Conceptos Fundamenta Geometría

5/10/2018 Conceptos Fundamenta Geometr a - slidepdf.com

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350 E JERCIC IOS RESUELTOS

Solucion

Par restes petenciales

n + 1= * }+1=3

n+1=5

n+1=7

n "" Ul + 3uz + 2ul - U. - 3us - 2us _+ U7 (7)

1 . 6 + 3 . 4 + 2a - 1 - 3 . 2 - 2 . 3 = '7

5 + 2a = '7 = a = 1 a = 8

Elmlmera pedldo es 321146 y 321846

19. E/ nCimera de poglnas de un libra es mayor que 400 y menor que 500. SI

se cuentan de 2 en 2, sabra Ul1a;de 3 en 3 sohrcn dos; de 5 en 5 sohrnn cuatra y

de 7 en 7, sabran seis. dCuiintas piiginas ilene e/llbra?

(Oposlcion E.G.B., 1982)

Solucldn

Slendo n el ruimero de paglnas dellibro

n= ? + 1 = ? + (2 - 1) = ? - 1 }n = 3 + 2 = 3 + (3 - 1) =3 - 1

n= 5 + 4 = 5 , + (5 - 1) = 5 , - 1

n = '7 + 6 = '7 + (7 - 1) = 7 - 1

m. c. rn, ( 2 , 3 , 5 , 7 ) = zi n

Como el libra tiene un mlmero de paginas entre 400 y 500, tomamos 420

n + 1 = 420 = 419

Otra forma de resolve rlo habrfa sldo Imponiendo la Ul tima condlcicn · f + 6 en-contrando los niimeros ent re 400 y 500 que la curnplen

412, 419, 426, 433, 440, 447, 454, 461, 468, 475, 482, 489, 496

y despujis Ir tmponlendo las otras condiciones: 5 , + 4, 3 + 2 Y 2 + 1 haste lIegara que

n = 419

CAPITULO 8

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

DE GEOMETRIA

1. Plano, recta, punta, semiplano y semirrecta

PLANO. Es un conjunto de (nflnitos puntos.

El tablero de una mesa, la pared de una habitacl6n, el suelo de la clase

nos dan Idea de plano.

Los pianos no tienen groser.

Los planos par sar infinitamente grandes no se pueden dibujar enteros,

par aso dlbujarnos una par te que sa suele representar utll izando un paralelo-

grama.

Los planes se nambran per media de latras griegas 0, { 3, " 'I , _ ._

RECTA. Es Linsubconjunto de infinitos puntos del plano situados en /a

mlsma direcci6n

Las ractas se nambran par media de letras mimlsculas : T, S, t



35 2 P LA N O, R EC TA , pumo, S E MI PL AN D Y S E MI RR E CT A

Si consideramos dos planes a y (3 en eSta posicion

I

II

l . . . . . . . . . . . .

an{3=r

su lntarsecclon esta formada por un conjunto de puntos, este conjunto de

puntos s ltuados en la misma dlrecclon constl tuyen una recta.

Como es imposible tepresentar los inflni tos puntos de una recta, 1 0 hace-

mos sobre un paralelogramo utilizado para representar el plano.

En un punto hay inf lni tas rectas.

PUNTO. Es 1 0 Interseccidn de dos rectos. Se nornbran por medio de le-

tras maytisculas A, B, C, ...

51 nos fijamos en dos rectas r V s coloc;adas en esta posicion

r n s

se cortan en un punto P, tienen un punto cormin,

P

B. r.:ONCEPTOSFUNDAMENTAlES DE GEOMErnIA 35 3

Por un punto pasan inf!n!t~s rectas.

Por dos puntos pasa una sola recta.

Si sefialamos t res puntos y los unlmos con una regIa solo se obtiene una

recta cuando los tres puntos esten allneados.

Par tres puntos alineados pasa una sola recta.

SEMIPLANO. Es coda una de las dos partes en que una recto diuide of

plano.

Toda recta divide a un plano en dos samlplanos.

SEMIRRECT A. Es coda una de las dos partes en que un punto divide a

una recto.

p

Todo punto divide a una recta en dos semirrectas.

Uti lizando el plegado una cuart il la representa un plano; al doblar ia se ob-

tienen dos semiplanos, el doblez esla rec ta. Al hacer otro doblez que se cru-

ce con el anterior se obtiene el punto ,

Otra forma mas rigurasa de introducir estos conceptos fundamentales es

utilizando una exiomatlca. Para ella elegimos la dada par el Prof. P. Puig

Adam en su libra «Geornetrfa rnetrlca».

AXIOMAS DE EXISTENCIA Y ENLACE

Axioma 1. Reconocemos la existencia de inf ini tos entes l lamados «pun-

tos» cuyo conjunto lIamaremos espacio.



354 SEGMENTOS

Axiomo 2. Los puntas del espado se conslderan agr~pados en clartos

conjuntos pard ales de inflnl tos puntas lIamados «planes» y los de cada plano

en otros canjuntos parclalas de infinltos puntos lIamados «rectas»,

Axiama 3. Par dos puntas dl stintos pasa una recta y 5610una.

Axfoma 4. Par tres puntas no altneados pasa un plano y s610 uno.

Axiomo 5. 51 dos puntas de una recta estan en un plano, tados los de-

mas puntas de la recta 10estan tarnblen.

De estos axiom as se puede dedudr:

1) Una recta y un punta exterior determlnan un plano que pasa par

elias.

2) Dos ractas dl stintas que tienen un punta cormin determlnan un plano

que las contlene.

2. Segmentos

DEFINICION. 51 en una recta r sefialamos dos puntos Ay B. El conjun-

to de puntas de 1 0 recta ~ituodos entre ambos es un segmentos . Los puntas

A y B se I laman extremos:

A B

El primer punta que se nombra es el que se encuentra en primer lugar y

el ul timo punta nombrado es el que se encuentra en el u.ltimo iugar del seg-

menta.

Para trazar·segmentos se utilize la regia que slrve tarnbien para medirlos.

Dados dos segmentos puedes compararlos colocando uno sobre el ot ro

por media de un papal que ~irva de transportador a par me~io de la regl~,

pudienda ocurrlr que el primero sea menar que el segundo, tguales 0el pn-

mero mayor que elsegundo.Dos a mas segmentos se dlcen concotenodos 0 sucesiuos cuando cada

uno tiene un ext remo corrnin can e lque I~s igue.

F

c

B . C O NC EP TO S F UN DA ME NT AL ES D E G EO ME TR IA35 5

Cuandodos a mas segmentos son concatenados y estan en la mismarecta, se Ilaman consecunuos.

1M N p Q

Para surnar dos segmentos los colocarnos concatenados sabre una mls-rna recta, es declr , los ponemos consecutivos.

Para sumar varies segmentos hay que ealocarlos consecutivos. El seg-

menta suma tendra como primer extrema al primer extrema del primer seg-

menta y como segundo extrema el segundo extrema del ultimo de los seg-mentos que se SUman.

MEDIATRIZ DE UN 5EGMENTO. Es 1 0 recta perpendfcu{or trozado porsu punta medio,

Una forma de hacerlo es taman do una regia,. rnldiendo el segmento y se-

fialendo el punta medio. Can la escuadra y cartabdn se puede t razar la rectaperpendicular.

Otro procedlmiento mas sencillo consists en ut illzar solamente el com-

pas. Trazando el segmento AB y pinehando el cornpas en cada extremo del

segmento trazamos dos arcos de drcunferenda del mismo radio, que stern-

pre sera uh poco menor que lei longltud del segmento. Los dos arcos de cir-

cunferenda se cortan en dos puntos. La recta que pasa par dichos puntos esla mediatriz del segmento dado.

IIlr

I4~ji~

i!

I!

I

A B AB



356 MOVIMI ENTOS EN E L PL ANO

Una vez trazada la rnedlatrfz del segmento AB se puede comprobar que

tomando puntas de la mediatriz y unldndolos can los extremes A y B sa ob-

t ienen segmentos de igual longi tud. Las distanc!as de cada punto de la me-

dlatr iz a los extremes del segmento as la mlsma.

Slempre que se une un punta de la rnedlatnz con los extremes del seg-

menta se obtendran distancias iguales.

Todos los puntas de la rnediatri z son equidlstantes de los extremos del

segmento.

3. Movimientos en el plano

SIMETRIA AXIAL. Dos figur~s son simetricos cuando 0 1 doblar par su

eje de simema coinciden en todos sus puntas.

Considerando el segmento AB y la mediatriz trazada,

A8

doblando por la mediat ri z, los puntas A y B coinc!den. La mediatriz es el eje

de slmetri a. Los puntas A y B son sirnetrlcos.

La simetrfa axial es un mouimiento que no altera ni el tomano ni 1 0 forma

de las figuras.

B . CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRIA 35 7

Estas son slmetrias axiales

I e

A ~ - - - - t - 7 - - - - A'

~i- 8'

A A'

ii e

EIpunta s lmelrico de A es A' EIsegmento slmelrico de AB as A'B'

. j

B

A -----t.---- A'

Ii

--t--I

_ jC I C'

i e

B

B'

La ftgura slmetrlca del triangulo ABCes al trlan-

guio A'B'C'

La flgura slmelrica del cuadrllBiero ABeD as el

euadrilatero A'B'C'D'

Para que dos f iguras sean s irnetr lcas respecto de un eje todos 105puntas

de la primera deben de coincidir con los de la segunda al doblar por ei eje

de simetria,

EI slmdtrico de un punto que pertenece al eje de simetrfa es ei mismo

punta.

EI sirnetrico de un segmento que pertenece al eje de slrnetria es el rnlsmosegmento.

Para construir una figura, sirnetrica de una dada hay que ut ilizar la regIa,

escuadra y car tab6n y tambien el cornpas .

Para dibujar el slmetrico de un triangulo ABC hay que tamar los puntas

notables de la f igura, aquf son los vertices A, B Y C Y trazar perpendiculares

al ej e de simetrfa. Despues utili zando el cornpas l levar la di stancia de A al

eje, pinchando en el punta Mean el cornpas y can radio MA obtener el

punto A' _Otro tanto sa hace can B y C obteniendo los B I YC I. Par ultimo

unlendo los puntas A', B' y C' obtienes el t riangulo sirne trico a t dado.



B. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMErnIA 35 9

35 8 MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Hay figuras que tienen mas de un eje de simetr ia.1

A ~M__ A'

- - t ~ -

II

e f e 'i

EJE DE SIMETRIA DE UNA FIGURA. Es una recta que divide a una fi-

gura en dos partes iguales, de tal modo que los puntos situados a una parte

de la recta tengan su strnetrico en la otra.Los siguientes cuadrados al trazar las rectas eye I respectivainente han

quedado divldtdos en cada caso en dos partes igua!es.

I1

B ,---.....q---, B'

I

B

A

e

' -. AeA'

A '

Hay figuras que tienen un eje de simetria.

B'

Tlene t re s e Jes de s lmet ri a Tlena 4 e jes de slrnetrfa Tlene fi ejes de slrnetrla

TRASLACION. Cuando le aplicamos a una figura dos simetrfas axia/es

de ejes parolelos se ha ejeciuodo una tras/ad6n.

! I

A ~-_--- A' L A'

I I

- - ~ - - ~ - - - - 1 - - - - -B" .

e - - t - - C' -------------t------------- C·

i I

B '

B

e .. c-B

'" e'

e e'

EI primer trlangulo y el ult imo ademas de ser 19uales tlenen sus partes

igualmente dispuestas.

Puedes cornprobar que la distancia que separan los puntos A y A", B Y

B " , C Y C" es el doble que la que separa a los dos ejes de stmetrfa e y e '

paralelos.

Sobre cuadricula es fikilmente cornprobabla, basta contar los cuadraditos

que hay entre las figuras primera y ultima.

La trosleci6n es un movimiento que no altera nl e1tamano ni 10 forma nj

10 orientacion de las figures.



36 0 M O VI MIE NT OS E N E L P LA NO 8 . C ON CE PT OS F UN DA ME NT AlE S D E G EO M EI 'R JA 36 1.GIRO. Cuando Ie aplicamos a una Jigura dos simetrfas axioles de ejes no

paralelos (se cortan en un punta) se ha ejectuodo un giro.Axioma 3. Ningun movlmiento puede t ransformar un segmento 0 un

angulo en par te del mismo.

Axioma 4. La transfarmaci6n resultante de aplicar dos movlmientos su-

cesivos es otro movimiento.

Axioma 5. La transformac!6n inversa de todo movimlento es otro rnovl-

miento.

4. Angulos

DEFINICION. Angulo es el conjunto de puntas del plano comprendido

entre dos semirredas de origen cormin. .

La flgura F' se ha obtenido par sl rnet ria de la F.

La flgura F" se ha obtenldo par simetrfa de la F' .

La figura F" no es si rnet rica de la F.La figura F" no es trasladada de la F.La flgura F" se ha obtenldo mediante un giro.

~8

Utilizando e l cornpas puedes comprobar que pinchando en el punta 0

de corte de los ejes eye', los puntas notables de los trlangulos se encuen-

tran en el mismo area. Es decir A, A' y A" esmn en un arco; S, S' y Bit es-

tan en otro area y C, C' y C" estan en otro arco,

Siempre que sa mueve una figura F en un plano ha sido producida par

una t raslacl6n, par un giro 0 par una slmetrfa.

Mediante un movimiento el tomano y 1 0 forma de las figuras no sufre 0 1 -

teraci6n.

Las dos semirrectas son los lados del angulo y el punto cormin es el ver-

tlce.

Para nombrar los angulos 1 0 hacemos con la letra maytlscula del ver tlce y

un angullto sobre ella 0 tarnbidn eon tres letras, la del vertice y una de cada

semirrecta.

6. . . . . . . . . .

y AOS

Para eomparar dos angulos no hay que f[jarse en que los lados sean mas

o menos la rgos porque como son semirrectas las podemos dlbuj ar mas lar-

gas 0mas cortas. Hay que fij arse en que los lados esten mas 0menos abler-

los.

Axioma 1. Los movimientos del plano son transformaciones puntualas

biunfvocas del mismo.

Axioma 2. Tada movimienlo conserve las relaciones de incldencia y or-

denacl6n de puntas. .

B

P La Q

AXIOMAS DEL MOVIMIENTO EN a; PLANO. Al igual que hlcimos

can los conceptos del plano recogemos del Prof. P. Puig Adam de su «Gao-

metria Metrical>los axlornas del movimienlo.

AI comparar dos angulos puede suceder que el primero sea mayor que

al segundo parque los lados del primero esten mas abiertos que los del sa-



36 28. CONCEPTOS I'UNDAMENTALES DEGEOMETRIA 36 3

ANGULOS

gundo. Que sean iguales porque esten igua l de abiertos. Que el primero sea

menor que el segundo porque los lades del prirnero esten menos ablertos

que los lades del segundo.

CLASIFlCACION POR SU ABERTURA

a) Angulo llano es el que tiene sus lades en prolongaci6n sobre una mis-

rna recta y abarcan un semiplano ..

CLASIACACION paR SU COLOCACION. Dos angulos en un rnlsmo

plano pueden sero

A a B

a) Consecunuos si ti enen un lado cormin y el mlsmo vertice. EIangulo AGB es llano.

b) Angulo recto es cada uno de los dos angulos adyacentes iguales.

Los angulos A6B y BOC son consecutivos. p

b) Adyacentes SDnaquellos angulos consecutlvos que t ienen el lade nocorruin sobre la mlsrna recta.

EI angulo POR es recto.

c) Angulo agudo es e l que tiene sus lades menos abiertos que el recto.

M

Los angulos MC)N y NOP son adyacentes. E l angulo ABC es agudo.

c) Opues ios par el uer tice cuando tienen el mismo vert ice y los lades de

uno son prologac i6n de los lades del otro.

d) Angulo obtuso es el que tiene sus lados mas ablertos que el recto y

menos que al l lano.

RE

B 5 F G

Los angulos AGB y Rbs son opuestos por el vertice.

/\

EI angulo EFG es obtuso.



364 ANGULOS

Estos angulos estan relacionados par la amp'litud de la slguiente manera

Angulo agudo < Angulo recto < Angulo obtuso < Angulo l lano

-Los angulos tarnbien los podamos clasl licar aSI:

a) Angulo convexo es el que tiene sus lades menos abiertos que un an-gulo llano.

Q

R

R

,..Elangulo RMI es convexo.

EIangulo PQR es convexo.

b) Angulo cdncouo es el que t iene sus lades mas abiertos que un angulo.llano.

A

M E

. . . .El angulo XYZ es concave.

EIangulo AME es c6ncavo.

c) Angulo nu/o es el angulo convexo cuyos ladoscoinciden.

a M

• oA

EI angulo MOM es nulo.

d} Angulo total 0 completa es el angulo c6ncavo cuyoslados coinciden.

®------R. . . . .

E[ angulo HOR es completo.

Es tes angulos estan ralaclonados por la amplitud de la s iguiente manera.

Angulo nu/o < Angulo conuexo < Angulo cdncauo < Angulo completo

8. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRIA 365

MEDIDA DE UN ANGULO. Para medir los angulos util izamos el grado,

minuto y segundo sexagesimal.

a} Grado sexaqesima! es [a medida de un angulo que resulta de dlvidtr

el angulo recto en 90 par tes iguales.

Se representa escriblendo el mimero y un cero pequerio como expo-

nente.

b) Minuto sexagesimol. Si un grado sexagesimallo divldirnos en 60 par-tes Iguales, cada una de ~lIas recibe el nambre de minute sexagesimal.

Se representa escribiendo el ruirnero y una coma como exponente.

c) Segundo sexogeslmal. SI un mlnuta sexageslmal 10 dlvtdimos en 60

par tes iguales, cada una de elias recibe el nombre de segundo sexageslmal.

Se representa escrlbiendo el ruimero y dos comas como exponente.

Generalmente la medida de un angulo esta expresada en grados, minu-

tos y segundos.

ASIel angulo 35D 17' 49 H 5e lee «trelnta Ycinco grados, dleclsiete mmu-

tos y cuarenta y nueve segundos».

Para medir la arnplltud 0abertura de un angulo se uti lize el semicfrculo

groduodo a transportodor.

Un angulo dado en gradas, minutos y segundos S2 puede expresar en

segundos, basta recorder que

1 D = 60' y l' 60"

Ejempla 1. Exprasar en segundas elangulo 85~42' 16".

85tt = 85 x 60 x 60 = 306.000"

42' = 42 x 60... 2.520"

16" = 16"

. 85~ 42' 16" = 308.536"



36 6 ANGULOS

B. CONCE PT O S FUNDAMENTALE S DE GEOME T RIA 36 7

Un angulo dado en segundos se puede axpresar en grados fnlnutos y se-

gundos sexagesimales dlvldlando entre 60 dos veces siendo el primer resto

. los segundos, el segundo resto los minutos y el ultimo cociente son 105

grados.

Ejemplo 3. Sumar 48° 53' 29" y 16~42' 38"

48° 53' 29"

+ 16" 42' 38"

Ejemp!o 2. Expresar en grados, minutos y segundos sexageslmaies

425803"

64" 95' 67" ~

~ 64° 96' 7" =

= 65° 36' 7"425803

0580

403

43

l§Q_

7096

109

496

16

l§Q__

118

b)' Resto. Para restar dos angulos los superponemos. EI angulo dlferen-

cia es el determinado par los lados no comunes. La amplltud 0abertura sera

la diferencia de las ampli tudes de los angulos dados

As!

425803" 118° 16' 43"

. ,:~

,LPERACIONES DE ANGULOS

: a} Sumo. Para sumar dos angulos los ponemos consecutivos. EI angulo

suma es el determInado por los lados no comunes. La ampli tud sera la sumade las amplitudes de 105 angulos dados,

As!La medida de la resta es: 45" - 30" = 15"

Cuando las medidas de los angulos vienen axpresadas en grados, mlnu-

tos y segundos sexagesimales record amos 10 dicho en la suma.

Ejemplo 4. Restar 85" 45' 16" v 42" 38' 29"

Como los segundos no se pueden rasterpasamos 1 mlnuto a 60 se-

gundos quedando

B c 85° 45' 16" 85" 4 4' 7 6"

- 42° 38' 29" => - 42" 38' 29"

A + B 43" 6' 47"

La medida de la suma es c) Multipl icor par un ntlmero. AI rnult iplicar un angulo par un mirnero

natural n se obtlene otro angulo de amplltud el producto de n por la ampll-

tud del angulo dado.

". Cuando.la medida de los angulos vienen dadas en grados, minutos y se-

gundos sexagesimales hay que recordar que cada 60 segundos es 1 minutoy cada 60 mlnutos es 1 grado. Lx3



368 ANGUI .OS

Cuando la medlda del angulo vlane expresada en grados, minutos y sa-

gundos se precede asl :

Ejemplo 5. Multipllcarpor 4 el lingulo de medida 180 25' 43 w

1S" 25' 43"

x 4

72" 100' 172w=

= 72" 102' 52" =

= 73" 42' 52"

d) Division por un m1mero. El coclenta de un angulo par un mimaro

natural es otro anguJo de medlda el coc!ente de dlvidi r la medida del angulo

par n.

Ejemplo 6. Dlvldlrpor 5 el lingulo de rnedlda 86" 37' 40"

860 37'

36

1° 60 '

97'

47'2'

40" ,---= -5 _

17° 19' 32"

120"

160"10

o

BISECTRIZ DE UN ANGULO. Es l~semirrecto que 1 0 diuide en dos 6n-

gulos iguales.

Utilizando el plegado basta can dlbujar sabre una cuart ll la el angulo y do-

blando se hace coincldlr un lade con el otro.

EI doblez es la bisectriz.

B . e ON CE PT OS F UN DA ME NT AL ES D E G EO ME TR IA 369

La bisectriz de un anguJo es eje de slrnetrfa del angulo.

Otra forma de hallar la bisectriz es can el compas. Una vez dibujado el

angulo can un compas trazamos un arco plnchando en el vertice y determi-

nando dos puntas A y B en los dos lados del angulo. Con centro en estos

puntas se trazan dos arcos de igual abertura de cornpas cortandose en un

punta P. Unlendo el vert ice can P sa obtiene la bisectrlz.

I·

La rnadlda de cada uno de 105 angulos obtenidos al trazar la bisectriz as

la mltad de lamedida del angulo dado.

