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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Capítulo 1
CONCEPTOS BASICOS
1.1. Definiciones
La Teoría de Redes estudia sistemas formados por la interconexión de componentes
eléctricas.
Cada componente posee dos o más terminales conductores.
Asociados a los terminales pueden observarse y medirse variables eléctricas: voltajes y
corrientes.
Cada componente establece una relación entre sus variables terminales. Se denominará a
ésta: Relación de Equilibrio.
Las conexiones entre componentes también implican una relación entre las variables
terminales de las componentes. Se denominarán a éstas: Leyes de Interconexión o leyes de
Kirchhoff.
Una red puede describirse en forma gráfica, indicando: el tipo de componentes y la forma en
que están conectadas entre sí. Asociada a dicha red habrá un sistema de ecuaciones que
relacionan las variables terminales. Éstas se denominan: Ecuaciones de la Red.
La Teoría de Redes establece métodos para plantear, resolver y analizar las Ecuaciones de
la Red.
1.2. Componentes y Variables
Una componente cualquiera puede representarse por un pequeño rectángulo con sus
terminales. Se muestra a continuación una componente de dos terminales.
2 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.1. Componente de dos terminales.
Los puntos a y b son los terminales de la componente y se encuentran unidos (soldados o
conectados) a los terminales de un rectángulo mayor, que simboliza el resto de la red.
Podría observarse, mediante instrumentos, una corriente eléctrica i, a través de la
componente; y un voltaje o diferencia de potencial v, entre los terminales.
Para medir una variable escalar se requiere un sistema de referencia y un sistema de
unidades.
1.3. Sistemas de referencia para medir posiciones
Sean dos objetos P1 y P2 ubicados sobre una línea recta.
Figura 1.2. Referencia para posiciones en el espacio.
Si establecemos un sistema de referencia x para medir posiciones indicando: una posición de
referencia, una dirección en la cual los valores que toma la variable van aumentando; y una
escala de unidades para medir los valores, tendremos que:
P1 se encuentra en posición x1; y P2 en posición x2.
Con los siguientes valores de las posiciones:
1 22, 3x x (1.1)
Podríamos haber elegido un sistema de referencia y, según:
a
b
P1 P2
0 x2
x1
x [cm]
Capítulo 1. Conceptos Básicos 3
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.3. Otro sistema de referencia.
En este caso las posiciones de P1 y P2, se representan por:
1 22, y 3y (1.2)
Se han mantenido la posición de referencia y la escala de unidades; el único cambio es la
dirección de referencia.
Entonces, la variable que describe la distancia entre P1 y P2, podría describirse por x21. La
cual tiene asociada una referencia para medirla, que se indica con una flecha.
Figura 1.4. Distancia entre objetos.
En función de las posiciones, se define:
21 2 1x x x (1.3)
La flecha es un símbolo que describe cómo debemos medir la distancia: La posición
asociada a la punta de flecha, menos la posición asociada al pequeño círculo, del otro extremo
de la flecha.
Con esta notación, se tiene que:
12 1 2x x x (1.4)
Además se cumple que:
12 21x x (1.5)
Los segmentos orientados se ilustran a continuación:
P1 P2
0 y2
y1
y [cm]
P1 P2
0
x2
x1
x [cm]
x21
4 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.5. Referencias para distancias.
Entonces, el valor que toma una variable, depende del sistema de referencia que estemos
usando para medirla. Es decir: de la posición de referencia, de la dirección de referencia y de la
escala que empleemos para medir.
1.4. Voltímetros y Amperímetros
Para medir variables eléctricas se emplean: amperímetros, para medir corrientes; y
voltímetros para medir voltajes. Estos instrumentos tienen dos terminales que deben ser
conectados a la componente. Uno de los terminales se marca con una flecha, o con un signo
positivo; el otro, sin marca, se denomina común. La conexión de los instrumentos puede
efectuarse de dos formas, éstas se ilustran en las Figuras 1.6 y 1.7.
Figura 1.6. Conexiones de instrumentos.
