-
Scanned by CamScanner
J R W J J C e L m A \ C CY p ] m \ : D Eh q i A W C SV e l I T '
I e 2 M m b 4 W i 19 2 :
C o n s t r a i n e d C o n t r o l A l l o c a t i o n : T h r
e e M om e n t P r o b l e m
W a y n e C D u r h a m'
V i r g i n ia P o ty l e c h n i c I n s t i t u t e a n d S t
a t e U n i v e r s i ty , B ta cilcs bu r g , V i r g i n ia
2 4 06 1
T h i \ p = p r r p r r s c n l s I m e t h o d r o r t h t s o
l u t i o n o f t h e c o * r t r a l * t d c o n t r ol * n o c a
l io = p r o b
le m l o r t h e ca s e o f
t h m m o m e n t s T h t c o n t r n l a l l n c a l i o n p r
o b l e m l \ t o f i n d i h r b e c o m b i m t i o n o f w
\ m J m M c o n t r o l
r f l e c t o r s r n r I h r g c n c r a l i o n o f s p c c i
n r d b o d ) i l l s m o m e n t s T h e n u m b e r of c o n t r
o l s h g r e a t e r
i h a n l b e n a m b e r
n f m o m e n t s b e i n g c o n t r o l l e d n d t h c r a n
g e s u f r h t c o n t r o l r a r e c o m l r ai n e d 10 c e r t
a i n l i m
i t l T h c c o n t r o l s a r e
t h r ] Rt n e m t c m o m e n t s i n a r b i t r a r y c o m b
i n a t i o n s T h e b e s t c o m b i n a t i o n o f c on t r o
b i s t a k e n t o b t
a n = p por t i
i n g o f t h e c o n t r o l s \ h a l 3 ie l d s t h e g r e a
t e s t t o t a l m o m e n t i n a s p e c i f i e d r at i o o f
m o m m t s * r i t h o
u t n c d i n g a n j
c o n t r o l c o n s t r a i n t T h e m e t h o d o f s o l v
i n g t h e a l l o c a t i o n p r o b l e m is p n s en t e d a s
a n al or i t hm a n d i s d e m
s t r a t e d f o r a p r o b l e m o f s e v e n a e r o d y n
a m i c c o n t r o ls o n a n F 18 a i r p la n e
N o m e n c l a t u r em a t r i x o f c o n t r o l e f f e c t
i v e n e s sn u m b e r o f c o n t r o l sd i m e n s i o n o f m
o m e n t s p a c e 3v e c t o r o f c o n t r o l ss u b s e t o f
a t t a i n a b l e m o m e n t ss u b s e t o f c o n s t r a i n
e d c o n t r o l s
a (L ) b o u n d a r y o f t h e s e t E
Su b s c r i p r
d e s i r e d
S u p e n c r ip t
l i e s o n a ( )u n i t v e c t o r
I n t r o d u c t i o nn L A S S I C A L L Y a i r p l a n e n
ig h t c o n t r o l s a r e d e s i g n e d w i t hU t h e id e a
o f a s i n g l e m o m e n t g e n e r a t i n g c o n t r o l l e
r f o re a c h r o t a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m M
o d e r n t a c t i c a l a i r c r a f th a v e m o r e t h a n t
h r e e m o m e n t g e n e r a t o r s I n t h e h i g h ango f a
t t a c k r e s e a r c h v e h i c l e o n e h a s p o t e n t i a
l l y 13 o r m o r ei n d e p e n d e n t m o m e n t c o n t r o l
l e r s : h o r i z o n t a l t a i l a i l e r o nl e a d i n g e
d g e f7a p t r a i l in g e d g e n a p a n d r u d d e r e a c h
l e f t a n dr i g h t ; a n d t h r e e t h r u s t v e c t o r i
n g m o m e n t g e n e r a t o r s T o t h i sa d d s p o i le r s
o n t h e l e a d in g e d g e e x t e n s i o n s a n d v o r t i
c a l l i f ta n d s i d e f o r c e g e n e r a t o r s a n d t h
e n u m b e r o f c o n t r o l s n e a r s2 0 T h e s e c o n t r
o l s a r e a l l c o n s t r a i n e d t o c e r t a i n l i m i t
s de tm i n e d b y t h e p h y s i c a l g e o m e t r y o f t h e
c o n t r o l a c t u a t o r s o r i ns o m e c a s e s b y a e r
o d y n a m i c c o n s i d e r a t i o n s T h e a l l o c a t i o
n o rb l e n d i n g o f t h e s e s e v e r a l c o n t r o l s t
o a c h i e v e s p e c i f i c ob jl i v e s i s t h e c o n t r o
l a l l o c a t i o n p r o b l e m
A s id e f r o m t h e n e a r u n i v e r s a l a p p l i c a t
i o n o f g e n e r a l i z e di n v e r s e s o l u t i o n s t o
t h e p r o b l e m (s e e R e f s I a n d 2 f o r e xp le ) o t h
e r m e t h o d s o f i n t e r e s t i n c l u d e t e c h n i q u
e s c a l l e d p sd o c o n t r o l s 3 4 a n d " d a i s y c h a
i n i n g
6 I t c a n b e s h o w n 7 t h a t
n o s i n g l e g e n e r a l i z e d i n v e r s e c a n f o r
a r b i t r a r y m o m e n t
m a n d s y i e ld s o l u t i o n s t h a t a t t a in t h e m
a x i m u m a v a i l a b l e
m o m e n t w i t h o u t v i o la t i n g s o m e c o n t r o l
c o n s t r a i n t T h e u s e o f
p s e u d o c o n t r o l s i s a n a p p l i c a ti o n o f g e
n e r a l i z e d i n v e r s e s
R e c e i v e d J u n e 30 199 2 ; r e v i s i o n r e c e i v
ed A p r i l 8 199 3 ; a c c e p t e d
f o r p u b l i c a t io n M a y I O 1993 C o p y r ig h t 19 9
3 b y W a y n e C
D u r h a m P u b l is h e d b y t h e A m e ric a n I n s t i t
u t e o f A e r o n a u t i c s a n d
A s [ r o n a u t ic s I n c w i t h p e r m i s si o n
* A s s i s t a n t P r o f e s s o r D e p a r t m e nt o f A e
r o s p a c e a n d O c e a n En
n e e r i n g M e m b e r A I A A
i m be d d e d i n a d y n a m i c i n v e r si o n c o n t r o
l l a w
T D a i s y c h a in in gl i k e w is e c a n n o t ) i e ld m a
x i m u m a v a
i l a b l e m o m e n t s e vew h e r e a n d a d d i t i o n a
l l y t e n d s t o d e m a n
d h i g h e r c o n t r o l ac t
t o r r a t e s t h a n o t h e r me t h o
T h e g e o m e t r y o f t h e c o n s t r ai n ed c o n t r o
l a l l o c a t i o n p r o b l e m
w a s d e v e l o p e d i n R e f I n t h a t r e f e r e n c e
a n o nl i n e a r SO
t io n w a s d e s c r i b e d c a l l e d t h e d i r e c t m e
t h o d T h e d i r e c t m e t ho db y d e f i n i t i o n y i e
ld s m a x i m u m a v a i l a b l e m o m e n t s a n d is t hes u
b j e c t o f t h e a lg o r i t h m t o b e p r e s e n t e d T h
e d i r e c t m e t ho dl o o s e ly c o n s i s t s o f t w O p a
r t s : t h e d e t e r m in a t i o n o f t h e at caa b l e m o m
e n t s u b s e t a n d t h e c a l c u l a t i o n o f t h o s e c
o n t r o l s t ha ty i e l d m o m : n [ s w i t h i n a n d o n t
h e b o u n d a r y o f t h a t su bse tw i t h o u t v i o l a t i
n g t h : c o n t r o l c o n s t r a i n t s
T h e d e t e r m i n a t i D n o f t h e b o u n d a w o f t h
e a t t a i n a b le m e n t s u b s e t m a y b e d o n e b : r i
n s p e c t i o n f o r t h e t w o m o m e n tp r o b l e m b u t
i 5 d e : i d e d l : r n o n t r i v ia l f o r t h e t h r e e m
o m e n tp r o b l e m T h e r e a r e g e n e r i c m e t h o d s
o f f i n d i n g t h e b o u n d a r y gs u c h a s p a c k a g e
w r a p p i n g t h a t b e g i n n i t h a n a r b i t r a r : V
seto f p o i n t s a n d e x t e n s i v e ly u s e t r i g o n o m
e t r i c r e l a t i o n s h i p s tof i n d t h e c o n v e x h u
l l o f t h e s e t o f p o i n t s T h e s e m e t h o d s d o n o
te x p l o i t t h e s t r u c t u r e o f t h e c o n t r o l a l
l o c a t i o n p r o b l e m a n dg e n e r a l l y d o n o t y i
e l d d e s c r i p t i o n s o f t h e b o u n d a r y su i t a b
l ef o r t h e c a l c u l a t i o n o f c o n t r o l s T h e f u
s t p a r t o f t h e m e t h o dp r e s e n t e d i n t h i s p a
p e r d e s c r i b e s a m e a n s o f d e t e r m in i n g t heb
