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5/16/2018 Construcion de Una Solucion a Partir de Una Conocida - slidepdf.com
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1
Reducción de orden.
Obtener la solución general de la ED conocida, considerando que y1 es una solución de ella.
1. 2y 00 C 3y 0 2y D 0I y1 D e2x.
11
2. 4y 00 12y 0C 9y D 0I y1 D e3x
2 .
12
3. y 00 C 4y D 0I y1 D sen 2x.
13
4. y 00 C 6y 0 C 9y D 0I y1 D e3x.
14
5. y 00 C 4y 0C 13yD 0I y1 D e2x cos 3x.
15
6. 9y 00 4y D 0I y1 D e2x
3 .
16
7. x2y 00 6xy 0 C 10y D 0I y1 D x2.
17
8. x2y 00 xy 0 3yD 0I y1 D1
x.
18
9. x2y 00C 8xy 0
C 12y D 0I y1 D x3.
19
10. x2y 00C xy 0 C 8y D 0I y1 D x4.
20
11. .1 x/y 00C xy 0 y D 0I y1 D x.
21
1. canek.azc.uam.mx: 6/ 12/ 2010
d
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12. xy 00C 2y 0C xy D 0I y1 Dsenx
x.
22
13. x2
.lnx 1/y00
xy0
C y D 0I y1 D x.
23
14. xy 00C .x 1/y 0 y D 0I y1 D ex.
24
15. xy 00 .2xC 1/y 0 C .x C 1/y D 0I y1 D ex.
25
d
d
d
d
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1
Reducción de orden.
E: 2y 00 C 3y 0 2y D 0I y1 D e2x.
D:H
Otra solución de la ED se propone como y2 D uy1 D ue2x
. Derivando:
y 0
2D 2e2xuC e2xu 0 & y 00
2D 4e2xu 4e2xu 0C e2xu 00:
Entonces, al usar en la ED 2y 00C 3y 0 2y D 0, se obtiene:
2Œ4e2xu 4e2xu 0 C e2xu 00C 3Œ2e2xuC e2xu 0 2ue2x D 0:
Al simplificar:
e2xŒ2u 00 5u 0 D 0 ) 2u 00 5u 0 D 0; puesto que e2x 6D 0.
Si aplicamos ahora el cambio de variable w D u 0, encontramos u 00 D w 0, por lo que:
2w 0 5w D 0 ) 2dw
dxD 5w:
Si separamos variables e integramos:
2dw
wD 5 dx ) 2
dw
wD 5
dx ) 2 lnw D 5xCC:
Considerando C D 0 tenemos:
lnw D 5x2
) w D e5x2 D u 0:
Al integrar:
u D
e5x
2 dx D2
5e5x
2 :
De esta forma y2 D uy1 D2
5e5x
2 e2x ) y2 D2
5ex
2 . Y la solución general de la ecuación
diferencial es
y D c1y1C c2y2 D c1e2x C c2Â
2
5
ex
2Ã ) y D c1e2x C c2e
x
2 :
11.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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1
Reducción de orden .
E: 4y 00 12y 0C 9y D 0I y1 D e3x
2 .
D:H
En este caso, aplicaremos la fórmula deducida en el desarrollo teórico. Es importante recor-dar que la ecuación diferencial debe estar normalizada, por lo tanto, empezaremos dividiendola ecuación entre 4. Hallamos:
y 00 3y 0
C9
4y D 0:
Con p.x/ D 3 & y1 D e3x2 tenemos que y2 D uy1, de donde:
u D
e
R p.x/dx
y21
dx D
e
R .3/dx
e3x2
2 dx D
e3x
e3xdx D
dx D x:
De esta forma, y2 D xe3x2 . Por lo tanto, la solución general de la ED es, entonces:
y D c1y1C c2y2 D c1e3x2 C c2xe
3x2 o bien y D .c1C c2x/e
3x2 :
12.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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1
Reducción de orden .
E: y 00 C 4y D 0I y1 D sen 2x.
