CÁLCULO EN VARIEDADES PARTE 3: Conexión, geodésicas y curvatura

Versión 2003-05-01 Copyright (c) 2003 by F. A. González de la Hoz. This material may be distributed only subject to the terms and conditions set forth in the Open Publication License, v1.1 or later (the latest version is presently available at http://www.opencontent.org/openpub/).

CONTENIDO

CONEXIÓN, GEODÉSICAS y CURVATURA Desplazamiento paralelo en el espacio euclídeo Conexión afín Derivada covariante de tensores Generalización del concepto de espacio tangente Derivada absoluta Geodésicas para una métrica Conexión métrica Tensor de Riemann Tensor de Ricci Escalar de Curvatura Tensor de Einstein Tensor de curvatura proyectiva Tensor de curvatura conforme

1. CONEXIÓN, GEODÉSICAS Y CURVATURA

1.1. DESPLAZAMIENTO PARALELO EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Cuando una variedad esta sumergida en un espacio nR existe una forma natural de trasladar los vectores de un punto a otro: manteniendo sus componentes en la base usual de

nR . Si hacemos esta operación con un vector dado v MTpp ∈r

y lo llevamos a otro punto

, en general ocurrirá que el vector obtenido sea Mq∈ MTv qq ∉r

, puesto que el espacio tangente en un punto de la variedad no es necesariamente paralelo al espacio tangente en otro. No obstante, si los puntos p y q están muy próximos, los espacios tangentes lo estarán también, en el sentido de que el vector qvr casi coincidirá con su proyección en el espacio

. MTq

Se puede definir entonces una traslación de vectores consistente en ir llevándolos por

puntos cercanos mientras van siendo proyectados sobre el espacio tangente. Este concepto es el que se trata de definir como desplazamiento paralelo por un camino de la variedad. Podemos interpretarlo como un deslizamiento del vector por la variedad, sin salir de los espacios tangentes y manteniéndose en cada momento lo más parecido posible a su valor anterior.

De las consideraciones anteriores, en las cuales no se hace referencia a los sistemas

de coordenadas, se deduce que el desplazamiento paralelo habrá de ser una operación invariante.

Para encontrar su expresión explícita consideremos una curva c sobre )(t M , tal que

sea . Representaremos por v)0(cp = )(tr al resultado de trasladar por transporte paralelo al vector v desde el punto

r p hasta el punto )(tcq = . Puesto que rv T Mp∈ se podrá expresar

en un sistema de coordenadas ϕ como v )( pv iiΕ=

r y, de la misma forma, será

rv t c t( ) ( ( ))v t Eii( )= , y su variación infinitesimal será

dv tdt

E c tdv t

dtv t

dE c tdti

ii i

r( )( ( ))

( )( )

( ( ))= +

Como queremos que esta variación corresponda a una proyección sobre el espacio

tangente, exigimos que dv t

dt

r( ) sea perpendicular al espacio tangente, es decir, que no tenga

componentes en este espacio, y por tanto:

dttvdtcE k )()),((0

r

=

⇔ ))(()),(()()())(()),((0 tcEdtdtcEtv

dttdvtcEtcE i

kii

ik +=

⇔ dt

tcdEtcEtv

dttdv iki

k ))(()),(()()(0 +=

⇔ ))(()),(()()()( tcEDtcEdt

tdctvdt

tdvij

kj

ik

−=

⇔ ))(()),(()()()( tcEDtcEtTtvdt

tdvij

kjc

ik

−=

Definiendo )(),() qEDqEq ij

kkji ( =Γ , la expresión anterior se puede poner como

)()()()( qtTqvdt

tdv kji

jc

ik

Γ−=

donde se observa que la variación de las componentes del vector se descompone en tres factores:

1. el factor v , que simplemente indica que la variación del vector es proporcional a su valor, es decir, que los cambios a nivel diferencial ocurren linealmente.

