14
1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application: Newton and Kepler 2 2 A) One dimensional motion 4 ﻣﻘﺪﻣﺔIntroduction ﻗﺎﻧﻮن ﻧﻴﻮﺗﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ: ﺗﺮﺗﺒﻂ إﺣﺪاﺛﻴﺔ اﻟﻤﻜﺎن اﻟﻠﺤﻈﻴ واﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻠﺤﻈﻴْﴽ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴّ واﻟﺘﺴﺎرع اﻟﻠﺤﻈﻲ ﻟﺠﺴﻢ ﺳﺎﻗﻂ ﺳﻘﻮﻃﴼ ﺣﺮْ ﻦ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻰ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴْ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﺘﻴ: ﻫﺬا اﻟﻨﻈﺎم ﻳﺘﺠﺎﻫﻞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻷﺟﺴﺎم وﺣﺮﻛﺘﻬﺎ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ) ﻛﺎﻟﺪوران( وﻳﻌﺘﺒﺮﻫﺎ ﻧﻘﻄﻴﺔ. ﻪ ﻻ ﻓﺮق ﺑﻴﻦ رﺻﺎﺻﺔ أو ﻛﻮﻛﺐ أو ﺻﺎروخّ أي أﻧ. ( ( () ) ) ( ( () ) ) ( ( () ) ) ( ( () ) ) = = = = = = dt t d t a dt t y d t v v (1)

Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

  • Upload
    others

  • View
    18

  • Download
    7

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

11

Phys. 433 Computational Physics

Dr. Nidal ERSHAIDATPhysics Dept.

Yarmouk University211-63 Irbid J O R D A N

Lecture # 7

Chapter III

Application:

Newton and Kepler

22

A) One dimensional

motion

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

4

Introductionمقدمةوالسرعة اللحظي�ة المكانترتبط إحداثية : قانون نيوتن الثاني

والتسارع اللحظي لجسم ساقط سقوطا حرا بالمعادلتين اللحظي�ة: التفاضلتين من الدرجة األولى التاليتين

) كالدوران(هذا النظام يتجاهل طبيعة األجسام وحركتها الداخلية .أي أنه ال فرق بين رصاصة أو كوكب أو صاروخ.ويعتبرها نقطية

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

====

====

dttd

ta

dttyd

t

v

v(1)

Page 2: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

33

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

5

يعني يعني يعني يعني F والخاضع للقوة والخاضع للقوة والخاضع للقوة والخاضع للقوةmوصف حركة النظام الذي كتلته وصف حركة النظام الذي كتلته وصف حركة النظام الذي كتلته وصف حركة النظام الذي كتلته إن� إن� إن� إن� حل المعادلتين التفاضليتين السابقتين وهذا يكافئ كما رأينا حل حل المعادلتين التفاضليتين السابقتين وهذا يكافئ كما رأينا حل حل المعادلتين التفاضليتين السابقتين وهذا يكافئ كما رأينا حل حل المعادلتين التفاضليتين السابقتين وهذا يكافئ كما رأينا حل

::::المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانيةالمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانيةالمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانيةالمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية

Equation of Motionمعادلة الحركةمعادلة الحركةمعادلة الحركةمعادلة الحركة

(2)

المبدأ العام المبدأ العام المبدأ العام المبدأ العام (((( تظهر الحاجة للتسارع في قانون نيوتن الثاني تظهر الحاجة للتسارع في قانون نيوتن الثاني تظهر الحاجة للتسارع في قانون نيوتن الثاني تظهر الحاجة للتسارع في قانون نيوتن الثاني ).).).).للديناميكاللديناميكاللديناميكاللديناميكا

(((( )))) (((( ))))m

t,,yta

vF====

Free Fallالسقوط الحرالسقوط الحرالسقوط الحرالسقوط الحر

����))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل نظام إحداثيات مناسب نظام إحداثيات مناسب نظام إحداثيات مناسب نظام إحداثيات مناسب لدراسة سقوط جسم من لدراسة سقوط جسم من لدراسة سقوط جسم من لدراسة سقوط جسم من

����ارتفاع ارتفاع ارتفاع ارتفاع

(a = +g) hy

y=0

مقاومة الهواء مقاومة الهواء مقاومة الهواء مقاومة الهواء (((( بإهمال قوة االحتكاك مع الهواء بإهمال قوة االحتكاك مع الهواء بإهمال قوة االحتكاك مع الهواء بإهمال قوة االحتكاك مع الهواء ::::تعريف السقوط الحرتعريف السقوط الحرتعريف السقوط الحرتعريف السقوط الحرفإن جميع األجسام الساقطة تملك نفس التسارع في نفس فإن جميع األجسام الساقطة تملك نفس التسارع في نفس فإن جميع األجسام الساقطة تملك نفس التسارع في نفس فإن جميع األجسام الساقطة تملك نفس التسارع في نفس ) ) ) ) للحركةللحركةللحركةللحركة

