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Construção de Polígonos para
Resolução de Problemas
JULIO CESAR FERRI
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS PARA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Julio Cesar Ferri
Laura Marisa Carnielo Calejon
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS PARA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Universidade Cruzeiro do Sul
2015
© 2015
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – Profa. Dra. Tania Cristina Pithon-Curi
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação – Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato
Banca examinadora
Profa. Dra. Laura Marisa Carnielo Calejon
Prof. Dr. Juliano Schimiguel
Prof. Dra. Rosemary Aparecida Santiago
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
F45c
Ferri, Julio Cesar.
Construção de poligonos para resolução de problemas / Julio
Cesar Ferri. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2015.. 34 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e
Matemática).
1. Ensino de geometria 2.Construção de polígonos 3. Geometria – Ensino Fundamental. 4. Geogebra (software) 5. Processo de ensino – aprendizagem. I. Título. II. Série.
CDU: 514:373.3
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................5
2 A APRENDIZAGEM E ESCOLARIZAÇÃO NA PERSPECTIVA HISTÓRICO-
CULTURAL ................................................................................................................................8
3 PROCEDIMENTO PARA UTILIZAR O GEOGEBRA COMO RECURSO
PEDAGÓGICO NO ENSINO DA GEOMETRIA ..................................................................10
3.1 ATIVIDADE 1 .....................................................................................................................18
3.2 ATIVIDADE 2 .....................................................................................................................20
3.3 ATIVIDADE 3 .....................................................................................................................23
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ...................................................................................29
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................32
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................34
Julio Cesar Ferri
5
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
O produto apresentado relaciona-se com uma tendência do ensino de
Matemática e com o desenvolvimento dos recursos da tecnologia da
comunicação e da informação (TIC), tomando como foco o ensino de conteúdos
de geometria e o software denominado GeoGebra.
O ensino matemática inclui conceitos geométricos. Estes são
apresentados nos livros didáticos por meio de axiomas, definições, teoremas e
exercícios. Muitas vezes, as práticas de aprendizagem consistem na
memorização, com o objetivo de aplicar os conceitos diretamente para resolver
exercícios simples. Dentro dessa prática tradicional de memorização, não se
pode esperar um bom desempenho dos alunos em exercícios que exigirem a
validação de determinadas fórmulas ou para resolver problemas conceituais.
Esse ambiente não oferece aos alunos a oportunidade de compreender
profundamente os conceitos de geometria e as fórmulas introduzidas e, assim,
eles não conseguem revolver problemas conceituais de diferentes exercícios de
rotina.
Uma compreensão conceitual da geometria, que é um entendimento
baseado no discernimento, exige imaginação e criatividade, uma vez que as
derivações de fórmulas se baseiam na flexibilidade e generalização de figuras
ou formas. Deste modo, os livros didáticos não podem visualizar a natureza
dinâmica das figuras geométricas no papel.
Como consequência, os alunos são obrigados a investigar mentalmente
as possíveis propriedades de objetos geométricos sem uma forma externa para
aumentar a compreensão dos conceitos relacionados e, portanto, eles muitas
vezes não conseguem desenvolver insights sobre os conteúdos ensinados.
Assim, a internalização das representações geométricas é um desafio mental
para os alunos, que enfrentam dificuldades de aprendizagem quando a
apresentação desses conceitos é realizada apenas por meio de livros didáticos.
Este problema continua persistente em um ambiente de aprendizagem que
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
carece de recursos dinâmicos que podem facilitar a justificação e validação de
definições, axiomas e teoremas de uma forma perspicaz.
A proposta é propiciar ambientes de estudo em que a participação do
professor seja de mediação nas atividades, e onde os alunos possam exercer a
liberdade para externar seus pensamentos, participando na construção do
conhecimento, é o que realmente se espera das novas tendências da educação
brasileira.
Dessa maneira, é importante desenvolver procedimentos que ajudem os
alunos a serem ativos no processo de ensino-aprendizagem, motivando-os à
produção de conhecimento e transformando-os em cidadãos atuantes, constitui-
se em um grande desafio para as escolas, nos dias atuais.
Este produto foi elaborado a partir da dissertação “O Uso do GeoGebra
no Ensino de Matemática”, ano 2015, em que pesquisador se dedicou a iniciar
novas formas para comunicar-se com os alunos, como condição importante do
processo de ensino.
O público alvo deste produto foi pensado para os anos finais do ensino
fundamental II, 9º Ano, estes estudantes têm dificuldades em assimilar os
conteúdos de geometria, pois não conseguem traçar parâmetros ou conexões
cabíveis entre os conceitos apresentados. Além disso, não conseguem de
imediato relacionar a aplicabilidade desses conteúdos em profissões futuras.
