CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. · el blog de mate de aida: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I pág. 1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. Dadas dos magnitudes, una

el blog de mate de aida: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I pág. 1

CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN.

Dadas dos magnitudes, una función es una relación entre ambas, de tal manera que a cada valor de la

primera le corresponde un único valor de la segunda.

A la primera magnitud se la llama variable independiente, y a la segunda (que depende de la primera),

variable dependiente.

Si se representa por la letra “x” la variable independiente y por la letra “y” la variable dependiente, la

relación funcional “y es función de x”, o “y depende de x”, se escribe así:

y=f(x)

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente “x”.

El rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Ejemplo: El área de un cuadrado es igual a lado por lado: 2lA . Ésta es una relación entre dos

magnitudes: área y lado. El área depende del lado, luego a esta se le llama variable dependiente y al lado

variable independiente.

El dominio de esta función está formado por los números positivos, ya que la variable independiente es

una longitud. El rango de dicha función está formado también por números positivos.

DETERMINACIÓN DE UNA FUNCIÓN.

- Mediante una gráfica.

- Mediante una tabla o conjunto de pares.

- Mediante fórmulas o expresión analítica.

- Mediante una descripción verbal.

• Mediante su representación gráfica:

Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

- la x (variable independiente) sobre el eje horizontal (eje de abscisas).

- la y (variable dependiente) sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y. Al representar los puntos

(x,f(x)), la función se identifica con una línea que es la gráfica de la función.

Para realizar la gráfica de una función hay que elegir las escalas adecuadas en cada eje; o lo que es lo

mismo, utilizar las unidades más idóneas. Los ejes deben estar graduados en escalas, de modo que se

puedan cuantificar los valores de las dos variables. En las gráficas conviene destacar aquellos valores

para los cuáles se verifican hechos importantes.

• Mediante una tabla de valores:

Se presentan dos columnas: en la primera

aparece la variable independiente (x) y en la

segunda la variable dependiente (y).

Ejemplo: El área de un cuadrado, en función de

su lado, es A=l2. Esta función puede venir dada

mediante la siguiente tabla de valores:

Lado, x (cm) área, y (cm2)

0 0

0,5 0,25

1 1

1,5 2,25

2 4

2,5 6,25

3 9

3,5 12,25

• Mediante su expresión analítica o fórmula:

La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Permite calcular los

valores de la variable dependiente para todos los valores que demos a la variable independiente.


Ejemplo: El volumen de una esfera es función de su radio y viene dado por la expresión:

3

3

4rV

CUÁNDO UNA GRÁFICA NO CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN

Cuando a cada valor de x le corresponde uno o ninguno de y, la gráfica corresponde a una función.

Cuando hay valores de x a los que les corresponde más de un valor de y, la gráfica no corresponde a una

función.

DOMINIO DE DEFINICIÓN

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom(f), al conjunto de valores de x

para los cuales existe función, es decir, puede calcularse f(x).

El conjunto de valores de x para los cuales existe la función puede quedar restringido por alguno de los

siguientes motivos:

- imposibilidad de realizar alguna operación:

- denominadores: los valores que hacen cero el denominador no están en el

dominio.

- raíces cuadradas: los valores que hacen negativo el radicando no están en el

dominio.

- contexto real del cual se ha extraído la función: por ejemplo, si se trata de la función que

nos da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado, el dominio serán solo los

números positivos, pues la longitud del lado es una distancia y es positiva siempre.

- por voluntad de quien propone la función: cuando quien presenta la función la define en un

intervalo determinado.

Tendremos en cuenta las siguientes condiciones:

- Las funciones polinómicas están definidas para todo número real.

- Las funciones racionales, de la forma )(

)()(

xQ

xPxf donde P(x) y Q(x) son polinomios, están

definidas para todo valor de x, menos aquellos que hacen cero el denominador (la división por

cero no tiene sentido). Por tanto, los valores que hay que excluir son las soluciones de la

ecuación Q(x)=0.

- La función raíz cuadrada, )()( xPxf , no tiene sentido cuando el radicando es negativo.

Por tanto, habrá que excluir todos los valores de x tales que P(x) < 0.