. . . . النقطة قريبا من سطح األرضالنقطة قريبا من سطح األرضالنقطة قريبا من سطح األرضالنقطة قريبا من سطح األرض وهذا هو السقوط الحر وهذا هو السقوط الحر وهذا هو السقوط الحر وهذا هو السقوط الحر

بالقرب من سطح األرض يرمز إلى تسارع األجسام الساقطة سقوطا بالقرب من سطح األرض يرمز إلى تسارع األجسام الساقطة سقوطا بالقرب من سطح األرض يرمز إلى تسارع األجسام الساقطة سقوطا بالقرب من سطح األرض يرمز إلى تسارع األجسام الساقطة سقوطا ms-2 9.8 قيمته تساويقيمته تساويقيمته تساويقيمته تساويوالذيوالذيوالذيوالذيgحرا بالحرفحرا بالحرفحرا بالحرفحرا بالحرف

44

Equation of motion for a free falling body

معادلة السقوط الحرمعادلة السقوط الحرمعادلة السقوط الحرمعادلة السقوط الحر

Free Fall Equation of Motion

:::: في نظام اإلحداثيات هو في نظام اإلحداثيات هو في نظام اإلحداثيات هو في نظام اإلحداثيات هو3حل المعادلة التفاضلية حل المعادلة التفاضلية حل المعادلة التفاضلية حل المعادلة التفاضلية

y0 و و و وv0

HيمثHيمثHيمثHالن الموضع والسرعة اإلبتدائيين للجسم لحظة السقوطالن الموضع والسرعة اإلبتدائيين للجسم لحظة السقوطالن الموضع والسرعة اإلبتدائيين للجسم لحظة السقوطالن الموضع والسرعة اإلبتدائيين للجسم لحظة السقوطيمث

(((( )))) 200 t

21

+tyty gv++++====

(((( )))) t+t 0 gvv ====

(((( ))))mdt

tyd2

2 F====

(4)

(3)

Page 3: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

55

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

9

Solutionالحلالحلالحلالحل

. . . . السقوط الحر قريبا من سطح األرض السقوط الحر قريبا من سطح األرض السقوط الحر قريبا من سطح األرض السقوط الحر قريبا من سطح األرضاعتبرنااعتبرنااعتبرنااعتبرناالحل سهل إذا الحل سهل إذا الحل سهل إذا الحل سهل إذا ....ولسنا بحاجة للحاسوبولسنا بحاجة للحاسوبولسنا بحاجة للحاسوبولسنا بحاجة للحاسوب

تغير تسارع الجاذبية األرضية مع االرتفاع عن مركز تغير تسارع الجاذبية األرضية مع االرتفاع عن مركز تغير تسارع الجاذبية األرضية مع االرتفاع عن مركز تغير تسارع الجاذبية األرضية مع االرتفاع عن مركز ماذا لو أخذنا ماذا لو أخذنا ماذا لو أخذنا ماذا لو أخذنا ؟ ؟ ؟ ؟بعين االعتباربعين االعتباربعين االعتباربعين االعتبار األرض أو مقاومة الهواء األرض أو مقاومة الهواء األرض أو مقاومة الهواء األرض أو مقاومة الهواء

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

10

Gravitationقانون الجاذبيةقانون الجاذبيةقانون الجاذبيةقانون الجاذبية

(((( ))))m

Ry

1yR

mMG22

++++

====++++

====g

F

(((( ))))ya

Ry

1

a 2 ====

++++

====⇔⇔⇔⇔g

2RMG====g gوباستخدام تعريف وباستخدام تعريف وباستخدام تعريف وباستخدام تعريف

(5)

66

11

Retarding drag force due to air

resistance

12

Retarding drag force due to air resistance

مقاومة الهواءمقاومة الهواءمقاومة الهواءمقاومة الهواء!!!!معاكسة التجاه السقوط وتعتمد على السرعةمعاكسة التجاه السقوط وتعتمد على السرعةمعاكسة التجاه السقوط وتعتمد على السرعةمعاكسة التجاه السقوط وتعتمد على السرعةهذه القوة هذه القوة هذه القوة هذه القوة

Fd

m g v

F = m g - Fd (6)

))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل

Page 4: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

77

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

13

Fd vs. velocity

����بشكل عام يجب استنتاج تغير بشكل عام يجب استنتاج تغير بشكل عام يجب استنتاج تغير بشكل عام يجب استنتاج تغير ������������

!!!!مع السرعة من التجربةمع السرعة من التجربةمع السرعة من التجربةمع السرعة من التجربة