Ejemplo 7. Calcular cada uno de los angulos obtenldos al trazar lablsectrizdel lingulo de madlda A =125° 36'

125° 36' 2

05 62° 48'

I " 60 '

96 '

16

0

Cada uno de los dos angulos mide 62" 48'

ANGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENT ARIOS

a) Dos iingulos son complementarios cuando su sumo es un recto, as

dedr 90°

Los angulos A = 30° y B = 60° son complementar ios porque su surna

es un recto

A + B



370 ANGULOS

Ejemplo 8. Los angulos de rnedlda M = IS" 48' 37" y

N = 74" 11' 23" son complementarios porque

MN

15D 48' 37"74D 11' 23"

M+N 89" 59' 60" =90"

Complemento de un angulo esla que Ie falt a para valer un recto.

As! el cornplernento de it =36" es

Cuando el angulo esta expresado en grados, minutos y sagundos se cal-

cula aS l

Ejemplo 9. Hallar el cornplernento del angulo f: = 25" 37' 48"

90" = 89" 59' 60"

- f: = 25" 37' 48"

90" - f: = 64" 22' 12"

b) Dos iingulos son suplementarios cuando su sumo es un iingu/o llano,

es decir 180"

Los angulos it = 85° y B = 950 son suplementarlos porque

it + B =85° + 95" = 1800

Ejemp/o 10. Los angulo5 P =48027' 35" y

Q =131032' 25" son suplementarios porque

P = 48° 27' 35"

Q = 1310 32' 25"

P + Q =1790 59' 60" = 1800

Suplemento de un angulo es 1 0 que Ie falta para valer un angulo ll ano .

.As! el suplemento de F = 45~ es

1800 - F = 1800 - 450 = 1350

Cuando el angulo esta expresado en grados, minutos y segundos se cal-

cula as!

8 . C ON CE PT OS F UN DA ME NT AL ES D E G EO M ET RJ A 371

Ejemplo 11. Hallar el suplemento del angulo ~ = 105" 42' 37"

1800 179° 59' 60"

~ lOS" 42' 37"

180" - M 74° 17' 23"

5. Paralelismo y perpendicularidad

RECTAS PARALELASY PERPENDICULARES. Dos rectas son para/e-

las cuando su intersecci6n es el conjunto uccfo, no tienen. ningun punto

coman

___________________ 5

Las reetas paralelas no se cor tan.

Cuando dos rectas se cortan pueden former angulos iguales a angulos

dlstlntos. En el case de que los cuatro angulas sean iguales, las rectos son

perpendiculares,

5

M

ractas no perpendlcularas ractas perpandlculares

Dos rectos son perpendiculares cuando se carton [ormando cuatra iingu-

los iguales.

Para trazar rectas paralelas a perpendiculares dlsponernos de regIa, es-cuadra, cartab6n y cornpas.

ANGULOS FORMADOS EN DOS PARALELAS AL SER CORTADAS

POR OTRA RECTA

Dos reetas, paralelas r y s al ser cortadas por una secante m forman ocho

angulos que los enumerarnos asi '



372 P AR A LE U SM O Y P E RP E N0 1C U LA R 1D A D

m

definh~ndose:

-Angulos internos son los que estan entre las paralelas: 3 , 4, 5 y 6.

-Angulos externos son los que estan fuera de las paralalas: i,2 , '7 y 8.

-Angulos oitemos-intemos son dos angulos internes no adyacentes y si-

tuados a dist tntos lado de la secante: 3 y 5 4 y 6.

-Angulos altemos-exiemos son dos angulos extern os no adyacentes y

si tuados a dis tinto lado de la secante: iy 7 2 : y 8 .

-Angulos cotrespondienies cuando uno as interior y otro exterior sltua-

dos a un mlsmo lado de la secante y no son adyacentes:iy5 ; 2 :

y6 ;3 y 7 ; 4 y 8. .

-Angulos conjugodos internos son dos angulos internos situ ados a un

mlsrno lado de la secante: 4 . y 5 3 y 6.

-Angulos conjugodos extern os son dos angulos externos sltuados a un

mismo lado de la secante: iy 8 2 y 7.

Facllmante se puede comprobar que:

a) Dos angulos alternos-internos son 19uales: 3 = 5 y 4 . = 6.

b) Dos angulos altern os-axtarn os son iguales: i=7 y 2 : = 8.

c) Dos angulos eorrespondientes son iguales : i= 5 2 : 6

3 = 7 ; 4 . = 8 .

d) Dos angulos conjugados internes son suplementarlos: 4 . + 5 =1800

3 + 6 = 180e

e) Dos angulos conjuqados extern os son suplementarios: i+ 82 + 7

Conocida la medtda de uno de los 8 angulos se puede conocer el resto.

8 . C O NC E? TO S F UN DA ME NT AL ES D E G EO M ET RIA 373

Ejemplo. SIel angulo i= 60" elresto de angulos es

2 es suplementario de i. luego 2 = 1200

~ es opuesto por el vertice can I, ville g = 60"

4 - esopuesto par elvertlce can 2 , vale 4 - = 120"

S es correspondiente a i,son iguille5,vale S = 60"

6 es suplernentarlo a S, vale 120"

., es correspondiente a g, vale 10 rnisrno, ., = 60"

S es alterno-externo can 2, vale 10 mismo, 8 . = 120"

,-

ANGULOS DE LADOS PARALELOS

1. Angulos de lodos porolelos y del mismo sentido son iguoles.

Basta prolongar uno de los lados de cada angulo formiindose la f igura sl-

guiente

A = ipor correspondientes al ser cor tadas r y r' por 5

8 =ipor correspondfentes al ser cortadas 5 y 5' por r

Luego A = B



374 P A RAL E U SMO Y P E RP END I CU L AR I D AO

2. Angulos de lados paralelos y ' de sentido contrario son jguales.

Prolongando los lados de cada angulo se forma la figura s igulente:

.. . .-')(,/ ,

A =ipar alcaso anter ior

B =ipar opuestos por el ver tice

Par tanto

3. Angulos de lados parale/os , uno del mismo sentido y otro de sentido

contrario son suplementorios.

B . C O NC EP TO S F UN DA ME NT AL ES D E G EO M ET RI A 375

Prolongando los lados de cad a angulo sa forma las iguiente f lgura

,/, ,/

X,/ ",$

i= A por el caso anter ior

ias supJementario de B

Par tanto

r'

A y B son suplementarios

ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

1. Que los lados de uno sean perpendiculares a los lados del otro.

Prolongando los lados se forma la s iguiente f igura

I)

B



37 6 P AR AL E LI SMO Y P ER PEN D1C UL AR1D AD

que as un cuadrllatero ACBD dos de cuyos angulos son rectos (en C y en

DJ. Como la suma de los cuatro angulos de un cuadrllatero es cuatro rectos

y ya hay dos que son rectos

A + B = 2 rectos

A y B son suplemeniarios

2. Que los lados de uno sean perpendiculares a las prolongaclones porel uertice de los lados del otro.

Prolongando los lados de B par el vertice se forma un cuadrilatero

ACBD dos de cuyos angulos son rectos.

Como la suma de los cuatro angulos as cuatro rectos y dos de elias son

rectos, la su~a deA

los otros dos son dos rectos .

Como B = 1.resulta A + B = 2 rectos

A y B son suplementarlos

T

8. CONCEPToS FUNDAMENTALES DE GEoMETR1A 37 7

3. Que uno de los lados del prim'ero sea perpendicular Q un lado del se-

gundo y el afro perpendicular a la prolongaci6n par el uemce del afro lado

del segundo.

Prolongando un lado de A . por el ver tice se forma un cuadrtlatero ACBD

dos de cuyos angulos son rectos.

~,I ' C[ i \1 . _ .

- - ~ - ~ - ~ ~ ~ - - - - -D lI

. ,~

Por tanto la surna de los otros dos vale 2 rectos

i+ A . =2 rectos

Como i.es suplementar io de B tambien ies suplementar io de A .Se deduce que A . y B son 19uales

6. Poligonal y poligono

LINEA POLIGONAL. Las Ifneas poligonales esrdn formadas por seg-

mentos concatenados.



378 P O UGO NA L Y P O UGO NO

Cada segmento es un lado de la Ifnea pollgonal a poligonal . Los extre-mas comunes ados lados se llama vertice.

Las lfneas poligonales pueden ser abier tas 0 cerradas segun que tengandos extremes llbres a no.

No hay que confundir una linea poligonal dedos lados Con los lados de

Un angulo. Los Iados de la pol lgonal son segmentos, mientras que los ladesdel angulo son semirrectas.

Las I(neos paligonales abiertas estan formadas par dos 0mas segmentos

y tienen dos extremes Ilbres.

Las lineas poligonales sin extremes libres Son cerrodas.

La medida de una l inea pollgonal es su perimetro.

Las lfneas poliqonales cerradas pueden ser convexas a conccucs.

Linea paligonal canvexa es la que no puede ser cortada por una recta enmas de dos puntas.

Linea poliganal concavo es la que puede ser cortada per una recta enmas de dos puntos. .

convaxacdncava

8 . CONCEP T O S FUNDAMENTALE 5DE GEOME TR IA 379

POLIGONO. Es 1 0 porckin del plana comprendido -dentro de una pali-

gonal cerrado. La medida de un palfgana as su area.

Los lados, vertices y angulos de la Ifnea poligonal cerrada que forma el

borde del polfgono son tambian lados, ver tices y angulos del poligono.

Todos los polfgonos tienen el mlsmo mimero de lados que de angulos

que de vertices.

-Un polfgono de 3 lados tiene 3 vertices y 3 angulos, se llama t rlon-gulo.

-Un pol fgono de 4 lados Hene 4 vertices y 4 angulos, se llama cuadrl /a-

taro.

-Un poligono de 5 lados tiane 5 vertices y 5 angu[os, se l lama pentd-

gono.

-Un polfgono de 6 lados tiene 6 vertices y 6 angulos, se llama exd-

gona.

-Un poligono de 7 lades tiene 7 vertices y 7 angulos, se llama hepta-

gono.

-Un polfgono de 8 lados tlene 8 vertices y 8 angulos, se llama octo-

gono.

-Un polfgono de 9 lados tlene 9 vertices y 9 angulos, se llama en eo-

gono.

-Un polfgono de 10 lados tlene 10 vertices y 10 angulos, se l lama de-

cogono.

-Un polfgono de 11 lados tlene 11 vertices y 11 angulos, se llama en-

decogono.

-Un polfgono de 12 lados tlene 12 vertices y 12 angulos, sa l lama do-

decagona.

-Un poligono de 15 lados tiene 15 vertices y 15 angulos, se l lama pen-

tadecogono.

-Un poligono de 20 lades tiane 20 vertices y 20 angulos, se l lama Ico-

s6gono.

Los pol\gonos que tienen todos sus lados y angulos 19uales son paligo-

nos regulores. EIcent ro de un polfgono regular es un punta que equidista de

los vertices.

Un poligono se llama convexo cuando su borde es una linea pol!gonal

convexa. Se llama cdnceuo cuando su borde es una linea poligonal con-

cava.



380 POUGONAL Y POUGONO

poifgono convexe

poirgono cdncavn

EI perfmatro de un palfgono irregula r se obtlana sumando la medida detodos sus ladas.

EIperfmetro de un polfgona regular sa obtiene multlpllcando 1 0 que rnldeun lado par el ntlrnero de lados.

Ejempio 1. Elperimetro de un oet6gono regular de lade 1 5 em. es

P = 15 x 8 = 120 em.

DIAGONAL. Llamamos diagonal al segmento que une dos vertices noconsecutiuos.

Un triangulo no tiene diagonales.

Un cuadrado tlene dos diagonales.

Un pentagono tiane cinco dlagonales.

Un exagono tiene nueva diagonales.

En. ~eneral el mimero de diagonales de un polfgono vlene dada par laexpresion

D :; nrn - 3)

2siendo n rnirnero de lados

III

8. CONCEPTOS FUNDAMENTAlES DE GEOMETRIA 381

Ejemplo 2. EImirnero de dlagonales de un decagono es

D >= 10(10 - 3) =35 dtagonales2

ClRCUNFERENCIA. Las lfneas pueden ser ablar tas y carradas . En las If-

neas cerradas se puede dis tlnguir elInterior , elborde y el exter ior .

La circunferencia es una Ifnea cerrada un tanto especial porque hay un

punta 0 en su interior situ ada de tal forma que unlendo todos los puntas de

la clrcunferencia can el se forman segmentps todos elias de Igual medlda.

Circunjerencia es una lInea cerrado plana cuyos puntas equidistan de

uno interior I/amado centro.

Cada uno de los segmentos Iguales que unen el centro can los puntas de

la clrcunfarancia se llama radio.

Cuerda es el segmento que une dos puntas de la circunferencia.

Area es un trazo de circunferencia cornprandido entre dos puntas .

Dttimeiro es una cuerda que pasa par el centro.

c AB = dh~metro

CD = cuerdaA B

MO >= radio

CD = area

Una semicircunferencla es la mitad de una circunferencia.

Un radio es la rnitad de un diarne tro.

Ejemplo 3. Observando esta ftgura ascribir el nombre de los ele-

mentos fundamentales de la clrcunferencla.

A B

M

AB >= dlametro

AB =semicireunferencia

CD = cuerda

EF =dtametro

OM = radio

ON = radio

MN = cuerda

M N = areo

N



382 MEDIDA DE LOS ANGULOS DE LOSPOUGONOS REGULARES

7. Medida de los angulos de los poligonos regulares

SUM A DE LOS ANGULO S DE U N TR IANGULO . Lo sumo de los an-gulos de un triangulo es un ongulo 1I0no.

La demostracl6n es Inmediata, basta can trazar una recta r paralela a un

lado par el vertlce opuesto, teniendo la figura

A

La recta que pasa par Be y l a recta r son paralelas cortadas por dos se-

centes, la que pasa par AB y la que pasa por AC.Par tanto:

C

Bi por €ingutos altemos internes

2 par angulos altemos internos

La suma

A + B + C = A + 2 + i= 1800

SU MA DE LO S ANGULOS DE U N PO LIGO NO . Lo sumo de los angu-

los de un po/fgono es iguol 0 tantos angulos l lanos como lados t iene menosdos.

Sea el polfgono de seis lados y un punta interior cualqulera 0 r que 1 0unlrnos a los ver tices

dividtendolo en tantos triangulos como lados tiene el polfgono. Surnando los

angulos de todos estes tri€ingulos se obtiene lasuma de. todos los angulos delpolfgono mas los del vertice 0 que suman 3600•

1

B. CONCEPTaS FUNDAMENTALES DE GEOMETRIA 383

Par tantovan el casa del exagano

6 . 1800 - 3600 = 6 ' 1800 - 2 . 1800 = 1800 (6 - 2)

Como 1800 es la amplitud de un angulo llano y 6 es el m.1mero de lados

del ex€igono, se tlene que:

La sumo de /05 ongulos de un po/fgono es /guol a tan tos ongulos llanos

como lados tlene menos dos

S = 180(n - 2) ( n n" de lados)

-SI el polfgono es uh cuadrilatero

S = 180(4 - 2) 3600

-SI el polfgono es un pentagono

S =180(5 2 )

-Si el pcl igono es un oct6gono

S = 180 (8 - 2) = 1080°

Ejemplo 1, (_Cuanto vale la suma de los angulos lnter iores de unlccsogono?

Se t ra ta de un polfgono de 20 Iados

S = 180 (20 - 2) = 3240°

M EDIDA DE CADA ANGULO DE UN POUGONO REGULAR , Los

polfgonosregulares tienen todos sus angulos Iguales.

Conoclda la suma de tcdos los angulos de un polfgono y slendo todos

ellos Iguales, para canocer la medida del angulo basta con dlvidir l a suma

por el ntlrnero de lados del polfgono regular

A = 180(n - 2)

n(n n" de lades)

-SI el pollgono regular es un tri€ingulo

A = 180(3 - 2)

3



384 MEDIDA DE LOSANGULOS DE LOS POUGONES REGULARES.

-Si el polfgono regular es un cuadrado

180(4 - 2)

4

-SI el polfgono regular es un pentaqono

A = 180(5 - 2) 108"5

-Si el polfgono regular es un exagono

180(6 - 2)

6

-Si el pol fgono regular es un oct6gono

A = 180(8 - 2) _ 1350

8

MEDIDA DEL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO. Prolongan-

do uno de los lades se obt iene la figura

c

Un 6ngu/o exterior de un tri6ngu/o es igual a la suma de ./05 dos tingulos

interiores no adyacentes a € 1 .

8. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRIA 385

Ejemp/o 2. En un trlangulo equllatero un angulo exterior

SUMA DE LOS ANGULOS EXTERIORES DE UN POLIGONO. La su-

ma de los tingu/os exteriores de un poligono obtenidos prolonga~do los la-

dos de un mismo sentido del contorno es igual ados Ilanos.

Conslderando el mismo exagono anterior

"'.<,. . . . . . . ../

Cada angulo exterior es adyacente de uno del polfgono, surnando con e J

un angulo llano.

La suma de 105 angulos exteriores e interiores es tantos angulos l lanos

como mirnaro de lades t iene el polfgono. Como los inter iores suman tantosllanos como lados menos dos, es precisamente estos dos llanos 1 0 que ml-

den 105 angulos exteriores

SI =180(n - 2) 180 n - 2 . 180

SI + Se =n . 180

Se = 2·180

Cualquiera que sea el mlmero de lades del poUgono, bien sea regular co-

mo Irregular la surna de 105 angulos exterroras vale dos angulos l lanos, esdecir 3600

•

Ejemp/o 3. tCuanto vale la suma de los angulos exteriores de un

decagono?'



394 EJERC IC I OS RESUELTOS

8oluci6n

a) Como A = 180 (n - 2) = 60 ~ n = 3n

Es un trlii.nguloequllatero

b) 81 el angulo exterior es 300 el suplemento 1500 as Interior. Repltlendo el

razonamiento

A = 180(n - 2) = 150 ~ nn

12

c) 8 = 180(n - 2) =1440 => n = 10

d) Cualquier polfgono cumple esta condlci6n

e) 81 + S. = 9000 como S. = 3600 entonces 51 = 540"

51 = 180(n - 2) = 540

180n - 360 = 540 ~ n =5

CAPITULO 9

ESTUDIO DE POLIGONOS. AREAS

1. Triangulos. Clasificaci6n. Construcci6n.

TRIANGULOS. Son los po/igonos que ilenen tres lodos,

En un trlilngulo distlngulmos:

- Vertlce es el punta de intersecci6n de cada dos lados del triiinguio. Sa

saf iala can letras mayrisculas: At B, C.

-Angulo es la parte del plano comprendida ent re cada dos lados q).l€ s e

pralongan. Se sefiala con la misma letra del vertice con un angul ito encima:

A, S, C.

-Lado es cada segmento del trl~ngulo. "S1:r~a'con fa ·mlsmaleIi'a··

que su vert ice opuesto pera uti lizando letras miniisculas : at b , c.

-Perrmetra es la suma de los lados del trHingulo: P = a + b + c.

6.ABC

a

Los triangulos S8 nambran ut ilizando las letras de los vertices. Se pone

una a continuad6n de la otra y encima un triangulito.



39 6 1 R !A NGULO S . C L A 5I Fl C AC 1 0 N. CO NS TRU CC IO N

La propiedad triangular dice:

1) En todo trlangulo un lade es manor que la suma de los otros dos

a < b + C b < a + c c < a + b

a > b - c b > a - c

2) En todo trlangulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos

c > a - b

Ejemp/o 1. Un triangulo tlene de lades 4,6 y 8, cornprobar que S2

cumpie la propledad triangular

8> 6 - 4

8 < 6 + 4

4>8-64 < 8 + 6

6> 8 - 46 < 8 + 4

CLASlFICACION. Los triangulos se clasifican atendiendo a sus lados y

atendiendo a sus angulos

a) Segun sus lodos pueden ser :

- Triangu/os equiliiieros son los que tienen sus tres lados 19uales.

- Triangu/os Is6sceles son los que tienen des lados 19uales.

- Tri6ngulos escalenos son los que no tienen ningt in lade iguaL

equUatero ls6sceles escaleno

Un triangulo equilatero tlene sus tres angulos iguales.Un triangulo Isosceles tiene dos anqulos iguales.

Un triangulo escaleno no tiene ningun angulo iguaL

Los triangulos aqullateros t ienen tres ejes de s lmatr la y 105 triangulos isos-

celes uno. Los triangulos escalenos no tienen eje de simetrfa.

b) Segun sus lingulos pueden ser

- Trilingulos rectangu/os son los que Henen un angulo recto.

9. ESTUDIOSDE POUGONOS, AREAS 39 7

_ TrlCingulos acufangulos son los que tienen tres angulos agudos.

_ Tri6ngu/os obtusangu/os son los que t ienen un angulo obtuse,

c c

rectlingulo

BA

oblusangulocutangulo

, Un triangulo rectangulo puede ser isosceles 0escaleno pero nunca equi-

latero.Un triangulo acutangulo puede ser equtlatero, Isosceles 0 ascaleno.

Un t riangulo obtusangulo puede ser i sosceles 0 escaleno pero nunca

aqullatero .

Los lades que forman al angulo recto en un triangulo rectanqulo se 11a-

man catatos y ellar lo opuesto al angulo recto se llama hlpotenusa,

CONSTRUCCION: CASaS PARTICULARES

a) Tr16ngulo equilatero: Con regia y cornpas, can escuadra y car tabon,

sabre la clrcunferencla 0 con al plegado son las formas mas frecuentes de

can struirlo.

b) TriCingulo is6sce/es: Can regia y cornpas, pinchando en los dos extre-,

mas dellado desigual y can Igua l abertura, donde se corten, es el tercer ver- .

tice.

Trazando la media trlz del lade desigual, cualquie r punta de la media trlz

unido can los extremes dellado forman un triangulo isosceles.



39 8 TR1ANGULOS. CLASIACAC10N. CONsmUCC10N

c) Tri6ngules rect6ngulos: Can la escuadra y el cartab6n se construyan

los lados del angulo rec to y llevando la rnad lda de los catetos se delimitanlos dos vertices restantes.

CONSTRUCCION EN GENERAL. La construcci6n de un triangulo se pue-de raalizar.

a) Conocidcs los tres lados ,

b) Conocidos dos lados y un angulo.c) Conocidos dos angulos y un lado,

a) Construeci6n de un triangu/o conocidos sus lados: Se realiza de la s i-gu[imte forma

1) Can Ia regia se traza uno de los segmentos dados.

