COMPUTACIÓ COMPUTACIÓ QUÀNTICAQUÀNTICA

Rossend Rey

Departament de Física i Enginyeria Nuclear

rosendo.rey@upc.edu B5-205

2005 ANY MUNDIAL DE LA FÍSICA

Teoria de la Relativitat

Moviment brownià

Partícules de poliestirè (2µm) en aigua (~10000 cops més petita)

Evidència indirecta de la constitució atòmica de

la matèria

Efecte fotoelèctric

La radiació està constituïda per “QUANTUMS” d’energia

FOTÓprimera partícula predita teòricament

Com va ser rebuda aquesta teoria?

“…que en algunes ocasions les sevesespeculacions hagin errat el tret com, per exemple, la seva hipòtesi delsquantums de llum, no s’hauria d’utilitzaren contra seva…”

Recomanació per entrar a L’Acadèmia de Prússia, 1913

però…

“A l’Albert Einstein pels seus seveis a la Física Teòrica i especialment per la seva descoberta de la llei de l’efectefotoelèctric”

Premi Nobel, 1922

Quin era el problema?

“…semblava violar tot el que sabíem sobre la interferència de la llum”

R.A. Millikan, 1948Premi Nobel, 1923 (en part per intentar

demostrar experimentalment que la teoriad’Einstein era incorrecta!)

Experiment d’Interferometria

FOTONS

VIDRES SEMITRANSPARENTS

MIRALLS

Semblen molt avorrits …

50%

25%

25%

Els enviemUN a UN

Res de nou …

25%

25%

50%

Interferòmetre Mach-Zehnder

50% ?

50% ?

Sorpresa!

100% !!!

0% !!!

… també semblacom si sabés que hi ha dos camins

Tot i que semblapassar per unsol camí…

I si els espiem?

50% !!!

50% !!!

Detectem

+

reenviem

Detectem

+

reenviem

Tot “funciona” si pensem en ones

Costa MOLT d’imaginar…

Compte, que no és MIG fotó!

“Doble personalitat”

Quan mirem on és, es comporta comuna PARTíCULA !

Quan no estem mirant, es comporta comuna ONA !

Veure-hi sense mirar

Una caixa pot contenir una bomba …

…ultrasensible

Un sol fotó pot fer-la explotar

Posem la caixa en un Mach-Zender

Si la caixa és buida…

100% !!!

0% !!!

Si sempre hi ha bomba…

50%

25%

25%

Indistingible del resultatque s’obté amb una

caixa buida

Aquests fotonsens diuen que hiha una bomba

sense fer-la explotar!

Màgia!

Podem detectar ¼ de les bombes sensefer-les explotar i, per tant, sense que capfotó hagi entrat per “comprovar” si hi ha una bomba o no.Es pot refinar fins que la probabilitat pugides de ¼ fins a un nombre tant proper a 1 com es vulgui.

Realment tot és molt estrany

“Aquests cinquantaanys de cavilacions no m’han portat més propde respondre la pregunta: què és el quantum de llum?”

A. Einstein, 1951

Tothom té doble personalitat!

FluorofullerèRècord de l’any 2003

Es comporta com una ona …

Spin de l’electró

Pot trobar-se en els dos estats simultàniament… fins que mirem!

N

S

S

NCampmagnètic

Algú en principi més informat…“…crec que puc dir

amb tota tranquilitatque ningú enten la Física Quàntica…

…no vagin preguntant-se ¿però com pot ser?, perquès’endinsaran en un carreródel que ningú ha pogut sortir-ne encara…”

R. Feynman, Premi Nobel, 1965

Compte, és considerat el fundador!

En un article del 1982 va suggerir la possibilitat d’ordinadors quànticsmés potents que els “clàssics”:

“…la descripció quàntica completa d’unsistema gran … no es pot simular ambun ordinador normal … però pot ser simulada amb elements d’un ordinadorquàntic…”

QUBITS … per fi!

0 1+ βα=|ψ⟩

α i β són nombres complexos!

~ probabilitat de trobar l’estat |0> o |1> al mirar

Molt méssofisticat que els 0 o 1 que són possiblesen els bits

Uns quants exemples

|0⟩

|0⟩+3·|1⟩

|0⟩+i · |1⟩

|0⟩+|1⟩ ?

?

?

al mesurar el seu estat0

0 50%1 50%0 10%1 90%0 50%1 50%

Ull! És la unitat

imaginària!!!