Essas assertivas são baseadas na própria experiência de aprendizagem do
pesquisador, tanto como aluno do Ensino Fundamental, como atualmente ao
exercer a função de professor. Estes dados coincidem, de certa forma, com as
experiências vividas pelo pesquisador, enquanto estudante, no seu processo de
escolarização.
Posteriormente, a partir da experiência profissional como professor, foi
possível observar que a qualidade da aprendizagem dos conceitos da geometria
era menor e as dificuldades nesta área aumentavam entre os estudantes,
trazendo, com isso, desinteresse, dispersão e até repulsa em relação às aulas.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Com um olhar mais atento e experiente em sala de aula, esse problema
recorrente aguçou o interesse do pesquisador, que buscou alternativa para
articular o computador a geometria, num processo educacional, surge então o
desafio de como a tecnologia da comunicação e da informação contribui na
produção de contextos de ensino dos conteúdos da Geometria no Ensino
Fundamental.
O referencial teórico assumido para compreender a complexidade e
integralidade do fenômeno pesquisado foi o enfoque histórico-cultural. No campo
do ensino de matemática a pesquisa assumiu conceitos sistematizados pela
modelagem matemática. O uso dos recursos da tecnologia da comunicação e da
informação representa uma alternativa importante na organização de contextos
de ensino capazes de levar os alunos na superação de suas dificuldades.
O produto deste estudo consiste num procedimento para utilizar o
GeoGebra como recurso pedagógico no ensino da geometria.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 A APRENDIZAGEM E ESCOLARIZAÇÃO NA PERSPECTIVA HISTÓRICO-
CULTURAL
Entre as tendências no ensino da disciplina ora em foco, a Modelagem
Matemática (MM) tem se mostrado adequada no que se refere a atender às
necessidades impostas pela sociedade, pois oferece mais uma alternativa para
o professor organizar o contexto de ensino.
Logo, ao se observar com maior ênfase a Modelagem Matemática
agregada à tecnologia, notar-se-á que esta pode ser compreendida a partir das
proposições de Vygotsky, ainda que o tempo transcorrido entre as duas
explicações seja bastante extenso. Este produto analisa uma proposta de ensino
organizada nestas bases, buscando contribuir com professores e estudantes no
sentido de organizar situações de ensino capazes de contribuir para o
crescimento intelectual dos estudantes e estudiosos de Matemática.
Segundo Rosa (2014), uma primeira constatação de Vygotsky é que o
pensamento e a linguagem, que para um adulto parecem entidades idênticas,
são, na verdade, dois processos independentes, que convergem para uma
mesma trajetória em um dado momento. A base a partir da qual Vygotsky parte
para chegar a essa conclusão são estudos com primatas superiores, realizados
por vários antropólogos.
De acordo com Vygotsky (1996), o pensamento ocorre por intermédio das
relações que a criança estabelece com a cultura, em sua ação no mundo real.
Essa ação é mediada por signos ou "instrumentos psicológicos":
Os instrumentos psicológicos são elaborações artificiais; são sociais por natureza e não são orgânicos ou individuais; são destinados ao controle dos processos do próprio comportamento ou do comportamento dos outros, assim como a técnica é destinada ao controle dos processos da natureza. Aqui estão alguns exemplos de instrumentos psicológicos: a linguagem, as diversas formas de contagem e de cálculo, os símbolos algébricos, as obras de arte, a escrita, os esquemas, os diagramas, os mapas, todos os signos possíveis (VYGOTSKY, 1996, p. 38).
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Vygotsky pressupõe uma relação de interdependência entre
aprendizagem e desenvolvimento.
Desta forma, a aprendizagem cria a zona de desenvolvimento potencial
porque aciona processos internos de desenvolvimento quando a criança interage
com um parceiro mais experiente. Daí a importância da realização de trabalhos
em grupo. Resulta desta compreensão e deste conceito que o processo de
ensino e aprendizagem se constitui em um espaço colaborativo, marcado por
elações interpessoais entre o sujeito e outros mais desenvolvidos. Assim a zona
de desenvolvimento proximal configura uma experiência emocional
caracterizada por um desenvolvimento real ou atual e o desenvolvimento
potencial do sujeito, assim como por níveis de ajuda oferecidos por ¨outros¨ que
são portadores de cultura, incluindo o domínio dos recursos da comunicação e
da informação.