En la Figura 1.6:
El voltímetro mide la diferencia de potencial entre a y b; es decir mide:
( )V V Va b
(1.6)
El amperímetro mide la corriente que circula de a hacia b.
P1 P2
x12
x [cm]
x21
a
b
A
a
b
V
Capítulo 1. Conceptos Básicos 5
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.7. Otra forma de medir variables.
En la Figura 1.7:
El voltímetro mide la diferencia de potencial entre b y a, es decir:
( )V V Vb a
(1.7)
El amperímetro mide la corriente que circula de b hacia a.
Nótese que la corriente es la que circula a través de la componente y del amperímetro. Y
que el voltaje se mide entre los terminales de la componente.
Nótese que los terminales de los instrumentos están marcados, con una pequeña flecha el
amperímetro y con signos + y – el voltímetro.
Entonces se definen: una dirección de referencia para medir la corriente, se marca con una
flecha a través de la componente; y una polaridad de referencia, para medir voltajes, entre los
terminales de la componente.
Estas referencias indican cómo se deben medir las variables usando instrumentos. Para medir
las variables de la Figura 1.8, los instrumentos deben conectarse como se muestra en la Figura
1.6.
Figura 1.8. Variables de la componente.
En la Figura 1.8 se muestran las variables v e i, y sus referencias: la polaridad y la dirección
respectivamente.
Se interpretan según:
i es la corriente que circula desde a hacia b a través de la componente.
v es la diferencia de potencial o voltaje o tensión entre a y b.
a
b
V +
-
a
b
A
a
b
v
i
6 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Si en la Figura 1.8 se tiene, en cierto instante, que 2v e 2i ; si las variables se miden
conectando los instrumentos como se muestra en la Figura 1.7, se tendrá que los instrumentos
indicarán: 2V y 2A .
La Figura 1.9 ilustra otros símbolos que suelen emplearse para la polaridad.
Figura 1.9. Otros símbolos para la polaridad.
Los valores que toman las variables se interpretan de acuerdo al sistema de referencia con
que son definidas.
Para la Figura 1.8:
Si en cierto instante el potencial en a es mayor que en b, se tendrá: v > 0.
Si en cierto instante el potencial en a es igual al de b, se tendrá: v = 0.
Si en cierto instante el potencial en a es menor al de b, se tendrá: v < 0.
Si hay movimiento de cargas positivas desde a hacia b, en ese instante: i > 0.
Si hay movimiento de cargas positivas desde b hacia a, en ese instante, se tendrá:
i < 0.
Si no hay movimiento de cargas se tendrá: i = 0.
Ejemplo 1.1.
En la Figura 1.10, de acuerdo a las referencias, se tienen:
1 2
1 2
v v
i i
(1.8)
Las variables tienen iguales valores, pero diferente signo.
a
b
v
i
+
-
a
b
v
i
+
-
Capítulo 1. Conceptos Básicos 7
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.10. Referencias para variables.
1.5. Ley de conservación de la carga
La ley de la conservación de la carga establece que la carga eléctrica se conserva; es decir,
no se crea ni se destruye.
Sean q la carga encerrada en un volumen V, e i la corriente que ingresa al volumen.
Podemos simbolizar la situación según se muestra en la Figura 1.11:
Figura 1.11. Conservación de la carga.
Entonces:
dqi
dt
(1.9)
Es la ecuación diferencial que representa la conservación de la carga q dentro del volumen.
La relación anterior puede considerarse como la definición de la corriente en función de la
carga y el tiempo.
Si q es constante en el tiempo, i debe ser cero. Es decir, no puede haber movimiento de
carga, hacia o desde el volumen, si la carga permanece constante dentro del volumen.
Si se tiene que:
0dq
dt
(1.10)
Esto implica que q está aumentando, lo cual requiere que existan cargas positivas
moviéndose hacia el volumen; es decir:
0i (1.11)
a
b
v1
i1
v2
i2
q i
8 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Si existe carga positiva moviéndose hacia afuera del volumen se tendrá:
0i (1.12)
Lo cual implica que la carga q disminuye; es decir:
0dq
dt
(1.13)
Si se considera ahora una componente de dos terminales, y se definen i1, i2 y q como se
ilustra en la Figura 1.12.
