CONSTRUCTION OF THETA FUNCTIONS OF ANY

VECTOR VALUED WEIGHT AND APPLICATIONS TO

LIFTS AND CONGRUENCES

TOMOYOSHI IBUKIYAMA (OSAKA UNIVERSITY) AND

SHO TAKEMORI (MAX PLANCK INSTITUTE FOR MATHEMATICS)

1. 概要

この原稿は,プレプリント [7] の概説である.多重調和多項式付きのテータ関数は Siegel 保型形式の具体的な構成を与えることは,よく知られている.しかし,既存の文献には,一般の \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約多項式表現 $\rho$ について,ウエイト $\rho$ のテータ級数を構成するために,どのように多重調和多項式を構成すれば良いかが書かれていないように思える.この原稿では,一般の \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約多項式表現 $\rho$ について,多重調和多項式を構成する具体的なやり方を説明する.その応用として,次数3のとき,最高ウエイトが(14, 13, 5), (16, 13, 7), (18, 13, 5), (18, 17, 5)などの場合に具体的にカスプ形式を構成する.このウエイトを選んだ理由は,Bergström, Faber と van der Geer [3] が予想したリフトの例が含まれているからである.また,このリフトになっているHecke固有形式と思われるもののと,そうでないものの間のHecke固有値たついての合同式の例も与える.

2. テータ関数

この節では,ベクトル値多重調和多項式付きのテータ関数について,よく知られた事実の紹介をする.

2.1. Siegel 保型形式.まず,ベクトル値 Siegel 保型形式の定義をする.正の整数 n に対し,

\mathbb{H}_{n}=\{z=x+iy\in \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}_{n}(\mathbb{C}) |x, y\in \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}_{n}(R), y>0\}で次数 n のSiegel 上半空間を表し,

\mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathbb{R})=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{2n}(\mathbb{R}) |{}^{t}g\left(\begin{array}{ll}0_{n} & -1_{n}\\1_{n} & 0_{n}\end{array}\right)g= \left(\begin{array}{ll}0_{n} & -1_{n}\\1_{n} & 0_{n}\end{array}\right)\}で次数 n のシンプレクティック群を表す. ( $\rho$, V) を \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約多項式表現とする. g\in \mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathbb{R}) と関数 f :臨 \rightarrow V に対して,

f|_{ $\rho$}[g]( $\tau$)=p(c $\tau$+d)^{-1}f(g $\tau$) , 9= \left(\begin{array}{ll}a & b\\c & d\end{array}\right) \in \mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathbb{R}) .

と置く. $\Gamma$ を \mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathrm{Z}) の指数有限部分群とし, $\chi$ を $\Gamma$ の位数有限の指標とする.正則関数 f :臨 \rightarrow V は,

f|_{p}[ $\gamma$]= $\chi$( $\gamma$)f, \forall $\gamma$\in $\Gamma$

数理解析研究所講究録第2055巻 2017年 124-136

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を満たすとき,次数 n , ウエイト $\rho$ , レベル $\Gamma$ , 指標 $\chi$ のSiegel 保型形式と呼ばれる.ただし, n=1 のときは,各カスプでの正則性の条件を加える.また,Siegel 保型形式 f が $\Gamma$\backslash \mathbb{H}_{n} の佐武コンパクト化の境界で消えているとき, f をカスプ形式と呼ぶ.ウエイト $\rho$ , レベル $\Gamma$ , 指標 $\chi$ の

カスプ形式の空間を S_{ $\rho$}( $\Gamma$, $\chi$) で表す.指標 $\chi$ が自明のとき, S_{p}( $\Gamma$, $\chi$) を

単に, S_{ $\rho$}( $\Gamma$) と書く.また, $\lambda$\in \mathbb{Z}㍉が $\rho$ の最高ウエイトのとき, s_{ $\rho$}(\mathrm{r})を S_{ $\lambda$}( $\Gamma$) と記す.

2.2. ベクトル値多重調和多項式付きのテータ関数.次に,ベクトル値多重調和多項式付きのテータ関数の定義をする. S を m 次の正定値,偶整数対称行列とする.ここで,偶整数対称行列とは,すべての成分が整数であって,対角成分はすべて偶数であるような対称行列である.NS^{-1} も偶整数対称行列であるような最小の正の整数 N を S のレベル

と呼ぶ. \mathrm{X}=(x_{i $\nu$})_{1\leq i\leq n,1\leq $\nu$\leq m} を成分が変数であるような n 行 m 列の行列とする.添字 1\leq i\leq j\leq n に対し,微分作用素 $\Delta$_{ij} を

$\Delta$_{ij}(X)=\displaystyle \sum_{ $\nu$=1}^{m}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i $\nu$}\partial x_{j $\nu$}}.Xの(成分の) 多項式 P(\mathrm{X}) は

$\Delta$_{ij}(X)P(X)=0をすべての 1\leq i\leq j\leq n であるような (i,j) について満たすとき,多重調和であると呼ばれる.これは, P(A\mathrm{X}) が任意の A\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) につ

いて Xのmn 個の変数について調和であることと同値である.次に,P(\mathrm{X}) を V 値の Xについての多項式とし(つまり各成分がXの多項式になっているような V 値の関数), P について以下の条件を仮定する.

(2.1) P(AX)= $\rho$(A)P(X) \forall A\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) .

上の述べたことから,この条件の元では, P(\mathrm{X}) がXのmn 個の変数について調和であることと,多重調和であることは同値である.このような S と P に対し,テータ関数を以下で定義する.

