CONJUNTOS - cartagena99.com · De este modo, los puntos, los hijos y el gato, las rectas, las distintas cadenas de televisión, las diferentes denominaciones de origen de los vinos

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OBJETIVOS DE LA UNIDAD

1. Introducción

2. Definiciones

2.1. Conjunto 2.2. Conjuntosbiendefinidos:comprensiónyextensión 2.3. Elementos:pertenencia 2.4. Referencial,conjuntovacíoØ,unitarioypares 2.5. Igualdaddeconjuntos

3. Subconjuntos

3.1. Definición 3.2. Conjuntosanidados 3.3. Partesdeunconjuntoyconjuntodelaspartes 3.4. Particióndeunconjunto 3.5. Propiedadesdelainclusión⊂

4. DiagramasdeVenn

5. Operacionesconconjuntos

5.1. Implicacionesyequivalencias.Cuantificadores

5.1.1. Implicacionesyequivalencias 5.1.2. Cuantificadores

UNIDADDIDÁCTICA

1 CONJUNTOS

Sumario │

"Todos los derechos reservados. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta Unidad sólo puede ser realizada con la autorización de la Universidad a Distancia de Madrid, UDIMA, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47)".

MATEMÁTICA DISCRETA

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6. Leyesdeoperacionesconconjuntos.Álgebradeconjuntos

7. Principiodeinclusión-exclusión

8. Conjuntoproducto

9. AxiomáticadeZermelo-Fraenkelparateoríadeconjuntos

10. Fundamentacióndelamatemáticaapartirdelconjuntovacío:definicióndenúmerosnatu-ralesporVonNeumann

CONCEPTOS BÁSICOS A RETENER

EJERCICIOS VOLUNTARIOS

REFERENCIASBIBLIOGRÁFICAS

│ Sumario


J. Pazos Sierra Conjuntos

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OBJETIVOS DE LA UNIDAD

• Entenderymanejarelconceptofundamentalde«conjunto»ysuaxiomática.

• ManejarlosdiagramasdeVennpararepresentarconjuntos.

• Introducirlosconceptosde«implicación»,«equivalencia»ylos«cuantifi-cadores».

• Entenderymanejarelálgebradeconjuntos.

• Manejar,porsutrascendenciaenprobabilidad,elprincipiodeinclusión-exclusión.

Sumario │



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1. INTRODUCCIÓN

Elconjuntoesunaestructuradiscretafundamental.Sobreellase«posan»otrases-tructurasmatemáticas,lógicasy,engene-ral,científicas.Ellenguajedelosconjuntosconstituyeunamanerarigurosadeestudiar,demodoorganizado,coleccionesdeobjetos,entes,cosas,etc.,distintos.

Lateoríaabstractadeconjuntoslindaconlafilosofíay,analizandolosprincipiosmis-mosdelconocimiento,planteaproblemasdi-fícilesque,enestaUnidaddidáctica,solosemencionan.Paraloqueaquíinteresa,essufi-cienteelpuntodevistadenominadoingenuo,enoposiciónalformalistaoaxiomático.Contodo,estaingenuidadrelativafueladeCan-tor,creadordelateoría.Sinembargo,tambiénsedaráladefiniciónaxiomáticadelateoríadeconjuntos.

2. DEFINICIONES

2.1. CONJUNTO

Recibeelnombredeconjuntounaco-lecciónbiendeterminadadeobjetos.Dichosobjetosrecibenelnombredeelementosdelconjunto.

Seconviene,pues,enqueunconjuntoestáconstituidoporelementos,entesabstrac-

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Nació el 3 de marzo de 1845 en San Peters-burgo (Rusia). Hijo de George Woldemar, próspero comerciante y devoto luterano, aun-que descendiente de judíos lusitanos, y de Maria Anna Böhm, católica y descendiente de virtuosos violinistas.

Estudió en la Universidad de Zúrich en 1862 y, desde 1863, en la de Berlín, siendo discí-pulo de Kummer y Weierstrass.

Desde 1869, enseñó en la Universidad de Halle (Alemania), donde en 1867 había pre-sentado su tesis doctoral sobre la teoría de números.

En 1872, conoció a Dedekind, del que se ha-blará posteriormente. Fue Dedekind quien impulsó las ideas conjuntistas que compar-tía con Cantor.

Y aunque Cantor no fue, a pesar de la placa colocada en su casa en Halle, el fundador de la teoría de conjuntos, tema en el que le pre-cedieron Du Bois-Reymond, Dini, Harnack y el citado Dedekind, sí fue el que le dio más lustre y razón de ser.

Eso sí, fue el creador de los números ordi-nales transfinitos, a los que Hilbert dio cate-goría de paraíso.

En 1884, por la tensión sufrida debido a su intenso trabajo y a causa de su enfrentamien-to con Kronecker, desarrolló su primera crisis grave por depresión, que ya no le abando-nó, con crisis esporádicas, hasta su muerte en el Halle Nervenklinik, de Halle, el 6 de enero de 1918.

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tos,objetosmateriales,conceptos,fenómenos,signos,etc.,reunidosarbitrariamenteoenvirtuddeunapropiedadcomún.

Todoconjuntoes,asimismo,unobjeto,tomandoeltérmino«objeto»ensentidoam-plio.Unconjuntoestádeterminadocuandosesabequéobjetosloconstituyen,esdecir,cuálessonsuselementos.

Unconjuntoesunaentidaddenaturalezadiferentealadeloselementosquelocomponen.Porejemplo,unconjuntodepuntosnoesunpunto,inclusosicontieneunsolopunto.Elconjuntodelosfarmacéuticosdeunpueblonoesunfarmacéutico,in-clusoaunqueenesepueblohayaunsolofarmacéutico.

Lanociónde«conjunto»esmuyfrecuenteyhabitualenlavidacotidiana,y,conma-ticesdiversos,laevocanlossiguientestérminos:«clase»,«grupo»,«colección»,«agrupa-ción»,etc.Sinembargo,losconceptosrigurososde«conjunto»,«colección»,«agrupación»,«clase»,etc.,tantoenlógicacomoenmatemáticas,difierenbastanteentresí.

Lohabitualesdesignarlosconjuntosmedianteletrasmayúsculas.Pararepresentarunconjuntoseusalanotaciónsiguiente:letramayúscula,signoigual,llavedeapertura,enumeraciónseparadaporcomasodefinicióndeloselementosquecomponenelcon-junto,yllavedecierre.Porejemplo:

• C1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}={cifrasdecimales}.

• P={2,4,6,8,10,…,2n}={númerospares}.

Ejemplosdeconjuntos:

• Lospuntosdeunsegmentodado.

• LoshijosdelafamiliaGarcíaysugato.

• Lasrectasquepasanporunpuntoenelespacioeuclideo.

• Lascadenasdetelevisión.

• Lasdenominacionesdeorigendelosvinosespañoles.

• Elconjuntodeestudiantesdeestaasignatura.

• LaspáginasdeestaUnidad.

• Losátomosdeunamolécula.

• Loshabitantesdeunaciudad.

• Losnúmerosprimos.

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Algunosconjuntosparticularmenteimportantesenmatemáticassonlossiguientes:

• N*,conjuntodelosenterosnaturales:{1,2,3,…}.

• N,conjuntodelosenterosnaturalescompletadosconel0:{0,1,2,3,…}.

