1

7

x x x

x x x

5La solución del sistema es , .2

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO 18 d) Resolvemos cada inecuación por separado y buscamos la solución que sea común a ambas:

2 6 4 2 10 57 0 7

x x xx x

La solución del sistema es 5, 7.

e) Resolvemos cada inecuación por separado y buscamos el conjunto de puntos que cumplen ambas a la vez:

2 0 232 3 0 2 3

2

x x

x x x

3La solución común a ambas inecuaciones es , .2

Tema 7 – Trigonometría – Matemáticas 4º ESO 1

TEMA 7 – TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1

a)))) Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 °°°° y 70°°°° rad53, yrad6

7 :ángulos los grados a Pasab)

ππππ

Solución:

rad6

7rad

180210210 a)

π=π⋅=o rad187

rad180

7070π=π⋅=o

o

o

210180

67

rad6

7 b) =

π⋅π=π

"7'32200180

53rad53 o

o

=π

⋅= ,,

EJERCICIO 2 : Completa la tabla:

Solución:

rad1813

rad180

130130π=π⋅=o o

o

240180

34

rad34 =

π⋅π=π

rad6

11rad

180330330

π=π⋅=o "37'5685180

51rad51 o

o

=π

⋅= ,,

Por tanto:

CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 3 : Sabiendo que αααα es un ángulo agudo y que el cos αααα = 1/5, calcula sen αααα y tg αααα. Solución:

22 2 21 1 1 24

Como 1 1 5 5 25 25

cos sen sen sen α = → + α = → + α = → α = →

2 6

5sen→ α =

2 6 1Luego, 2 6 2 6

5 5sen

tg tgcos

αα = = : = → α =α

EJERCICIO 4 : Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que αααα es un ángulo agudo:

sen αααα

cos αααα 0,25

tg αααα 0,6

Solución: • Si cos α = 0,25 → (0,25)2 + sen2 α = 1 → sen2 α = 0,9375

0,97

Luego, 0,97 y 3,88. 0,25

sen tg α ≈ α = ≈


• Si tg α = 0,6 → sen α = 0,6 cos α → (0,6 cos α)2 + cos2 α = 1 0,36 cos2 α + cos2 α = 1 → 1,36 cos2 α = 1 → cos2 α ≈ 0,74 → cos α ≈ 0,86 Luego, sen α = 0,6 · 0,86 ≈ 0,52 y la tabla queda:

sen αααα 0,97 0,52

cos αααα 0,25 0,86

tg αααα 3,88 0,6

EJERCICIO 5 : 4

Calcula y de un ángulo agudo, , sabiendo que la . 3

sen cos tgα α α α =α α α α =α α α α =α α α α =

Solución:

22 2 2 2 2

2 2

4 4 4Si

3 3 3

4 161 1 1

3 9

25 9 31

9 25 5

sentg sen cos

cos

sen cos cos cos cos cos

cos cos cos

αα = → = → α = αα

α + α = → α + α = → α + α =

α = → α = → α =

4 3 4Luego,

3 5 5sen senα = ⋅ → α =

EJERCICIO 6 : Sabiendo que 0 °°°° < αααα < 90°°°°, completa la siguiente tabla usando las relacione s fundamentales:

sen αααα 0,8

cos αααα

tg αααα 0,75

Solución:

( )22 2 2 2 2

2 2

Si 0,75 0,75 0,75

1 0,75 1 0,5625 1

1,5625 1 0,64 0,8

sentg sen cos

cos

sen cos cos cos cos cos

cos cos cos

α• α = → = → α = ⋅ αα

α + α = → α + α = → α + α =

α = → α = → α =

Luego, sen α = 0,75 · 0,8 = 0,6. • Si sen α = 0,8 → sen2 α + cos2 α = 1 → (0,8)2 + cos2 α = 1 →

→ 0,64 + cos2 α = 1 → cos2 α = 0,36 → cos α = 0,6 0,8

Luego, 1,3. 0,6

tg α = =)

Completamos la tabla:

sen αααα 0,6 0,8

cos αααα 0,8 0,6

tg αααα 0,75 1,3)

EJERCICIO 7 : .3

De un ángulo agudo, , conocemos que 5

senα α =α α =α α =α α = Halla cos αααα y tg αααα.

Solución:


22 2 2 2

2 2

3 91 1 1

5 25

9 16 41

25 25 5

sen cos cos cos

cos cos cos

α + α = → + α = → + α =

α = − → α = → α =

3 4 3 3:

5 5 4 4sen

tg tgcos

αα = = → αα

= == == == =

EJERCICIO 8 : Completa la tabla sin usar calculadora ((((0°°°° ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ 90°°°°)))):

αααα 90°°°°

sen αααα 0

cos αααα 3 2////

tg αααα 3

Solución:

αααα 0 90°°°° 60° 30°

sen αααα 0 1 3 2/ 1/2

cos αααα 1 0 1/2 3 2////

tg αααα 0 NO EXISTE 3 3 3/

EJERCICIO 9 : Sin hacer uso de la calculadora, halla el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo αααα, sabiendo que 0 °°°° ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ 90°°°°:

sen αααα 1

cos αααα 1/2

tg αααα /3 3

αααα 45°°°°

Solución:

sen αααα 3 2/ 1/2 1 2 2/

cos αααα 1/2 3 2/ 0 2 2/

tg αααα 3 3 3//// NO

EXISTE 1

αααα 60° 30° 90° 45°°°°

EJERCICIO 10 : Sin usar calculadora, completa la siguiente tabl a ((((0°°°° ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ 90°°°°)))):

αααα 60°°°°

sen αααα /2 2

cos αααα 1

tg αααα NO EXISTE


Solución:

αααα 90° 60°°°° 0° 45°

sen αααα 1 3 2/ 0 2 2////

cos αααα 0 1/2 1 2 2/

tg αααα NO EXISTE 3 0 1

EJERCICIO 11 : Calcula el valor exacto de las razones trigonomé tricas que faltan o del ángulo αααα, sin usar calculadora ((((0°°°° < αααα ≤≤≤≤ 90°°°°)))):

sen αααα /3 2

cos αααα /2 2

tg αααα 0

αααα 30°°°°

Solución:

sen αααα /3 2 0 1/2 2 2/

cos αααα 1/2 1 3 2/ /2 2

tg αααα 3 0 3 3/ 1

αααα 60° 0° 30°°°° 45°

EJERCICIO 12 : Completa la tabla sin usar calculadora ((((0°°°° ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ 90°°°°)))):

αααα 0°°°°

sen αααα 1/2

cos αααα 0

tg αααα 1

Solución:

αααα 0°°°° 30° 45° 90°

sen αααα 0 1/2 2 2/ 1

cos αααα 1 3 2/ 2 2/ 0

tg αααα 0 3 3/ 1 NO EXISTE

EJERCICIO 13 : Calcula las razones trigonométricas de los ángul os agudos del triángulo rectángulo siguiente:

Solución:


Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:

x2 + 1,22 = 1,32 → x2 + 1,44 = 1,69 → x2 = 0,25 → x = 0,5 m Calculamos las razones trigonométricas de α y β:

0,5 1,2 0,50,38 0,92 0,42

1,3 1,3 1,2sen cos tgα = ≈ α = ≈ α = ≈

1,2 0,5 1,20,92 0,38 2,4

1,3 1,3 0,5sen cos tgβ = ≈ β = ≈ β = ≈

EJERCICIO 14 : a)))) Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es rectángulo. b)))) Calcula las razones trigonométricas de sus dos án gulos agudos. Solución: a) 102 = 62 + 82 → 100 = 36 + 64 → 100 = 100

Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo. b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β:

6 8 60,6 0,8 0,75

10 10 8sen cos tgα = = α = = α = =

8 6 80,8 0,6 1,3

10 10 6sen cos tgβ = = β = = β = =

)

EJERCICIO 15 : Halla las razones trigonométricas de los ángulos αααα y ββββ del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo.

Solución: Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras:

12,962 + 17,282 = x2 → x2 = 466,56 → x = 21,6 cm

Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 12,96 17,28 12,96

0,6 0,8 0,7521,6 21,6 17,28

sen cos tgα = = α = = α = =

17,28 12,96 17,280,8 0,6 1,3

21,6 21,6 12,96sen cos tgβ = = β = = β = =

)

EJERCICIO 16 : a)))) Calcula x e y en el triángulo:

b)))) Halla el seno, el coseno y la tangente de los áng ulos αααα y ββββ. Solución: a) Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras:

52 = 32 + y 2 → 25 = 9 + y 2 → 16 = y 2 → y = 4 cm


Calculamos x sabiendo que la longitud de los catetos del triángulo BDC miden 3 cm y 12 − 4 = 8 cm: x2 = 32 + 82 → x2 = 9 + 64 → x2 = 73 → x ≈ 8,54 cm

b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 4 3 4

0,8 0,6 1,35 5 3

sen cos tgα = = α = = α = =)

3 8 30,35 0,94 0,375

8,54 8,54 8sen cos tgβ = ≈ β = ≈ β = ≈

EJERCICIO 17 : Calcula las razones trigonométricas de los ángul os agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos mide 2,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm. Solución: Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras: x2 + 2,52 = 6,52 → x2 + 6,25 = 42,25 → x2 = 36 Luego x = 6 cm es la longitud del otro cateto.

• Calculamos las razones trigonométricas de α:

60,92

6,5sen α = ≈

2,50,38

6,5cos α = ≈

62,4

2,5tg α = ≈

• Calculamos las razones trigonométricas de β: 2,5

0,386,5

sen β = ≈ 6

0,926,5

cos β = ≈ 2,5

0,426

tg β = ≈

EJERCICIO 18 : De un ángulo αααα sabemos que la tag αααα = 3/4 y 180º < αααα < 270º. Calcula sen αααα y cos αααα. Solución:

3 3 3Como

4 4 4sen

tg sen coscos

αα = → = → α = αα

2 2

2 2 2 1

19 25 1 13 6 16

4

sen coscos cos cos

sen cos

α + α = α + α = → α =

α = α

2 16 4 por estar en el tercer cuadrante.

25 5cos cosα = → α = − α

3 4 3 3Asi,

4 5 5 5sen sen α = ⋅ − = − → α = −


EJERCICIO 19 : 2

Si y 270 360 calcula y 3

cos sen tg . . . .α = ° < α < °, α αα = ° < α < °, α αα = ° < α < °, α αα = ° < α < °, α α

Solución: En el cuarto cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0.

2

2 2 2 22 2 7 1 1 1

3 9 3sen cos sen sen sen

α + α = → + α = → α = − → α = −

7 2 7 14 14 :

3 3 2 22

sentg tg

cos

αα = = − = − = − → α = − α

EJERCICIO 20 :

− 5Sabiendo que y que es un ángulo del tercer cuadrante, calcula

5y

cos sen

tg

....

α = α αα = α αα = α αα = α α

αααα

Solución:

2

2 2

2

5 5 5Como 1 1

5 5 25

20 2 5 (elegimos el signo por estar en el

25 5

cos sen sen

sen sen

α = − → − + α = → + α =

α = → α = − − α

tercer cuadrante).

2 5 5Así, : 2 2

5 5sen

tg tgcos

αα = = − − = → α = α

EJERCICIO 21 : = 5Si y 90 180 ¿Cuánto valen y ?

3sen cos tgα ° < α < °, α αα ° < α < °, α αα ° < α < °, α αα ° < α < °, α α

Solución:

2

2 2

2 2

5 5 5Si 1 1

3 3 9

5 4 2 1

9 9 3

sen cos cos

cos cos cos

α → + α = → + α =

α = − → α = → α = −

====

donde elegimos el signo − por ser 90° < α < 180°. 5 2 5 5

Así, : 3 3 2 2

sentg tg

cosα α = = − = − → α = − α

EJERCICIO 22 : ºCalcula y sabiendo que la 5 y 2 cuadrante.sen cos tg α α α = − α ∈α α α = − α ∈α α α = − α ∈α α α = − α ∈ Solución:

2 2 2 2

Como 5 5

1 5 1

tg sen cos

sen cos cos cos

α = − → α = − αα + α = → α + α = →

2 2 1 1 66 1 ,

6 66cos cos cos→ α = → α = → α = − = −

por estar α en el 2º cuadrante.

6 30Así, 5 .

6 6sen

α = − − =

6 30La solución es: y

6 6cos senα = α =


EJERCICIO 23 : 15

Sabiendo que y que 90 180 calcula el valor de y 17

sen cos tgα = ° < α < °, α αα = ° < α < °, α αα = ° < α < °, α αα = ° < α < °, α α....

Solución: En el 2º cuadrante, cos α < 0 y tg α < 0.

α = + α = → α = − → α = → α + α =

22 2 2

2 2

15 15 225 64

1 1 1717 289 289

1

sencos cos cos

sen cos

817

cos→ α = −

Luego:15 8 15 15

:17 17 8 8

sentg tg

cosα α = = − = − → α = − α

EJERCICIO 24 : .5

De un ángulo agudo, , a sabemos que Calcula y 4

tg sen cosα α = α αα α = α αα α = α αα α = α α . . . .

Solución:

α α = → = → α = α →α α + α =

2 2

5 5 5

4 4 4 1

sentg sen cos

cossen cos

22 2 2 25 25 41

1 1 14 16 16

cos cos cos cos cos → α + α = → α + α = → α = →

→ α = → α = → α = ≈2 16 4 4 41 0,62

41 4141cos cos cos ⇒ α = ⋅ ≈5

0,62 0,784

sen

EJERCICIO 25 : 7

Sabiendo que y que 180 270 , calcu la y 4

cos sen tgα = − ° < α < ° α α.α = − ° < α < ° α α.α = − ° < α < ° α α.α = − ° < α < ° α α.

Solución:

α + α = α + = → α = → α = −

α = −

2 2

2 2

17 9 3

1 7 16 16 4 4

sen cossen sen sen

cos

En el tercer cuadrante, sen α < 0 y tg α > 0.

α −α = = − = = → α =α 3 7 3 3 7 3 7

Luego: : 4 4 7 77

sentg tg

cos

EJERCICIO 26 : Calcula sen αααα y tg αααα de un ángulo agudo, αααα, sabiendo que cos αααα ==== 0,6. Solución: sen2 α + cos2 α = 1 → sen2 α + 0,62 = 1 → sen2 α = 1 − 0,36 → sen2 α = 0,64 → sen α = 0,8

αα = = = → α =α

) ) 0,8Luego: 1,3 1,3

0,6sen

tg tgcos

EJERCICIO 27 : 12

Si y 4 cuadrante, calcula y 13

sen cos tgα = − α ∈ α αα = − α ∈ α αα = − α ∈ α αα = − α ∈ α α....°°°°

Solución:

En el cuarto cuadrante, el cos α es positivo, y la tangente, negativa.