$\theta$_{S,P}( $\tau$)=\displaystyle \sum_{G\in M_{nm}(\mathbb{Z})}P(GS^{1/2})\exp( $\pi$ iTr(GS{}^{t}G $\tau$)) .

ここで S^{1/2} は (S^{1/2})^{2}=S となるような正定値対称行列である. N を

S のレベルとするとき, \mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathbb{Z}) の部分群 $\Gamma$_{0}^{(n)}(\mathrm{N}) を

$\Gamma$_{0}^{(n)}(N)=\{g= \left(\begin{array}{ll}a & b\\c & d\end{array}\right) \in \mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathbb{Z})|c\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N\}で定義し, $\Gamma$_{0}(\mathrm{N}) 上の指標 $\chi$_{5} を

$\chi$_{S}( $\gamma$)= (\displaystyle \frac{(-1)^{m/2}\det(S)}{\det(d)}) , ( $\gamma$= \left(\begin{array}{ll}a & b\\c & d\end{array}\right) \in$\Gamma$_{0}^{(n)}(N))で定義する.このとき次のよく知られた定理が成立する.

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定理2.1 ([2], [4]). m を偶数と仮定する. ( $\rho$, V) を \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約多項式表現, S を正定値,偶整数対称行列, N を S のレベル, P(\mathrm{X}) を V

値,多重調和多項式で,(2.1) を満たすものとする.このとき, $\theta$_{S,P} は

次数 n , ウエイト \det^{m/2} $\rho$ , レベル $\Gamma$_{0}^{(n)}(\mathrm{N}) , 指標 $\chi$_{S} のSiegel 保型形式である.

注意2.2. m が奇数や, S がより一般の場合でも似た結果は成立する(cf [4]).

後で使うので,テータ関数を格子の言葉を使って書きかえておく.行ベクト) \triangleright x = (x_{i}) , y= (y_{i}) \in \mathbb{R}^{m} に対し, (x, y) =\displaystyle \sum_{i=1}^{m}x_{i}y_{i} と置く.L \subset \mathbb{R}^{m} を偶整数格子 (つまり, (x, y) \in \mathbb{Z} がすべての x, y \in L に成り立ち, (x, x) \in 2\mathbb{Z} がすべての x \in L について成立する) とする. P

を (2.1) を満たす多重調和多項式とする.このとき, P と偶整数格子 L

に付随するテータ関数を以下で定義する.

$\theta$_{L,P}( $\tau$)=\displaystyle \sum x_{1\text{）}}\ldots) x_{n}\in L^{P(X)exp( $\pi$ i\mathrm{T}\mathrm{r}(((x_{i},x_{j})) $\tau$)))} �

ここで,

X={}^{t}(x_{1}, \ldots, x_{n}) .

である.このとき,定理2.1より, $\theta$_{L,P} も次数 n , ウエイト \det^{m/2} $\rho$,レベル $\Gamma$_{0}^{(n)}(N) , 指標 $\chi$_{S} のSiegel 保型形式である.

3. \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の多項式表現と多重調和多項式の構成

この節では, \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の一般の既約多項式表現のある実現について,よく知られた事実を紹介し,定理2.1の仮定を満たす多重調和多項式P の構成について述べる.この節で述べる結果の証明については,[5]や[8] などの教科書を参照されたい.

3.1. \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の多項式表現.多項式表現の空間の基底が,�bidetermi‐nant� とよばれる小行列式の積で与えられるという事実が,この節の主な主張である.

まず,記号の準備をする. 1 \leq r\leq n となる整数 r に対し,集合 N_{r}を \{ 1, 2, . . .

, n\} の元数 r のすべての部分集合からなる集合を表す. \mathbb{C}[U]で,不定元 u_{ij} (1 \leq i,j \leq n) で生成される, n^{2} 変数の \mathbb{C} 上の多項式環を表し, n\times n 行列 U を U=(u_{ij})_{1\leq i,j\leq n} で定義する.2つの集合

I, J\in N_{r} に対し,小行列式 UIJ を

U_{IJ}=\left|\begin{array}{lll}u_{i_{1}j_{1}} & \cdots & u_{$\iota$_{1}j_{r}}\\ & \ddots & \\u_{\dot{ $\iota$}_{r}j_{1}} & \cdots & u_{i_{r}j_{r}}\end{array}\right|,で定める.但し,ここで I= { i_{1}, i_{2} ) . . .

, i_{r} }, J= \{j_{1},j_{2}, . . .j_{r}\}, (i_{1} <

i_{2} <. . . < i_{r}, j_{1} <j2 <. . . <j_{r}) である.特別な場合として, I =

\{1, 2, . . . , r\} であるときは,UIJ を単に U_{J} で表す. J\subset\{1, 2, . . . , n\} なるすべての集合 J について U_{J} が生成する \mathrm{C}[U] の部分 \mathbb{C}‐代数は,Plücker代数と呼ばれ, \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の p(U) \mapsto p(UA) , (ここで A\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) ) と

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いう作用で閉じている. \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の任意の既約多項式表現 $\rho$ は,このPlücker 代数の中に実現されることが知られているのだが,次に $\rho$ の表現空間の実現となるような,Plücker代数の部分空間を定義する.

$\rho$ を \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約多項式表現とすると,最高ウエイトをとることによって,そのような $\rho$ と,優ウェイト(dominant weight) $\lambda$=($\lambda$_{1}, \ldots, $\lambda$_{n})(つまり $\lambda$_{1}\geq$\lambda$_{2}\geq\ldots$\lambda$_{n}\geq 0 となる整数の n 個の組) が対応している.