o u n d a r y y i e l d i n g a d e s c r i p t i o n o f t h e b o
u n d a r : V ch a t ct a i n s t h e n e c e s s a r y i n f o r m
a t io n f o r t h e d e t e r m in a t i o n o f ct r o i s i n t
h e a l l o c a t i o n p r o b l e m
O n c e t h e bo u n d a r y o f t h e a t t a i n a b l e m o m
e n t s u b s e t hasb e e n f o u n d t h e t a s k is t o a l l o
c a t e t h e c o n t r o l s i n a m a n n ert h a t g e n e r a t
e s s p e c i f i e d m o m e n t s w i t h i n t h e c o n s t r a
i n t s p l a e do n [ h e c o n t r o l s W e c o n s i d e r s o
m e d e s i r e d m o m e n t t o r w h ic hw e w i s h [ o d e t e
r m i n e t h e a u o c a r i o n o f c o n t r o l s T h e de t e
rn a t i o n o f t h e d e s i r e d c o n t r o l c o n s i s t s
o f 1) t h e i d e n t i f i : a t i o n I : ft h e p o i n t o f i
n t e r s m i o n o f a l i n e i n t h e d i r e c t i o n o f t h
e de si r eqdm o m e n t w i t h t h e b o u n d i n g s u r f a c
e o f a t t a i n a b l e m o m e n t s a [ J2) c a l c u la t i o
n o f t h e c o n t r o ls t h a t g e n e r a t e t h a t i n t e
r s n t i l : nw i t h p o s s i b l e s c a l i n g o f t h e c o
n t r o l s i r t h e d e s i r e d m o m e n t i$i n t e r i o r t
o t h e s u b s e t o f a [ ca i n a b l e m o m e n t s T h e s e
s t e ps N e r cd e m o n s t r a t e d i n R e f 7 f o r t h e t w
o m o m e n t p r o b l e m Bu t asw i t h t h e d e t e r m i n a
t i o n o f t h e b o u n d a r y I t i s n o n t r i v ia l t o r
t het h r e e m o m e n t p r o b l e m T h e s e c o n d p a r t o
f t h c m e t h o d p r Fs e n t e d i n t h i s p a p e r d e sc T
i b e s a m e a n s o f d e t e r m i n i n g t b ec o n t r o l s
f o r t h e t h r e e m o m e n t p r o b l e m
P r o b l e m S t a t e m e n tW c c o n s i d e r a n m d i m e
n s i o n a l c o n t r o l ST HC U E R T h ec o n t r o l s a r c
c o n w r a i n e d t o r n i n i m u m * n d m x i m u m v a l u
esd e f i n e d by t h c c o n s t r a i n e d c o n t r o l s u b
s c m
u t n an S U S ue * . 1 c R H ( l )
B m
n
U
Q
d
-
Scanned by CamScanner
D D U L \ L CO X W t W I D C O \ T R O L L L OC A T I OX 33
1
R i T r a i q Ed F Fb r 4 5 & g { lLd l T n ih g Ed r Fl a p
8 dc g (m i e t
L t : X= T n M g EidgrF l a s 8 dc g (m ) L M & Ri h T n ih
n g Ed FR a ps 4 5 dc g ( m a x )
C C S
O S
O C2 S
C 2 Cm
C 1 exl0 2
; A n n n b kF i g 1 Su b se t o f a l t a i n a l l l e m o m e
n t s
Co n t r o l s t h a t l i e o n t h e b o u n d a r y o f n a
(n ) a r e d e n o t e d b : V
Th es e c o n t r o l s g e n e r a t e m o m e n t s m t h r o
u g h a l i n e a r mp in g B : R
- R o n t o n d i m e n s i o n a l m o m e n t s p a c e m R su
: h t h a t B u m w h e r e m > n B i s t h e c o n t r o l e f
f e c t i v e n e s sm a t r ix w i t h r e s p e c t t o t h e m o
m e n t s
D en o t e b y t h e i m a g e o f 0 i n R q C R I n t h e m a p
p i n gR ' R " s o m e o f t h e v e r t i c e s e d g e s a n d f
a c e cs o f a (n )p r o j e c t t o t h e i n t e r i o r o f 4P w
h e r e a s t h e o t h e r s b e c o m et he bo u n d a r y o f P
a r a l l e l e d g e s o f a (n ) r e m a i n p a r a l le lu n de
r t h e l i n e a r m a p p i n g s o t h a t t h e f a c e t s o f
a ( ) a r epa r a l l e l o g r a m s
t y p i c a l a t t a i n a b l e m o m e n t s u b s e t i s s
h o w n i n p e r s p e c t i v e\ i ew i n F ig 1 in w h i c h n o
n d i m e n s i o n a l m o m e n t c o e f f i c i e n t sha v e b
e e n u s e d F i g u r e I W a s g e n e r a t e d u s i n g s e v
e n c o n t r o l san d w i l l b e d e s c r i b e d l a t e r E a
c h v e H e x o f t h e f i g u r e r e p r e s e n t st he m o m e
n t g e n e r a t e d b y a c o m b i n a t i o n o f s e v e n c o
n t r o l s a to n e o r t h e o t h e r o f t h e i r c o n s t r
a i n t s A l o n g e a c h e d g e o n ec o n t r o l i s v a r y
i n g w h e r e a s s i x a r e o n a c o n s t r a i n t E a c h f
a c e tis ge n e r a t e d b y s a t u r a t i n g f i v e c o n t
r o l s a n d a l l o w i n g t w o ct r o is t o a s s u m e v a l
u e s w i ch i n t h e i r r e s p e c t i v e c o n s t r a i n t
s T h i sf igu r e i s d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l l
a r e r
Fo r t h e g e o m e t r i c d i s c u s s i o n t h a t f o l l
o w s w e r e q u i r e t h a tt he c o n t r o l l i m i t s d e f
i n e d i n E q ( 1) b e s u c h t h a t t h e o r i g i n o fm o m
e n t s p a c e b e c o n t a i n e d s t r i c t l y w i t h i n W
e w i l l f u r t h e rr eq u i r e t h a t e v e r J n X n m a t r
i x f o r m e d o f t h e c o l u m n s o f B b e
o f Fu u r a n k T h e s ig n i f i c a n c e o f t h i s r e q
u i r e m e n t i s t h a t i t
m a k e s a l l a d m i s s i b l e s o l u t i o n s t o t h e
a l l o c a t i o n p r o b l e mu n i q u e T h i s r e q u i r e
m e n t i s n o t n e c e s s a r y f o r t h e g e n e r a
l
so l u t io n t o t h e p r o b l e m a n d i t s im p a c t W i
u b e m e n ti o n e d
14 he r e a p p r o p r i a t e o r n a t u r a l c o n c e r n
i s t h e p o t e n ti a l t o
r ea l lo c a t e t h e c o n t r o l s f o l l o w i n g c o n
t r o l f a i l u r e w h i c h w i l lin t r o d u c e a c o l u m
n o f z e r o s i n t h e B m a t r i x I n t h i s e v e n t t oi
m p le m e n t t h e a lg o r i t h m t o b e d e s c r i b e d o n
e s i m p l y r e m o
v e s
t he f a i l e d c o n t r o l (a n d t h e c o l u m n a s s o
c i a t e d w i t h i [ ) f r o m t h ep r o b le m a n d r e c a l
c u l a t e s t h e s o l u t i o n
M o m e n t s t h a t l i e o n t h e b o u n d a r y o f a ( )
a r e d e n o t e dby m * A u n i t v e c t o r i n t h e d i r e c
t i o n o f m w i l l b e d e n o t e dby rin
T h e c o n t r o l a l l o c a t i o n p r o b l e m i s d e f
i n e d a s f o u o w s : gi v e n
B n A n d s o m e d e s i r e d m o m e n t m d f i n d a ( ) a
n d t h e nde t e r m in e t h e c o n t r o l s U E n t h a t g e
n e r a t e t h e d e s i r e d m o m e
n t
fo r t he la r g e s t p o s s i b l e m a g n i t u d e m d I i
n t h e d i r e c t i o n m
M e t h o dD e t e r m i n a t i o n o f t h e B o u n d a r y n
f A l n i n = b l c M o m e n
t s
I n o u t l i n e t h e m e t h o d w e w i l l u s c t o d e t
e r mi n e a (41 ) i a \
fo l lo w s (s e c t io n r e f e r e n c e s a r e f o u n d i
n t h c A p p c n t l i * ) :1) D e t e r m i n e a l l o f t h c n
o d e s a n d c o n n e c t i o n s o f (A n o t t e
is a ge o m e t r i c f e a t u r e o f t h c c o n s t r a i n
e d c o n t r ol a n i l at t a
a b l e m o m e n t s u b s e t s N o d e s a r e g e n e r a t
e d i n r n s p a c e b y
p l a c i n g e a c h o f t h e m c o n t r o l s a t e i t h e
r o f i t s t w o c o n s t r a i n t s
y i e l d i n g 2 n o d e s i n t h e s u b s e t o f c o n s t
r a i n e d c o n t r o l s N o d e si n t h e a t t a i n a b l e
m o m e n t s u b s e t a r e t h e i m a g e s o f t h e n o d e s