Ejemplos: Indica y razona cuál es el dominio de las funciones:

1) 3)( 2 xxf 2) 4

2)(

xxf 3) 1)( 2 xxf 3)

5

3)(

x

xxf

RECORRIDO O IMAGEN

El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es

decir, la y. Lo representaremos por Im(f).


PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

• Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o varios puntos de corte.

• Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).

SIMETRÍAS

Una función es simétrica respecto del eje OY cuando f(-x) = f(x), para todo x de su dominio. En este

caso decimos que f es una función par.

Una función es simétrica respecto del origen cuando f(-x) = -f(x), para todo x de su dominio. En este

caso decimos que f es una función impar.

La gráfica de una función impar no varía si, con centro en el origen de coordenadas, la giramos 180º.

ASÍNTOTAS

Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se

comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy

clara.

Las asíntotas son rectas hacia las cuáles tiende a “pegarse” la gráfica de la función. Pueden ser

verticales, horizontales y oblicuas.

• Una función tiende hacia un valor constante k cuando al aumentar o disminuir los valores de la

variable independiente, los correspondientes valores de la variable dependiente se van aproximando

al valor constante k.

Este comportamiento se expresa de las

siguientes formas:

- Cuando x tiende a más infinito, y=f(x) tiende a

k: x + f(x) k

- Cuando x tiende a menos infinito, y=f(x)

tiende a k: x - f(x) k

Gráficamente, ambas situaciones se

representan:

La recta y = k es una asíntota horizontal.


• En la tendencia de una función a mas o menos infinito cuando x tiende a un valor constante

pueden darse los siguientes casos:

La recta x=a es una asíntota vertical.

• Una función tiende a mas o menos infinito cuando x tiende a mas o menos infinito cuando al

hacerse muy grande, en valor absoluto, la variable independiente, también se hace muy grande, en

valor absoluto, la variable dependiente.

Este comportamiento se expresa gráfica y simbólicamente de las siguientes formas:

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO; MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Una función f es creciente cuando el valor de f(x)

aumenta al hacerlo x. En caso contrario es

decreciente.

El punto que marca el paso del crecimiento al

decrecimiento se llama máximo relativo, mientras

que en un mínimo relativo se da el paso de

decrecimiento a crecimiento.

Si f(a) es mayor que cualquier f(x), entonces el punto

(a,f(a)) es el máximo absoluto de f. De manera

análoga se define el mínimo absoluto.

PERIODICIDAD

Una función es periódica de periodo k cuando f(x) =

f(x+k). Esto significa que la función se repite en

intervalos o ciclos consecutivos de longitud k.


FUNCIÓN LINEAL: LA RECTA.

Las funciones polinómicas de grado cero o uno tienen por gráfica una recta: y = mx + n. El coeficiente

“m,” se llama pendiente. Al número “n” se le denomina ordenada en el origen. La recta de ecuación

y=mx+n corta al eje Y en el punto (0,n).

Las rectas de tipo y = mx se llaman de proporcionalidad directa.

La pendiente (coeficiente de la ‘x’) es la variación (aumento o disminución) que experimenta la ‘y’ cuando

la ‘x’ aumenta una unidad. Nos da la inclinación de la recta:

- Si m > 0, la recta, y la función, es creciente.

- Si m < 0, la recta, y la función, es decreciente.

- Si m = 0, se trata de la función constante. El valor de la variable dependiente siempre es el

mismo sea cuál sea el valor de la variable independiente. Su gráfica es una línea recta paralela al eje de

abscisas, OX (recta horizontal, de pendiente nula).

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, 111 , yxP y 222 , yxP , para hallar la

pendiente hacemos:

12

12

xx

yym

, donde 12 xx es la variación de la ‘x’ y 12 yy es la variación de la ‘y’.

Ejemplo: El alquiler de un coche cuesta 6 € de entrada más 3 € por cada hora. Una vez pagada la

cantidad inicial (6 €), el coste añadido es proporcional al tiempo que tenemos el coche alquilado.

La ecuación de ésta gráfica es: y=6+3x

La pendiente, 3, es lo que aumenta el coste (3 €) cuando el tiempo aumenta una hora. La cantidad inicial

(6 €) es el punto del eje Y del cual arranca la función.