)(qi

2. el factor dt

tdctj

jc

)()( =T , que es el vector tangente en la variedad correspondiente a la

curva , e indica que la variación se produce proporcionalmente al desplazamiento (contiene la dependencia del camino y la velocidad con que se produce el desplazamiento).

c

3. el factor Γ , que solo depende de la forma de la variedad en el punto considerado. Esta es la entidad geométrica que realmente define el desplazamiento paralelo.

jik q( )

Los (Γ se han definido para un sistema de coordenadas determinado, veamos cual es su ley de transformación:

)qkji

=

=

=Γ si

s

jr

r

k

jikk

ji Exx

xE

xx

xEE

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ,,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

xx

Exx x

xx

Ek

rr

u

j u

s

i s,

=

=

+= u

si

s

j

u

siu

s

j

ur

r

k

xE

xx

xxE

xxx

xxE

xx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ 2

,

( ) =

+ u

sri

s

j

u

r

k

sr

iu

s

j

u

r

k

xEE

xx

xx

xxEE

xxx

xx

xx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ ,,

2

rusi

s

j

u

r

krsiu

s

j

u

r

k

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

Γ+=∂∂

∂∂

∂∂δ

∂∂∂

∂∂

∂∂ 2

rusi

s

j

u

r

k

ij

r

r

k

xx

xx

xx

xxx

xx

Γ+=∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂ 2

Aquí se observa que las Γ no son las componentes de un tensor, dado que el

término

)(qkji

ij

r

r

k

xxx

xx

∂∂∂

∂∂ 2

en general no será nulo.

Lo que si es invariante, dado que ha sido definido independientemente del sistema de referencia, es el valor:

=+=dt

dEv

dtdvE

dtvd ii

k

k

r( ) =

Γ−=+Γ− k

jc

kji

iiiijc

kji

ik ET

dtdE

vdt

dEvTvE

Γ− kkjij

ijc E

xE

T∂∂

= ◊vic

jijTiv

Dado que, según vimos, es un vector normal al espacio tangente, se deduce que los

vectores kkjij

iij E

xE

Γ−≡◊∂∂

son normales al espacio tangente, y por lo tanto, que la proyección

de ji

xE∂∂

al espacio tangente es precisamente , de modo que podremos considerar los

como los elementos que permiten calcular las proyecciones de los vectores

kkji EΓ

kjiΓ j

i

xE∂∂

sobre el

espacio tangente.

Dado que v y T son vectores cualesquiera, los i jc ij◊ se deben transformar como

componentes de un tensor, es decir:

klj

l

i

k

ij xx

xx

◊=◊∂∂

∂∂

(la relación anterior también se puede obtener directamente de la expresión kkjij

iij E

xE

Γ−≡◊∂∂

transformando ji

xE∂∂

a partir de y utilizando las leyes de transformación para ϕϕ o)( 1−ijDD Γji

k

y para ya conocidas). kΕ Consideremos ahora un campo vectorial vr cualquiera, no obtenido necesariamente por desplazamiento paralelo. Se tendrá:

=+=+=+= jcj

iijcj

i

ij

cjii

i

iii

i

i TxEvT

xvET

xEv

dtdvE

dtdEv

tvE

dtvd

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂r

ijj

cii

kjk

j

ij

cikkijij

jc

ij

ij

ci TvvxvTEETv

xvTE ◊+

Γ+=Γ+◊+=

∂∂

∂∂ )(

Este valor es un invariante, y también lo serán cada uno de los dos vectores

Γ+ i

kjk

j

ij

ci vxvTE

∂∂

y ijj

ciTv ◊

que representan respectivamente sus proyecciones paralela y normal al espacio . MTp

En la proyección de la derivada del vector sobre el espacio tangente los factores que

depende de se representan como vr ikj

kj

i

ji v

xvv Γ+≡

∂∂

; y es fácil de ver que son las

componentes de un tensor mixto. Este tensor se definirá como la derivada covariante del vector . Un vector se obtiene por desplazamiento paralelo sobre la variedad si su derivada

covariante es nula, vr

1.2. CONEXIÓN AFÍN La conexión afín es el concepto que permite trasladar (y derivar) vectores paralelamente por la variedad. Daremos una definición algebraica invariante de ella que, como veremos, equivaldrá a definir los símbolos . k

jiΓ

Definiremos la conexión afín como una aplicación que asigna un campo vectorial a cada par de vectores y de T con las siguientes propiedades:

DwDvr

r vr wr Mpr zDwDzwD vvv

rrrrrr +=+ )( rrr wDwDwD zvzv rrrr +=+

rr wDfwD vvf rr •• = rrr wDfwvdfwfD vv

rrr ••)()•( +=

donde , y vr wr zr son vectores de T y es un campo escalar. Mp f

Se observa que las propiedades anteriores son precisamente las propiedades usuales de la derivación de vectores. (En el espacio euclídeo wDv

rr representaría el vector cuyas

componentes son las derivadas direccionales de las componentes de wr según el vector v ). r

