Complex Analysis

C U P R I N S

Prefaţă …………….………………..……….…………........… vii

1. Numere complexe …………….………………..……….………. 1 Corpul numerelor complexe. Forma algebrică (carteziană) a unui

număr complex. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

Modulul unui număr complex. Conjugatul unui număr complex.

Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică (polară) a

numerelor complexe. Rădăcinile de ordinul n ale unui număr

complex. Rădăcinile de ordinul n ale unităţii. Mulţimi de puncte în

plan. Punctul de la infinit. Proiecţia stereografică.

2. Funcţii elementare ….………………………….......….…….… 17 Funcţia polinomială. Funcţia raţională. Funcţia exponenţială.

Funcţia logaritm. Funcţia putere a unui număr complex cu

exponent complex. Funcţii trigonometrice. Funcţii hiperbolice.

Transformări elementare.

iv ANALIZĂ COMPLEXĂ

3. Analiticitate …………………….…………….……………..…. 29 Limite. Continuitate. Diferenţiabilitate. Ecuaţiile Cauchy-Riemann.

Functii analitice. Funcţii armonice.

4. Integrala complexă. Teorema lui Cauchy ………..………….. 47 Curbe şi domenii. Integrala unei funcţii complexe continue de o

variabilă reală. Integrala unei funcţii complexe de o variabilă

complexă. Proprietăţi ale integralei complexe. Antiderivate

(Primitive). Teorema integrală a lui Cauchy (Teorema Cauchy-

Goursat). Teorema lui Cauchy pentru dreptunghi. Teorema lui

Cauchy pentru cerc. Teorema lui Cauchy pentru domenii simplu

conexe.

5. Formula integrală a lui Cauchy şi consecinţe .......................... 75 Formula integrală a lui Cauchy. Teorema valorii medii a lui

Gauss. Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate.

Calculul unor integrale cu formulele integrale ale lui Cauchy.

Teorema lui Morera. Inegalităţile lui Cauchy. Teorema lui

Liouville. Teorema fundamentală a algebrei.

6. Şiruri şi serii de funcţii …………………..………………….... 89

Şiruri şi serii de numere. Şiruri şi serii de funcţii. Convergenţa

uniformă. Criteriul convergenţei dominate al lui Weierstrass.

Dumitru D. DRĂGHIA v

Şiruri şi serii de funcţii analitice. Convergenţa uniformă,

diferenţierea şi integrarea. Serii de puteri. Serii Taylor. Teorema

Cauchy-Hadamard. Teorema lui Taylor. Serii Maclaurin.

Zerourile funcţiilor analitice. Teorema de identitate. Teorema

unicităţii. Teorema maximului modulului.

7. Teorema reziduului şi aplicaţii ………………..……….…… 115 Serii Laurent. Teorema lui Laurent. Clasificarea şi caracterizarea

singularităţilor funcţiilor analitice. Teorema lui Weierstrass.

Singularitatea de la infinit. Comportarea funcţiilor întregi.

Noţiunea de reziduu. Teorema reziduului. Calculul reziduurilor.

Calculul unor integrale complexe. Evaluarea unor integrale reale

improprii.

BIBLIOGRAFIE …….……………………..……...………….. 145

P r e f a ţ ă

Cursul de Analiză complexă este un curs introductiv, care are

drept scop prezentarea noţiunilor de bază şi a celor mai importante

rezultate ale teoriei funcţiilor complexe de o variabilă complexă.

Analiza complexă are aplicaţii numeroase în domenii ca: teoria

numerelor, fizică, hidrodinamică, tehnică, teoria potenţialului, ecuaţii

diferenţiale, transformări conforme, transformări Fourier şi

transformări Laplace, ecuaţii Laplace, probleme Dirichlet, funcţii

armonice, funcţii eliptice, suprafeţe Riemann etc.

Cursul de Analiză complexă presupune cunoaşterea noţiunilor şi

rezultatelor fundamentale ale Analizei matematice şi ale Geometriei

analitice.

Între funcţiile reale şi funcţiile complexe există multe asemănări,

dar există şi deosebiri fundamentale.

În acest curs, noţiunea centrală este noţiunea de funcţie analitică.

viii ANALIZĂ COMPLEXĂ

Studiul funcţiilor analitice urmează trei abordări:

1. Teoria lui Riemann, care are la bază noţiunea de diferenţiere şi

ecuaţiile Cauchy-Riemann;

2. Teoria lui Cauchy, care se bazează pe noţiunea de integrare şi pe

teorema integrală a lui Cauchy;

3. Teoria lui Weierstrass, bazată pe teoria seriilor de puteri.

Definiţiile sunt urmate de exemple. Teoremele sunt demonstrate,

însoţite de observaţii şi aplicate la rezolvarea unor exerciţii. Notaţiile

sunt standard.

În final, studentul va trebuie să ştie:

• Să definească şi să exemplifice noţiunile de bază;

• Să enunţe şi să demonstreze principalele teoreme;

• Să efectueze operaţii cu numere complexe;

• Să rezolve ecuaţii în corpul numerelor complexe;

• Să descrie analitic şi geometric o mulţime de numere complexe;

• Să definească funcţiile elementare şi să justifice proprietăţile lor;

• Să construiască transformări de la un domeniu la alt domeniu;

• Să justifice principalele proprietăţi ale funcţiilor analitice;

• Să studieze analiticitatea unei funcţii de o variabilă complexă;

• Să dezvolte o funcţie în serie Taylor şi în serie Laurent;

• Să definească integrala complexă şi să justifice proprietăţile ei;

• Să aplice consecinţele teoremei integrale a lui Cauchy;

• Să determine singularităţile unei funcţii analitice;

• Să calculeze reziduurile unei funcţii în punctele singulare izolate;

Dumitru D. DRĂGHIA ix

• Să calculeze integrale folosind una sau mai multe metode:

parametrizarea curbei de integrare;

calcularea unei primitive a funcţiei de integrat;

aplicarea teoremei integrale a lui Cauchy;

folosirea formulelor integrale ale lui Cauchy;

aplicarea teoremei reziduului.