Suposem N d’aquests

a|0>+ b|1>

a|0>|0>+b|0>|1>+c|1>|0>+d|1>|1>

2 coeficients que s’han de calcular

4=22

2N

nombre de qubitsco

efic

ient

s pe

r sim

ular

N=100 ⇒2100> nombre d’àtoms del Sol !

Fer de la necessitat virtut

Feynman (1982): per què no utilitzar un sistema quàntic que puguem controlar persimular-ne un altre?

David Deutsch (1985): és possible que un ordinador quàntic resolgui problemescomputacionals que no tenen solució eficienten un ordinador clàssic?

Sí!!! Algorisme de Deutsch

Donada una moneda, podem determinar ambuna sola tirada si ésbona o està falsificada?

Bona: cara i creuFalsa: dues cares o dues creus

En llenguatge més matemàtic

Donada una funció binària, podem saber ambuna sola consulta si és constant?

f(0) = 0 f(1) = 0f(0) = 1 f(1) = 1

f(0) = 0 f(1) = 1f(0) = 1 f(1) = 0

La lògica habitual ens diu que primer hauremde cridar la rutina pel valor 0, desprès pel valor 1, i comparar el resultat ⇒2 crides

Aquest “ordinador quàntic” ho fa amb una sola crida!

Implementat físicament l’any 1998 per primer copDes de llavors s’ha aconseguit utilitzant diferents

“tecnologies” (spins, ions atrapats, …)

2 qubits

Portes quàntiques,

d’un sol qubit

Única crida de la rutina que

calcula la funció

Mirem en quinestat està el primer qubit

El dimoni està en els detalls

|0⟩+|1⟩

|0⟩-|1⟩ |0⟩-|1⟩

Si la funció és constant|0⟩+|1⟩ Si la funció és constant

|0⟩

|0⟩-|1⟩Si la funció ésbalancejada

|1⟩Si la funció ésbalancejada

Comparem amb un circuit “clàssic”

01

1

0

1

1

0

Fins ara la Física sols milloraval’eficiència d’aquest esquema

En els ordinadors actuals sols ha canviat la implementació física de les portesEls ‘relés’ podíen fer exactament el mateixque els chips

Aquest canvi és profund

“ La Teoria de la Computació tradicionalment s’haestudiat…com un tema de Matemàtiques...

…això és un error. Els ordinadors són objectesfísics i les computacions processos físics……el que els ordinadors poden o no poden ferestà sols determinat per les lleis de la Física, i no per les de les Matemàtiques”.

D. Deutsch

Generalització dels fonaments

BIT QUBIT

MÀQUINA DE TURING

MÀQUINA DE TURINGQUÀNTICA

CLASSES DE COMPLEXITAT:

P, NP, …

NOVES CLASSES DE COMPLEXITAT:

P⊂QP, …

No podríem evitar-ho?

Hi ha, com a mínim, dues raons importantsper prendre-s’ho seriosament:

El procés de miniaturització s’acaba!

Algorismes quàntics MOLT potents

Després de tot l’algorisme de Deutsch no sembla que vagi a canviar el món!

Doomsday per la Llei de Moore

“ Honestament, no esperaba que la lleiencara fos vàlida 30 anys desprès…noés fins al 2017 en que veiem limitacionsfísiques”

Gordon Moore

Limit: 1 àtom per bit

Quan això arribi, segurament …

Els PC “correran” a 40 GHz

Construir 1 planta de fabricació costaràel 5% del PIB dels USA

I sobretot …les lleis de la Física Quàntica seran imprescindibles!

1994, any miraculós de la CQ?

En Peter Shor va descobrir:

Un algorisme quàntic pertrencar RSA fàcilment

Una manera de corregir errors en elsqubits.

PREMI NEVANLINNA 1998~ Premi Nobel de la Informàtica

RSA és per tot arreu!

La clau de volta de RSA

RSA-129 = 143816257578888676692357799761466120102182 9672124236256256184293570693524573389783059 7123563958705058989075147599290026879543541

34905295108476509491478496199038 98133417764638493387843990820577

32769132993266709549961988190834 461413177642967992942539798288533 ×

Es va aconseguir el 1994 amb una xarxa mundial d’ordinadors

Alguns ordres de magnitud

Suposem la potència combinada de 1000 PC i la validesa de la Llei de Moore (temps en anys)

Edat de l’Univers

~1011

anys

Amb l’algorisme de Shor…

Ordinador quàntic (hipotètic!) a 100 MHzTemps en minuts!!!

El primer ordinador quàntic!

Al 2001 a IBM es va factoritzar el nombre… 15 !!!

Per factoritzar un nombre de ~400 dígits caldríen ~20,000 qubits

Com funciona l’algorisme de Shor?