• Z,conjuntodelosenterosrelativos:enterospositivosynegativosincluidoel0:{0,±1,±2,±3,…}.

• Q,conjuntodenúmerosracionales:fraccionespositivasynegativas.

• R ,conjuntodelosnúmerosreales;esdecir,todoslosanterioresmáslosirracionales.

• C,conjuntodenúmeroscomplejos,tambiénconocidoscomo«imaginarios».

2.2.CONJUNTOSBIENDEFINIDOS:COMPRENSIÓNYEXTENSIÓN

Sedicequeunconjunto está bien definidocuandosiempreesposibledeterminarsiunobjetodadoperteneceonoaunciertoconjunto.Porenunciadosprecisosdepa-labras,comosucedecuandosedice:elconjuntoV,delasvocalesdelalfabetoespañol.Oescribiendosuselementosentrellaves,comoeselcasodedescribirelanteriorcon-juntodelasvocalesponiendo:V={a,e,i,o,u}.Enesteúltimoejemplo,elconjuntoestáescritoenformatabular.

Enrelaciónconlasdosformasanterioresde«definir»unconjunto,existendosmodosdedescribirlosconjuntos:

• Comprensión.Cuandosedeterminainequívocamenteunconjuntoenun-ciandounapropiedad,característicaoatributocomúnquepermiteenume-rarsuselementos;estoes,dandounapropiedaddelaquegozantodosloselementosdeunconjunto,ysoloellos,elconjuntoquedadefinidoporcom-prensión:

C={p|p=2x,∀x∈Z}

YseleeCeselconjuntodelosp«talesque»pesparomúltiplode2.

Estaformadedefinirvieneaserunadeterminacióndelconjunto«descri-biéndolo».Sinembargo,unconjuntonotieneporquéestarformadoporelementosconpropiedadescomunes;porejemplo,elconjuntoC={1,B,Pepe,casa,avión}norepresentaningunapropiedad,factor,atributooca-

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racterísticacomúnentresuselementosy,noobstante,esunconjunto.Enestassituaciones,nohaymásremedioqueacudiradefinirlosconjuntos,porextensión.

• Extensión.Cuandosedeterminaunconjuntoporenumeracióndesusele-mentos,bienenumerándolostodos,oenumerandounaparte,yestaseguidadepuntossuspensivos,apareciendounaleydeformacióndedichoselemen-tos.Porejemplo,siserepresentaporDelconjuntodelosdivisoresde60,dichoconjuntopuededefinirseporextensióncomosigue:

D={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30}

Estemodoexhaustivodedefinirelconjuntoporextensiónsecorrespondeaunaenumeración.

Hayquedistinguir,claraynítidamente,entreunobjetoyelconjuntoalquepertenece.Nosignificalomismo,verbigracia,unacerillaqueelconjuntodetodasellascontenidasenunacaja.

2.3.ELEMENTOS:PERTENENCIA

Losobjetosqueformanunconjuntorecibenelnombredeelementosomiembrosdedichoconjunto;esdecir,cadaunodelosconstituyenteselementaleseindividualesdeunconjuntorecibeelnombrede«elemento».Porejemplo,enelconjuntodelosnúmerosdecimales{0,1,…,8,9},cadacifraesunelementodelconjunto;tambiénsedicequeunelementoperteneceaunconjunto.Deestemodo,lospuntos,loshijosyelgato,lasrectas,lasdistintascadenasdetelevisión,lasdiferentesdenominacionesdeorigendelosvinosespañoles,losestudiantesdeestructurasdiscretasycadapáginadeestaUnidadson«ele-mentos»o«miembros»desusrespectivosconjuntos.

Supóngaseque,pordefinición,aesunobjetoyCesunconjunto.Sielobjetoa«perte-nece»alconjuntoC,serepresentacomosigue:a∈C,yseleea«pertenece»aC,siendo,portanto,∈elsímbolodepertenencia.Si,porelcontrario,a«nopertenece»aC,seescribea∉C.

Estesímbolodepertenencia∈fueintroducidoen1894porelmatemáticoita-lianoPeano(1858-1932).Naturalmente,siCesunconjunto,paratodoobjetooele-mentoesetieneunaysolaunadelasdosalternativaseventualessiguientes:a∈Coa∉C;siendo«o»exclusivo,esdecir,aperteneceaCoanoperteneceaC,peronoaambos.Pararepresentargráficamentelapertenenciaonodeunobjetoaunconjuntopuedeusarseunesquemacomoelquesemuestraenlafigura1;enelcual,siseadoptaelcon-

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veniodequeunobjetoestárepresenta-doporunpunto,setieneque:

• a∈C,siaestáenelinte-riordelgráficoC.

• a∉C,encasocontrario.

Comosepuedever,loselementosdeunconjuntoserepresentanporletrasminúsculas,entantoquelosconjuntosserepresentanporletrasmayúsculas.Existenotrosdossímbolos,∀y∃,quevanausarseentodoeltextoyque,respectivamente,significan«paratodo»y«existealmenosun»,querecibenlosnombresdecuantificador universal y existencial.Seestu-diaránmásdetenidamenteenelepígrafe5.1.2.

2.4.REFERENCIAL,CONJUNTOVACÍOØ,UNITARIOYPARES

CuandosedefineunconjuntocualquieraC,previamentedebesuponerseconoci-dounconjuntoquelocontenga;esloqueenlógicaseconocecomogénero próximo.

Escómododenominarreferencialoconjunto universaldeundominioodisci-plinacientíficaalconjuntodelqueestadisciplinatrata,sinoexclusivamente,almenosprimordialmente.Porejemplo,elreferencialdelaentomologíaeselconjuntodeinsec-tos.SerepresentaporU.

Esdecir,sedenomina«conjuntoreferencial»o«universal»,U,aunconjuntotalquecontienetodoslosobjetosoelementosqueestánsometidosaconsideración.

Porejemplo,siU=Z,Cpuedeserelconjuntodelospares,olosimpares,olosprimos,etc.Encambio,siUeselconjuntodelasletrasdelalfabetoespañol,Cpodríaserelconjuntodelasmayúsculas,oeldelasminúsculas,oeldelasvocales,oeldelasconsonantes,oeldelasvocalesmayúsculas,oeldelasletrasdobles:lloch,etc.

Unconjuntoqueconstadeunúnicoelemento,e,sedenominaconjunto unitario(eningléssingleton)yserepresentapor{e}.Porsuparte,siaybsondosobjetosdistintosyformanparte,exclusivamente,deunconjunto,dichoconjuntorecibeelnombredeparyserepresentapor{a,b}.Finalmente,existeunconjuntoysolounoquenocontieneningúnele-

Figura1. Esquema de pertenencia

Conjunto C

a’ ∉ C

a ∈ C

a

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mento.Dichoconjuntosedenominaconjunto vacíoyserepresentaydefineporextensiónpor{}oØ.Talconjuntovienedefinidoporcomprensióncomosigue:Ø={}={x|x ≠x}.

2.5.IGUALDADDECONJUNTOS

DosconjuntosAyBsonigualessiysolositienenlosmismoselementos,ysees-cribeA=Bparaindicardichaigualdad.Porelcontrario,sedicededosconjuntosAyBquenosonigualescuandonoconstandelosmismoselementos.DichanoigualdadodesigualdadsedenotaporA≠B.