22 2 2

2 2

12 12 144 25

1 11313 169 169

1

5

13

sencos cos cos

sen cos

cos

α = − − + α = → α = − → α = → α + α =

→ α =


Luego: αα = = − = − → α = −α 12 5 12 12

: 13 13 5 5

sentg tg

cos

CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO 28 : Expresa, con valores comprendidos entre 0 °°°° y 360°°°°, el ángulo de 2 130 °°°°. Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante. Solución: 2 130° = 5 · 360° + 330°, luego calcular las razones trigonométricas de 2 130° equivale a calcular las razones trigonométricas de 330°.

sen 2 130° = sen 330° = − sen 30° cos 2 130° = cos 330° = cos 30°

Así: 1 3 3

2130° ; 2130° ; 2130° 2 2 3

sen cos tg= − = = −

EJERCICIO 29 : Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo de 225°°°°, y calcula el valor de cada una de ellas relaciona ndo el ángulo de 225 °°°° con uno del primer cuadrante. Solución:

Observamos que:

2 225° 45° 225°

2

2 225° 45° 225°

2 225° 45° 225° 1

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

= − → = −

= − → = −

= → =

EJERCICIO 30 : Representa en la circunferencia goniométrica sen 150°°°°, cos 150°°°° y tg 150°°°°. Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150 °°°° con un ángulo del primer cuadrante. Solución:


En la circunferencia goniométrica observamos:

1 150° 30° 150°

2

3 150° 30° 150°

2

3 150° 30° 150°

3

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

= → =

= − → = −

= − → = −

EJERCICIO 31 : Calcula las razones trigonométricas de 240 °°°° dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica.

Solución:

En el dibujo se observa que:

3 240 60 240

21

240 60 2402

sen sen sen

cos cos cos

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

240 3 1Luego: 240 : 3 240 3

240 2 2sen

tg tgcos

° ° = = − − = → ° = °

EJERCICIO 32 : Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el á ngulo de 135 °°°° y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer c uadrante. Solución:

Se observa en la circunferencia goniométrica que:

2 135 45 135

2

2 135 45 135

2

sen sen sen

cos cos cos

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

Luego, tg 135° = −1. EJERCICIO 33 : Relacionándolo con un ángulo del primer cuadrant e, calcula las razones trigonométricas de 210 °°°°. Solución: 210° pertenece al 3er cuadrante y 180° + 30° = 210°.


Luego, las razones trigonométricas de 210° van a estar relacionadas con las razones trigonométricas de

30°:

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

° = ° → ° =

1 210 30 210

2

3 210 30 2102

3 210 30 210

3

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

EJERCICIO 34 : Sabiendo que cos 58°°°° ==== 0,53, sen 58°°°° ==== 0,85 y tg 58°°°° ==== 1,6, calcula las razones trigonométricas de 122 °°°°. Solución: 122° pertenece al 2º cuadrante y 122° + 58° = 180°.

Relacionamos las razones trigonométricas de 122° y 58°:

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

122 58 122 0,85

122 58 122 0,53

122 58 122 1,6

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

EJERCICIO 35 : Halla las razones trigonométricas de 315 °°°° estableciendo una relación entre dicho ángulo y uno del primer cuadrante. Solución: Se sabe que 315° es un ángulo del 4º cuadrante, y además, 315° + 45° = 360°. Relacionamos, pues, las razones trigonométricas de 315° con las razones trigonométricas de 45°:

° = − ° → ° = −

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

2 315 45 315

2

2 315 45 315

2

315 45 315 1

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

EJERCICIO 36 : Calcula las razones trigonométricas de 227 °°°° a partir de las razones trigonométricas de 47°°°°: sen 47°°°° ==== 0,73; cos 47°°°° ==== 0,68; tg 47°°°° ==== 1,07 Solución: 227° es un ángulo correspondiente al 3er cuadrante. Además, 180° + 47° = 227°, luego:

227 47 227 0,73

227 47 227 0,68

227 47 227 1,07

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

° = ° → ° =

EJERCICIO 37 : Calcula el valor del sen 120°°°°, cos 120°°°° y tg 120°°°°, relacionándolos con un ángulo del primer cuadrante. Solución:

∈ − =Observamos que 120° 2º cuadrante y que 180° 60° 120°.


3Luego: 120 60 120

2

1 120 60 120

2

120 60 120 3

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

PROBLEMAS EJERCICIO 38 : El ángulo que forma el suelo con la recta que un e el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40 °°°°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Solución: Sea x la longitud de la sombra del árbol.

Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la

tangente es la razón trigonométrica a usar:15 15 15

40 17,86 m 40 0,84

tg xx tg

° = → = ≈ ≈°

La sombra del árbol mide 17,86 m. EJERCICIO 39 : Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejad o de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°°°°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Solución:

Llamamos h a la altura de la casa y α al ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Calculamos α: 90° + 70° + α = 180° → α = 20°

Calculamos : 70 35 70 35 0,3435h

h cos h cos° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ ⇒

h = 11,9 m es la altura de la casa de Carlos. EJERCICIO 40 : Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y f orma con el suelo un ángulo de 55°°°°. a)))) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b)))) Calcula la distancia desde el extremo inferior de l tronco hasta la pared. Solución: h → altura que alcanza el tronco apoyado en la pared. x → distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.

La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6,2 m, y un ángulo agudo, 55°. Así:


) ha 55 h 6,2 55 6,2 0,82 5,08 m

6,2sen sen° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ =

El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.

)b 55 6,2 55 6,2 0,57 3,53 m6,2x

cos x cos° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ =

La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m. EJERCICIO 41 : Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30 °°°°. Solución: Llamamos h a la altura de la antena.

Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la

tangente será la razón trigonométrica a usar:3

30 18 30 18 6 3 10,39 m18 3h

tg h tg° = → = ⋅ ° = = ≈

La altura de la antena es de 10,39 m. EJERCICIO 42 : Calcula la altura de una casa sabiendo que al te nder un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60 °°°°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable? Solución:

Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica:

9 3 60 9 60 7,79 m

9 2h

sen h sen° = → = ⋅ ° = = ⇒ La altura de la casa es de 7,79 m.

Sea x = distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno

es la razón trigonométrica que debemos usar:1

60 9 60 9 4,5 m9 2x

cos x cos° = → = ⋅ ° = ⋅ =

El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa. EJERCICIO 43 : Desde el tejado de un edificio de 150 m de altur a, se divisa el tejado de otro edificio cercano bajo un ángulo de 45 °°°°. La distancia entre ambos en línea recta es de 0,2 1 km. Calcula la altura del otro edificio. Solución: Hacemos una representación del problema:

0,21 km = 210 m

45 210 45 210 m210

xtg x tg x° = → = ⋅ ° → =

Luego, la altura del otro edificio será x + 150 = 210 + 150, es decir, 360 m.


EJERCICIO 44 : Un globo, sujeto al suelo por una cuerda, se encuentra a una altura de 7,5 m; entre la altura y la cuerda se forma un ángulo de 54°. Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo que esta forma con el suelo. Solución:

Llamamos: x → longitud de la cuerda α → ángulo entre la cuerda y el suelo La razón trigonométrica a usar con los datos del problema es el coseno:

7,5 7,5 7,554 12,71

54 0,59cos x

x cos° = → = ≈ ≈

°⇒ La cuerda tiene una longitud de 12,71 m.

Calculamos α → 54° + 90° + α = 180° → α = 36° EJERCICIO 45 : Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unid as en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75 °°°°. Solución: Hagamos un dibujo que represente el problema:

Llamamos x → longitud del puente y → anchura del río

Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75°: 203 − 198 = 5 m.

5 5 575 19,23 m

75 0,26

75 75 19,23 0,97 18,65 m

cos xx cos

ysen y x sen

x

° = → = ≈ ≈°

° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ ≈

La longitud del puente es de 19,23 m, y la anchura del río, 18,65 m. EJERCICIO 46 : Una escalera de 5 m está apoyada en una pared fo rmando un ángulo de 46 °°°°. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pare d. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Solución:

Llamamos: x → distancia entre la base de la escalera y la pared

α → ángulo entre la escalera y el suelo Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos

el seno como razón trigonométrica: 46 5 46 5 0,72 3,65x

sen x sen° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ =

La distancia entre la base de la escalera y la pared es de 3,6 m. Calculamos α → 46° + 90° + α = 180° → α = 44° es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo.


EJERCICIO 47 : El lado de un rectángulo mide 4 m y la diagonal forma con dicho lado un ángulo de 33°°°°. Calcula la longitud de la diagonal y el área del rectángulo. Solución:

Llamamos: d → longitud de la diagonal x → longitud del otro lado Nos dan un ángulo y el lado contiguo a este ángulo. Para calcular d y x, usamos el coseno y la tangente,

respectivamente:

4 4 433 4,76 m

33 0,84

33 4 33 4 0,65 2,6 m4

cos dd cos

xtg x tg

° = → = ≈ ≈°

° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ =

La longitud de la diagonal es de 4,76 m. Calculamos el área: A = 4 · 2,6 = 10,4 → El área del rectángulo es 10,4 m2. EJERCICIO 48 : Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea rect a, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distanc ia que separa a cada ambulancia de la casa:

Solución: Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB.

Del dibujo deducimos:

( )

45 45

42 8 428

htg h x tg

xh

tg h x tgx

° = → = ⋅ ° ° = → = − ⋅ °−

( ) ( ) 45 8 42 8 0,9 7,2 0,9 1,9 7,2x tg x tg x x x x x° = − ° → = − → = − → = →

3,79 km, luego 3,79 kmx h→ = = De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso:

( )22 2 2 3,79 3,79 2 5,36 kmb h x= + = ⋅ = ≈

( )22 2 28 3,79 4,21 5,66 kma h x= + − = + ≈

La ambulancia A está a 5,36 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km. EJERCICIO 49 : Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su v isual con el punto más alto del árbol y obtiene 35 °°°°; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25 °°°°. Calcula la altura del árbol y la anchura de río. Solución:


Hacemos una representación del problema y llamamos: h → altura del árbol x → anchura del río

( )

35 35

25 5 255

htg h x tg

xh

tg h x tgx

° = → = ⋅ ° ° = → = + °+

( ) ( ) 35 5 25 0,7 5 0,47 0,7 0,47 2,35x tg x tg x x x x° = + ⋅ ° → = + ⋅ → = + →0,23 2,35 10,22 mx x→ = → ≈

h = 10,22 · 0,7 = 7,15 m La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m. EJERCICIO 50 : La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40 °°°°. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Solución:

Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos.

Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x.

En cada triángulo conocemos el ángulo de 20° y el cateto opuesto a este ángulo que mide 64

32 cm.2

=

32 32 32 20 94,12 cm

20 0,34

20 20 94,12 2094,12

sen xx sen

h hcos cos h cos

x

° = → = ≈ =°

° = → ° = → = ⋅ °h ≈ 94,12 · 0,94 ≈ 88,47 cm

Luego: Perímetro = 64 + 2 · 94,12 = 252,24 cm 264 88,47Área 2831,04 cm

2⋅= =

EJERCICIO 51 : El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68 °°°°. La granja A está a 230 m de ese punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? Solución:

Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B.

Por no ser rectángulo el triángulo ABC, trazamos la altura h que lo divide en dos triángulos rectángulos: AHC y AHB.

�En el triángulo conocemos 68 y 230, podemos calcular e :AHC C AC h y= ° =


68 230 68 230 0,37 85,1 m230

h 68 h 230 68 230 0,93 213,9 m

230

ycos y cos

sen sen

° = → = ⋅ ° = ⋅ =

° = → = ⋅ ° = ⋅ =

En el triángulo AHB, ahora conocemos h = 213,9 m y 435 − y = 435 − 85,1 = 349,9 m. Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2435 213,9 349,9

45753,21 122430,01 168183,22 410,1 m

x h y x

x

= + − → = + →

= + = ≈

La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m. EJERCICIO 52 : Se quiere medir la altura de una estatua colocad a en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser d e 50°°°°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35 °°°°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.

Solución:

Hacemos una representación. Llamamos: h → altura de la estatua x → radio del lago

( )( )

50 50 50 45 35

35 45 3545

htg h x tg

x x tg x tgh

tg h x tgx

° = → = ⋅ ° → ⋅ ° = + ⋅ ° →° = → = + ⋅ °+

( )1,19 45 0,7 1,19 0,7 31,5 0,49 31,5 64,29 dmx x x x x x→ ⋅ = + ⋅ → = + → = → =

Luego h = 64,29 · 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m

Calculamos la superficie del lago circular: ( )22 2 2CIRCULO 3,14 64,29 12978,26 dm 129,78 m A x= π ⋅ ≈ ⋅ ≈ ≈

La superficie del lago es de 129,78 m2. ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO 53 :

:)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31

Si αααtg =

( ) ( ) ( ) ( )αtgαtgαtgαtg +−+− oooo 360 d)360 c)180 b)180 a) Solución:

( )31

180 a) −=−=− αα tgtg o ( )31

180tg b) ==+ αα tgo

( )31

360 c) −=−=− αα tgtg o ( )31

360 d) ==+ αα tgtg o

EJERCICIO 54 : Si sen αααα ==== 0,35 y 0°°°° < αααα < 90°°°° halla ((((sin calcular αααα)))):

( ) ( )αcosαsen +− oo 180 b)180 a)


Solución: ( ) 350180 a) ,sensen ==− ααo

( ) α−=α+ coscos o180 b)