Con un sistema de coordenadas ϕ dado, a partir de la conexión se puede definir el

símbolo como la k-componente contravariante del vector

DkijΓ ij

D ΕΕ , es decir:

kkijij

D ΕΓ=ΕΕ

por lo que se tiene: =Ε=Ε=Ε= )()()( j

jE

ij

jEvj

jEvv wDvwDwDwD

iii

ii

rr

jij

kik

i

ji

jj

kiki

ji

j

kEki

jiji vw

xwvwv

xwDwvEdwv

iΕ

Γ+=ΕΓ+Ε=Ε+Ε=

∂∂

∂∂)(

de modo que los Γ determinan completamente la conexión. ijk

Deduzcamos la ley de transformación de coordenadas:

( ) =

Ε+ΕΕ=

Ε=

Ε=Ε=ΕΓ ΕΕ

ΕΕ li

l

lki

l

j

k

li

l

j

k

li

l

xxik

kij kk

kj

kj

Dxx

xxd

xx

xxD

xx

xxDD

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

sr

sr

lki

l

j

k

sl

s

ij

l

rr

lki

l

j

k

lij

l

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xxE

xxx

ΕΓ+Ε=ΕΓ+=∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ 22

luego, igualando las componentes,

rlkr

s

i

l

j

k

l

s

ij

ls

ij xx

xx

xx

xx

xxx

Γ+=Γ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ 2

de modo que se vuelve a encontrar la misma ley que se obtuvo en el caso del espacio euclídeo. Aunque esta ley no es la de transformación de un tensor, la de s

jis

ijs

ij Γ−Γ≡Γ~ sí lo es, y el tensor que se determina lo denominaremos tensor de torsión. Este tensor permite definir una operación invariante entre dos vectores que da lugar a otro vector:

ss

ijjivwwvTor ΕΓ≡ ~),( rv

Observemos ahora que:

( ) kkij

jiki

ki

i

ki

kkji

kij

jiki

ki

i

ki

wv vwxvw

xwvvw

xvw

xwvvDwD ΕΓ+Ε

−=ΕΓ−Γ+Ε

−=− ~

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂rr

rr

de modo que definiendo

[ ] ki

ki

i

ki

xvw

xwvwv Ε

−=

∂∂

∂∂rr,

se llega a:

[ ]wvwvTorvDwD wvrrrrrr

rr ,),( +=−

El termino [ es un invariante, puesto que en la expresión anterior lo son todos los demás términos (Este hecho puede determinarse directamente comprobando que la expresión

]wv rr,

i

ki

i

ki

xvw

xwv

∂∂

∂∂

− se transforma como una componente contravariante). rr

El vector [ ]wv, así definido se denomina producto de Lie de los vectores v y . r wr

1.3. DERIVADA COVARIANTE DE TENSORES La conexión afín ha permitido definir una derivación para vectores del espacio tangente. Generalizaremos esta derivación para tensores arbitrarios. Sea T un campo tensorial de orden k y v )()1( ,, kvrL

r campos vectoriales, entonces ),( )()1( kvvT , rL

r=φ es un

invariante escalar. Deseamos definir la derivada tal que TDwr

),,(),,(),,()( )()1()()1()()1( kwkwkw vDvTvvDTvvTDwd r

Lr

Lr

Lrr

Lrr

rrr +++=φ

, es decir, de forma que se comporte como la derivada usual de una función multilineal. Expresando la relación anterior en función de las componentes en un sistema de referencia:

),,(),,()(),,( )()1()()1()()1( kwkwkw vDvTvvDTwdvvTD rL

rL

rL

rrrL

rrrr −−−= φ =

= ( ) LLL LL −

Γ+− k

kk

k ik

ijqiqjj

i

iiiiik

ij

j vvwvxv

TTvvx

w )()2()1()1(

)()1(21

1

11

1

∂∂

∂∂

jqk

iqjj

iki

ki

ii wvxv

vvTk

k

k

Γ+− −

− )()(

)1()1(111

1 ∂∂

LL L =

= −+++ jjiii

ki

iij

ikij

iiikj

ij w

xT

vvTxv

vwTvxv

w kk

k

k

k

k

∂∂

∂∂

∂∂ L

LL LLLL 11

1

1

1

1

)()1()(

)1()()1(

jqk

iqjj

iki

ki

iiik

ijqiqjj

i

ii wvxv

vvTvvwvxv

Tk

k

k

k

k

Γ+−−

Γ+− −

− )()(

)1()1()()2()1()1( 111

1

21

1

1 ∂∂

∂∂

LLL LL =

= jqk

iqj

ik

iii

ik

ijqiqjii

jik

ijii wvvvTvvwvTwvv

xT

k

k

k

k

kk)()1()1()()2()1()()1(

111

1

21

1

11 Γ−−Γ− −−LLLL LL

L

∂∂

=

= jik

iqjiqii

qjiiqij

ii wvvTTx

Tk

kkk

k)()1(

1

1112

1 LL LL

L

Γ−−Γ−

−∂∂

Se puede apreciar que esta función es lineal en wr y corresponde a la acción de un tensor de componentes

qjiqii

qjiiqij

iijii kkk

k

kTT

xT

Γ−−Γ−=−1112

1

1 ; LL

L

L L∂

T∂

este tensor se denomina derivada covariante del tensor T . Obsérvese, por ultimo, que la derivada covariante de una función escalar, considerada como un tensor de orden 0, es, conforme la definición anterior, su diferencial usual

)(wdDwr

r φφ =

1.4. GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE ESPACIO TANGENTE En el caso de una variedad euclídea definimos los símbolos

11

1211

−−

=≡ ϕ∂∂

ϕ∂kk iiii

k

ii Dxx

E LLL

.

Representaremos por S el subespacio vectorial generado por los vectores ,

con . Estos subespacios son invariantes, ya que ante un cambio de coordenadas las derivadas de orden

Mrp kiiE L1

rk ≤<0r de ho1ϕ 1 −− =ϕ se pueden expresar como una combinación de las

derivadas de orden k con 0 de . rk ≤< ϕ 1−

Si se desarrollan estas derivadas se puede comprobar fácilmente por inducción que

MSdenostermiDhDhDhDDE kpjj

ji

jiiiiiii k

k

kkkk

11111

1

1111)( −−−− +=== ϕϕϕ LLLL Lo

Representemos por C

E

1 el operador proyector sobre el subespacio , y definamos E

C LLL

MSiiiiii

kp

kkkEE

1111

−

−≡◊

se tiene entonces:

=−=−=◊−−CC LLLLL LL

MSjj

ji

jijj

ji

ji

MSiiiiii

kp

k

k

kk

k

kkp

kkkEhDhDEhDhDEE

11

1

11

1

11

111

k

k

kkp

kk

k

k jjj

ij

iMS

jjjjj

ij

i hDhDEEhDhD LLL LL C 1

1

11

11

1

1◊=

−=

−

de modo que la ley de transformación es la de un tensor:

kk

k

k jji

j

i

j

ii xx

xx

LL L11

1

1◊=◊

∂∂

∂∂

El subespacio generado por los

kii L1◊ para un determinado valor de k es también,

según se deduce de la expresión anterior, un invariante. Representaremos este subespacio de nR por T . Obsérvese que T y que .

Vemos también que las nuevas definiciones son compatibles con la ya presentada

anteriormente

Mpk MTM pp =1 MS p= 1 MTMTMS k

ppkp ⊕= L1 ⊕

kkjij

iij E

xE

Γ−=◊∂∂

.

1 Nota: esta notación que utilizamos aquí no sigue ningún convenio normalizado

Los símbolos ◊i ik1L permiten definir una nueva función vectorial lineal invariante:

k

k

ik

iiik

k vvv,vN )()1()()1(1

1),( L

rL

rL◊=

Si c y c son dos curvas de la variedad que se cortan en el punto 1 2 p y que tienen

vectores tangentes vr y , entonces wr )( w,vN 2 rr es un vector normal a la variedad y a las dos

curvas simultáneamente.

1.5. DERIVADA ABSOLUTA

Consideremos una curva c y sea )(t MTtv tc )()( ∈r

una función vectorial que solo está definida sobre la curva. Entonces se tiene:

=Ε

=+= jij

ci

i

i

ii

i

i

xTv+E

dtdvE

dtdvE

dtdv

dtvd

∂∂r

),( vTNtvTvETv

dtdv

c2

ijj

ci

kkij

jc

ik

rr+=◊+

Γ+=

δδ

Se define la derivada absoluta de vr respecto a t como

kkij

jc

ik

MT

ETvdt

dvdtvd

tv

tc

Γ+== C

rr

)(δδ

Si vr es un campo vectorial se tiene vDtv

cTr

r

=δδ

.