Porejemplo,losconjuntosA ={1,2,3,4}yB={1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}soniguales;esdecir,A=B.Comopuedeverse,unconjuntonosealterapormásquesere-pitan,«tripitan»,etc.,algún(os)elemento(s).

SeanahoralosconjuntosA={1,2,3,4}yB={4,3,1,2};tambiénenestecasoA=B;esdecir,elordendeloselementosdeunconjuntoesabsolutamenteirrelevanterespectoalarelacióndeigualdadentreconjuntos.

Porelcontrario,siahorasetienenlosconjuntosA={1,2,3,4}yB={1,2},sevequeambosconjuntosnosoniguales,puessediferencianendoselementos,3y4:A≠B.

La igualdad de conjuntos, verbigracia A, B, C, presenta las propiedades evi-dentes siguientes:

• Reflexividad:A = A.

• Simetría:SiA = B ⇒ B = A.

• Transitividad:SiA = B y B = C ⇒ A = C.

3. SUBCONJUNTOS

3.1.DEFINICIÓN

SitodosloselementosdeunconjuntoApertenecentambiénaunconjuntoB,sedicequeAes«partede»B,oqueAestá«incluido»enB,oqueAestácontenidoenB,oinclusoqueAesun«subconjunto»deB,yseescribeA⊆B.

Sumario │



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Segúnestadefinición,elpropioBpuedeydebeconsiderarsecomounsubconjun-todesímismo:esla«inclusión»ensentido«amplio».Naturalmente,sihayelementosdeAquenoestáncontenidosenB,entoncesAnoesunsubconjuntodeB,yseescribeA⊆⁄ B,loqueesequivalenteadecir

∃x:(x∈A)y(x ∉ B)

Esdecir,A⊆Bsiysolosi∀x:(x∈A⇒x∈B).SiconstaraqueBcontieneele-mentosextrañosaA,sedicequeAesunsubconjuntoestrictodeA,ydichainclusiónseescribeA⊂B.

3.2. CONJUNTOS ANIDADOS

Avecesloselementosdeunconjuntoformanpartedeunconjuntomásamplioque,asuvez,formapartedeotromásamplio,queasimismo…Cuandosedaestasituación,sedicequelosdistintosconjuntosestánanidados,ycadaunodeellossedefinecomosubconjuntopropiodelsiguiente.

Porejemplo,represéntese,comoeshabitual,porNelconjuntodelosnúmerosna-turalesmásel0:0,1,2,3,4,…,cuyadefiniciónporextensiónvienedadapor

N={0,1,2,3,…,i,i+1,…,n,n+1,…}

Yporcompresión:

N={n|nesunnúmeronaturalo0}

Tambiénsesabequehayunconjunto,queserepresentaporZ ,ycuyoselementossonlosnúmerosenteros;esdecir,losnúmerosnaturalesmásel0ylosnúmerosnaturalesconelsignomenos:…,–3,–2,–1,0,1,2,3,…,ycuyadefiniciónporcomprensiónes

Z={e|eesunnúmeroentero}

Yporextensión:

Z={…,–(n+1),–n,…,–(i+1),–i,–3,–2,–1,0,1,2,3,…,i,i +1,…,n,n+1,…}

│ Sumario



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Asimismo,seconocequeexisteunconjuntocuyoselementossonlosnúmerosra-cionales,estoes:…,5/3,3/2,–7/2,9/7,–1/4,4,0,…,yquesedesignaporQ ,ycuyadefiniciónporcomprensiónvienedadapor

Q={r|resunnúmeroracional}

Yporextensión:

Q={…,5/3,3/2,–7/2,9/7,–1/4,4,0,…}

Sialconjuntoanteriorseleañadenlosnúmerosirracionalescomo√2,descubier-toporlospitagóricos,seobtieneunnuevoconjuntocuyoselementossontodoslosdelanterior,máslosasíllamadosnúmeros irracionales:estoes,loselementosdedichoconjuntosonlosnúmerosreales.DichoconjuntoserepresentaporRysudefiniciónporcomprensiónvienedadapor

R={x|xesunnúmeroreal}

Yporextensión:

R={…,–π,–e,–3/7,…,0,1,2,…,3/7,e,π,…}

Porúltimo,existeunconjuntodenúmerosdadosporunpardenúmerosreales,unodeloscualesvienemultiplicadopor√–1=i,quereciben,pordefinición,elnombredenúmeros complejos:…,–1+2i,–i,0,1+i,…,quesedesignaporC,ycuyadefini-ciónporcomprensiónes

C={c|cesunnúmerocomplejo}

Yporextensión:

C={…,–1+2i,–i,0,i,1+i,1+2i,…}

Elesquemadadoporlafigura2muestralasituaciónrelativadeloscon-juntosqueacabandedescribirse.Comopuedeverseasimplevista,elconjuntodelosnúmerosnaturalesmásel0estácontenidoyes,portanto,unsubconjun-topropiodelconjuntodelosnúmerosenteros,que,asuvez,loesdelconjun-todelosnúmerosracionales,que,asi-

Figura2. Anidamiento de los conjuntos de los números

N Z Q R C

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mismo,loesdelosnúmerosreales,que,finalmente,loesdelosnúmeroscomplejos.Y,recíprocamente,estos,loscomplejos,contienenalosreales,quecontienenalosracio-nales,quecontienenalosenteros,quecontienenalosnaturalesmásel0.

3.3.PARTESDEUNCONJUNTOYCONJUNTODELASPARTES

SedenominapartedeunconjuntoC,osubconjuntodeC,atodoconjuntoPdeele-mentosdeC.SeexpresaquePesunapartedeC,diciendoquePestáincluidoenC,re-presentandodichainclusiónmedianteelsímbolo⊂,yseescribeP⊂C;esdecir,Pestá«incluido»enC.EnvezdeescribirP⊂C,sepuedeescribirdemodoequivalenteC⊃P,yseleeC«contiene»aP.TambiénseemplealanotaciónP⊄C,yseleeP«noestáin-cluido»enC,yC⊃⁄P,yseleeC«nocontiene»aP.

Sean,ahora,a,b,c,dobjetosdistintos;estoes:a≠b,a≠c,a≠d,b≠c,b≠d,c≠d,yconsidéresealconjuntoC={a,b,c,d}.EnumérensetodaslaspartesdeC,teniendoencuentaqueelconjuntovacío,Ø,esunapartedeC,comosigue:

• Hágaseintervenira{a}.• Hágaseintervenirb{b},{a,b}.• Hágaseintervenirc{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}.• Hágaseintervenird{d},{a,d},{b,d},{a,b,d},{c,d},{a,c,d},{b,c,d},

{a,b,c,d}.

Porotraparte,sesabequecadaunadelaspartesdeCesunobjetoysepuede,portanto,considerarelconjuntoformadopordichosobjetos.Adichoconjuntoseledesig-naporƤ(C)ysedenominaconjunto de las partesdeC.Dichoconjuntosedefineporextensióncomosigue:

Ƥ(C)={{},{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}}

Yporcomprensión:

Ƥ(C)={P|P⊂C},queseleeƤ(C)eselconjuntodelosP,talesqueP⊂C.Esdecir,todapartedeunconjuntoesunobjetoyƤ(C)designaelconjuntodelaspartesdeC.Enestecaso,Ƥ(C)constade16elementos,entantoqueelconjuntoCsoloconstade4.Engeneral,siunconjuntofinitoconstadenelementos,elconjuntoƤ(C)desuspartesconstade2nelementos.