Figura 1.12. Neutralidad de carga.
Se tendrá que la corriente neta que ingresa a la componente será: i1-i2, y debe cumplirse,
debido a la ley de conservación de carga que:
1 2-dq
i idt
(1.14)
Si el dispositivo opera con carga total igual a cero, o en condiciones de neutralidad de carga,
se tendrá:
1 2- 0i i (1.15)
Lo cual implica que la corriente que entra a la componente debe ser igual a la que sale de
ella. Debe mantenerse que la carga total dentro de la componente sea igual a cero.
Por esta razón se define sólo una variable corriente asociada a una componente, ya que se
cumple (1.15), en la Figura 1.12.
Ejemplo 1.2.
Si la componente tiene más de dos terminales, ver ejemplo en Figura 1.13, y opera en
neutralidad de carga, debe cumplirse:
a
b
v
i1
i2
q
Capítulo 1. Conceptos Básicos 9
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
31 2 0ii i (1.16)
Figura 1.13. Componente con carga total cero.
Después de estos ejemplos se puede generalizar, planteando la ley de corrientes de
Kirchhoff.
1.6. Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK)
“La suma de las corrientes que ingresan a un volumen es cero, en todo instante”.
1.7. Concepto de voltaje en función del campo eléctrico
Debido a que las líneas de campo eléctrico apuntan en la dirección en que el voltaje
disminuye, suele definirse la integral de camino, del campo eléctrico desde a hacia a b, como la
diferencia de potencial según:
b
a b
a
v E dl
(1.17)
Sin embargo, es preferible la notación siguiente:
b
b a ba
a
v E dlV V
(1.18)
Para entender las relaciones, consideremos el siguiente esquema, que se ilustra en la Figura
1.14.
a
b
i1
i2
q i3
c
10 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.14. Relación entre voltaje y campo eléctrico.
Al integrar desde la posición a hacia b, el vector diferencial de camino dl y el vector campo
eléctrico E están a 180º entre sí, lo cual hace que la integral definida resulte negativa; pero como
ésta tiene signo menos resulta que el lado derecho es positivo.
Si las líneas del campo eléctrico apuntan desde b hacia a, resulta:
0bav (1.19)
Lo que justifica lo dicho al inicio, respecto de que el campo eléctrico tiene la dirección en
que el voltaje disminuye. Puede decirse que el voltaje es una medida integral del campo
eléctrico.
Nótese que si nos movemos en una trayectoria perpendicular a las líneas, la diferencia de
potencial entre dos puntos de esa trayectoria será cero, debido a que en la integral de línea se
tiene un producto escalar de vectores ortogonales; y se dice que esa trayectoria es una línea
equipotencial.
Relacionaremos ahora la diferencia de potencial con la energía.
Tenemos que la fuerza ejercida por un campo eléctrico E sobre un diferencial de carga q es:
eF Δq E
(1.20)
Si movemos, mediante una fuerza mecánica Fm, un diferencial de carga positiva q, desde un
potencial menor a uno mayor, hacia arriba en la Figura 1.15, tendremos que vencer la fuerza
electromagnética sobre la carga.
m eF F
(1.21)
La Figura 1.15 ilustra las relaciones anteriores.
b
a
dl Vba
E E
Capítulo 1. Conceptos Básicos 11
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.15. Fuerzas sobre la carga.
Como la fuerza mecánica, es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza eléctrica,
el movimiento se realiza con fuerza total cero sobre la partícula, y por lo tanto ésta tendrá
aceleración cero; lo cual implica: velocidad constante. Es decir, sin cambio de energía cinética.