$\lambda$ を優ウェイトとするとき, V( $\lambda$) を以下で生成される Plücker 代数の有限次 \mathbb{C}- ベクトル空間とする

(3.1) \displaystyle \{\prod_{ $\nu$=1}^{$\lambda$_{1}}U_{I_{ $\nu$}} |(I_{1}, I2, . . . , I_{$\lambda$_{1}})\in N_{1}^{$\lambda$_{1}-$\lambda$_{2}}\times N_{2}^{$\lambda$_{2}-$\lambda$_{3}}\times\cdots\times N_{n^{n}}^{ $\lambda$}\}.ここで,添字 I. のうち, N_{i} の元は, $\lambda$_{i}-$\lambda$_{i+1} 回現れる.だたし,ここで$\lambda$_{n+1}=0 と置いている. A\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) と P\in \mathbb{C}[U] に対し, $\pi$(A)P(U)=P(UA) と置くと,定義より, $\pi$(A)V( $\lambda$)=V( $\lambda$) である. ( $\pi$|_{V( $\lambda$)}, V( $\lambda$))は既約な \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の多項式表現で,その highest weight は $\lambda$ であることが知られている.生成系 (3.1) }よ,一般には一次独立ではないが,分割

$\lambda$ の半標準 Young 盤(semi‐standard Young tableaux) に対応するものだけを取れば,一次独立になる.ここで,分割 $\lambda$ の半標準 Young 盤とは以下で定義されるような分割 $\lambda$ のYoung 盤のことである.

定義3.1 (半標準 Young 盤). 分割 $\lambda$=($\lambda$_{1}, \ldots , $\lambda$_{n}) の半標準 Young 盤とは,分割 $\lambda$ のYoung 図形 (つまり, i 行目に $\lambda$_{i} 個の箱があるような図形) に,以下の制約の元で,整数1, 2, . . .

,n を埋めたものである.

(i) 埋められた数たちは,各行について,左から右に非減少である.(ii) 埋められた数たちは,各列について,上から下に増加する.

例3.2. n=3, $\lambda$=(2,1,0) のとき例を上げる.このとき,分割 $\lambda$ の半標準 Young 盤は,以下で尽くされる.

\displaystyle \frac{11}{\overline{\sqcup 2}} \overline{\#_{3}^{11}} \overline{\#_{2}^{12}} \frac{12}{\overline{\sqcup 3}} \overline{\#_{2}^{13}} \overline{\#_{3}^{13}} \overline{\#_{3}^{22}} \frac{23}{\overline{\sqcup 3}}T を分割 $\lambda$ のYoung 盤とし,整数 1\leq $\nu$\leq$\lambda$_{1} に対し,

I_{ $\nu$}:=\{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{m_{ $\nu$}}\}を T の第 $\nu$ 列とする.このとき,多項式 P_{T}(U) を以下の小行列の積で定義する.

$\lambda$_{1}

垣 U_{I_{ $\nu$}}. $\nu$=1

このように,(必ずしも半標準でない)Young 盤から,得られる小行列の積 P_{T} は�bideterminant� と呼ばれる.上でも少し述べたが,以上の準備の元で次が成立する.

定理3.3 (cf. [5] の§4.5, 4.7). ( $\pi$|_{V( $\lambda$)}, V( $\lambda$)) は最高ウエイ ト $\lambda$ の,

\mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約多項式表現であり,集合

{P_{T}|T は分割 $\lambda$ の半標準 Young 盤}は V( $\lambda$) の基底を与える.

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注意3.4. この定理は,複素数体を標数 0 の体に置きかえても成り立つ.また,任意標数の体上で,上で与えられた基底は一次独立である.

例3.5. (i) n=3, $\lambda$=(j, 0,0) とする.このとき,すべての半標準Young 盤は, |i_{1}|i_{2}|\cdot\cdot\{i_{j}|(1\leq i\mathrm{i}\leq i_{2}\leq\cdotsされる.このとき,対応する bideterminantは

u_{1i_{1}}u_{1i_{2}}\cdot\cdot\cdot

u_{1i_{j}} で与えられる.つまり,定理 (

基底は u_{11}, u_{12}, u_{23} の次数 j の斉次単項式の集合と等しい.

(ii) n=3, $\lambda$=(2,1,0) とする.半標準 Young 盤を, T_{1}=\overline{\frac{|1|1|}{\prod 2}},T_{2}=\overline{\frac{|2|2|}{\sqcup 3}} で定義すると,対応する bideterminant は以下で与

えられる.

P_{T_{1}}=\left|\begin{array}{ll}u_{11} & u_{12}\\u_{21} & u_{22}\end{array}\right|u_{11}, P_{T_{2}}=\left|\begin{array}{ll}u_{12} & u_{13}\\u_{22} & u_{23}\end{array}\right|u_{12}.3.2. 多重調和多項式の構成.次に,上で構成した表現空間 V( $\lambda$) を用いた,定理2.1の仮定を満たす V( $\lambda$) 値の多重調和多項式の構成について述べる.多重調和多項式を構成するのに,以下の命題を使う.正の整数 m は,§2.2で使ったもの,つまり偶整数対称行列 S のサイズとする.

命題3.6. $\lambda$ \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n} を優ウエイ ト, B \in M_{n,m}(\mathbb{C}) を B{}^{t}B=0_{n} となる

ような行列とし, X=(x_{i $\nu$}) を n 行 m 列の行列変数とする.このとき,任意の p(U) \in V( $\lambda$) について,Xについての多項式 p(B{}^{t}X) は多重調和である.