i nt h e c o n s t r a i n e d c o n t r o l s u b s e t )
2 ) B e g i n w i t h a n o d e t h a t i s k n o w n t o b e a
v e r t e x (A v e r t e xi s a n y n o d e t h a t l i e s o n t h
e b o u n d a r y o f t h e s u b s e t s o r n
T h u s a l l n o d e s i n n a r e v e r t i c e s b u t a n o
d e i n m a y o r m a yn o t b e a v e r t e x ) M a k e t h i s v
e r t e x t h e f i r s t o f a l i s t o f v e r t i c e s
3 ) T e s t t h e c o n n e c t i o n s f r o m e a c h v e r t
e x o n t h e l i s t o fv e r t i c e s t o d e t e r m i n e w h
i c h a r e e d g e s (C o n n e c t i o n s a r e ag e o m e t r i
c f e a t u r e o f t h e c o n s t r a i n e d c o n t r o l a n d
a t t a i n a b l em o m e n t s u b s e t s C o n n e c t i o n s
a r e g e n e r a t e d i n m s p a c e b yp l a c i n g a l l b u
t o n e o f t h e / n c o n t r o l s a t e i t h e r o f t h e i r
t w oc o n s r r a i n t s a n d a l l o w i n g o n e t o v a r y
y i e l d i n g 2
1 m ! /
( I ! (m 1) ! ) c o n n e c t i o n s i n t h e s u b s e t o f
c o n s t r a i n e d ct r o ts C o n n e c t i o n s i n t h e a t
t a i n a b l e m o m e n t s u b s e t a r e t h ei m a g e s o f
t h e c o n n e c t i o n s i n t h e c o n s t r a i n e d c o n t
r o l s u b s e tA l l c o n n e c t i o n s i n Q a r e e d g e s
b u t a c o n n e c t i o n i n m a y o rm a y n o t b e a n e d g
e )
4 ) A d d t h e t o n o d e o f e a c h e d g e t h u s d e t e
r m i n e d t o t h ev e r t e x l i s t (W h e n t r a v e r s i n
g a c o n n e c t i o n i n a p a r t i c u l a r d i rt i o n t h
e t o n o d e i s t h e n o d e t o w a r d w h i c h o n e i s p r
o c e e d i n gW h e n c o n s i d e r i n g a n o d e a n d i t s
v a r i o u s c o n n e c t i o n s t h en o d e u n d e r c o n s
i d e r a t i o n i s t h e f r o m n o d e a n d a l l t h o s e [
h a td e f i n e c o n n e c t i o n s t h a t i n c l u d e t h a
t n o d e a r e t o n o d e s T h ee d g e i s a n y c o n n e c t
io n t h a t l i e s o n t h e b o u n d a r y o f t h e s u b s e
t s@ o r n A l l c o n n e c t i o n s i n n a r e e d g e s b u t
a c o n n e c t i o n i n m a y o r m a y n o t b e a n e d g e
)
5 ) R e p e a t s t e p s 3 a n d 4 u n t i l n o n e w v e r t
i c e s a r e a d d e d6 ) C o m p i l e a l is t o f f a c e t s o
f a ( ) (A f a c e i s a g e o m e t r i c
f e a t u r e o f t h e c o n s t r a i n e d c o n t r o l a n
d a t t a i n a b l e m o m e n ts u b s e t s F a c e s a r e g e
n e r a t e d i n m s p a c e b y p l a c i n g a l l b u t t w oo
f t h e m c o n t r o l s a t e i t h e r o f t h e i r t w o c o n
s t r a i n t s a n d al li n g t w o t o v a r y y i e l d i n g 2
- Z m ! / (2 ! (n t 2 ) !) f a c e s i n t h es u b s e t o f c o n
s t r a i n e d c o n t r o l s F a c e s i n t h e a t t a i n a b
l e m o m e n ts u b s e t a r e t h e i m a g e s o f t h e f a c
e s i n t h e c o n s t r a i n e d c o n t r o ls u b s e t F a c
e t s a r e a n y f a c e t h a t l i e s o n t h e b o u n d a r y
o f t h cs u b s e t s o r n A l l f a c e s i n n a r e f a c e t
s b Li t a f a c e i n # m a yo r m a y n o t b e a f a c e t )
T h e f a c t [ h a t t h e v e r t i c e s o f a (4 ) a r e s i
m p l y c a n n a t e d b !t h e i r e d g e s i n s u r e s t h a
t t h i s p r o c e u u r e w i t t I i n J a t l o f t h cv e r t
i c e s a n d e d g e s o r t h e s e s t e p s o n l y t h e t h i
r d i s i n a n y w a yc h a l lc n g i n r T h e t h i r d s t e p
i s n l i 11c a r ; r lg c b r a p r \ 1b lc m w ho s es o l u t i
o n i s t h e h e a r t o l t h i s u lg o r i t h t n E a c h + t
e p i \ n o wd e s c r i be d i n d t a i l
\ \ I ) t e r mi n e u l t t f t h r r n r d r \ a n t i c o m t
e l t iw L : f * T h en o t i e s t \ f 4 i \ r c i h c i m a g e s
t r f l h i : v e r t iw s o r at u ) 7 h c a r c
l l \ \ i \ c a lc u l \ \ c u l \ r e c t \ r \ l i s e s t a b
l is h n l T h e f i r s t e n t r y i n t h i sr e c o t \ 1 i \ U
l i + t u l t l l e t o l \ o d l : S U \ SL \ , i a t n l \ \ i t
h e a c h c o n n
/
-
Scanned by CamScanner
3 32D t 7t H W C O \ s T R \ m CO NTR OL A M
C- n o N
V e r t e r
mm
5 l
m5 l
g i , m4 0
m1 0 m
m
O r ig i nF i 2 S i m p l e + c r t c x a n d r o u r c o n n e
c t i o n s
t i o n Se c t i o n A I d e s c r i b e s t h e s y s t e m o f
e n u m e r a t i o n u s e da n d Se c A 2 d e s c r i b e s a m e
t h o d f o r t o n o d e d e t e r m i n a t i o nF o r a g i v e
n n o d e a l i s t o f i t s t o n o d e s c o m p l e t e ly d e
f i n e s a l l o fi t s c o n n e c t i o n s
2) B e g i n w i t h a n o d e t h a t is k n o w n [ o b e a v
e r t ex A s e a c hn o d e i s i d e n t i f i e d i n s t e p 1 i
t s d i s t a n c e f r o m t h e o r ig i n i sc a l c u l a ce d
a n d c o m p a r e d w i t h t h o s e o f p r e v i o u s ly de
tm i n e d n o d e s t o d e t e r m i n e t h e n o d e o f m a x
i m u m d i s t a n c er r o m t h e o r i g i n T h e d i s t a n
c e i s t h e E u c l i d e a n l m
,
I T her u r t h e s t n o d e f r o m t h e o r i g i n i s a p
r i m a f a c i e v e r t e x a n d h e a d st h e v e r t e x l i
s t
3) T e s f t h e c o n n e c t io n s Fr o m e a c h v g r r e x
o n t h e v e r f e x l is t I od e t e r m i n e w h i c h a r e e
d g e s F o r i l l u s t r a t io n s a y w e h a v e f o u rc o n
t r o l s a n d t h a t m :
' h a s b e e n f o u n d t o b e a v e r t e x a s s h o w ni n
F i g 2 T h e c o n n e c t i o n s f r o m m a r e t o n o d e s m
4 7 m la n d m 13 (s e e S e c A 2 Fo r t h e n u m b e r i n g s c
h e m e ) A n y c o mn a t i o n o f t w o o f t h e s e f o u r c
o n n e c t i o n s f o r m s a f a c e N o t w oc o n n e c t i o
n s m a y b e c o l l i n e a r a r e s u l t o f t h e r e q u i r
e m e n t t h a te v e r y 3 X 3 m a t r i x f o r m e d o f t h e
c o l u m n s o FB b e o f f u l l r a n kF o r e x a m p l e t h e
f a c e f o r m e d b y m s 1 a n d m s 4 h a s a s i t so t h e r
t w o c o n n e c t i o n s m I O a n d 4 0 n o d e m o c o m p l e
t i n g t h ef a c e T h e r e w i l l b e f i v e m o r e (n o t d
e p i c t e d ) f a c e s i n F i g 2 W ew i s h t o d e t e r m i
n e i r a p a r t i c u l a r f a c e s u c h a s t h a t d e p i c
t e d i nF i g 2 i s a f a c e t
W e m a k e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s : i F
a l i n e f r o m t h e o r ig i nt o a n y p o i n t o n a g i v e
n c o n n e c t i o n p a s s e s t h r o u g h a n y f a c ef i r
s t t h a t c o n n e c t i o n i s s u p e r i o r t o t h e f a c
e ; i f t h a t l in e i n ts e c t s t h e f a c e a f t e r i n t
e r s e c t i n g t h e c o n n e c t i o n t h e c o n n e c t i o
ni s i n f e r i o r t o t h e f a c e I n f e r i o r c o n n e c
t io n s a r e i n s i d e t h et h r e e d i m e n s i o n a l a t
t a i n a b l e m o m e n t s u b s e t F o r a g i v e n cn e c t
i o n a n d a g i v e n f a c e a l i n e f r o m t h e o r i g i n