Si en la definición del voltaje (1.18), en función del campo, multiplicamos ambos miembros
por q, se tendrá, empleando (1.20) y (1.21):
e m
b b b
ba
a a a
v q q E dl F dl F dl
(1.22)
Observando la última integral, reconocemos la expresión para el trabajo realizado por la
fuerza mecánica. La siguiente expresión define el cambio de energía, en términos del trabajo
realizado por la fuerza mecánica sobre el sistema.
b
m
a
W F dl
(1.23)
Reemplazando la relación (1.23) en (1.22), se obtiene:
bav q W (1.24)
La cual puede escribirse:
ba
Wv
q
(1.25)
Si se realiza un trabajo mecánico positivo, sobre un diferencial de carga positivo, la energía
de éste aumenta.
q
Fm
E
Fe
V
12 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Si el diferencial de carga es pequeño, como para no alterar el campo eléctrico existente en la
zona, se puede escribir:
ba
dwv
dq
(1.26)
Relación que define la diferencia de potencial como el incremento de energía de la carga por
unidad de carga.
Para entender la relación anterior, podemos concebir un modelo idealizado, en el cual un
diferencial de carga está unido a un pequeño peso, mediante un sistema idealizado de poleas,
que se ilustra en la Figura 1.16.
Usamos este esquema, ya que es más sencillo y familiar comprender los cambios de energía
potencial asociados al movimiento de una masa. Si suponemos que no existe roce y que además
no hay cambios de energía cinética, entonces debido al principio de conservación de la energía:
si la masa disminuye su energía potencial, entonces en la misma medida aumenta la energía
asociada al diferencial de carga inmerso en un campo eléctrico.
Cuando la masa desciende, el diferencial de carga aumenta su energía. Cuando la masa sube,
el diferencial de carga disminuye su energía.
Figura 1.16. Energías.
Entonces podemos entender que si una carga positiva se mueve desde un potencial mayor a
uno menor la carga libera energía. La carga se mueve desde a hasta b, en la Figura 1.16.
El trabajo mecánico es negativo, y se podrá ocupar para efectuar un trabajo sobre el resto del
sistema. En la situación anterior, el peso sube, aumentando su energía potencial.
Con las denominaciones para los puntos a y b, de la Figura 1.16, se tiene:
abW v q (1.27)
La fuerza electromagnética efectúa un trabajo positivo, ya que ésta tiene igual dirección que
el desplazamiento.
q
E
mg
Vab
a
b
Capítulo 1. Conceptos Básicos 13
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Se puede efectuar un razonamiento similar, si se mueve una carga desde un potencial menor
a uno mayor; es decir, si se le aporta energía al sistema formado por la carga. Lo que nos
permite entender que si una carga positiva se mueve desde un potencial menor a uno mayor la
carga aumenta su energía.
Es conveniente plantear igual situación con una carga negativa, y obtener una interpretación
de las energías y los trabajos.
Si volvemos sobre la relación (1.18) y aplicamos la integral a un camino cerrado. Es decir si
se mueve una carga, dando una vuelta completa en ese camino cerrado, el trabajo total será cero,
siempre que no exista cambio de la energía cinética.
Se dice que el campo eléctrico es conservativo. En esta situación, se cumple:
0E dl
(1.28)
La relación anterior es un caso particular de la Ley de Faraday. Mediante ésta puede
demostrarse que si no hay campos magnéticos variables, a través del camino cerrado, se debe
cumplir que la integral cerrada del campo eléctrico es cero.
Si consideramos el camino cerrado de la Figura 1.17, la relación (1.18) puede
descomponerse en dos integrales de línea, una de b hacia a, pasando por el punto c; y otra de a
hacia b, pasando por el punto d.
(1.29)
Aplicando la definición de voltaje, relación (1.18), podemos interpretar las integrales por
diferencias de potencial:
-Vab (vía c) -Vba (vía d) = 0 (1.30)
Figura 1.17. Voltajes en un camino cerrado.
Aplicando la definición, de la notación con doble subíndice planteada en (1.18), se tiene:
a
b
c d Vab
vía c
Vba
vía d
0
b
a
a
b
ldEldE
14 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
-Vba (vía d) = Vab (vía d) (1.31)
Que reemplazada en la (1.30), permite obtener:
Vab (vía c) = Vab (vía d) (1.32)
Relación que muestra que el voltaje, o diferencia de potencial, está asociado a los puntos, y
no al camino empleado para ir de un punto al otro. Por esta razón la variable voltaje resulta
sencilla de medir a través de instrumentos, basta poner en contacto los terminales del
instrumento con los puntos entre los cuales se desea medir la tensión.