. . . . تحسب قيمة السرعة والتسارع ألية لحظة تحسب قيمة السرعة والتسارع ألية لحظة تحسب قيمة السرعة والتسارع ألية لحظة تحسب قيمة السرعة والتسارع ألية لحظة���� وووو ��������بقياسبقياسبقياسبقياس

! ! ! ! ولكن ليست هذه هي الطريقة األفضلست ولكن ليست هذه هي الطريقة األفضلست ولكن ليست هذه هي الطريقة األفضلست ولكن ليست هذه هي الطريقة األفضلست

� �������������� ���������������������� ����

14

Fd vs. velocity is model dependent

القوة األولى تفترض اعتماد قوة مقاومة الهواء خطيا على السرعةالقوة األولى تفترض اعتماد قوة مقاومة الهواء خطيا على السرعةالقوة األولى تفترض اعتماد قوة مقاومة الهواء خطيا على السرعةالقوة األولى تفترض اعتماد قوة مقاومة الهواء خطيا على السرعة�������اعتمادا تربيعي%ا اعتمادا تربيعي%ا اعتمادا تربيعي%ا اعتمادا تربيعي%ا والثانية تفترض والثانية تفترض والثانية تفترض والثانية تفترض �����������������������������....

Fd (v) = k1 v

Fd (v) = k2 v2

! ! ! ! افتراض العالقة بين مقاومة الهواء والسرعةافتراض العالقة بين مقاومة الهواء والسرعةافتراض العالقة بين مقاومة الهواء والسرعةافتراض العالقة بين مقاومة الهواء والسرعة: : : : الحلالحلالحلالحل::::هناك نوعان من االفتراضاتهناك نوعان من االفتراضاتهناك نوعان من االفتراضاتهناك نوعان من االفتراضات

ثابتا التناسب الطردي ثابتا التناسب الطردي ثابتا التناسب الطردي ثابتا التناسب الطردي يعتمديعتمديعتمديعتمد ����

و و و و ����

) ) ) ) الهواءالهواءالهواءالهواء((((الوسطالوسطالوسطالوسط خصائصخصائصخصائصخصائصعلى على على على ””””شكل الجسم الساقطشكل الجسم الساقطشكل الجسم الساقطشكل الجسم الساقط““““وعلى وعلى وعلى وعلى

(7)

88

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

15

Limiting Velocityالسرعة الحدي�ةالسرعة الحدي�ةالسرعة الحدي�ةالسرعة الحدي�ة....متساويتينمتساويتينمتساويتينمتساويتين mg و و و و Fdقيمة للسرعة تصبح عندها القوتان قيمة للسرعة تصبح عندها القوتان قيمة للسرعة تصبح عندها القوتان قيمة للسرعة تصبح عندها القوتان هناك هناك هناك هناك

v1 = m g / k1

v2 = (m g / k2)1/2

(((( ))))

(((( ))))2

2d

1d

m=

m=

vv

v

vv

v

gF

gF

(8)

(9)

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

16

Drag Force vs. v - Acceleration

(((( ))))

(((( ))))

−−−−

−−−−

22

2

1

1m=

1m=

v

vv

vv

vl

gF

gF

q

(((( ))))

(((( ))))

−−−−

−−−−

22

2

1

1=a

1=a

v

vv

vv

vl

g

g

q

(10)

(11)

Page 5: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

99

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

17

Numerical solution of the equations of motion

: : : : يجب حل معادلة الحركة التاليةيجب حل معادلة الحركة التاليةيجب حل معادلة الحركة التاليةيجب حل معادلة الحركة التالية

(((( ))))

−−−−

12

2

1=dt

tydvv

g Linear case

Quadratic case(((( ))))

−−−− 2

2

2

2

2

1=dt

tydv

vg

(12)

(13)

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

18

(2)

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

====

====

dttd

ta

dttyd

t

v

v

وهذا يكافئ كما رأينا حل المعادلتين التفاضليتين من الدرجة وهذا يكافئ كما رأينا حل المعادلتين التفاضليتين من الدرجة وهذا يكافئ كما رأينا حل المعادلتين التفاضليتين من الدرجة وهذا يكافئ كما رأينا حل المعادلتين التفاضليتين من الدرجة ::::األولىاألولىاألولىاألولى

(14)

(15)

))))12 ( ( ( (11 هي الدالة المعر(فة بالمعادلة هي الدالة المعر(فة بالمعادلة هي الدالة المعر(فة بالمعادلة هي الدالة المعر(فة بالمعادلة a(t)و و و و