1.6. GEODÉSICAS PARA UNA CONEXIÓN AFÍN Este concepto de geodésica hace referencia a la curva más recta. La condición que impondremos es que la dirección de variación del vector tangente (su derivada) sea lo más paralela posible al propio vector tangente, y de esta forma obligamos a que la curva se aparte lo menos posible de la dirección inicial. Esta condición se puede expresar también diciendo que la curva se crea trasladando el vector tangente paralelamente a su propia dirección. Sea c la curva que buscamos. La condición de que sea una geodésica se expresa como:

)(t )(tc

cc

MT

c Tt

TdtTd

p

•φδδ

==C

para alguna función )(tφφ ≡ . La razón de tomar la proyección sobre el espacio tangente se

debe a que dtvdr

puede tener componentes normales a la variedad mientras que v MTp∈r

, de

modo que ignoraremos esas componentes. Puesto que la geodésica como tal es un lugar geométrico, el parámetro con que se defina no tiene transcendencia, y podremos seleccionar otro cualquiera obteniéndose una nueva representación c t

tc t' ( ' ) ( ( ' ))= µ de la misma curva,

donde tt =)'(µ es la función que determina el cambio de parámetro. En esta nueva representación se tendrá un vector tangente

='

dtTd

MT

c

p

C

)(st= σ( )

MTp

=C

cc Tdtd

dtd

dtdc

dtdc

dtdcT

'''''

'µµµ

====o

y por tanto:

=+=+=

=

'''''''''' 2

2

2

2'

dtd

dtTd

dtdT

dtd

dtTd

dtdT

dtdT

dtd

dtd

tT

MT

cc

MT

cc

MTc

c

ppp

µµµµµµδδ

CCC

cTdtd

dtd

+= φµµ 2

2

2

''

Si se encontró una solución cumpliendo cMT

c TdtTd

p

•φ=C , se puede encontrar otra

solución haciendo un cambio de parámetro tal que se cumpla la ecuación:

0))'(('

)'('

)( 2

2

2

=

+

′ tdt

tddt

td µφµµ

de modo que en esta nueva representación se obtiene

0'''' ==C

MT

cc

ptT

tT

δδ

δδ

Esta ecuación simplifica la definición: una geodésica será una curva tal que, con alguna representación paramétrica, la derivada de su vector tangente no tiene componentes tangentes a la variedad. La parametrización en la que se cumple la condición anterior se denomina parametrización natural de la geodésica. Sea c una geodésica siendo s el parámetro natural y sea un nuevo parámetro tal que s y tal que define la curva c' con

t))(()(' tctcp σ== . Entonces:

=

+=

= CCC

MTc

c

MTc

MT

c

pppdtdT

dtd

dsTd

dtdT

dtd

dtTd

2

2' • σσσ

dtd

dtdT

dtdT

dtdT

dtdT

dtd

dsTd

ccMT

ccc

p

σσσσσσ2

2

'2

2

2

2

2

22

===

+

C

En la relación anterior se observa que es un nuevo parámetro natural sí y solo sí 't

bastdtd

+=⇔= 02

2σ

con y b constantes. Es decir, todos los parámetros naturales y están relacionados linealmente.

a t s

Por ultimo, la ecuación general de las geodésicas se suele expresar como

cc T

ss

tT

&

&&=

δδ

donde es un parámetro natural y con un punto se indica la derivación respecto al parámetro con el que se define la curva .

sc

Debe observarse que las expresiones anteriores solo dependen de la parte simétrica de la conexión afín: se obtiene la misma condición si en lugar de tomamos definida por D D̂

)(21ˆ vDwDwD wvv

rrrrrr += , o de forma equivalente, tomado )

21 i

kjijk Γ+=∨

( ijkΓΓ .

Otra cuestión, relacionada con la anterior, es encontrar nuevas conexiones simétricas que conserven las geodésicas (aunque no necesariamente el parámetro natural). Ese resultado, que no se demuestra aquí, fue encontrado por Weyl, y afirma que esto ocurre si y solo sí la diferencia entre las conexiones está dada por (

ikjj

ki

kij

kij ηδηδ +=Γ−Γ

donde iη es cualquier cantidad que se transforme como un tensor covariante.