Ejemplo 1.3.
Podemos generalizar la relación anterior, para caminos cerrados formados por varias
componentes, que tienen asociados voltajes entre sus terminales. Por ejemplo, para la Figura
1.18, se tiene:
1 2 3 0v v v (1.33)
Si para un camino cerrado en general, se define un sentido de recorrido (por ejemplo: según
reloj); puede definirse la suma orientada de los voltajes: como la suma de los voltajes, cuya
flecha apunta en el sentido de recorrido, menos los voltajes cuyas direcciones de referencia son
opuestas a la dirección de recorrido del camino.
Entonces, para la Figura 1.18, se cumple la relación (1.33).
Figura 1.18. Suma de voltajes.
1.8. Ley de voltajes de Kirchhoff
“La suma orientada de los voltajes asociados a un camino cerrado es cero en todo
instante”.
v1
v2
v3
Capítulo 1. Conceptos Básicos 15
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
1.9. Potencia y energía en una componente
Si consideramos la siguiente componente:
Figura 1.19. Energía w en una componente.
De las definiciones de corriente (1.9) y voltaje (1.26), se tienen:
(1.34)
Donde q es la carga que se mueve por unidad de tiempo a través de la componente, y w la
energía dentro de la componente.
Al formar el producto de la corriente por el voltaje, en (1.34), tenemos:
dwv i
dt
(1.35)
Si definimos la potencia p, empleando la ley de conservación de la energía, tenemos:
dwp
dt
(1.36)
La relación entre las variables en (1.36) es similar a la de la relación (1.9) de la conservación
de carga. La Figura 1.20, ilustra la relación entre la potencia y la energía.
Figura 1.20. Conservación de la energía.
La única forma en que la energía dentro de un volumen pueda aumentar, es si se tiene un
ingreso de energía en la unidad de tiempo; es decir, si ingresa potencia al volumen (p>0).
a
b
v
i
w
dq dw
i vdt dq
w p
16 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Si existen varias potencias o flujos instantáneos de energía, asociados a un volumen, como se
ilustra en la Figura 1.21:
Figura 1.21. Varios flujos de energía.
Se tendrá, por (1.36), que el flujo neto de energía hacia el recinto es:
1 2p p
dw
dt
(1.37)
Y si el sistema es conservativo; es decir, si la energía dentro del volumen es constante, se
tendrá:
1 2p p (1.38)
Que se interpreta: la potencia que entra es igual a la que sale; es decir, el sistema es sin
pérdidas.
Volviendo al concepto de componente, podemos agregar una nueva referencia para la
potencia.
Emplearemos una flecha para indicar cómo medir la potencia, esto se ilustra en la Figura
1.22.
Figura 1.22. Referencia para la potencia que ingresa.
Para las referencias indicadas en la Figura 1.22, se tiene, empleando (1.35) y (1.36):
ip v i (1.39)
Que define la potencia que fluye hacia la componente, o que ingresa a la componente.
w
p1 p2
a
b
v
i
w pi
Capítulo 1. Conceptos Básicos 17
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Si el voltaje se mide en volts, y la corriente en amperes, la unidad de potencia es el watt. La
energía se mide en Joules o en el equivalente [watt*seg]. Sin embargo la medida más empleada
es el [kW*hora].
Entonces, en la Figura 1.22, si se mueven cargas positivas, desde un potencial alto hacia uno
menor, se producirá un incremento de energía en la componente.
Las cargas que salen de la componente tienen energía menor que cuando entraron,
aumentando la energía interna de la componente. Esto es equivalente a decir que la potencia
eléctrica, que entra a la componente, es positiva.
La energía eléctrica ingresada es transformada en calor o en un aumento de energía.