ベクトル空間 V( $\lambda$) の次元を d=d_{ $\lambda$} と書き, \{p_{1}(U), . . .,p_{d}(U)\} を

V( $\lambda$) の基底とする. \mathbb{C}^{d} を表現空間にもつような表現 $\rho$ : \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow

\mathrm{G}\mathrm{L}_{d}(\mathbb{C}) を以下で定める.

(3.2) (p_{1}(UA), \ldots , p_{d}(UA))=(p_{1}, \ldots , p_{d}){}^{t}$\rho$({}^{t}A) .

そうすると,2つの表現 A\mapsto $\rho$(A) と A\mapsto{}^{t}$\rho$({}^{t}A) は,どちらも最高ウェイト $\lambda$ の \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の既約表現である. B\in M_{n,m}(\mathbb{C}) を B{}^{t}B=0_{n} であるような行列とする.このような B に対し, \mathbb{C}[X]^{d} 値の行ベクトルを以下で定義する.

(3.3) P_{B}(X)={}^{t}(p_{1}(B{}^{t}X), \ldots , p_{d}(B^{t}X)) .

定義より, P_{B}(\mathrm{X}) は,任意の A\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) に対して,

P_{B}(AX)= $\rho$(A)P_{B}(X)を満たし,また命題3.6より多重調和である.従って,定理2.1より

$\theta$_{\mathcal{S},P_{B}} は \mathbb{C}^{d} 値のベクトル値 Siegel 保型形式を与える.基底 \{p_{1}(U), . . . ,p_{d}(U)\} の取り方については,実際の計算が容易な

ので,論文 [7] では § 3. 1で紹介した bideterminant による基底を選んでいる.以下では,bideterminant による基底の順番を適当に決めて,それを \{p1 (U), \cdots,p_{d}(U)\} と書く.この基底に付随して決まる (3.2) の

$\rho$ も同じ記号で書く.論文 [7] では,ほとんど使われていないが,他の

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基底の選択についても紹介しておく.2つの表現 $\rho$ と A\mapsto {}^{t}p({}^{t}A) は同値なので, {}^{t}$\rho$({}^{t}A)Q=Q $\rho$(A) がすべての A\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) について成り立つような行列 Q\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{d}(\mathbb{C}) がスカラー倍の違いを除いて一意的に存在する. V( $\lambda$) の別の基底 \{e_{1}(U), . . . , e_{d}(U)\} を以下で定める.

(e_{1}(U), \ldots, e_{d}(U))=(p_{1}(U), \ldots,p_{d}(U))Q.

\mathbb{C}[U] 値の関数 f( $\tau$, U) を

f( $\tau$, U)=(e_{1}(U), \ldots, e_{d}(U))$\theta$_{S,P}( $\tau$)

で定義すると,

f( $\gamma \tau$, U)=$\chi$_{S}( $\gamma$)\det(c $\tau$+d)^{m/2}f( $\tau$, U(c $\tau$+d))

が任意の $\gamma$= \left(\begin{array}{ll}a & b\\c & d\end{array}\right) \in$\Gamma$_{0}^{(n)}(\mathrm{N}) に対して成り立つ.

例3.7. n=2, $\lambda$=(l, 0) とする..このとき, p_{i}(U)=u_{1}^{l-i}u_{2}^{i} と取ることができ, e_{i}(U) は e_{i}(U)=\left(\begin{array}{l}l\\\dot{l}\end{array}\right)p_{i}(U) で与えられる.

4. リフトについての予想

この節では,Bergström, Faber, van der Geer [3] らによる楕円保型形式の組から次数3のベクトル値Siegel保型形式へのリフトについての予想を述べる.

$\rho$ $\rho$_{ $\lambda$} を \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C}) の多項式表現で,最高ウェイトが $\lambda$=($\lambda$_{1}, \ldots, $\lambda$_{n})のものとする.Hecke 固有形式 F\in M_{ $\lambda$}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathrm{Z})) と素数 p に対し, ($\alpha$_{0,p},$\alpha$_{1,p}, \ldots

, $\alpha$_{n,p}) を銑佐武パラメーターとする.ここで,佐武パラメーターは

$\alpha$_{0,p}^{2}$\alpha$_{1,p}\cdots$\alpha$_{n,p}=p^{ $\Sigma$}窪 1$\lambda$_{i}-n(n+1)/2

となるようとっている.不定元 t についての,多項式 Q_{p} (t, F, Sp) と

Q_{p} (t, F, St) を以下で定義する.

Q_{p} (t, F, Sp) =\displaystyle \prod_{J\subset\{1,2,.,n\}}..(1-$\alpha$_{0,p}(\prod_{j\in J}$\alpha$_{\hat{J}p})t) ,

Q_{p} (t, F, St) =(1-t)\displaystyle \prod_{\dot{ $\iota$}=1}^{n}(1-$\alpha$_{i,p}t)(1-$\alpha$_{i,p}^{-1}t) .

F の標準 L 関数,スピノル L 関数をそれぞれ,次で定義する.