1010

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

19

Euler’s Method طريقة أولرطريقة أولرطريقة أولرطريقة أولر

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

====

====

tadt

td

tdt

tyd

v

v I على الصيغةعلى الصيغةعلى الصيغةعلى الصيغة 12 و 13تكتب المعادلتان تكتب المعادلتان تكتب المعادلتان تكتب المعادلتان ) ) ) ) مرتينمرتينمرتينمرتين((((سوف نستخدم هنا طريقة أولر سوف نستخدم هنا طريقة أولر سوف نستخدم هنا طريقة أولر سوف نستخدم هنا طريقة أولر

....y(t) اليجاداليجاداليجاداليجاد

أوال أوال أوال ) )) )) )) )12أو أو أو أو ( ( ( (11أنظر الدالة أنظر الدالة أنظر الدالة أنظر الدالة ( ( ( (15 من المعادلة من المعادلة من المعادلة من المعادلة ������������v اليجاداليجاداليجاداليجاد: : : : أوال

v(t) وذلك باستخدام وذلك باستخدام وذلك باستخدام وذلك باستخدام 14 من المعادلة من المعادلة من المعادلة من المعادلة ���������������� اليجاداليجاداليجاداليجاد: : : : ثانياثانياثانياثانيا في أوال في أوال في أوال .... في أوال

(((( ))))(((( ))))

========

ta)t,y(

t)t,y(

f

vf

Euler’s Method

Page 6: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

1111

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

21

Euler’s Method طريقة أولرطريقة أولرطريقة أولرطريقة أولر

: : : : مبدأ الطريقةمبدأ الطريقةمبدأ الطريقةمبدأ الطريقةالعرضالعرضالعرضالعرض تقسيم الفترة الزمنية إلى عدد من الفترات متساويةتقسيم الفترة الزمنية إلى عدد من الفترات متساويةتقسيم الفترة الزمنية إلى عدد من الفترات متساويةتقسيم الفترة الزمنية إلى عدد من الفترات متساوية

tn = t0 + n ∆∆∆∆t (15)

i عند نهاية الفترةعند نهاية الفترةعند نهاية الفترةعند نهاية الفترةتساوي قيمتهاتساوي قيمتهاتساوي قيمتهاتساوي قيمتهاi+1عند بداية الفترةعند بداية الفترةعند بداية الفترةعند بداية الفترةyقيمةقيمةقيمةقيمةiالمشتقة عند نهاية الفترةالمشتقة عند نهاية الفترةالمشتقة عند نهاية الفترةالمشتقة عند نهاية الفترةقيمةقيمةقيمةقيمة××××طول الفترةطول الفترةطول الفترةطول الفترة+

22

First Point Approximation

yn+1 = yn + vn ∆∆∆∆tFirst point approximation

vn+1 = vn + an ∆∆∆∆t

مقدار تغير -تعرف السرعة في نهاية فترة بإستخدام التسارع عن الوضع في بداية هذه الفترة و تعرف اإلزاحة-السرعة

.!!!! االبتدائي في نهاية فترة بإستخدام السرعة في بدايتها. . . . الحل العددي ليس حال وحيداالحل العددي ليس حال وحيداالحل العددي ليس حال وحيداالحل العددي ليس حال وحيدا

سوف نستخدم حال اقترحه كرومرسوف نستخدم حال اقترحه كرومرسوف نستخدم حال اقترحه كرومرسوف نستخدم حال اقترحه كرومر

(15)

(16)

1212

Euler-Cromer Method

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

24

Last Point Approximationالحركة في بعد واحد- طريقة اولر-كرومر

vn+1بداللة بداللة بداللة بداللة yn+1نفضل التعبير عننفضل التعبير عننفضل التعبير عننفضل التعبير عن

vn+1 = vn + an ∆∆∆∆t

yn+1 = yn + vn+1 ∆∆∆∆t

Last point approximation

(17)

(18)

Page 7: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

1313

B) Two dimensional

trajectories

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

2D motion- Projectiles -الحرآة في بعدين المقذوفات

v0اعتبر جسما مقذوفا بسرعة ابتدائية اعتبر جسما مقذوفا بسرعة ابتدائية اعتبر جسما مقذوفا بسرعة ابتدائية اعتبر جسما مقذوفا بسرعة ابتدائية

سطح سطح سطح سطح عنعنعنعنhمن على ارتفاعمن على ارتفاعمن على ارتفاعمن على ارتفاع معادلة معادلة معادلة معادلة فإن.فإن.فإن.فإن.بإهمال مقاومة الهواء بإهمال مقاومة الهواء بإهمال مقاومة الهواء بإهمال مقاومة الهواء . . . . مع األفقي مع األفقي مع األفقي مع األفقيθθθθاألرض وبزاوية األرض وبزاوية األرض وبزاوية األرض وبزاوية

: : : : تصف حركة هذا المقذوف هيتصف حركة هذا المقذوف هيتصف حركة هذا المقذوف هيتصف حركة هذا المقذوف هيالحركة التيالحركة التيالحركة التيالحركة التي