Necesitamos saber cuánto vale cos α: 13501 2222 =+→=+ ααα cos,cossen

87750112250 22 ,coscos, =→=+ αα ⇒ )900 pues positivo, (es 94,0 oo <<= ααcos

( ) 940180 :tanto Por ,coscos −=α−=α+o SIMPLIFICACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 55 : Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

a) xcos-1

)xcos+1.(xsen2

b) senx)-1.(tagxxcos

Soluciones:

a) 222

)xcos+1(=xcos-1

)xcos+1.(cosx)+cosx).(1-1(=

xcos-1)xcos+1).(xcos-1(

=xcos-1

)xcos+1.(xsen

b) senx

senx+1=

senx)-1.(senxsenx)-senx)(1+(1

=senx)-1.(senxxsen-1

=senx)-1.(senxxcos

=senx)-1.(

xcossenx

xcos=

senx)-1.(tagxxcos 22

EJERCICIO 56 : Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica:

xsen-xcos1

=1-xctg

xctg+

xsec-xeccosxsec

222

2

22

2

Soluciones:

xsen-xcos1

=xsen-xcosxcos+xsen

=xsen-xcos

xcos+

xsen-xcosxsen

=

=

xsenxsen-xcos

xsenxcos

+

xcos.xsenxsen-xcos

xcos1

=1-

xsenxcosxsenxcos

+

xcos1

-xsen

1xcos

1

=1-xctg

xctg+

xsec-xeccosxsec

2222

22

22

2

22

2

2

22

2

2

22

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 57 : Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = 0 b) sen (x + ΠΠΠΠ/4) = 2/3 c) 2.tag x – 3. cotag x – 1 = 0 d) 3sen2x – 5 sen x + 2 = 0 e) cos2x – 3sen2x = 0 f) 2cosx = 3tagx Solución:

a) sen x = 0 Z∈k∀kº360+º180=x

kº360+º0=x⇒

2

1 ⇒ x = 0º + 180ºk ∀ k ∈ Z

b) sen (x + Π/4) = 2

3 ⇒ Z∈k∀

kº360+º75=x⇒kº360+º120=º45+x

kº360+º15=x⇒kº360+º60=º45+x


c) 2tagx – 3 cotag x -1 = 0 ⇒ 0=1 - tagx

3-tagx2 ⇒ 2tag2x – tag x – 3 = 0

tag x = 1-

5,1=

4

5±1=

4

24+1±1

tag x = 1,5 ⇒ x = 56º 18º 35” + 180ºk tag x = -1 ⇒ x = 135º + 180º k

d) 3sen2x – 5senx + 2 = 0 ⇒ sen x = 6

1±5

sen x = 1 ⇒ x = 90º + 180ºk

sen x = 2/3 ⇒ x = kº360+´´23´11º138

kº360+´´37´48º41

e) cos2 x – 3 sen2x = 0 ⇒ 1 – sen2x – 3sen2x = 0 ⇒ 1 – 4 sen2x = 0 ⇒ sen2x = ¼ ⇒ sen x = ± 1/2

sen x = 1/2 ⇒ kº360+º150=x

kº360+º30=x

sen x = -1/2 ⇒ kº360+º330=x

kº360+º210=x

O resumido: kº180+º150=x

kº180+º30=x

f) 2cosx = 3 tag x ⇒ 2cosx = xcos

senx3⇒ 2cos2x = 3 sen x ⇒ 2(1 – sen2x) = 3 sen x ⇒

2 – 2sen2x = 3sen x ⇒ 2sen2x + 3sen x – 2 = 0 ⇒ sen x =2-

2/1=

4

5±3=

4

16+9±3

Sen x = 1/2 ⇒ kº360+º150=x

kº360+º30=x

Sen x = -2 ⇒ No tiene solución.

!

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 1

TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO 1 : Halla el punto medio del segmento de extremos P 2, 1 y Q 4, 3 . Solución: Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:

2 4 1 3, 1, 22 2

M

EJERCICIO 2 : Halla el simétrico, A , del punto A 1, 0 respecto de B 2, 8 . Solución: Llamamos x , y a las coordenadas de A . El punto medio del segmento de extremos A y A es B.

Por tanto:

1 22 5

5, 1616

08

2

x

xA

yy

EJERCICIO 3 : Determinar si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.

Solución: 1

12

2(-2,-1) (3,1) (1,0) AC(2,1) (3,1) (5,2) AB

Cierto Están alineados

EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A 1, 1 , B 0, 3 y C 2,k estén alineados.

Solución:) 1k21k1k

211

1)-k(1, (1,1)-k)(2, AC(-1,2) (1,1)-(0,3) AB

ECUACIONES DE RECTAS EJERCICIO 5 : a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 0 y 3, 6 .

1b Halla la ecuación de la recta, , paralela a que pasa por el punto 4, 4 .2

s y x

c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

6 0 6a Pendiente 3

3 1 2

Ecuación: y 0 3 x 1 y 3x 3 3x y 3 0 1b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: .2

1Ecuación: 4 4 2 8 4 2 4 0

2

m

y x y x x y

c Es la solución del sistema siguiente: 3 33 3 02 3 3 4 0 6 6 4 0 5 10 22 4 0

3 Punto: 2, 3

y xx yx x x x x xx y

y

!

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 2 EJERCICIO 6 : a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección .d 1, 1

b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 5, 2 y es paralelo al eje X. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

1a) Pendiente 1

1 Ecuación: y 2 1 x 3 y 2 x 3 y x 1

b y 2

c Es la solución de este sistema:1

1 2 3 Punto: 3, 22

y xx x

y

EJERCICIO 7 : a Halla la ecuación de la recta, , que pasa por 0, 0 y es paralela al vector d 3, 6 .r b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por 3, 4 y es perpendicular a x y 5 0. c Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores. Solución:

6a Pendiente 23

Ecuación: 2y x

b Pendiente de x y 5 0 y x 5 m 1 1 1

Pendiente de la perpendicular 11m

Ecuación de s: y 4 1 x 3 y 4 x 3 x y 1 0

c Es la solución del siguiente sistema:2 1 0 1 22

Punto: 1, 21 0x x x yy x

x y

EJERCICIO 8 :

1a Obtén la ecuación de la recta, , que pasa por 3, 1 y tiene pendiente . 2

r

b Escribe la ecuación de la recta, s, perpendicular a x 3y 2 que pasa por 2, 4 . c Halla el punto de intersección de las rectas r y s. Solución:

1a 1 3 2 2 3 2 1 0

2y x y x x y

2 1 2 1b Pendiente de 3 2

3 3 3 3x

x y y x m

1 1Pendiente de la perpendicular 3

1 3m

Ecuación: y 4 3 x 2 y 4 3x 6 y 3x 10 c Es la solución del siguiente sistema:

2 3 10 1 0 6 20 1 02 1 07 21 3 1 Punto: 3, 13 10

x x x xx yx x yy x

EJERCICIO 9 : a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 5 y 1, 2 . b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a 2x y 3 que pasa por el punto 1, 1 . c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

2 5 3a Pendiente 3

1 0 1 Ecuación: y 5 3 x 0 y 5 3x 3x y 5 0

!


b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x y 3 y 2x 3 m 2 Ecuación: y 1 2 x 1 y 1 2x 2 y 2x 3

c Es la solución del sistema siguiente:3 2 3 5 0 2 13 5 0

Punto: 2, 12 3x x x yx y

y x

EJERCICIO 10 :

1a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a 3.2

y x

b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x y 3. Solución:

a Si son paralelas, tienen la misma pendiente:1 1

32 2

y x m

1Ecuación: 1 2 2 2 2 2

2 2x

y x y x y x y

b Pendiente de 2x y 3 y 2x 3 m 2 1 1 1

Pendiente de la perpendicular2 2m

1Ecuación: 2 2 4 2 4 0

2y x y x x y

EJERCICIO 11 : Dados los puntos A 2, 1 y B 3, 4 , halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes: a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB Solución: 1, 5AB

5 Recta : . Ecuación: 1 5 2 1 5 10

1r m y x y x 5x y 11 0

1 1 1 Recta :

5 5s m

m

1Ecuación: 4 3 5 20 3 5 23 0

5y x y x x y

EJERCICIO 12 : a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1 . b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x y 1 que pasa por el punto 0, 1 . Solución: a y 1 b Pendiente de 3x y 1 y 3x 1 m 3

1 1Pendiente de la perpendicular

3m

1Ecuación: 1 3 3 3 3 0

3y x y x x y

EJERCICIO 13 : a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x 3y 4 0, que pasa por 1, 2 . b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 1 0 que pasa por 3, 2 . Solución: a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente:

2 4 2 4 22 3 4 0

3 3 3 3x

x y y x m

2Ecuación de : 2 1 3 6 2 2 2 3 8 0

3r y x y x x y

b La recta y 1 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación será x 3.

!

!!

!!

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIO 14 : Calcula la distancia que hay entre los puntos A 8, 10 y B 2, 14 .

Solución: 2 2 2 2, 2 8 14 10 10 24 100 576 676 26dist A B

EJERCICIO 15 : Halla la distancia entre los puntos P 6, 2 y Q 0, 6 .

Solución: 22 2 2, 0 6 6 2 6 8 36 64 100 10dist P Q

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 16 : Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, 2 y radio 5.

Solución: 2 2La ecuación es: 4 2 5.x y

EJERCICIO 17 : Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4. Solución: 2 2La ecuación es: 3 4 4x y

REGIONES EN EL PLANO EJERCICIO 18 :¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto?

2 2

2 2

a) 259

x y

x y 2 2

2 2

0b)259

x

x y

x y

2 2

2 2

9c)25

0

x y

x yx

Solución: c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5,

respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre 3 y

5, esto es:

2 2

2 2

9

250

x y

x yx

EJERCICIO 19 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de

inecuaciones: xy

x y2 2

3 34 4

9


3 es la recta que pasa por (4, 0) y tiene pendiente .2

3 La ecuación será: 4 2 3 12 3 2 12 0

2

CD D m

y x y x x y

Sustituimos el punto 1, 2 3 · 1 2 · 2 12 5 < 0 El semiplano buscado es 3x 2y 12 0.

DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0.

El recinto, pues, es la solución del sistema:3 2 12 0

3 2 12 00 3

x yx yy

REPASO EJERCICIO 22 :

2 1 1¿Cuál de las rectas : 3 5 1 , : y : es paralela a la5 5 2

recta 2 5 4 0?

x yr y x s y x t

x y

Solución: Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Pendiente de r m 5

2Pendiente de

5s m

Pendiente de t : 1 1 2 21 1 1 1

5 2 5 5x y

x y y x

2 2 2 3 21

5 5 5 5 5y x y x m

2La pendiente de 2 5 4 0 es . Luego es la recta paralela a 2 5 4 0.

5x y m s x y

EJERCICIO 23 : Dada la recta ax by 0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el punto P 2, 6 pertenezca a la recta. Solución: El punto P 2, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple: a · 2 b · 6 0 2a 6b 0 a 3b 0 a 3b Luego, P 2, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b. EJERCICIO 24 : Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a x2 y 3 2 9 0 es la ecuación de una circunferencia. b) La recta de ecuación 0 es una recta paralela al eje , .ax c Y a c c Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m1 m2 0.

d) La pendiente de una recta perpendicular a : 0 es .ar ax by c

b

Solución: a FALSO.

La ecuación de una circunferencia de centro C a, b y radio r es: x a 2 y b 2 r2 En este caso: x 0 2 y 3 2 9, pero r2 no puede ser negativo; luego la ecuación dada no es la ecuación de una circunferencia.


b VERDADERO.

0 constante recta paralela al eje que pasa por , 0c c

ax c x Ya a

c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas m1 m2 m1 m2 0

d FALSO.

La pendiente de es la pendiente de la recta perpendicular

1a es .

a a cr m y x

b b bb

r mm a

EJERCICIO 25 : ¿Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax 3y 6 y s: bx

y 5 sean paralelas? ¿Y para que sean perpendiculares? Solución: r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide.

Pendiente de 3 6 23 3r

a ar y ax y x m

Pendiente de 5 ss y bx m b

33r s

am m b a b

Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b. 1 1

Para que y sean perpendiculares 33r

s

ar s m ab

m b

EJERCICIO 26 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 3 0 y s: mx 3y 1 0 no se corten. Solución: Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean paralelas, es decir, tengan la misma pendiente. Pendiente de r y x 3 mr 1

1Pediente de 3 1

3 3 3s

m ms y mx y x m

1 33r s

mm m m

EJERCICIO 27 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a’x c’ 0: a ¿Son paralelas? b ¿Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes? c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto 2, 3 . Solución: a Sí. Son rectas de la forma x k, es decir, rectas paralelas al eje Y.

b Para que sean coincidentes .c ca a

c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k', recta paralela al eje X. Como tiene que pasar por el punto 2, 3 , entonces la recta buscada es y 3.

!


b VERDADERO.

0 constante recta paralela al eje que pasa por , 0c c

ax c x Ya a

c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas m1 m2 m1 m2 0

d FALSO.

La pendiente de es la pendiente de la recta perpendicular

1a es .

a a cr m y x

b b bb

r mm a

EJERCICIO 25 : ¿Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax 3y 6 y s: bx

y 5 sean paralelas? ¿Y para que sean perpendiculares? Solución: r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide.

Pendiente de 3 6 23 3r

a ar y ax y x m

Pendiente de 5 ss y bx m b

33r s

am m b a b

Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b. 1 1

Para que y sean perpendiculares 33r

s

ar s m ab

m b

EJERCICIO 26 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 3 0 y s: mx 3y 1 0 no se corten. Solución: Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean paralelas, es decir, tengan la misma pendiente. Pendiente de r y x 3 mr 1

1Pediente de 3 1

3 3 3s

m ms y mx y x m

1 33r s

mm m m

EJERCICIO 27 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a’x c’ 0: a ¿Son paralelas? b ¿Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes? c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto 2, 3 . Solución: a Sí. Son rectas de la forma x k, es decir, rectas paralelas al eje Y.

b Para que sean coincidentes .c ca a

c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k', recta paralela al eje X. Como tiene que pasar por el punto 2, 3 , entonces la recta buscada es y 3.

!


EJERCICIO 28 : En el triángulo de vértices A(1, 1 , B 3, 2 y C 1, 4 halla: a La ecuación de la altura h1 que parte de B. b La ecuación de la altura h2 que parte de C. c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas . Solución:

a La altura h1 es perpendicular al lado AC.

1

5 5Pendiente de

2 2AC m

1 1

2Pendiente de

5h m

1

2La recta pasa por y su pendiente es ; luego su ecuación es:

5h B

22 3 5 10 2 6 5 2 4 0

5y x y x y x

b La altura h2 es perpendicular al lado AB.

2

1Pendiente de

4AB m

Pendiente de h2 m2 4 La recta h2 pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es: y 4 4 x 1 y 4 4x 4 y 4x 0

c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h1 y h2 : 4 25 4 2 4 0 20 2 4 0 22 45 2 4 0 22 11

4 0 4

x x x x x xy x

y x y x

2 84 4

11 11y x 2 8

El ortocentro es el punto , .11 11

EJERCICIO 29 : Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax 3y 2 0 y s: bx 9y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P 1, 2 . Solución:

2Pendiente de : 2 3

3 3 3r

a ar ax y y x m

5Pendiente de : 5 9

9 9 9s

b bs bx y y x m

Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir:

3 33 9r s

a bm m a b b a

Calculamos a sabiendo que P 1, 2 pertenece a la recta r : a · 1 3 · 2 2 0 a 6 2 0 a 4 Por tanto, a 4 y b 3 · 4 12.