t h r o u g h t h ec o n n e c t i o n m a y n o t i n t e r s e c
t t h e f a c e a t a l l s i n c e c o n n e c t i o n sa n d f a
c e s a r e b o u n d e d i n t h e i r r e s p e c t i v e d i m e
n s i o n s W e d on o t c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t
y o f a c o n n e c t i o n ly i n g e x a c t l y i n t h ep l a n
e o f a I' a c e o f w h i c h i t i s n o t a s i d e a f u r t h
e r c o n s e q u e n c eo f t h e r e q u i r e m e n t t h a t e
v e r y 3 3 m a t r i x f o r m e d o f t h ec o l u m n s o f B b
e o f f u l l r a n k W e f u r t h e r a g r e e n o t t o c o m p
a r ea c o n n e c t i o n w i t h a f a c e o f w h i c h i t i s
a s id e N o t e t h a t i r ac o n n e c t i o n i s i n f e r i o
r t o a n y f a c e a t a v e r t e x t h a t c o n n e c t i o nc
a n n o t b e a n e d g e ( n o r c a n a n y f a c e o f w h i c h
i t i s a s id e b e af a c e t ) I f a c o n n e c t i o n i s s u
p e r i o r t o e v e r y f a c e a t a v e r t e xt h e n i t i s
a n e d g e a n d v i c e v e r s a i r a c o n n e c t i o n i s a
n e d g et h e n b o t h i t s f r o m n o d e a n d i t s t o n o
d e a r e v e r t i c e s A m e a n sf o r d e t e r m i n i n g t
h e i n f e r i o r i t y o r s u p e r i o r i t y o f c o n n e c
t io n sw i t h r e s p e c t t o f a c e s i s d e s c r i b e d i
n Se c A 3
4) A d d t h e t o n o d e o f e a c h e d ge t h u s d e t e r
m i n e d r o t h ev e r t e x / is t E v e r y c o n n e c t i o n
a t e a c h v e r t e x i s t e s t e d a g a i n s te a c h f a c
e a t t h a t v e r t e x e x c l u d i n g f a c e s o f w h i c h
i t i s a s i d e
a n d e x c l u d i n g f a c e s f o r m e d o f c o n n e c t
i o n s b o t h o f w h i c h h a v e
b e e n p r e v i o u s l y d e t e r m i n e d t o b e i n f e
r i o r t o o t h e r f a c e s W h e n
a l l c o n n e c t io n s h a v e b e e n t h u s t e s t e d t
h o se t h a t w e r e i n f e r i o r
t o n o f a c e a r e p r o m o t e d t o t h e s t a t u s o f
ed g e s a n d t h e i r
t o n o d e s a r e a d d e d t o t h e i i s i o f v e r t i c
e s
5) R e p e a t s t e p s 3 a n d 4 u n f i t n o n e w v e r t
ic e s a r e a d d e d A sa l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n
o f a (n ) a (4) ) s h a r e s i l s p r o p c r l i c s o fb o u n
d e d n e s s a n d c o n n e c l e d n e s s
S i n c e s t e p 3 i d e n t i Fie s e v e r y
ed g e a r C \ c r y v e rt e x s t e p 4 w
i l l u l t i m a t e l y i d c n t i ry ev e r yv e r t e x a n
d a ( ) i s c o m p
l : t e l y d e t e r m i n e d
6 ) C o n rp i / r o / i s r o f Fa r ri s o Fa ( } T h c f i r
s t p a r t o f t hi s
: t eD
A s s o c i a t e d w i l h e a ch V e r t e r i s a l i s t o f
e d g e s A t l e a s t
'
n, : :
n u m b e r E a c h c o mb i n a t i o n o f t w o o f t h e s e
e d g e s is e : (
i n c d t o d e t e r m in e t h e n o d e t h a t c o m p l e t
e s t h e f a c e they
t he n t h e e d g e s Fo r m a f a ce t o t h e r w i s e n o t
Se e Se c A 4 fo ;
d e A s e a c h r a c e t i s d e t e r m i n
e d t h e n i F n o d e s c r ip t i o n o f tha tf a c e t h a
s a l r e a d y b e e n d e t e r
m i n e d Gr a m a n o t h e r v e r t e x ; SeeSe c A 5) i t i
s a d d e d t o a l i s t o f f a c e t s
E a c h f a c e t i s d e s c r ibedb y a p r i n c i p a l v e
r t e x a n
d t w o e d g e s f r o m t h a t v e r t e x (Thec h o i c e o
f w h i c h v e r t e x t o c a
l l t h e p r i n c i p a l o n e i s a r b i t r a r y )A s s o
c i a t e d w i t h e a c h f a c e t i s a p
r e c o m p u t e d m a t r ix in v e r se(3 3) Fo r d e t e r m
i n i n g t h e i n t e r s e c t i D n o f a l in e f r o m t heo
r ig i n w i t h t he p l a n e o f t
h e f a c e t (s e e Se c A 6) T h e e x is t e n c eo f t h i s
i n v e r s e r e l i e s o n t h e r e q u
i r e m e n t t h a t t h e o r ig in o fm o m e n t s p a c e b
e s t r i c t l y w i t h i n
F o r r e a s o n s t o b e d e s c r ibedl a t e r w e a l s o
r e c o r d e a c h o f t h e
f o u r n e i g h b o r in g f a c e t sa s s o c i a t e d w i
t h t h e f a c e t t h u s d e t e r m i n e d (n e ig h b o r i n
g i n t hes e n s e t h a t t h e t w o f a c e t s s h a r e a c o
m m o n e d g e )
T h e l i s t o f f a c e t s w h e n f i n i s h e d c o n t a
i n s t h e c o m p le t ed e s c r ip t i o n o f a ( ) n e e d e
d f o r t h e s u b s e q u e n t c a lc u l a t i o n o fc o n t r
o l s W h e n p l o t t e d i n t h r e e d i m e n s i o n a l s p
a c e t he r e su lti s s i m i la r t o t h a t s h o w n i n p e
r s p e c t i v e i n F i g 1
D e t e r m i n a t i o n o f t h e C o n t r o l s
H a v i n g d e t e r m i n e d t h e b o u n d a r y o f t h e
a t t a i n a b l e m o m en ts u b s e t w e n o w w i s h t o a l
l o c a t e t h e c o n t r o l s i n a m a n n e r t ha ta c h ie
v e s t h e m a x i m u m a v a i l a b l e m o m e n t i n a n y d
i r e c t i o n inm o m e n t s p a c e w i t h i n t h e c o n s t
r a i n t s p l a c e d o n t h e c o n t r o lsW e c o n s i d e r
t h e d e s i r e d m o m e n t a s a v e c t o r i n m o m e n t s
p a c em d I f t h e m a g n i t u d e o f t h e d e s i r e d m o
m e n t i s g r e a t e r t h a n o re q u a l t o t h a t w h ic h
i s a t t a i n a b l e (m d l i e s o u t s i d e o r On theb o u
n d a r y ) t h e n w e w i l l t a k e a s o u r s o l u t i o n t
h e c o n t r o l s t ha tg e n e r a t e t h e m a x i m u m a t t
a i n a b l e m o m e n t i n t h e s a m e di rt i o n a s t h e d
e s i r e d m o m e n t v e c t o r I f t h e m a g n i t u d e o f
ched e s i r e d m o m e n t i s l e s s t h a n t h e m a x i m u
m a t t a i n a b l e i n t hed e s i r e d d i r e c t i o n w e w
i l l u n i f o r m l y s c a l e t h e c o n t r o l s t h a tg e
n e r a t e t h e m a x i m u m s o a s t o y i e l d t h e d e s i
r e d m a g n i t u d eT h e s o l u t i o n i n e i t h e r c a s
e r e q u i r e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t hec o n t r
o ls t h a t g e n e r a t e t h e m a x i m u m m o m e n t i n t
h e d e s i r e dd i r e c t i o n A s a g e o m e t r i c f i g u
r e i n t h r e e d i m e n s i o n a l m o m en ts p a c e t h e s
e t o f a t t a i n a b l e m o m e n t s i s a m u l t i f a c e t
e d so l idf i g u r e (s e e F i g 1) W e h a v e c r e a t e d a
d e s c r i p t i o n o f t h i s f igu r et h a t c o n s i s t s
o f f o r e a c h o f i t s f a c e t s t h e c o o r d i n a t e s
o f o n eo f t h e f a c e t s v e r t i c e s t h e l w o e d g e
s o f t h e f a c e t t h a t a r ea ss o c i a t e d w i t h t h a
t v e r t e x a 3 X 3 m a t r i x f o r t h e de t e rmit i o n o f
t h e i n t e r s e c t i o n o f a l i n e f r o m t h e o r ig i
n w i t h t h e p la n eo f t h e f a c e t a n d a l i s t o f t h
e f o u r n e ig h b o r i n g f a c e t s B e f o r ew e c a n d e
t e r m i n e t h e c o n t r o l s w e n e e d t o f i n d t h e f