(((( )))) 222

0

xcos2

tanxy

θθθθ−−−−θθθθ====

v

g

y = a x2) وهي معادلة قطع مكافئوهي معادلة قطع مكافئوهي معادلة قطع مكافئوهي معادلة قطع مكافئ + b x + c)

θθθθ====g

2sinR

20v ::::المدى األفقيالمدى األفقيالمدى األفقيالمدى األفقي

(19)

1414

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

27

Projectilesالمقذوفاتالمقذوفاتالمقذوفاتالمقذوفات

hθθθθ0

v

x

y

))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل

28

Projectilesالمقذوفاتالمقذوفاتالمقذوفاتالمقذوفات

====−−−−θθθθ: : : : بأخذ مقاومة الهواء بعين االعتباربأخذ مقاومة الهواء بعين االعتباربأخذ مقاومة الهواء بعين االعتباربأخذ مقاومة الهواء بعين االعتبار cosdtd

m dx F

v

θθθθ−−−−−−−−==== sinmdt

dm d

y Fgv

m g

v

Fd

θθθθ))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل

Page 8: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

1515

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

29

Projectiles with air resistance Fd !!!!تربيعي!ةتربيعي!ةتربيعي!ةتربيعي!ةالعالقة بين مقاومة الهواء والسرعة العالقة بين مقاومة الهواء والسرعة العالقة بين مقاومة الهواء والسرعة العالقة بين مقاومة الهواء والسرعة = k2 v2

::::بالتالي فإن!بالتالي فإن!بالتالي فإن!بالتالي فإن!وووو

y2y

mk

gdt

dvv

v−−−−−−−−====x

2x

mk

dtd

vvv −−−−====

v تغير مركبتي السرعة السينية والصادية يعني تغير قيمة السرعةتغير مركبتي السرعة السينية والصادية يعني تغير قيمة السرعةتغير مركبتي السرعة السينية والصادية يعني تغير قيمة السرعةتغير مركبتي السرعة السينية والصادية يعني تغير قيمة السرعة

الحركة الحركة الحركة الحركة ال نستطيع حساب الحركة العمودية دون الرجوع إلىال نستطيع حساب الحركة العمودية دون الرجوع إلىال نستطيع حساب الحركة العمودية دون الرجوع إلىال نستطيع حساب الحركة العمودية دون الرجوع إلىأن!نا أن!نا أن!نا أن!نا أي أي أي أي ....األفقي!ةاألفقي!ةاألفقي!ةاألفقي!ة

(20)

References: Gould , Chapters 3 & 4, pages 33-78 III - Motion of falling objectsIV - The Kepler problem

1616

Lecture # 8

III Newton & Kepler

C) The Kepler Problem

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

32

Kepler’s Lawsقوانين كبلرقوانين كبلرقوانين كبلرقوانين كبلرو تشكل و تشكل و تشكل و تشكل تدور الكواكب في مدارات بيضاوية حول الشمستدور الكواكب في مدارات بيضاوية حول الشمستدور الكواكب في مدارات بيضاوية حول الشمستدور الكواكب في مدارات بيضاوية حول الشمس : : : : 1111ق ك ق ك ق ك ق ك

....الشمس إحدى بؤرتي المدار البيضاويالشمس إحدى بؤرتي المدار البيضاويالشمس إحدى بؤرتي المدار البيضاويالشمس إحدى بؤرتي المدار البيضاوي

تتغير سرعة كوكب بالزيادة عند اقترابه من الشمس تتغير سرعة كوكب بالزيادة عند اقترابه من الشمس تتغير سرعة كوكب بالزيادة عند اقترابه من الشمس تتغير سرعة كوكب بالزيادة عند اقترابه من الشمس : : : : 2222 ق كق كق كق كالخط الواصل بين الشمسالخط الواصل بين الشمسالخط الواصل بين الشمسالخط الواصل بين الشمسأن! أن! أن! أن! وبالنقصان عند ابتعاده عنها بحيث وبالنقصان عند ابتعاده عنها بحيث وبالنقصان عند ابتعاده عنها بحيث وبالنقصان عند ابتعاده عنها بحيث

....والكوكب يمسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساويةوالكوكب يمسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساويةوالكوكب يمسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساويةوالكوكب يمسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساوية

واحدة لجميع الكواكب التي واحدة لجميع الكواكب التي واحدة لجميع الكواكب التي واحدة لجميع الكواكب التي a2T/3تكون النسبةتكون النسبةتكون النسبةتكون النسبة : : : : 3333ق ك ق ك ق ك ق ك هو المحور األكبر هو المحور األكبر هو المحور األكبر هو المحور األكبر aهي دورة الكوكب وهي دورة الكوكب وهي دورة الكوكب وهي دورة الكوكب وTتدور حول الشمس حيثتدور حول الشمس حيثتدور حول الشمس حيثتدور حول الشمس حيث