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EJEMPLO 1

• Unnúmeronaturaln ∈ Nsedenominaprimosiysola-mentesidiv pesunpar:div3={1,3},div17={1,17},….,esdecir,soloesdivisibleporélmismoylaunidad.

• Considéreselafigura3.Setienequea ∈ E1,b ∈ E1,a ∉ E2, b ∈ E1,b ∈ E2.

• Sepuedencomprobarlassiguientesrelaciones:

Ø={}={x|x≠x},{1,2}={x|x = 1 o (x=2)}{1{0}={x|x=10}}

3.4.PARTICIÓNDEUNCONJUNTO

SeaCunconjuntonovacío.SedenominaparticióndeCtodadistribucióndeCensubconjuntosnovacíosCi,disjuntosdosados,deformaqueCsealaunión

∩idetodos

ellos.LacoleccióndelosCi,i∈I,sien-doIunconjuntodeíndices,constituyeunaparticióndeCsiysolosi

Ci≠ØAi∈I,Ai∩Aj=Ø∀i j

conj ∈I,∩

i∈ICi=C.

Lafigura4ilustra,clarayprecisa-mente,elconceptode«partición»deunconjuntoC.

EJEMPLO 2

SupóngasequeC={1,2,3,4,5,a,b,c,A}.Entonces,lacoleccióndeconjuntosC1={1,2,3,4,5},C2 = {a,b,c}yC3 = {A}formanunaparticióndeC,puestoquelosCisondisjuntosdosados;esdecir,C1 ∩C2=Ø,C1 ∩C3=ØyC2 ∩C3 =Ø,ylaunióndetodosellos:C1 ∩C2

∩C3 = C.

Figura3

bE2

aE1

Figura4. Ejemplo de partición

C1

C2

C3

C4

C10

C9

C5

C11

C7

C6

C12

C8

CC10C11

C12

C7

C8C6C5

C4

C2C9C3C1

C

Sumario │



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Esteconceptode«partición»esfundamental,puesdalugaraunodelosconceptoscientíficosmásimportantes,comoeselde«clasificación».Clasificacionesimportantessonelsistemaperiódicodeloselementos,laclasificaciónlinneana,ladelaspartículaselementales,loslenguajesformalesyunlargoetcétera.Porotraparte,ycomoseveráenlaUnidaddidáctica2,seconsigueunaparticiónsiemprequeenunconjuntopuedaestablecerseunarelacióndeequivalenciaentresuselementos.

3.5.PROPIEDADESDELAINCLUSIÓN⊂

RepresentandoA,B,Csendosconjuntos,larelacióndeinclusión⊂presentalasre-lacionessiguientes,dosdeellasyacitadasenelepígrafe2.5:

• Reflexividad:A⊂A.

• Antisimetría:siA⊂ByB⊂A,entoncesA=B.

• Transitividad:siA⊂ByB⊂C,entoncesA⊂C.

UnaformasencillaymuyvisualdeprobarlaspropiedadesanterioreseshaciendousodelosdiagramasdeVenn,queseconsideraránconmásdetalleacontinuación.Tam-biénpuedenprobarsedirectamentecomosigue:

• Comoparatodox∈A,setiene,obviamente,quetambiénx∈A,entoncesA⊆A.

• A⊆B⇔|x∈A⇒x∈BB⊆A⇔|x∈B⇒x∈A } ⇒A=B.

• A⊆B⇔|x∈A⇒x∈BB⊆C⇔|x∈B⇒x∈C } ⇒(x ∈A ⇒ x ∈C) ⇒ A ⊆C.

Teniendoencuentalapropiedadantisimétrica,siXesunsubconjuntodeØ,C⊆Ø,puestoquetambiénØ⊆X,esX=Ø;esdecir,elúnicosubconjuntodelconjuntovacíoeselpropioconjuntovacío.

DadosdosconjuntosAyB,sipuedeafirmarseunadelasdosrelaciones,A⊆BoB⊆A,entoncessedicequeAyBsoncomparables.Enotrocasonosoncomparables.

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Detodolovistohastaaquí,puedeextraerselosiguiente:

• ElconjuntovacíoØ={}esunsubconjuntodetodoslosconjuntos;esdecir,Ø={}⊆A,B,…,siendoA,B,…conjuntos.

• ComotodoconjuntoAesunsubconjuntodeU,setieneque:A⊆U.

Deloanteriorsededuceque

Ø={}⊆A⊆U

PoresosueleconsiderarseaØ={}yUcomocotasuniversales.

4. DIAGRAMAS DE VENN

EllógicodelsigloXX,Church,ensuaportaciónalalógicaenladecimocuartaedicióndelaEnciclopedia británica,mencionaelusodeloscírculospararepresentarrealmenteclasesoconjuntos,proposicionesysilogismos,porpartedeSaturnen1661ydeLeibnizyLangeen1712.Sinembargo,fueEulerquienintro-dujoesoscírculosenlahistoriadelanálisislógico.Losdescribióporprimeravezensietecartasescritasapartirde1761yaparecenensuobraLettres à une princess e d`Allemagne (vol.2,cartas102a108).Contodo,elméto-dodeloscírculosdeEulerfuesuperadoysu-plantadoporunmétodomuchomáseficientedesarrolladoporVenn,deahíqueactualmenteseconozcancomodiagramas de Venn.Algu-nosdeestosdiagramas,losmáselementales,paralasrelacionesentreAyBsemuestranenlafigura5.

JohnVenngeneralizóelusodediagramasdetodotipo:circulares,rectangulares,etc.,talycomosemuestranenlafigura6,pararepre-sentarrelacionesbinariasenconjuntosypropo-sicionesdedos,tres,cuatroycincovariables.

John Venn nació en Londres en 1834.

En 1837 se graduó en Matemáticas en Cam-bridge.

En 1859 se ordenó sacerdote y regresó a Cambridge a enseñar ciencias naturales.

En julio de 1880, publicó en el Philosophi-cal Magazine un trabajo titulado «On the dia-grammatic and mechanical representation of propositions and reasoning», donde estudió los diagramas de su nombre.

En 1889, su libro Symbolic logic clarificó mu-chas ideas originales de Boole usando los diagramas que llevan su nombre.

En 1923, muere en Cambridge.

Sumario │



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Comopuedeverse,enelcasodecuatrovariables,cadaunadelasáreasnopuederepresen-tarseporcírculos;poreso,esnecesariorecurriracuadrados,cuyousoaumentalapotenciaexpresivadelarepresentación.