Tema 4 – Funciones elementales I – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 1

TEMA 4 – FUNCIONES ELEMENTALES I DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c)

Solución: a) y c) son funciones, porque para cada valor de “x” hay un único valor de “y”. b) no es una función, porque para cada valor de “x” hay dos valores de “y”. DOMINIO EJERCICIO 2 : Calcular el dominio de las siguientes funciones

a) f(x) = x2 - 4x + 3 b) 3x4x

3x2)x(f2

c) f(x) = 3 2 3x4x

d) f(x) = 3x4x 2 e) 1x

3x4x)x(f2

f )

3x4x

1x)x(f2

g ) 3x4x

1x)x(f 2

Solución:

a) D(f) = R

b) D(f) = R – {x / x2 – 4x + 3 = 0} x2 -4x + 3 = 0 x = 13

212164

D(f) = R – {1,3}

c) D(f) = R d) D(f) = {x / x2 – 4x + 3 0} x2 – 4x + 3 0

D(f) = (-,1] U [3,+)

e)

01x03x4x 2

1x),3[]1,(x

x (-,-1) (-1,1] [3,+)

f)

03x4x

03x4x2

2

3,1x),3[]1,(x

x (-,1) (3,+)


g) 3x4x

1x2

0

31

x

1x

03x4x

01x2

x (-,-1] (3,+)

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EJERCICIO 3 : Dada las gráficas de las siguientes funciones, estudia sus propiedades: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


Solución: a Dom f 7, 5

Rec f = [-3,4] Puntos de corte con los ejes: OX: (-5,5;0); (-2,8,0), (0,0) OY: (0,0) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-7,5] Tendencia y periodicidad: No tiene Monotonía: Creciente [-7,-4) (-2,5] ; Decreciente (-4,-2) Extremos relativos: Máximo relativo (-4,4) y Mínimo relativo (-2,-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto (-4,4) y Mínimo absoluto (-7,-3) Curvatura: Cóncava (-6,-3) (0,5] y Convexa [-7,-6) (-3,0) Puntos de Inflexión: (-6,-1), (-3,2), (0,0)

b Dom f 4, )

Rec f = [-2,) Puntos de corte con los ejes: OX: (-2,7;0); (1,0), (5,5;0), (8,0), (13,0) y OY: (0;-1,2) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-4,) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-1,3) (7,10) (13,+) ; Decreciente [-4,-1) (3,7) (10,13) Extremos relativos: Máximos relativos (3,2), (10,1) y Mínimo relativo (-1,-2), (7,-1), (13,0) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (-1,-2) Curvatura: Cóncava [-4,-3) (0;5,2) (8,12) y Convexa (-3,0) (5,2;8) (12,+) Puntos de Inflexión: (-3;1,8), (5,2;0), (8,0), (12;0,8)

c Dom f (-, 10

Rec f = (-,12] Puntos de corte con los ejes: OX: (-10,0) OY: (0,6) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-,10] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiene a -, la función tiene a - Monotonía: Creciente (-,-6) (4,10] ; Constante (-6,4) Extremos relativos: No tiene Extremos absolutos: Máximo absoluto (10,12) y Mínimo absoluto no tiene Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

d Dom f (-,-1) (-1,+) = R – {-1}

Rec f = R Puntos de corte con los ejes: OX: (-3,5;0), (-1,3;0), (2,0) OY: (0,3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R – {-1}. En x = -1 es discontinua inevitable de salto finito (Salto 2) Tendencia y periodicidad: Cuando la x tiende a - la función tiende a +. Cuando la x tiende a +, la función tiende a -. Monotonía: Creciente (-2,5;-1) ; Decreciente (-;-2,5) (1,+) ; Constante (-1,1) Extremos relativos: Máximo relativo: No tiene y Mínimo relativo (-2,5;-3) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

e Dom f R Rec f = R

Puntos de corte con los ejes: OX: (-10,0), (-5,0), (-1,0), (1,0), (5,0) y OY: (0,1) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R Tendencia y periodicidad: Cuando la x tiende a -, la función tiende a -. Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-,-7) (-3,0) (3,+) ; Decreciente (-7,-3) (0,3) Extremos relativos: Máximos relativos (-7,4), (0,1) y Mínimos relativos (-3,-3), (3,-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: Cóncava (-,-5) (-1,1) y Convexa (-5,-1) (1,+) Puntos de Inflexión: (-5,0), (-1,0), (1,0)


f Dom f (-;1,5] Rec f = (-,3] Puntos de corte con los ejes: OX: (-1,5;0), (-0,5;0), (0,5;0), (1,5;0) y OY: (0,-3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-;1,5] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a - Monotonía: Creciente (-,-1) (0,1) ; Decreciente (-1,0) (1;1,5] Extremos relativos: Máximos relativos (-1,3), (1,3) y Mínimo relativo (0,-3) Extremos absolutos: Máximo absoluto: (-1,3) y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: Cóncava (-,-0,5) (0,5;1,5] y Convexa (-0,5;0,5) Puntos de Inflexión: (-0,5;0), (0,5;0)

g Dom f R

Rec f = R Puntos de corte con los ejes: OX: (-3,0), (2,0), (4,0) y OY: (0,3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a -. Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-,-2) (3,+) ; Constante (-2,0) ; Decreciente (0,3) Extremos relativos: Máximos relativos: No tiene y Mínimo relativo (3,-2) Extremos absolutos: No tiene Curvatura: Cóncava (0,3) y Convexa (3,+) Puntos de Inflexión: (3,-2)

h Dom f R – {-3}

Rec f = {-4} [-2,+) Puntos de corte con los ejes: OX: (-2,5;0); (-1,0), (1;0) y OY: (0,4) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R – {-3,1}. En x = -3 es discontinua inevitable de salto finito. En x = 1 es discontinua inevitable de salto finito (salto 4) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a 0. Cuando x tiende a +, la función tiende a -4. Asíntotas: Asíntota vertical x = -3 (Se va al infinito). Asíntota horizontal y = 0 Monotonía: Creciente (-,-3) (-1,5,0) ; Constante (1,+) ; Decreciente (-3;-1,5) (0,1] Extremos relativos: Máximos relativos (0,4) y Mínimo relativo (-1,5;-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto {(x,-4) / x (1,+)} Curvatura: Cóncava (-1,1) y Convexa (-,-3) (-3,-1) Puntos de Inflexión: (-1,0)

i Dom f 5, )

Rec f = [0,) Puntos de corte con los ejes: OX: (-5,0), (0,0) OY: (0,0) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-5,) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente [-5,-3) (0,+) ; Decreciente (-3,0) Extremos relativos: Máximos relativos (-3,3) y Mínimo relativo (0,0) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (-5,0), (0,0) Curvatura: Convexa (-3,0) Puntos de Inflexión: No tiene


EJERCICIO 4 : Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

Estudia sus propiedades. Solución: Completamos la tabla:

x 4 3 1 1 3 5

y 8 5 2 2 0 0

Propiedades: Dom f (-,5]

Rec f = [-4,+) Puntos de corte con los ejes: OX: (1.5;0), (3,0), (5,0) y OY: (0,2) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-,5] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a + Monotonía: Creciente (2,4) ; Constante (-2,1) ; Decreciente (-,-2) (1,2) (4,5] Extremos relativos: Máximos relativos (4,4) y Mínimo relativo (2,-1) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (2,-4) Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

EJERCICIO 5 : Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a Dom f 5, 6 b Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6]; decrece en el intervalo 3, 0.

c Es continua en su dominio. d Corta al eje X en los puntos 5, 0, 1, 0 y 4, 0. e Tiene un mínimo en 0, 2 y máximo en 3, 3 Solución:

EJERCICIO 6 : Una función, f, cumple las siguientes condiciones: a El dominio de definición son todos los valores de x 3. b Es continua en su dominio. c Crece en el intervalo 2, 3. d Pasa por los puntos 0, 0, 2, 3 y 3, 4. e Es constante para todos los valores de x 2.


Solución:

EJERCICIO 7 : Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a) Está definida en todo R b) Es continua. c) Corta al eje Y en 0, 6, pero no corta al eje X. d) Crece en 3, 0 y 3, . Decrece en , 3 y 0, 3.

e Su mínimo es 3, 1, y pasa por el punto 3, 2. Solución:

EJERCICIO 8 : Haz la gráfica de una función que cumpla:

a) Dominio de definición: R – {-1} b) Corta al eje X en x 2, x 0 y x 4. c) Crece en , 1 y 0, 2; y decrece en 1, 0 y 2, d) Tiene un máximo relativo en 2, 3. Solución:

EJERCICIO 9 : Desde su casa hasta la parada del autobús, María tarda 5 minutos la parada está a 200 m de su casa; espera durante 10 minutos, y al ver que el autobús tarda más de lo normal, decide ir andando a su lugar de trabajo, situado a 1 km de su casa. Al cuarto de hora de estar andando y a 300 m de su trabajo, se da cuenta de que el teléfono móvil se le ha olvidado en casa y regresa a buscarlo, tardando 10 minutos en llegar. Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. Solución:


EJERCICIO 10 : Eduardo se va de vacaciones a una localidad situada a 400 km de su casa; para ello decide hacer el recorrido en coche. La primera parada, de 30 minutos, la hace al cabo de hora y media para desayunar, habiendo realizado la mitad del recorrido. Continúa su viaje sin problemas durante 1 hora, pero a 100 km del final sufre una parada de 15 minutos. En total tarda 4 horas en llegar a su destino. Representa la gráfica tiempo-distancia recorrida. Solución:

EJERCICIO 11 : Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen unos grandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde marzo hasta junio los ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A partir de entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresos realizados al comienzo del año. Solución: Esta es una posible gráfica que describe la situación anterior:

EJERCICIO 12 : Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: A las 0 horas, la temperatura de una casa es de 15 C y, por la acción de un aparato que controla la temperatura, permanece así hasta las 8 de la mañana. En ese momento se enciende la calefacción y la temperatura de la casa va creciendo hasta que, a las 14:00 h, alcanza la temperatura máxima de 25 C. Paulatinamente, la temperatura disminuye hasta el momento en que se apaga la calefacción a las 10 de la noche volviendo a coincidir con la que había hasta las 8:00 horas. Solución:


EJERCICIO 13 : Construye una gráfica que describa la siguiente situación: Rosa tardó, esta mañana, 20 minutos en llegar desde su casa al supermercado situado a 2 km de su casa; después de 40 minutos comprando, regresó en taxi a su casa tardando 10 minutos en llegar. Tras permanecer 50 minutos en su casa, cogíó el coche para ir a una cafetería situada a 6 km, para lo cual tardó un cuarto de hora. Al cabo de hora y cuarto, volvió a coger el coche y regresó a su casa, tardando en esta ocasión media hora debido al tráfico. Solución:

Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 1

TEMA 5 – FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO 1 . Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 5x 6y 2 0. Represéntala gráficamente. Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y:

5 2 5 15 6 2 0 6 5 26 6 6 3

x y y x y x y x 5La pendiente es .6

m

1 La ordenada en el origen es .3

n

Puntos de corte con los ejes: 1 Eje 0,3

Y

X yx y x x

Eje 02 5 6 2 0 5 2 05 Luego

0,

52

EJERCICIO 2 : Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) 2x52y b)

23y c) x

35y

Solución: a Hacemos una tabla de valores:

x 0 5

y 2 0

3 3b) Es una recta paralela al eje que pasa por 0, .2 2

y X

5c) Pasa por el 0, 0 .3

y x

Basta dar otro punto para representarla: Si x 3 y 5


EJERCICIO 3 : Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas:

a) 2

5xy b)

21y c) 2x + 5y = 3 d) 2y – x + 3 = 0

Solución: Calculamos la pendiente de cada una de ellas:

5 1 5 12 2 2 2a

xy y x m

1 02 by m

3 2 22 5 3 5 3 25 5 5cx y y x y x m

1 3 12 3 0 2 32 2 2dy x y x y x m

Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente. Representamos ambas haciendo una tabla de valores:

5a 2

xy

y x 1 3d 2 2

EJERCICIO 4 : Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: 325xy

Solución: 1Observando que la pendiente de la recta es , lo más adecuado es tomar la escala en

25m el eje X de

25 en 25. Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y:

En el eje Y, tomamos la escala de 1 en 1.

EJERCICIO 5 : Representa las rectas siguientes:

a) y = -3,5x + 1 b) 45y c) y = - x

27

¿Qué relación hay entre las rectas a y c? Solución: a Hacemos una tabla de valores:


X

5b Es una recta paralela al eje que pasa por 0, .4

7c 2

y x

a y c son rectas paralelas, puesto que tienen la misma pendiente, m 3,5. EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1). ¿Cuál es la ordenada en el origen? Solución:

1 3 4Empezamos hallando su pendiente: 15 1 4

m

Ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y cuya pendiente es m 1 y + 3 1.( x 1) y x 4 La ordenada en el origen es n 4. EJERCICIO 7 : Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientes rectas y halla la ecuación de cada una de ellas:

Solución: Para calcular la ordenada en el origen, basta con observar el punto de corte de cada una de las rectas

con el eje Y: r1 n1 1 r2 n2 2 r3 n3 1 Calculamos la pendiente de cada una de ellas:

r1 m1 0

2 2

3 3

0 2 2 pasa por 0, 2 y 2, 0 12 0 2

3 0 1 1 2 pasa por 0, 1 y , 03 32 302 2

r m

r m

La ecuación de cada recta será:

r1 y 1 r2 y x – 2 32 13

r y x


EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2) y es paralela a la recta 7x 2y 1 0. Solución: Empezamos calculando el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2):

1 5 3 2 5 52 Punto medio: 2,2 2 2 2

x y P

La recta tiene la misma pendiente que 7x – 2y + 1 0 por ser paralelas: 7 1 72 7 12 2 2

y x y x m

Ecuación de la recta pedida:

5 7 2 Ecuación en la forma punto-pendiente2 2

y x 7 14 5 7 92 2 2 2 2

y x y x

EJERCICIO 9 : Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,-1) y B

0,

23

Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas. Solución:

1 2 Pendiente: 3 32

m

Observamos que los puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A(0, 1) se obtiene que n 1.