2) Con al ccmpas medirnos otro de 105 segrnentos dad as y pinchando

en uno de los extremes del segmento trazado, dlbujas un area de circunfe-rencia.

3) Con el compas medimos el otro segmento y trazarnos un arco de cir-

cunferencia tomando como centro el otro extrema delsegmento.

4) Los dos arcos de circunferencia sa cortan en un punta que as el ter-cer vertice del triangulo.

5) Se une este punta can los extremes del primer segmento y quedaconstruldo el triangulo.

Eiemplo 2. Construlr el trrangulo de lades conocldos,

c

b

a

a

b) Construeei6n de un triOngulo conocides des lados y un angulo:

1) Can la regia se traza uno de los segmentos dados.

2) Se traza el angulo dado tornando como uno de sus lados el dibujadocan la regla.

3) Can el compas pinehando en el vertice del angulo se safiala en el la-

do recien trazado la medida del otro segmento conocido, obteniendo as! eltercer vertice del trlangulo.

4) .S e une el punta trazado can el otro extrema obtenlendo al triangulo.

9 . ESTUDIOS DEPOUGONOS . AREAS 39 9

Ejemplo 3. Construtr un trlti~gulo conocldos dbs lades y un an-

gulo.

b

a

a

c ) Construeci6n de un triangule eenocides dos angulos y un lado:

I} Se traza el segmento dado.

2) Tornando corno vert ice un extremo del segmento se traza un angulo

que tenga como lade el segmento dado.

3) Se traza el otro angulo tornando como vertice el otro extrema del

segmento y de lado el segrnento dado.

4) Prolongando los lados de los angulos construidos se cortan en un

punto que es el tercer vertice.

Ejempio 4. Censtrulr un triangulo conocldos des angulos y el lade

comprendido.

a

2. Elementos notables de un triangulo

a

Dado un trlangulo ABC, el lade sobre el que se apoya se llama base.

Cambiando la posici6n del trlangulo se pueden obtener tres bases distintas

segun que se apoye en ellado a, en ellado b 0 en ellado c.

Como elementos notables de un triangulo consideramos: alturas , media- .

nos , mediatrfees y bisectrices.



400 E LE M EN TO S N OT AB LE S D E U N T RI AN GU LO 9. £S TU DIO S O E PO UG ON OS . A RE AS 401

ALTURAS de un trlangulo son los segmentos de perpendicular trazados

par el vertice al lodo opuesto.

MEDIANAS de un tri6ngulo son los segmentos que unen cada uertice

con el punta media del lade opuesto.

Todo trHi.ngula tiene tres medlanas.

Todo triangulo tiene tres alturas

B

B

b . Q

F b

M

Cada segmenta AP, BQ 6 CR recibe el nombre de mediana corraspon-

diente a la base a, b 6 c respectivamente.

Las tres median as de un triangulo se cortan en un punta Hamada bari-

centro (centro de gravedad) . EIpunta F es elbarlcantro del triangula ABC.

EI barlcentro es siempre un punta interior al t rlangula y tiene la propie-

dad de que a cada mediana la divide en dospartes, la mayor son los 2/3 dela rnedlana y la manor es la tercera parte de la mediana. La mayor es la

comprendida entre el vert ice y el baricentro.

51 se unen los puntas medias de cada lada de un trianqulo rasulta el

triangulo descompuesto en cuatro trianqulos iguales.

Cada segmento AE, BF 6 CG recibe e J nombre de altura correspondien-

te a la base a, b 6 c respectivamente. Se cortan en el punta 0 que es Inte-

rior. 6

Las alturas de este trianqulo MNP

H

1[

rIII III .....I' __.-"-

E j J . . - " -

B

son MH, PJ y NI que prolangadas 52 cortan en el punto E que es exterior.

Las tres alturas de un trlangulo 0 sus pralongacianes se cortan en un

punta Hamada ortocentro.

EI ortocentro puede ser un punta inter ior al triangulo ( tr iangulos acutan-

gulos), exterior (triangulas obtusangulos) 0 estar situ ados en al borde (en el

vertice del angulo recto cuando el triangulo es rectangulo).

MEDIATRICES de un triangulo son las rectos perpendicu/ares a cede la-

do trazadas por su punta medio.

Todo triangulo tiene tres rnedlatrices,



402 ElEMENTOS NOTABLES DE UN1RIANGULO

B

La perpendicular al lado a que pase par P es su mediatrlz, la perpendi-

cular al lado b que pase par Q es su mediatrlz y la perpendicular al lado c

que pasa par R es su medlatnz.

Las tres medlat ri ces de un trlangulo sa cortan en un punta Ilamado cir-

cuncentro.

Hay tria.ngulos en los que el c ircuncentro es un punta interior, en air as

pertenece a un lade y en ot ros es exterior.

El ctrcuncant ro ti ena la part icular!dad de que sl pinch amos en el can un

cornpas y ponamos el otro exiremo en un vertice del t ri angulo y dibujas una

c!rcunferencia varas que pasa par los tres vert ices del iriangulo dado. La cir-

cunferencia esta circunscrita al triangulo.

c B

Esto nos permite poder dibujar la circunferencia que pasa par ires pun-

tas, para el la basta can trazar las mediatrlces de dos segmentos que resulten

de unir dos puntas consecutlvos. Las dos media trlces se cortaran en un pun-

ta que es el centro de la circunferencia y e l radio sera la di stancia del centro

a uno de los puntos dados.

9 . ES1UDIOS DE POUGDNOS. AREAS 403

Par tres puntas no allneados pasa una y 5610una circunferencfa.

El centro 0 es unico, ya que par equtdistar de los tres puntas debe de es-

tar en las tres mediatrices coincidiendo can su unica intersecci6n.

SI los tres puntas A, B y C estuvieran altneados , las mediatrlces serfan

paralelas y no se cortarfan, no habiendo centro de 'la circunferencta. Esto

nos permi te dedr que «una circunferenda no puede tener tres puntas al inea-dos»,

BISECTRICES, son las semirrectas que tliuiden coda angulo del tTiangu-10 en dos angulos igua/es.

Todo trlangulo tiene tres bisectrlces.

La semirreda_ que pasa par AR es la bisectrlz de A , la que pasa por BSes la bisectriz de B y Ia que pasa par CT es lab isectrlz de C.

Las tres btsectrices de un triangulo se cor tan en un punta inter ior l larnadoincentro.

EJ incentro tiene la propiedad de que es el centro de la circunferenciainscrita al triangulo.

Los puntas de tangencia de la circunferencia y los lades del triangulo

unidos con el incentro miden 1 0 mismo, son radios de la c!rcunferencia ins-

crita siendo perpendiculares a los lados del triangulo.



404 CUADRILATEROs. CLAsIFiCACION. CONSTRUCCION

RESUMEN

a) En los tri6ngulos equilateros el ortocentro, bar icentro, clrcuncantro e

incentro coinciden en un mismo punta que es inter ior al trUingulo.

b) En los tridngulos is6sceles el bar lcentro, ortocentro, clrcuncantro e In-

centro son puntos Interlores altrianqulo pero no coincidentes.

c) En los triangulos €Sea/enos el barlcantro y el incent ro siempre son

puntas interiores. El ortocentro y el circuncentro pueden ser puntos inter io-

res exterlores 0 estar en aIglin lado.--':d) En 105 trfangulos acutdngulos el ortocentro, bancentro, circuncentro e

incentro son puntos interiores.

e) En los tridngulos rectcingulos el ortoc:entro es el vert ica del angulo rec-

to. EIctrcuncentro es elpunta media de la hlpotenusa.

EJemplo. Dlbujar un t ri angulo rec tangulo i sosceles sabiendo que su

hipotenusa mide 10ern.

Sabemos que al clrcuncan tro esta en el pun to mad lo de la hlpotenu-

sa y que es isosceles, luego basta con construir una circunferenda de

radio la mltad de la hlpotenusa . Elve rt ice del angulo rec to se encuent ra

en el extreme del radio perpendicular al diametro (hipotenusa).

A

3 . Cuadriliiteros. Clasificad6n. Construcci6n

CUADRILATEROS. San los polfgonos que tienen cuatro lados.

A

c

D

9. ESTUDIOS DE POUGONOS. AREAS 405

Los cuadrtiateros tienen cuatrovartices, cuatro angulos y cuatro lados.

La suma de los angulos de un cuadrilatero es 3600•

Los cuadrilateros tienen dos diagonales.

Los cuadrilateros t ienen dos pares de lados.

CLASIFICACION. En los cuadrllateros puede suceder

a) •Que los dos pares de lados sean parole/os, llamandosa a estos cuadri-

lateros paraIeIogramos.

Los paralalcgramos son: cuadrados, rectanqulos, rombos y romboides.

romboldeuadrado rectangulo rombo

Los c:uadrados tienen los cuatro lados iguales, los angulos rectos y sus

dos diagonales Iguales y perpendiculares.

Los rect6ngu/os t1enen los angulos rectos perc sus cuatro lados no son

iguales. Sus dos diagonales .son iguales pero no perpendiculares.

Los rombos t ienen cuatro lades iguales y los angulos desiguales. Sus dos

diagonales son perpendicularas y desiguales.

Los romboides no tienen iguales ni sus lades ni sus angulos. Sus diago-

nales no son perpend!culares ni iguales.

Para/elogramos son los cuadrilateros que tienen sus dos pares de lados

paralelos.

Ejemp/o I. Un rornbo tiene de perlmetro 20 em. lCuanto miden

sus lados?

Sus lades como son iguales

P = 41 => 20 = 4 . I ,.. I = 5 em.

b) Que s610 tengan un par de lados para/elos llamandose a estes cuadri-

lateros trapecios.

Los trapecios son: trapecio rectangulo , trapecio isosceles y trapecio esca-

leno.



406 C UAD R ILA TER OS . C LAS IF lC A CI O N. C ONS TRU C CI O N

/ ~

trapeclo ls6sceles trapeclo rech'ingulo trapecto escalano

Trapecio rectdngu[o es el trapecio can dos angulos rectos.Trapecio isosceles es eltrapecio can los dos lados no paralelos iguales.

Trapeelo eseo[eno es el trapecio con los dos lados no paralelos desigua-

les.

Trapecios son los cuadrllataros que solo tienen un par de lados paralalos .

EJemplo 2. En un triangulo equllatero de 10 em. de lado se unenlos puntos rnedlos de dos de sus cares, quadando la figura descom-puesta en un trlangu[o menor y un trapaclo. lCuanto miden 105 ladosdel trapecio resultante?

Completamosla figura, por 10 que del trapecloIsosceles obtenldo la base menor mide 5 cm., labase mayor 10 cm. y 105 dos lades [guBlesno pa-

ralelos 5 em.

c) Que no tangan ningun par de lados paralelos l larnandose a estos cua-

drilateros trapezoides.

rrapezolde

CONSTRUCCION

a) Cuadrado: Con regIa, escuadra y cartabon; can regia y cornpas 0sim-

plemente con escuadra y cartab6n puedes construir un cuadrado.

-Con regia, escuadra y cartab6n se dibuja el segmento, de medida co-

noclda. Daspues colocando la regIa 0el cartab6n sobre el segmento se hace

coincidl r la escuadra de tal modo que forme angulo rec to y se traza una se-

9. ESTUDlas DE paUGONOs. AREAS 407

.mlrrecta. De igual forma se hace can el otro extremo del segmento. La me-

dlda de l lade se lIeva sobre estas dos semlrrectas y par ultimo se unen los

puntas sefialados.

1 0 I

Tarnblan se puede hacer senalando ese primer punta y una vez que esta,

se traza la paralela al segmento dado Yi par ultimo, par el segundo extrema

de l segmento se traza la perpendicular que carta a la r ecta anterior obternan-

dose aSIel cuarto vertice.

S! en lugar de conocer la medida del lado se conoce la medida de la dia-

gonal , bas ta con dibujar una diagonal , t razar su medlatrlz Y ahl sef ialarnos la

medlda de la diagonal. Par ultimo se unen los extremos de las diagonales

abteniendo el cuadrado.

- Con escuadra y cartab6n teniendo la rnad lda dellado se dibuja aste Y

por cada extrema trazas la perpendicular. Par ultimo, se coloca uno de los

lados Iguales del certabon hacienda colncidir el extrema con el vertice y tra-zamos una s imirrecta que sera la diagonal , cortando a la perpendicular

opuesta. Lo mlsmo se hace colocando en el otro extrema y unlendo los

puntas sanalados. .

- Can regia y compos conocida la diagonal se traza una circunferencia

con centro el punta medio y que pase par los extremos. La madia trlz de este

segmento corta a la clrcunferenda en dos puntos que son los dos verti ces

que faltan.

b) Reet6ngulo: Con regia, escuadra y car tabon se puede realizar el dibu-

jo sigulencio lndlcaciones analogas que para el cuadrado.

c) Rombo: Can regla, escuadra y car tabdn conocidas las diagonales se

construye como en e l caso anterior del cuadrado.

d) Rotnboide: Con regia, escuadra y cartabon teniendo presente que

son d05 pares de rectas paralelas las que al cortarsa forman un romboide.

4. Otros poligonos. Construcci6n

OTROS POLIGONOS. Cuando los polfgonos ti enen todos sus lados y

todos sus angulas iguales sa dice que son regu/ares, en caso cont rario se lla -

man irregulares.



408 ornos POUGONOS. CONSTRUCCION

•Segun el ntimero de lados los polfgonos raciban nombre especial: Penta-

gonos, Exagonos, Heptagonos, Oct6gonos, Eneagonos, Dacaqonos, etc. se-

gUn tengan 5, 6, 7,8, 9, 10lados.

Cuando los polfgonos son regulares todos los angulosmiden 1 0 rnlsrno.

Cada angulo del trlangulo equllatero rnlde 60°, del cuadrado 900, del pen-

tagono 108°, del exagono 1200, etc.

CONSTRUCCION. La construcci6n de algunos pollgonos regulares re- 'sulta sencilla can la ayuda del compas. Estos polfgonos regulares son el

trlangulo, cuadrado, exagono y oct6gono.

Para ella basta dibujar una clrcunferencla y pinchando en la circunferen-

cia con la mlsma abertura seftalamos un punta sabre la circunferenda y vol-

viendo a pinchar en el punto sefialado t razamos ot ra sa fial y asf sucasiva-

mente se obtlenen sets sef iales. Unlendolas consecutivamente se obtlene un

exagono regular y uniendolas altemativamente un triangulo equilatero.

Para construir un cuadrado y un oct6gono se traza una circunferencia y

dos dlarnetros parpendlculares . Unlendo los cuatro puntos sobre la circunfe-

rencia de forma consecutiva sa obtiene un cuadrado. Trazando otros dos dia-

metros perpendiculares que formen can los antarioras 45° se obtienen otros

- cuatro puntas sobre la circunferencia. AI uni r los ocho puntos de forma con-

secutiva se obtiene un oct6gono.

9 . ESTUOIOS DE POUGONOS. AREAS 409

Tamblen se pueden construlr poligonos r~gulares con ayuda de la regia y

del sernlcfrculo graduado conocldos la ampli tud del .angulo y la medida del

lado.

Ejemp/o. Const ru ir un pol fgono regular de 12 lades,

5. Medidas de superfide

Se dlbuja una c ircunferencla y

se marcan los sals puntas sab re ella

con amplitud del cornpas [gual alradio. Daspuds determlnamos le

mltad de. esta longitud par cual-

qulera de los procedi rn lentos sef ia -

lados y esa medlda la lI evas sobre

la drcunfe renda obteniendo los da-

ce puntos que unldos consecutive -

mente determlnan el dodecagono

regular.

DEFINICION. Medlr una superjicie es elegir una unidad de medido y uer

las veces que contiene 1 0 superjicie dada a asto otra un/dad de medido.

La medida de una superflc ie depende de la unldad de medida elegida.

Dos superficies son equiva[entes cuando miden 1 0 mlsmo aunque tengan

dls tinta forma, empleando en ambas la mlsma unidad de medida.

Ejemp!o 1. Observando es tas f igures, se puede deduc ir

E A M. [EA t ' 1 1 t 7 V c ~D

F

-Las lIguras A y B son equivalentes, miden 16 cuadradttos .

-Las f1gu ras C y D son equtvaientes, mlden 15 cuadradltos .

-Las figuras E y F son equlvalentes, miden 11 cuadradltos .



410 MEO ID A S D E S U Pf fi F1 C 1 E

La unidad principal de medida es el metro cuadrado que tiene por ~u"per/icie un cuadrado de 1metro de lado. Se esctibe m2.

SUBMULTIPLOS DEL METRO CUADRADO. Los subrmilttplos del me-

tro cuadrado son el declmetro cuadrado, el centfmetro cuadrado y el milfme-tro cuadrado.

EJ decimetro cuadrado es una unidad de medida que tlene par superfi-cie un cuadrado de 1drn. de Iado, Se escribe dmz.

EI centfmetro cuadrado es una unidad de medida que tlene por superfi-cie un cuadrado de 1 ern. de lado. Se escribe cmz.

EI milimetro cuadrado es una unldad de medida que tlene par suparftclaun cuadrado de 1 mm. de lado. Se escribe mm2.

La relaclon que Jigalos submultiplos del metro es

1m2

= 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mrn-

0,01 m2 = 1dm2 = 100 cm2 = 10.000 mm!

0,0001 mZ= 0,01 dm2 = 1 cm2 100 mm2

0,000001 m2 =0,0001 dm2 = 0,01 ern! = 1mm2

MULTIPLOS DEL METRO CUADRADO. Los mtil tiplos del metro CUa-

drado son el decametro cuadrado, el hectometro cuadrado, el kilometrocuadrado y el mirlernetro cuadrado.

EI d€cametro cuadrado es una unidad de medlda que tiene par superfi-de un cuadrado de 1 dam. de lado. Se escriba dam2.

EI hect6metro cuadrado es una unidad de medida que tiene por superfi -cie un cuadrado de 1hm. de lado. Se escriba hm".

EI kil6metro cuadrado es una unidad de medida que tiene par superficieun cuadrado de 1 krn de lado. Se ascribe km2.

EI miriametro cuadrado es una unidad demedida que tiene por superfl-cie un cuadrado de 1marn. de lado. Se escrlbe mam2.

La relaclon que Jiga los rrnll tlplos del met ro es

1 mam2= 100 km2 = 10.000 hm2 = 1.000,000 darn! = 100.000.000 mZ

0,01 marn! = 1km2 = 100 hmz =10.000 damz = 1.000.000 m2

0,0001 mam! = 0,01 km2 = 1hm2 = 100 dam2 = 10.000 m2

0,000001 marn- = 0,0001 km2 = 0,01 hrn! =1 dam2 = 100 m2

0,00000001 mam2 = 0,000001 km2 = 0,0001 hmz = 0,01 dam2 = 1 m2

9. E ST UD IO S DE PO UGO NO S. AR EAS 411

RELACION ENTRE LAS MEDIDAS DE SUPERFICIE~ Se establece el

s [guiente cuadro general que sarvira para relacionar tad as las medidas de su-

perfide.

MULTIPLOSUNlOAD

SUBMULTIPLOSPRINCIPAL

mamz km2

hrn! dam2

m2

dm2 c'm2

rnm!

Puede ocurrir:

1) Que todas las unldas dadas sean de orden lgual 0super ior al orden

de la unidad en que queramos expresar la medida de la superficie dada.

Para ella habra que pasar cada unldad de superficie dada a la unidad

nueva multlplicando par 100 las yeces que sean necesarias y despuas dec-

tuar la suma.

Ejemplo 2. t '_Cuanto5 rn2 son 3 hrn", 7 darn2 y 8 rnl?

3 hrn2 ... 30000 mZ

7 darn2... 700 rn2

8 m2 = 8m2

2) Que todas las unidades dadas sean de orden Igual 0inferior at orden

de launidad en que queremos expresar la medlda de la superficie dada.

Para ella habra que pasar cada unidad de superficie dada a la unidad

nueva dividlendo par 100 las veces que sean necesarias y despues efectuar

la suma.

Ejemplo 3. ...Cuantos darn? 50n 15 ml, 7 dmz,39 ern", 98 mm2?

15 m2 ~ 0,15 dam2

7 dm2 = 0,0007 darn!39 cmz = 0,000039 dam2

98 mm2 ~ 0,00000098 darnz

15 m2, 7 dm", 39 ern", 98 rnrn? = 0,15073998 daml

3) Que las unidades dadas sean de orden Inferior, igual 0super ior al or-

den de la unidad en que queremos expresar la unidad de la superficie dada.

Se aplican los conoclmientos de los casos anteriores.



41 2 MED ID A S D E S U PE RRCI E

EjempJo 4. lCuant05 m2 son 6 darns, 15 m2 y 27 dm2

6 dam2 = 600 m2

15 m2 = 15 m2

27 drn! = 0,27 m2

6 dam2, 15 m2, 27 dm2 = 615,27 m2

MEDIDAS AGRARIAS. Adernas de las unidades de superficta estudla-

das anter iormente hay unas unidades especff icas que se utilizan para medir

superficies de terrenos de gran extension en los campos. Estas rnadidas se

denomlnan agrarlas y son: la centi6rea, el area y la hecuirea,

La centi6reo es Una medida agraria que tiene par superf icla un cuadradode 1 metro de lado , Se escribe co

1 co = 1mZ

EI area es una medida agraria que tiene por superficie un cuadrado de 1decarne tro de lado. Se esc rlba []

1 a = 1dam2

La hectarea as una medida agraria que tiene par superficie un cuadradode 1 hect6metro de lado. Se €Scribe ho

1 he = 1 hm2

Las relaciones que ligan las medidas agrar las son

1 ha = 100 a

0~01 ha = 1 a

0,0001 ha =0,01 a

10000 ca

100 ca

1co

Ejemplo 5. Un campo tieneuna medida de 8 ha, 7 a y 5 ca. Ex-presarlo en m2

8 ha = 80000 m2

7 a = 700 m2

5 ca = 5 m2

8 ha, 7 a, 5 ca = 80705 m2

9 . E S TUD lO S D E P O UG ONO S . A R EA S 413

6. Areas de figuras planes

Area de una figure plano es 10 medida de su superjicie.

Vamos a determinar el area de las flguras mas conocidas como cuadra-

do, rectangular rambo, romboide, triangulo y trapecio.