Función de proporcionalidad y=mx (función lineal): Las funciones lineales o de proporcionalidad

directa son funciones cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA DE PUNTO-PENDIENTE

Si de una recta se conoce un punto (x0,y

0) y la pendiente, m, su ecuación, llamada ecuación en la forma

punto-pendiente, es:

00 xxmyy

FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA:

Las funciones cuya expresión es un polinomio de grado 2, cbxaxy 2, con a 0, se llaman

funciones cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas con eje vertical.

El vértice de una parábola se calcula encontrando su

coordenada ‘x’ mediante la expresión: a

bxv

2 , y su

coordenada ‘y’ sustituyendo el valor obtenido en la

ecuación de la parábola, es decir:

a

bf

a

bV

2,

2


Eje de simetría de la parábola: es la recta de ecuación:

a

bx

2 . Cumple que la gráfica es simétrica respecto a dicho

eje (que es una recta vertical, es decir, paralela al eje Y).

Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

- Con el eje X (eje de abscisas): son las raíces de la ecuación: 02 cbxax . Se hace y=0 y

se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.

- Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).

Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación 02 cbxax , que tendrá dos,

una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando) acb 42 . Si tiene dos

soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y

ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.

Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la

parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la

parábola van hacia abajo.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES O MAYOR QUE TRES.

Una función polinómica de tercer grado, llamada también cúbica, tiene por fórmula:

dcxbxaxxf 23)( , con a, b, c, d reales y a 0.


Las gráficas de las funciones cúbicas son de uno de los cuatro tipos siguientes:

• El dominio es la recta real.

• La función es continua en su dominio.

• Puntos de corte con los ejes:

- La gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 o 3 puntos (que son las raíces de la

ecuación 023 dcxbxax ).

- La gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0,d).

Ejemplo: Dibuja la gráfica de las siguientes funciones polinómicas:

a) 3)( xxf

El único punto de corte con los ejes es el (0,0).

Sabemos que se trata de una función impar

(simétrica respecto al origen de coordenadas)

puesto que f(x)=-f(-x). Hacemos una tabla de

valores:

x 0 1 -1 2 -2

F(x) 0 1 -1 8 -8

b) xxxf 3)(

Factorizando el polinomio obtenemos:

)1)(1(3 xxxxx , de donde resulta que

f(x) tiene tres puntos de corte con el eje OX.

Dando algunos valores obtendremos la gráfica:

x 0 1 -1 2 -2 1/2 -1/2

f(x) 0 0 0 6 -6 -3/8 3/8

c) xxxxxf 22)( 234

Descomponiendo en factores con ayuda de

Ruffini obtenemos:

)2)(1)(1()( xxxxxf , con lo que se

obtienen cuatro puntos de corte con el eje OX:

(0,0), (1,0), (-1,0), (2,0).


TRASLACIONES DE GRÁFICAS DE FUNCIONES

Traslaciones verticales:

Observando la imagen nos damos cuenta de:

- La gráfica de f(x) + 3 es una

traslación de la gráfica de f(x), tres

unidades hacia arriba.

- La gráfica de f(x) - 4 es una

traslación de la gráfica de f(x),

cuatro unidades hacia abajo.

Las gráficas de las funciones f(x) + K se

obtienen ale trasladar verticalmente la gráfica

de la función y = f(x), K unidades hacia arriba si

K es positivo, y K unidades hacia abajo, si K es

negativo.

Traslaciones horizontales:

Observando la imagen nos damos cuenta de:

- La gráfica de f(x+1) es una

traslación de la gráfica de f(x), una

unidad hacia la izquierda.

- La gráfica de f(x-2) es una

traslación de la gráfica de f(x), dos

unidades hacia la derecha.

Las gráficas de las funciones f(x + K) se obtienen al

trasladar horizontalmente la gráfica de la función y =

f(x), K unidades hacia la izquierda si K es positivo, y

K unidades hacia la derecha, si K es negativo.


FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:

Las funciones cuya ecuación es de la forma x

ky se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se

representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

• Su dominio de definición es: ,00, .

• Su recorrido es: ,00, .

• Es creciente en todo su dominio si k < 0 y decreciente si k > 0.

• No tiene extremos relativos.