2Así, la ecuación de la recta es: 13

y x

2 La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será: 3

y x

EJERCICIO 10 : La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo rectángulo que se vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función.

Solución: Como corta al eje Y en (0, 3), entonces, n 3.

3Pendiente: 4

m

La ecuación de la recta es: 3 34

y x


Parábolas EJERCICIO 11 : Representa gráficamente las siguientes parábolas

a) 23xx

21y 2 b) 4x2x

41y 2 c) y 2x2 x 3 d) y 25x2 75x e) y x2 2x 1

Solución: a)

Vértice:

1 1 3 21 1 1 22 1 2 2 2

bx ya

El vértice es V1, 2.

Puntos de corte con los ejes:

3 3Con el eje 0 0,2 2

Y x y

2 21 3Con el eje 0 0 2 3 02 2

X y x x x x

32 4 12 2 4

2 21

x

Puntos de corte con el eje X: 3, 0 y 1, 0

Puntos próximos al vértice:

X -2 0 1 2 3 Y 5/2 -3/2 -2 -3/2 5/2

Representación

b)

Hallamos su vértice:

2 14 16 8 4 0 4, 01 424

x y V


2 21Con el eje 0 2 4 0 8 16 04

X y x x x x

8 64 64 8 4 4, 0 , que coincide, lógicamente, con el vértice.2 2

x

Con eje Y x 0 y 4 0, 4 Puntos próximos al vértice:

X 2 3 4 5 6 Y 1 1/4 0 1/4 1

Representación

c)

Calculamos su vértice:

1 2 1 25 1 253 ,4 16 4 8 4 8

x y V



Con eje Y x 0 y 3 0, 3

Con eje X y 0 2x2 x 3 0

321 1 24 1 25 1 5

4 4 41

x

3Los puntos de corte con el eje son: , 0 1, 02

X y


X -1 0 1/4 1 2 Y 0 -3 --25/8 -2 3

Representación:

d)

Hallamos el vértice:

75 3 225 225 225 3 225,50 2 4 2 4 2 4

x y V

Puntos de corte con los ejes: Con eje Y x 0 y 0 0, 0

Con eje X y 0

2

0 0, 025 75 0 25 3 0

3 3, 0

xx x x x

x

Tabla de valores para obtener puntos próximos al vértice:

X 0 1 3/2 2 4 Y 0 50 225/4 50 -100

Representación:

e)

Hallamos su vértice: 2 1 1 2 1 0 1, 02

x y V

Puntos de corte con los ejes: Con eje Y x 0 y 1 0, 1 Con eje X el único punto de corte será el vértice: 1, 0 Puntos próximos al vértice:

X -1 0 1 2 3 Y -4 -1 0 -1 -4

Representación:


EJERCICIO 12 : Halla las expresiones analíticas de estas parábolas: a) b) c)

Solución: a) La expresión analítica de ambas parábolas será de la forma y ax2 bx c, donde a, b, c son números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas. Ecuación de la parábola I:

Punto de corte con el eje Y: 0, 6 c 6 Vértice: V3, 3, que además es un punto de la parábola.

Así:

2

3 62 3 9 18 6 9 9 1 63 3 3 6

b b aa a a a a b

a b

La ecuación de la parábola I es: y x2 6x 6 Ecuación de la parábola II:

Corta al eje Y en 0, 1 c 1

V

1Vértice , 0 :2

2

1 a2 2 1 1 1 2 4

4 21 1 1 10 1 12 2 4 2

4 4

b ba

a a a aa b a b

a b

La expresión analítica de la parábola II es: y 4x2 4x 1 b) Sus ecuaciones serán de la forma y ax2 bx c, a, b, c, números reales. Ecuación de la parábola I:

Corta al eje Y en el punto 0, 5, luego: c 5

V

1El vértice es 3, , que así mismo es un punto de la parábola. Luego de aquí2

obtendremos dos

ecuaciones cuyas incógnitas son a y b:

2

3 6 12 9 18 521 13 3 5 9 3 5

2 2

b b aa a a

a b a b

1 19 5 1 18 10 9 18 32 2

a a a a b

21La ecuación de la parábola I es: 3 52

y x x


Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, 2 c 2

bV b a a a aa

a ba b a b

3 1 11, 1 2 22 2 2 2

13 1 12 22 2

La ecuación de la parábola II es: 21 22

y x x

c) Observamos que ambas son parábolas, luego sus ecuaciones serán de la forma y ax2 bx c, donde a, b, c son números reales. Ecuación de la parábola I: c 4 porque pasa por 0, 4. Vértice V4, 0, de donde sacamos dos ecuaciones:

4 8 116 32 4 16 4 2240 16 4 4

b b aa a a a ba

a b

21La ecuación de la parábola I es: 2 44

y x x

Ecuación de la parábola II:

c

3 3porque pasa por 0, .2 2

bV b aa a a b

a b a b

1 1, 12 2 2 2 2 21 1 31 4 2 64 2 2

2 3La ecuación de la parábola II es: 2 22

y x x

EJERCICIO 13 : Completa las expresiones de estas dos gráficas:

2a 12y x x

2b y x

Solución: Parábola a

Punto de corte con el eje Y: 0, 10 c 10

2, 22 12 4 3

212V b a a

ab

Ecuación de a: y 3x2 12x 10 Parábola b c 4 la ecuación será de la forma y ax2 4. Un punto de la parábola es el 1, 1, así:

1 a 4 a 3 La ecuación buscada es: y 3x2 4


EJERCICIO 14 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones:

a y x 52 b y 2x2 8x 1 c y 4x2 4 d y x2 8x 7

Solución: a IV b I c II d III EJERCICIO 15 : Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente: a y 2x2 8 b y x2 3x 10 c y x 22 d y 2x2 3x 1

Solución: a I b III c IV d II EJERCICIO 16 : Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a y x2 2x 3 b y x 12 c y 3x2 1 d y 2 x2

Solución: a III b I c II d IV


EJERCICIO 17 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones: a y x2 2x 4

b) 2

21xy

c) 2x41y 2

d) y = 2

27x

Solución: a III b II c IV d I EJERCICIO 18 : Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente: a y x2 3x b y x 32 c y 2 3x2

d) y = 1xx31 2

Solución: a I b IV c II d III Rectas y parábolas EJERCICIO 19 : Resuelve gráfica y analíticamente los sistemas siguientes:

a)

x1y3x2xy 2

b)

03yx5x4xy 2

c)

03y11x8x2y 2

Solución: a) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos:

x2 2x 3 1 x x2 3x 4 0

43 9 16 3 5

2 21

x

Si x 4 y 1 4 5 Si x 1 y 0 Las soluciones son: x 4, y 5 ; x 1, y 0

Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 2x 3:

Vértice:

2 1 1 2 3 42 2bx ya

1, 4V

Cortes con los ejes: Eje Y x 0 y 3 0, 3


2

12 4 12 2 4Eje 0 2 3 0

2 23

X y x x x

1, 0 y 3, 0

Valores en torno al vértice:

X -4 -2 -1 0 2 Y 5 -3 -4 -3 5

Representamos la recta y 1 x:

x 1 0

y 0 1

Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en 4, 5 y 1, 0.

b) Resolución analítica : Despejamos y de cada ecuación e igualamos:

22

2 2

34 5 4 533

3 12 15 3 3 13 18 03

xy x x x xxy x x x x x

13 169 216 13 47

6 6x El sistema no tiene solución.

Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 4x 5:

Vértice:

4 2 4 8 5 12 2

bx ya

V2, 1

Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 y 5 0, 5 Con el eje X y 0 x2 4x 5 0

x X

4 16 20 4 4 La parábola no corta al eje .2 2

Puntos próximos al vértice: X 0 1 2 3 4 Y 5 2 2 2 5

xy y x

3 1Representamos la recta 1.

3 3


x 0 3

y 1 0

Se observa en la gráfica que la parábola y la recta no se cortan. c) Resolución analítica : Se despeja y de cada ecuación y se igualan:

22

2 2

2 8 11 2 8 11 33 2 8 8 0 4 4 0

y x x x xy x x x x

x

4 16 16 4 2

2 2 La solución del sistema es: x 2, y 3

Resolución gráfica Se representa la parábola y 2x2 8x 11:

Vértice: bx

Vay

8 22, 32 4

8 16 11 3

Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 y 11 0, 11 Con el eje X y 0 2x2 8x 11 0

8 64 88 8 24 No corta al eje .

4 4x X


X 0 1 2 3 4 Y -11 -5 -3 -5 -11

Por otro lado, se representa la recta y 3, constante.

Hay un único punto de corte entre la recta y la parábola, que corresponde al punto 2, 3.


Funciones a trozos EJERCICIO 20 : Representa las funciones cuyas expresiones analíticas son:

a)

2x si 02x1- si 1x

-1x si 2y b)

4x si 6-x4x 0 si 3

0x si 3xy c)

6 x 2 si 72x-

2x1- si 1-

3x si 2

1x

y

d)

2x si 12x

2x 1 si 1-5x

1x si 23

y e)

1x si 61x 1- si 42x

-1x si 2y

f)

2x si 3

2x1- si 1x

-1x si 5x2

y 2 g)

1x si 4x

1x 2- si )4x4(31

-2x si 4

y

2

Solución: a) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -2 -1 -1 2 2 3 + Y -2 -2 -2 0 3 0 0 0

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

b) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -1 0 0 4 4 5 + Y - 2 3 3 3 -2 -1 +


c) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -5 -3 0 2 2 6 Y - -3 -2 -1 -1 3 -5



d) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - 0 1 1 2 2 3 + Y 1 1 1 4 9 5 7 +


e) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -2 -1 -1 1 1 2 + Y 2 2 2 2 6 6 6 +


f) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -2 -1 -1 -1/2 0 1 2 2 3 + Y - 1 3 0 -3/4 0 3 3 3 3


g) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -3 -2 -2 1 1 2 + Y -4 -4 -4 -4 0 -3 0 +



EJERCICIO 21 : Halla las expresiones analíticas de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: a) b) c) d)

Solución: a) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que forman la función:

Para x < 3, la recta es y = 2. Para 3 x 5, la recta pasa por (3, 2) y (5, 1):

3 3 3 15 3 131 5 12 2 2 2 2 2

m y x y x y x

Para x > 5, la recta es y 1.

Así pues, la expresión analítica de esa función es:

2 si 33 13 si 3 52 21 si 5

x

y x x

x

b) De cada tramo de la recta, buscamos la ecuación:

Para x < 0, la recta pasa por (1, 0) y (3, 2): 2 1 12

m y x

Si 0 x 2, la recta pasa por (0, 1) y (2, 2): 3 3 31 12 2 2

m y x y x

Para x > 2, la recta es y 2.

La expresión analítica de la función es:

1 si 03 1 si 0 222 si 2

x x

y x x

x

c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de recta que forman la función:

Para x < 1, la recta pasa por los puntos (2, 2) y (3, 3): m 1 y x Para 1 x < 1, la recta es y 1.

Para x 1, la recta pasa por (1, 1) y (2, 0): 1 1 1 2 21

m y x y x

La expresión analítica pedida es: si 1

1 si 1 12 si 1

x xy x

x x

d) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes:

Si x < 2, la recta es y 3. Si x 2, la recta es y 1. Si 2 x 2, la recta pasa por los puntos (1, 2) y (0, 1):

1 1 1 11

m y x y x

La expresión analítica de la función es: 3 si 2

1 si 2 21 si 2

xy x x

x


EJERCICIO 22 : Observa la gráfica de la función f, completa la siguiente tabla de valores y halla su expresión analítica:

Solución: Completamos la tabla observando la gráfica:

x 3 52

1 0 1 3

y 2 0 1 0 1 3

Para hallar la expresión analítica de la función f, buscamos la ecuación de cada tramo de recta:

5 Si < 2, la recta pasa por ( 3, 2) y , 0 :2

x

2 54 4 4 101 22

m y x y x

Si x 2, la recta pasa por (0, 0) y (1, 1): m 1 y x

La expresión analítica de la función f es: 4 10 si 2

si 2x x

yx x

Funciones de proporcionalidad inversa EJERCICIO 23 : Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) 4x

3y

b) 23x

1y

c) 5x7xy

Solución: a) Dominio de definición: R – {-4} Tabla de valores

X - -7 -5 -4- -4+ -3 -1 + Y 0 1 3 + - -3 -1 0

Las asíntotas son la recta y 0 y la recta x 4.

b) Dominio de definición: R – {3}

X - 1 2 3- 3+ 4 5 + Y -2 -1,5 -1 + - -3 -2,5 -2

Las asíntotas son las rectas x 3 e y 2.


c) 5x7xy

5x

21y

Dominio de definición: R – {5}

X - 3 4 5- 5+ 6 7 + Y -1 -2 -3 - + 1 0 -1

. Las asíntotas son las rectas x 5, y 1.

Funciones radicales EJERCICIO 24 : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = x31 b) y = 1x3 c) y = 13x2 Solución:

a) Dominio de definición: (-,0]

Hacemos una tabla de valores:

X - -3 -2 -1 0 Y - -2 -1,45 -0,73 -11

1b) Dominio de definición: ,3

Hacemos una tabla de valores:

X 1/3 1 2 3 + Y 0 1,41 2,24 2,83 +

c) Dominio de definición:

,

23

Tabla de valores:

X -3/2 -1 1/2 3 + Y -1 0 1 2 +

Funciones radicales y de proporcionalidad inversa

EJERCICIO 25 : Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

4x2y

2x2y

Solución: Representamos gráficamente cada una de las funciones: 2 2 Es una función radical.y x


Dominio de definición: 2, Tabla de valores:

X 2 3 6 11 + Y -1 2 4 6 +

yx

2 Es una función de proporcionalidad inversa.4

Dominio de definición: 4 Tabla de valores:

X - 2 3 4- 4+ 5 6 + Y 0 1 2 + - -2 -1 0

Las asíntotas son las rectas x 4, y 0.

En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: x 3 y 2 EJERCICIO 26

a) De la siguiente hipérbola, di cuál es su dominio, cuáles son sus asíntotas y represéntala: y = x13

b) Halla el valor de k para que el dominio de la función y = 1kx sea [4,+). Haz la representación gráfica.