AREA DEL RECTANGULO. Sabre una cuadri'cula hay dibujado un rae-

tangulo.

b

Contando 105 cuadradltos de longitud vemos que son 6 y de altura son

4. Los cuadraditos que hay en el rectangulo 50n

24 = 6 x 4.

Area = bose x altura = b x a

£/ area de un rect6ngulo se obtiene mu/tip/(cando 10 /ongitud de 10 base

par 1 0 /ongitud de la altura.

51 la base esta expresada en una unidad de medida y la altura en otra

dist inta primero se expresan las medidas en la misma unidad.

Ejemplo 1. Calcular al area de un ractanqulo de base 50 em y dealtura 3dm

Area = b X a = 50 x 30 = 1500 em"

AREA DEL CUADRADO. Como el cuadrado es un rectangulo donde la

base y la altura son iguales

Area = lodo x lodo .

EI area de un cuadrado se obtiene multiplicondo 1 0 longitud del 1 0do por

simismo.

Ejemp/o 2. Calcular elarea de un cuadrado de hide 15 ern

A = 15 x 15 = 225 cmz



414 AREAS DE AGllRAS PLANAS

AREA DEL'ROMBO. Sabre la cuadrfcula se ha dibujado un rombo y ex-teriormente se ha sefialado un rectangulo.

Observando la figura se han farmado ocho triangulos iguales, cuatro de

ellos en el interior del rornbo y otros cuatro en el exterior. .

Conoc ldas las diagonales de l rombo D y d el area del ractangulo es basepar a ltura : A =D x d

Como el rombo ocupa la mitad

El drea del rombo se obtiene multfplieando las diagona/es y diuidiendopar 2 el resultado.

Ejemplo 3. Calcular el area de un rombo de dlagonales 15 em y

10 em

A = D x d = 15 x 102 2

75 cm2

AREA DEL ROMBOIDE. Sobre la cuadrfcula se ha dibujada un rornbot-de y marcado can puntas un triangulo ..

film

9. es romos DE POUGON05. AREAS 415

Observando la flgura se ve que el romboide se transform a en un rectan-

gulo pasando a la derecha el triangulo que se quita a la izqulerda. Par tanto,

el a rea del romboide es

Area = base x altura

EI drea de un ramboide se obtiene multiplieando /0 base par la altura.

Ejemplo 4. Calcular el area del romboide de base 8 em y alturaScm

Area 8 x 5 =40 em2

AREA DEL TRIANGULO. Sobre la cuadricula se ha dlbujado un trian-

gulo completando lafigura can otro triangulo' igual eampanlendo un rom-

beida.

~7

ftim7b

EI area del rombolde la conocemos: A = b x a. Como el romboide e s t aformado par dos trtangulos iguales, el area del t ri angulo es la mitad del a rea

del romboide.

Areabase X altura

2

EI drea del tridngulo se obtiene multiplieando 1 0 bose por to altura y diui-diendo par dos e l produdo resultante.

Ejemp/o 5. Determinar el area de un triangulo de base 10 em y al-tura 0,8 dm

A = ~ = 10 x 82 2

40 cm2



416 AREAS DE RGURAS PLANAS

AREA DEL TRAPECIO. ' Sobre la cuadricula se ha dibujado un trapecio

y marcado con puntos eltrapedo alreves forrnandose un rornboida.

~ f \ \ l t I T 1La base del romboide es la surne de las dos bases (8 + b) y la altura del

rornbolde es la altura del trapecio. EI area del romboide es A = (8 + b)a.

Como el area del trapecio es la mitad

B + bArea = --- x a

2

EI area de un trapedo se obtiene multiplicando la semisuma de las basespor la altura.

Ejemp/o 6. Calcular el area de un trapacio ractanqulo de base ma-

yor 10em, de base manor 7 em y de lado menor 5 em.

Se trata de un trapedo de bases 10em y 7 em y de altura 5 em

10+7 x52

42,5 em2

AREA DE UN POL1GONO REGULAR. Para determinar el area de un

poligono regular sa descornpone en triangulos iguales. .

9. ESTUDIOS DE POLIGONOS. AREAS 417

EI area de uno de los t riimgulos es base par altura partido por dos. La al-

tura de estos triangulos es la apotema.

Apotema de un po/igono regular es la distancia del centro del poiigono

allado.

EI area del exagono regular sera

A=6c~a)6 I x a

2

.-

como 6 I = perfmetro del exagono = P

A Perimetro x apotema _ P X a= 2 ---2-

EI area de un poligono regular es igual 0 1 producto del perfmetro por la

apotema diuidido par dos.

Ejemplo 7. Determiner el area de un oct6gono regular de lado

5 em y de apotema 3 em

A = ~ = (8 x 5) x 3

2 2

AREA DE UNA FIGURA POR DESCOMPOSICION. No siempre se ten-

dran f iguras regulares para hallar su area, muchas veees, Ia mayorfa, tendre-

mos figuras irregulares.

Para poder calcular sus areas hay que tener en primer lugar datos y me-

didas sufuclentas. Tambien hay que saber descomponer las figuras.

~C6mo se debe descomponer una figura irregular? 5iempre la debemos

descomponer en figuras cuya area sepamos calcular.

Sea la figura irregular siguien te

. ;



418 AREAS DE AGURAS PLANAS

La separarnos segiin los puntos y ponemos los datos.

A S 3 ~4 2 1 ® I B

12

6

15

6

Se ha descornpuesto en sei s figuras cuyas areas son facilmente dedu-

clbles

A - 8 x 1,54-

2

Az = 12 x 3 = 18cmz2

6cmz

A5 =15 x 6 ,:, .90 cmz

A3 = 12 x 2 = 24cm2As =~= 3cmz

2

Por tanto el area A de la f igura i rregular dada es

A = Al + Az + A] + A( + As + As

10 + 18 + 24 + 6 + 90 + 3 151 cmz

Ejemplo. Calcular el area de la slgufanta Figura Irregular (medldas

en cm)

9. ESruDJOs DE POUGONOS. AREAS.419

B

Lo deseomponemos en dos figuras un rectangulo de dimenslones

11 y 8 ern y un trapeclo isosceles de bases 11 ern, 5 em y de altura3cm

Por tanto

A = AI + Az = (11 x 8) + ( 11 : 5 x 3 ) = 88 + 24 =112 ern?



CAPITULO 10

ESTUDIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA

1. Circunferencia. Posiciones respecto a una recta.

DEFINICION. Clrcun!erencia es una Ifnea cerrada plana cuyos puntos

equldistan de uno interior lIamada centro.

Radio es cada uno de los segmentos iguales que unen al centro can los

puntas de la circunferencla.

Para dibujar una circunferencia se utiliza el cornpas.

• D

o ~ circunferencia

A E circunferencia

B E circunferencia

C ¢circunferencia

D ~ circunferencia

E E circunferencia.

51sabre la circunferencia se sar ialan dos puntos M y N se obtiene un seg-

menta llamado cuerda.Cada trozo de clrcunferencia comprendida entre dos puntas recibe el

nambre de area.

Di6met ro es la cuerda que pasa par el cent ro.

Semiclrcun!erencia es la rnitad de la circunferencia.

POSICIONES RESPECTO A UNA RECTA. Una recta puede tener tres

poslclones respecto a la circunferenda.



428 C IR CU NF ER EN CIA . P OS IC IO NE S R ES PE CT O A U NA R EC TA

a} Cuando la recta y la circunferencia no tienen ningiin punto en comlln '

se dice que la recta as exterior a la clrcunferencia.

b) Cuando la recta y la clrcunferencta tienen un punto cormin, la rectaes tangente a la c1rcunferencia.

c) Cuando la recta yla clrcunferencla tienen dos puntos cornunes, la

recta es seconte ala circunferencia.

exterior tangentesecante

Si una recta es exter ior , tangente 0 secante su distancla al centro es res-pectivamente mayor, igual 0 menor que elradio.

TEOREMA. Si una recta tiene un punto A interior y otro B exterior auna circunjerencia, iambien tiene eire punta A I interior a"mayor distancia

del centro que el A y otro punta B I exter ior a menar dlstancla del centroque el B.

La demostrackin la hacemos sobre la circunferencla.

B

1 0. E ST UD lO S OB RE L A C IR CU NF ER EN CIA 429

5ea P el pie de la perpendicular trazada par el centro a la' recta y sabre

e1 sentido PA se lleva la dlstancla r - OA obtenlendo el punto A' : AA'

r - OA.

En e1sentido BP se l1eva la dlstancla OB - r obtenlendo el punto

B' : B B' = OB - r

5e tlane

OA' > OA y OB' < OB

Por la construcclon:

OA I < OA + AA r = r

OB t > OB BB I = r

Par tanto A' es un punto Interior y B I es un punto exterior.

TEOREMA FUNDAMENTAL Tada recta que Hene un punta A interior

a una circunferencia tlene dos puntas camunes con ella.

5ea la clrcunferencla y A un punta interior siendo P

B

el pie de laperpendicular trazada pOTel centro a la recta.

EI punta P determlna dos semirrectas y l1amemos 51 al conjunto de pun-

tas interlores a la ci rcunferencia y 52 al conjunto de puntas no interiares a [a

circunferencia.

5e verlfica que:

1) En cada semlrreda hay puntas de 51 y puntas de 52 pues basta ver

que A par hipotasls pertenece a 51 y que cualquier punto B que cumpla la

condiclon PB > r esta en 5z can 1 0 que OB > PB > r.

2 ) Todo punta de [a semirreda es interior 0no interior, no cabe at ra po-

sibilidad.

1 0. E ST OD IO S OB RE L A C IR CU NF ER EN CI A43 1



43 0 P OS IC IO NE S R E lA T lV AS D E D O S C lR CU N FE R EN CI AS

3) •En el senti do definido en cada una de las semirrectas (partiendo de

P) todo punta de 51 precede a todo punta de 52 , es dedr todo punta inte-

rior precede a un punta no interior.

Estas t res condic iones son las correspondlentes a l Axiama de Dedekind

que dice: ..Dada una claslflcaclcn de los puntas de una recta en dos clases

51 y 52 que curnpla las condiciones

1) Existen puntas de la recta en una y otra clase.2) Todo punta de la recta esta en una u otra clase,

3) Todo punta de 51 precede a todo punta de 52 , exlste un punta y s610

uno P de la recta, tal que todos los puntas que Ie preceden pertenecen a la

c1ase 51 y todos los que Ieslguen pertenecen a lac lase 52 '

EI punta P recibe el nombre de /rontera de las dos clases •. Este punta P

puede ser el ultimo de la c1ase51 a el prirnero de l a c1ase 52'

Como se veriflcan los tres puntas del Axioma exis te en cada semirrecta

un punta y solo uno tal que todo punta que Ie precede en la semirrecta co"

rresponde al conjunto 51 y todo punto que Ie slgue pertenece a 52' Este

punta M pert enece a la circunferencla, luego OM = r, ya que en caso con-

trario sl Olvl > r en vlrt ud el teorema anterior otro punta precedente perte-

nacerfa a 52 y siaM < r otro siguiente de 51 can 1 0 que contradlce el

axioma.

2. Posiciones relativas de dos circunferencias

5ean dos circunferencias C y C' de centros a yO' y de radios r y r' .

Comparando la distancia d entre los centros can la suma y diferenda de los

radios r y r ' supuestos r > r ' se pueden presentar los sigu ientes casas:

1) Circunferendas exteriores: Cuando todos los puntas de la primera

clrcunferencia C son exter iores a la segunda C ' y todos los puntas de la se-

gunda C I son exteri ores a la primera C

cd> r + r'

2) Circun/erencias Interfores: Una drc~nfer~ncia C' as Interior a otra C •

cuando todos los puntas de la primera son mtenores a la segunda

d < r + r'"

EIrad io de 1a circunferencla Inter io r siempre es menor que el rad io de 1a

clrcunferencia exterior: r I < r.

3) Circun/erenclas tangentes exteriores: Dos circunferencias son tangen-

tes exteriores cuando son exteriores y t iemm un punta cormin

d = r + r'

4) Circunferencias tangentes interiores: Do~ circunferencias son~tangen-

tes interiores cuando una' es interior a la o tra y nenen un punta cornun

d = r - r'

EI radio de la drcunferencia tangente Interior slampre es manor que al

radio de la circunfl:~rencia exterior: r' < r.

432 P O S 1C lo l' :l ES R E I. AT lV A S D E DO S C lR CU N FE RE NC1 A S 10. E S TU D 10 S O BR E LA CIRCUNFERENC1A 433



5} Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntas cornunes.

c

Hay puntos de la drcunferencia C que son interiores a la circunferenciaC'.

Hay puntas de Ia circunferenc la C' que son interiores a la ci rcuferen-cia C.

Las dos clrcunferenclas C y C' t ienen dos puntas comunes.

Obsarvando el tritingulo ~PO' de lades r, r' y d vemos que se cumplenestas dos condiciones

d > r - r' y d < r + t'

ya que un lado de un triangulo es menor que la suma de los ot ros dos y ma-yor que su dlfarancla.

Tarnblen 1 0 podemos lndicar

r ~ r' < d < r + r'

6} Circunferencias can centricas: Dos circunferencias son concentricas

cuando tienen el mlsmo centro.

En dos circunferencias concdntricas la distancia de 10 5 centres es cera.

Cuando las dos circunferencias son iguales, t ienen el mismo radio, 5 6 10

son validos los enunc!ados.

1} d > 2r 2} d 2r 3) d < : 2r

t

CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES. Dos circunjerencias secantes se

Ilaman ortogonales cuando se cor tan de tal manera que las tangentes en ca-

da uno de los puntas comunes son perpentliculares entre sf.

Las circunfe rencias C y C' de centros a y a' y radios r y r' son secan-

tes y adernas ortogonales.

Dos circunferenclas ortogonales cumplen:

1) Los radios en los puntas de intersecc!6n son perpandlculares.

2) La tangente a cada circunferencia en cada punta de Intersecci6n pasa

par el centro de la otra circunferencia.

3) Los triangulos OPO' y OMO' son rectangulos can €ingulo recto en P

y M (puntas de corte de las dos clrcunferenclas] .

Se cumple:

EJemplo. Dos drcunferenelas ortogonales tienen de radios 8 em y

6 em. l.eual es la d!stancia entre sus centres?

d2 ~ 82 + 62 = d =.J 64 + 36 10 em

3. Angulosenla circunferencia

ANGULO CENTRAL Es un Cingula cuyo uerti ce estd en el centro de la

circunferen cia.

. . . .AOS es un angulo central

434 ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA



Los puntos de la clrcunferencth lnter lores al angulo central forman el ar-

co correspondiente al angulo central.

En una mlsma clreunferenc!a a angulos centrales Iguales corresponden

arcos 19uales y a areos iguales eorresponden angulos centrales iguales. Existe

un isomorflsmo aditivo ent re los angulos cent ra les y los a reos correspon-

dientes.

El arco correspondlente al angulo central y el angulo central se miden en

grados 0en radianes.

Un radian es la medida de un angulo central cuyo arco tlene una longl-

tud 19ual al radio de la c!rcunferencia.

A

AOB =1radian

Cuando el angulo central mlde un llano el arco es una semicireunfe-

renda. .Cuando el angulo central mide un recto el arco se llama euadrante.

ANGULO INSCRlTO. Es un angulo conuexo cuya uartice esta en (a cl r-

cunjerencio.

"l angula ABC esta inscrlto a la circunferencla.

'"EI angulo MNP no esta inscrito, ya que no es convexo.

10. ESTUDIO SCBRE LA CIRCUNFERENCIA 435

Teorema: «Todo Cingula inscr itoa una circun/erencia mide la mitod del

orca comprendido entre sus lados»,

Tarnblen se puede anunclar como: ..Todo angulo inscrito en una circun-

ferancla es igual a la mitad del angulo central que conprende el mismo

arco»,

Se pueden presentar tres cases de angulo inser lto.

a) Que uno de los lados del angulo pose por el centro de la ctrcunfeien-

cia.

Para demostrarlo, unlrnos con e l centro el punta A, formandose e l trian-

c

t:,.

gula AOB que es is6sceles, pues los lados AO y OB son radios de la circun-ferenda y los angulos O J X B y ABO son iguales. .

El angula cent ra l A6c que es exterior a l t riangula AOB mide

J\ A A A

AOC = OAB + ABO = 2 ABO

luego

... '" 1 .....ABO = ABC = - AOC

2

El angula inscr ito mide la mitad del arco cornprendido entre sus lades .

b} Que el centro de la circunjerencia esta en el interior del angulo.

B

c

436 ANGULOS ENLA ClRCUNFERENCIA 10. ESTUDIO saBRE LA C1RCUNFERENC1A



.Tomamos los radios en A y en C y el diametro en B, f~rmandose la fl-

gura

B

M

- A 1 0El angula ABM par el caso anterior va le: ABM = 2A M

- 011\El angula CBM par elcaso anter ior vale: CJjM =2"MaC

luega

.... A AI" 1" I"ABC = ABM + MBC =-AOM + -MaC = -AOC

2 2 2·

El angulo Ins tr lto mlde la mi~d del arco comprendido entre sus lades.

c) Que el centro de la circunjerencia est€ en el exterior del angu/o.

Trazamos los radios en A y en C y e l diarnet ro en B, formandose la fi-

gura B

A

437

5e tiene

A!3C = ARM - CBM

Conslderando el angulo Inscrl to ARM, par e\primer caso

1\ 1 /\ABM = -AOM

2

A

Conslderando el angulo Inscri to CBM, par elprimer caso

CBM = _! COM2

Par tanto

. . . . . 1 ; 0 . , 1 . . . . . 1 1\

ABC = ~ AOM - - COM =- (AOM2 2 .2.

/\ 1 1\

COM) = -AOC2

EI €mguh lnscrl to mlde la mltad del arco cornprendldo entre sus lades .

Corolario: ~E\angulo inscrito en' una semlcircunferencia mlde 90°".

Es tnmedlato, pues el angulo inscri to en una semicircunferencia es el an-

gula convexo que tiene un ver tice en la circunferencia y sus lados cortan a la

clrcunferencla en 105 extremes de un dlarnetro.

A

A -" A A

Los angulos ABC, AB'C, AB"C, ABIIIC miden la mitad del angulo

comprendido entre sus lados. Como el area eomprendido es un angula l la-

no, todos los angulos indicados miden 90°.

,.. A ,.,. A

ABC = AB'e =AB"C = ABmc = 90°

438 ANGULOS EN LA ClRCUNFERENCIA10. ESTUDiO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 439



ANGULO SEMIINSCRITO. Es un angulo conuexo que tiene su oertice

en 1 0 circunjeren cia, uno de sus lados es tangente a 1 0 circunjerencia y efotro es secante

B

A

EI angula ABC es semiinscrito a la clrcunferencla

Tearema: ..Tada angula semiinscrita en una cfrcunjerencia mfde 10miiad

del angu/a central que abaTca el misma area».

Tamblen se puede enundar asl: «Todo angulo semilnscrito en una cir-

cunfereneia mide la mltad del area eomprendido entre sus lades».

Para demastrarlo trazamos el diametro perpendicular a AB y el radio enel punta B.

Se forman los angulos CBA y BaM que tienen los lados perpendicula-res , siendo iguaJes, par tanto

CBA =BOM

Como OM es perpendicular a AB en su punta media

1\ A

AOB =2 MOB

Par tanto

CBA _lAOB2

ANGULO INTERIOR. Es un angulo conuexo c~ya oert ice es un punta

interior de 1 0 circunjerencia.

Los angulas ABC y POR son lnteriores

Teorema: ..Todo angulo interior a una circunferencia es igual a 1 0 semi-

sumo del area comprendido entre sus ladas y el comprendido entre las semi-

rrecias opuestas a sus lados»,

Tamblen se puede enunciar asf: «Todo angulo interior es [gual ala semi-

suma de los angulos centrales correspondlentes a los arcos abarcados par di-

cha angulo y par su opuesto par e l vert ice".

Prolongando los lados del angulo Interior corta a la circunferencla en

otros dos puntas M y N.

Trazando la euerda AM se obt iene el triangulo ABM. EI angulo exterior a

este t ri angulo en B mide la surna de los otros dos, es deci r-

A B C=

M A E + A I V l B

Pero el angulo A M B = AA c que es inscrito abarcando e l a rco AC y elangul0 MAs = MAN .es tarnbien inscrito abarcando el arco M N

Por tanto

A 1 0 +.!.. M O A NABC = - A C 2' 2~ (AOC + MON)

440 ANGULoS EN LA CIRCUNFERENCIA10. ESTUDIO SoBRE LA CIRCUNFERENCIA 44 1



ANGULO EXTERIOR. Es un angulo conuexo cuyo uertice es un punto

exterior a la circunferencia y sus lados tlenen algun punta cormln con ella.

Tres son las posiciones a conslderar para el angulo exterior, segun que

los lados del angulo sean secantes, sea un lado secants y otro tangente 0los

dos lados tangentes a la clrcunferencia, estando siempre el ver tice exter ior a

la circunferencla.

Teorema: «Todo angUIDexterior a una circunjerencta es igua{ a 10semi-

diferencia de los angu{os centra/es cotrespondientes a los areas abarcados

par sus lades»,

Tarnbidn se puede enunciar asf: ..Todo angulo exterior a una circunfe-

rencia t iene como medida la sernldiferencia de los dos arcos determinados

en la circunferencia par los lados del angulo e inter iores al mlsmo».

La demostraci6n es Inmedlata en los tres casas:

Para demostrarla formarnos la figura

a) Que los das lados del angulo sean secanies a la circunjerencia

A

EI ~ngulo MBN BAC + ANB de donde

BAC = MBN - AI"m

Tanto MEN como ANB son lnterloresslendc su medida la mitad del an-

gulo central abarcado

MEN _ . ! _ MaN y AN B2·

_ . ! _ BOC2

Luego

BAC = _ . ! _ MC)N - _ . ! _ BOC = _ . ! _ (MON - BOC)2 2 2

b) Que los lados del Cingulo sea uno seconre y otro tangente

A

,.. .. . .. .El angulo NBM = 'BAN + ANB

BAN = NBM A~m

.... AI'"EI angulo NBM as sernilnscrlto: NBM =2NOB

- "1 "El angulo ANB es inscrito: ANB =2BOC

Luego

1 ..... I'" 1" '"BAN =2OB -2OC =2NOB - BOC)

c) Que los lados del angulo sean tangentes a 10 circunferencia

A

442 LONGrruD DE LA CIRCUNI'ERENCIA10. ESTUOIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 443



EI angi1l~ exter ior al triangulo ABC en B mtda

MBC = BAC + ACB

BAC .,; MBC - ACB

'" A

Tanto el angulo MBC como ACB son semiinscrl tos, siendo sus medldas

... 1 .....