• Es discontinua en x=0.

• No corta a los ejes de coordenadas.

• Asíntotas:

- Horizontales: y=0.

- Verticales: x=0.

• Es simétrica respecto al origen de coordenadas.

FUNCIONES RACIONALES

Las funciones cuya ecuación es de la forma )(

)()(

xQ

xPxf , con P y Q polinomios, se llaman funciones

racionales.

• Su dominio de definición son todos los números reales excepto los que anulan el denominador.

• Es discontinua en los puntos que no pertenecen al dominio.

• Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P(x) que pertenezcan al dominio.


• Asíntotas:

- Verticales: se encuentran en los puntos que anulan el denominador.

- Horizontales: comparamos grados:

- si grado[P(x)] > grado[Q(x)] no hay asíntota horizontal.

- si grado[P(x)] < grado[Q(x)] y=0 es asíntota horizontal.

- si grado[P(x)] = grado[Q(x)] y=k es asíntota horizontal, donde b

ak , siendo ‘a’ y ‘b’

los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) respectivamente.

- Oblícuas: aparecen cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el del

denominador.

Ejemplos:

Ejemplos:

a) El tiempo (t) que un corredor tarda en recorrer 10 km es inversamente proporcional a su velocidad

(v), es decir: v

t10

, ¿cuál será su representación gráfica? Solución:

Si v = 14 km/hr, tardaría t = 10/14 = 0,714 horas = 42 min 50 seg.

Si v = 7 km/hr, tardaría t = 10/7 = 1,428 horas = 1 hr 25 min 41 seg.

b) Representa gráficamente la función:

)1)(1(

1

1

1)(

2

xx

x

x

xxf .

La función no está definida para los valores x=1, x=-1,

que hacen cero el denominador. Como para x=-1 el

numerador no se hace cero, se tiene una asíntota

vertical en x=-1. Como en x=1 tanto el numerador como

el denominador se anulan, resulta que la función

presenta un salto en x=1, pero no hay asíntota. La tabla

de valores:

x -3 -2 0 1 2 3

f(x) -1/2 -1 1 1/2 1/3 1/4


FUNCIONES CON RADICALES

Son funciones en cuya expresión algebraica aparece la variable x bajo el signo radical: n xgxf )(

Para representarlas, primero se determina si n es par o impar, para calcular su dominio. A continuación,

se construye una tabla de valores y se representa la función.

FUNCIÓN INVERSA

La función inversa de f es la función que obtenemos al intercambiar los valores de la variable

independiente con los valores de la variable dependiente. La representamos por 1f :

Si f(x)=y, entonces xyf )(1

.

Como consecuencia de esta definición tenemos que: xxff )(1 .

Dada una función f, para obtener la expresión analítica de la función inversa seguimos los pasos:

a) En la expresión y=f(x) intercambiamos la x y la y.

b) Despejamos la y siempre que sea posible.

c) Escribimos la función inversa.

Propiedades de la función inversa:

- se cumple: xxffxff )()( 11

.

- las gráficas de f y 1f , referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la

bisectriz del primer cuadrante.

Ejemplo: Dada la función 32)( xxf , determina su inversa y comprueba las propiedades que ambas

verifican.

Para hallar la función inversa, despejamos x e intercambiamos las variables:

2

3

2

3

2

332 1

xxf

xy

yxxy

Las propiedades:

xxx

fxff

3

2

32

2

3)(1

xx

xfxff

2

33232)( 11

Y las gráficas de f y 1f , como se ve en la figura, son simétricas respecto de la bisectriz del primer

cuadrante.


LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La expresión general de la función exponencial es: xx ayaxf )( , siendo a > 0, a 1.

FUNCIONES EXPONENCIALES

CON BASE MAYOR QUE 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

CON BASE MENOR QUE 1

PROPIEDADES 1,)( aaxf x 1,)( aaxf x

FORMA

DE LA

GRÁFICA

DOMINIO Dom f = R Dom f = R

RECORRIDO Im f = R Im f =

R

CORTES CON

LOS EJES

(0,1) (0,1)

MONOTONÍA Estrictamente creciente en todo

su dominio.

Estrictamente decreciente en

todo su dominio.