L (s, F, Sp) =\displaystyle \prod_{p:\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}Q_{p}(p^{-s}, F, \mathrm{S}\mathrm{p})^{-1},L (s, F

, St) =\displaystyle \prod_{p:\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}Q_{p}(p^{-s}, F, \mathrm{S}\mathrm{t})^{-1}.次に, f\in S_{k}(SL_{2}(\mathbb{Z})) を楕円カスプ形式とし, $\beta$_{p,1}(f) , $\beta$_{p,2}(f) を f の

佐武パラメーターとする (ここで, $\beta$_{p,1}(f)$\beta$_{p,2}(f)=p^{k-1} ). f の2次の

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対称 L 関数 L(s, f, Sym(2)) を

\displaystyle \prod_{p:\mathrm{z}^{yr\dot{\mathrm{z}}me}} (1-pた

-1-s)^{-1}(1-$\beta$_{p,1}(f)^{2}p^{-S})^{-1}(1-$\beta$_{p,2}(f)^{2}p^{-S})^{-1},

で定義する.また,2つの楕円カスプ形式 g \in S_{k_{1}}(SL_{2}(\mathbb{Z})) と h \in

S_{k_{2}}(SL_{2}(\mathbb{Z})) に対し, g と h のテンソル積の L 関数を

L(s, g\displaystyle \otimes h)=\prod_{p:prime}\prod_{i,j=1}^{2}(1-$\beta$_{p,i}(9)$\beta$_{p,j}(h)p^{-s})^{-1}.で定義する.Bergström, Faber と van der Geer [3] が予想したリフトは3種類あるが,最も興味深いものを述べる.

予想4.1 (Bergström, Faber, van der Geer [3] Conjecture 7.7 (i)).a, b, c\in \mathbb{Z}_{\geq 0} を a\geq b\geq c となる整数の3つ組とする.3つの Hecke 固有形式 f\in S_{b+3}(SL_{2}(\mathbb{Z})) , 9\in S_{a+c+5}(SL_{2}(\mathbb{Z})) , h\in S_{a-\mathrm{c}+3}(SL_{2}(\mathbb{Z})) に

対し,次数3のHecke 固有形式 F\in S_{(a+4,b+4,c+4)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathrm{Z})) が存在して,以下を満たす.

L (s, F, Sp)=L(s, f\otimes g)L(s-c-1, f\otimes h) ,

L (s, F, St )=L(s+b+2, f, Sym(2))L(s+a+3, \mathrm{g}\otimes h) .

注意4.2. L (s, F, St) の形は,[3] には書かれていないが,[6] のp.15に

書いてある式を使えば容易に計算できる.

数値例の計算において,Fourier 係数をHecke作用素の計算が必要な分だけ計算したが,例にでてくる表現空間の次元はかなり大きいので,紙幅の都合上,Fourier 係数の表は載せないことにする.Fourier 係数の表については,例えばウェイト(14, 13, 5) の場合は,https: //github. \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}/stakemor \mathrm{i}/\mathrm{e}8\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}_{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}3/\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{b}/\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}/\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{s}/\mathrm{w}\mathrm{t}14_{-}13_{-}5/\mathrm{w}\mathrm{t}14_{-}13_{-}5 .org を参照のこと.

5. 数値例と合同式

この節では,次数3の場合に,具体的にテータ関数を構成することにより予想4.1を支持するような数値例を与える.具体的には,ウェイト

$\lambda$ が,(14, 13, 5), (16, 13, 7), (18, 13, 5), (18, 17, 5) の場合の数値例を紹介する.論文 [3] でも,ある予想が成立することを仮定した上で,Hecke固有値 T(\mathrm{p}) の S_{ $\lambda$}(S\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) におけるトレースが,素数 p \leq 17 と $\lambda$ が

$\lambda$_{1}+$\lambda$_{2}+$\lambda$_{3}\leq 72 かつ 4\leq$\lambda$_{3} を満たす場合に,Lefschetz 跡公式を用いて数値的に計算されている.彼らの方法は我々の方法と全く違うことと,彼らの方法では例えばFourier 係数などは計算できないであろうということを述べておく.

5.1. 表現空間とカスプ形式の空間の次元.ベクトル空間 V( $\lambda$) の次元は,定理3.3を使うことで,容易に計算できる. $\lambda$=(14,13,5) , (16, 13, 7),(16, 16, 14), (18, 13, 5), (18, 17, 5) の場合のカスプ形式の空間の次元の数値については,Taíbi [11] の結果を使った.彼の結果は,Arthur のen‐

doscopic classffication に依存している.表1のカスプ形式についての

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\displaystyle \frac{ $\lambda$\dim_{\mathrm{C}}V( $\lambda$)\dim_{\mathrm{C}}S_{ $\lambda$}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z}))}{(14,13,5)991^{*}}(16, 13, 7) 154 2^{*}

(18, 13, 5) 405 2^{*}

(18, 17)5) 195 3^{*}

TABLE1. 表現空間とカスプ形式の空間の次元

次元は現時点で完全に証明されているというわけではないが,以下, こ

の原稿の最後まで,この表が正しいことを仮定する.

5.2. テータ関数のための記号.偶整数ユニモジュラー格子, E_{8} を以下で定義する.

E_{8}=\left\{(x_{1} & \cdots & x_{8})\in & \mathbb{R}^{8}|\sum_{i=\mathrm{l}}^{8}x_{i}\in 2\mathbb{Z}2x_{i}\in \mathbb{Z},x_{i}-x_{j}\in \mathbb{Z}_{\text{）}}(1\leq i,j & \leq 8)\right\}.行列 B\in M_{3,8}(\mathbb{C}) を B{}^{t}B=0 を満たすものとし, P_{B}(\mathrm{X}) を (3.3) で

定義したもの(ここで,基底 \{p_{1}(U), \ldots, p_{d}(U)\} の) は,§3.2で述べたように,定理3.3で述べられたの bideterminant たちによる基底を適当な順番で並べたものとする.以上のような, B に対し,

$\theta$( $\tau$, E_{8}, $\lambda$+(4,4,4), B)=$\theta$_{E_{8},\Re P_{B}}( $\tau$)

と置く.