Solución:

a Dominio de definición: 0

Tabla de valores en puntos próximos a x 0:

X - -2 -1 0- 0+ 1 2 + Y -3 -3,5 -4 - + -2 -2,5 -3 Luego las asíntotas son las rectas x 0, y 3.

b Para que el dominio de definición sean los valores de x 4, se necesita tomar k 4

así, x 4 0. Hacemos una tabla de valores

X 4 5 8 13 + Y 1 2 3 4 +


Exponenciales y logarítmicas EJERCICIO 27 : Representa las siguientes funciones haciendo en cada caso una tabla de valores: a y 20,5x b y log6 x Solución:

0,5 2a) 2 equivale a 2x

xy y

X - -4 -2 0 2 4 + Y 0 1/4 1/2 1 2 4 +

Se observa en la gráfica que es una función creciente, cosa que ya sabíamos puesto que

122 2 1.a

b

X 6- 6-2 6-1 60 61 62 6+

x 0+ 1/36 1/6 1 6 36 + y + +2 1 0 -1 -2 -

EJERCICIO 28 a Pon en forma exponencial 40,5x y representa la función y 40,5x.

b Comprueba si pertenecen a la gráfica de y log5 x los puntos 1, 2, 5, 1,

1,

51

, (3,-2) y

(25,2) Solución:

1

0,5 0,5 2a) 4 4 4 4 2x

xxx x

Representar la función y 40,5x equivale a representar la función y 2x. Hacemos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 + Y 0 1/4 1/2 1 2 4 +


b El dominio de definición de y log5 x es 0, , luego el punto 1, 2 no pertenece al dominio por ser x 1 0. El resto de puntos tienen abscisa positiva, luego pueden pertenecer a la gráfica de la función:

15

15

5,1 1 5 5 5Pertenecen a la gráfica.

1 1 1, 1 1 55 5 5

log

log

25 2

1 13, 2 2 3 5 3 No pertenece a la gráfica.255

log

log 2525, 2 2 25 5 25 Pertenece a la gráfica.

Los puntos que pertenecen a la gráfica son: 15,1 , , 1 y 25, 25

EJERCICIO 29

a Halla el valor de k y a para que la gráfica de y kax pase por los puntos 1, 6 y

43,2 .

Indica razonadamente si la función obtenida será creciente o decreciente, sin representarla. b Representa la función y 2 log7 x. Solución:

3a) pasa por los puntos 1, 6 y 2, :4

xy ka

12

3 312

36 3 1 143 6 24 8 24

ka ka a a akaka

1 16 6 6 3

2k k a k k

a

1 1La función es 3 , función decreciente por ser 1.2 2

x

y a

b

X 7- 7-2 7-1 70 71 72 7+

x 0 1/49 1/7 1 7 49 + y - 0 1 2 3 4 +

EJERCICIO 30 : Escribe el dominio de la función y 4x y represéntala gráficamente. Escribe la expresión analítica y representa la función inversa de y 4x. Solución: y 4x es una función exponencial su dominio son todos los números reales.

Hagamos una tabla de valores para representarla:

X - -2 -1 0 1 2 + Y 0 1/16 ¼ 1 4 16 +


La expresión analítica de la función inversa de y 4x es y log4 x, cuya tabla de valores será:

X 0 1/16 ¼ 1 4 16 + Y - -2 -1 0 1 2 +

EJERCICIO 31 a Construye la gráfica de y 0,7x y, apartir de ella, representa la función y 0,7x 2. b Indica cuál es el dominio de la función y log x y escribe tres puntos que pertenezcan a la

gráfica. Solución: a y 0,7x: función exponencial de base a 0,7 1, luego decrece en su dominio, que es . Hagamos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 + Y + 2,0 1,43 1 0,7 0,49 0

La función y 0,7x 2 se obtiene desplazando dos unidades hacia arriba la gráfica anterior, o lo que es igual, sumando 2 unidades a los valores obtenidos anteriormente para y.

b y log10 x dominio de definición: 0,

102

10

110

10,1 1 10100, 2 2 100 10 1001 1 1, 1 1 10

10 10 10

loglog

log

EJERCICIO 32 : Calcula, usando la definición de logaritmo, y sin calculadora:

a) 53 81log b) log 0,001 c)

641log4 d)

251log5 e) 4

5 5log f) 25log5

g) 37 49log h) 512log 2 i) 008,0log5 j) 4

2 4log k) 5,0log 2 l) 256log 2

m) log 01,0 n) 305log6 ñ) 243log 3

Solución:

4

5 45 53 3 3 3

1

4 4a 81 3 3 35 5

log log log log log log log 3

1

b 0,001 10 3 10 3

log log log log log 34 4 4 4 4

0 1

1c 1 64 4 3 4 364

d)

log log log log log 55 5 5 5 5

0 1

1a 1 25 5 2 5 225

e) 1

4 45 5 5

1

1 1b 5 5 54 4

log log log f log5 125 log5 53 3 log5 5 3


g)

log log log log 2

3 23 37 7 7 7

1

2 2a 49 7 7 73 3

h)log log log 9

2 2 21

b 512 2 9 2 9

i)

35 5 5 5 5

1

8 1c 0,008 5 3 5 31000 125

log log log log log

j) 2 1

4 24 4 22 2 2 2 2

1

1 1a 4 2 2 2 22 2

log log log log log

k) log log log log 12 2 2 2

1b 0,5 2 1 2 12

l)c log2 256 log2 28 8 log2 2 8

m) log log log log

12 2

1

1 1 2a 0,01 10 10 1100 2 2

n)

16 6 6 6

1

5 1b 6 1 6 130 6

log log log log ñ) 5

3 3 3

1

c 243 3 5 3 5log log log

EJERCICIO 33 : Resuelve estas ecuaciones:

a) 1255 1x2 2

b) 3)3x5(log 3 c) 1x6x2 25,02 d) 0)xx2(log 25

e) 256x5

2

749

f) 2)1x(log 2 g) 33x-1 = 9x+6 h) log2 (x2-5x+8) = 2

i) 14 x8x2

j) log (11x – 1) = -1 Solución: a Expresamos como potencia de 5 el segundo miembro e igualamos los exponentes:

2 22 1 2 1 3 2 2 25 125 5 5 2 1 3 2 2 1 1x x x x x x

b Aplicamos la definición de logaritmo: log3 5x 3 3 5x 3 33 5x 3 27 5x 30 x 6 Comprobación de la solución log3 5 6 3 log3 27 log3 33 3 log3 3 3 Solución válida

c Expresamos el segundo miembro como potencia de 2. A continuación, igualamos exponentes:

12 6 12

4

xx

x x

xx x x x x

x x x x

12 2 22 22 6 2 6 2 6 1 2 6 2 21 12 2 2 2 2 2

2 2

2 6 2 2 4 8 2

d log5 2x2 x 0, aplicando la definición de logaritmo, equivale a 2x2 x 50

2x2 x 1 2x2 x 1 0

11 1 8 1 3

4 42 14 2

x

Comprobación de las soluciones Si x 1 log5 2 1 log5 1 0 x 1 es solución.

x log log log x

5 5 51 1 1 1 1 1Si 2 1 0 también es solución.

2 4 2 2 2 2

e) Expresamos el primer miembro como potencia de 7 e igualamos exponentes:

2 2 26 6 2 6

5 2 2 25 25 25 5 25 2 6 2 649 7 7 7 7 75 25 5 25

x x xx x

2 4 225 5

x x

f Aplicando la definición de logaritmo, se obtiene:

log x x x x x 22

1 1 51 2 1 2 1 14 4 4


Comprobación de la solución:

22 2 2 2

5 11 2 2 2 2 válida4 4

log log log log

x 5La solución es: 4

g Expresamos como potencia de 3 el segundo miembro e igualamos exponentes:

53 1 5 3 1 2 3 1 2 103 9 3 3 3 3 3 1 2 10 11

xx x x x x x x x

h log2 x2 5x 8 2 x2 5x 8 22 hemos aplicado la definición de logaritmo

x2 5x 8 = 4 x2 5x 4 = 0

45 25 16 5 9 5 3

2 2 21

x

Comprobación de las soluciones Si x 4 log2 16 20 8 log2 4 log2 22 2 log2 2 2 x 4 es solución. Si x 1 log2 1 5 8 log2 4 log2 22 2 log2 2 2 x 1 es solución.

i) 2 23 3 0a 4 1 equivale a 4 4x x x x

Igualando exponentes: x2 3x 0 x x 3 0 Luego x 0 y x 3 son las soluciones.

j log 11x 1 1 equivale a 11x 1 101 hemos aplicado la definición de logaritmo

1 1 11 111 1 11 1 11

10 10 10 10x x x x

Comprobación de la solución

111 11 10 1 10 110 10

1La solución es válida.10

log log log log

x

Problemas EJERCICIO 34 : Colocamos en el banco 25 000 € al 5 de interés anual. a Escribe la función que expresa el capital acumulado en función del tiempo, t, que permanezca el

dinero en el banco. b ¿Cuánto tardará el dinero en duplicarse? Solución: a C capital acumulado

5 de interés anual significa que el capital que hay a principios de año se multiplica por 1,05 al final. La expresión que da el capital acumulado al cabo de t años es: 25000 1,05 0tC t

b Nos piden calcular t para que el capital se duplique: 25 000 1,05t 50 000 1,05t 2 t 15 años Tardará en duplicarse, aproximadamente, 15 años.

EJERCICIO 35 : Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin que sobre ni falte nada. a Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados b Representa gráficamente la expresión anterior. c ¿Cuál es el dominio de definición? d ¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima? Solución: Las dimensiones de la finca son x, 21 x. a A área de la finca

La expresión analítica buscada es Ax x 21 x Ax x2 21x, que es una función cuadrática.

b Será una parábola abierta hacia abajo:

21 441 441 441Vértice: 110,252 4 2 4

x y V 10,5; 110,25



2

0Eje 0 21 0 21 0

21

xX y x x x x

x

0, 0 y 21, 0

Eje Y x 0 y 0 0, 0

Tabla de valores: X 5 10 10,5 15 20 Y 80 110 110,25 90 20

c Por ser x una longitud y Ax un área, la gráfica corresponde solo al primer cuadrante. Dominio de definición: 0, 21

d El área es máxima en el vértice, y mide 110,25 m2. Se obtiene tomando como lados x 10,5 m y 2110,5 = 10,5 m es decir, el área es máxima si la finca es cuadrada.

EJERCICIO 36 : Expresa el lado de un cuadrado en función de su área. ¿Qué tipo de función obtienes? ¿Cuál es su dominio? Represéntala gráficamente. Solución:

2área del cuadradolado del cuadrado

AA l l A

l

La función obtenida es una función radical. Dominio de definición 0, Para representarla gráficamente, hacemos una tabla de valores:

X 0 1 4 9 + Y 0 1 2 3 +

EJERCICIO 37 : Una central nuclear tiene 1 kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada 5 años. a ¿Qué cantidad de esa sustancia tendremos al cabo de 10 años? b ¿Cuál es la función que da la cantidad de sustancia radiactiva según los años transcurridos,

suponiendo que el ritmo de desintegración se mantiene? Solución: a Al cabo de 5 años habrá 0,5 kg de sustancia radiactiva, luego al cabo de 10 años habrá 0,25 kg 250 g

de sustancia radiactiva. b Llamamos C cantidad de sustancia radiactiva kg

t tiempo años

La función que describe el problema es: 5

511 0,52

tt

C t C t

EJERCICIO 38 : María se quiere comprar una parcela rectangular que tenga como área 1 200 m2. a Escribe la función que da el ancho de la finca en función del largo. b Haz la gráfica correspondiente. Solución: a Llamamos x largo de la finca

y ancho de la finca


1200El área de la finca será = 1200 x y y

x

b Puesto que x e y son longitudes, ambas han de ser positivas, luego el dominio de definición será 0,

Hacemos una tabla de valores para

representarla:

X 0+ 200 400 600 + Y - 6 3 2 0

Recopilación EJERCICIO 39 : a Representa esta función: 2x 5y 2 0 b Asocia a cada una de las gráficas, una de las siguientes expresiones

1. y x2 2. y x 12 3. y 4x2 2 4. y 2x2 x Solución: a 2x 5y 2 0 Hacemos una tabla de valores:

b 1 II 2 IV 3 III 4 I

EJERCICIO 40 : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A1, 3 y B5, 4, y haz su gráfica. b Halla la ecuación de la siguiente parábola:

Solución:

a Calculamos el valor de la pendiente: 3 4 7 71 5 6 6

m


La ecuación será de la forma:

7 7 113 16 6 6

y x y x

7 11La representación gráfica de la recta es:6 6

y x

b Por ser una parábola, su ecuación será de la forma: y ax2 bx c Por ser el punto de corte con el eje Y el 0, 10 c 10 Para calcular a y b, observamos que la parábola pasa por los puntos 2, 0 y 5, 0: 0 4 2 10 2 50 25 5 10 5 2

7 7 1

a b a ba b a b

a a

Luego b 5 2 3 b 3 Por tanto, la ecuación de la parábola es: y x2 3x 10

EJERCICIO 41 : a Halla la ecuación de la recta representada:

b Representa esta parábola: y x2 8x 9 Solución: a Por ser una recta, su ecuación será de la forma: y mx n

Como pasa por 0, 1 n 1 2Además, (3, 3) es un punto de la gráfica 3 3 13

m m

La ecuación buscada es: 2 13

y x

b Calculamos el vértice que tiene la parábola y x2 8x 9 :

8 4 16 32 9 25 4, 252 2

bx y Va

Puntos de corte con los ejes: Eje Y x 0 y 9 0, 9

2

98 64 36 8 10Eje 0 8 9 0

2 21

X y x x x

La parábola corta al eje X en 9, 0 y 1, 0.

Tabla de valores en torno al vértice:

X 1 2 4 5 6 Y -16 -21 -25 -24 -7


EJERCICIO 42 : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por (1,2) y cuya pendiente es m = 2/3. Represéntala gráficamente. b Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones:

1. y 2x2 1 2. 2xy

2 3. y 5x2 2x 1 4. y x 32

Solución:

a Ecuación punto-pendiente: 2 2 2 2 42 1 23 3 3 3 3

y x y x y x

b 1 II 2 III 3 IV 4 I

EJERCICIO 43 : a Halla la ecuación de la recta dada por la siguiente gráfica:

b Representa la parábola siguiente: y x2 8x 12 Solución: a La ecuación de la recta será de la forma: y mx n

1 1Por ser el punto de corte con el eje 0,2 2

Y n

Además, la recta pasa por 1, 0, luego:

1 102 2

m m

Por tanto, la ecuación es:

1 12 2

y x

b y x2 8x 12

8Vértice 4 16 32 12 4 4, 42 2bx y Va

Puntos de corte con los ejes: Eje Y x 0 y 12 0, 12

2 8 64 48 8 16Eje 0 8 +12 02 26

8 42

2

X y x x x

Los puntos de corte con el eje X son 6, 0 y 2, 0.