ACOTACIÓN Acotada inferiormente por 0. Acotada inferiormente por 0.

ASÍNTOTAS Asíntota horizontal: y = 0. Asíntota horizontal: y = 0.

CONTINUIDAD Continua en todo R. Continua en todo R.

Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto

ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita

una hora, aproximadamente, para dividirse en dos.

La tabla nos muestra el número de bacterias que van apareciendo con el paso del tiempo, en horas:

Tiempo

(horas)

x

Número

de bacterias

y

0 1

1 2

2 4

3 8


La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es: xxf 2)(

Ejemplo: El elemento químico denominado radio tiene un periodo de semidesintegración de,

aproximadamente, 1600 años. Esto quiere decir que cada 1600 años la cantidad radiactiva de radio se

reduce a la mitad. Por tanto, si partimos de 1 gr de radio, al cabo de 1600 años o un periodo de

semidesintegración habrá 1/2 gr de radio, al cabo de dos periodos (3200 años) habrá 1/4 y así

sucesivamente. Hace 1600 años (menos un periodo de semidesintegración) había dos gramos de radio,

hace dos periodos había 4 gramos, etc. La siguiente tabla nos da el número de períodos de

semidesintegración en función de la cantidad de radio:

Tiempo

(períodos de

semidesintegración)

x

Cantidad

(gramos)

y

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

x

xf

2

1)(

• Crecimiento de una población.

La ley de crecimiento de una determinada población establece que el número de personas que viven en la

misma, en función del tiempo en años, viene dada por la siguiente expresión: kteatf ·)( , donde a es la

población inicial en el tiempo t=0 y k es la tasa de crecimiento.

Ejemplo:

Si en el año 1990 había 24000 habitantes en una población y se estima que éste número aumenta a

razón de un 8 % anual, ¿qué población se prevé para el año 2005 si se mantiene el crecimiento en estos

términos?

Solución:

Población inicial de 1990: a = 24000 habitantes

Tasa de crecimiento: k = 8 % = 0,08

Tiempo: t = 2005 – 1990 = 15 años

Población prevista para el 2005: 79683·24000)15( 15·08,0 ef habitantes.

Ejemplo:

Una bola de nieve pesa inicialmente 300 g. Rueda por una montaña nevada incrementando su peso en un

40 % cada 100 m.

A) ¿Cuánto pesará la bola después de descender 400 m? ¿Y si ha descendido 1 km?

B) Encuentra la función que permite expresar el peso de la bola de nieve en función de la

distancia recorrida por la misma.

C) Si en un momento determinado la bola pesa 23,811 kg, ¿cuántos metros ha descendido hasta

ese momento?


Solución:

A) A los 100 m del inicio del recorrido la bola pesa: g4,1·300100

401·300300·

100

40300

A los 200 m la bola pesa: g24,1·3004,01·4,1·3004,1·300·100

404,1·300

A los 400 m la bola pesa: g48,11524,1·300 4

A los 400 m la bola pesa: g64,86774,1·300 10

B) 100/4,1·300 xP

C) mxxxx 1300

4,1log

37,79·log10037,79log4,1log

10037,7944,1·30023811 100/100/

• Interés compuesto e interés compuesto continuo.

Supongamos que el interés que produce un determinado capital se va acumulando al capital inicial para

generar nuevos intereses. En estas condiciones: si se invierte un capital inicial, C, a un interés anual, r

(en tanto por 1), abonado en n periodos anuales durante t años, entonces, el capital acumulado a su

vencimiento, A, viene dado por la fórmula: nt

n

rCA

1·

Ejemplo:

Se depositan 1000 € en una cuenta bancaria a un interés anual del 5 %, acumulados trimestralmente y

durante un año. ¿Qué capital tendremos al finalizar el plazo?

Solución:

Capital inicial: C = 1000 € Tasa de interés anual: r = 0,05 (tanto por uno).

Periodos de interés por año: n = 4. Duración de la inversión: t = 1 año.

Capital acumulado: 95,10504

05,01·1000

1·4

A €

Si los intereses se acumulasen diariamente, entonces n = 365 y el capital acumulado sería 1051,27 €.