....للمدار البيضاويللمدار البيضاويللمدار البيضاويللمدار البيضاوي

Page 9: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

1717

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

33

Gravitational Forceقانون الجاذبيةقانون الجاذبيةقانون الجاذبيةقانون الجاذبية و تتناسب قوة الجذب التي و تتناسب قوة الجذب التي و تتناسب قوة الجذب التي و تتناسب قوة الجذب التي ����ا ا ا ا المسافة بينهم المسافة بينهم المسافة بينهم المسافة بينهم���� و و و و ���� تتفاعل كتلتان تتفاعل كتلتان تتفاعل كتلتان تتفاعل كتلتان

تؤثر بها الواحدة على األخرى طرديا مع حاصل ضرب الكتلتين تؤثر بها الواحدة على األخرى طرديا مع حاصل ضرب الكتلتين تؤثر بها الواحدة على األخرى طرديا مع حاصل ضرب الكتلتين تؤثر بها الواحدة على األخرى طرديا مع حاصل ضرب الكتلتين . . . . بينهمابينهمابينهمابينهماوعكسيا مع مربع المسافةوعكسيا مع مربع المسافةوعكسيا مع مربع المسافةوعكسيا مع مربع المسافة

rr

mMGF 2−−−−====r

أن! أن! أن! أن! واإلشارة السالبة تعني واإلشارة السالبة تعني واإلشارة السالبة تعني واإلشارة السالبة تعني ���� إلى إلى إلى إلى ����من من من من اتجاه متجه الوحدة اتجاه متجه الوحدة اتجاه متجه الوحدة اتجاه متجه الوحدة ))))������������((((أنظر الشكل أنظر الشكل أنظر الشكل أنظر الشكل ((((. . . . القوة قوة جذبالقوة قوة جذبالقوة قوة جذبالقوة قوة جذب

rr

rr

====

r

G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 ثابت نيوتن للجاذبيةثابت نيوتن للجاذبيةثابت نيوتن للجاذبيةثابت نيوتن للجاذبية

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

34

body problem -A classical two

x

y

mFx

θθθθ

Fy

M

Fr

xrmMG

cosrmMG

F 32x −−−−θθθθ−−−−==== =

yrmMG

sinrmMG

F 32y −−−−θθθθ−−−−==== =

))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل

1818

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

35

body problem-A classical twoمثال كالكيسي في الفيزياء مثال كالكيسي في الفيزياء مثال كالكيسي في الفيزياء مثال كالكيسي في الفيزياء = = = = حركة دوران األرض حول الشمس حركة دوران األرض حول الشمس حركة دوران األرض حول الشمس حركة دوران األرض حول الشمس

. . . . لتفاعل جسمين معالتفاعل جسمين معالتفاعل جسمين معالتفاعل جسمين معا

))))مثل حركة إلكترون بور حول نواة ذرة الهيدروجينمثل حركة إلكترون بور حول نواة ذرة الهيدروجينمثل حركة إلكترون بور حول نواة ذرة الهيدروجينمثل حركة إلكترون بور حول نواة ذرة الهيدروجين((((

فرق فرق فرق فرق ““““المسألة إلى دراسة تفاعل جسم واحد مع المسألة إلى دراسة تفاعل جسم واحد مع المسألة إلى دراسة تفاعل جسم واحد مع المسألة إلى دراسة تفاعل جسم واحد مع ” ” ” ” تحويلتحويلتحويلتحويل““““ يمكن يمكن يمكن يمكن •” ” ” ” بئر جهدبئر جهدبئر جهدبئر جهد““““أو أو أو أو ” ” ” ” جهدجهدجهدجهد

::::هناك طريقتانهناك طريقتانهناك طريقتانهناك طريقتان

وبالتالي وبالتالي وبالتالي وبالتالي كتلة األرض مهملة بالنسبة لكتلة الشمسكتلة األرض مهملة بالنسبة لكتلة الشمسكتلة األرض مهملة بالنسبة لكتلة الشمسكتلة األرض مهملة بالنسبة لكتلة الشمسباعتبار أن! باعتبار أن! باعتبار أن! باعتبار أن! : : : : األولى األولى األولى األولى ومركز إحداثياتومركز إحداثياتومركز إحداثياتومركز إحداثيات” ” ” ” ساكنةساكنةساكنةساكنة““““اعتبار الشمس اعتبار الشمس اعتبار الشمس اعتبار الشمس