D:H
Procedemos ahora proponiendo a la otra solución de la ED como y2 D uy1:
y2 D u sen 2x ) y 0
2D 2u cos 2x C u 0 sen 2x )
) y 00
2D 4u sen 2x C 4u 0 cos 2x C u 00 sen 2x:
Al sustituir en y 00C 4y D 0 hallamos:
4u sen 2x C 4u 0 cos 2x C u 00 sen 2x C 4u sen 2x D 0:
Simplificando:u 00 sen 2x C 4u 0 cos 2x D 0:
Reducimos el orden de la ED mediante el cambio de variable w D u 0. Entonces u 00 D w 0 yobtenemos:
.sen 2x/dw
dxC 4w cos 2x D 0:
Separamos variables:
.sen 2x/dw
dxD 4w cos 2x )
dw
wD 4
cos 2x
sen 2xdx:
Al integrar, hallamos:
dwwD
4 cos 2x
sen 2xdx ) ln w D 4
2ln.sen 2x/ D ln.sen 2x/2:
Aplicando la exponencial en ambos miembros:
w D1
sen 22xo bien
du
dxD csc 22x:
De aquí:
du D csc 22x dx )
du D
csc 22x dx ) u D
1
2cot 2x:
De esta manera,y2 D uy1 D
1
2cot 2x sen 2x ) y2 D
1
2cos 2x:
La solución general de la ED queda:
y D c1y1C c2y2 D c1 sen 2x C c2
1
2cos 2x
) y D c1 sen 2x C c2 cos 2x:
13. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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Reducción de orden .
E: y 00 C 6y 0 C 9y D 0I y1 D e3x.
D:H
Procedemos proponiendo y2 D uy1 D ue3x
. Tenemos:
y 0
2D 3ue3x C u 0e3x & y 00
2D 9ue3x 6u 0e3x C u 00e3x:
Al sustituir en y 00C 6y 0C 9y D 0 hallamos:
9ue3x 6u 0e3x C u 00e3x 18ue3x C 6u 0e3x C 9ue3x D 0:
Si simplificamos, obtenemos:
u 00e3x D 0 ) u 00 D 0 pues e3x 6D 0:
Esto es, u 0 D k; con k constante. De aquí, u D
k dx D kx. Luego, y2 D uy1 D kxe3x . De
esta forma, la solución general de la ED es
y D c1y1C c2y2 D c1e3x C c2.kxe3x/ ) y D c1e3x C c2xe3x D .c1 C c2x/e3x:
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Reducción de orden .
E: y 00 C 4y 0 C 13y D 0I y1 D e2x cos 3x.
D: H Como la ED está normalizada, buscamos y2 D uy1, donde u D
e
R p.x/dx
y21
dx con p D 4:
u D
e
R p.x/dx
y21
dx D
e
R 4dx
y21
dx D
e4x
.e2x cos 3x/2dx D
D
e4x
e4x cos 23xdx D
1
cos 23xdx D
sec 23x dx D
1
3tan 3x:
Una segunda solución linealmente independiente es
y2D
uy1D
1
3 tan 3x
e
2x
cos 3xD
1
3 e
2x
sen 3x:
Por lo tanto, la solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1e2x cos 3x C c2
1
3e2x sen 3x
o bieny D c1e2x cos 3x C c2e2x sen 3x D e2x.c1 cos 3x C c2 sen 3x/:
15.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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Reducción de orden .
E: 9y 00 4y D 0I y1 D e2x
3 .
D: H Buscamos una segunda solución de la forma y2 D uy1 D ue
2x
3 . Al derivar obtenemos:
y 0
2D
2
3ue
2x
3 C u 0e2x
3 & y 00
2D
4
9ue
2x
3 C4
3u 0e
2x
3 C u 00e2x
3 :
Al sustituir en 9y 00 4y D 0 y simplificar, hallamos:
3e2x
3 .4u 0C 3u 00/ D 0 ) 3u 00C 4u 0 D 0; pues 3e2x
3 6D 0:
Si hacemos w D u 0, hallamos u 00 D w 0; así:
3w 0C 4w D 0 ) 3dw
dx D 4w ) 3dw
w D 4dx:
Al integrar, obtenemos:
3
dw
wD 4
dx ) lnw D
4
3x:
De esta forma, al aplicar la función exponencial encontramos:
lnw D4x
3) w D e
4x
3 ) w Ddu
dxD e
4x
3 :
Por lo tanto, u D e
4x
3 dx D
3
4e
4x
3 , luego:
y2 D uy1 D 3
4e4x
3 e2x
3 D 3
4e2x
3 :
La solución general es
y D c1y1C c2y2 D c1e2x
3 C c2
3
4e2x
3
) y D c1e
2x
3 C c2e2x
3 :
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Reducción de orden .
E: x2y 00 6xy 0 C 10y D 0I y1 D x2.
