Conservación del Momento Angular:

Esteban García, Rodrigo Pintos, Martín Laco

INTRODUCCIÓN

 Nuestro trabajo se basa en resolver un problema que presenta los conceptos de centro de masa, movimiento relativo y momento angular (su conservación). En nuestro problema, el sistema a analizar son 2 patinadores, de distinta masa que practican un número que se basa en estos conceptos mencionados anteriormente. Se estudiará su comportamiento, una vez juntos, girando. Se tendrán ciertas consideraciones en cuanto a sus masas y en cuanto a su movimiento..

Presentación del problema:

Temas que incluye:

• Centro de Masa

• Movimiento relativo

• Momento Angular (conservación)

Fundamento Teórico:

Centro de Masa : La posición del centro de masa se define, para un sistema de n partículas de masas ,........, como:

 

En la notación vectorial más compacta, estas 3 ecuaciones pueden escribirse como una sola expresión que dé la posición del centro de masa:

 

Usando la derivada de esta expresión, hallamos la velocidad del centro de masa:

 

ximiM

X cm .1 yimi

MYcm .

1 zimiM

Zcm .1

rimiM

rcm .1

vimiM

Vcm .1

1m nm

Movimiento Relativo:

Sean 2 observadores S y S’. Cada uno tiene un marco de referencia correspondiente que está unido a un sistema de coordenadas cartesianas(ubicamos por conveniencia a los observadores en el origen de su sistema de coordenadas cartesianas). Hacemos una restricción en esta situación: La velocidad relativa entre S y S’ debe ser una constante (en magnitud y dirección). Esta restricción no incluye al movimiento de la partícula que está siendo observada por S y S’.

Tanto S como S’ ubican a P con respecto a su sistema de coordenadas. De acuerdo con S, la partícula está en posición indicada por el vector rPS, mientras que con S’, la partícula está en posición indicada por el vector rPS’. La relación entre los vectores:

 

= +

 

Usando la derivada de esta relación, obtengo: = +

PSr 'SSr 'PSr

PSV 'SSV 'PSV

Para un sistema que consista en un cuerpo rígido que gire alrededor de un eje que esté fijo en un marco de referencia inercial, tenemos que:

Siendo L la componente escalar del momento angular, I la inercia de rotación y la velocidad angular.

Momento Angular

En la siguiente ecuación, hallamos que la razón de cambio en el tiempo del momento angular total de un sistema de partículas respecto a un punto fijo en un marco de referencia inercial, o con respecto al centro de masa es igual al torque neto que actúa sobre el sistema, esto es:

Si no actúa ningún torque externo sobre el sistema, entonces el momento angular no cambia con el tiempo:

o bien

IL

cteL 0dt

dL

dt

dLext

Por lo tanto, decimos que:

ffii

Presentación del Problema

Dos patinadores artísticos están practicando en una pista. Las masas de Aldo (A) y Beatriz (B) verifican: MB = 3/4MA. La fuerza de rozamiento entre los patines y la pista se supone despreciable. Considere la masa de los patinadores concentrada en su centro de masa.

 

Un número de su actuación consiste en moverse a lo largo de rectas paralelas separadas una distancia D, con velocidades de igual módulo, VA=VB=VO, pero en sentido opuesto. Al cruzarse, los patinadores extienden sus brazos, se agarran de las manos y continúan rígidamente unidos, manteniendo entre ellos una distancia D.

ESQUEMA DEL EJERCICIO:

Datos: (pista Froz despreciable)

MB = 3/4MA

Aldo y Beatriz se mueven linealmente a lo largo de rectas paralelas separadas una distancia D

Va = Vb = Vo

Va

Vb

D

Aldo (A)

Beatriz (B)

cm

Beatriz (B)

Aldo (A)

Beatriz y Aldo se mueven con la misma velocidad angular respecto del centro de masa pero con distinta velocidad tangencial respecto de este.

Todo el sistema se desplaza con velocidad constante.

Tras dar una vuelta completa los patinadores encogen sus brazos hasta acercarse una distancia

3

2'

DD

Luego de dar otra vuelta completa, se sueltan saliendo en la misma dirección inicial

Resolución del problema

Parte 1)

•Hallar la velocidad del centro de masa de los patinadores

Va

Vb

D

Aldo (A)

Beatriz (B)

cm

Para hallar la velocidad del centro de masa de los patinadores debemos observar que al no existir fuerzas externas se conserva la cantidad de movimiento, por lo que deducimos que la velocidad del centro de masa permanece constante. De esta forma podemos aplicar la siguiente fórmula:

vimiM

Vcm .1

Aplicado a nuestro ejercicio:

0000

7

1

4741

4343

)(V

m

mV

mm

mmV

mm

mmVV

A

A

AA

AA

BA

BAcm

Parte 2)

•Hallar la velocidad de giro de los patinadores respecto del centro de masa

Beatriz (B)

Aldo (A)

Al juntar sus brazos los patinadores giran con la misma velocidad angular pero con distinta velocidad de giro respecto del centro de masa, para hallarlas debemos considerar que Pero para medirlas desde el centro de masa primero debemos saber su posición, para esto utilizamos la siguiente forma:

RV

D

VDV 0

0

2

2

7

3

47

430.

A

A

BA

BbAcm

m

m

mm

XmmX ximi

MX cm .

1

00

7

6)

7

3(

2VV

D

D

VV AA

00

7

8)

7

4(

2VV

D

D

VV BB 07

6

4

3VVV BA

Parte 3)

•Hallar el módulo de la velocidad de cada patinador respecto de la pista

Para resolver este problema debemos considerar no existencia de fuerzas externas lo que provoca que el torque neto externo sea cero y de esta forma deducimos que el momento angular se conserva

fLL 0

00 .TIL

D

VDV 0

000

2

2.

Primero procedimos a calcular el0L

Pero para eso debíamos conocer primero 0

Para ello utilizamos la siguiente fórmula proveniente del movimiento circular uniforme RV .

22

0 7

4

4

3

7

3 Dm

DmL AA

Una vez conocida pudimos hallar 0 0L

00 76 DVmL A

Tras una serie de transformaciones

Luego debimos hallar fL fTf IL .

fBAf

Dm

DmL

22

7

'4

7

'3

fA

f

DmL

7

'3 2

Desarrollando obtenemos

Pero nuestro problema consistía en hallar las velocidades los patinadores respecto de la pista por ello hicimos lo siguiente

RV .7

'3.

4

18 0 D

D

VVA

3

2'

DD Utilizando la relación Llegamos a que

D

Vf 4

18 0

Y obtuvimos 07

9VVA

Utilizando la conservación de despejamos

L2

0

'

2

D

DVf

Procediendo de igual forma para el otro patinador llegamos al siguiente resultado

07

12VVB

Pero esas velocidades están medidas desde el centro de masa por ello tuvimos que realizar algunas transformaciones y deducimos que las velocidades de los patinadores medidas desde la pista eran las siguientes

07

10VVA 07

11VVB

Fin de la presentación