1.7. GEODÉSICAS PARA UNA MÉTRICA Desde el punto de vista métrico, una geodésica se define como la distancia más corta entre dos puntos. Este problema admite un planteamiento variacional. Sean p y dos puntos y consideremos el conjunto de curvas que los unen, con una parametrización tal que

y c . Definimos un funcional en el conjunto de estas curvas asignando a cada una de ellas su longitud entre los puntos

q)(tc

ptc =)( 1 qt =)( 2p y : q

∫∫ ==2

1

2

1

)(•)(•))(()(t

t

jiij

t

t

jc

icij dttDctDctcgdtTTgcs ϕϕϕ

Las ecuación de las geodésicas que buscamos son las condiciones que hacen extremal el funcional anterior. La obtendremos aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange a la función

jiij xxxgxxs &&&& ••)(),( =

Se tiene:

jikijji

kij

jiij

k xxxg

sxx

xg

xxgxs

&&&

&&&&

&

∂∂

∂∂

∂∂

21

••21

==

iik

jk

ijikij

jikijji

ijk xg

sxxg

sxx

xg

xxgxs

&&

&&&

&&&&&

& 1)(21)(

••21

=+== δδ∂∂

∂∂

=++−=dtxdg

sx

dtdx

xg

sxg

dtsd

sxs

dtd i

iki

r

riki

ikk

&

&&

&&

&

&&

& 1112 ∂

∂∂∂

iik

irriki

ki xgs

xxxg

sxg

ss

&&&

&&&

&&

&& 112 ++−=

∂∂

luego

⇔−+

++−=−= ji

kiji

ikir

rki

riki

ikik xxxg

sxg

sxx

xg

xg

sxg

ss

xs

xs

dtd

&&&

&&&

&&&

&&

&&&

&

&

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

211

210 2

⇔+

−++−= i

ikir

kri

rki

irki

ik xgs

xxxg

xg

xg

sxg

ss

&&&

&&&

&&

&& 1210 2 ∂

∂∂∂

∂∂

iik

irkri

rki

irki

ik xgxxxg

xg

xgxg

ss

&&&&&&

&&+

−+=

∂∂

∂∂

∂∂

21

⇔

qirkri

rki

irkqkq xxx

xg

xg

xggx

ss

&&&&&&

&&+

−+=

∂∂

∂∂

∂∂

21

y definiendo el símbolo

{ }

−+= k

rirki

irkqkq

ri xg

xg

xgg

∂∂

∂∂

∂∂

21

la ecuación de las geodésicas se puede poner como

{ } kirkri

k xxxxss

&&&&&&

&&+=

o bien, observando que son las componentes del vector tangente ic

i Tx =&

{ } kc

ic

rc

kri

kc T

dtdTTT +=

ss&

&&

Cuando la curva se representa en función del parámetro natural, , la ecuación anterior se expresa como:

st =

{ } kc

ic

rc

kri T

dsdTT +=0

Se observa que las ecuaciones anteriores son la mismas que la de las geodésicas para una conexión afín definida por { }j

rij

ri =Γ .

1.8. CONEXIÓN MÉTRICA Se estudia aquí la compatibilidad entre una métrica y la conexión afín. Esta compatibilidad puede obtenerse con distintos puntos de vista. a) Invarianza en del producto métrico por transporte paralelo. Diremos que una métrica y una conexión afín están asociadas cuando el producto métrico de dos vectores que se trasladan paralelamente se mantiene constante. Esto implica que para cualquier curva c y vectores ur y vr se debe tener

=++==dt

dvugvdt

dugvuTxg

vugdtd j

iij

ji

ijjik

ckij

∂∂

),(0 rr

=Γ−Γ−= sc

rjrs

iij

jsc

rirsij

jikck

ij TvugvTugvuTxg∂∂

kc

jikij

kc

jiqjkiq

qikqjk

ij TvugTvuggxg

;=

Γ−Γ−=

∂∂

de modo que la condición anterior se puede expresar como 0; =kijg .

