PlanIntroduction

Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Comportement temporel des systemes du 1er et

2eme ordre

Thierry CHATEAU

20 mars 2007

Thierry CHATEAU Comportement temporel des systemes du 1er et 2eme ordre

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

1 Introduction

2 Modeles du premier ordre

3 Modeles du second ordre

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Etude des systemes

Comment etudier un systeme ?

1 etude de son comportement devant un signal temporel

une impulsion de diracun echelonune rampe

2 etude de son comportement devant un signal frequentiel(analyse harmonique)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Modeles du premier et second ordre

Telecommunications,

astronomie,

radar,

controle industriel,

economie,

geologie,

medecine...

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Regis par une equation differentielle d’ordre 12 exemples :

integrateur (1

p)

systeme de la forme (K

1 + τp)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

L’integrateur

u(p) 1/p y(p)

F (p) =y(p)

u(p)=

1

p→

{

py(p) = u(p)y = u

(1)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse impulsionnelle

F (p) =Y (p)

U(p)si u(t) = aδ(t − t0) =⇒ U(p) = ae−top

d’ou y(p) = a.e−top.1

p

Avec e−top.1

p→ echelon retarde

(2)

y(t) = a.Γ(t − t0) (3)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

reponse indicielle

u(t) = aΓ(t − t0) → U(p) =a

pe−top (4)

y(p) = F (p)U(p)

=1

p.a

pe−top (5)

y(p) =a

p2e−top (6)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Courbe de la reponse a un echelon

y(t)

t0

t

y0

Sortie

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Systeme de la formeK

1 + τp

Forme temporelle :

τdy

dt+ y = K .u(t)

K : gain statique

τ : constante de temps

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse implulsionnelle

u(t) = δ(t) =⇒ U(p) = 1

F (p) =Y (p)

U(p)=

K

1 + τp=⇒ Y (p) =

K

τ.

1

p + 1/τ

(7)

y(t) =K

τe−t/τ (8)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse implulsionnelle

τ

y(t)K

τ

K

τ e

t

0

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse indicielle

u(t) = Γ(t), U(p) =1

p

y(p) =1

p.

K

1 + τp=

K

p−

K

p +1

τd’ou y(t) = K (1 − e−t/τ )

(9)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse indicielle

τ 2τ

y(t)K

0, 87K

0, 66K

t

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse a une rampe

u(t) = a(t − t0), t0 = 0 avec a = 1.

U(p) =1

p2

Y (p) =1

p2.

1

1 + τp= K (

1

p2−

τ

p+

τ

p + 1/τ)

(10)

D’ou y(t) = K (t − τ + τ.e−t/τ ) (11)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse a une rampe

entrée

sortie

0 τ

τ

e

y(t)

K = 1

t

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Modeles du second ordre

Equation differentielle :

d2y

dt+ 2ξω0

dy

dt+ ω2

0y = kω2

0 .u (12)

Fonction de transfert :

F (p) =k

1 + 2ξ

ω0

p +p2

ω2

0

(13)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Equation caracteristique

Equation caracteristique sans second membre

F (p) =kω2

0

p2 + 2ξp ω0 + ω2

0

(14)

p2 + 2ξω0p + ω2

0= 0 (15)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Equation caracteristique

p2 + 2ξω0p + ω2

0= 0 (16)

Si ξ > 1, deux racines reelles

Si ξ = 1, deux racines doubles reelles

Si ξ < 1, deux racines complexes conjuguees

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse indicielle

ξ > 1 : regime aperiodique

y(t) = Aep1t + Bep2t (17)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse indicielle

ξ = 1 : regime critique

y(t) = Aep1t + Bep1t (18)

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Modeles du premier ordreModeles du second ordre

Reponse indicielle

ξ < 1 : regime pseudo-periodique

y(t) = Aep1t + Bep2t (19)

avec P1 et P2 : racines complexes conjuguees

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