MBC ='2BOC (c6ncavo)

- 1"ACB ="2COB (convexo)

Luego

... 1" 1 ...BAC = '2 BOC (concave) -"2 COB (convexo)

Cuando el angulo exterior tiene sus dos lades tangentes a la circunferen-

cia se dice que el angulo es circunscrita a la ctrcunierencta. Tamblan la cir -

cunferencla se dice que esta inscri ta en el angulo.

4. Longitud de la circunferencia

POLIGONOS INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA. Un pa/fgono

est6 inscrito a una circun/erencia cuando todos los vertices del palfgona per-tenecen a la circunierencta,

51 sen alamos tres puntas sobre una clrcunferencia y los unlmos obten-

dremos un trlangulo inscrito a Iacircunferencia.

51 sefialamos cuatro puntos sobre la clrcunferencla y los unimos consecu-

tivamente obtendremos un cuedrilataro inscrito a la clrcunfarencta.

A A

B

c

De esta forma sefialando los puntas que se qulara y unlendolos consecu-

t ivamente obtendremos un p~lrgono lnscr lto a la clrcunferencia de tantos Ia-

dos como puntos sefialarnos sobre la c!rcunferencia. .

Aquf podemos apllcar la medida de los anguios Insc ri tos a una c!rcunfe-

renda para comprobar que:

a} La sumo de los 6ngu/os de un tri6ngulo mide 180D

Dlbujando un triangu!o ABC Inscrito a una c1rcunferencla

A

resulta que

'" 1 ...ABC =-AOC

2

AI ...BCA = -BOA

2

A 1 ACAB = -BuC

2

ABC + BCA + CAB = ~ (A6C + B6A + B6q = ~ . 360D = 180D

de donde

A + B + C = 180D

b) Los 6ngu/os opuestos de un cuadril6tero son suplementartos

Sea e1cuadrllatero ABCD

A

B

D

444 LONGrrtJD DE LA CIRCUNFERENCIA

A ,. '"

10. ESTUDIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 445



Vamos a ver que A + C = 1800 y que B + 0 = 1800

En efecto

~ 1 A

BAD = 2" BOD (concavo)

e C 1"B 0 =2" BOD (convexo)

A+C " ~ 1( " "BAD + BCD = 2" BOD (concave) + BOD (convexo) J =

=. ! _ . 3600 = 18002

De forma analoga se ve que B y D son suplementarios.Par tanto la sum a de los cuat ro angulos de un cuadriljitero vale

A + t: + B + D = 1800 + 1800 = 3600

POUGON05 CIRCUN5CRIT05 A UNA CIRCUNFERENCIA. Un polf.gono est6 circunscrito a uno circunferencio cuando todos sus lodos son tan.

gentes a la circunferencio.Observando esta circunferenda sltuada dentro del triangulo ABC,

A

los lados del triangulo son tangentes a la circunferencia en los puntas M ,NyP. .

51trazamos las blsectricas de los angulos A , B ye del tria.ngulo se cortan

en un punta 0 Ilamado incentro y que es el centro de la circunferencia.

EI triangulo e.stti clrcunscrito a 11'1ircunferencia y 11'1ircunferencia estaInscri ta a l t ri~ngulo. EI centro de la circunferencia es el incent ro, punta de

corte de las bisectrices del triangulo. Los radios de 11'1 rcunferencia en [as

puntas de tangencia son perpendiculares a Ios lados del triangulo,

-EI radio OM es perpendicular al lado AB

-EI radio ON as perpendicular allado BC

-EI radio OP es perpendicular allado AC

Existe una drcunferencia y s610 una insc ri ta a un triangulo pera puede

haber muchos t ri angulos circunscri tos a una c ircunfe renc ia, basta con que

sus lados sean tangentes ala circunferenda.

Observando esta ot ra circunferencia sltuada dentro de un cuadrado los

lados del cuadrado son tan gentes ala circunferencia.

-EI radio OM as perpendicular allado AB en su punta media.

-EI radio ON es perpendicular al lado BC en su punta media.

-EI radio OP es perpendicular al lado CD en su punto rnadlo.

-EI radio OQ es perpendicula r al lado DA en su punta media.

En un cuadrado ci rcunscrito a una circunferencia el lado coincide can e l

dlarnetro. .

En general 5i dada una c ircunferencia nos piden que dibujernos un polf-

gono clrcunscnto se ha de seguir este camino:

I) Sefialer sabre la c ircunfe renc ia tantos puntas coma lades tenga el po-

Ifgono circunscrltc.

2) Trazar los radios correspondientes a esos puntas.

3} Trazar las tangentes a la c1rcunferenda en dichos puntas, que como

se sabe han de ser perpendiculares a los radios correspondientes.

4) Donde se corten cada dos tangentes consecutlvas saran los vertices

del polfgono clrcunscrito pedldo,

51el polfgono clrcunscrl to es regular los p un to s s ef ta la do s en 11'1circunfe-

rencla deben estar s ituados a Igua\ dis tancia unos de otros.

Los poligonos inscr itos 0 circunscri tos a una circunferencia que mas facil-

mente se dibujan son:

. 1) &6gonos regulares inscri tos que se obtienen sefialando 6 puntas so-

bre 11'1rcunferencla a una d!stancia uno del ot ro de un radio, unlendolos

cansecutlvamente.

2) Ex6gonos regulares circunscritos que se obtienen sefialando los 6

puntos de Igua\ forma que en e\ caso anterior trazando despues los radios en

dichos puntas y por i il tlmo las tangentes en dichos puntas.

446L ON Gr ru D D E L A C IR C UN FE RE NC IA



~) Tri6ngulos equilater~s fnscritos que se obtienen dividiendo le circunfe-

rencia co~o en el eKa~~no ms:n to y unlendo los puntos alternativamente.

4) Trla.ngulos eqUi/ateros Clrcunscritos que se obt lenen sefialando los t respuntos de Igual manera que en el caso anterior y desp I tr d I

t I! f ues ezan 0 as tan-gen es a a c rcun erencia en dlchos puntos.

5) Cuadrados inscritos se ob tienen trazando dos dlL tr dI J ' f arne os perpen Icu-ares en a circun erencla, determinando as! los cuatro vertices del u d d

6) Cuadrados circunscritos se obtienen sefiaJando los cuatr c ntos o.mo en al t . 0 pun os co-

caso an enor y trazando las tangentes en dlchos puntos.

LONGITUD .DE,LA.CIRCUNFERENCIA. Observa esta figura en la que

e.1cuafdrado. es ctrcunscrtto a la circunferenc!a y el eKagono esta Inscr ito en lactrcun erencla .

y slea I el lado del cuadrado, r el radio de la circunferencia y I' el lado delexagono.

EIper lmetro del cuadrado es: P = 41 = 4d

El per !metro del exagono es: P ' =61' = 6r =3d

447

La clrcunferencla esta Ins~rita al cuadrado y circunscrita al eKagono, por

tanto

Perfmetro eKagono < Longltud clrcunferencia < Perfrnetro cuadrado

P' < L < P

3d < L < 4d

"La longitud de la circunferencla se encuentra cornprendida entre tres

veces su dlametro y cuatro veces su dlametroll.

51 en lugar de circunscr ibl r a la c ircunferencia un cuadrado circunscribi -

mos un polfgono de mayor mlmeros de lados y a su vez inscrlbleramos en

lugar de un exagono un poligono regular de mayor mimaro de lades, con-

forme aumentara el rnirnaro de lades , la diferencia entre los perlmetros de

los polfgonos circunscritos y la longltud de la circunferencia saria mas peque-

ria. Igualrnente ocurrlrfa con la dlferencla entre la longitud de la circunferen-

cia y el perirnetro del polfgono regular inscrito.

Llamando P~ al peri rnetro del poifgono Inscri to de n lados y P, al perf-

metro del polfgono clrcunscr ito de n lados se t iene

P~ < L < Pn

cuando n - co la dlferencla de perimetros se hace nula. La longitud L de lac lrcunferencla es e l I fmite cor ru in de los perlmetros de poliqonos regu lares

inscritos y circunscritos.

En el cuadrado drcunscrlto se tenia: ~ =4

En el eKagono inscr ito se tenia: ~ =3d

~ < _ ! : : _ < £ ._d d· d

3 < ~ < 4

Con forme aumenta e l mlmero de lados de los polfgonos regu lares Insert -

tos y circunscritos van obteniendose sucesiones mon6tonas convergentes.

Cuando n - co

L

d

448l ON G IT UD D E L A C IR C UN F ER E NC J A

10. asnioto S O BRE L A C [ RCU N FE RE NC[ A 449



la raz6n entre la longltud de la cireunferenela y su di~metro es una constanteque se das lg na p or la letra griega 1l".

Para determinar 1l "basta con hallar la longitud de una cireunferencia y di-vidir por su dlametro.

Conocido el valor de 1l "la longitud de eualquier otra cireunferencia se ob-tiene multiplleando su diametro por 1l "

L = 1l"d = 21l"r

La {ongitud de una circunferencia s e o bt ie ne multiplicando por 2 y por 1l "el radio de 1 0 circunferencia.

~I mirn ero 1 l"tiene muehfsimas cifras decimales, es u n rn im ar o irracional,aqui ponernos algunas

11' = 3;14159265358979323846 ...

Se sualen tomar las dos primeras: 11 ' = 3,14.

Ejemp/o 1. c',Cuanto mlde la longltud de una cireunferencla de ra-dio 10 em?

L = 21fT= 2 . 'If" • 10 = 20 7r em

Ejemp/o 2. lPuede medir l a longitud de una c ircunferencia 12,36

metros sl su radlo es 2 m?

7r = _.!:_ = 12,56 = 3 14 m2· r 2 . 2 '

LSI porque el eoclente - = 7r

d

LONGITUD DE UN AReO DE CIRCUNFERENCIA. Recordanda que

area de una cireunferencia determlnada por un angulo central es el trozo de

circunferencia camprendlda entre los dos lades de este, podemos deducir:

-Si el angula central mide 3600, la longltud del arco de circunferenciasera Ia misma que la de la circunferencia

-SI el angulo central mide 1800, la longitud del arco de circunferenciasera Jamltad de Jalongitud de Jaclrcunferencia

LLIDO = - = m

2

-Si el angulo central mlde 900, la langitud del arca de circunferencla

sera lacuarta parte de la longitud de la eireunferencla

L mL90 = '4 = 2

De este modo la langitud de un arco de clreunferencia eorrespandiente a

10 sera la longitud de [acireunferenda divldlda por 360

L 2mL l = 360 360

SI el angulo en lugar de rnedlr 10 mlda n"

L 2mL . =360 x n = 360 X n

La /o r1 gitu d d e u n arco de circunjerencia correspondiente a n grados es

igual a 1 0 longitud de 1 0 circunferencia par n y diuidido par 360.

27r rL=--xn

360

Ejemplo 3. lCuanto vale Ia longltud de un arco de circunferenciaque abarca 720 sabiendo que el radio es 2,5 m?

L =2m 2 . 1l' • 2,5 x 72360 x n = 360 7r m.

5. Area del circulo, sector, segmento, corona y trapecio circular

AREA DELCIRCULO. Cfrculo es el conjunto de puntos del plano que

quedan dentro de fa circunjerencia.

La circunferencia es una lfnea y hernos rnedldo su iongitud, ei cfrculo as

una superficie y medimos su area.

EJ centro y el radio del circulo son el centro y el radio de la circunferen-

cia que 1 0 rodea. .

Para hallar el area de un circulo partlmos del area de un pollgono re-gular.

EIa rea de un polfgono regular es

A = perfmetro x apotema

2

450 AR EA D E L C I R C UL O , S E C TO R . S E GM E NT O , C O R DNA V T R AP EC IO C IR C U LA R1 0. E ST UD iO s aB RE L A C IR CU NF ER EN CI A 451



SI el poligono regular inscri to a la circunferencia tuviera muchfsimos la-

dos su perfmetro ser la la longitud de la clrcunferencia y su apotema el radio,

par tanto

A = ~ = 2m x r = m22 2

Elarea de lin circu/o se obtiene multiplicando par 1r el cuadrado del ra-

dio.

A = 1 r r 2

Ejemp/o 1. La longitud de una clrcunfarencla as 31,4 m. r,Cualas

el area del c1rculo?

L = 2m = 31,4 => r = 31,4 = 5 m2 7 1 "

A = m2 = 3,14 x 51= 78,5m2

AREA DEL SECTOR CIRCULAR. La parte de cfrcu/o comprEmdida en-

tre un area y los radios que pasan par sus extremos recibe el nombre de sec-tor circular

EI area del circulo m2 corresponds a un sector circular de angulo central

3600• A un sector circular de angulo central 1D correspondera de area

5i el angulo central mide n grados, el area del sector circular correspon-

diente sera

El area de un sector circular correspondiente a n grados es igual al drea

del circulo por n y diuidldo por 360

SI el angulo central mlde 1800 el area del sector circular es la mitad del

area del circulo, as el area del 'sarnlcfrculo.

EJemp/o 2. Calcular el araa de un sector circularde 600 en un clr-

culo de radio 12 em

An

360

7 1" • 121 X 60 = 24 ' 1 l ' cm2

360n

AREA DEL SEGMENTO CIRCULAR. Un segmento circular es cada una

de las partes del circulo IImitadas par una cuerda y uno de los areas com-

prendidos entre sus extremos

El angulo central convexo cuyos lados pasan par las extremos de la

cuerda es I 'l langulo correspondiente a una cuerda.

EI drea del segmento circular es el drea del sector circular menos el area

del triangulo· formado par los dos radios extremos y la cuerda correspon-

dienie.

c:Area segmento = Area sector circular - Area tri6ngulo DAB

Ejemp/o 3. Determlnar el araa del segmento circularcorrespondlen-

te a un angulo de 90Q en una circunferencla de radio 10 ern.

n2 'l r' 101-Area del sector: A. = 360 X 90 = 360 x 90 = 25 'lrcmz

• 10 x 10-Area del triangu\o rectangulo: A = 2 = 50 cm2

-Area del segmento circular: A = 25'lr - 50 = 25('lr - 2) cmz

4 52 A RE A D EL C IR CU LO , S EC TO R, S EG ME NT O, C OR ON A Y T RA f' EC IO C IR CU LA R 1 0. E ST UD IO S OB RE L A C IR CU NF ER EN CI A 4 53



AREA DE LA CORONA CIRCULAR. Una corona Circulares el conJun-

to de puntas comprendldos entre dos circunjerenctos concentrlcas.

Llarnando R al radio de la clrcunferencla mayor y r al radio de la circun-ferencia menor se tiene

EI area de la corona circular sera la diferencia de estes dos

EI area de fa corona circular es igual af area del cfrculo mayor menos elarea del c(rculo menor

Ejemplo 4. Calcular el area de la corona circularcomprendida entredos circunferenclas de radios B y 5 cm respactivamenta

AREA DEL TRAPECIO CIRCULAR. Trapecio circular es la parte de co-

rona circular comprendida en un Cingula central

L1amando R al radio de la drcunferencia mayor y r alradio de la circ'un-

ferenda menor , al area del trapecio circular se obtandra como diferencia del

area del sector circular del cfrculo mayor y el area del sector circular del cfr-

culo menor de amplt tud la correspondiente alangulo central

11HZEl area del sector circular mayor es: A M =360 x n

'/lT

Z

EI area del sector circular menor es: A", =360 x n

La diferencia

'1rR2 '/lT2 ' 1 r T IA =-- x n - -- x n = __ ( H Z - rZ)

360 360 360

EI area del trapecio circular uiene dada par el Cireade la corona circular

multiplicada par el ntlmero de grados y dil1idido par 360

'1 r(R2 - il)A = x n

360

Ejemplo 5. Deterrninar el area del trapec:io circular cornprandldo

entre dci~clrcunferenclas de radios 10 ern y 8 em y un angulo de arnpli-

tud 60 D

A ='1 r(R Z - rZ)

36 0x n

- ..,.;~ ..



CAPITULO 11

RELACIONES METRICAS EN UN

TRIANGULO

1. Teorema de Thales. Aplicaciones

HAZON DEDOS SEGMENTOS. Oados dos segmentos AB y A'B' se

define la raz6n de dichos segmentos como el mlmero k por el que hay que

mult iplicar la Iongitud del segundo segmento para que nos de la del prirnero.

~=kA'B'

Ejemp!o 1. Dados los segmentos AS de longitud 2 em y A'B' delong!tud 1 em.

Raz6n = ~ = ~ = 2AB' 1

SEGMENTOS PHOPORCIONALES. Se dice que los segmentos AB,

CO, EF, ... son proporcionales a los A'B', C'O', E'F', ... si c ada uno de

los pr irneros t iene su correspondiente en los segundos y las razones entre los

segmentos correspondlentes son iguales

AB CD EF

A'B' = C'D' = E'F' = k

466 TEoREMA DE THALES. APUCACloNES

Ejemp/o 2. Los segmentos AB, COy EFtienen como longltud

11. RELACIONES MErnICAS EN UNTRIANGULO 46 7



b kI---_~l

F'' B' C' D E'

la mi tad que los A'B', C'O' y E'F'

AB CO EF 1A'B' = C'O' = ~ = '2

Los segmentos AB, CO y EFson proporclonales a los A'B', C'O'yE'F'

SEGMENTOS CORTADOS POR PARALELAS. Supongamos un sls ta-

rna de rectas parale las que son cortadas por dos secantes.

Este sistema de paralelas corta a las dos rec tas secantas en los puntas At

B, C, DyA', B', C', D'.

Si AB = CD tamhil~n A'B' = C'D'

En efecto trazando por A y por C una paralela a la otra recta secante m'

obtenemoslos puntos M y N y sanalando los angulos Cl, {J, 7 Y Cl' t {3', 7' se

tiene:

-Par hip6tes is :

AB CD

-Par angulos correspondientes en rectas paralelas cortadas par una se-

cante

Cl

{3

0:'

Par tanto los des trlangulos con un lado igual y dos angulos igua les ten-

dran tarnblen igua les los ot ros dos lados y e l tercer angulo

AM = CN

Como AA'B'M' y CC'D'N son para lelogramos

AM A'B' y CN = C'D'

y par tanto: A'B' =C'D'

Esto nos permite enunciar el siguiente

Teorema: «Sf varias paralelas son cortadas por dos secantes, a segmen-

tos iguales entre side una de estas corresponden segmentos Iguales entre si

de 1 0 otra».

Acabamos de ver que:

AB = CD y A'B' C'D'

siendo AB '* A'B' y CD * ' C'D'

Sin embargo

AB

A'B'k-~, C'D'

k

siempre son proporcionales

AB

A'B'

CD

C'O'k

ya quesl AB =CO Y A'B' =C'O' tarnbldn

AB CD

468 T E OR E M A D E T H AL E S. A PU C AC IO N ES1 1. R EL AC [O NE S M E TR lC AS E N U N T RI AN GU LO 469



Ejemp/o 3. Sea laf lgura

AB ... BC y A'B' ""B 'C'

A

u

B

c

AB 3 BC 3 AB BCA'B' ... 4" y B'C' = 4"'" A'B' = B'C'

TEOREMA DE THALES. Si ires 0 mas parale/as son cortadas por dos

secantes m y m', ios segmentos determlnados por los puntos de interseccl6n

sobre una de ellas m, son proporcfonales a los determinados por los puntos

correspondlentes en 1 0 otro m'

Dicho can otras palabras: «las paralalas divlden a las secantes en seg-

mentas proporclonales».

Sea el punto M perteneciente al segmento AB

m

La paralela a la recta r que cantiene a los puntas A y A' trazada por el

punta M es MM' slendo M' un punta del segmento A'B'

SI AM < AB ... A'M' < A'B'

Si AB = AM + MB ... A'B' = A'M' + M'S'

probando as! 1 0 1 ordenac!6n y la suma

De este modo

AB CD

A'B' = C'D';

AB _ AiB '.

CD ~ C 'D"

AB _ AC .

A 'B ' - A 'C "

Ejemp!o 4. Sea la flgura

r'

AB A'B'-=--·etc.AC A'C"

AS = 2uBC =u

CO = 3u

AItrazar paralelas par los puntas de divis ion de AB y CD el sag-menta A'B' queda divldldo en dos par tes iguales y el C' 0' en tres

partes 19uales,slendo

A'B' =2u' B'C' = u' Y C'O' = 3u'

De donde

AB _ 2u _ 2 }Ci)-3'U-'3

A'B' 2u' 2---=--=_C'O' 3u' 3

AB = A'B'

CD C'O'

De 19ualforma

AB _ 2u _ 2 }~-6U-6

A'B' 2' 2-A-'O-' ...-6-~-'=i

AB A'B'AO·- NO'

y as! sucestvamente

DIVISION DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES. Sea un seg-

menta AS que queremas dividi r en 5 partes iguales. Para canseguirla t raza-

rnos una semirrecta cua lquiera de arlgen A y sabre el la se trazan 5 segmen-

tos consacutivos iguales determinando aSIe l extrema M. Unlmos M can B y

470 S EME J AN Z A D E T R IA NGULO S1 1. R EL AC 10 NE S M ET R1 CA S E N U N 1 1l1 AN G UL O 471

51 en un triangulo ABC trazamos una paralela al lado, BC y suponemos



par cada punta de division del segmento AM t razamos paralelas a MS. Estas

paralelas dlvldan al segmento AB en cinco partes Iguales.

A

M

Par el teorema de Thales

AR RS ST TU UMAR' = R'5' = 5'T' = T'U' =~

AM_AB_ 5~-AR'--1-

Ejemplo 5. Dividirun segmento de 7 emen 10 partes 19uales

2. Semejanza de triangulos

PARALELA A UN LADO DE UN TRIANGULO. Toda paralda a un 1 0 -

do de un triangulo determine sabre [as oiro« dos a sus prolongaciones seg-mentos proporcionales a ellos.

t razada ot ra paralela por el vertice A, se podra apl lear el Teorema de Thalas.

A

Se tendra

AB =,AC

AD AE

AD

DB

AE

EC

AB _ ACDB _ EC

Recfprocamente: i tS!una recta corta ados lados de-un triangulo determi-

nando segmentos proporclonales a ellos, es paralela al tercer lade».