Permutando índices y sumando a partir de la expresión 0=Γ−Γ− qjkiq

qikqjk

ij ggxg∂∂

se

obtiene:

=Γ+Γ+Γ−Γ−Γ−Γ−

−+= q

jkiqqikqj

qijkq

qkjqi

qkijq

qjiqkk

ijj

kiijk gggggg

xg

xg

xg

21

21

21

21

21

21

210

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) +Γ−+Γ+Γ−

−+= q

ikjqqjqij

qjiqkk

ijj

kiijk ggg

xg

xg

xg

21

21

21

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) =Γ−Γ+Γ−+Γ−Γ+ qkj

qjkqi

qjkqiiq

qki

qikjq gggg

21

21

21

qjkqi

qikjq

qjkiq

qikqj

qjiqkk

ijj

kiijk ggggg

xg

xg

xg

∨∨∨∨

Γ+Γ+Γ+Γ+Γ−

−+=∂∂

∂∂

∂∂

21

b) Coincidencia del lugar geométrico de las geodésicas. Pongamos para el parámetro natural de la conexión y s para el de la métrica. Con un punto indicamos derivación respecto a .

tt

0=Γ+ kij

jc

jc

kc TT

dtTd

{ } kc

kc

kc

kri

kc T

dtdTTT

ss

+=&

&&

luego:

{ }( ) ic

rc

kij

kri

kc TTT

ss

Γ−=&

&&

a

La condición anterior solo afecta a las componentes simétricas de la conexión. b) Condiciones que se deben cumplir para que las geodésicas de la conexión sean también geodésicas métricas y además den lug r a los mimos parámetros naturales

{ }( ) 0=Γ jc

jc

kij

kij TT-

c) Deseamos establecer la condición necesaria y suficiente para que una distancia métrica

coincida con el parámetro natural afín a lo largo de cada geodésica afín (aunque las geodésicas afines no coincidan con las geodésicas de la métrica) .

jiij dxdxgds =2

Estableceremos un resultado preliminar: c1) Una condición suficientes es que el valor ji

ij vvgvv =),( vr se conserve invariante cuando vr

se desplaza paralelamente (es decir, se conserva para toda curva c tal que 0=vDcTr

). Supongamos que se cumple la condición anterior, entonces, si es una geodésica afín siendo su parámetro natural, se tiene:

)(tct

0=cT TD

c

luego, si se cumple la condición anterior, se tendrá

( , )T T T Tc c ij ci

cjg k= =

para alguna constante k . Se deduce entonces que la distancia métrica vale y puesto que esta es una relación lineal, s es también un parámetro natural afín.

tks •=

La condición anterior puede expresarse como

−=+== jc

ic

kck

ijjc

ic

ijj

ci

ck

ckij

cc TTTxg

TdtTdgTTT

xg

T,Tgdtd

∂∂

∂∂

2)(0

jc

ic

kckij

jc

ic

kc

qjiqkk

ijjc

sc

rc

irsij TTTgTTTg

xg

TTTg ;22 =

Γ−=Γ−

∂∂

es decir

0)( =ccT T,TgDc

y la condición anterior se cumple si

0=Γ−Γ− qjkqi

qikqjk

ij ggxg∂∂

1.9. TENSOR DE RIEMANN

El tensor de curvatura de una conexión afín es un campo tensorial definido por D

( ) [ ]uDuDDuDDuwvR wvvwwvrrrrrr

rrrrrr ,,, −−=

Observemos que =− uDDuDD vwwv

rrrrrr

( )r ( )=−= uDvDwuDwDvijji E

iE

jE

jE

i rrrrr

=−−+= uDDvwuDxvwuDDwvuD

xwv

ijijij EEij

Ej

ij

EEji

Ei

ji rrrr

rrrrrr

∂∂

∂∂

( )=−+

−= uDDuDDwvuD

xvw

xwv

ijjij EEEEji

Ei

ji

i

ji rrr

rrrrr

∂∂

∂∂

( )rrr[ ] uDDuDDwvuD

ijji EEEEji

wvrrrrrr −+= ,

luego ( ) ( ) ( ) kji

kij

kjiEEEE

ji EuuwvuDDuDDwvuwvRijji

rrrrrrrrrr ;;;;,, −=−=

La expresión anterior muestra que ( )uwvR rrr ,, es lineal en vr y en wr .