D:H
Procedemos mediante la propuesta y2 D uy1, es decir, y2 D ux2
. Entonces
y 0
2D 2ux C x2u 0 & y 0 0
2D 2uC 4xu 0
C x2u 00:
Al sustituir en la ED x2y 00 6xy 0 C 10y D 0, obtenemos:
x2Œ2uC 4xu 0C x2u 00 6xŒ2uxC x2u 0C 10ux2 D 0I
es decir:x3.xu 00
2u 0/ D 0 ) xu 00 2u 0
D 0:
Haciendo el cambio de variable w D u 0, hallamos u 00 D w 0:
xdw
dx 2w D 0 ) x
dw
dxD 2w )
dw
wD 2
dx
x:
Al integrar, obtenemos:
dw
wD 2
dx
x) lnw D 2 lnx D lnx2:
Si aplicamos la función exponencial, hallamos:
w D x2 & w Ddu
dxD x2 ) u D x2 dx D 1
3x3:
De esta manera, y2 D uy1 D1
3x3 x2 D
1
3x5. La solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1x2C c2
1
3x5) y D c1x
2C c2x
5:
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1
Reducción de orden .
E: x2y 00 xy 0 3y D 0I y1 D1
x.
D: H Normalizamos la ED dividiendo entre x2:
y 00
1
xy 0
3
x2y D 0:
Para obtener la segunda solución y2 D uy1, aplicamos la fórmula u D
e
R p.x/dx
y21
dx con
p D 1
x& y1 D
1
xD x1. Tenemos:
u D e
R 1xdx
.x1/2 dx D e
R dxx
x2 dx D elnx
x2 dx D
x2
x dx D
x3
dx D
1
4 x4
:
De esta manera y2 D1
4x4
Â1
x
ÃD
1
4x3. La solución general de la ED es
y D c1y1C c2y2 D c1
Â1
x
ÃC c2
Â1
4x3
Ã) y D
c1
xC c2x3:
18.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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1
Reducción de orden .
E: x2y 00 C 8xy 0 C 12y D 0I y1 D x3.
D:H
Normalizamos la ED, dividiendo entre x2
:
y 00C
8
xy 0C
12
x2y D 0:
La segunda solución es y2 D uy1, donde u D
e
R p.x/dx
y21
dx, con p D8
x:
u D
e
R 8xdx
.x3/2dx D
e8
R dxx
x6dx D
e8 lnx
x6dx D
elnx8
x6dx D
x8
x6dx D
x2 dx D
Entonces:y2 D x
1.x3/ D x4:
La solución general de la ED:
y D c1y1C c2y2 D c1x3C c2.x
4/ ) y D c1x3C c2x
4D
c1
x3C
c2
x4:
19.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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Reducción de orden .
E: x2y 00 C xy 0 C 8y D 0I y1 D x4.
D:H
Procedemos proponiendo y2 D uy1 D ux4
. Al derivar y sustituir obtenemos:
y 0
2D 4x3u C x4u 0 & y 00
2D 12x2u C 8x3u 0
C x4u 00:
Entonces:
x2y 00
2C xy 0
2C 8y2 D 0 ) x2Œ12x2u C 8x3u 0
C x4u 00 C xŒ4x3u C x4u 0 C 8ux4 D 0I
simplificando, hallamos:
x5.xu 00C 7u 0/ D 0 ) xu 00
C 7u 0D 0:
Hacemos el cambio de variable w D u 0. Entonces u 00 D w 0 & xw 0 C 7w D 0. Tenemos:
xdw
dxC 7w D 0 ) x
dw
dxD 7w )
dw
wD 7
dx
x:
Integrando, obtenemos:
dw
wD 7
dx
x) lnw D 7 lnx D lnx7:
Aplicando la función exponencial en ambos miembros:
w D x7 & w D dudx
D x7 ) u D
x7 dx D 1
6x6:
Por lo tanto, y2 D uy1 D 1
6x6 x4 D
1
6x2. De esta forma, la solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1x4
C c2
Â1
6x2
Ã) y D c1x
4C c2x
2D c1x
4C
c2
x2:
20. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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1
Reducción de orden .
E: .1 x/y 00 C xy 0 y D 0I y1 D x.
