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E.D.O

Consulta

Tema: Aplicaciones de las E.D.O lineales de 2° orden.

Teoría:  Se ha visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelomatemático de distintos fenómenos ayudando así a comprenderlos meor y encontrar una

utilidad a los fenómenos estudiados. !or este motivo e"aminaremos con mayor detalle una

aplicación# el movimiento de una masa unida a un resorte. $as formas de esta ecuación

diferencial de se%undo orden sur%en en el análisis de pro&lemas en muchas y diversas áreas

de la ciencia y la in%eniería.

!ara el estudio de la aplicación de las E.D.O en sistemas lineales de masa resorte o meor 

conocido por la física como movimiento armónico simple será menester el mencionar a la

ley que ri%e este fenómeno físico' la ley de (oo).

Ley de Hooke' Supon%amos que# como en la fi%ura *.l +&,# una masa m1  está unida a un

resorte fle"i&le col%ado de un soporte rí%ido. -uando se reemplaam

1  con una masa

distintam

2 # el estiramiento# elon%ación o alar%amiento del resorte cam&iará.

Se%/n la ley de (oo)e# el resorte mismo eerce una fuera de restitución#   F  # opuesta a la

dirección del alar%amiento y proporcional a la cantidad de alar%amientos

. En concreto#

 F =k s # donde k   es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.

Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas# este está

caracteriado esencialmente por su n/mero k  0 por eemplo# si una masa que pesa 1

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li&ras estira1

2   pie un resorte# entonces10=k (

1

2)

  implica que k =10   l&3ft.

Entonces# necesariamente# una masa cuyo peso sea de 4 li&ras estirará el resorte2

5  de

 pie.

5am&i6n es necesario mencionar a la se%unda ley de 7e8ton.

Segunda ley de Newton Despu6s de unir una masa  M   a un resorte# 6sta lo estira una

lon%itud s   y lle%a a una posición de equili&rio# en la que su peso# W  # está

equili&rado por la fuera de restauración ks . 9ecu6rdese que el peso se define por 

W =mg . $a condición de equili&rio es   mg=ks   o mg−ks=0 . Si la masa se

desplaa una distancia  x  respecto de su posición de equili&rio# la fuera de restitución

del resorte es   k ( x+s) . Suponiendo que no hay fueras de retardo que act/en so&re el

sistema y que la masa se mueve li&re de otras fueras e"ternas +movimiento li&re,# entonces

 podemos i%ualar la se%unda ley de 7e8ton con la fuera neta# o resultante# de la fuera de

restitución y el peso'

m d

2

 x

d t 2=−k  (s+ x )+mg=−kx+mg−ks=−kx

 7os centraremos en el movimiento amorti%uado de resortes.

Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

El concepto del movimiento armónico li&re no es realista porque el movimiento que

descri&e la ecuación anterior supone que no hay fueras de retardo que act/an so&re la

masa en movimiento. A menos que la masa est6 col%ada en un vacío perfecto# cuando

menos ha&rá una fuera de resistencia de&ida al medio que rodea al o&eto. $a masa podría

estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amorti%uador.

Euai!n di"erenial del movimiento amortiguado libre: En mecánica# se considera que

las fueras de amorti%uamiento que act/an so&re un cuerpo son proporcionales a al%una

 potencia de la velocidad instantánea. En particular# supondremos en el resto de la

descripción que esta fuera está e"presada por un m/ltiplo constante de dx /dt  . -uando

no hay otras fueras e"ternas aplicadas al sistema# se si%ue por la se%unda ley de 7e8ton'

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m d

2

 x

d t 2=−kx− β

 d x

dt 

Donde  β   es una constante de amorti%uamiento positiva y el si%no ne%ativo es

consecuencia del hecho de que la fuera amorti%uadora act/a en dirección opuesta a la del

movimiento. Al dividir la ecuación por la masam

# la ecuacion diferencial del

movimiento amorti%uado li&re es d2

 x /d t 2+( β /m)dx /dt +( k /m ) x=0 # o sea

d2

 x

d t 2 +2 λ

 dx

dt  +ω2 x=0

2 λ= β

m , ω

2=k 

m

Dónde'

El sím&olo 2 λ

 sólo se usa por comodidad al%e&raica# porque así la ecuación au"iliar 

queda m2+2 λm+ω2=0  y las raíces correspondientes son

m1=− λ+√  λ

2−ω2 , m2=− λ−√  λ

2−ω2

Ahora podemos distin%uir tres casos posi&les que dependen del si%no al%e&raico de

 λ2−ω2 . !uesto que cada solución contiene al factor de amorti%uamiento e− λt  , λ>0 #

los desplaamientos de la masa se vuelven insi%nificantes cuando el tiempo es %rande.

C#SO $:   λ2−ω2>0 . Aquí# se dice que el sistema está so&reamorti%uado porque el

coeficiente de amorti%uamiento#   β # es %rande comparado con la constante de resorte#

k  . $a solución correspondiente es  x (t )=c1 em

1t +c

2e

m2

t 

 # o &ien

c

¿e− λt (¿1e¿¿√  λ2−ω2 t +c2 e

√  λ2−ω2 t )

 x (t )=¿¿

Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio.

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C#SO $$:   λ2−ω2=0 . Se dice que el sistema está críticamente amorti%uado puesto que

cualquier peque:a disminución de la fuera de amorti%uamiento ori%inaría un movimiento

oscilatorio. $a solución %eneral es  x (t )=c1 em

1t +c

2te

m1

t 

# es decir#

' x (t )=e− λt (c1+c2t )

C#SO $$$:   λ2−ω2

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 x (0 )=0 y x '  (0 )=−3

0ora bien, la ecuación au1iliar es#

m 3 8m 3 45 ( )m 3 +* ( 6

7e modo quem

1  %m

2=−4

 . $or lo tanto, el sistema está crticamente

amortiguado %#

 x (t )=−3 t e−4 t 

• Un ob9eto que pesa 45 :b se une a un resorte de ; ft de longitud. n la

posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva % se suelta

del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine

los desplazamientos, 1)t*.

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