Outro fator importante a ser considerado refere-se à linguagem. Segundo
Vygotsky (1996), o desenvolvimento do pensamento é determinado pela
linguagem, isto é, pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela
experiência sociocultural da criança. O crescimento intelectual da criança
depende de seu domínio dos meios sociais do pensamento, isto é, da linguagem.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3 PROCEDIMENTO PARA UTILIZAR O GEOGEBRA COMO RECURSO
PEDAGÓGICO NO ENSINO DA GEOMETRIA
O produto consiste num procedimento para utilizar o software GeoGebra
como recurso pedagógico no ensino da Geometria.
Os recursos tecnológicos ultrapassam limites de tempo e espaço,
oferecendo flexibilidade para as pessoas que, em circunstâncias diversas,
utilizem-se das vantagens que a TIC proporciona, gerando uma fonte de estímulo
educativo.
Uma possível solução para o problema descrito na apresentação deste
produto, é a partir da introdução de um ambiente de geometria dinâmica, com a
utilização do software GeoGebra (http://www.geogebra.org) para o ensino e
aprendizagem de geometria. A geometria dinâmica pode ser incorporada em
uma sala de aula de geometria regular a fim de fornecer, por meio do recurso
GeoGebra, uma representação visual dos conceitos de geometria no sentido
físico. Para os alunos, a geometria dinâmica desempenha o papel de uma
ferramenta intelectual para o estudo de objetos de geometria empiricamente. O
objetivo da aprendizagem ao utilizar a geometria dinâmica, a fim de fornecer
suporte para processos baseados no livro didático de geometria. Para isso,
foram formuladas atividades baseadas em uma série de lições de geometria
dinâmica, com a utilização do GeoGebra, a fim de explorar o uso desse recurso
na aprendizagem de geometria.
Com base na teoria de Vygotsky uma formação mais eficaz pode ser
induzida por meio da utilização da TIC. A proposta deste produto é provocar
possíveis efeitos práticos da utilização do GeoGebra sobre a aprendizagem de
geometria em termos de melhoria da motivação, participação ativa,
entendimento conceitual e estratégias de resolução de problemas por partes dos
alunos. A incorporação do GeoGebra em uma aula de geometria regular é uma
iniciativa para o desenvolvimento e extensão de uma pedagogia centrada no
aluno.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Neste produto, o GeoGebra foi usado para apoiar a construção de
conhecimentos teóricos de geometria, e aumentar a motivação e suporte aos
alunos na construção conceitos e ideias através da experiência empírica.
O recurso GeoGebra tem uma variedade de ferramentas que permitem
aos alunos construir objetos geométricos e visualizar conjecturas geométricas
ou ideias em um nível perceptivo. Além disso, as ferramentas oferecem
flexibilidade dos objetos (ferramenta de arrastar). A flexibilidade da construção
geométrica possibilita aos alunos a oportunidade de justificar, validar ou refutar
as conjecturas ou ideias, bem como construir conjecturas baseadas na evidencia
empírica. Assim, o GeoGebra é um recurso que garante uma nova configuração
de aprendizagem e novas interações, porque inclui características únicas que
suportam a aprendizagem de geometria.
O GeoGebra fornece ferramentas para manipular objetos em um sentido
físico, pois possibilita diferentes formas de manipular as figuras geométricas
(arrastar). Este produto possibilita um novo meio de aprendizagem que
proporciona experiências tangíveis para os alunos através de interações físicas
realizadas com o GeoGebra. Este suporte físico para a construção de processos
mentais está alinhado com a visão de Vygotsky (1996), indicando que o uso da
TIC na educação tem um potencial promissor no processo de internalização do
conhecimento.
O GeoGebra é um software com suporte livre (código aberto) da
comunidade matemática, em um ambiente de aprendizagem que integra
múltiplas representações dinâmicas, vários domínios da matemática, e uma rica
variedade de utilidades computacionais para MM e simulações (BU; SCHOEN,
2011).
O GeoGebra criou um efeito positivo, centrado em torno da integração da
tecnologia no ensino-aprendizagem da Matemática, que se estendeu a partir
deum projeto de design de pós-graduação na Universidade de Salzburg, por
intermédio de fronteiras internacionais para todas as regiões do mundo,
atingindo desde estudantes universitários e seus professores até crianças em
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
áreas rurais. Para a maioria dos interessados, o uso do GeoGebra e as
atividades curriculares baseadas nesse software, considerado um fenômeno
popular, é motivada distintamente pelo compromisso profissional dos
professores e sua curiosidade matemática e didática (BU; SCHOEN, 2011;
SPECTOR et al., 2011).