Avui aixòno toca

Teoria de Nombres + Transformada de Fourier Quàntica

Però tots són molt similars

Estat inicial formatper una

superposició de tots els estats

possibles

N=100⇒2100

Càlcul sobre totes les entradespossibles!

Paral.lelismeQuànticMassiu

Fins just abans de mirar el resultat, tenim un estat

que conté totes les respostes possibles.

Cada una amb un cert PES

MESURA

101

En essència…

El truc està en dissenyar el conjunt de portes per tal que a la sortida la mesura corresponguia una propietat col.lectiva de les solucions del problema (amb una certa probabilitat, 1 en el cas de l’algorisme de Deutsch, 0.4 en el de Shor).

Cada problema necessita el seu circuit(situació similar a la de les calculadores).

Ordinador quàntic més “probable”

Segons la idea de Cirac i ZollerIons en un trampa electromagnèticaEs pot alterar l’estat de cada iómitjançant un làser

Qubits en els estats electrònics

Model de Bohr de l`àtom d’hidrogen

Un disseny possible

A.M. Steane, 2005“How to build a 300 bit, 1

Gop quantum computer” Arxiv:quant-ph/0412165

La bena abans de la ferida

• La Física Quàntica proporciona la base per Criptografia totalment segura.

• Títol de l’article amb la primera implementació (Bennet et al., 1989): “The Dawn of a New Era for Quantum Cryptography: The Experimental Prototype Is Working!”

Ja existexi la primera xarxa!

DARPA Quantum NetworkOperacional al Junydel 2004Link per aire al Junydel 2005

BBN Technologies va ser la companyia que va montar el precursor de l’actual INTERNET a l’any 1969 (ARPANET)

DARPA Quantum NetworkOperacional al Junydel 2004Link per aire al Junydel 2005

…és tecnologia comercial!

Qubits vs. Bits (fins aquí)

NOSIEs pot llegirsense afectar el seu valor

NOSISols pot ser 0 o 1

QUBITSBITSAFIRMACIÓ

Què més?

NOSIPoden COPIAR-SE

NOSILlegir-ne un no afecta cap altre

QUBITSBITSAFIRMACIÓ

Einstein … un altre cop!

A partir de 1933 Einstein va estar gairebé sol en la seva convicció que la Física Quàntica era una versióincompleta d’una altra teoria en que elsefectes quàntics es puguessin explicar en termes més objectius.

Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)

Van fer notar que estats com aquest

|0⟩ |0⟩+|1⟩ |1⟩

tenen propietats aparentment paradoxals, que actualment s’anomenen

ENTRELLAÇAMENT

(ENTANGLEMENT)

“Li estires la cua a Nova York, i el capmiola a Los Angeles” A. Einstein

|0⟩ |0⟩ +|1⟩ |1⟩Generem dos qubits en el següent estat

I ara els separem un de l’altre … tant com vulguem

? ?EPR

Probabilitat del 50% de que mesurem

alguna d’aquestesdues configuracions

Mesuremaquest qubit

0Sabem que quanaquest es mesuri

obtindrem també un 0

Protocol d’Ekert (no és el més popular)

? EPR ?

? ?? ?

Tenim dues persones que es volen comunicar secretament

Amb aquests parells generaran una CLAU

Poden mesurar en dues direccions

?

?

DIRECCIÓ DE MESURA

0

1

1

0

Direccions de mesura al atzar

? ?

? ?

? ?

? ?

ALICE BOB

0 0

1

11

1

1 0

Anuncíen les bases públicament i descarten les no coincidències

CLAU NUMÈRICA: 0 1

Teorema de No-Clonació

Potser és possible clonar ovelles, però no ho és clonar estats quàntics

|ψ⟩|ψ⟩

I per acabar … fotons!

Quina mena de qubits s’intercanvien? FOTONS

|0⟩

|1⟩

Com es codifiquen el |0⟩ i |1⟩? POLARITZACIÓ DEL FOTÓ

CONCLUSIONS?

Les “paradoxes” de la MecànicaQuàntica permeten fer càlculs i transmissió d’informació de formes que fins ara no s’havien imaginat.

Encara no tenim ordinadors quàntics, potser vosaltres podreu contribuir-hi!

Programa

PRIMERA PART:Introducció: Física i Computació.Fonaments de Física Quàntica.Equació de Schrödinger i qubits.Criptografia quàntica.Evolució temporal i portes quàntiques.

SEGONA PART: Algorismes quàntics simples.Algorisme de Grover per cerques en bases de dades.Criptografia clàssica.Algorisme de Shor per factorització.