Las aplicaciones tcnicas generalmente recurren a algoritmos numricos que permiten calcular aproximaciones numricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.Uno de los mtodos numricos que puede generalizarse a sistemas no-lineales es el mtodo de Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolucin numrica del sistema de n ecuaciones f(x)=(x1,,xn)=0 puede hacerse a partir del conocimiento de una solucin aproximada x(0)=(x1 (0),, xn0 (0)), siempre y cuando la aplicacin anterior sea diferenciable, mediante el esquema iterativo:x(m+1) = x(m) -[Df (x(m)) ]-1 (f (x(m))), f:Rn Rn , f C(1) [Rn ;Rn]O ms explcitamente:x1 (m+1) x1 (m) D1f1 . Dnf1 -1 f1 (x (m)) ........ = . - . x1 (m+1) xn (m) D1f1 . Dnfn f1 (x (m))

Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no est garantizada y en casos de soluciones mltiples la convergencia puede darse hacia la solucin no deseada.Aproximaciones de DiofantoEl teorema de Hurwitz en las aproximaciones de Diofanto que cada irracional x se puede aproximar infinitamente a muchos nmeros racionales m/n en los trminos ms bajos de una manera tal que

Y ese 5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante ms grande que, hay 5 algunos nmeros irracionales x para los cuales solamente son finitas muchas de tales aproximaciones existentes,Se relaciona de cerca con esto el teorema que de alguna de las tres convergentes consecutivas pi/qi, pi+1/qi+1, pi+2/qi+2, de un del nmero, por lo menos una de las tres inecuaciones tiene:

pi < 1 - pi + 1 < 1 - pi + 2 < 1 qi 5qi2 qi + 1 5 qi2 +1 qi + 2 5 qi2 + 2

Y las 5 en el denominador es la mejor posible vinculacin, pues que las convergentes del nmero ureo se diferencian en el lado izquierdo arbitrariamente cerca del valor en el lado derecho. En particularmente, uno no puede obtener un lmite vinculativo considerando secuencias de cuatro o ms convergentes consecutivas.