Figura5. Diagramas de Venn elementales para relaciones binarias

Relación binaria Negación

A ⊃B A B

C

Si Aesverdadero,entonces B esverdadero

A ∩B’Aesverdaderoy

Besfalso

B ⊃ASi Besverdadero,entonces Aesver-

dadero

B ∩A’Besverdaderoy

Aesfalso

A ∩B O Aesverdadero,o Besverdadero,o

ambosson verdaderos

A’ ∩B’AyBson ambosfalsos

A ≡B’O Aesverdadero,o Besverdadero,peronoambos

A ≡B SiysolosiA esverdadero, entoncesB esverdadero

A’ ∩B’Ay Bnopuedenserverdaderossimultáneamente

A ∩BAyBsonverdaderos

simultáneamente

A ≡B SiysolosiA esverdadero,entoncesBesverdadero

A ≡B’O Aesverdadero,o Besverdadero,peronoambos

A ∩BAyBsonverdaderos

simultáneamente

A’ ∩B’Ay Bnopuedenserverdaderossimultáneamente

│ Sumario



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Figura6. Diagramas de Venn para dos, tres, cuatro y cinco variables

p q

pq‒ p‒q

p‒ q‒

pq

q

p‒ q‒r‒

p‒ q r‒

p q‒r‒ p‒ q‒r

p‒ q rpqr

p q‒rp r

pq r s

t

p q r s

p q r‒

Laideageneral,paraochovariables,semuestraenlafigura7,enlacuallasáreasquerepresentanlospredicadoshansidotransformadasenzonasocuadrículas.Deno-tandoporp–lanegacióndep,sevequelaconjuncióndetérminosindicadaporloscua-dradoselementalespuedeser,verbigracia,comosigue:

k64=p–

1p–2p–3p–4p–5p–6p–7p–8yk119=p1p

–2p–3p4p5p

–6p–7p–8

Dondeelsubíndiceeselnúmerodelcuadradocontadodeizquierdaaderechaydearribaabajo.

Sumario │



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Figura7. Diagramas de Venn para ocho variables

p1

p2 p2

p3 p3 p3 p3

p4 p4 p4 p4 p4 p4 p4 p4

p8

p7

p8

p6 k64

p8

p7

p8

p5 k119

p8

p7

p8

p6

p8

p7

p8

Retículosdeestetiposehanusadoparalasimplificaciónderedesdeconmutado-reseléctricos.

Elsistemapuededesarrollarseentresdimensiones;porejemplo,enformade«ta-blerodeajedrezespacial»con8×8×8cubos.Paracuatrovariables,elpropioVenndi-señóunamáquinaenlacuallospredicados,talycomosemuestraenlafigura8enunavisióndesdearriba,serepresentanporelipses.

│ Sumario



www.udima.es 29

Figura8. Visión desde arriba de una máquina de Venn en tres dimensiones

p‒ q‒ r‒ s‒

p‒ q r‒ s‒

p q r‒ s‒

p q‒ r‒ s‒

p q‒ r s‒p q r s‒ p‒ q r s

p‒ q‒ r‒ s

p q‒ r‒ sp q r‒ s p‒ q r‒ s

p‒ q‒ r‒ s

p‒ q‒ r s

p‒ q r s

p q r s

p q‒ r s

5. OPERACIONES CON CONJUNTOS

DadosdosconjuntosAyB,entreellossepuedendefinirlascuatrooperacionessi-guientes:

• Unión o reunión de conjuntos.Serepresentapor∩ydicequeeselcon-

juntodeobjetosque«almenos»sonelementosdeunodelosdosconjuntosAyB.Esdecir,x∈A

∩B⇔(x∈Aox∈B).

Gráficamente,lafigura9representaA∩B,yseleeAoB.Elsímbolo

∩fue

introducidoporPeano.

Sumario │



30 www.udima.es

• Intersección.Serepresentapor∩yexpresaalconjuntodeobjetosquesonalavezdeambosconjun-tos.Estoes,x ∈A∩B⇔(x ∈Ayx∈B).Gráficamente,lafigura10(a)representaA∩B,yseleeAintersectaB.DosconjuntosAyBsedicequesondisjuntoscuan-dosuintersecciónesvacía;eneldiagramadeVenn,A∩B=Ø.Semuestraenlafigura10(b).

• Diferencia.Serepresentapor–,eindicaelconjuntodeobjetosquesonelementosdeAynolosondeB.Osea,x∈A–B⇔(x∈Ayx∉B).Gráficamente,lafigu-ra11representaA–B,yseleeAmenosB.EstadiferenciatambiénsedenominacomplementodeBrespectoaA.

• Complementariedad.SiAesunsubconjuntodeluniversal

∩,sede-

nominacomplementodeAalcon-juntodeloselementosde

∩que

nopertenecenaA.Seindicame-dianteĀo,aveces,A'.Esdecir,A'={x|x∉A}.Porejemplo,si

∩

eselconjuntodelosnúmerosen-terosZ,yAeselconjuntodelosnúmerosimparesenteros,A'eselconjuntodelosnúmerosparesyel0.

Lasdefinicionesrelativasalauniónein-terseccióndeconjuntossegeneralizansindifi-cultadamásdedosconjuntos.Esdecir,siP1,P2,…,Pnsonsubconjuntos,opartes,deC,sedesignaporP1

∩P2

∩…

∩Pnelconjuntocons-

Figura9. Unión de conjuntos

A B

U

Figura11. Diferencia entre A y B

A B

Figura10. Intersección de conjuntos

UA B

(a)

U

A B

(b)

│ Sumario



www.udima.es 31

tituidoporloselementosqueporlomenospertenecenaunodelossubconjuntos,Pi.Másgeneralmente,siIesunconjunto,finitoono,deíndicesy,siacadaíndicei∈I,selehacecorresponderunsubconjuntoPi⊂C,sedenominauniónoreunióndelosconjuntosPi,parai∈I,queserepresentapor

∩Pi,alsubconjuntodeCformadopor

todosloselementosdeCenlosquelosi∈IpertenecenalmenosaunodelosconjuntosPi.Severifica:x∈

∩Pi⇔{Existei∈Italquex∈Pi}.

Mutatis mutandis,sepuededecirlomismopara∩i∈IPi,yasíx ∩i∈IPi ⇔{x∈Picualquieraqueseai∈I}.

Parafacilitarlaescriturayelrazonamiento,seempleanloscuantificadores∀y∃,yacitadosenelepígrafe2.3.Estollevaadefinirelconjuntooclaseasociadaaunapropiedad.

5.1.IMPLICACIONESYEQUIVALENCIAS.CUANTIFICADORES

5.1.1. Implicaciones y equivalencias

ElestudiodeunconjuntodadoAconducemuchasvecesaparticularizarciertossubconjuntoscuyoselementosverificanunaovariaspropiedadesnopertenecientesalosotroselementosdeA.Bastaconquelapropiedadconsiderada,P,dividasinambi-güedadalconjuntoAendosclasescomplementariasA1yA'1,talesqueparatodox ∈A1severifiquePyqueparatodox∈A'1noseverifiqueP.

ConsidérenseahoradospropiedadesPyQrelativasaloselementosdeunmismoconjuntoA.Confrecuenciaseencuentranproposiciones,estoes,teoremas,delaformasiguiente:todox∈AqueverificaP;osea,lahipótesisverificatambiénQ,esdecir,laconclusión.EstosignificaqueelsubconjuntodeloselementosqueverificanPestáin-cluidoenelsubconjuntodeloselementosqueverificanQ.Entonces,sedicequePim-plicaQyseescribeP⇒Q[1].

Así,verbigracia,enelconjuntodelosnúmerosenteros,siPeslapropiedaddeserdivisiblepor6yQeslapropiedaddeserdivisiblepor3,sesabequeP⇒Q.

El«recíproco»delteoremacorrespondientea[1]seexpresamediantelaimplicaciónQ⇒P.Paraqueestaúltimaseaverdadesnecesarioqueelsubconjuntodelosx ∈AqueverificanQestéincluidoenelsubconjuntocorrespondienteaP.