a : r tt o w a r d w h i c h t h e d e s i r e d m o m e n t p o i
n t sF i n d i n g t h e R ig h t F a c e t
C o n s id e r a ra c e t s e l e c t e d r a n d o m l y f o r
c o n s i d e r a t i o n I n Js o m e d e s i r e d m o m e n t m
d F r o m Se c A 6 w e m a ! c a lc u l a t e t hcn u m be r s a b
a n d c i n t h e e q u a t i o n
o A d m : + h pn ;W e w i l l u s e o u r r e c o r d o f t h e
Fo u r n c ig h b o n n g f a i x t s L !e a c h f a c e t a s a r
e f e r r a l s e r v i L T a l o n g w i t h t hc v a l u e s o f
Ub a n d c i n t h e s o l u r io n o r Uq 12 ) t o d e t e n n in
c t h c r igh t fa r t
a > O O S h S I n S C S i n
i n i t ia l g U e s s I' t l r t h c r ia h l Ti \ c c l F o t
a n a r bi t mry d i r e c t i o n m i l h i s i s a c c o m p l i
s he d h y P r e c a l c u l a t i n * a l is t o f f i n t g u e
ss
-
Scanned by CamScanner
i a * j l A h l CO V S TR A l ?i u ) CO L T * OL A LLO CA T I O
x 333
gu c \ l f a c e t i r h c o n c t h a t c o n t n l n \f r n m
t h e O n i n i t i a l p a \ w l t h r o u l h
: 5e c s if ex : O
i C t h a t p a \ sc s l t i r o u Rh f l I I ) ( I
r : thc O ; t a p \ i n w h i c h A I re s a n J b c r i n i l l
e \ c a r t I I w i l l l r t \ c
Ms : e s f a ; e t f o r t h a t a c t a n t T 1t r \ w i l l a
\ %u r c 1l r a l a . O
e P o w lo o k i n t h c \ i c i n r f ) o f t h i s Ru c + + c
d ra L c l t o [ i n t l O l i Ct la : :
j f i n t h c c o n d i t io n s o n b a n d I I l ) t l t : i l
l i \ w c u \ c o u rFr o i o
u s l ! r e c o r d e d l r \ t n f t h c l n u r n c i * h h o
r s o f c n t h I n e c l
Ce r ! ide r F ig3 w h i c h v 1 0 w s a h y p o t h e t i c a l
s e C t i o n n f I LI C
tr L : Ja r of a t t a i n a h l c m o m e n t s 1 C \ f a c e t
/ 1 b c i l i c I t t t ; c l w c
F3 \ C A + su mc d a n d f a c e t D h c t h e c o r r e c t o n
c I h c i n l c r s e c l i n n
w i t h f a c e t D i \ s h o w n a s a d n t'
' r h ': a l r e a d ) a s \ u r e d t h a t a 0 W c n o w e x a
m i n e i l i c\ a l u cs o f b a n d c
f o r f a c e t / l F r o m t h i \ w c l e a r n I I i a l h t
J l h b
a : j 1 : a r e > I a n d t h a t C > b U n lc w (J 5 b S
I n S ( SI h : n t h e l e c t o r s u m
b m : 1 + c m : , c a n n o t I i c o n l a L C l / 1
a : J f a c e t 4 d o e s n o t c o n t a i n t h e p o i n t u
f i n t c r s e c l i r J n l l e c a u s eC b t h e p o i n t o f
i n t e r s e c t i o n l i e \ i n t h e v i c i n i t y u f n c
ip H hin g fa c e t B o r a t l e a s t
f a c e t B i \ c l o w r t o t h c i n t c Ts e c t io n t h a
nfa ce t A
Th e s a m e t e s t a p p l i e d t o Fa c e t y i c l d \ n e
w v a l u e \ o f / / a n d
C w h ic h a r e a n a l y z e d t o s e e i r t h e i n t e r s
e c t i n n l ic \ o n f a c e t / 1an d i f n o t i n w h i c h d
i r e c t i o n t o p r o c e e d T h i \ f u r t h t : r r e f e r
s u st o fa c e t C a n d f i n a l l y t o f a c e t D l o r w h
ic h w c f i n d n / : S1 O S C 5 1 F a c e t D t h e r e f o r e c
o n t a i n s t h c i n t c r s e c t i o n a n t lt he v a lu e s
o f a b a n d C m a y n o w b e u s e d t o c a l c u l a t e t h
cco n t r o ls a s d e s c r i b e d l a t e r
I n a n i m p l e m e n t a t i o n Fo r w h i c h t h e d e s i
r e d m o m e n t v a r i c rico n t i n u o u s ly w e k e e p t r
a c k o f t h e c u r r e n t f a c e t / \ \ \ o m e n c wdir e c
t i o n m d i s r e c e i v e d w e b e g i n t h e f a c e t s e a
r c h i n t h cc u r r e n t Fa c e t T h i s s t r a t e g y s h o
u l d r e q u i r e a t m o s t o n c r e f e r r a l
t o a n e ig h b o r i n g f a c e t I n p r a c t i c e t h i s
w i l l d e p e n d o n t h cspeed w i t h w h i c h t h e d e s i
r e d m o m e n t v a r i e s a n d t h c f r e q u e n c yo f r e
c a l c u l a t i n g t h e a l l o c a t i o n o f c o n t r o l s
s o w e m o n i t o r t h cs ign o f a ; r e v e r t i n g t o t h
e f i r s t g u e s s f a c e t s h o u l d a p r o v e t o b cn
ega t iv e f o r t h e c u r r e n t f a c e t
I n t he i m p l e m e n t a t i o n d e s c r i b e d l a t e r
t h e a l g o r i t h m e lu ded a b a i l o u t p r o c e d u r e
T h i s p r o c e d u r e w a s c a l l e d i n t heev en t t h e s
a m e f a c e t w a s v i s i t e d t w i c e d u r i n g a s e a r
c h a n d
c o n st i t u t e d a b r u t e f o r c e s e a r c h o f a l l
o f t h e f a c e t s t o n n d t h e
o n e f o r w h i c h t h e c o n d i t i o n s i n E q (3) w e
r e s a t i s f i e d
b m
m
m
r m
I ig J Se a r c h i n g f o r t h e r i g h t f a c e t
mbsc t t h a i c o r r e s p o n d s t o t he p o i n t o f i n
t e r s e c t i o n i n m o m e n t
\ p n c c i C t ha t w h i c h m a p s t o t h e p o i n t o f i
n t e r se c t i o ni r t h c m a x im u m a t t a i n a b l e m o
m e n t i n t h e d e s i r e d d i : e c : i o n
i \ lc w i h a n t h c m a g n i t u d e o f t h e d e s i r e d
m o m e n t (a < i m r l )l h c n w c u s e t i ; a s o u r s o
l u t io n I f [ h e m a x i m u m a : t a i n a b : em o m e n t i
n i h c d e s i r e d d i r e c t i o n i s g r e a t e r t h a n o
r e q u z t t o : e
m a g n i t u d e o f t h e d e s i r e d m o m e n t (a Z I m
et [ ) t h e n w e sa : eU : : r e c o r d i n g I o
(5 )
D e te r m i n i n g t h e C o n f r o tsA s su m e w e k n o w
w h i c h f a c e t t h e d e s i r e d m o m e n t p o i n t s t
o
tha t i s t he f a c e t i n t e r s e c t e d b y t h e h a l f
l i n e i n t h e d i r e c t i o n o fthe d e s i r e d m o m e n
t C a l l t h i s f a c e t ' s d e s c r i b i n g v e r t e x a n
dedge s m : m : a n d m : T h e c o n t r o l s a s s o c i a t
e
d w i t h
B e c a u s e w e h a v e a l i n e a r
t r a n s f o r m a t i o n
I m p l e m e n t a t i o n
T w o p r o g r a m s w e r e w r i t t e n c o r r e s p o n d
i n g [ o t h z t w o F z
o f r h c m e t h o d p r e s e n t e d e a r l i e r T h e f i
r s t p r o g r a m g e z : Z :
dci cr i pt i ons o f t h e a t t a i n a b l e m o m e n t s u
b s e t T h es e w e r e u da s i n p u t f o r t h e s e c o n d p
r o g r a m w h i c h r et ur ned t h e c o n t r o sI' o r a r b i
t r a r y u s e r p r o v i d e d m o m e n t s
T h c a l l o c a t i o n s c h e m e w a s a p p l i e d t o a
n o n l i n e a r d } = a : z ii n v e r s i o n c o n t r o l l a
w Fo r a s i m u l a t i o n o f t h e F 18 z i rF l aT h c a p p l
ic a t i o n c o n s i s t e d o f a n o f f l i n e d e t e r m i
n a t i o n o f : a t t a i n a b le m o m e n t s u b s e t f o r
t h e F 18 n i gh t c o n cr a b Z : ar e fe r e n c e n i g h t c
o n d i t i o n a n d o n l i n e c o n t r o l a l l D : i o n z
gt h c a l l o c a t i o n p r o g r a m a s a s u b r o u t i n e
S i n c e t l c o n z z ie f f e c t i v e n e s s m a y v a r y w
i t h n ig h t c o n d i t i o n (a s t t B n z : hv a r ie s ) t h
e a t t a i n a b le m o m e n t s u b s e t u s e d w a s S r i :
I c c iyv a l id a t t h e r e f e r e n c e c o n d i t io n s H o