5.3. L 関数の Euler 因子の計算.Hecke 固有形式 F\in M_{p}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathrm{Z})) に対

し,次数3の場合に,§4で定義された多項式 Q_{p} (t, F, Sp) をどのように

計算するかを述べる.素数 p と整数 i=1 , 2, . . .

,n に対し, M_{ $\rho$}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{n}(\mathrm{Z}))

に作用するHecke作用素を以下で定義する.

T(p)=Sp(n, \mathbb{Z})\left(\begin{array}{ll}1_{n} & 0_{n}\\0_{n} & p1_{n}\end{array}\right)Sp(n, \mathbb{Z}) ,

Tl (p^{2})=Sp(n, \mathbb{Z}) \left(p1_{i} & 1_{n-i} & p1_{i} & p^{2}1_{n-i}\right)Sp(n, \mathbb{Z}) .

F\in M_{ $\rho$}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) をHeccke 作用素とし, T(p) のHecke 固有値を $\lambda$(p) ,

T_{i}(p^{2}) のHecke 固有値を $\lambda$_{i}(p^{2}) (i = 1,2,3) と置く. Q_{p}(t, F, Sp) =

\displaystyle \sum_{i=0}^{8}(-1)^{i}c_{\dot{ $\eta$}}(p)t^{i} と書いたとき,宮脇 [9] は[1] の結果を使って以下を

131

得た ([10] も参照のこと).

c_{0}(p)=1, c_{1}= $\lambda$(p) ,

c_{2}(p)=p\{$\lambda$_{1}(p^{2})+(p^{2}+1)$\lambda$_{2}(p^{2})+(p^{2}+1)^{2}$\lambda$_{3}(p^{2})\},c_{3}(p)=p^{3} $\lambda$(p)\{$\lambda$_{2}(p^{2})+$\lambda$_{3}(p^{2})\},c_{4}(p)=p^{6}\{ $\lambda$(p)^{2}$\lambda$_{3}(p^{2})+$\lambda$_{2}(p^{2})^{2}-2p$\lambda$_{1}(p^{2})$\lambda$_{3}(p^{2})

-2(p-1)$\lambda$_{2}(p^{2})$\lambda$_{3}(p^{2})-(p^{6}+2p^{5}+2p^{3}+2p-1)$\lambda$_{3}(p^{2})^{2}\},c_{5}(p)=p^{6}$\lambda$_{3}(p^{2})c_{3}(p) , c_{6}(p)=p^{12}$\lambda$_{3}(p^{2})^{2_{\mathcal{C}_{2}}}(p) ,

c_{7}(p)=p^{18}$\lambda$_{3}(p^{2})^{3}c_{1}(p) , c_{8}(p)=p^{24}$\lambda$_{3}(p^{2})^{4}.

以下の例では, p=2 の場合に,固有値 $\lambda$(p) , $\lambda$_{3}(p^{2}) を計算し,8次の多項式 Q_{p} (t, F

, Sp) を計算した.例えば $\lambda$(2) を計算するのには以下の式

を使った.ここで, S_{0}= [11/21/2 1/21/21 111//22) であり, V_{ $\rho$} 値のベクトル

値Siegel 保型形式 G と3次の半整数対称行列 S について , a(S, F)\in V_{ $\rho$}で F の S 番目の Fourier 係数を表わしている.

a(S_{0}, F|T(2))=2^{-3} $\rho$(\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0\\1 & 0 & 1\\0-1 & & 1\end{array}\right)) a(1_{3}, F)+a(2S_{0}, F) .

i= 1, 2, 3について, a(S_{0}, F|T_{i}(4)) を書くには紙幅が限られているの

でこれらは省略する.

5.4. ウエイ ト(14, 13, 5) の場合.まず, $\lambda$=(14,13,5) の場合の例を挙げる.行列 B_{(14,13,5)}\in M_{3,8}(\mathbb{C}) を

\left(\begin{array}{llllll}-7 & -5i6 & 8i-2 & 0 & 0 & 0\\5 & 7i4 & 42i & -2i & 0 & 0\\-5 & -7i-2 & 0-6 & 4i & 0 & 0\end{array}\right)で定義する.そうすると B_{(14,13,5)}{}^{t}B_{(14,13,5)}=0 である.保型形式 G_{(14,13,5)}を

G_{(14,13,5)}( $\tau$)= $\theta$( $\tau$, (14,13,5), B_{(14,13,5)})と置くと, G_{(14,13,5)} \in s_{(14,13,5)}($\Gamma$_{3}) である.§5.1の次元公式から, s_{(14,13,5)}($\Gamma$_{3})は G_{(14,13,5)} で生成されることが言える.Hecke 固有形式 G_{(14,13,5)} に付随する L 関数の2での Euler 因子は以下で与えられる.

命題5.1. 素数2での Euler 因子 Q_{2} (t, G_{(14,13,5)} , Sp) とは以下で与えられる.

Q2(t ) G_{(14,13},{}_{5)}Sp) =(1-2^{13}t)^{2}(1+2^{8}\cdot 5\cdot 11t+2^{26}t^{2})\times (1+2^{6}\cdot 3^{4}t-2^{17} . 151t^{2}+2^{32}3^{4}t^{3}+2^{52}t^{4}) .

132

Q_{2} (t, G_{(14,13,5)}, St)=(1-t)(1+2^{-5}5\cdot 11t+t^{2})\times (1+2^{-7}\cdot 3^{4}t-2^{-9} . 151t^{2}+2^{-7}\cdot 3^{4}t^{3}+t^{4}) .