Siunteoremaysurecíprocosonsimultáneamenteciertos,laspropiedadesPyQsellamanequivalentes;esdecir,losdossubconjuntosseconfunden,loqueseescribe

Sumario │



32 www.udima.es

medianteladobleimplicación:P⇔Q,queselee«severificaPsiysolosiQseverifi-ca»,otambién«paraquePseaciertoescondiciónnecesariaysuficientequeQlosea».

5.1.2. Cuantificadores

ConsidéreseunconjuntoAyunadeterminadapropiedadP.Cabeplantearselascuestionessiguientes:

• ¿ExistenelementosdeAqueposeendichapropiedad?

• Encasoafirmativo,¿lasatisfacentodos?

Pararesponderaestaspreguntasseintroducendossímbolosdenominadoscuan-tificadores:

• Cuantificador existencial.Serepresentapor∃ysignifica:existealmenosunelementodeAquetienelapropiedadP;porejemplo,laescritura:(∃x)(x∈R):4x2–5=0.Significaqueexistealmenosunnúmerorealtalque4x2–5=0.Enestecaso,haydosvalores:

√ 5 √ 5+ y –

4 4

• Cuantificador universal.Serepresentapor∀ysignificaquetodoelementodeAverificaP.Así,verbigracia:(∀x)(x∈R):(x+1)2=x2+2x+1;signifi-caquetodonúmerorealverificalaigualdadestrictaanterior.Loquepuedecomprobarsefácilmente.

Empleandoestossímbolos,lasreglasanterioresseexpresancomosigue:

x∈∩

i∈IPi⇔{∃i ∈Italquex∈Pi},x∈∩

i∈IPi ⇔ {x ∈Pi, ∀i ∈ I}

6. LEYES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Dadaslasanterioresoperacionesentreconjuntos:∩,∩,–y',cualesquieraquesean

losconjuntosA,ByC,severificanlasleyesopropiedadessiguientes:

│ Sumario



www.udima.es 33

• Asociatividad de la unión e intersección:

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)⇒Laasociatividaddelaintersección.

(A∩

B)∩

C=A∩

(B∩

C)⇒Laasociatividaddelaunión.

Enparticular:A∩Ø=Ø,A∩A=A;A∩

Ø=A;A∩

A=A.

• No asociatividad de la diferencia. Como semuestra en la figura 12,usandoloscírculosdeVenn,laley–noesasociativa.

• Distributividad entre reunión e in-tersección y viceversa.Laintersec-ción, respectivamente launión, esdistributivarespectoalaunión,res-pectivamentelaintersección:

A∩

(B ∩C)=(A∩

B)∩(A∩C),

A∩(B∩

C)=(A∩B)∩

(A∩C)

• Antidistributividad de la diferencia.Ladiferenciaesantidistributivatantorespectoalaunióncomoalainter-sección:

A–(B∩

C)=(A–B)∩(A–C),A–(B∩C)=(A–B)

∩ (A–C)

• Diferencia simétrica. Se denomi-na«diferenciasimétrica»,ytambién«sumadisyuntiva»o«sumaboolea-na»,dedosconjuntosAyB,ysere-presentapor⊕opor∆,alconjuntoA ⊕ BdelosobjetosquepertenecenaunoyaunosolodelosdosconjuntosA,B.Esdecir,alconjuntodefinidoportodosloselementosdeAquenoestánenBoportodosloselementosdeBquenoestánenA.Estadiferenciaseindicapor

A ⊕ B={x |((x∈A)y(x∉B))o((x∉A)y(x∈B))},

loqueesequivalenteaA⊕B=(A–B)∩

(B–A)={A∩

B–A∩B).

Figura12. No distributividad de la diferencia

A

B

C

(A – B) – C

A

B

C

A – (B – C)

Sumario │



34 www.udima.es

Porejemplo,siA={1,3,5,7,11}yB{1,3,5,7,9,11,13},A–B==Ø,B–A={9,13}⇒A⊕B={9,13}.

Estadiferenciasimétricapresentalaspropiedadessiguientes:

– Conmutatividad.A⊕B =B⊕A⇒Ladiferenciasimétricaescon-mutativa.

Enefecto,A⊕B=B⊕A,setraducepor:six ∈A,x ∈B,entoncesx∉A⊕B.Six∉A,x∈B,entoncesx∈A⊕B.Six∈Ayx∉B,en-toncesx∈A⊕B.Elmismorazonamientovaleparalaasociatividad.

– Asociatividad.A⊕B⊕C=(A⊕B)⊕C⇒Ladiferenciasimétricaesasociativa.

- SiAesunconjunto,A⊕A=ØyA⊕Ø=A.

- SiA,B,Cdesignancadaunaunconjunto,severificaque

A⊕B=C⇔A⊕C=B⇔B⊕C=A

- SiA,Bdesignanunconjunto∃XtalqueA⊕X=B(X =A⊕B).

Estadiferenciacaracterizael«oexclusivo»«Xor»delalógicama-temática.

• Complementariedad.SeaPunsub-conjunto deC, se denomina «com-plementario»dePrespectodeC,ysesimbolizaporP'oC–P,alconjuntoformadoportodosloselementosdeCquenopertenezcanaP.Setienepues:

x∈P'⇔{(x∈C)∩(x∉P)},

talycomosemuestraenlafigura13.P 'eslazonarayada.

Sepuedenescribirlasigualdadessiguientes:

P∩P'=C,P∩P'=Ø,C(P')'=P

• Leyes de Morgan.Lassiguientesdospropiedadesseconocen,enhonordesudescubridor,ellógicoinglésDeMorgan,conelnombrede«leyesdeMorgan»:

Figura13. Complementario de un conjunto

C

P

P’

│ Sumario



www.udima.es 35

– (A∩B)'=A'∩B',cuyademostraciónsedejacomoejercicio.

– (A∩B)'=A'∩B'.Enefecto,

(A∩B)'={x|x'∉(A∩B)}={x|x'∈(A∩B)'}= ={x'|x'∈Ayx'∈B}={x|x∉Ayx∉B}= ={x|x∉Aox∉B}={x|x∈A'ox∈B'}= ={x|x∈A'

∩B'}=A'

∩B'

Todasestasleyessemuestrandeformaresumidaenlatabla1.

Tabla1. Álgebra de conjuntos. Leyes de operaciones con conjuntos

1. (A')' = A Leydedoblenegación

2. Ø'=U (Complementariedad) U'=Ø(Complementariedad)

3. A‒A=Ø,A‒Ø=A,A‒B = A∩B'(Diferencia)

4. A∪Ø=A(Neutralidad) A∩U = A(Neutralidad)

5. A∪U = U (Absorciónodenominación) A∩Ø=Ø(Absorciónodenominación)

6. A∪A = A(Idempotencia) A∩A = A(Idempotencia)

7. A∪A' = U(«Exclusión») A∩A'=Ø(«Contradicción»)

Leyes asociativas

8. (A ∪B)∪C = A ∪(B ∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

Leyes conmutativas

9. A∪B = B∪A A∩B = B∩A

Leyes distributivas

10. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

Leyes de Morgan

11. (A∪B)' = A'∩B' (A∩B)' = A'∪B'

12. A‒(B∪C) = (A‒B)∩(A – C) A ‒(B∩C) = (A‒B)∪(A‒C)

Sumario │



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7. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN

Confrecuencia,sobretodoenestadística,interesaencontrarelnúmerodeelemen-toso«cardinalidad»dela«unióndeconjuntosfinitos».Sisetratadedosconjuntoscua-lesquieraAyBdisjuntos,cadaelementodeA

∩BpertenecebienaAobienaB,pero

nosimultáneamentealosdos,porloquesetendría

|A∩B|=|A|+|B|

Ahorabien,siAyBnofuerandisjuntos,laexpresiónanteriorllevaríaacontardosvecesloselementosdelaintersecciónA∩B;esdecir,eltotaldeelementosqueseen-cuentranenlainterseccióndeambosconjuntosparaobtener|A

∩B|:

|A∩B|=|A|+|B|‒|A∩B|

Esteresultadoseconoceconelnombredeprincipio de inclusión-exclusión.Re-sultadoquepuedeextenderseamásdedosconjuntos,comosigue:

|A∩B∩C|=|A|+|B|+|C|‒|A∩B|‒|A∩C|‒|B∩C|+|A∩B∩C|

EJEMPLO 3

Porejemplo,supóngasequeenunaclasehay31estudiantesquehanobtenidolamejornotaenmatemáticadiscreta;15conlamejornotaenfundamentosfísicosdelainformáticay12conlamejornotaenambas.¿Cuántosestudianteshayenlaclasesicadaestudianteobtienelamejornotaoenmatemáticadiscretaoenfundamentosfísicosdelainformáti-ca,oenambas?

Solución

EldiagramadeVenncorrespondientevienedadoporlafigura14,enlacual,elconjuntoArepresentaeltotaldealumnosconlamejornotaenmatemáticadiscreta;elconjuntoB representaeltotaldealumnosconlamejornotaenfundamentosfísicosdelainformáticayA∩Brepresentaeltotaldealumnosconmejornotaenambas.

.../...

│ Sumario



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Figura14. Diagrama de Venn del ejemplo de los alumnos

A B

|A| = 31 |A ∩B| = 12 |B| = 15

Entonces,

|A∪B| = |A| + |B|‒|A∩B|=31+15‒12=34alumnosenclase.

8. CONJUNTO PRODUCTO

SeandosconjuntosA={a,b}yB={b,c,d}.ElconjuntoCdeparesordenadosdistintos,C={(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},enelqueelprimercomponentedecadaparesunelementodeA,entantoqueelsegun-doelementodecadaparesunelementodeB,sedenominaconjunto producto,yserepresentaporC=A×B,eneseorden,delosconjuntosdados.Asíque,siAyBsondosconjuntoscualesquiera,sedefineA×Bcomosigue:A×B={(x,y)|x∈Aey∈B}.Lascoordenadascar-tesianasenelplanoeselejemplomásconocidodeconjuntodepares,siendolasabscisas,x,elprimerelementodelpar,ylaordenada,y,elsegundoelementodelpar.Y,comoesmásquesabido,noeslomismo(x,y)que(y,x);verbigracia,noeslomismo,talycomosemuestraenlafigura15,elpuntodelplano(2,4)queel(4,2).

.../...

Figura15. Puntos en el eje de coordenadas car-tesianas

(2,4)(4,2)

y

‒ y

‒ x x

Sumario │



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9. AXIOMÁTICA DE ZERMELO-FRAENKEL PARA TEORÍA DE CON-JUNTOS

FueZermeloquienpresentóunateoríaaxiomáticadeconjuntos,luegocompletadaporFraenkelySkolem,muchomássimpleycomprehensivaanivellógico,quelograbaeliminartantolaparadojadeRussellcomotodaslasdemásquesurgíantantoenelsis-temadeCantorcomoeneldeFrege.LosaxiomasdelateoríadeZermelo,completadaporFraenkel,sonlossiguientes:

• Extensionalidad:∀a(a∈X↔a∈Y)→X=Y.Esdecir,dosconjuntosXeYson«iguales»,loqueserepresentaporx=y,siysolosicontienenlosmismoselementos.Enotrostérminos,esteaxiomaafirmaqueunconjuntoestádeterminadoporsuextensión;estoes,dandotodossuselementos.

• Conjunto vacío:∃Ø∀a(a ∈Ø).Estoes,existeunconjuntorepresentadoporØ,sinelementos.Yesúnicoporelaxiomadeextensionalidad.Enefecto,siØyØ'fuerandosconjuntosvacíosdistintos,entoncessiempreverifica-ríana∉Øya∉Ø'paracualquierayportantotambiéna∈Ø↔a∈Ø'paratodoa,demodoqueporelaxiomaanterior,Ø=Ø'.

• De pares:∀X,Y∃Z∀a(a∈Z↔a=X˅a=Y).Osea,dadoscualesquieraconjuntosXeY,existeotroconjuntorepresentadopor{x,y},cuyosele-mentossonúnicamenteXeY.Elconjunto{x,y}sedenominapar desor-denadodeXeY.SiseaplicaelconjuntodeparesaunsoloconjuntoX,seobtieneelpar{x,x},cuyoúnicoelementoes,obviamente,x,yporellopuederepresentarsecomo{x}.Aesteúltimoconjuntopuedeaplicársele,denuevo,elaxiomadepares,dandolugaralconjunto{{x}},conjuntoalcualpuede,asimismo,aplicárseleelaxiomadepares,obteniéndoseelconjunto{{{x}}},yasísucesivamente.Esteprocesodeconstruccióndeconjuntos,quefueelquesiguióVonNeumann,puedeaplicarsealúnicoconjuntodadoyconocidoexplícitamente,Ø,obteniéndoseunaserieinfinitadeconjuntos:Ø,{Ø},{{Ø}},…

• Unión:∀X∃Y ∀a(a∈Y↔∃Z(Z∈X ˄a ∈Z)).Enotrostérminos,dadacualquiercolecciónoconjuntodeconjuntosC,existeunconjunto,repre-sentadopor

∩Cydenominado«unióndeC»,quecontienetodoslosele-

mentosdecadaconjuntodeC.

• Conjunto potencia:∀X ∃Y ∀Z(Z∈Y↔∀a(a∈Z→a∈X)).LoquevieneadeciresqueparacualquierconjuntoXexisteotroconjuntorepresentadoporƤ(X)ydenominadoconjunto de las partesdeX,quecontienetodoslossubconjuntosdeX.

│ Sumario



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• Esquema axiomático de especificación: ∀X ∃Y ∀a(a∈Y↔a∈X˄ φ(a)).Enotraspalabras,seaφ(˅)unafórmuladeunlenguajedeprimerordenquecontengaunavariablelibre˅.Entonces,paracualquierconjuntoXexisteunconjuntoYcuyoselementossonaquelloselementosadeXquecum-plenφ(a).

• Esquema axiomático de reemplazo.Esteaxioma,debidoaFraenkel,puedeexpresarsecomosigue:si∀X ∀Y ∀Z ∃˅ (X∈˅ ˄φ(X,Y)˄ (φ(X,Z)→Y =Z )),entonces∃W ∀Y (Y ∈W↔∃X(X ∈˅ ˄φ(X,Y))).Deotromodo,siφ(a,b)esunasentenciatalqueparacualquierelementoadeunconjuntoXelcon-juntoYesigual{b|φ((a,b)}yexiste,entoncesexisteunafunciónf :x →→y,talquef (a)=y.Esdecir,si˅esunconjuntoyfesunafórmulacondosvariableslibresXeY,talesqueparacadaX∈˅ existeunúnicoYtalquef (X,Y)secumple,entoncesexisteunconjuntoWtalqueY∈Wsiysolosif (X,Y).