w e v e r t h e d : n a n : i : i z s i o n c o n t r o l l a w t h
a t w a s u t i l i z e d d e m o n s t r a t e d l i n i e s e : i
t y t o t h e a c t u a l v a r i a t i o n s i n t h e s e p a r a
m e t e r s d t : r i n g us e le c t e d m a n e u v e r a n d s c
h e d u l i n g w a s n o t r e q u i r e d
S i m u l a t i o n R e s u l t s a n d D is c u ss i o nW e t a
k e f o r o u r e x a m p l e
a m d - B u : = m : + b m : j + c m 1 k
Whe r e a s t h e m a p p i n g f r o m R m t o R i s m a n y t
o o n e t h e
m a p p in g f r o m a (n ) t o a ( ) i s o n e t o o n e s o w
e h a v e t h eu n iq u e s o l u t i o n
(4 )
T h e n o n d im e n s i o n a l m o m e n t c o e f f i c i e n
t s a r c u s r d A r 3 t h ec o n t r o l s a r e m e a s u r e d
i n d e g r e e s d e f l e c t i o n T h e c o n u n b U :a n d
14z a r e t h e l e f t a n d r ig h t h o r i z o n t a l t a i l
s u J a n d n a r t : Cl e f t a n d r ig h t t r a i l i n g e d g
e n a p s u i a n d u . a r c t h e k f t a r ja i le r o n s a n d
117 i s t h e s y m m e t r i c c o n t r i b u t i o n s o i [ l :
r u d d m
T h c B m a t r i x w h o s e e n t r ie s h a v e u n i t s o f
1 d e g n d t b rc o n t r o l l i m i t s u s e d i n t h e s im u
l a t i o n w e r e a s f o l lo w s :
2 38 10 4 2 38 x 10 4 1 2 3 x 10 1 1 23 10
'
B 6 98 X 10 3 6 9 8 X 10 9 9 4 X 10 4 9 94 X 10 4
L 3 0 9 > 10 4 3 0 9 X 104 0
4 18 X 10 4 4 18 \ 10 4
5 52 X 10 4 5 5 : X 10 4
I 74 X 10 4{T )
I 7 4 X 10 4 5 6 2 10 4
(6)
I n o t he r w o r d s t h c c o n t r o l s t h a t g c n c r a
t c i l i e ma x in m m
m o m e n t i n t h e d i r e c t i o n o f t h c d e t i r e d
m o r n c n t ar e Ft t t t n t l
Fr o m t he p o i n t o n t h e b o u n d a r y o f t h c c o n
s t r a i n c tl c o n r r n l
0
0
-
Scanned by CamScanner
= gc p G : ! : T m n I ; t K + T
p i
r ) & = M a A =* d
C ) # m * J e t
t = = :
* a H
,
=
C a
T m_ s T f a e l i t t j
% : C U s r i = r = u n =
F
-Ed g13 3
T
f t g 5 P c r c e m s x n r n in i a f t = m a u a a m e
F i g u r e 1 i s a e s j Z 2 Z = " b : L c o n t r o L O n e c
f l in t f " \ : i i k 2 e : : 0 a d
m o m e n t m f f i 5 e n : S ? x z j
h o r i z o n t a l t a i l i s h e 3 f - \ e i : i 3 = z : : i
r g a er i gh t h o r i z c r t J H i a t i = L = = i i _ 5 ; : 3 g
: : e a B a o aa t i t s m i n i m u m ( 30 : ) H T 2 3(30 d e g )
A r d t h e r d d = : i3 : - 1 3 3 i ? z t
R e s u l t s o f Z r e p r i n e s = b = : eT h e m a n e l j r
e r t e i n z S g \ t : k * j i r r m r d c fa g g e s s i v e r o
11 r o t i : e r i f r a n a E C 5 : o 3 5 ! T = m l n 2 Saccompani
i b : r Z d i z m e i z : = 4 f z ; Z T : 3 3 g M i :t 1 0 a n d :
O S Fo n d a b 2 m 5 g E E= T Lm a n e u v e r f in i sh e s Ln a 3
d : 0 r h D c M c f : i Jm a n e u v e r m d r h c o n r o : k # =
s 3 = = : z z z : = : = : : -
~ A
t o f o c u s a t t e n t i o n o n L t : e p f ; Z c f t b e a
w r o l a gt i o n a lg o r i t h m
f f ig u r c 4 h o w s t h l n ?e m e x J r x i = i : ( E ec o n
t r o l s f o r t ine c o m p l c t i o a c f t * i c r i a m d : e
C3 = = = =
c o e f f i c i e n t s a c r u d J a n z d U C t = E = = c f l
E ch
c o m b i n a t i o n o f c o m a a n : t l \ ls w r = F ! g * r
q p
se n t s t h c d e s i r e d m o a n m tF i N t S I \ i b P a a
n H P o f
s a t u r a t i o n o f o o n u o l s t M n re m h f r = = u = p
* m
a
T in e ( Se c o m )f i g i C o n t r o l t i m e h i s t o r i e
s
m T : i i \ z : z e a a a a p n c m t a g e ) Fr o m E q (2 ) I
t i s se en t ha tc n c f t : n o h
m l n t . O 60 a n d 1 25 , Th e d e m a n d e ; : i c d l i : e
c a pab: k c e c z o t s s l zo t zrd b c i a l u r a l e t l a n d
w e e x p e c t t he m o m n r lg m er a e d t o be Eln k a n e a \
t h ?
a e m ;?c n ' " \ ; 1 t u c o n t r o ls w e r e * a i u r a t a
l i t n d t h a t a t o th erEO m e c ? t sa i u r a iF t f J r c r
c p r (x t u c e \ t he a t t i n a b k m o m e n t s u bse t c u t
a n a )be hu e r io r n n s h o w n sc \ c r a l o () i n t he n r
s t I 2 s T h c c lu s t c f o ft < 1 0 s $ ho w s t hc ex c
ess
P
.
C n"
-
Scanned by CamScanner
M t j t u a CM STX \ P E D ( O N T H X u l o c r TM N 335
1 2
< - 0 9 :
4 : ?
A n a , m & k h t , = m t m(C o t a - a : )
I i 7 C = l a : I n f a l l a i n * b l t m n m e n l s w i t h
n q u i n d m o m e n t s
: 0
R i ght 1 H o r i z o n tJ T a i l +
10
T r a i l i n g Ed ge F]
4 0
20
10
C o n c l u s i o n sTh e dr t c r mn a n o B o f t r r s u h o
f a n a i n a b le m o m e n t s
i n \ e l + c a n e d f n i t t e d l y c o m p l i c a t ed a l
g o r i t h m n o n e t h e l e s s i ti \ c o m p l c r e l y d e
t c r m i n i s t i c A n d s h o u ld a l w a ! ] ! i c l d c o r
r e c t
r e s u l l \ n i i h i n t h : l i m i t a t i o n s o f t h c
a s s u m p t i o n s m a d eW i c l h e r o r n o t i t c o u ld b
c u q d f o r t h : r e a l t i m e r e a l l o c a t i o no f c o
n l r o l + f ol l owi n t h : i d e n t i f i c a t io n o f c o n
t r o l r a i l u r c sr c m a i n + a n o p e n q u e * t io n P a
r t o f t h e q u e s t i o n i n \ a l v e s t h e
c o m p u t a t i o n a l t i m e w h i c h m a y b : m o o t g
j \ e n t h e s t e a d yi n c r e a s e s i n o n b o a r d c o m
p u t i n g c a p a b i l i t i e s o r p o t e n t i a l l ym o r
e cr i ous c o n se q u e n c e a r e t h c a s s u m p t i o n s m
a d e i n pt i c u l a r t h a t e \ e r ! 3 y 3 ubma r r i x o f B
b c n o n s i n gu l a r S i nl a r i t i e s m i t h i n t h e B m
a t r i \ a r e n o t p a t h o l o g i c a l c a s e s a s m a yh
e s e e n f r o m a c u r s o r e w m i n a t i o n o f t h c e f r
e c t s o f p u r et h r u s t \ e c t o r i n g Re e a r c h i n t
h i s a r e a i s o n g o i n g
G i v e n t h e d e s : T i p r i o n o f t h e s u b s e t o f
a t t a i n a b l e m o m e n t sr e a l t i m e a l lo c a t i o n
o f t h e c o n t r o l s i s d e c i d e d l : L p r a c t ic a l
T h e
a c t u a l a l l o c a t i o n d e s c r i b e d h e r e i n r
e q u i r e s a s i m p le 3 3
t r h m u l t i p l i c a t i o n o n c e t h e c o r r e c t f
a c e t i 5 d e t e r m i n e d T h i s i sl e s s c o m p u t a t
i o n a l l y i n l e n s i \ e t h a n t h e u s e o f g e n e r a
l i z e d
v e r s e s w h i c h r e q u i r e s a n / n X 3 m a t r i x m
u l t i p l i c a t i o n T h e
f a c e t r e f e r r a l s y s r e m r e q u i r e s a 3 3 m a
t r ix m u l ci p l i c a t i o n f o re a c h r a c e t t e s t e
d b u t a c o n t i n u o u s ly \ a r y i n g m o m e n t d e m a
n d
s e l d o m r e q u i r e s m o r e t h a n t w o s u c h t e s
t s
F u t u r e R e s e a r c h
T h e r e a r e m a n y a r e a s a s s o c i a t e d w i t h t
h e c o n t r o l a l l o c a t i o n
p r o b l e m t h a t a r e r i p e f o r r e s e a r c h P r i
m a r y a m o n g t h e s e a r e a si s a n e x t e n s io n o f t
h e c o n t r o l e f f e c t s t o i n c l u d e f o r c e s a s w
e l l