O GeoGebra oferece a oportunidade de explorar uma grande variedade
de conceitos algébricos e geométricos por meio da prática da manipulação de
gráficos, tabelas, fórmulas e formas. É também uma maneira conveniente e fácil
de gerar gráficos e imagens para apresentações, perguntas de testes, e
problemas (GARBER, 2010).
O GeoGebra oferece novas ferramentas que vão além dos métodos
tradicionais, desse modo, amplia o leque de construções geométricas acessíveis
e suas soluções. Ele pode ser usado para a visualização de objetos e para
melhorar o processo de aprendizagem pela descoberta, permitindo que os
alunos explorem uma quantidade maior de exemplos na tela do computador, o
que não seria possível em uma aula tradicional de geometria, devido ao tempo
na construção do objeto.
Com o GeoGebra os alunos podem começar a explorar conceitos por si
mesmos. Outras razões importantes que podem levar um professor a adotar o
uso do GeoGebra em sala de aula são descritas por Mainali e Key (2012):
O GeoGebra dá flexibilidade aos professores: o papel
desempenhado pela tecnologia não é fixo e pode ser alterado ao
longo do tempo, conforme a experiência do professor aumenta. Isto
significa que os professores terão maior flexibilidade no que eles
querem fazer e no modo como vão apresentar as atividades par os
alunos. Esse ambiente de aprendizagem permite aos professores
adaptar seus métodos de instrução e de ensino de forma mais
eficaz às necessidades dos seus alunos.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Professores e alunos se tornam co-aprendizes: a tecnologia pode
transformar o ensino da geometria, estimulando os alunos em
demonstrações interativas, construções e explorações dos
conteúdos. Os professores, por vezes, são co-aprendizes dos
alunos nesses empreendimentos sobre como eles instituem
explorações de um conceito de geometria e, assim, envolver-se em
discussões com seus alunos sobre estas explorações.
Permite a aprendizagem centrada no aluno: o GeoGebra promove
programas de investigação dirigidos pelo aluno e trabalho
colaborativo com as atividades adequadamente concebidas por
meio das quais os professores podem oferecer aos alunos a
oportunidade de formular teorias e tirar suas próprias conclusões.
Desenvolve habilidades de pensamento nos alunos: a intuição dos
alunos pode ser trazida para um nível superior, expondo-os a uma
ampla gama de conceitos geométricos que eles podem explorar
por si mesmos e, às vezes, até mesmo descobrir um pouco mais
sobre matemática além da geometria. Essa atividade também dá
aos alunos mais controle sobre sua própria aprendizagem.
O GeoGebra é um exemplo de software matemático onde as figuras
geométricas podem ser manipuladas e operações algébricas podem ser
realizadas não apenas pelos professores, mas também pelos alunos que
trabalham de forma independente do professor. Uma vantagem importante do
GeoGebra é que é um software de código aberto e, portanto, não exige esforço
financeiro extra para as escolas, professores ou alunos para adquiri-lo, podendo
ser realizado o download gratuito do software pela internet
(http://www.geogebra.org).
O GeoGebra pode ser particularmente atraente para os professores,
porque fornece uma plataforma para atividades que requerem um alto nível de
abstração dos alunos. Ao trabalhar com essas atividades os alunos permanecem
engajados com os recursos interativos que o GeoGebra oferece, aprendendo a
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
partir do feedback, vendo padrões, fazendo conexões, e trabalhando com
imagens dinâmicas.
A tela inicial do GeoGebra contém uma barra de menus, barra de
ferramentas, janela de visualização, janela de álgebra, campo de entrada para
fórmulas, conforme demonstra a figura 1.
Figura 1: Interface do GeoGebra Fonte: GeoGebra, 2015.
A caixa de ferramentas do GeoGebra contém os menus para a utilização
do software. Para acessar esses menus basta clicar em cada item e escolher a
opção desejada. A interface do GeoGebra é intuitiva e facilita a acessibilidade
tanto para professores como para os alunos.
O recurso vem a atender uma situação específica do conceito de
Semelhança de Triângulos, matéria bem difundida no Ensino Fundamental.
Duas figuras geométricas são semelhantes se têm a mesma forma, mas
não necessariamente o mesmo tamanho, uma delas pode ser ampliada ou
reduzida, é um modelo exato da outra.
Um exemplo bem simples trata-se da ampliação e redução de fotografias,
fotos 3x4 podem ser ampliadas para os mais diversos tamanhos: 10x15; 13x18
e assim por diante, o contrário também é verdadeiro, podemos reduzir.
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Vamos construir um triângulo qualquer, com ajuda do software GeoGebra
para demonstrar redução e ampliação, ou seja, semelhança de polígonos.
Somente alguns passos antes da atividade.