Mientras que si los intereses se acumulasen semestralmente, entonces n = 2 y el capital acumulado al

finalizar el año sería 1050,63 €.

Cuando n crece indefinidamente (n ), es decir, los intereses se acumulan en cada instante y los

periodos se hacen cada vez más pequeños, entonces n/r se hace cada vez más pequeño

0

n

r y el

capital acumulado se halla mediante la expresión: rteCA ·

Ejemplo:

Se depositan 1000 € en una cuenta bancaria a un interés compuesto continuo anual del 5 %. ¿Cuál será

el capital acumulado después de un año?

Solución: 27,1051·1000· 1·05,0 eeCA rt €

Ejemplo:

La inflación es la pérdida del valor adquisitivo del dinero, es decir, si un bolígrafo que costó el año

pasado 1 euro, este año cuesta 1,1 euros, la inflación ha sido del 10 % anual.

Si la inflación se mantiene constante en un 10 % anual, la expresión de la función que da el coste de

este bolígrafo al cabo de x años es: xy 1,1·1

A) Dibuja la gráfica que muestra el coste del bolígrafo en el pasado y en el futuro.

B) ¿Cuánto costará este bolígrafo dentro de 15 años? ¿Y hace 5 años?

C) ¿Cuántos años deben pasar para que el bolígrafo valga 2 euros?


Solución:

B) €1772,41,115 15 f ; €621,01,15 5 f

C) añosxx 3,71,1log

2log21,1

REPASO DE LOGARITMOS

El logaritmo de un número real positivo x en base a es el exponente al que hay que elevar la base a

para obtener x: yxa log significa que xa y , siendo a > 0, a 1.

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se indican omitiendo la base, así: log N.

El logaritmo neperiano es el logaritmo en base e (e=2,71…) y se escribe “Ln”.

Ejemplo: Halla los logaritmos siguientes:

• 322288log 3

2 yy yy

• 4222

11616log 4

2/1

yy y

y

• 5log25 2 xx

• ¿En qué base el logaritmo de 100 es 2?

1010100100log2 222 aaaa

Propiedades de los logaritmos:

I. NMNM bbb loglog·log II. NMN

Mbbb logloglog

III. MnM b

n

b ·loglog IV. b

MM

a

a

blog

loglog

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Se llama función logarítmica a la que tiene por ecuación xy alog , siendo a > 0, a 0.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

CON BASE MAYOR QUE 1

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

CON BASE COMPRENDIDA

ENTRE 0 Y 1

PROPIEDADES 1;log)( axxf a 10;log)( axxf a

FORMA

DE LA

GRÁFICA

DOMINIO Dom f = R Dom f =

R

RECORRIDO Im f = R Im f = R

CORTES CON

LOS EJES

(1,0) (1,0)

MONOTONÍA Estrictamente creciente en todo

su dominio.

Estrictamente decreciente en

todo su dominio.

ASÍNTOTAS Asíntota vertical: x = 0. Asíntota vertical: x = 0.

CONTINUIDAD Continua en R . Continua en

R .


Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto

ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita

una hora, aproximadamente, para dividirse en dos. Vamos a estudiar ahora el tiempo transcurrido en

función del número de bacterias.

La tabla nos muestra las horas que pasan en función del número de bacterias que tenemos:

Número

de

bacterias

x

Tiempo

(horas)

y

1 0

2 1

4 2

8 3

Tenemos: yx 2 . La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

xy 2log

Ejemplo: El radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproximadamente, 1600 años. Un físico de

un prestigioso laboratorio depositó en una urna 1 gr de radio con el fin de que sirviera de reloj para la

posteridad. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la

cantidad de radio:

Cantidad

de radio

(gr)

x

Tiempo

(período de

semidesintegración)

y

8 -3

4 -2

2 -1

1 0

1/2 1

1/4 2

Tenemos:

y

x

2

1. La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

xy 2/1log

Las gráficas de la función exponencial y logarítmica con la misma base, es decir, xay y

xy alog son simétricas respecto a la recta y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Las funciones con esta interesante propiedad gráfica reciben el nombre de funciones inversas.


Para valores muy grandes de x, tanto xa como xalog son números muy grandes, pero fácilmente se

aprecia que xa supera en mucho a xalog , por eso hablamos de dos tipos de crecimiento:

- crecimiento exponencial, o muy rápido.