En el recuadro que representa el resto de la red, en la Figura 1.22, las cargas que aumentan la
energía interna de la componente a la derecha y que salen de ésta, son movidas desde un
potencial menor a uno mayor; lo cual aumenta la energía de las cargas. Este aumento de la
energía eléctrica debe estar compensado con una disminución de la energía interna de la
componente a la izquierda. Si se trata de una batería, ésta debe disminuir su energía química.
Esto es equivalente a decir que la potencia eléctrica, que sale del resto de la red, es positiva.
Si se hubiese definido la referencia para la potencia saliendo de la componente, tendríamos:
sp v i (1.40)
En esta situación, la referencia para medir potencia se ilustra en la Figura 1.23.
Figura 1.23. Potencia que sale de la componente.
Dependiendo de la dirección elegida para la corriente y la polaridad del voltaje, y si la
potencia entra o sale de la componente, se pueden determinar otras expresiones válidas para la
relación entre potencia, voltaje y corriente en una componente, aplicando las definiciones
anteriores.
Ejemplo 1.4.
La relación (1.39) define la potencia como el producto de la corriente por el voltaje, con las
referencias para medir las variables indicadas en la Figura 1.22. Respecto de esta definición, si
se efectúa un cambio de una de las referencias se tendrá un cambio de signo en la relación
(1.39). Por ejemplo la Figura 1.23 cambia la referencia de la potencia, esto implica que:
a
b
v
i
w
ps
18 Teoría de Redes Eléctricas
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s ip p (1.41)
Relación que demuestra la relación (1.40).
Si por ejemplo con las referencias de la Figura 1.22 el valor, en un cierto instante de pi es -
3[Watts], esto implica que están saliendo +3[Watts], o que ps es +3[Watts].
Si respecto de la Figura 1.23, se cambia la referencia para i, como se ilustra en la Figura
1.24, se tendrá para este caso, que la expresión para la potencia que sale de la componente es:
( )sp v i (1.42)
La cual se obtiene cambiando el signo de i en la relación (1.40).
Figura 1.24. Potencia que sale. Convenio generador.
Que puede expresarse, más simplemente por:
sp v i (1.43)
Si la componente para la que se están definiendo las referencias es un dispositivo que entrega
energía al resto de la red; es decir, es un generador, resultan más adecuadas las definiciones para
las referencias de v, i y p que se indican en la Figura 1.24. A este conjunto de referencias se lo
denomina convenio generador.
De igual modo si las referencias para las tres variables se eligen según la Figura 1.22 se
denomina a éste: convenio consumidor.
1.10. Teoremas de Tellegen
Si para una red conservativa se definen todas las potencias ingresando a las componentes,
según:
ii
dwp
dt
(1.44)
a
b
v
i
w
ps
Capítulo 1. Conceptos Básicos 19
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Se tendrá, debido a que los operadores sumatoria y derivada son lineales, que:
1 1
i1
d w
dt
d ( )
dt
n ni
ii i
n
i
dwp
dt
W
(1.45)
Donde W es la energía total del sistema.
Si la energía total del sistema W es constante en el tiempo, entonces:
1
0n
ii
p
(1.46)
Que se conoce como Teorema de Tellegen primera forma, y es un planteo alternativo de la
Ley de Conservación de la Energía.
Si consideramos ahora una red con n componentes, cuyas potencias han sido definidas
entrando a cada componente, más una componente externa, a la cual se le define la potencia
saliendo, lo cual se ilustra en la Figura 1.25.
Figura 1.25. Teorema de Tellegen. Segunda Forma.
Aplicando la primera forma del Teorema de Tellegen, para una red de (n+1) componentes, se
tiene:
1
0n
i ei
p p
(1.47)
Y se puede expresar, la segunda forma del teorema, como:
1
n
e ii
p p
(1.48)
we
pe wi
pi
20 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Ejemplo 1.5.
Para las siguientes definiciones de potencias en componentes:
Figura 1.26. Relaciones entre potencias.