Construa um triângulo de lados ABC: clicar em: e com o
botão lado esquerdo do mouse, construa o triângulo, no final do
terceiro clique você terá os pontos ABC, (aparecerá
automaticamente) e ligue o ponto C até A para finalizar a figura.
Figura 2: Triângulo de lados ABC Fonte: GeoGebra, 2015.
Agora vá em: , clique fora (botão esquerdo mouse) de seu
triângulo criando o ponto D.
Figura 3: Triângulo de lados ABC Fonte: GeoGebra, 2015.
Clicar em: , reta e clicar no ponto D e A. repita o mesmo
processo no ponto D e C.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 4: Triângulo de lados ABC Fonte: GeoGebra, 2015.
Neste momento, criaremos a homotetia da figura, clicar em:
homotetia, após clicar no ABCD e no ponto D, aparecerá uma janela
pedindo o fator (razão entre ampliação e redução), coloque um
valor mais baixo, caso contrário a figura ficará muito grande ou
muito pequena, a sugestão é colocar fator 2 e clicar em OK.
Figura 5: Triângulo de lados ABC – homotetia Fonte: GeoGebra, 2015.
Será criado o ' ' 'A B CD , a figura foi ampliada com fator 2, então,
colocaremos os ângulos internos, para isso clicar em: ,
ângulo, após clicar no triângulo ' ' 'A B CD e ao repetir no ABCD ,
teremos os valores dos ângulos internos destes triângulos.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 6: Triângulo de lados ABC – ampliado Fonte: GeoGebra, 2015.
Vamos agora indicar os valores dos segmentos dos dois triângulos.
Clicar em: , Distância, Comprimento ou Perímetro, após
clicar no segmento AC, o valor aparecerá.
Figura 7: Triângulo de lados ABC – com valores Fonte: GeoGebra, 2015.
Repetir com todos os lados dos triângulos.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 8: Triângulo de lados ABC – com valores
Fonte: GeoGebra, 2015.
Agora está pronto o triângulo semelhante, podendo na sequência
explorar alguns conceitos desta construção.
3.1 ATIVIDADE 1
Com base na construção abaixo, e os mesmos conceitos na que foram
abordados anteriormente, verifique, explore e valide suas hipóteses para
responder as questões:
Figura 9: Atividade 1
Fonte: GeoGebra, 2015.
Julio Cesar Ferri
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1. O que você nota nos triângulos são semelhantes?
Defina o que leva a sua conclusão.
Sugestão: Para comprovar se dois triângulos são semelhantes devemos
verificar se os pares de ângulos são congruentes ou os pares de lados
homólogos são proporcionais.
Resolução pelo GeoGebra:
No campo de entrada, , digitar : a’/a, irá
aparecer o fator de ampliação ou redução (homotetia), pois teremos de ter o
mesmo fator em pelo menos dois pontos para serem semelhantes. Repetir o
processo para B e C. Rapidamente nota-se que o fator é 2 em todos os pontos.
A partir dos segmentos homólogos ' ' ' ' ' 'A B C B C A
AB CB CA= = , vamos
calcular se proporcionalmente os lados são iguais, logo:
' ' 12,36
26,18
A B
AB= =
' ' 4,4
22,2
C B
CB= = \
' ' ' ' ' 'A B C B C A
AB CB CA: :
' ' 12,24
26,12
C A
CA= =
Podemos calcular também pelos ângulos, se temos pelo menos
dois, dos três ângulos congruentes, têm uma proporção na figura.
Podemos destacar que todas as informações já estão na própria figura
construída, podemos observar já “janela de álgebra”, canto esquerdo da tela.
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 10: Janela de Álgebra Fonte: GeoGebra, 2015.
Onde as letras f, g e i são respectivamente ' ' ' ' ' 'A B C B C A
AB CB CA= = .
3.2 ATIVIDADE 2
No ABCD traçando uma reta paralela a C’A’ formará um novo triângulo
BFE, podemos dizer que BFED é semelhante ao ABCD ?
Figura 11: Atividade 2 Fonte: GeoGebra, 2015.
Sugestão: Deixe os alunos procurarem uma relação que satisfaça em
seus próprios arquivos possibilitando altera-los.
Sugestão 2: Faça uma reta paralela a um dos lados do triângulo e outra
perpendicular a um lado (qualquer) destaque os ângulos para estabelecer uma
relação e deixem explorar as diferenças.
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Questione qual é a figura semelhante, já que as duas tem como origem
o mesmo triângulo ABC. Por que uma sai semelhante e outra não?
Figura 12: Atividade 2 (Sugestão 2) Fonte: GeoGebra, 2015.