D:H
Proponemos como una segunda solución y2 D uy1, esto es, y2 D ux. Al derivar obtenemos
y 0
2D uC xu 0 & y 00
2D 2u 0
C xu 00:
Así, al sustituir en la ED:
.1 x/Œ2u 0C xu 00 C xŒu C xu 0 ux D 0:
Podemos simplificar y resulta:
.x2 2x C 2/u 0
.x 1/xu 00D 0I
o también:.x 1/xu 00
D .x2 2x C 2/u 0:
Si tomamos el cambio de variable w D u 0, entonces u 00 D w 0, de aquí:
.x 1/xw 0D .x2
2x C 2/w ) .x 1/xdw
dxD .x2
2x C 2/w )dw
wD
.x2 2x C 2/
.x 1/xdx:
Al integrar usando fracciones parciales, hallamos:
dw
w
D .x2 2x C 2/
.x 1/x
dx ) dw
w
D Â1 C1
x 1
2
xÃdx )
) ln w D x C ln.x 1/ 2 ln x ) ln w C 2 ln x ln.x 1/ D x ) lnw x2
x 1D x:
Aplicando la función exponencial, encontramos:
w x2
x 1D ex ) w D
du
dxD
.x 1/ex
x2:
Al integrar:
u D
.x 1/ex
x2dx D
d
dx
Âex
x
Ãdx D
ex
x:
De esta manera, y2 D u y1 Dex
x x D ex. La solución general de la ED es
y D c1x C c2ex:
21. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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Reducción de orden .
E: xy 00C 2y 0C xy D 0I y1 Dsen x
x.
D: H Al normalizar la ED, hallamos:
y 00C
2
xy 0C y D 0:
La segunda solución es y2 D u y1, donde u D
e
R p.x/dx
y21
dx con p D2
x:
u D
e
R 2xdx
sen x
x
Á2 dx D
e2 lnx
sen 2x
x2
dx D
x2elnx2
sen 2xdx D
x2 x2
sen 2xdx D
csc 2x dx D cot x
Entonces, y2 D u y1 D cot x sen x
xD
cos x
x. La solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1 sen x
xC c2
cos x
x
Á) y D
1
x.c1 sen x C c2 cos x/:
22.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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1
Reducción de orden .
E: x2.ln x 1/y 00 xy 0 C y D 0I y1 D x.
D:H
Normalizamos la ED:
y 00
1
x.ln x 1/y 0C
1
x2.lnx 1/y D 0:
Aplicamos y2 D uy1, donde u D
e
R p.x/dx
y21
dx con p D 1
x.ln x 1/:
u D
e
R
1x.lnx1/
dx
x2dx D
e
R dxx.lnx1/
x2dx:
tomamos w D ln x 1I dw D dxx
.
u D
eln.lnx1/
x2dx D
ln x 1
x2dx D
1 ln x
x2dx D
d
dx
Âln x
x
Ãdx D
ln x
x:
Así, y2 D uy1 D ln x
x x D ln x. La solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1x C c2. ln x/ ) y D c1x C c2 ln x:
23.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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1
Reducción de orden .
E: xy 00 C .x 1/y 0 y D 0I y1 D ex.
D:H
Empezamos normalizando la ED:
y 00C
x 1
xy 0
1
xy D 0:
Por lo tanto, al usar y2 D uy1, donde u D
e
R p.x/dx
y21
dx con p Dx 1
x:
u D
e
R x1x
dx
.ex/2dx D
e
R 1 1
x
dx
e2xdx D
e
R 1x 1
dx
e2xdx D
e2x elnxx dx D
D
e2x
elnx
ex
dx D
xex
dx D xex
ex
; después de integrar por partes.
De esta manera:y2 D uy1 D .xex ex/.ex/ D x 1:
Por lo tanto, la solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1ex
C c2.x 1/:
24.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010
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Reducción de orden .
E: xy 00 .2x C 1/y 0 C .x C 1/y D 0I y1 D ex.
D:H
Buscamos una solución de la forma y2 D uy1, es decir, y2 D uex
. Si derivamos:
y 0
2D uex C exu 0 & y 00
2D uex C 2exu 0
C exu 00:
Al sustituir en xy 00 .2x C 1/y 0 C .x C 1/y D 0:
xŒuex C 2exu 0C exu 00 .2x C 1/Œuex C exu 0C .x C 1/uex D 0:
Si simplificamos, obtenemos:
exŒxu 00 u 0 D 0 ) xu 00
u 0D 0:
Hacemos ahora el cambio de variable, w D u 0, entonces u 00 D w 0, así:
x w 0 w D 0 ) x
dw
dxD w )
dw
wD
dx
x:
Al integrar: dw
wD
dx
x) ln w D ln x ) w D x:
De esta manera, w Ddu
dxD x ) u D
x dx D
1
2x2. Por lo tanto, y2 D u y1 D
1
2x2ex. La
solución general de la ED es
y D c1y1 C c2y2 D c1ex C c2
Â1
2x2ex
Ã) y D c1ex C c2x2ex D ex.c1C c2x2/:
25.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010