注意5.2. 命題5.1より,Q2(2^{-s}, G_{(14,13} )5), Sp)^{-1} は L(s, f\mathrm{i}_{2}\otimes fi_{6})L(s-2, f_{12}\otimes f_{12}) の2での Euler 因子に一致している.ここで, f_{12}\in S_{12}(SL_{2}(\mathbb{Z})) ,

fi_{6}\in S_{16}(SL_{2}(\mathbb{Z})) はそれぞれウエイト 12, 16の楕円 Hecke 固有形式である.従って,この結果は予想4.1の (a, b, c)=(10,9,1) の場合と整合性がある.

5.5. ウエイ ト (16, 13, 7) の場合.表1より,dimc S_{(16,13,7)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) =

2 である.この場合も,適当な行列 B_{1,13,7)}^{(i)} \in M_{3,8}(\mathbb{C}) (i = 1, 2) で

B^{(\dot{l})} {}^{t}B^{(i)}(16,13,7) (16,13,7)

= 0 となるものが存在し, S_{(16,13,7)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) は $\theta$( $\tau$,E_{8} , (16, 13, 7), B_{(16,13,7)}^{1}) と $\theta$( $\tau$ , , E_{8} , (16, 13, 7), B_{(16,13,7)}^{2}) で生成される.

命題5.3. S_{(16,13,7)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) に属する Hecke 固有形式 G_{(16,13,7)}^{(1)}, G_{(16,13,7)}^{(2)}で以下を満たすものが存在する.

Q_{2} (t, G_{(16,13,7)}^{(1)}, Sp)=(1-2^{15}t)^{2}(1+2^{10}\cdot 5\cdot 11t+2^{30}t^{2})\times (1+2^{6} . 3^{2} . 19t-2^{17} . 10831t^{2}+2^{36} . 3^{2} . 19t^{3}+2^{60}t^{4}) ,

Q_{2} (t, G_{(16,13,7)}^{(2)} , Sp)= -2^{15}t)^{2}(1-2^{4}\cdot 7\cdot 113t+2^{11} 7\cdot 100927t^{2}

-2^{23}950401t^{3}+2^{41} 7 100927t^{4}-2^{64}7\cdot 113t^{5}+2^{90}t^{6}) ,

Q_{2} (t ) G_{(16,13,7)}^{(1)}, St) =(1-t)(1+2^{-5}5\cdot 11t+t^{2})\times (1+2^{-9}3^{2}19t- 2-\~{I} 310831t^{2}+2^{-9}\cdot 3^{2}\cdot 19t^{3}+t^{4}) ,

Q_{2} (t, G_{(16,13,7)}^{(2)} , St)=(1-t)(1-2^{-11} 7\cdot 113t+2^{-19}\cdot 7\cdot 100927t^{2}

-2^{-22} . 950401t^{3}+2^{-19} . 7 . 100927t^{4}-2^{-11} . 7 . 113t^{5}+t^{6}) .

.注意5.4. 命題5.3より, Q_{2}(2^{-s}, G_{(16,13}^{(1)},{}_{7)}Sp)^{-1} は L(s, f_{12}\otimes f_{20})L(s-4, f_{12}\otimes f_{12}) の2での Euler 因子と一致している.従って,この結果は予想4.1の (a, b, c)= ( 12 )9, 3) の場合と整合性がある.

5.6. ウエイ ト (18, 13, 5) の場合.表1より, S_{(18,13,5)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathrm{Z})) の次元は

2である.この場合も , 適当な行列 B_{(18,13,5)}^{i} \in M_{3,8}(\mathbb{C}) (i = 1,2) で

B_{(18,13,5)^{t}}^{\dot{l}}B_{(18,13,5)}^{i} = 0 となるものが存在し, S_{(18,13,5)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) は $\theta$( $\tau$,E_{8} , (18 )13, 5), B_{(18,13,5)}^{(1)}) , $\theta$ ( $\tau$, E_{8} , (18 )13, 5), B_{(18,13,5)}^{(2)} ) で生成される.

133

命題5.5. S_{(18,13,5)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) に属する Hecke 固有形式 G_{(18,13,5)}^{(1)}, G_{(18,13,5)}^{(2)}で以下を満たすものが存在する.

Q_{2} (t, G_{(18,13,5)\rangle}^{(1)} Sp)=(1+2^{6}3^{2}\cdot 19t-2^{17}\cdot 10831t^{2}+2^{36}3^{2}\cdot 19t^{3}+2^{60}t^{4})

\times (1+2^{8}3^{4}t-2^{21}\cdot 151t^{2}+2^{38}\cdot 3^{4}t^{3}+2^{60}t^{4}) ,

Q_{2} (t, G_{(18,13,5)}^{(2)} , Sp)=1-2^{6}3^{2}\cdot 5\cdot 7t-2^{13}\cdot 5^{2}\cdot 17\cdot 19t^{2}+2^{26}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 1189t^{3}-2^{40}\cdot 3 43 . 12163t^{4}

+2^{56}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 89t^{5}-2^{73}\cdot 5^{2}\cdot 17\cdot 19t^{6}

-2^{96} . 3^{2} . 5 . 7t^{7}+2^{120}t^{8},

Q_{2} (t, G_{(18,13,5)}^{(1)} , St)=(1-t)(1+2^{-5}5\cdot 11t+t^{2})\times (1-2^{-11}\cdot 3^{4}\cdot 19t-2^{-13}1471t^{2}-2^{-11}3^{4}19t^{3}+t^{4}) ,

Q_{2} (t, G_{(18,13,5)}^{(2)}, St)=(1-t)(1+2^{-10}\cdot 2003t+2^{-17}\cdot 373621t^{2}+2^{-18}\cdot 894011t^{3}+2^{-17}\cdot 373621t^{4}+2^{-10}2003t^{5}+t^{6}) .