a s m o m e n t s W i t h t h e i n c l u s i o n o f f o r c e
s,
o n e i s t h e n p r e p a r e dt o a d d r e s s s u c h p r o
b l e m s a s t h e d e t e r m i n a t i o n o f m a x i m u mc o
n t r o l g e n e r a t e d l i f t d u r i n g m a n e u v e r i n
g o r t h e de t e rm it i o n o f m i n i m u m c o n t r o l g e
n e r a t e d d r a g d u r i n g c r u i s e o r n e u v e r i n g
O f p e r h a p s e q u a l i m p o r t a n c e i s t h e i n t r o
d u c t i o n o fn o n l i n e a r i t i e s i n t o t h e e f f e
c t i v e n e s s o f t h e v a r i o u s c o n t r o l l e r st o
i n c lu d e a l o s s o f e f f e c t i v e n e s s a t h i g h e
r c o n t r o l d e f l e c t i o n sa n d c h a n g e s i n e f f
e c t i \ e n e s s t h a t r e s u l t r r o m i n t e r f e r e n
c e Fr o mo t h e r c o n t r o l d e f l e c t i o n s ( f o r e x
a m p l e t h e c h a n g e i n h or i zt a l t a i l e f f e c t i
v e n e s s \ \ i t h n a p d e f l e c t io n ) F i n a l l y t h
e i m p a c to f v i o l a r i o n s o f t h e a s s u m p t i o n
s m a d e m u s t b e Fu l l y e x a m i n e da n d a m e a n s o f
d e a l i n g w i t h t h e s e i m p a c t s d e t e r m i n e
d
0 5 0 7 I 3
T i m e (Se c o n d s )
F i g 8 C o n t r o l t i m e h i s t o r i e s d u r i n g s a
t u r a t i o n
dem a n d I' o r r o l l i n g a n d y a w i n g m o m e n t s A
t I = 1 0 5 , a l a r g en o se d o w n p i t c h i n g m o m e n t
r e q u i r e m e n t i s i n t r o d u c e
d a n d
m d m o v e s a b r u p t l y t o t h e p o s i t i o n s h o w
n d e c r e a s i n g s ub
qu e n t ly u n t i l r n d l i e s c o m p l e t e l y w i t h
i n t h e li g u r e Th e c o n t r o l s
a l lo c a t e d d u r i n g t h e p e r i o d o f s a t u r a t
i o n c o r r e s p o n d t o t h e
in t e r s e c t io n s o f m,
w i t h t h e b o u n d a r y a s s h o w nF ig u r e 8 f . . .
:
t h e c o n t r o l a c t i v i t y d u r i n g t h e p e r i o
d o fc o n t r o l sa t u r a t i o n T h e m o m e n t s b e i n g
g e n e r a t e d a r e a l l o nthe b o u n d a r y o f t h e a t
t a i n a b l e m o m e n t s Si n c e t h e
d e s i r e dm o m e n t d o e s n o t g e n e r a l l y p o i n
t d i r e c t l y a c a v e r
t e x o r a n
edge w e e x p e c t t o s e e a l l c o n t r o l s s a t u r a
t e d e x c e p t t w o d u r i n g
t he p e r io d 1 0 60 t o 1 2 5 S F r o m F i g 8 w e s e e t h
a t o n e o ft he se u n s a t u r a t e d c o n t r o l s i s t h
e le f t t r a i l i n g e d g e n a p T
h eo t he r u n s a t u r a t e d c o n t r o l v a r i e s i n
t h i s e x a m p le
F r o mt O 60 t o 1 I O s i t i s t h e l e f t h o r i z o m a
l t a i l A t a b o u t [
- 1 0
S,
t he d e s i r e d m o m e n t m o v e s f r o m o n e f a c e t
10 a n o th e r
, a s
m a y be s e e n i n F i g 7 A t t h is t i m e t h e Fa c e t r
ef e r r a l s y s t e m w a s
c a l led in t o p la y a n d i m m e d i a t e l y i d e n t i
f ie d th e n e w ra c e t
On c e On t h i s n e w f a c e t t h e l e f t h o r i z o n i
a l r u i l i \ s a m rn r c d
w he r e a s t he l e f t a i l e r o n i s o f r i t s c o n s
t r a i n t
A p p e n d i xI n t h i s A p p e n d i x b i n a r y n u m e r
a l s w i l l b e d i s t i n g u i s h e d b y
t h e s u b s c r i p t 2 s u c h a s 0 10 12 a s t h e b i n a
r y r e p r e s e n t a t i o n o fd e c i m a l 5 S i n c e n o n
u m b e r b a s e s o t h e r t h a n 2 a n d I O a r eu s e d
, a n u n s u b s c r i p t e d n u m e r a l i s u n d e r s t
o o d t o b e a d e c i m a l
r e p r e s e n t a t i o n , s o t h a t t h e n u m b e r 5 i
n m ; i s d e c i m a l 5
A 1 V e r t e x N u m b e r i n gV e r t i c e s a r e n u m b e
r e d a c c o r d i n g t o a b i n a r y r e p r e s e n t a t i o
n
t h a t r e f l e c t s w h i c h c o n t r o l s a r e m i n i
m u m a n d w h i c h a r e mi m u m s u c h t h a t a O i n t h e
i t h l e a s t si gni ncant b i r o f t h e b i n a r yn u m b e r
i n d i c a t e s t h e i [ h c o n t r o l i s a m i n i m u m
, a n d a 1 i n
c a t e s i t i s a t a m a x i m u m F o r e x a m p l e a f i
v e c o n t r o l p r o b le mw i l l h a v e a v e r t e x i n n n
u m b e r e d 9 D e c i m a 19 i s b i n a r : v 0 100 1 :s o t h e
Fi r s t a n d I' o u r t h c o n t r o l s a r e a t t h e i r m a
x i m u m l i m i t a n dt h e o t h e r s a t t h e i r m i n i m
u m C o n t r o l s a r e e n u m e r a t e d 0m 1
, s o i n t h i s e x a m p l e t h e c o n t r o l s u l U : A
n d l ' 4 a r e o n
t h e i r m i n i m u m c o n s t r a i n t s w h e r e a s u o
a n d 11 1 a r e o n t h e i rm a x i m u m c o n s t r a i n t
s
A Z T o N o d e n e t e r m i n a t i o n
T h e l i s t o f t o n o d e s i s e a s i ly d e t e m r i n e
t l b y l o g ic a l bi t w i s eX O R (e x c l u s i v e O R ) o p
e r a t i o n s o n b i n J r ) r c p r e s c n t a t i o n s u ft
h e n o d e n u m h e r a n d i \ n u m b e r \ l 2 4 Sc o n t r o
l m a s k T h e c o n t r o l m a \ k o r t h e i t h c o n t r o l
i \ d e t i m a t2 i 0 m 1 U n LI t h c e l l e c t L1 1 \ a R i n
g : t n L \ J c n t u n t rw i l l l a c o n t r o l m 4I \ k i \
10 Hi p t h c b i r i n t h c b i n a r ! [ r : I r e sel ll i n n
Lt r t i t t : n o t i e n u l n t t c r a b \ o c i a t v t l \ \
i t h t h c c r \ n t l \ \ l t h u su c r i n i n g : 1 t o n n
LIc L L\ n \ i d e r a r y p i c a l v e r t e \ i n a f o u r c o
n t r o l
4 D 1
:
:
r
-
Scanned by CamScanner
336 D TX ) LI \ t c B T R A P I D C O \ T R OT R u DCA T70 :
p r o b l e m Ro r i l l u s t r a t io n s a ! r r r : (0 10 1
: \ h a \ b e e n f o u n d t o t . Ca \ er i c x F o r e a c h c o
n t r o l t h e r e i s a c o n n e c t i o n a t t h i s v er t e
xa p d t hc t o n o d e s a r c o b t a i n e d h , r X O R i n g i
h e n u m b e r (0 10 19w i t h e a c h o f t h e f p u r c o n t r
o l ma k i ((m ] : OD I O : 0 100 : a n di n RO : ) T h u s \ t l R
{OI O I : 1 0 1 : ) 0 10 {1 : 4 y i e ld s m : a n o d e T h e o t
h e r 10 n o d e s a r e q u i c k l : r i d e n t i f i e d a s n
r : (O l l i : )
* 6 F * c r r I n r c r s ec tio m
A f a c e t i s d e f t : r d b y tl
, r e e \ e ; t o r s m : m : : A n d
t h e i n t e : s t i on o f a l in e i n t h e d i r ec t i o n
o f A d w i t h
o f t h e ra c e : A t t h a t in t e r s e c t i o n w e h a v
e
o r
\ J t : d Re T r t i n g\ \ C c l a i m w i [ h o u t p r o o f
t h a t a n y t h r e e v e c t o r s c o m p r i s e d o f
o n e \ e r t e i a n d a n y t \ \ 0 c o n n e c t io n s r r o
m t h a t v e r t e x f o r m ab a * i s f o r R ' W e t a k e t h
e s e t w o c o n n e c t i o n s t o b e t h o s edenni ng a f a c
e a g a i n s t w h ic h s o m e c o n n e c t i o n i s t o b e t
e s t e da n d [ h e v e r t e x t o b e t h e c o m m o n v e r t
e x o f t h o s e t u 0 c o n nl i o n s D e n o t e t h i s v e r
t e x m : a n d t h e t w o c o n n e c t i o n s m j j a n dm i A
C a l l t h e c o n n e c t i o n b e i n g t e s t e d m
, .