Demostremos que también es lineal en ur . Para ello observamos que

( ) ( )=−=− kk

EEkk

EEEEEE EuDDEuDDuDDuDDijjiijji

vvrrrrrrrrrr

=

+−

+= kE

kki

k

EkEk

kj

k

E EDuExuDEDuE

xuD

ijji

vvvvrrrr

∂∂

∂∂

−+++= kEEk

kEi

k

kEj

k

kji

k

EDDuEDxuED

xuE

xxu

jiji

vvvvrrrr

∂∂

∂∂

∂∂∂ 2

kEEk

kEj

k

kEi

k

kij

k

EDDuEDxuED

xuE

xxu

ijij

vvvvrrrr −−−−

∂∂

∂∂

∂∂∂ 2

=

( )vvkEEkEE

k EDDEDDuijjirrrr −=

y por tanto ( ) ( )kEEkEE

kji EDDEDDuwvuwvRijji

vvrrrrrrr −=,,

Es evidente que kEEkEE EDDEDD

ijji

vvrrrr − es un vector de T . Mp

Por ultimo, representamos su k-componentes contravariante mediante el símbolo . Es decir:

kijsR

=skijs ERr

=− kEEkEE EDDEDDijji

vvrrrr ( ) ( )=Γ−Γ r

rkiEr

rkjE EDED

ji

rrrr

=Γ− rErkir EDE

j

rrr

Γ−Γ+

Γ

j

rki

rErkjr

i

rkj

xEDE

x i

rrr

∂∂

∂∂

=ΓΓ−Γ

−ΓΓ+Γ

= ssrj

rkir

j

rki

ssrj

rkjr

i

rkj EE

xEE

xrrrr

∂∂

∂∂

ssrj

rki

j

skis

rjrkj

i

skj E

xxr

ΓΓ−

Γ−ΓΓ+

Γ∂∂

∂∂

de modo que

srj

rki

j

skis

rjrkj

i

skj

kijs

xxR ΓΓ−

Γ−ΓΓ+

Γ=

∂∂

∂∂

Por la forma en que han sido definidos, es evidente que los símbolos se transforman como las componentes mixtas de un tensor de cuarto orden. Este tensor se denomina tensor de curvatura de Riemann-Christoffel.

ijksR

( ) skij

sjik ERwvuuwvRrrrr

=,,

La importancia de este tensor radica en que la condición necesaria y suficiente para que exista un sistema de coordenadas para el cual en el entorno de un punto sean todas las componentes de la conexión afín nulas es que este tensor se anule en ese punto.

1.10. TENSOR DE RICCI Mediante una contracción del tensor de Riemann se obtiene un tensor de orden 2 denominado tensor de Ricci:

kiss

ki RR = que opera conforme la ley:

( ) kikis

s uvRuvR =rr,

Si hay definida una métrica, se puede poner

( ) ),,(,),,(,, uEvREuEvREguvR kk

kjkj rrrrrrrrrr ==

1.11. ESCALAR DE CURVATURA El escalar de curvatura se define mediante contracción del tensor de Ricci

),,(,),( lkjijlik

iii

ikiki EEEREggEERRRgR

rrrrrr====

1.12. TENSOR DE EINSTEIN El tensor de Einstein se define como

RgR ijijij 21G −=

y tiene la particularidad que tanto su divergencia como su contracción son nulas.

1.13. TENSOR DE CURVATURA PROYECTIVA Las componentes de este tensor, que fue definido por Weyl, son:

)(1

1kj

siki

sjkij

skij

s RRn

RW δδ −−

−=

Definiendo la función vectorial multilineal

( )),(•),(•1

1),,(),,( uvRwuwRvn

uwvRuwvW rrrrrrrrrrrr −−

+=

se puede poner

),,(, uwvWtwvutW jiksskij

rrrv= El interés de este tensor radica en que la condición necesaria para que una aplicación entre dos variedades, cada una con su respectiva métrica, conserve las geodésicas, es que conserve el tensor de Weyl.

1.14. TENSOR DE CURVATURA CONFORME Las componentes de este tensor, también estudiado por Weyl, son:

)()2)(1(

)(2

1iljkikjlikjliljkjkiljlikijklijkl gggg

nnRRgRgRgRg

nRC −

−−+−−−

−−=

La contracción de este tensor es nula. Si M es una variedad con su respectiva métrica g y M

( es otra variedad, una

aplicación MMf(

→: se dice que es conforme si la métrica inducida gfg ∗=( es de la forma gg λ=( donde λ es una función real positiva. Esto quiere decir que la función conserva los ángulos.

f

Las métricas conformes tienen asociadas unas conexiones que cumplen la relación:

tjkit

jikk

ij

ijk

ijk gg ψψδψδ −++Γ=Γ~

donde iψ es la 1-forma diferencial dada por

ii x∂∂

=λ

λψ

21

La condición necesaria para que una aplicación MMf

(→: sea conforme es que

conserve el tensor de curvatura conforme.