Se tiene, aplicando la segunda forma del teorema de Tellegen:
1 2 3 4p p p p (1.49)
Ejemplo 1.6.
Demostrar que para la siguiente red, las ecuaciones LVK y LCK implican la ley de la
conservación de la energía:
Figura 1.27. Conservación de la energía.
Si aplicamos LCK a un pequeño volumen que encierre el punto A, donde están soldadas las
componentes 1 y 2, se tendrá:
1 2 0i i (1.50)
Si aplicamos LCK en B, considerando que la corriente i2 que entra a la componente 2 es
igual a la que sale de esa componente, se tendrá:
2 3 0i i (1.51)
Si aplicamos LVK, recorriendo según reloj, al único circuito de la Figura 1.27, se obtiene:
1 2 3 0v v v (1.52)
w1 p1
w4 p4
w3 p3
w2
p2
w1 p1
w3 p3
w2
p2
i1
v1 v3
i3
i2
v2
A B
Capítulo 1. Conceptos Básicos 21
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Multiplicando (1.52) por i1, y arreglando se logra:
1 1 2 1 3 1v i v i v i (1.53)
El lado izquierdo de (1.53) es p1, la potencia que ingresa a la componente uno; y usando la
primera LCK (1.50), se logra eliminar i1 en (1.53), resulta:
1 2 2 3 2p v i v i (1.54)
Pero v2i2 es la potencia que ingresa a la componente dos, reemplazando esta potencia en
(1.54), y arreglando se obtiene:
1 2 3 2p p v i (1.55)
Usando la segunda LCK (1.51), se reemplaza i2 en términos de i3 en (1.55), y reconociendo
que v3·i3 es la potencia que ingresa a la componente 3, resulta finalmente:
1 2 3 0p p p (1.56)
Aplicando (1.36), en (1.56), se obtiene:
1 2 3( ) 0d
w w wdt
(1.57)
Es decir:
1 2 3 constante( ) ( ) ( )w t w t w t (1.58)
Que es la ley de la conservación de la energía para la red de la Figura 1.27.
Este resultado se demostrará, más adelante, de manera general.
A partir de las Leyes de Conservación de la Carga y de la Energía se pueden demostrar como
teoremas las Leyes de Kirchhoff.
Ejemplo 1.7.
Analizar el balance de energías en la Figura 1.28.
22 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 1.28. Generador y carga.
En la Figura 1.28, se cumplen LCK y LVK, por esta razón se ha identificado una única
variable corriente y un solo voltaje. Aplicando (1.36), se tiene que:
2
1
2
1
( )
( )
( )
( )
dt
dt
dt
dt
w tp
w tp
(1.59)
Si la energía 1w disminuye, la potencia 1p es positiva, y fluye energía eléctrica hacia afuera de
la componente a la izquierda.
Si la energía 2w aumenta, la potencia 2p es positiva, y fluye energía eléctrica hacia el interior
de la componente a la derecha.
Debido a (1.43), se tiene que 1( ) ( ) ( )t v t i tp
Debido a (1.39), se tiene que 2 ( ) ( ) ( )t v t i tp
Lo cual implica que potencia que sale de la componente a la izquierda, debe ser igual a la
que entra a la componente a la derecha.
1 2( ) ( )t tp p (1.60)
Reemplazando (1.60) en (1.59) se obtiene:
1 2 0( ) ( )d d
dt dt
w t w t
(1.61)
La que equivale a:
1 2 constante( ) ( )w t w t (1.62)
a
b
v i
w2
p2
i
w1
p1
Capítulo 1. Conceptos Básicos 23
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
La cual implica que si la energía 1w disminuye, entonces 2w aumenta.
Las cargas, dentro de la componente a la izquierda, circulan desde un potencial bajo a uno
alto; mientras que en la componente a la derecha circulan desde un potencial alto a uno bajo.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.1.
Para la red de la Figura E1.1:
v
i
p pi
Figura E1.1
a) Si p=-3 v = -2 calcular i.
b) Si i=-2 y p=2 calcular v.
c) Si p=4 calcular pi.
d) Con i=1 y v=2 calcular p.