• Infinitud:∃X (Ø∈X˄∀(Y∈X→Y∩{Y}∈X )).Osea,existeunconjun-

toXtalqueelvacíoØ∈XytalquesiY ∈X,entoncesY∩{Y }∈X.Este

axioma,introducidoen1908porZermelo,permitelaobtencióndenúme-rosnaturalescomoconjuntosdentrodeZF.

• Regularidad o de fundación:∀X (X≠Ø→∃Y (Y ∈X ˄∀Z(Z ∈Y→→Y∉X))).Estoes,paratodoconjuntonovacíoXexisteunconjuntoY ∈ XtalqueX∩Y=Ø.EstaformulaciónladioZermeloen1930.VonNeumann,en1929,presentóunaxiomaequivalenteperomáscomplicado.Esteaxiomaprohíbelaexistenciade:

– Conjuntosextraños,talescomolosquecumplanX∈XoX ∈Y˄∈X.

– Laexistenciadecadenasdescendentesinfinitas:…∈X2,∈X,∈X0.Siseexcluyeesteaxioma,lateoríadeconjuntosresultanterecibeelnombredeteoría de conjuntos no bien fundados.

10. FUNDAMENTACIÓN DE LA MATEMÁTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACÍO: DEFINICIÓN DE NÚMEROS NATURALES POR VON NEUMANN

VonNeumann,enunacartafechadaenBudapesta15deagostode1923,informa-baaZermelodelasideasqueestabadesarrollandoparasutesis.Bueno,siendoprecisos,paraunadelasdostesisdoctoralesquepresentaríaen1925.Laotraeraenelcampode

Sumario │



40 www.udima.es

laingenieríaquímica,enlaquesehabíagra-duado.Enella,despuésdeexponerelobjetodesutrabajobasadoenlos«fundamentosdelateoríadeconjuntos»deZermeloydese-ñalarlospuntosenlosqueseseparabadeél,indicabalospuntosqueresultaban«nuevos»:

«1.Lateoríadelosnúmerosordinales(parte2,cap.2).

Helogradoestablecerlosnúmerosor-dinalessobrelaúnicabasedelosaxiomasdelateoríadeconjuntos.Laideabásicaeslasiguiente:cadanúmeroordinaleselcon-juntodetodoslosprecedentes.Demodoque(poniendo0paraelconjuntovacío)

0=01={0},2={0,{0}},3={0,{0},{0,{0}}},………….W={0,{0},{0,{0}},{{0,{0},{0,{0}}},…},W +1={0,{0},{0,{0}},{{0,{0},{0,{0}}},…,{0,{0},{0,{0}}},{0,{0},{0,{0}}},…}},……………..

(Paralosnúmerospositivosfinitos,laregladicepues:x +1=x +{x}).Estateoríatienesentidotambiéndentrodela"teoríadeconjuntosingenua".(Tratadaingenuamente,apareceráprontoenlarevistadelaUniver-sidaddeSzegedin)[…]».

Losotrosdospuntos,queaquínoseex-plican,completanlamisiva.

John von Neumann. Matemático húnga-ro, nacionalizado estadounidense, nació en el seno de una familia de banqueros judíos.En 1921 se matriculó en la Universidad de Budapest, donde se doctoró en Matemáticas cinco años después, aunque pasó la mayor parte de ese tiempo en otros centros aca-démicos.En la Universidad de Berlín asistió a los cur-sos de Einstein. Estudió también en la Escue-laTécnicaSuperiordeZúrich,dondeen1925se graduó en Ingeniería Química, y frecuentó, asimismo, la Universidad de Gotinga. En Gotinga conoció al matemático Hilbert –cuya obra ejerció sobre él considerable in-fluencia–ycontribuyódemaneraimportanteal desarrollo de lo que Hilbert llamó la teoría de la demostración.Aportó diversas mejoras a la fundamenta-ción de la teoría de conjuntos elaborada por Zermelo. Asistió también al nacimiento de la teoría cuántica de Heisenberg y se interesó por la aplicación del programa formalista de Hilbert a la formulación matemática de esa nueva rama de la física. Eselautordelaprimerateoríaaxiomáticaabstracta de los llamados –precisamente por él– espacios de Hilbert y de sus operadores, que a partir de 1923 habían empezado a de-mostrar su condición de instrumento matemá-ticoporexcelenciadelamecánicacuántica;la estructura lógica interna de esta última se pusodemanifiestomercedalostrabajosdeVon Neumann, quien contribuyó a proporcio-narleunabaserigurosaparasuexposición.Tambiénesnotablesuaperturadenuevasvías al desarrollo de la matemática estadís-tica a partir de su estudio de 1928 sobre los juegos de estrategia, posteriormente desa-rrollado en la famosa obra Theory of games and economic behavior, publicada en 1944 y escrita en colaboración con Morgenstern. Murió en Washington en 1957.

│ Sumario



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CONCEPTOS BÁSICOS A RETENER

• Conjuntoysudefinición:axiomática.

• Representacióndeconjuntos:diagramadeVenn.

• Implicación,equivalencia,cuantificadorexistencialyuniversal.

• Definiciónde«álgebradeconjuntos»yoperacionesenlamisma.

• Principiodeexclusión-inclusión.

EJERCICIOS VOLUNTARIOS

TraselestudiodeestaUnidaddidáctica,elestudiantepuedehacer,porsucuenta,unaseriedeejerciciosvoluntarios,comolossiguientes:

1. Dadoslosconjuntos:{1,2,3,4,5,6,7,8,9},{2,4,6,…}y{…,–15,–10,–5,0,5,10,15,…};definirlosporcomprensión.

2. DadoelconjuntoC={a,b,c},describirtodossussubconjuntosylosparesdeconjuntoscomplementarios,siendoelconjuntoUelpropioC.

3. DemuestrequeA–B=A∩B'=B'–A'.

4. DadoelsiguientediagramadeVenn:

BG

JE D

AF

H

K

C

L

∪

Comprobar:E=(A∩B)∩C ',A∩B

∩C=(A

∩B)

∩C=A

∩(B

∩C),

A∩B∩Cesambiguo,yA'∩C '=G

∩L.

Sumario │



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5. Teniendoencuentalatabla1delaUnidaddidáctica,demostrarlasleyesasociativas,lasdistributivasylasdeMorgan.

6. EntrelosalumnosdeUdimasehizounaencuestasobregustosculinarios,obteniéndoselossiguientesresultados:a953lesgustalacarne;a847lesgustaelpescado;a724lesgustanloshuevos;a687lesgustalacarneyelpescado;a598lesgustalacarneyloshuevos;a565,elpescadoyloshue-vos;ya483,lastrescosas.Setratadesaberacuántosalumnosseleshizolaencuesta.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BREUER,J.:Iniciación a la teoría de conjuntos,Madrid,Paraninfo,1970.

GARCÍAMERAYO,F.:Matemática discreta,Madrid,Thomson,Paraninfo,SA,2005.

LIPSCHUTZ,S.:Teoría de conjuntos. 530 problemas resueltos,SeriedeCompendiosSchaum,NuevaYork,McGraw-Hill,1963.

│ Sumario


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