Los trlanqulos ABC y ADE se dice que son semejcmtes.

TRIANGULOS SEMEJANTES. Dos triangulos son semejantes cuondo

tienen sus dngulos respectiuamente iguales y sus lados hom%gos propor-

cianoles.t:,. A

Los triangulos ABC y A IB'C'

A

son seme}antessl tienen

B I ; C = C ' angulos Iguales

AB AC

A'B' - A'C'

BC

B'C'lados proporcionaies

472 S EM EJ A NZ A D E T R IA NGULO S

Se escribe

1 1 . R E LAC IONE S ME T R ICAS EN UN T R lANGULO 473



.6.ABC

.6.A'B'C'

Llarnamos raz6n de semejanza de dos trianqulos semejantes al cociente

de los rnimeros que expresan la medida de los lades hornoloqos.

En las figuras dadas

AB BC

A'B' =B'C'

AC 3=---=

A'C' 2Tambien: «La raz6n de los perfmetros de dos triangulos semejantes es

tgual ala razon de sernejanza de los rnlsmos».

Llarnando kala raz6n de semejanza

AB BC AC

A'B' = B'C' = A'C'k

resulta:

AB A'B' . k BC B'C' . k AC A'C' . k

Sumando m. a. m.

AB + BC + AC = k(A'B' + B'C' + NC')

de donde

AB + BC + ACk

A'B' + B'C' + A'C'

Par tanto

AB

A'B'

BC

B'C'

AC AB + BC + AC

A'C' A'B' + B'C' + A'C'

=k (raz6n de semejanza)

Cuan.do [a razon de sernejanza es 1los dos triangulos son !guales . Partanto, la 19ualdad es un caso particular de la semejanza

6. 6.ABC =A'B'C'

{

A = At ; B = IV; C =C'si

AB _ AC BC {AB =A'B'A'B' - A'C' =B'C' = 1~ AC = A'C'

BC = B'C'

propiedades reflexlva, slrnetrlca y transltlva

1) Reflexiva: Todo trlangulo es semejante a sfmismo

Es elcaso particular de la Igualdad

.6. 6.ABC - ABC ~

/::,. 6 6. /::,.2) Simetrica: St ABC - A' B' C' tambien A' B' C' - ABC

6. 6. /::,. /:}.3) Transitive: Si ABC - A'B'C' y A'B'C' - A"B"C" ~

/:}. '6~ABC - A"Bnc"

Par la primera semejanza

Par la segunda semejanza

6. 6.A'B'C' - A"B"C" ee

A'B' A'C' B'C'

{

AnB" = A"C" = B"CII

A ' = A " 8 ' = B" C ' = c n,

Par tanto:

Los angulos: A =A"

y multiplicando m. a. m. cada igualdad

AB A'B' AC A'C' BC B'C'X --- = --- x - -- -- = ---- x - -- --

A'B' AltB" A'C' A"C" B'C' B"C"

AC BC

474 SEMEJANZA DE TIlfANGULOS

11. RELACfONES METRfCAS EN UN TRIANGULO475

Ejemp/o 1. En al trlangulo ABC la recta MN es paraleia allado BC.



'Esta relaci6n de equlvalencla arigina una claslficad6n de los triangulos por

la relad6n de semejanza, estando en una misma clase todos los t riangulos se-

mejantes entre sf, .

PROPIEDAD FUNDAMENTAL. Toda poralela a un lado de un tri6ngulo

forma can las rectos a que perienecen los otros dos untriangu/o semejonte 01

primero.

Los tres casas que pueden presentarse son

~.-.&J ~.---, '\ I

/ '\ fA

///i

B c__~ H~' _~ ~

I "I -C I '\ I B

---d-.--------~.-M N

A.A

6-Como hlp6 tesis en el t rlangu lo ABC es MN ~BC y se pre tende demostrar

que

6. 6.ABC - AMN

Para que sean semejantes

1) Los angulos hornoloqos han de ser iguales

A = A . par cormin

B = M par correspondientes 0 alternos intern os

C = N par correspondientes 0 alternos internos

2) Los lades horndlogos proporcionales

En vir tud de laparalela a un lado de un triangulo

AM AN MN

AB = AC = BC

6. 6.Por tanto ABC - AMN c. q. d.

Sablendo que .AB = 6 em, BC = 12 em, AC = 9 em y que MN = 4 em. l.Cuanto

vateAM, AN, MByNC?

Se tlene

AB _ AC = BC => _6_ = _9_ =_g _ = 3

AM - AN MN AM AN 4

se tiene

6AM=-=2em

3

9AN =_= 3em

3

MB = AB - AM = 6 - 2 =4em

NC =AC - AN = 9 - 3 =6 em

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dados dos triangulos

ABC y A'B'C' construimos sabre el triangulo mayor ABC el triangulo

AB"C" llevando sabre ellado AB el segmento AB" = A'B/y trazando por

8" la paralela B H C " a BC

Cualquier criteria que permlta afirmar que los triangulos A'B'C I y

AB HC " son iguales nos I lavara a lasemejanza entre ABC y A' B' C'

Primer criteria: «Dos trlangulos son semejantes 5 1 t ienen un Cingulo igua/ y

propare/anales los lados que 1 0 forman».

AB5i A = A ' y AC

6. 6

ABC - A'B'C'

476 SEMEJANZA DE TRIANGULQS

En efecto:

1 1 . R E L AC I ONE S ME T R ICAS EN UN T R IANGULO 477

Por Thales:AB BC _ AC



Los trlangulos AB"C II Y A' B' C' son Iguales par tenar iguales los angulosA : y A, A'B' = AB" par construcci6n y

par hip6tesis: AB _ A'B' AB" AC"-- - -_ y par Thalas: -AB =ACAC A'C'

Luego: A'C' = AC"

AI ser iguales los trlanqulos AB"C 1/ Y A' B' C' los triangulos ABC y

A'B'C' son proporcionales.

Corolario: «Dos triangulos ractangulos can catetos proporcionalas son se-mejantes ...

Es Inmediato porque tiene un angulo Igual que es elrecto.

Segundo crit eria: l IDos tri6ngulos so~ .semejantes cuando tienen dos6ngulas respectiuamente ;guales».

SI A = A'b,. b,.

~ ABC - A'B'C'1 3 = 1 3 '

Los triangulos A' B' C' y AB"CII

tienen

A : = A ' , 1 3 1/ = B ' par ser B = B ' y AB" = A' B' por construcci6n

Luego los triangu!os A'B'C' y AB"C" son iguales y [as triangulcs ABCy A'B'C' son semejantes .

Corolario: «Dos triangulos rectangulos can un angulo agudo igual sonserneiantas».

Es inmediato porque el otro angu[o es el recto.

Tercer criterio: eDoe tri6ngulos son semejrmtes cuando t ienen sus tres 10-dos praporciono/es»

SI ~=~=~A'B' B'C' A'C'

6. 6.~ ABC - A'B'C'

En efecto:

Par hlp6tesis: AB

AB" = " " " B "C " - AC"

AB ABcomo par construcci6n A' B I =AB" se tiene A IB' - AB"

t t A'C' - AC" y B'C' = B"C"par an a -

I AB"C" y A/B'C' son Iguales par tener sus tres la -

Los triangu as .I

ABC A' B' C' son semejantes.dos Iguales y par consigulente los triangu as Y

Ejemp/o 2. En el triangulo ABC los lades AB, AC ~ B,C :n1den~es-

ctI te 4 6 y 8 em Determlnar otro t riangulo ABC semejan-e vamen, .te al prlmero euyo lado A'B' mide 2,5 em.

b,. 6. => ~ ~ ~ BCComo ABC - A'B'C' NB' A'C' =B'C'

de dande: A'C' 2,5 x 6 =3,75 y B'C'4

2,5 x 8 = 5

4

3. Teorema de Pltagoras

PROYECCIONES. Sea el triangulo rectangulo ABC con angulo recto en

A y sea 0 el pie de la perpendicular trazada desde A.

~ ~cB D a

Vamos a considerar las proyecciones de sus catetos AB y AC sabre la hi-

potenusa BC. I h IL !~n del extremo B del cateto AB sabre a ipotenusa es eproyecc 0

mismo punta B. hl IL ., del extrema C del cateto AC sobre la ipotenusa es eproyeccion

mlsmo punta C.

478 T EO R EM A D E P IT AG O RA S

La proyeccl6n del punto A extreme cormin de los catetos AB y AC es el

1 1. R E LA C IO N ES M E TR 1C A 5 E N U N T R 1A N GU LO47 9

Podemos dedr: ..E n todo trlCingulo rectangulo la altura correspondlente ~



punta D obtenldo al trazar la perpendicular a la hipotenusa desde dicho

punto A.

Las proyecclones de los puntos A, B y C sobre la hipotenusa han deter-

minado dos segmentos , el BD y eIDC.

EI segmento BD =m es la proyecckin del cateto AB sobre la h ipo tenusa

BC.

EIsegmento AC =n es la proyacclon del cateto AC sobre la hipo tenusa

BC.

TEOREMA DE LA ALTURA DE UN TRJANGULO RECTANGULO.

Repit iendo la f igura obten ida anter iormente y lIamando h a la a ltura corras-

pondlente a la hlpotenusa

~~~Co a

EI triangulo rectangulo ABD es semejante al triangulo rectangulo ABC

·por tener un anm,t1ocorrnin, el 1 3 .EI triangu[o rec tangulo ACD es semejante a l t riangulo rectangulo ABC

par tener un angulo cormin, el C.Par ser ABD y ADC semejantes al ABC par la propiedad translt lva, ABO

y ADC son semejantes entre sf.

En los dos triangulos rec tanguJos semejan tes sus dos hipo tenusas son [a-

dos hornoloqos, en dedr AB y AC son homologos.

5e t iene

AC

ASDC _ AD

-1fI)AD

despreclando la raz6n entre las hipotenusas, resulta

DC = AD ='> ADZ = BD . D CAD BD

o tarnblen

m· n

su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la dI-

vide».

E}empro1. La altura de un trlangule ractangulo divide a la htpote-

nusa en des segmentos de longitudes 4 em y 9 em. ~Cuanto mlde la al-

tura?

h = .,fTiI7fi = - . J 9 7 4 = - J 3 6 = 6 em

TEOREMA DEL CATETO. Los trlanguios rectanguios ABC y ABO son

semejantes por tener e1angulo 1 3 cornun.

A

~~~C D a

Por tanto

AB BD ADBC = AB =AC

resulta

~ =BD => AB z = Be .BD

BC AB

o tambidn

c m- =- =>a c

c2=a·m

De igual forma los triangulos redangulos ABC y ACD son semejantes

por tener el angulo C eormin.

Sa tiene

AC DC AD

BC = AC = AS

48 0 TEOREMA DE PITAGORAS

rasulta

11. RELACIONES METRICAS ENUN TRIANGULO , 48 1

En todo trilingulo rectCingu/o Id suma de los cuadrados de los cotetos es



AC DC-- = -- ~ A C 2 = BC . DCBC AC

o tarnbidn

b n_=_"" b2=a·na b

Coda cateto es media propordona[ entre /a hlpotenusa y su proyecci6nsobre ella.

Ejemp/o 2. En un trh~ngulo ractangulo ABC de hlpotenusa

BC = 16 ern la proyecc!6n del cateto ABsabre la hipotenusa es 4 ern

lCuanto mtde el cateto AB? lY al cateto AC? lY la proyecc!on del ca-teto AC sobre la hlpotenusa?

C=..;am=~=8cm

n = a - m =16 - 4 = 12cm

b = . ./ < ii i . .. ";12 ' 16 = 8 v' 3 I;m

TEOREMA DE PITAGORAS. En el t riangulo rectangulo ABC

~

h

B nD~C

por el teorema del cateto se ha obtenldo

AB2 = BC . BD v AC2 = BC . DC ( 1 )

(2)b2 =an

sumando m. a. rn. las igualdades de (1)

A BZ + A C2 =BC . BD + BC . DC BC' (BD + DC) BC 2

sumando m. a. m. las igualdades de (2)

b2 + e2 = am + an = atm + n] 02

jgual al cuadrado de 1 0 hipotenusa.

Ejemp/o 3 . Los catetos de un triangu[o rec tangulo mlden 6 ern y 8ern, lCuanto vale la hipotenusa?

1 00 " " a 10 em

La relaci6n obtenida

nos permite calcu ler la long ttud de un lade de un tri .angu lo rectangulo cono-

cidos los otros dos

a=vb2+c2

b = . . . / a 2 - c zc = . . . / a 2 - b2

Ejemp/o 4 . En un trlangu[o rec tanqulo la h ipatenusa mlde 5 cm yun cateta 3em. lCufi.ntomlda e1otro cateta?

4. Generalizaci6n del Teorema de Pitagoras

CUADRADO DEL LADO OPUESTO A UN ANGULO AGUDO, En to-

do triiingu/o el cuadrodo de un 1 0do opuesto a un Cingulo agudo es iguol a 1 0

suma de [as euadrados de los otros dos menos el doble producto de uno de

elias por [a proyeeef6n del otro sobre € 1 .

Sea el t r iang ll io ABC en las dos posiciones siguien tes

cC

48 2 GENEfiAUZACION DELTEOREMA DE PtrAGORAS

En ambas figuras trazamos la altura CD = h, en la prlme'ra el pie de la

perpendicular se encuentra enel lade AB y en el segundo D se haya en la

11. RELACIONES METRICAS EN UN TRIANGULO 48 3

Par el segundo trlangulo recHingulo CDA



prolongad6n de AB.

En "el primer easo se han formado dos triangulos rectanqulos, ADC y

COB perrnttiendonos escribir del CDB

En el segundo caso se han formado dos tri<'i.ngulos rectanqulos ADC y

CBD, permltiendo ascrlblr del CBD

En los dos casas se llega a que

pera en arnbas f lguras, del triangulo rectangulo ADC

que sustitutdo en la expresi6n anterior resulta

c. q. d.

CUADRADO DEL LADO OPUESTO A UN ANGULO OBTUSO. En todo

tridngulo el cuadrado del lado opuesto a un c1ngulo obtuso es igual a 1 0 sumo

de los cuadrados de los oiros dos rnds el dob/e producto de uno de elias par

1 0 proyecd6n del otro sabre el .

c

Sea el triangulo ABC en el que la altura es CD =h

"En el triangulo rectanguln CBD podemos escrlbir

a2 = h2 + n2 = h2 + (m + c)Z = h2 + mZ + CZ + 2 em

b1 = h2 + m2

que sustituldo en la expresi6n anterior resulta

02 = b2 + c 2 + 2 cm c. q. d.

FORMA DE UN TRIANGULO. En vir tud de los teoremas anter lores po-

demos conocer st un triangulo es ractanqulo, acutangulo u obtusangulo.

En todo tri6ngulo el cuadrado dellado opuesio a un Cingula sera menor,

igual a mayor que 1 0 sumo de los cuadrados de los otrosdos lados segan

que dicho Cingula sea aguda, recto u obtuso.

De los teoremas anteriores

-Si el angulo es agudo

-SI el angula es recto: m =0

a2 = b2 + c2

-SI el angulo es obtuso

a2 = bZ + CZ + 2 ern ~ aZ > bZ + c2

Ejemp/o1. Un triangulo tlene de lades 3,6 y 8 em. lEs ractangulo,

acutangulo u obtusangulo?

82 > 32 + 62 luego es obtusangulo

CALCULO DE LAS MEDlANAS. Sea el trtangulo ABC y queremos de-

terminar la median a correspondlente allado a en fund6n de los otras lados

byeA

48 4 G E NE R AL IZ A CI ON D E L T EO R EM A D E P IT AG O R AS

Trazando la madlana rn a Y la altura h, correspondientes al lado a pode-

1 1. R EL AC IO N ES M ET RIC AS E N U N T RIA NG UL O 485

CALCULO DE LAS ALTURAS EN FUNCI6N DE LAS MEDIANAS. 51



mos aplicar a los triangulos AMC y AMB los teoremas anterlores, resultando

2

2~MDZ = m~ +~+4 2

e2 m~ +a2

2~MD4 2

sumando m. a. m.

a22 m~+-

2

de donde

m2 2b 2 + 2e z - a2u

4

r n u.. J 2bz + 2cZ - 0

2

Por analogo razonamiento se obtendrfa

.. J 202 + 2c2 - b2

2

e'l.

2

Ejemp[o 2. Datermlnar las tres rnadlanas del Iriangulo de lades 3, 6

y8cm.

m... .j 2 . 32 + 2 . 62 - 82 ..fl6

2=-2- em.

m.. .. j2 . 32 + 2' 82 - 62 = ...j110

2 2em.

m<..)2.62 + 2 . 82 - 32 ..,fI9T

2= -2- em.

en las expresiones del caso anterior

2

bi = mZ + ~ + 2 ~ MDa 4 2

a2 am~ + - - 2 - MD

4 2

restando m. a . m. resulta

b 2- c 2 = .20 . MD

La diferencio de cuadrados de dos lados es Iguol 01doble del tercer lado

por 10 distancia de su punto medio 0 1 pie de 10 perpendicular correspon-

dienie.

Conocido MD y la mediana, la altura h, vale

CALCULO DE LAS ALTURAS EN FUNCION DE LOS LADOS. Su-pongamos los triangulos ABC en estas dos posiciones

A A

En el trianqulo ADB

En el triangulo ABC, b es el opuesto a un angulo a J udo y

b2=aZ + eZ - 2a . BD

BD

486 GENERAUZACION DELTEOREMA DE PITAGORAS

sust ituyendo en (1)

11. RELACIONES METRICAS EN UN TRlANGULO 487

Ejemplo 3. Determiner las alturas del trii'inguloABC de lados10,6 y

8em



_ [2ac + (a2 + c2 - bI) 1 [2ac - (a2 + c2 - b2}1 =

- 4a2

_ [(2ac + a2 + cl) - b21 [hI - (a2 + c2 -. 2ac)] =- 4a2

[(a + cj2 - b2] [hI - (a - c j2 1 _= 4a2 -

_~+c+~~+c-~~+a-~~-a+~- 4a2

llarnando p al semiperfmetro del triangulo

a+b+c=2pa + c - b = 2p - 2b = 2(p - b)

a + b - c = 2p - 2c =2(p - c)

b + c - a = 2p - 2a =2 (p - a)

sustituyendo resulta

h2= 2p . 2(p - a) . 2(p - b) . 2(p - c) = 4p(p - a) (p - b) (p - c). ~ ~

de donde

2h. = - ,",pIp - a) (p - b) (p - c)

a

De forma analoga se obtendrfa

2h, = - ,",pIp - a) (p - b) (p - c)

b

2h. = - ,",p (p - a) (p - b) (p - c)

c

h. = 120 ..J 12 (1 2 - 10) (12 - 6) (12 - 8) =4,8 em

h, =+. ., II2(T2 - 10) (12 - 6) (12 - 8) = 8 em

h. =+..J 12 (1 2 - 10) (12 - 6) (12 - 8) = 6 em

CALCULO DEL AREA EN FUNCION DE LOS LADOS. Considerando

el mismo triangu!o ABC de las flguras anteriores

A = l_a h. =l_ a _ _ g _ ~p(p - a) (p - b) (p - c) = , " ,p e p - a)(p -b) (p - c)2 2 a

que es laf6rmula de Heron.

Ejemplo 4. Determlnar el area de un trianqulo de lados 5, 7 y 10cm

A = ..Jp(p- a) (p - b) ( p - e) =..J1l{11- 5) (11- 7) (11-10)

=./264 em2

5. ApUcadonesdelTeorema dePitagoras

TEOREMA DE LA CUERDA. Una cuerda de una circunjerencia es me-

dia proporcional entre el di6metro que porte de uno de sus extremos y su

proyeccion sabre €I .

Sea una cuerda AB sobre la circunfe renc ia. Trazando el dtarnatro BC y

uniendo A con C se obtiene el trianqulo ABC, siendo D el pie de la perpendi-

cular trazada desde A al dlametro BC, resultando la figura

I.1

488 A PL lC AC IO NE S D EL T EO RE M A D E P IT AG OR AS

Por elteorema del cateto

1 1. R EL AC IO NE S M ET RI CA S E N U N T RIA NG UL O 489

.-EI area del triangulo en fund6n dal lado as



c m z .a = eye = am

Ejemp/o 1. En una ctrcunferencta de 5 em de radio se traza una

euerda cuya proyecc i6n sabre la hlpotenusa es de 3,6 cm. Calcular la

longltud de la cuerda.

EI dillmetro es

d = 2 x 5 = 10 em

c = ../ 3,6 x 10 = 6 cm

E N E L T RIANGUL O E QU IL AT ER O

a) TrWngulo inscrito a una circunierend«: Sea el biangulo aquilatero

ABC de lado Inscri to en una c!rcunferencia de radio r

AEn eltriangulo ABH

h/3-2-

1

Como elcentro 0 es el baricentro

1QH =-r

2

AH =r + 1. r = 1 . . / 3 => 3r = 1 .. / 3 " . I = ..J3r2 2

lado = .. J3 . radio

En un tri6ngulo equi16tero inscrito en una cireunferencia,ellado es igua/0 1 radio m·ultiplieado porIa rafz de ttes.

- El area del triangulo en fund6n del radio es

3

I x h ../3r.'[r = 3..J3 r2A=-2-= 2 4

3 3I·-r I·~I

A= ~ = _2_ = __ 2 . . . , . : _ Y . : > 3 _2 2 2

[2.../3---

4

Ejemp/o 2. Un trlangulo equil il tero se Inscribe en una c1rcunferencia

de radio 5 em. Calcular su lado y su area

1=v'3'5cm

A .. 3.v3 . 5~ = 75v'3 cmZ4 4

b) Tri6ngulo clreunserito a una circunjerencia: Sea el biangulo equilataro

MNP de lado I' circunscrlto ala drcunferencia de radio r.

AM~----_'-a~------~N EItriangulo ABC y el triangulo MNP

son semejantas

AB BC AC 1NP =MN = MP =2

ya que la razon de semejanza es _! _2

p

Par tanto al lado I' = 21

-Ellado del triangulo circunscrito: I' = 21 = 2r.../3

-Area del trianqulo circunscrlto: A = I' X h' = 21 :1e2h2 2

2r../3 x 3r

2

Ejemp/o 3. Un trlangulo equllataro se circunscrlbe a una circunferen-

c ia de 5 em de radio . Ca lcula r e ll ado y el area

I =2rv'3 = 2 x 5V3 .. 10v'3 cm

A .. 3r2v '3=3 x 52.J3 = 75..[3 cmz

49 0 A PU CA CI ON ES D EL T EO RE M A D E P rT AG OR AS

E N E L C UA DRAD O

~.