The Reduced Massالكتلة المصغر�ةالكتلة المصغر�ةالكتلة المصغر�ةالكتلة المصغر�ة

. . . . يتحرك حول مركز قوة ثابت يتحرك حول مركز قوة ثابت يتحرك حول مركز قوة ثابت يتحرك حول مركز قوة ثابت���� مكافئة لحركة جسم كتلته مكافئة لحركة جسم كتلته مكافئة لحركة جسم كتلته مكافئة لحركة جسم كتلته اآلناآلناآلناآلنالحركة الحركة الحركة الحركة

�وطاقة وضعه هي وطاقة وضعه هي وطاقة وضعه هي وطاقة وضعه هي ������� ����������������

���� هنا تمثل بعد الكتلة هنا تمثل بعد الكتلة هنا تمثل بعد الكتلة هنا تمثل بعد الكتلة ����حيث حيث حيث حيث ....عن مركز الكتلة والذي هو مركز اإلحداثيات الجديدعن مركز الكتلة والذي هو مركز اإلحداثيات الجديدعن مركز الكتلة والذي هو مركز اإلحداثيات الجديدعن مركز الكتلة والذي هو مركز اإلحداثيات الجديد

....المصغر0ةالمصغر0ةالمصغر0ةالمصغر0ة استخدام مفهوم الكتلة استخدام مفهوم الكتلة استخدام مفهوم الكتلة استخدام مفهوم الكتلة ----أعمأعمأعمأعم----الطريقة الثانية الطريقة الثانية الطريقة الثانية الطريقة الثانية

MmMm

++++====µµµµ

0 في نظامنا ال تعتمد طاقة الوضع الكلية في نظامنا ال تعتمد طاقة الوضع الكلية في نظامنا ال تعتمد طاقة الوضع الكلية في نظامنا ال تعتمد طاقة الوضع الكلية 0 إال 0 إال 0 إال على اإلزاحة النسبية للجسمين على اإلزاحة النسبية للجسمين على اإلزاحة النسبية للجسمين على اإلزاحة النسبية للجسمين إال))))�������������������� وفي هذه الحالة يمكن استبدال النظام المكون من وفي هذه الحالة يمكن استبدال النظام المكون من وفي هذه الحالة يمكن استبدال النظام المكون من وفي هذه الحالة يمكن استبدال النظام المكون من ) ) ) ) ��������������������������������

جسمين بنظام مكافئ مكون من جسم واحد كتلته جسمين بنظام مكافئ مكون من جسم واحد كتلته جسمين بنظام مكافئ مكون من جسم واحد كتلته جسمين بنظام مكافئ مكون من جسم واحد كتلته

Page 10: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

1919

37

الحرآة النسبية

x

y

µµµµ

0

Fr

v // p

((((الشكل الشكل الشكل الشكل ��������((((

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

38

Earth-Sun Reduced Mass

كتلة األرض صغيرة جدا كتلة األرض صغيرة جدا كتلة األرض صغيرة جدا كتلة األرض صغيرة جدا وألن�وألن�وألن�وألن�في حالة األرض والشمس في حالة األرض والشمس في حالة األرض والشمس في حالة األرض والشمس : : : : فإن�فإن�فإن�فإن�بالنسبة لكتلة الشمس بالنسبة لكتلة الشمس بالنسبة لكتلة الشمس بالنسبة لكتلة الشمس

earthsunearth

sunearth mMm

Mm ≈≈≈≈++++

====µµµµ

2020

Constraints on the

motion

40

Conservation of angular momentum

ويكونويكونويكونويكون) ) ) ) x,y((((الحركة الدورانية في مستوى الحركة الدورانية في مستوى الحركة الدورانية في مستوى الحركة الدورانية في مستوى فإن� فإن� فإن� فإن� القوة مركزية القوة مركزية القوة مركزية القوة مركزية ألن� ألن� ألن� ألن� ���������الزخم الزاوي محفوظا وليس له الزخم الزاوي محفوظا وليس له الزخم الزاوي محفوظا وليس له الزخم الزاوي محفوظا وليس له �إال �إال �إال z مركبة في البعد الثالث مركبة في البعد الثالث مركبة في البعد الثالث مركبة في البعد الثالثإال

[[[[ ]]]] 0Frpprdtd

dtLd ====××××++++××××====××××====

rrrrrrr

v

⊥⊥⊥⊥µµµµ====××××==== ˆrprL vrrr

p وعمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين المتجهr

rr ⊥⊥⊥⊥

::::يوجد في المسألة شرطان مقي�دان للحركة وهمايوجد في المسألة شرطان مقي�دان للحركة وهمايوجد في المسألة شرطان مقي�دان للحركة وهمايوجد في المسألة شرطان مقي�دان للحركة وهما