Os pontos em destaque na figura D e E, são móveis, portanto percebe-se
que os ângulos não se mexem, são o mesmo em toda extensão do triângulo
ABC.
Veja em outra demonstração a mesma figura anterior em movimento.
Figura 13: Atividade 2 (Sugestão 2 após movimento) Fonte: GeoGebra, 2015.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Resolvendo pelo GeoGebra: Como reta e não é paralela a nenhum lado
do triângulo ABC, não podemos estabelecer nenhuma semelhança, pois os
ângulos e os lados não são correspondentes. Para haver semelhança
deveríamos notar que ângulos ou lados homólogos são correspondentes.
Portanto a reta d, demonstrou ser paralela a base AC pois seus ângulos
são congruentes, sendo assim:
Figura 14: Atividade 2 (resolução parte 1) Fonte: GeoGebra, 2015.
Separando os triângulos ABC e GB’H, temos:
Figura 15: Atividade 2 (resolução parte 2) Fonte: GeoGebra, 2015.
Δ GB’H
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 16: Atividade 2 (resolução parte 3) Fonte: GeoGebra, 2015.
Δ AB’C
Como d // AC, temos:
B'B
HGB' ΔC AB'ΔHC
GA
^^
^^
^^
≡
≈⇒≡
≡
3.3 ATIVIDADE 3
Atividade desafio: (Unicamp – Vestibular). Uma rampa de inclinação
constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4
metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-
la, nota que, após caminhar 12,3 m sobre a rampa, está a 1,5 m de altura em
relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para
atingir o ponto mais alto da rampa.
Sugestão: represente no GeoGebra um triângulo assim feito nos
exercícios anteriores e coloque as medidas, usa-se o botão , texto e
aparecerá uma janela, coloque a medida se desejar, tecle OK. Procure observar
semelhança entre triângulos na figura, monte uma proporção com os lados e
resolva a equação correspondente usando inicialmente uma regra de três.
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Sugestão 2: Represente em valores com escala, nesse caso usei para
cada centímetro 1 metro na representação em tamanho natural, ou seja, escala
em 1:100 cm.
Primeiramente na tela vamos marcar no eixo y a altura da rampa,
clicar ponto e depois sobre o 4.
Após, traçar uma reta paralela ao eixo x, vá em reta paralela,
clique e clique também na reta x, arraste a reta para a posição 4 no
ponto ela se moverá.
Após clicar e realizar uma construção clique em mover,
serve para “limpar” e dar o próximo comando (pode repetir este
passo, sempre que for conveniente).
Clicar na origem do sistema, marcando mais um ponto igual ao
primeiro passo.
Temos que criar mais uma reta (será a rampa), clicar em
reta, e logo após no ponto criado na origem do sistema.
Vamos agora interceptar, criando um ponto no final da “rampa”,
clique em intersecção de dois objetos e logo após onde cria-
se o ponto D, figura a seguir.
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 17: Atividade desafio Fonte: GeoGebra, 2015.
Para criar os pontos F e E, basta no campo de entrada
, que fica em baixo da tela, o par ordenado do
problema (12.3, 1.5) aperte enter, cria-se o ponto F, logo após
digite (12.3, 0), cria-se o ponto E.
Falta apenas um ponto para finalizar, podemos clicar em
reta paralela e clicar em y, a reta se moverá, levaremos ela até o
ponto D. clicar em ponto e teremos o último ponto marcado.
Agora iremos apenas criar o polígono clicar em e construir o
triângulo, destacando.
Para finalizar clique em distância, comprimento e perímetro
e ir clicando no segmento que desejar descobrir a medida, ela irá
aparecendo com seus respectivos segmentos. (Lembre-se que
está em escala).
Observe na janela de Álgebra, você tem todas as informações que
necessita sobre o triângulo construído.
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 18: Atividade desafio (janela de álgebra) Fonte: GeoGebra, 2015.
Figura 19: Atividade desafio (resolução) Fonte: GeoGebra, 2015.
Estima-se que melhore o desempenho na interpretação de enunciados,
grande dificuldade quando ocorre uma transposição do escrito para a figura.
Atividade em dupla: (Adaptado livro didático – Matemática uma aventura
do pensamento. Oscar Guelli, 2º edição São Paulo 2005, p. 119).
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Para calcular a largura de um rio, Luis observa duas árvores, uma em
cada margem.
Luis coloca-se a certa distância da árvore mais próxima, de tal
forma que não consegue ver outra.
Luís caminha para o rio, perpendicularmente à margem, e conta 24
passos até a margem.