E N E L E XA GO NO

1 1. R EL AC IO NE S M E TR IC AS E N U N T RI AN GU LO 491



a) Cuadrado Inscrlto a una cfrcunferencia. Sea el cuadrado ABeD de la-

do I inscrlto a Una c!rcunferencia de radio r.

A Aplicando el Teorerna de Pitagoras

lZ = r2 + r2 = 2r 2

I = r . . . { 2

EI dlamatro es la diagonal y aplicando

elTeorema de Pitagoras

dZ = 1 2 + 1 2 21 2

d = 1 . . . { 2

EI area del cuadrado es: A = [2 = 2r 2

En un cuadrado Inscrito a una circunierencta, el lado es igual 0 1 radio

multiplicado por 1 0 ra;z de dos.

Ejemplo 4. En una cl rcunfe rencla de radio 5 cm se inscr ibe un cua-

drado. Calcular ellado y el area

I = r . . . / 2 = . . . / 2 cm

A = 2 =2r 2 = 2 . 52 = 50 cm2

b) Cuadrado circunscrito a una circunferencia. Sea el cuadrado MNPQ

de lado I ' clrcunscr ito a laclrcunferencia de radio r

M~--~~A~~ __~N

En un cuadrado circunscrfto a una cir-

cunferenda ellado es igual a su diametro.

El lado I' = 2r = d

Area = I' x I' = 2r x 2r = 4r2 = d2

Ejemplo 5. En una clrcunferencla de radio 5 se clr cunscrlbe un cua-

drado. Calcular ellado y al area

1= 2r =10 em

A = 11= 101 = 100 eml

a) Exagono inscrfto a una circunjerencia: Sea el exagono de lado 1 ins-

cri to en 1aclrcunferencia de radio r

lade = radio I=r

Apllcando e1Teorema de Pltagoras

apotema = J I Z - ( i - ) 2 = i-~ =

r:Area = Pedmelro x apotema

2

r - . . / 3-2-=3r2.. /3

--=2-- 2

6r x

Ejemplo 6. Determinar el area de un exagono regular inscrito en

una clrcunferencia de radio 5 em

r../3 5..[3

apoterna = -- = -- cm2 2

b) Exagono circunscrito a una circunferencia: Sea el exagono de lade I

clrcunscrl to a una clrcunferencia de radio r

apotema = radio

Aplicando el Teorema de Pitagoras

1 2 = . . ! : . . + r2 ::0 r =_ !_ ~

4 2

y

2r=

. . J 3

61 x a-2-

x rArea

Perimetro x apotema

2 2

492 11. RELAC10NES MErR1CAS EN UN TRlANGULO 493PUCAC10NE5 DELTEOREMA DE PlTAGORAS

Ejemplo 7. Determlnar el lado y el area del e~agono regular clr-

cunscri to a una clrcunferenc:ia de radio 5em

EJERCICIOS RESUEL TOS .



I= 2!:_ = .lQ_ em. J 3 . J 3 1. En el trllingulo ABC, el lingulo A es dos ueces mayor que el B . Por e l vertl-

ce A se traza 1 0 bisectriz que corte allado opuesto en el pun to D. Hollar 1 0 distonclo

AD en funci6n de los lodos del triangulo.

Solucldn

Trazando labls ec tr lz del lingula A cor ta a ll ado BC en e lpunta 0

C

A~Bc

Los trlfingulas ACO y ABC son semejantes par tener el lingu lo C cormin y el

l ingulo CAD igual a l B.

Por tanto

AD =--a

2. Sea e/ cuadrado ABCD. Uniendo el uertice A can el punto media del lodo

DC y prolongando 10 Ifnea hasta encontrar 10 prolongacl6n del l odo BC obtendre-

mos el trlCingu/o ABE. Calcular su perfmetro sablendo que el lado del cuadrado mi-

de 5 m..

Solucidn

5

Aoo;... ""'D



CAPITULO 12

AR EAS Y VO LUMENES DE POL IEDR OS

Y CUER POS DE R EVOLUC ION

1. Polledros

Son cuerpos geomf!trlcoslimltados par po/fgonos.

Entodo poliedro hay que tener en cuenta:Sus caras que son poIrgonos que separan el espacio interior del poliedro,

del exterior.

Sus arlstas que son la intersecc\6n de dos caras consecutivas. Son los la-

dos de los polfgonos que l irnltan el poliedro. Cada arista es cormin ados

caras.Sus vertices que son los vertices de los polfgonos que los lirnitan. Cada

verUcees corruin a tres 0rn6s arlstas.

Sus 6ngulos dledros los formados por cada dos cares consecutivas.

36 8 MATEMAT lCA S V S U D IDAC1 1 CAA ND RE S N OR T ES C HE CA

369

Sus cngulos po/ ledros los formaclos par cada tres 0m6s caras que t ienen En lodos los pol ledros regulares sucede que:



un v~rt\ce comdn. Cuando son kes las-ceres del cS.ngulose llama trledro.

La diagonal del polledro que es todo segmento que une dos vertices no

sttuados en la mlsma cara.

Nurnero de caras + Nilmerc de vertices =- Nilmero de arlstas + 2

C+V=A+2

Desar rol lar un poliec lro es constru lr en elp lano todas sus caras colocadas

consecu tlvas y tal que doblando convenlentemente por las ar ls tas , resul te el

pol1edro propuesto.

esta Igualdad rec lba el nombre de Teorema de Euler .

Para desarrollar el tetraedro se dlbuja un trMinguJo equllcS.tero y sobre sustres lados otros tantos trlangulos equil6teros.

Para desarrollar el cuba se dlbujan sels cuadrados Iguares en forma decruz, de I, ele.

POLIEDROS REGULARES. Son los cuerpos geometrlcos cuyas cares

son polfgonos regulares /guules V cupos angu/os dledros V trledros son fgua-les.

5610 hay cinco polledros regulares que son: Tetraedro, Octaedro, leo-

saedro, Cuba a Hexaedro y Dodecaedro.

o AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES, Como los pol ledros regula-

res t lenen todas sus cares Iguales , para determlnar eJarea basta can celcular

el area de una de sus cares y multlpl icar por e l ndmero de elias ,

-Area del teiraedro: Conoclda la arista J e J 6rea de una cara es 12..;3 y

4

el t irea del tet raedro es

En un cuadro resumlmos las carac terf st lcas princ lpales de los po lledros

regulares.

ANGULOS ANGULOS FORMA DE

POLIEDRO CARAS VERTICES ARISTAS D1EDROS TRIEDROS LAS CARASP../3A .. 4 . - ... P..[3

Trlang. equil.4

Tetraedro 4 4 6 6 4

Octaedro 8 6 12 12 6 Trlang. equil.

Icosaedro 20 12 30 30 12 Trlting. aqull. Ejemp lo 1 . Delerminar el 6rea de un letraedro de arlsta 8 em.Cubo 6 8 12 12 8 Cuadrados

Dodecaedro 12 20 30 30 20 Pentag. reg.A - 1 2 . . / 3 - 82. . / 3 - 64Y3 cm2

370 M AT EM AllC A5 Y S U D ID AC TIC A

-Area del octaedro: Como esta formado par 8 trlangulo5 equllateros y 2. Pnsmas

A ND RE S N OR TE S C HE CA 371



el area de cada cara es I Z .J 3 , el area del octadero es4

A = 8 lZ ~ = 2r..[34

Ejemplo 2 . Determiner e lMeade un octaedro de 5 em de arlsta

A - 2 . 5 2.../3 - 5 0.../3 ern2

_ Area del Jcosaedro: Como esta farmado par 2 0 trlangulos equllateros

1 2.J 319uales y el area de cada cara es4el area del octaedro es

A = 20 . 1 2 ~ = S(l.,f34

Ejemplo3 . Determlnar e l~rea de un Icosaedro de 4 em de arlsta

-Area del cuba: El cuba esta Iormado por 6 cares que son cuadradas,

slendo 1 2 el area de cada cara, por tanto el Mea del cubo es

A = 6(l

EJemplo 4. Determlnar elarea d.eun cubo de arlsta 10em

A .. 612 "" 6 . 102 "" 600 ernz

-Area del dodecaedto: Como es ta formado por 12 pentagonos regula-

res, slendo P el perfmetro de una cara ya su apotema, el area de cada cara

es P x a , pOT tanto el area del dodecaedro es2

PXa 6A = 12 x -- - p. a

2

Ejemplo 5. Determlnar e l ~rea de un dodeeaedro slendo 30 em el

perfrnetro de una cara y 2,5 em su apotema

A .. 6 Pa .. 6 . 30 . 2,5 .. 450 crnz

Los prlsmas son tamblen polledros , en elias hay cares, aris tes , angu[os

dledros y angulos trledros . Dos de sus caras se lIaman .blis/cas y las dernas

son laterales. Tlene tantas caras lateral es como lados tlene el polfgono de la

base.

Prlsma e5 el cuerpo geom~trlco IIm/tado par dos pol/gonos /guales y pa-

ralelos Ilamado5 bases y par cures laterales que son paralelogramos.

Cada prlsma se nombra segun el mimero de lados del poligono de la ba-

se. 51 la base es un trlangulo el pr isma es triangular; 5 1 es un cuadrado, cua-

drangular; s l es un pentagono, pentagonal; 51 es un e)(agono , exagonal yas.

suceslvamente.

Un prlsma es recto s i las arlstas laterales son perpendlculares a las basl-

cas. En los prlsmas rectos las cares laterales son rectangulos. Los prlsmas

que no son rectos, se l Iaman obllcuos.

prtsrne obllcuo

Altura de un prlsma es la perpendicular cornprendlda entre las dos ba-

ses. En los prls rnas rectos la altura mlde 1 0 mlsmo que una arlsta lateral. En

los pr ism as obl lcuos la a ltura es menor que la arlsta latera l,

artsl D b~5lca

a T I. 1 a lateral

I

IJ1III)-----,-_ .

".

prlsrna recto

IIIrI1I

II)....----

/'".

h __ altura

372 MATE MAl lC A S Y S U D lD A cn C A

Prismas regulares son los prlsmas rectos que tlenen par bases polfgonos

regulares. Los darnas prlsmas se llarnan Irregulares.

ANDRE S NORTE S CHE CA 373

Ejemplo 1. Calcular el area lateral de un prlsma pentagonal regularde 10 ern de altura y 8 ern de lado del pent6gono



IIIIII

III

J--",

"prlsmll regular

II

I

I1. . .. . .

pri sm!! Irregular

En fodo prlsma se cumple que: C + V - A + 2

Entre los prlsmas los hay can nombre proplo:

-Para/eleprpeda es el prlsma cuyas bases son paraleiogramos. Todo pa-

ralelepfpedo tiene sels cares, todas paralelogramos.

- Ortoedro es el paraielepfpedo recto cuyas bases son rectangulos. T0-

das sus caras son rect6ngulos, sus 6ngulos dledros san rectos y sus cuatro

dlaqonales 19uales.-Romboedro es el paraleiepfpedo cuyas sels cares son rombos.-Hexaedro 0cubo es el paraielepfpedo cuyas selscaras son cuadrados.

AREAS DE UN PRISMA

a) Area lateral es la suma de las areas de las caras laterales.

Las caras iaterales en conjunto forman un rectangulo que. tiene por baseel perfmetro del polfgono de 1 8 base y por altura la altura del prlsma:

Asfen un prlsma regular de base cuadrada

~

II

.._

h

Area lateral ; ;: Perfmetro de la base X altura

Perfmetro base - 8 x 5 - 40 em

Area lateral - 40 x 10 - 400 em2

b) Area total: Se obtlene sumando al o1realateral el area de los pollgo-nos de las bases

Ejemplo 2. Hal ler e l6 rea total de un prlsma rec to de altura 10 em y

de base un Ir[6ngulo aqullatero de lado 5 em

Ar = P x a - 15 x ·10 - 150 em

B _ 1 2 - - 1 3 . . . 51 - 1 3 _ 25..J3

4 4 4

A, - Ar + 28 ... 150 + 2· 25j3 _ 150 + 12,5.../3 emz

EL CUBO. Es un polledro regular que Ilene las sets caras iguales y CUa-dradas.

Trazando la diagonal d en una cara y la diagonal 0 del cuba se Ileneapllcando Pllagoras.

d2 = a2 + aZ =2a2

DZ ... d2 + a2 = 2az + a2 =3a2

D = 0 . J 3

La diagonal de un cuba es iguol a 1 0 oristo multiplicoda por 1 0 rafz detres.

374 MATE MAl lC A 5 Y S U D ID A CT IC A

E)emp/o 3. Determlnar III.diagonal de un cuba de adsta 5 em

ANDR E S N O RT ES C H EC A 375

EI u~rtlce de la plr6mtde es e l v~rtice ccrmin a los tr16ngulos que forman

las caras lataralas.

Las caras latera/es son trlangulos y tlenen un v~rtlce cormin que es el



D - a.J3 - 5..J3 em

3. Plr4mlde

Super/lele plramldaI e s la engendrada par una samlrrac ta que describe el

contorno de un polfgono. E l punto orlgen de la semlrrecta esta s ituado fuera

del plano que contiene elpoirgono y Ie lIamamos v~rtlce.

Plr6mlde es el cuerpo IImltado par una super/lele plramldal Y un plano

que 1 0 carta.

Tamb lan se puede deftnir asf :

Plr limlde es el cuerpo geom~trlco IIm/tado por un po/rgono lIamado base

y par caras laterales que son trl6ngulos con un lJ~rtlce comtln.

Las plramldes toman el nombre del polfgono de la base. Sl la base es un

triangulo, la plramlde se llama trI6ngular; 5 1 es un cuadrado, cuadrangu-

lar, etc.

ver tlce de la plramlde,

Arlstas laterales son las que concurren en el v~rtlce.

Arlstas b6s/cas son los lados del polfgono de la base.

Altura de una plramlde es el segmento de perpendicular cornprendldo

entre al v~rtlce de la plr6.mide y su base. .

Plr6mlde regular es aquella cuya base es un polfgono regular y sus caras

laterales son trl6.ngulos Is6sceles. EI pie de la altura coincide can et centro dela base.

Plr6mlde Irregular cuando no es regular.

Apotema de una plr6.mlde regular es la altura de una de sus cares late ra-

les t razada desde et v~rtlce de la plrarnlde.

AREAS DE UNA PIRAMIDE

a) Area lateral es la suma de las 6reas de las caras laterales.

Una plr6mlde regular cuadrangular desarrollada tiene la forma slgulente

a'

Vemos que son cuatro trlangulos Iguales de area: A = I x a2

La suma de las areas de las cares laterales es

A, = 4 x I x a = 41 x a2 2

pera 41 = perfmetro de 1abase, por tanto

A, _ PXa

2

37 6 MATE MAl lC AS Y S U D 1D AC 11 CA

£16rea lateral de una plr6mlde es igual 0 1 semiperfmetro de 1 0 base par 10

apotema de 10p/ramide.

ANDRE S NORT ES CHECA 377

E I !roza de 1 2 1altura y apolema de la p l r a r n l d e comprendidas entre la ba-

se y el plano trazado, son la altura y apotema del tronco de pi rarnide.

E I t ranco de piramlde tlene tambh~n area lateral y area total.



Ejemplo 1. Determlnar el 6rea lateral de una ptramlde euadrangular

de lado de la base 5 em y de apolema 10em.

A, ... P x a ... 20 x 10 ... 100 em22 2

b) Area total; EI ~rea total de la plr~mlde regular es Igua1 al ~rea lateral

mas el .6rea de la base.Como la base es un poifgono regular lIamando a' a su apotema ten-

dremos

P X a'8"'-2-

Por tanto

A. ~ A, + B _ P; a + P ~ a' _ P(a; a')

EI area total de 1 0 plramlde es igual a 10 semisuma de las apotemas (apo-

lema de la base y apotema de la plrarnlde] multlpl/cada par el perfmetro de

1 0 base.

Ejemplo 2. Delermlnar el 6rea total de una plramfde cuadranqular

de lado de la base 5 em y de apoterna 10 ern.

At ... A, + B ... P x a + 1 2 .. . 20 x 10 + 5 2 .. . 125 cm2

2 2

Tamblen

A, ... Pta + a')2

20(10 + 2,5) _ 125 em2

2

TRONCO DE P IRAM IDE . Es 10 porc/6n de plr6mide comprendlda entre

10 base y un plano paralelo a ella.

Para delerminar el area lateral habra que determinar las areas de cada

cera y surnarlas. Cada cara es un trapeclo cuya area es

AI rnul tlp l lcar por el ruimero de caras se tiene

P + P' ..A, = x a

2

siendo P "" perfmetro de la base mayor • p i = perfmetro de 1 2 1base me-

nor y a "" apalema (altura del trapec!o lateral).

EI oren lateral de un tronco de plramide regular es Igual o r producto de 10

sernisuma de los perimetros bas/cos par la apotema.

E I orea total se obtlene s u m an d o 2 1 1area lateral el area de las bases.

P+P'A, = --2- x a + B + BI

Ejemplo 3. Determlnar el area lateral y el area total de un tronco

de plramide regular de bases euadradas de 5 y 3 em de lado y de apo

lema 6 em.

A, = P + P I X a = (4 x 5) + (4 x 3) x 6 = 96 em!

2 2

A, = AI + B + B' = 96 + 52 + 32 = 130 cm2

4. Cilindro

SuperJicie ci/fndrica es la engendrada par una recta desl izada bordeando

una clrcunferencia manteniendose paralela a si mlsma. La recta lorna el

nambre de generatriz.

Regi6n ci/fndrico es el c o n j u n t o de rectas paralelas a 1 2 1generalrlz e inte-

riores a la superflcie cilindr!ca.

378 M AT EM Al lC AS Y S U D1DACTICA

Cllindro es la porcl6n de regl6n cllfndrlca comprendlda entre d os p Ia no s

A ND RE S N OR TE S C HE CA 379

Desarrollando el cilindro



parole/os.

h

De la Interseccl6n de una regl6n cllfndrice con 105 dos p la n es r as ul ta n

dos cfrculos que son las bases del cllindro.

E1 r adio de uno cualqulera de los cfrculos de las bases es el radio del d-

lmdro.

La altura del ctlmdro es el segmento de perpendicular cornprendido en-t re las dos bases.

Clllndro recto es el que tiene sus generabices perpandtculares a las ba-

ses. En un cllindro recto la altura y la generatrlz son \guales. Un clllndro que

no sea recto se l lama obllcuo.

Tamblen se puede deflnlr el cllindro como el cuerpo de reuo/ucl6n en-

gendrado po r un rectangu/o al g i ra r sobre uno de sus lados como eie.

AREAS DEL CILlNDRO

a) Area l at er al d e un cillndro es Igual al producto de su altura por la lon-

Qltlld de 1 0 clrcun!erencla de 1 0 base.

L

h

El area lateral desplegada es un recHingulo de base la iongltud de la cir-

cunferencla y de altura la altura del cllmdro,

b) Area total es Igual 01 tirea l a te ral mas e16rea de las bases.

A , = A , + 2 B = 2 'I IT h + 2 m z = 2 7 r T ' ( r + h)

EJemplo. U n cU in dro recto tlene de altura 10 em y de radio de la

base 3 em. t. Cu li nto v ale e l a re a l at er al? t.Y el a re a t o ta l?

A, = 2m h = 211 " 3 . 1 0 = 6 011 "em1

A, = 2m{r + h) = 2 1 1" 3 (3 + 10 ) = 7811" cm2

5. Cono

SuperJicie cdnlcu es la engendrada por una semlrrecta lIamada generatriz

que se mueve alrededor de una clrcunferencla. EI punta orlgen de la seml-

rrecta esla sltuado Iuera del plano que contlene a la clrcunferencla, l l amado

v~rtlce.

v

38 0 MATEMA ll CAS V S U D IDACT ICA

R eg l6 n c 6n lc a es el conjunto de todas las semlrreetas can el mlsrno ori-

gen que la generatrlz e Interlores a la superflcle e6nlea.,

A ND RE S N OR TE 'S C HE CA 381



Cona es 10 porcldn de regl6n eonlca IImltada po r un plano.

La Interseccl6n del plano y 10 region c6nlca es un cfrculo que es 10 base

del cono.EI radio del drculo de 1 0 1 base es el radio del cono.

EI v~rtlce de 11'1uperflele c6nlc:a es el v€rtice d el c on o.

EI segmento de perpendicular cornpendldo entre el v~rtice y la base es la

altura del cone,

Cana recto es cuando el pie de la altura coincide can el centro del cfrcu-

1 0 de 1 1 ' 1 base. SIno coincide es obl icuo .

Tarnblen se puede deftnlr el cano como el cuerpa de r e va /u c l6 n e n ge n-

drado por un trlangula r ec t6 ng ul o 0 1 g ir ar s ab re uno de sus catetas como

eje.

AREAS DEL CONO

a) A r e a l at er a l. La superflcle lateral es un sector circular de radio igual a

la generatrlz del eono y de area la longi tud de la ci rcunferencla de la base .

1 1Area sector = '2area x radio "" "2 2 1 r S . r = ng

E / ar ea l at er a l es Igual a l produe to del radio par 1 0 generatrlt y por 'Ir.

A, = my

b) Area total es el area la te ra l m6s el area de [a base .

A, = A, + B = lITg + 10'2 = 1O'(r + g)

Ejemplo 1. Hal1arel area lateral y el area total de un cono de gene·ratrlz5 em y de rad io 3 em

Ar = ng = ....3 . 5 - 15... em1

Ar - rr{g + r) - 1!" 3(5 + 3) - 24 ...eml

TRONCO DE CONO. Es 10 pordon de eono eomprendldo entre la base

y un plano paralelo a ella.

38 2 MA1£MATICAS Y SU DIDAcnCA

EI trozo de altura y la generatrlz del cono comprendldas entre la base y el

plano trazado, son la altura y la generabiz del t ronco de cono.

ANDRES NanTES CHECA 38 3

Es/era es e l cuerpo geom~trlco /ormado por todos los puntas de l espocJo

contenldos en ellnterlor de una super/lele es/erlca.