Tabla de valores en torno al vértice:

X 1 3 4 5 7 Y 5 -3 -4 -3 5

EJERCICIO 44 : Asocia cada gráfico con una de estas expresiones:

a) y = 21x

4

b) y log2 (x 1) c) y =

x

31

d) y = 21x2

Solución: a) II b) IV c) III d) I EJERCICIO 45 : Asigna a cada gráfica, la expresión que le corresponde:

a) y 3,2x b) y 3 logx c) y = 5x2

2

d) y = -1 + 2x4

Solución: a) III b) IV c) II d) I EJERCICIO 46 : Relaciona cada gráfica con su expresión correspondiente:

a) y = 3x5 b) y = - x

94

c) y log3 (x 1) d) y = 1x4

1

Solución: a) I b) III c) IV d) II


EJERCICIO 47 : Asocia cada gráfica con una de estas expresiones:

a) y 1 log5 2x b) y 1,7x c) y = 2 7x d) y = 31x

2

Solución: a) IV b) III c) I d) II EJERCICIO 48 : Asocia cada gráfica con la expresión que le corresponda:

a) y 0,8x b) y = 1 - 5x c) y = 2x

1

d) y 3 log6 (x 2)

Solución: a) III b) I c) II d) IV EJERCICIO 49 : Asocia a cada gráfica la expresión que le corresponde: a) y = 3 + 1x

b) y = -2 + 3x

1

c) y = x

31

d y log3 x

Solución: a I b IV c III d II EJERCICIO 50 : Asocia a cada gráfica una de estas expresiones: a) y = - 3x

b) y = 2x4

c 1,7x

d y log5 x

Solución: a III b IV c I d II


EJERCICIO 51 : Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones: a y log7 x

b) y = 1x

c) x1

2y

d) y = x

32

Solución: a III b I c IV d II EJERCICIO 52 : Asocia a cada gráfica una de estas expresiones: a) y = 1 + x

b y 5x

c y log3 x 1

d) y = x3

Solución: a II b III c I d IV EJERCICIO 53 : Relaciona cada gráfica con la expresión analítica correspondiente: a y 2,5x

b) y = 11x

2

c y 1 log2x

d) y = x2,0

Solución: a II b I c III d IV

Tema 9 – Estadística – Matemáticas B – 4º E.S.O. 1

TEMA 9 – ESTADÍSTICA TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS E N VARIABLES DISCRETAS EJERCICIO 1 : En un grupo de personas hemos preguntado por el número medio de días que practican deporte a la semana. Las respuestas han s ido las siguientes: 4 2 3 1 3 7 1 0 3 2

6 2 3 3 4 6 3 4 3 6

a)))) Haz una tabla de frecuencias. b)))) Representa gráficamente la distribución. Solución: a)

xi fi

0

1

2

3

4

6

7

1

2

3

7

3

3

1

20

b)

EJERCICIO 2 : Las notas obtenidas en un examen de matemáticas realizado en una clase de 4º ESO han sido las siguientes: 4 5 7 5 8 3 9 6 4 5

7 5 8 4 3 10 6 6 3 3

a)))) Ordena los datos en una tabla de frecuencias. b)))) Representa gráficamente la distribución. Solución: a)

x i f i

3

4

5

6

7

8

9

10

4

3

4

3

2

2

1

1

20

b)


TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS E N VARIABLES DISCRETAS, TRATADAS COMO CONTINUAS EJERCICIO 3 : En una clase de 4º ESO hemos preguntado a las al umnas y a los alumnos por las horas de estudio que dedican a la semana. Estas han sido las respuestas: 16 11 17 12 10 5 1 8 10 14

15 20 3 2 5 12 7 6 3 9

10 8 10 6 16 16 10 3 4 12

a)))) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agr upándolos en intervalos de la forma que creas más conveniente.

b)))) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (horas de estudio) es continua. Además, entre los

datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 1 y el mayor es 20; su diferencia es 20 − 1 = 19. Por tanto, podemos tomar 7 intervalos de longitud 3, empezando en 0:

INTERVALO FRECUENCIA

[0, 3)

[3, 6)

[6, 9)

[9, 12)

[12, 15)

[15, 18)

[18, 21)

2

6

5

7

4

5

1

30

b)

EJERCICIO 4 : Hemos ido apuntando la edad de cada uno de los c omponentes de un grupo de 30 personas, obteniendo estos datos: 24 3 29 6 5 17 25 24 36 42

30 16 14 12 8 4 8 37 32 40

37 26 28 15 17 41 20 18 27 42

a)))) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más conveniente.

b)))) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (la edad) es continua. Además, entre los datos que tenemos hay

una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 3 y el mayor es 42; su diferencia es 42 − 3 = 39. Así, podemos tomar 9 intervalos de longitud 5, empezando en 0:


[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

[25, 30)

[30, 35)

[35, 40)

[40, 45)

2

4

2

5

3

5

2

3

4

30

b)


RECOPILACIÓN: TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIO NES GRÁFICAS EJERCICIO 5 : Al preguntar a 20 familias sobre el número de dí as a la semana que van a hacer la compra, las respuestas han sido las siguientes: 1 2 2 4 6 1 6 1 2 3

5 2 6 3 1 4 1 6 1 2

a)))) Elabora una tabla de frecuencias. b)))) Representa la distribución con el gráfico adecuad o. Solución: a)

xi fi

1

2

3

4

5

6

6

5

2

2

1

4

20

b)

EJERCICIO 6 : En una maternidad se han tomado los pesos, en ki logramos, de 20 recién nacidos:

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

2 8 3 2 3 8 2 5 2 7 2 9 3 5 3 0 3 1 2 2

3 0 2 6 1 8 3 3 2 9 3 7 1 9 2 6 3 5 2 3

a)))) Construye una tabla de frecuencias. b)))) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (el peso) es continua. Además, entre los datos que

tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 1,8 y el mayor es 3,8; su diferencia es 3,8 – 1,8 = 2. Por tanto, podemos tomar 6

intervalos de longitud 0,4; empezando por 1,5:


[1,5; 1,9)

[1,9; 2,3)

[2,3; 2,7)

[2,7; 3,1)

[3,1; 3,5)

[3,5; 3,9)

1

2

4

6

3

4

20

b)


MEDIA, DESVIACIÓN TÍPICA Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN EN VARIABLES DISCRETAS EJERCICIO 7 : El número de ordenadores que hay en los hogares de un grupo de personas, A, viene dado en la siguiente tabla:

Nº DE ORDENADORES 0 1 2 3 4

Nº DE PERSONAS 15 22 10 2 1

a)))) Halla la media y la desviación típica de esta dis tribución. b)))) Haciendo el mismo estudio en otro grupo, B, de personas, la media ha sido de 2,1 y la

desviación típica de 0,92. Calcula el coeficiente d e variación en los dos casos y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.

Solución:

xi fi fi xi 2

i if x

0

1

2

3

4

15

22

10

2

1

0

22

20

6

4

0

22

40

18

16

50 52 96

a)

Media: 52

1,0450

i if xx

n

∑= = ≈

22 2

Desviación típica:

96σ 1,04 0,8384 0,92

50i if x

xn

∑= − = − ≈ ≈

σ 0,92b) C.V. 0,8846

1,04 La variación relativa es

σ mayor en .0,92C.V. 0,438

2,1

AA

A

BB

B

x

A

x

= = ≈ = = ≈

MEDIA, DESVIACIÓN TÍPICA Y COEFICIENTE DE VARIACIÓ N EN VARIABLES CONTINUAS EJERCICIO 8 : Midiendo el peso, en kilogramos, de los niños y las niñas de un determinado grupo, todos ellos de la misma edad, hemos obtenido los si guientes resultados:

PESO ((((kg )))) [[[[10, 13)))) [[[[13, 16)))) [[[[16, 19)))) [[[[19, 22)))) [[[[22, 25))))

Nºººº DE NIÑOS/AS 6 50 32 9 3

a)))) Calcula la media y la desviación típica. b)))) En cuanto al peso, ¿es un grupo homogéneo o es di sperso? Solución: a) Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:

INTERVALO xi fi fi xi 2

i if x

[10, 13)

[13, 16)

[16, 19)

[19, 22)

[22, 25)

11,5

14,5

17,5

20,5

23,5

6

50

32

9

3

69,0

725,0

560,0

184,5

70,5

793,50

10 512,50

9 800,00

3 782,25

1 656,75

100 1 609,0 26 545,00

Media: 1609

16,09100

i if xx

n∑= = =


22 226545

16,09 6,5619 2,56100

i if xx

n∑σ = − = − = ≈

El peso medio de los niños es 16,09 kg, con una

desviación típica de 2,56 kg.

b) Es un grupo bastante homogéneo (σ = 2,56 kg).


COEFICIENTE DE VARIACIÓN. ESTUDIO DE LA DISPERSIÓN EJERCICIO 9 : En un grupo, A, de personas, la estatura media es 165 cm, con un a desviación típica de 10,5 cm. En otro grupo, B, la estatura media es 140 cm y su desviación típi ca, 8,4 cm. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos. Solución:

10,50636 6,36C.V. 0, %

165

8,4C.V. 0,06 6%

140

AA

A

BB

B

x

x

σ →= = = σ = = = →

La dispersión es algo mayor en el grupo A.

MEDIA, DESVIACIÓN TÍPICA Y PORCENTAJE EJERCICIO 10 : Las notas obtenidas en un examen de matemáticas por las alumnas y los alumnos de una clase de 4º ESO vienen reflejadas en esta ta bla:

NOTA 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nºººº ALUMNOS/AS 1 2 3 5 4 6 4 3 2

a)))) Calcula la media y la desviación típica.

( )b) ¿Qué porcentaje de alumnos/as hay en el intervalo σ, σ ?x x− +− +− +− +

Solución:

xi fi fi xi 2f xi i

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

5

4

6

4

3

2

2

6

12

25

24

42

32

27

20

4

18

48

125

144

294

256

243

200

30 190 1 332

a)

Media: 190

6,3330

i if xx

n

∑= = ≈

Desviación típica: 2

2 213326,33 4,33 2,08

30i if x

xn

∑σ = − = − = ≈

La nota media de la clase es 6,33, con una desviación típica de 2,08.

b) 4,25

8,41

x

x

− σ = + σ =

En el intervalo (4,25; 8,41) hay 19

alumnos, que representan un 63,33% del total.

EJERCICIO 11 : Se ha preguntado a las alumnas y a los alumnos d e una clase de 4 O ESO por el tiempo que tardan en llegar desde su casa hasta el instituto. Las respuestas se recogen en esta tabla:

TIEMPO ((((MINUTOS)))) [[[[0, 5)))) [[[[5, 10)))) [[[[10, 15)))) [[[[15, 20)))) [[[[20, 25))))

Nºººº ALUMNOS/AS 10 6 9 3 2

Calcula la media y la desviación típica de esta dis tribución. Solución: Hallamos la marca de clase, xi , de cada intervalo y hacemos la tabla de frecuencias:


INTERVALO xi fi fi xi 2f xi i

[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

10

6

9

3

2

25

45

112,5

52,5

45

62,5

337,5

1 406,25

918,75

1 012,5

30 280 3 737,5

Media: 280

9,3330

i if xx

n

∑= = ≈

Desviación típica: 2

2 23737,59,33 37,53 6,13

30i if x

xn

∑σ = − = − = ≈

Los alumnos y las alumnas tardan, por término medio, 9,33 minutos, con una desviación típica de 6,13 minutos.

RECOPILACIÓN: MEDIA, DESVIACIÓN TÍPICA Y COEFICIENT E DE VARIACIÓN EJERCICIO 12 : El tiempo medio empleado por el tren en recorrer un cierto trayecto es de 25 minutos, con una desviación típica de 5 minutos. Ha ciendo el mismo trayecto en coche, el tiempo medio ha sido de 35 minutos, con una desviación típ ica de 15 minutos. Calcula el coeficiente de variación y di en cuál de los dos casos hay mayor v ariación relativa. Solución:

11

1

5C.V. 0,2 en el caso del tren

25xσ= = =

22

2

15C.V. 0,43 en el caso del coche

35xσ= = ≈

La variación relativa es mayor en el segundo caso. EJERCICIO 13 : Al finalizar el curso, el número de asignaturas suspensas en un grupo, A, de 35 alumnos/as se reflejaba en la siguiente tabla:

Nºººº DE SUSPENSOS 0 1 2 3 4 5 6

Nºººº ALUMNOS/AS 10 8 6 5 3 2 1

a) Calcula el número medio de suspensos y la desvi ación típica. b) En otro grupo, B, el número medio de suspensos fue de 3, con una d esviación típica de 2,4.

Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos. Solución:

xi fi fi xi 2f xi i

0

1

2

3

4

5

6

10

8

6

5

3

2

1

0

8

12

15

12

10

6

0

8

24

45

48

50

36

35 63 211

Media:63

1,835

i if xx

n

∑= = =

Desviación típica:2

2 22111,8 2,7886 1,67

35i if x

xn

∑σ = − = − ≈ ≈

El número medio de asignaturas suspensas fue de 1,8; con una desviación típica de 1,67.

1,67b) C.V. 0,9278 92,78%

1,8 La dispersión es mayor

en el grupo .2,4C.V. 0,8 80%

3

AA

A

BB

B

x

A

x

σ = = ≈ → σ = = = →


EJERCICIO 14 : Midiendo el tiempo ((((en minutos )))) que han tardado los participantes de una carrera e n llegar a la meta, hemos obtenido los siguientes res ultados.

TIEMPO ((((min )))) [[[[20, 23)))) [[[[23, 26)))) [[[[26, 29)))) [[[[29, 32)))) [[[[32, 35))))

Nºººº DE CORREDORES 1 5 29 9 6

a)))) Calcula el tiempo medio empleado por los corredor es y la desviación típica. b)))) En cuanto al tiempo empleado en la carrera, ¿es u n grupo homogéneo o es disperso?