Ejercicio 1.2.
v1
i
p
v2
Figura E1.2
a) Si v1=v2 calcular p
b) Si v1=2, v2=4 y p=4 calcular i.
c) Si i=-2, p=5 y v1=0 calcular v2.
d) Calcular i en términos de v1, v2 y p.
24 Teoría de Redes Eléctricas
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Índice general
CAPÍTULO 1 .............................................................................................. 1
CONCEPTOS BASICOS ............................................................................ 1
1.1. DEFINICIONES ................................................................................................................ 1 1.2. COMPONENTES Y VARIABLES ....................................................................................... 1 1.3. SISTEMAS DE REFERENCIA PARA MEDIR POSICIONES .................................................... 2 1.4. VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS ................................................................................. 4
Ejemplo 1.1. ..................................................................................................................... 6 1.5. LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA .......................................................................... 7
Ejemplo 1.2. ..................................................................................................................... 8 1.6. LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK) .................................................................. 9 1.7. CONCEPTO DE VOLTAJE EN FUNCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO ...................................... 9
Ejemplo 1.3. ................................................................................................................... 14 1.8. LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF ............................................................................... 14 1.9. POTENCIA Y ENERGÍA EN UNA COMPONENTE .............................................................. 15
Ejemplo 1.4. ................................................................................................................... 17 1.10. TEOREMAS DE TELLEGEN .......................................................................................... 18
Ejemplo 1.5. ................................................................................................................... 20 Ejemplo 1.6. ................................................................................................................... 20 Ejemplo 1.7. ................................................................................................................... 21
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 23 Ejercicio 1.1. .................................................................................................................. 23 Ejercicio 1.2. .................................................................................................................. 23
ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 24 ÍNDICE DE FIGURAS. ........................................................................................................... 24
Índice de figuras.
Figura 1.1. Componente de dos terminales. ................................................................................. 2 Figura 1.2. Referencia para posiciones en el espacio. .................................................................. 2 Figura 1.3. Otro sistema de referencia.......................................................................................... 3 Figura 1.4. Distancia entre objetos. .............................................................................................. 3 Figura 1.5. Referencias para distancias. ....................................................................................... 4 Figura 1.6. Conexiones de instrumentos. ..................................................................................... 4 Figura 1.7. Otra forma de medir variables. .................................................................................. 5 Figura 1.8. Variables de la componente. ...................................................................................... 5 Figura 1.9. Otros símbolos para la polaridad. .............................................................................. 6 Figura 1.10. Referencias para variables. ...................................................................................... 7 Figura 1.11. Conservación de la carga. ........................................................................................ 7 Figura 1.12. Neutralidad de carga. ............................................................................................... 8 Figura 1.13. Componente con carga total cero. ............................................................................ 9 Figura 1.14. Relación entre voltaje y campo eléctrico. .............................................................. 10
Capítulo 1. Conceptos Básicos 25
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Figura 1.15. Fuerzas sobre la carga. ........................................................................................... 11 Figura 1.16. Energías.................................................................................................................. 12 Figura 1.17. Voltajes en un camino cerrado. .............................................................................. 13 Figura 1.18. Suma de voltajes. ................................................................................................... 14 Figura 1.19. Energía w en una componente. .............................................................................. 15 Figura 1.20. Conservación de la energía. ................................................................................... 15 Figura 1.21. Varios flujos de energía. ........................................................................................ 16 Figura 1.22. Referencia para la potencia que ingresa. ................................................................ 16 Figura 1.23. Potencia que sale de la componente. ...................................................................... 17 Figura 1.24. Potencia que sale. Convenio generador. ................................................................ 18 Figura 1.25. Teorema de Tellegen. Segunda Forma. ................................................................. 19 Figura 1.26. Relaciones entre potencias. .................................................................................... 20 Figura 1.27. Conservación de la energía. ................................................................................... 20 Figura 1.28. Generador y carga. ................................................................................................. 22 Figura E1.1 .................................................................................................................................. 23 Figura E1.2 .................................................................................................................................. 23