Depois vai até a árvore, contando 18 passos.
Continua a caminhar no mesmo sentido, até ficar em frente à árvore
da outra margem.
Nesse trecho, Luís contou 72 passos.
Pergunta-se: Qual é a largura do rio se 60 passos de Luís correspondem
a 30 m?
Sugestão: Neste exercício a proposta é por em prática o conhecimento,
que foi sendo construído com o auxílio do software GeoGebra, é livre a
interpretação, pode ser feito por desenho, pelo computador ou até mesmo
simulando o problema, o que vale é a construção do pensamento e onde
podemos intervir, o software ajuda a montar uma dinâmica, mas vale ressaltar
que é um dos recursos, nessa hora, não podendo inibir nenhuma outra
manifestação.
Resolvendo pelo GeoGebra:
Julio Cesar Ferri
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 20: Atividade em dupla Fonte: GeoGebra, 2015.
Resolução: NQ QR
PO RP= ( Lados homólogos no triângulo)
24 18
72x=
24 18
72x=
18 1728
1728
18
x
x
=
=
96
9648
2
x =
\ =
Se 60 passos de Luís equivalem a 30 metros, para andar 1 metro terá de
dar 02 passos. A cada 02 passos equivalem a 1 metro percorrido por Luís.
Portanto o rio tem uma largura de 48 metros.
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4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
Ao utilizar o GeoGebra para a aprendizagem de conceitos de geometria,
cabe ao professor o papel de gestor e orientador do processo de aprendizagem.
Todas as aulas devem ser planejadas antecipadamente, com o objetivo de
atender às necessidades de aprendizagem dos alunos e motivá-los no estudo
dos conceitos geométricos.
Pelas fases interligadas de tarefas orientadas para objetivos com o
recurso GeoGebra, o professor cria uma cultura rica em tecnologia apropriada
para a aprendizagem, que se baseia nas habilidades instrumentais dos alunos e
competências do conhecimento em geometria/matemática.
As ações do professor, sua fala e gestos durante a atividade de classe
devem destacar seu foco em como o GeoGebra pode ser usado para explorar a
geometria/matemática, criando uma estrutura para a partilha, participação e
colaboração entre os alunos.
Para manter os alunos interessados e motivados, é preciso que o
professor tenha foco na tarefa atual e, posteriormente, apresente uma tarefa
mais desafiadora e interessante em cada transição para uma nova fase da
atividade. O elevado nível de autonomia e independência que o GeoGebra
oferece aos alunos é útil para ajudá-los a fazer escolhas individuais, resolvendo
sozinhos suas atividades. Em alguns casos, os alunos podem trabalhar em
duplas para discutir o que está sendo aprendido.
O professor deverá intervir apenas em intervalos necessários para apoio
e suporte adequado aos alunos, de modo a garantir que as atividades estão
procedendo em direção ao objetivo definido para a aula.
O desenvolvimento do conhecimento de geometria está em o aluno saber
o que fazer quando estiver engajado em uma tarefa no ambiente GeoGebra, e o
conhecimento técnico torna-se uma exigência para que ele possa usar esse
recurso pedagógico.
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Neste sentido, o professor é mais do que um guia, ele também é um
recurso de suporte para os alunos, fornecendo a introdução inicial ao uso do
GeoGebra e estando prontamente disponível para dar apoio técnico e as
informações necessárias para incentivar a construção de técnicas pelos próprios
alunos. Com o suporte do professor, os alunos se sentem mais confiantes para
usar o GeoGebra, pois sabem que em caso de dúvidas pode contar com o auxílio
do professor.
Quando surgirem dúvidas é importante que elas sejam discutidas em
conjunto com a classe, assim, o professor organiza as condições para o
surgimento de um debate sobre o assunto, motivando todos a buscar soluções
para problemas comuns relacionados ao GeoGebra e aos conceitos de
geometria, onde os alunos se envolvem em um processo de colaboração e
compartilhamento de experiências.
A interatividade é considerada uma função da TIC que permite um
feedback rápido e dinâmico, com respostas contingentes sobre as ações do
usuário, levando a diversas interações sociais, entre professor e alunos, alunos
e alunos, por intermédio do GeoGebra.
O feedback do professor é fundamental na motivação do aluno para a
aprendizagem, tendo como pano de fundo a interatividade social e o uso de
técnicas orquestradas pelo professor e apoiadas pelo ambiente de
aprendizagem dinâmica com o uso da TIC.
A estratégia de aula com o uso do GeoGebra visa a interação entre os
alunos, e o papel do professor é tornar essa interação possível, motivando os
alunos a se envolverem nas atividades propostas.