Solución: a) Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:

INTERVALO xi fi fi xi 2

i if x

[20, 23)

[23, 26)

[26, 29)

[29, 32)

[32, 35)

21,5

24,5

27,5

30,5

33,5

1

5

29

9

6

21,5

122,5

797,5

274,5

201,0

462,25

3 001,25

21 931,25

8 372,25

6 733,50

50 1 417,0 40 500,50

Media:1417

28,3450

i if xx

n∑= = =


22 240500,5

28,34 6,8544 2,6250

i if xx

n∑σ = − = − = ≈

El tiempo medio es de 28,34 minutos, con una

desviación típica de 2,62 minutos.

b) Es un grupo bastante homogéneo (σ = 2,62 minutos). PARÁMETROS ESTADÍSTICOS EN VARIABLES DISCRETAS: MED IANA, CUARTILES Y PERCENTILES EJERCICIO 15 : El dinero, en euros, del que suelen disponer sem analmente un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es: 10 - 15 - 12 - 20 - 25 - 18 - 12 - 30 - 22 - 19 - 18 - 15 - 13 - 20 - 24 Calcula razonadamente la mediana, los cuartiles y e l percentil 40. Solución: Colocamos ordenadamente los datos: 10 - 12 - 12 - 13 - 15 - 15 - 18 - 18 - 19 - 20 - 20 - 22 - 24 - 25 - 30 Hay 15 individuos:

o o157,5 estará entre el 7 y el 8 ; como ambos son 18,

2 entonces 18.

Me

Me

= →

=

o o1 1

153,75 estará entre el 3 y el 4 12,5

4Q Q= → → =

o o3 3

315 11,25 estará entre el 11 y el 12 21

4Q Q⋅ = → → =

40

4015 6 15

100p⋅ = → =


EJERCICIO 16 : Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el n úmero de lanzamientos que necesitamos hasta obtener por primera vez cara. Rea lizamos el experimento 100 veces, con los siguientes resultados:

LANZAMIENTO EN EL QUE SALE CARA 1 2 3 4 5 6

Nºººº DE VECES QUE HA OCURRIDO 48 25 16 4 5 2

Calcula Me, Q1, Q3 y p30. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:

xi fi Fi en %

1 48 48 48

2 25 73 73

3 16 89 89

4 4 93 93

5 5 98 98

6 2 100 100

Me = p50 = 2 porque para xi = 2, la Fi supera el 50%. Q1 = p25 = 1 porque para xi = 1, la Fi supera el 25%. Q3 = p75 = 3 porque para xi = 3, la Fi supera el 75%. p30 = 1 porque para xi = 1, la Fi supera el 30%.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS EN VARIABLES CONTINUAS: MED IANA, CUARTILES Y PERCENTILES EJERCICIO 17 : En una gasolinera estudian el número de vehículo s que repostan a lo largo de un día, obteniendo:

HORAS [[[[0, 4)))) [[[[4, 8)))) [[[[8, 12)))) [[[[12, 16)))) [[[[16, 20)))) [[[[20, 24))))

Nºººº DE VEHÍCULOS 6 14 110 120 150 25

Calcula gráfica y numéricamente Me y Q3. Solución: Construimos el polígono de frecuencias acumuladas:

EXTREMOS Fi en %

0 0 0

4 6 1,41

8 20 4,71

12 130 30,59

16 250 58,82

20 400 94,12

24 425 100

Gráficamente, observamos que: 8,17;8,14 3 ≈≈ QMe


Obtengamos los valores exactos, razonando sobre el polígono de frecuencias: Me: Q3:

28,23 19,41

42,75

12 2,75 14,75

xx

Me

=

== + =

3

35,3 16,184

1,83

16 1,83 17,83

xx

Q

=

== + =

Los valores exactos son: Me = 14,75; Q3 = 17,83 EJERCICIO 18 : El tiempo empleado, en minutos, por los trabajad ores de cierta empresa en ir de su casa al trabajo viene reflejado en la siguiente tab la:

TIEMPO [[[[0, 15)))) [[[[15, 30)))) [[[[30, 45)))) [[[[45, 60)))) [[[[60, 75)))) [[[[75, 90))))

Nºººº DE TRABAJADORES 10 23 32 5 6 4

Calcula gráfica y numéricamente Me y Q3. Solución: Construimos el polígono de frecuencias acumuladas:

EXTREMOS Fi en %

0 0 0

15 10 12,50

30 33 41,25

45 65 81,25

60 70 87,50

75 76 95

90 80 100

Gráficamente, observamos que: 43;33 3 ≈≈ QMe Obtengamos los valores exactos, razonando sobre el polígono de frecuencias: Me: Q3:

28,3328,33028,3

75,81540

=+==

=

Mex

x

66,4266,123066,12

75,331540

3 =+==

=

Qx

x

Los valores exactos son: Me = 33,28; Q3 = 42,66


RECOPILACIÓN: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS: MEDIANA, CUA RTILES Y PERCENTILES EJERCICIO 19 : Las puntuaciones de 50 alumnos en un examen han sido las siguientes:

PUNTUACIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nºººº DE ALUMNOS 1 1 4 6 10 12 8 6 1 1

Calcula Me , Q1 , Q3 y p80. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:

xi fi Fi en %

1 1 1 2

2 1 2 4

3 4 6 12

4 6 12 24

5 10 22 44

6 12 34 68

7 8 42 84

8 6 48 96

9 1 49 98

10 1 50 100

Me = p50 = 6 porque para xi = 6, la Fi supera el

50%.

Q1 = p25 = 5 porque para xi = 5, la Fi supera el

25%.

Q3 ¿ p75 = 7 porque para xi = 7, la Fi supera el

75%.

p80= 7 porque para xi = 7, la Fi supera el 80%.

EJERCICIO 20 : Los ingresos por ventas en millones de euros en 500 empresas vienen reflejados en la siguiente tabla:

INGRESOS [[[[1, 2)))) [[[[2, 3)))) [[[[3, 4)))) [[[[4, 5)))) [[[[5, 6)))) [[[[6, 7))))

Nºººº DE EMPRESAS 50 80 170 90 56 54

Halla gráfica y numéricamente Me y Q1. Solución: Construimos el polígono de frecuencias acumuladas:

EXTREMOS Fi en %

1 0 0

2 50 10

3 130 26

4 300 60

5 390 78

6 446 89,2

7 500 100

Gráficamente, observamos que: 13,7; 2,95Me Q≈ ≈ Obtengamos los valores exactos, razonando sobre el polígono de frecuencias: Me: Q1:

34 241

0,71

3 0,71 3,71

xx

Me

=

== + =

94,294,02

94,0

151

16

1 =+==

=

Q

xx

Los valores exactos son Me = 3,71; Q1 = 2,94


EJERCICIO 21 : Anotando la última cifra que ha salido en un sor teo que se realiza diariamente, hemos obtenido los siguientes resultados:

ÚLTIMA CIFRA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nºººº DE VECES 28 35 28 29 45 32 37 45 25 61

Calcula Me, Q1, Q3 y p90. Solución:

xi fi Fi en %

0 28 28 7,67

1 35 63 17,26

2 28 91 24,93

3 29 120 32,88

4 45 165 45,21

5 32 197 53,97

6 37 234 64,11

7 45 279 76,44

8 25 304 83,29

9 61 365 100

Me = p50 = 5

porque para xi = 5, la Fi supera el 50%.

Q1 = p25 = 3


Q3 = p75 = 7


p90 = 9 porque para xi = 9, la Fi supera el 90%.

EJERCICIO 22 : El consumo de combustible, en litros, de los aut obuses de una empresa viene dado en la siguiente tabla:

CONSUMO [[[[0, 10)))) [[[[10, 20)))) [[[[20, 30)))) [[[[30, 40)))) [[[[40, 50)))) [[[[50, 60))))

AUTOBUSES 8 12 10 14 20 16

Halla gráfica y numéricamente Me y Q3. Solución: Construimos el polígono de frecuencias acumuladas:

EXTREMOS Fi en %

0 0 0

10 8 10

20 20 25

30 30 37,5

40 44 55

50 64 80

60 80 100

Gráficamente, observamos que: 337; 48Me Q≈ ≈ Obtengamos los valores exactos, razonando sobre el polígono de frecuencias: Me: Q3 :

17,5 12,510

7,14

30 7,14 37,14

xx

Me

=

== + =

48840

8

201025

3 =+==

=

Q

xx

Los valores exactos son: Me = 37,14; Q3 = 48


INFERENCIA ESTADÍSTICA EJERCICIO 23 : Se quieren realizar los siguientes estudios: a)))) Tiempo que dedican a la lectura los jóvenes compr endidos entre 12 y 18 años. b)))) Opinión que tienen sobre una nueva instalación de portiva las personas que en un cierto

momento se encuentran allí. c)))) Tipo de deporte que realizan los estudiantes de 4 º ESO de un centro escolar. En cada uno de estos casos, ¿cuál es la población? ¿En cuáles de ellas es necesario recurrir a una muestra? ¿Por qué? Solución: a) Población: jóvenes comprendidos entre 12 y 18 años.

Es necesario recurrir a una muestra por ser la población excesivamente numerosa. b) Población: personas que se encuentran en la instalación deportiva.

Es necesario recurrir a una muestra puesto que es difícil de controlar a quien se ha preguntado y a quien no.

c) Población: alumnos de 4º ESO de un centro escolar. No hace falta recurrir a una muestra, ya que el número de individuos es reducido y se puede controlar perfectamente.

EJERCICIO 24 : El tutor de un grupo de ESO pasa, a comienzo de curso, una encuesta a los alumnos de dicho grupo con el fin de conocerlos mejor. Esta s son algunas de las preguntas. a)))) ¿Cómo piensas que ha sido tu rendimiento escolar hasta ahora?

Bueno Malo

b)))) ¿Realizas otro tipo de estudios fuera del institu to ((((música, idiomas, informática… ))))? Si No

¿De qué tipo?____________________

c)))) ¿En qué grado consideras que la labor del tutor a fecta al rendimiento académico del alumno? d)))) ¿Cuánto tiempo a la semana sueles estudiar?

Menos de 5 horas Entre 5 y 10 horas Más de 10 horas

Estudia si las preguntas son adecuadas y corrige lo s errores que observes. Solución: − Pregunta a) → Además de las dos opciones dadas (bueno, malo) deben darse otras opciones que

sean más equilibradas, por ejemplo, muy bueno, regular, muy malo... − Pregunta b) → Es adecuada: frase corta, clara, cuyas opciones no presentan ambigüedad. Además se

da la opción de indicar el tipo de estudio. − Pregunta c) → No es una pregunta adecuada para el objetivo que se pretende ya que es el tutor el que

hace la encuesta. Lo más probable es que los alumnos tengan esto en cuenta a la hora de responder. − Pregunta d) → Es una pregunta mal formulada ya que requiere que el alumnado haga un esfuerzo de

memoria y cuente el número de horas que estudia al día y las vaya sumando para contabilizar el numero de horas semanales. Sería más apropiado preguntarles el tiempo diario dedicado al estudio, dando como opciones las siguientes:

Menos de 1 h Entre 1 y 2 h Entre 2 y 3 h Más de 3 h

EJERCICIO 25 : En un centro universitario se desea conocer el n úmero de estudiantes que se financian sus estudios. Para ello, el encuestador s e pone en la parada del autobús de la universidad un día laborable de 11 h a 12 h y pregunta a 100 es tudiantes. Reflexiona si el procedimiento de selección para obtener una muestra aleatoria es ade cuado. Solución: El procedimiento de selección para obtener una muestra aleatoria no es adecuado por los siguientes motivos: − Las personas seleccionadas solo son aquellas que usan el autobús como medio de transporte para llegar

a la universidad. El lugar elegido para hacer la encuesta debe ser un lugar en el que confluyan estudiantes que lleguen usando cualquier medio de transporte: autobús, a pie, en coche…

− La hora en la que se hace la encuesta no es la ideal, puesto que a esas horas hay clase y, por tanto, los alumnos encuestados, con bastante seguridad, serán aquellos que llegan tarde o no hayan asistido a clase, esto es, alumnos menos responsables y por tanto con pocas posibilidades de que se financien sus estudios.


EJERCICIO 26 : En un centro de educación secundaria se quiere r ealizar un estudio sobre el tipo de actividades que realizan fuera del horario escolar los 726 alumnos de edades comprendidas entre 12 y 16 años. Se va a elegir una muestra de 60 estudia ntes. Di si te parece válido cada uno de los siguientes modos de seleccionarlos y explica por qu é: a)))) El tutor de cada grupo, que conoce a sus alumnos, elige a los alumnos que le parecen más

representativos. b)))) Se eligen a los delegados y subdelegados de todos los grupos. c)))) Se acude al listado de alumnos y se seleccionan a l azar 60 de ellos. d)))) Se seleccionan al azar 60 alumnos que usen el tra nsporte escolar. Solución: a) No es válido ya que depende de la subjetividad del tutor. b) No es válido. Es posible que los delegados y subdelegados de los grupos sean alumnos responsables y

por tanto realicen actividades fuera del horario escolar. c) Es válido, y la mejor manera de hacer una selección aleatoria de los 60 alumnos. d) No es válido puesto que los alumnos seleccionados solo son aquellos que usan el transporte escolar,

impidiendo así que haya alumnos de los que llegan al centro por otro medio (andando, en coche…). Además, los alumnos que usan el transporte escolar para ir a su casa, tardarán más en llegar y quizás realicen menos actividades extraescolares.

EJERCICIO 27 : a)))) Para estimar la estatura media de 685 hombres se extrae una muestra de 35 de ellos. La media de

la muestra es de 174,3 cm. Expresa este resultado s abiendo que en la ficha técnica se dice que el error máximo es de ±±±±1,9 cm con una probabilidad de 0,90.

b)))) Si con el mismo estudio anterior admitimos que se comete un error de ±±±±2,4 cm, el nivel de confianza será ¿inferior o superior al 90%?

c)))) ¿Cómo podríamos aumentar el nivel de confianza ma nteniendo la cota de error en ±±±±1,9 cm?

Solución: a) La estatura media de los hombres se encuentra en el intervalo:

(174,3 − 1,9; 174,3 + 1,9) = (172,4; 176,2) Esta afirmación se hace con un nivel de confianza del 90%.

b) Si admitimos que se comete un error de ± 2,4 cm, el intervalo en el que se encontrará la estatura media será mayor que el anterior: (174,3 − 2,4; 174,3 + 2,4) = (171,9; 176,7) A mayor intervalo, mayor nivel de confianza; será por tanto superior al 90%.

c) Manteniendo la cota de error en ±1,9 cm, mantenemos la amplitud del intervalo. Luego para mejorar el nivel de confianza hay que aumentar el tamaño de la muestra.

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CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS DE 4º ESO · 2019-06-24 · Tema 1 – El número real – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 2 EJERCICIO 4 : Representa en la recta