Tambian sa puede definlr el tranco de cono como el cuerpo de reuolu-

cf6n engendrada por un trapeclo rectangu/o al girar a lrededor del lade per-

pendicular a las bases del trapeclo.

EI t ronco de cono t iene tambl~n 6rea latera l y 6rea total.

9

EI area lateral es el area del trapeclo circular que es la sernlsuma de la

longl tud de sus areas par la genera trlz.

AI _ 211T ~ 2n ' 9 _ 1 f(r + r')g

EI a re a l at er al d el tronco de cono es Igual a Ie semlsuma de la s longitu-

des de las clrcun/erencJas b6s1cas por la generetriz.

EI a r ea t ot al se obtl ene sumanda al area lateral el 6rea de las bases .

A. - AI + B + B ' = 'If(r + r')g + F 1IT'2

Ejemp/o 2. Haller el 6rea lateral y total del tronco de cone de ra-

d io s b as lc os 6 e m y 1 0 em y de generatrlz 8 em .

A , . .. .. Ir + r')g - '1r(6 + 10) . 8 .. 1 2 8 . . . em1

A, .. A , + B + B ' - 128 .... + 62 ... + 10 2'1 r - 2 64 '1 r emi

6. L a esfera

SuperJ/c ie es/~rlca es la superflcle engendrada par una semldrcunferen-

c ia a l gl rar al rededor de su dlarnatro.

La superf lc le esferlca es e l borde 0frontera de una esfera que separa los

puntas inter lores de los exter lores . Los puntas de la superf ic le es£erlca equ l-

dls tan del centro de la esfera.

Radio de la esfera es el segmento que une un punta de la superflcle esf~-

rica can el centro.

D1c'imetroes el segmento formada par dos radios consecutlvos.

Plano d lamet ral de una esfera es un plano que pasa par su centro.C rrculo maximo de una es fera es la Interseccl6n de la esfera can un pia-

no diarnet ral .

crrculo menor es la Intersecd6n de una esfera can un plano secante que

no pasa par el centro.

Semies /era es cada una de las dos partes resultantes de cortar una esfera

por un plano dlametral.

Casquete es/erico escualquiera de las dos partes resultantes de cortar la

superfic\e esferlca par un plano.

Zona esjerlca es la parte de superflcle es£erlca comprendlda ent re dos

planas secantes paralelos. La altura de la zona es£erlca es la dls tancla entre

105 dos planes.

Hu so e sj er lc o es la porci6n de superf lc le esMrlca cornprendlda entre las

cares de un dledro cuya arlsta cont iene al d larnetro.

Esfem Casquete esfMco Zona esMrlca

384 M A TEM Al lC AS Y S U D ID A CO C A

AREAS

a) A rea de la Zona esJ4r1ca. La zona esMrlca puede suponerse engendra-

ANDRES NOR 1ESCHECA 385



da por el giro de un areo de c1reunferencla maxima alrededar de un dlarne-

t ro perpendicular a los p lanes secantes que 10 def ln en ; la proyeccl6n sabre e l

eJe es la a ltura de la zona esf~r1ca.

El area de la zona esferlca viene dada por

A = 21fT h

s lendo h la altura de la zona esferlca y rei radIo de la esfera.

b) Area de l Casquete es/erlco vlene dada par la mlsma expreslon que la

de la zona esf~lca.

A = 2 ' 1 0 ' h

e) Area de la Super/icle es/erlca es equlvalente al area lat eral de un cllln-

dro de altura el dlametro de la esfera y cuya base t1ene por radio el radio de

la eslera.

A = (21!T)2r - 4~

Tarnblen se consldera el area de la superflcle esferlca como el area de la

zona esferlca en donde h - 2r

A - 2n h - 2n(2r) = = 4m2

E)emp/o 1. Calculer el Area de 1 2 1zona esf~rlea l l m l t a d a par des pia-

nos que distan entre sf 6 em slendo el radio de la esfera 10 em. t'.CuAI

es el 6rea de la superflcle esMrlea?

A zona .. 2u h .. 211 ' . 1 0 . 6 .. 12011 ' em1

A sup. esf... 4n1 .. 4 . 1 1'. 1 ()2 .. 4 00 '1 1'emz

d) Area del Huso esferico. EI area de un huso esferlco de n grados se

obtlene mediante una regIa de tres, dl clendo 5 1 a 360D corresponde el area

de la super flc1e esferlca a n grados corresponde el area del huso e5feri co.

Par tanto

A x n =m - 2 n

90

HU~D e5f~rlco

Ejemp/o 2. Delermlnar el area de un huso esferleo de a rn pi lt ud 9 0°

en una esfera de radlo 10 em.

n l nA = -_ ..90

1 1 ' • 1 ( )2 · 9 0 = 10011 ' cmt90

7. Volumen de polledros y cuerpos redondos

UNIDADES DE VOLUMEN

La unldad principal de volumen es el metro cub leo que es el volumen de

un cuba de 1 metro de arlsta. Se ascribe m 3 •

Los multIplos del metro ciiblco son:

a) El dec6metro cublco, se escrlbe dam" y es el volumen de un cuba de

1dam de arlsta.

b) EI hecuunetto cublco, se escrlbe hm3 y es el volumen de un cuba de

1 hm de arlsta.

e) El kll6metro cubico, se escrlbe km] y es el volumen de un cuba de

1km de arlsla.

d) EI miriametro cubico, sa escrlbe mam! y es el volumen de un cuba de

1 mam de arlsta.

1 dam! = 1000 m3

1 hrn' = 1000000 ro3

1 km3 = 1000000000 m3

1 marn! = 1000000000000 m3

Los submultlplos del metro cdbtco son

a} EI decimetro cubico, s e e sc ri be dml y es el volumen de un cubo de

1dm de arlsta.

386 M A TE M AT IC A S Y S U D lD A cn CA

b) EI centlmetro cubico, se escribe cm] y es el volumen de un cubo de 1

cm de ar ls ta .

c) EI mllrmetro cublco, se escrlbe mm? y es el vo lurnen de un cuba de

A N DR ES N O RT ES C HE C A 387

VOLUMEN DE LA PIRAMIDE Y DEL CONO. Facllmente se puede

cornprobar en el caso del prisma triangular que se puede descomponer en



1rnrn de artsta,

1 dml = 0,001 m]

1 cm l = 0,000001 ml

1 mm l ...0,000000001 m]

La capacldad de un reclpiente es el volumen de lfquldo que contle~e

cuando esla lIeno. La capacldad se mlde en lttros, por eso los lltros sa utili-

zan , a veces, para exprasar e l volumen de I fquldos.

La relacl6n que une a las medidas de volumen y a las rnedldas de capa-

cidad es:

1 drn! = 1 /

Se define el lltro como el volumen de l iquido encerrado en un cubo de

1dm de arlsta,

VOLUMEN DEL PR lSMA RECTO Y CILlNDRO DE REVOLUCION. El

volumen de cualquler prlsma recto y cualquler clllndro de revolucl6n de al-tura h vlene dado por

v = B x h

EI volumen de un prlsma recto es el area de la base par l a a l tu ra.

EI volumen de un elllndro de reuoluel6n es el area de 10 base par la nl-

tura.

-EI caso particular del ortoedro de arlstas a, bye su volumen es

V ::;;;ab c

- EI caso particular del cubo de arls ta a es

V : :;;;ol

E)emplo 1. Determlnar el volumen de un clilndro de revoluclon cu-

ya altura mlde e1 dl6metro de la base slendo 5 em el radio.

V . . B x h .. n2 h . . '1 1 ' . 5 ~ . 1 0 - 2 5 0 '1 1 ' cml

tres plrarnldes triangulares del mlsmo volurnen

En general 51 el contenldo de una ptremlde de base B y altura h sa In tro -

duce en un prism a de base By altura h, se cornprueba que hace falta el can-

tenldo de tres plramldas para 1\enarlo, par 1 0 que el volumen de la plrarnlda

es la tercera parte del volumen del prlsma.

Par tanto

v = Volumen Plramlde Volumen Prlsma

3

B x h-3-

Esta expresl6n es valida tanto para piramldes ree tas como obllcuas, requ-lares 0irregulares.

El vo/umen de una plramlde es un terclo del area de 1 0 base par lu 0/ 'tura.

AIconsiderar e l vo lumen del cono como ell fmlte de Una plramlde Inser t-

ta de base regular cuyo rulrnero de lados crece Indeflnldamente, se puede

eonoeer el volumen de un eono bien sea recto u oblicuo.

EI volumen de un eono de revoluc i6n es un tercla del area de 1 0 basepar fa altura.

EJemplo 2. Calcular el vo lumen de una plramlda cuadrangular reo

gular de altura 8 dm y de arlstabaslca 6 dm. lCuantos litroscontlene?

v ~ 1 .. B h ... l.62 X 8 - 96 dml .. 96 Iitros3 3

388 M A UM A Tl CA S Y S U D 1 DA C I1 C A

E)emplo 3 . Calcu ler e l volumen de un cono sab lando que el rad io

de labase es 3em y la generatrlz 5 em.

A ND R ES N O RT E S C H ECA 389

EJERCICIOS RESUELTOS



,VOLUMEN DE LA ESFERA. Un cono de altura Igual al radio de su base

tlene como volumen

v .. 1.Bh -3

51 el eontenldo de este cono se Introduce en una esfera de radio r se

comprueba que hace falta Introduclr el contenldo de euatro cones para lle-

nar la esfera, por 1 0 que el volumen de la esfera sera cuatro veces el volu-

men de este cono, ten l~ndose

1 4V = 4 .-n--wr3

3 3

EI valumen de una esfera es Igual al producto del cubo del radio por lo s

cuotro terclos de 'If

Ejemplo 4. Calcular el volumen de una esfera de radio 6 em.

1. Z Se t lene un or toedra de 6rea to tal 370 dmz. La super!lcle de una cora es

50 dm . Mldlendo 5 dm /0 orlsto perpendicular a dlcha cora hallar e l valor de lasotrns orlstas, r

Solucl6n

Area total . .. 2ab + 2ae + 2bc . .. 370

A-be-50

a - 5

Operando:

ab + ae + be - 1855b + 5c + 50 ~ 185

b + c - 27

Par otra parte be ... 50, formando el sistema

b + c - 27 }

be .. 50b=2yc-25

Las madldes son 2, 5 y 25 drn.

2 . Colcurar el dreo tatar , el volumen y /0 longltud de 10 dlo / dd bl d gona e un orloe-ro, sa en a que los perfmetros de sus cores son 36 em 50 em V 70 em.

Solucl6n

2a + 2b - 70 }2b + 2e 502a + 2c 36 '

a + b 35 }b+e 25

a + c 18=> a ... 14, b ... 21 y c = 4

Area total = 2ab + 2ae + 2bc 2' 14 . 21+ 2·14·4 + 2· 21 ·4 ... 868 emz

Volumen ... abe = 14 . 21 . 4 1176 em]

390M A TE M AT lC A S Y S U D ID A cn CA

3. Se Ilene un tuba de 4 em de radio Interior. 51 SI! tapa par un ext remo y se

A N DR E S N O RT ES C HE C A .'391

al s er 8 car a s



echo WI Iflro de agua, . !qu~ altura alcantara?

Solucl6n

1 dm) - 11 ., . 1000 cml

V-Bh-nlh

1000 91000 - '1:' 42 . h ""'h ...~ - 19, cm

4. Hallar el drec y el aolumen de un tetraedro regular de 10dm de arista.

Solud6n

IZ.J3 102v'J, 25../3 dm2

El Area.de una care es: A - If"--r-

d I 2 de5e forma un trlAngulo rectAngulo de cateto~ la altura del tetrae ro y os

3"la al lu ra del t rlAngulo de la base y como h lpotenusa la ar ls ta del t et ra ed ro .

Luego

J 2 21 1= 11 - _ . . . _ - =>

3 3

\2.J3 !2 p.,;2 =103.,;2 = 2 50 .,;2 dm3

Volumen = ~ B x h ... 12' IY3">5 12 12 3

5. Un octaedro regular Ilene de arista 12 em . .!Cuanto ua/e su area? .!Y su uo-

lumen?

Soluc\6n

Iv '31) EI Area de cada cera es: A .. 4

A = 8 IZ

v '3 . . . 21 2.J3 ... 2 . 12 z .J3 ... 288.J3 cm2

4

2) Descomponiendo el octaedro en dos plramldes de bases cuadradas, la dia-

gonal de la base es

d " ';1 2 2 + 1 22 .. 1 2..J2

j_ 6..J22

La altura de la plrarnlde es

hZ

... al

- ( : )

1

... 122 - 72 = 72 = h = 6../2

v = . . !. .B x h = ..!.. . 1 22 - 6 .,;2 ... 2 88 .J 2 cm]3 3

Luego el volumen del tet raedro

v ... 2 x 288..J2 = 576..J2 em]

6. Las dlagonales de un rombo miden 8 em y 6 em. Caleu lar e l ar ea y el uo lu-

men engendrado po r el mlsmo al g lr ar a lr ed ed o r d e la diagonal mayor.

Solud6n

Engendra dos eonos 19ual es de radio la ml tad de la d iagona l menor y de altura

Iiimilad de l ad l agona ! mayor.

A ... 2 x 7Tl9 = 2 IT - 3 • 5 = 30IT cm2

V = 2 x ..!.. B h = 2 . ..!..n2 h ... 2 . . .! .1 f - 3 1 • 4 = 2 4 11 ' em)3 3 3

7. UrI tr lcingulo equildtero de 4 ern de lado giro a/rededor de un lado. / la rinr e /

uolumen engendrado.

Solucl6n

Se forman dos cones 19ua[es, luego: V = 2 . ..!..B h3

La base Ilene como radio la altura del Irllingulo que es

1 . . J 3r'" --

2

39 2 M Ai EM A ll CA S V S U D lD AC TI CA

La altura del eono es lamltad dellado : h - 1.2

A ND RE S N OR TE S C HE CA 39 3

Por tanto

V,••" = 1.B h = 1 "'r2 h 1 74 53 "3~" "311" ,7' 2,5 - 62 ,291 f m1



8. La longltud del arco de un sector circular mide 31,416 cm V su radio 20 cm.

Hollar ' 0 superJicle total del cono de reuolucl6n cuye desarrollo /uera el sector.

tCuul es su uolumen?

Solucl6n

L . . 2 1 (1 ' . . 31,416 - r ..31,416

2 ' 1 1 '.. 5 em

La generatriz del eono es 20 em

La altura del eono es h . . ~ . . . . J 2 f i2 - 5 1 . . 5 . J I 5

s = Lg + r r r ? = 31,416·20 + 9 !T = 34243 em2

22'

V .. 1 - ' I I ' r l h .. _ ! _' II ' . 52 . 5.JI5.. 125..JI511' em]

3 3 3

9. Hollar el uo/umen engendrado par un trapeclo Is6sceles que giro sobre '0base mavor de 12 mj 10 otra base mlde 7 m y el'ado no paralelo 9 m.

Solucl6n

IIIII,I

Se forman dos conos Iguates de altura .. 12 - 7 .. 2,5 m2

y de radio r =- -/92 - 2,52 .. . 8,65 y r1= 74,75

. . . .0 0 · · · · · · . . : · · · · · 00 0 0 00 _

V,W • • ,. - B h ' ~ 7rr2 h ' ~ 11' 74,75 . 7 - 523,2511'm]

V" , . , = 2 V," .o + V,w. . . . = 124,5811'+ 523,2511' = 647.8311'm

10. Una plramrde triangular regular tlen 5

apotema sl el area de 10 base es I e em de arlsta haska. Colc:u/ar 1 0a cuarta parte del area lateral .

Solucl6n

A , •••, ., .. ~ .. 15a2 -2-

Base .. 12~ _ 5 2..J3 _ 25~4 4 -4-

Por hlpotesls : 4 B = A,

25..J315a

=--...2

2 . 25~ _ 1 O . . .J 315 - -3-cm

11. Una plramlde regul r Irol 5 em. Hollar: a exagona tlene de arlsta baslea 3 em V de arJstn lute-

1) Area lateral

2) Area total

3) Volumen

Solucl6n

a = ";52 - 1,52 = 4,77

1) Area lateral = ~ - 6 . 3 )( 4,77 422 - 2 = ,93 cm2

2) Area total = Area lateral + 'Base

Base = P x a'-2- v a' = ";32 - 1,52 = 2,6

B6· 3 . 2,6

2 = 23,4 cm2

39 4MATEMATICAS Y 5U OlDAGnCA

Area total . . 42,93 + 23,4 = 66,33 em1

AN DR E S N O RT F .5 CHECA 395

3) Se engendran dos conos de l id! (Idlente a la hlpotenusa). gua ra 0 a tura del trlangulD corruspon.



3) Volumen = l.s h y h = ../52 - 32 - 43

v - .l_ . 23 4 . 4 - 31,2 eml

3 '

12. Una dimara ciIrndrlca termlna en una semie sfe ra y Bene par uo/umen

260,62 m:!. Hallar Ia superficle total del conjunto siendo 4,5 m el rad Io del ciJrndro.

Solucl6n

V r J= 1 . . . . !' 1I T l . . 1 .. . . ! . . .. 4,5] - 60,75 ... m]

...."... 2 3 2 3

V.rlJ•dra

.. n1 h ...... 4,51 . h .,. 20,25 h '11"m]

V .. 60,75 ... + 20,25 h ...... 260,62." h ... 1,1

Superf lc \e _ 2n2 + 2...r h + n2 ... 2 .. .. 4,51

+ 2'11" 4,5 . 1,1 ++ .... 4,51 _ 40,5 ... + 9,9 'II' + 20,25 ' II ' ... 70,65 ...m1

13. A un t rlangulo ree tangu Io de eatetos 18 y 24 em respeet luamenle se Ieclr-

cunsrrlbe una drcunJerenclo. Calcular:

1 ) E I r ad Io de 1 0 clreunJerencia.2) Elllolumen engendrado por el semlcireulo 0 1 giror 360

0

a lr ededor de 1 0 hI·

potenusn.3) E/ uo/umen engendrado por e /1ri6ngulo a r glrar 360D olrededor de 10 hlpole·

til/sa.

4/ El uolurnen comprendido entre ellos.

Solucl6n

1) E I dliSmetroes la hlpotenusa

d ~ .J18 2 + 24 2

r .. 15 ern

2) Vesfera ... .!u] = .!'II' . 151 .. 4.50011"em3

3 3

30 em

r ' = 18x 2430

14,4 em

VII 1= '3Bh + -8 h' = -B (h + h') = ..!.B. d

3 3 3

1. . " 3 1 1 " . 14,42 . 30 '" 2073,61r em!

4) V dlferenela = 4.5001r - 2073,61r ... 2426,41["em]

1_1IT1 . d3

I 14. Una esfera ha sido embalada en uno cala cubleo euya arlsta mlde 20 em

to que lodas sus cores tocan a 10 esfera en un solo pun to. Calcu/ar: y

1) EI uo/umen de la esiera.

2) £1espaclo lIacio que se ha rel lenodo can embala]e.

Solud6n

1) V esfera =

.!! .. i.1I" . 103 4000 a

3 3 =-3-1I"cm

2) V eubo = a1= 20] ... 8000 em]

Espada rellenada = 8000 400011"- -3- = 3813,3 em!

15. Un trapeclo reclangulo tiene or boses 20 2alrededor de l a base mayor '0" fi p Y 8 m y par altura 6 Itl.Glm

• G ue guro se engendra? Dete Ilumen. rm nnr su area y SII 110'

Soluci6n

Se engendra un ccno y un clllndro

1) ~!;~n~ ~~~:::r:~:~a la altura del Irapecio, de altura la diferencla de la s

g = "';62 + 82 10

Ar = ng = 11"·6·10 ... 6011"m2

396 MATEMAT ICA S Y S U D lD AGn CA

2) E Ic lil ndro t1ene par a lt ur a 1 0 1 base menor del t rapec lo y par radio de la

base 6.

A ND RE S N OR T E5 C HE CA 397

17. Partlendo de que el metro es aproxlmadamente 10 dlezmlllonesJma parte

del cuadranl e I er res tre , expresor en ml rlc 'imet ros euadrados 10super fic Je de un huso

hororto.



A, .. 2nh .. 2 ... · 6 . 20 .. 240 ...mZ

V -= Bh .. nZh ....... 6z , 20 .. 720 . ..m1

3) La figura tendr6.

A, ... 60.. .+ 240.. . . . 300.. .m2

A, .. A, + B .. 300 . .. + n1 .. 300 . .. + 3 5 . .. .. 3 35 '1 1"m 2

V ... 96 ... + 72011'.. 816 ...m1

16. En un can a r ecto de altura h y radio 3 em Sf! clreunserlbe a la base un

trfollgulo ABC equl/6tero. Se plde

1) EJualo r de h para que el tetraedro VAse sea regular.

2} Hollar el uolumen eomprendldo entre eJ tetraedro y el cono.

Solucl6nv

8

12 Ii;

(3r)Z .. J Z - - ' " I .. 2r,,34

1) 51 el tetraedro as regular

Como 1 0 1 altura del l rl6.ngulo de 1aba-

se vale 3r.

A

Luego

h 2 .. 1 2 _ 4r2 .. 4r2 . 3 - 4 r2 ... Br2

h ... 2r.fi. - 6-J2 em

1 1 I Z . J 3 2.J2 ..2) Volumen te tr aed ro "" "3 B x h .. " 3 ~ . r

. . . J 3 . 12r2 . 2r.J2 .. 2..[6 r ..2~ . 31 .. 132'3 em]

12

V 11B x h .. 1.1I'rz h .. 1 . ' j I " . 32 • 6-/2 ... 79,92 em}

oumeneono ""3 3 3

'''-1"...,,,,, rnmnrendldo . .. 132,3 - 79,92 "" 52,3B em]

(Oposfcfon E.G.B., 1983]

Solucl6n

Longll ud de l cf rcu lo maximo de 1 0 1 esfera terrestre .. L

L = 2 1 f T = 4 x 10000000 = 4 X 107

r =4 X 10 7

2 1 1 '

2 X 107 2000' j I " m = -'II"-mam

EIhuso horarlo I lene de arnpl ltud

360

24

La superflcle del huso horarlo es

A = 1 I ' r z

90

2000000 Z

3 1 1 ' mamn ~

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Conceptos Fundamenta Geometría