- crecimiento logarítmico o lento, atenuado.

Lo comprobamos:

10x 1024210 ; 3219,32log

10log10log2

50x 1550 10·1259,12 ; 6439,5

2log

50log50log2

100x 30100 10·2677,12 ; 6439,6

2log

100log100log2

Ejemplo:

Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5 % anual. Actualmente, uno de sus

productos vale 18 €. Encuentra la función que da el precio del producto en función de los años

transcurridos. A partir de ésta, contesta a las siguientes cuestiones:

A) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años?

B) ¿Cuánto costaba hace 4 años?

C) ¿Cuántos años deben pasar para que el precio actual del producto se duplique?

Solución:

x

x

P 05,1·18100

51·18

A) €879,2105,1·184 4 P

B) €81,1405,1·184 4 P

C) añosxxxx 52,2205,1log

3log3log05,1log305,105,1·1854

Ejemplo:

En un laboratorio de idiomas se ha obtenido experimentalmente que la curva de aprendizaje

correspondiente a las rutinas de memorizar y escribir palabras de japonés viene dada por la expresión:

xexfy 1,01·200)( , donde x es el número de clases recibidas, a razón de una hora diaria, e y el

número de palabras memorizadas y escritas cada clase, por término medio. Responde:

A) ¿Qué número de palabras se memorizan y escriben después de 5 días de entrenamiento?

B) ¿Y después de 10 días? ¿Y de 15 días?

C) Dibuja la gráfica de la función.

D) ¿Se podrán memorizar 250 palabras?

Solución:

A) f(5)=78 palabras.

B) f(10)=126 palabras; f(15)=155 palabras.

D) En la gráfica se observa que los valores nunca superarán las 200 palabras memorizadas y escritas.

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS:

Las expresiones analíticas de estas funciones requieren de varias fórmulas, cada una de las cuáles rige

el comportamiento de la función en un determinado tramo. Por ejemplo:


4 x si 3-x

4 x 0 si 1

0 xsi 12xx 2

y

4 x si 3-x

4 x 0 si 2

0 xsi 12xx 2

y

Su representación gráfica es fácil si sabemos representar cada uno de sus tramos y se presta atención

a su comportamiento en los puntos de empalme.

Ejemplo: Un banco ofrece cuentas corrientes con un 2,5 % de interés si el saldo es inferior a 1500 €, 5

% de interés para saldos entre 1500 € y 6000 €, y 7,5 % para saldos superiores a 6000 €. Representa

gráficamente la función que nos da el interés en función del saldo.

Para definir esta función hacen falta tres fórmulas:

6000100

5,7

60001500100

5

1500100

5,2

)(

xsix

xsix

xsix

xf Para completar la tabla de valores tendrás que

dar valores dentro de cada intervalo y aplicar la fórmula adecuada en cada caso:

X intervalo f(x)

500 x < 1500 12,5

1000 x < 1500 25

2000 1500 x 6000 100

4000 1500 x 6000 200

8000 x > 6000

10000 x > 6000

FUNCIONES RELACIONADAS CON LAS RECTAS:

Valor absoluto:

0

0

xsix

xsix

xy

.

Parte entera de x: y = ENT[x]. Se define

como el mayor número entero menor o igual que

x.

Su representación gráfica es la siguiente:


OPERACIONES CON FUNCIONES

SUMA Y RESTA DE FUNCIONES:

La suma de dos funciones f y g es una función f + g, cuyas imágenes se obtienen sumando las imágenes

de f y g. De forma análoga se restan las funciones, obteniendo f – g.

MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES:

La multiplicación de dos funciones f y g es una función f · g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando

las imágenes de f y g.

DIVISIÓN DE FUNCIONES:

La división de dos funciones f y g es una función f / g, cuyas imágenes se obtienen dividiendo las

imágenes de f y g, siempre que la imagen de g sea distinta de cero.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

La función compuesta de las funciones f y g es una función, que representamos por gf, cuya imagen se

obtiene al aplicar primero la función f y luego la g.

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CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. · el blog de mate de aida: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I pág. 1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. Dadas dos magnitudes, una