注意5.6. Q_{2} (2^{-s} ) G_{(18,13,5)}^{(1)} ) Sp)^{-1} は L(s, f_{12}\otimes f_{20})L(s-2, f_{12}\otimes f_{16}) の

2での Euler 因子に一致する.従って,この結果は予想4.1の (a, b, c)=(14)9, 1) 場合と整合性がある.

5.7. ウエイ ト (18, 17, 5) の場合.表1より, \dim_{\mathbb{C}}S_{(18,17,5)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) =

3 である.この場合も , i = 1 , 2, 3について, B_{\dot{l}}{}^{t}B_{i} = 0 となるような B_{i} \in M_{3,8}(\mathbb{C}) が存在し, $\theta$( $\tau$, E_{8}, (18,17,5), B_{i}) (i = 1,2,3) で

S_{(18,17,5)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) は生成される.

命題5.7. S_{(18,17,5)}(\mathrm{S}\mathrm{p}_{3}(\mathbb{Z})) に属するカスプ形式 G_{(18,17,5)}^{(1)}, G_{(18,17,5)}^{(2)} で

以下を満すものが存在する.ここで, $\omega$ = 1152(53+\sqrt{7361}) \in \mathbb{C} で

ある.

Q_{2} (t, G_{(18,17,5)}^{(1)}, Sp)=(1-2^{17}t)^{2}(1+2^{8}5\cdot 59t+2^{34}t^{2})\times (1- 2^{6} 3^{4}\cdot 19t-2^{21}1471t^{2}-2^{40}3^{4}\cdot 19t^{3}+2^{68}t^{4}) ,

Q_{2}(t, G_{(18,17,5)}^{(2)}, Sp)=(1-2^{17}t)^{2}(1+(262144- $\omega$)t+2^{9}(46979584-71 $\omega$)t^{2}+2^{25}(30103040+263 $\omega$)t^{3}

+2^{43} (46979584 — 71 $\omega$)t^{4}+2^{68}(262144- $\omega$)t^{5}+2^{102}t^{6}) .

Q_{2} (t, G_{(18,17,5)}^{(1)} , St )=(1-t)(1+2^{-9}\cdot 5\cdot 59t+t^{2})\times (1-2^{-11}\cdot 3^{4}\cdot 19t-2^{-13}1471t^{2}-2^{-11}\cdot 3^{4}\cdot 19t^{3}+t^{4}) ,

134

Q_{2} (t, G_{(18,17,5)}^{(2)}, St)=(1-t)\times (1+2^{-17}(262144- $\omega$)t+2^{-25} (46979584 — 71 $\omega$)t^{2}

+2^{-26}(30103040+263 $\omega$)t^{3}+2^{-25} (46979584 — 71

+2^{-17}(262144- $\omega$)t^{5}+t^{6}) .

$\sigma$ を \mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathbb{Q}( $\omega$)/\mathbb{Q}) の非自明な元とし,残りのもう一つの固有形式を

G_{(18,17,5)}^{(3)} とすると,

G_{(18,17,5)}^{(3)}=(G_{(18,17,5)}^{(2)})^{ $\sigma$}Q_{2} (t, G_{(18,17,5)}^{(3)} , Sp)=Q_{2}(t, G_{(18,17}^{(2)},{}_{5)}Sp)^{ $\sigma$},Q_{2} (t, G_{(18,17,5)}^{(3)}, St)=Q_{2}(t, G_{(18,17,5)}^{(2)}, St)^{ $\sigma$},

が成立する.

注意5.8. Q_{2} (2^{-8} ) G_{(18,17,5)}^{(1)}, Sp)^{-1} は L(s, f_{16}\otimes f_{20})L(s-2, f_{16}\otimes f_{16}) の

2での Euler 因子と等しい.従って,この結果は予想4.1の (a, b, c) =

(14,13,1) の場合と整合性がある.

5.8. 合同式.§5.5と §5.7で紹介した Hecke 固有形式は,Hecke 固有値の問の合同式をもつので,それを紹介する.

定理 5.9. $\omega$ = 1152(53+\sqrt{7361}) を § 5.7のものとする. \mathfrak{p} = ( $\omega$-488 , 757) を757の上にある \mathbb{Q}( $\omega$) の素イデアルとする. l を任意の素数とし, T を§5.3で定義した, T(l) , T_{\dot{l}}(l^{2}) (ここで i=1,2,3) のいずれかの Hecke 作用素とする.このとき,Hecke 固有値の間の合同式

$\lambda$(T, G_{(16,13,7)}^{(1)})\equiv $\lambda$(T, G_{(16,13,7)}^{(2)}) \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 37,と

$\lambda$(T, G_{(18,17,5)}^{(1)})\equiv $\lambda$(T, G_{(18,17,5)}^{(2)}) \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathfrak{p}, $\lambda$(T, G_{(18,17,5)}^{(1)})\equiv $\lambda$(T, G_{(18,17,5)}^{(3)}) mod \overline{\mathfrak{p}},

が成立する.

注意5.10. (i) 定理の証明は,カスプ形式の基底として,整数係数の theta 関数がとれること,整数係数の Hecke 作用素を整数係数の Fourier 展開に作用させても,Fourier 係数は整数係数であることから従う.

(ii) このようなLift と別のものの間の合同式に現れる素数は,保型形式の L 関数の特殊値の代数部分を割ると期待される.37や753が,どのような L 関数の特殊値と関係するのか予想するのは,今後の課題である.

135

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E‐mail address: stakemorii@gmail. com

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