Esse tipo de interatividade técnica e pedagógica possibilita o início de um
diálogo, permitindo a participação ativa e a colaboração entre professor e alunos
enquanto se envolve com a atividade usando o GeoGebra. Apesar de o professor
manter a direção da aula para as atividades a serem realizadas, com o
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GeoGebra, os alunos podem aprender em seu próprio ritmo, sendo orientados
pelo professor.
No uso do GeoGebra em sala de aula o papel do professor pode ser
resumido como um orientador desta tecnologia, estimulando os alunos a se
manterem focados na tarefa a ser realizada, além de projetar sequências
progressivas de atividades de aprendizagem e facilitar o processo de reflexão
dos alunos sobre a tarefa realizada. Todo esse processo irá desenvolver nos
alunos a autonomia e independência para o uso do GeoGebra, e com a prática
eles irão começar a buscar suas respostas construindo e assimilando os
conceitos de geometria.
É importante que o professor adquira o conhecimento técnico necessário
para a utilização do GeoGebra em sala de aula, antes de apresenta-lo aos seus
alunos. A forma como o professor apresenta uma tecnologia, tem grandes
consequências para a sua aplicação em sala de aula. O estudo realizado pelo
pesquisador demonstrou que os problemas técnicos poderiam ser um fator
crítico para professores de matemática utilizarem os recursos tecnológicos em
sala de aula.
Com a experiência no uso do GeoGebra o professor se torna mais
confiante, por esse motivo, o conhecimento técnico e o planejamento das aulas
é fundamental.
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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O produto apresentado neste estudo foi um procedimento para utilizar o
software GeoGebra como recurso pedagógico no ensino da Geometria.
O uso do GeoGebra em sala de aula visa, essencialmente, melhorar a
aprendizagem dos conceitos geométricos através da criação de um contexto em
que as atividades fazem sentido para os alunos, tornando-os motivados e com
maior autonomia sobre seu processo de aprendizagem.
A experiência do pesquisador com o uso do GeoGebra tem demonstrado
uma boa receptividade por parte dos alunos com o uso desse recurso
pedagógico, facilitando a assimilação dos conteúdos de geometria, além de
motivar os alunos na realização das atividades por intermédio desse recurso.
O suporte do professor e as interações entre professor, alunos para a
utilização conjunta do GeoGebra em sala de aula, cria um espaço de trabalho
coletivo dentro do qual as técnicas utilizadas geram novos conhecimentos
geométricos, permitindo aos alunos maior autonomia, responsabilidade e
independência sobre seu processo de aprendizagem.
O uso do GeoGebra em sala de aula para a aprendizagem dos conteúdos
de geometria faz com que o professor tenha um papel vital no suporte aos
alunos, sua intervenção adequada e a importância do feedback instantâneo
podem ser motivadores para a aprendizagem dos alunos. Apesar de visar a
autonomia dos alunos para a aprendizagem, o suporte por parte do professor e
seu feedback é sempre necessário.
A utilização do GeoGebra em sala de aula oferece oportunidades amplas
para a criatividade e produtividade entre os alunos e o professor através dos
níveis de interações desse recurso pedagógico.
O produto apresentado neste estudo pode informar aos professores de
matemática como utilizar o GeoGebra em sala de aula e sugere um possível
modelo de atividades a serem exploradas.
Julio Cesar Ferri
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A expectativa do pesquisador é que as características dinâmicas do
GeoGebra serão inteiramente utilizadas como o progresso dos alunos em suas
atividades de aprendizagem, promovendo maior interação entre professor e
alunos, e ampliando a autonomia dos alunos em seu próprio processo de
aprendizagem dos conceitos de geometria.
Julio Cesar Ferri
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REFERÊNCIAS
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introduction. In: SPECTOR, J.M.; SEEL, N. M.; MORGAN, K. Modeling and
simulations for learning and instruction. v. 6. Sense Publishers, 2011.
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I. 2014. Disponível em <http://emrefirat.edublogs.org/2014/07/12/introducing-
geogebra-dynamic-mathematics-software-part-i/>. Acesso em 10 out. 2015.
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Atual, 2005.
MAINALI, B.R.; KEY, M.B. Using dynamic geometry software GeoGebra in
developing countries: a case study of impressions of mathematics teachers in
Nepal. International Journal for Mathematics Teaching & Learning; 2012.
ROSA, P.R.S. Teoria de Vygotsky – capítulo V. UFMS, 2014.
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learning and instruction. v. 6. Sense Publishers, 2011.
VYGOTSKY, L.S. Teoria e método em psicologia. São Paulo: Martins Fontes,
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