A n y p o i n t o nm
.
M a y t h e n b e e x p r e s s e d a s a l i n e a r c o m b i
n a t i o n o f t h et h r e e b a s i s v e c t o r s m : m i j a
n d m i k F o r s u c h a p o i n t o nt h e c o n n e c t i o n b
e i n g t e s t e d w e c h o o s e t h e [ o v e r t e x o f t h a
tc o n n e c t i o n (s i n c e i t s c o o r d i n a t e s a r e a
l r e a d y k n o w n ) a n dc a l c u l a t e t h e c o e f f i c
i e n t s O b a n d C i n t h e v e c t o r e q u a t i o n
m :-
T h e v a l u e s o f b a n l C m u s t l i e i n (O 1) f o r t
h e in : er sH :t o be o n t h e f a c e t i t se l f I f t h e i n
t e r s e a i o n i s o n t h e f z : e : i het h e v a Ju e o f a
i s t h e m a gp i l u d e o f t h e m a D m u m anz i : hm o m e n
t i n t h e d i r e c t i o n m i Sin c e t ine i s t h e v z r i a
b l e in c zp r o b l e m w e c o m p u t e a n d s t o r e f o r e
a c h f a c : t t h e in v e : se
f r o m w h l t h w e m a y t h e n e v a l u a t e a b a n d c
f o r a v n A.
T h e i n v e r s e e x i s t s b e c a u s e i t s c o l u m n
s a r e b a s i s v e c t o r s f o rt h r e e s p a c e W i t h t
h e s e r e s u l t s w e r e a s o n a s f o l l o w s : i r e i t
h e rb D r C o r b o t h a r e n e g a t i v e t h e n t h e r e i
s n o l i n e f r o m t h e o r ig i nt h a t p a s s e s t h r o u
g h a n y p o i n t o n m i X a n d t h e f a c e d e t e r m i n e
db y m i j a n d n r , k I f b o t h b a n d C a r e p o s i t i v
e t h e n t h eo p p o s i t e i s t r u e I f b o t h b a n d C a
r e p o s i t i v e Th e n w e e x a m i n et h e v a l u e o f a :
i r a > 1 m
, .
Is s u p e r i o r t o t h i s f a c e a n d i f a< 1 i t i s
i n f e r i o r W e s h o u ld n e v e r h a v e a = 1 f o r t h e
n
m, '
I s c o p l a n a r w i t h t h e Fa c e b e i n g t e s t e d a
p o s s ib i l i t y w ed o n o t a l lo w
A c k n o w l e d g m e n tm a j o r po r t i o n o f t h i s w
o r k w a s c o n d u c t e d u n d e r X * SA
R e s e a r c h C o o p e r a t i v e A g r e e m e n t X C C I
15 S s u p m i se l bJo h n V F o s t e r o f N A SA I a n g e r R
e s e a r c h C e n t e r
A 4 F a c e t I d e n t i f i c a t i o nF o r a v e H e x m : o
b t a i n e d b y t h e c o m b i n a t i o n o f c o n t r o l
s
U ; a s s u m e t h a t c o n n e c t i o n s m i j a n d m i *
h a v e s u r v i v e d t h et e s t s i n Se c A 3 a n d a r e t h
e r e f o r e e d g e s m : / A n d m : 1 T h e n/ n
, a n d m i a r e p r o m o t e d t o v e r t i c e s m a n d m
: r e a c h e d f r o m
m : b y v a r y i n g t w o d i f f e r e n t c o n t r : i : f
r o m o n e e x t r e m e t oa n o t h e r C a l l t h e s e c o n
t r o l s U
.
(f o r T ; ) a n d u b ( f o r m ; ) W ew i s h t o d e t e r m
i n e w h e t h e r O r n o t m : j a n d m : t f o r m a f a c e
tT h e f o u r t h n o d e o f t h i s f a c e s a y m r i s id e n
t i f i e d f r o m
X X O R U 2 b ) o r X X O R (K 2W e t h e n e x a m i n e t h e
v e r t e x l i s t t o s e e i r m
.
Is p r e s e n t ; i r i ti s t h e f a c e i s a f a c e t e l
s e i t i s n o t
A 5 D u p l i c a t e F a c e t sF a c e t s a r e u n iq u e l
y d e s c r ib e d b y t h e i r f o u r v e r t ic e s T h e
e a s i e s t w a y t o k e e p t r a c k o f r a c e t s w a s
f o u n d t o b e b y as s oa t i o n w i t h a b i n a r y n u m b
e r w h o se b i t s w e r e l o g i c a l n a g s f o re a c h o f
t h e 2 " ' p o s s i b l e v e r t e x n u m b e r s F o r e a c h
f a c e t e x a c t l yI' o u r o f t h e s e b i l s a r e T R U E
T h e s e r e p r e s e n t a t i o n s ( se t s i nP a s c a l a n
d o t h e r l a n g u a g e s ) m a y b e d i r e c t l ) c o m p a
r e d f o re q u a l i t y a v o id i n g t h e n e e d t o s o r t
a l i s t o f v e r t e x n u m b e r sT h e m a x i m u m s i z e
o f s t i c h a r e p r e s e n t a t i o n i s c o m p i l e r sc
i f i c a n d m a y l i m i t i t s u t i l i t y
R e f e r e n c e srs n e u S A E n n s D F a c d G a r r a r d
W L : ( o n l i n c a r I z \ =
s i a n m & t C o n t r o l f o r a Su Fe r m a n e u r a a
b l e A i r m f t F y x w r po f t h e 4 / 1 4 G u i d z n c e v m
ig a r i o n c n d C o n t r o ! C o R w : e I Pl a r d O R ) * L \
\ W a s h i n g o n D C 1990 FF 808 B I T t %l A \ Pz e90 340 6
)
: Sh a w P D e t a l D = ig X t e t h o d s f o r I ct ca U ed C
e r : r c : S)t e m s A i r F o r c e W r i g h t A e r o m u t i c
a l L a b o r a t o r i e s A N A l T R =206 1 J u n e 19 SS3L a l
l m a n F J R e l a t i \ e C o n u o l E f f et t i \ e n e s s T
a ; : z iq z z j dA F P l i c a Go n t o A i r p la n e C o n t r o
l C o o r d i n a t i m X * SA T P : t t sA p r i l 1935' L a l l m
a n F J P r e l im i m ] D e s i g n St u d : r o f a L z r m l t
+t i o n a l C o n t r o l Sy s t e m L s i n g f L in J ; E : o r
i . g X A S \ T \ I sec sN o v 19 S5: D a \ i d so n J B e t a l D
n e l o p m m t o f & C iJ m r o : L 3 4 De i pP r o c e s s L
t i l i z i n g * d \ a n c r d Sr t h e si s l i n t o d s W i t h
A FP LIo : i c a =t h e N A SA F I S H A R v H ig h %n g l m f A t
t a c t P r o j m s l n t l n o l o D C o n f X A S \ Dr d m n i g
h t R n m c h F c i ln y E H M CA p r i l 2 1 : 3 199 26 B u g a j
s t i D E n n s D a n d H c c d r i ; k R N t u l iw ew C p n t x
i
F a c i l i t y E d u d i C A A p n l : 1 3 1 9 2D u r ha m W C
C o n s t n i n cd C n n t r u l Al l car h?s b w M i fC * i d a n
r e C o n l r n l A n d 1) t H d m * = V o l I 6 X o 4 19 u' SM r c
i c k R 4 l o T : : Am ' : n J n l A d t i b m W e k X c w M 4
I i n t u r Trcm! F m i r i o d#s * M U w F = T S P E A : i *O i
r l \ X J TWiTm a t m R a
;ii3
t t
![Outage-Constrained Sensing Threshold Design for Decentralized … Lee/2016TransCom... · 2016. 10. 20. · hopping techniques [7] [8] ... that utilizes the bandwidth and power allocation](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/6082723fd5155c7ef6174ef3/outage-constrained-sensing-threshold-design-for-decentralized-lee2016transcom.jpg)