(((( ))))xyz yxL vv −−−−µµµµ====

Page 11: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

2121

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

41

Conservation of total energy

2) The other constraint : Total energy is conserved

rMµG

v21

=E 2 −−−−µµµµ

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

42

معادلة الحرآة

−−−−====

−−−−====

yr

MGtdyd

xr

MGtdxd

32

2

32

2

Coupled 2nd order differential equations because: 22 yxr ++++====

2222

43

eccentricity

Elliptical orbity

xO

b

a

major axis

minor axis

F1 F2

2

2

ab

1 −=e

P

F1P+F2P = 2a ,

))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

44

Astronomical data�الكوكبالكوكبالكوكبالكوكب

��

major T e

0.205 0.76 0.387عطارد

�الزهرة

0.723 1.94 0.006

�األرض

1 3.16 0.0167

�المريخ

1.523 5.94 0.093

0.048 37.4 5.202المشتري

�زحل

9.554 93.0 0.055

0.046 266 19.218اورانوس

0.008 520 30.109نبتون

0.246 782 39.60بلوتون

major semi-major axis

in auT

Period in 107s(year/ p)

Page 12: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

2323

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

45

Kepler’s 3rd Lawفي حالة المدار الدائريفي حالة المدار الدائريفي حالة المدار الدائريفي حالة المدار الدائري 3333ق ك ق ك ق ك ق ك سوف نثبت سوف نثبت سوف نثبت سوف نثبت

====⇒⇒⇒⇒

========

rMG

rMmG

rm

,r

a 2

22

v

vv

التسارع مركزيالتسارع مركزيالتسارع مركزيالتسارع مركزي

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

46

Period

32

2 rMG

4T

r2T

ππππ====ππππ==== ⇒⇒⇒⇒v

� ومعامل التناسب الطردي هو ومعامل التناسب الطردي هو ومعامل التناسب الطردي هو ومعامل التناسب الطردي هو r3 يتناسب طردي�ا مع يتناسب طردي�ا مع يتناسب طردي�ا مع يتناسب طردي�ا مع T2أي أن� أي أن� أي أن� أي أن

T3 / a2 =

MG4 2ππππ

MG4 2ππππ

من السهل نسبي�ا اثبات وجود التناسب الطردي في حالة المدار من السهل نسبي�ا اثبات وجود التناسب الطردي في حالة المدار من السهل نسبي�ا اثبات وجود التناسب الطردي في حالة المدار من السهل نسبي�ا اثبات وجود التناسب الطردي في حالة المدار ::::البيضاوي والنتيجة هيالبيضاوي والنتيجة هيالبيضاوي والنتيجة هيالبيضاوي والنتيجة هي

a = semi-major axis

2424

References: Gould , Chapter 4: The Kepler problem

Lecture # 9

III Newton & Kepler D) A mini solar system

Page 13: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

2525

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

49

The solar systemالكواكب التسعة في النظام الشمسي تؤثر على أن حقيقة الحال هو

! بعضها والمسألة ليست ببساطة مسألة جسمين فقط القوى المؤثرة بين الكواكب صغيرة مقارنة بقوة جذب مع أن

. يجب أن نأخذها بعين االعتبار إال أن ناالشمس لكل منها . مثال تأثير نبتون على اورانوس

القوة التي يتأثر أنوجود الكواآب األخرى يؤدي ببساطة إلى وهنا فإن الحل التحليلي غير وارد !!!بها آل منها ليست مرآزيةويجب عمل تحليل عددي

الشمسيالشمسيالشمسيالشمسيالنظامالنظامالنظامالنظام

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

50

A mini solar systemلتوضيح ما سبق سوف نعتبر للتبسيط نظاما شمسي ا مكو نا من

.الشمس وكوكبين

نظام اإلحداثيات الذي سوف نستخدمه ) 3-6( يبين الشكل . لدراسة هذه المسألة

2626

51

Coordinate Systemy

x

r1

m2

r2

r21m1

M ))))������������((((الشكل الشكل الشكل الشكل

� �������������� ���������������������� �������������������� �����������������������������������

52

في بعدينفي بعدينفي بعدينفي بعدين: : : : معادلة الحركةمعادلة الحركةمعادلة الحركةمعادلة الحركة

1221 rrrrrr

−−−−====

−−−−−−−−====

++++−−−−====

21321

2123

2

222

2

2

21321

2113

1

121

2

1

rr

mmGr

r

mMGtdrd

m

rr

mmGr

r

mMGtdrd

m

vvv

vvv

Page 14: Computational Physics - yu.edu.jo...1 1 Phys. 433 Computational Physics Dr. Nidal ERSHAIDAT Physics Dept. Yarmouk University 211-63 Irbid J O R D A N Lecture # 7 Chapter III Application:

2727

References: Gould , Chapter 4: The Kepler problem

Next Lecture Chapter 4:

Comparison of the different methods