Mulţumesc profesorului Nicu Boboc de la Facultatea de

Matematică şi Informatică a Universităţii din Bucureşti pentru

observaţiile şi sugestiile făcute pe marginea manuscrisului privind

îmbunătăţirea conţinutului şi modului de prezentare.

17 iunie 2005 D. D. D.

1

NUMERE COMPLEXE

Corpul numerelor complexe Mulţimi de puncte în planul complex

Corpul numerelor complexe Mulţimea numerelor complexe este, prin definiţie, mulţimea

tuturor perechilor ordonate de numere reale:

( ){ }: ,x, y x y= ∈ .

Notăm sau = × 2= . Fie şi ( ),x y ∈ ( ),a b ∈ . Noţiunea de egalitate a elementelor din şi operaţiile binare de

adunare şi înmulţire sunt definite astfel: • egalitatea: ( ) ( ), ,x y a b= dacă şi numai dacă x a= şi y b= ;

• adunarea: ( ) ( ) ( ), , ,x y a b x a y b+ = + + ;

• înmulţirea: ( ) ( ) ( ), , ,x y a b xa yb xb ya⋅ = − + .

Mulţimea numerelor complexe formează un corp comutativ faţă de operaţiile binare de adunare şi de înmulţire. Elementul neutru (nul) pentru adunare este ( )0,0 .

2 ANALIZĂ COMPLEXĂ

Elementul opus (faţă de adunare) al unui element oarecare ( , )x y din este ( ),x y− − .

Elementul neutru (unitate) pentru înmulţire este ( )1,0 .

Elementul invers (faţă de înmulţire) al unui element nenul ( ),x y

din este 12 2 2 2( , ) ,x yx y

x y x y− ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

.

Există un izomorfism de corpuri între corpul numerelor reale şi o submulţime a corpului numerelor complexe , definit de corespondenţa

R

( ),0 ,x x x↔ ∈R , care păstrează operaţiile de adunare şi de înmulţire:

( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0x y x y+ = + ;

( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0x y xy⋅ = .

Notăm ( ) ( ),0x x x= ∈ .

Astfel { }0= ×R R , adică mulţimea numerelor reale este o submulţime a numerelor complexe . Cu alte cuvinte, corpul al numerelor complexe este o extensie a corpului al numerelor reale. Avem următoarea incluziune .

R⊂

Există o proprietate importantă a corpului numerelor reale pe care corpul numerelor complexe nu o are. Dacă x∈R , atunci este adevărată una din următoarele relaţii: (regula trichotomiei). În plus, suma şi produsul a două numere reale pozitive sunt pozitive (proprietatea de închidere).

0, 0, 0x x x= > − >

Un corp cu o relaţie de ordine ≤ care satisface regula trichotomiei şi este compatibilă cu adunarea şi înmulţirea (proprietatea de închidere) se numeşte corp ordonat.

În corpul al numerelor complexe nu poate fi definită o astfel de relaţie de ordine, i.e.

Corpul al numerelor complexe nu este corp ordonat.

Dumitru D. DRĂGHIA 3

Forma algebrică a numărului complex Observăm că ( ) ( ) ( )0,1 0,1 1,0 1⋅ = − = − .

Notăm . Atunci (0,1i = ) 2 1i i i= ⋅ = − .

Numărul complex i se numeşte unitatea imaginară. Astfel, ecuaţia algebrică 2 1 0x + = , care nu are soluţii reale, are

soluţiile i şi în corpul numerelor complexe. i−Dacă ( ),x y ∈C , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 0, ,0 0,1 ,0x y x y x y x i= + = + ⋅ = + y .

Notăm ( ),z x y= .

Oricare număr complex z∈C are forma z x iy= + , numită forma algebrică (sau carteziană) a numărului complex.

Numerele complexe de forma ( )0,z y iy= = se numesc numere complexe pur imaginare.

Fie ( ),z x y= un număr complex. Numărul real x se numeşte partea reală a lui , iar numărul real se numeşte partea imaginară a lui .

z yz

Notăm: Re z x= , Im z y= . Deci, un număr complex oarecare îl putem scrie sub una

din formele următoare: z∈

( ),z x y= ,

z x iy= + ,

( )Re , Imz z= z

z

,

Re Im .z z i= +


Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Aşa cum un număr real x este reprezentat printr-un punct pe o

dreaptă (axa numerelor reale), un număr complex ( ),z x y= este

reprezentat printr-un punct în plan.

Termenii număr complex şi punct în planul complex vor fi folosiţi

alternativ.

Axa x -ilor este numită axa reală şi axa -ilor este numită axa

imaginară.

y

Există o altă interpretare a numerelor complexe.

Fiecare punct ( ),x y al planului complex determină un vector cu

punctul iniţial în ( )0,0 şi cu punctul terminal în ( ),x y .

Lungimea acestui vector este distanţa de la origine la punctul

( ),x y , adică 2 2x y+ .

Adunarea numerele complexe corespunde adunării vectorilor.

Modulul unui număr complex Distanţa de la origine la punctul ( ),x y se numeşte modulul sau

valoarea absolută a numărului complex ( ),z x y= .

Se notează 2 2z x y= + .


Deci, modulul numărului complex este numărul

pozitiv sau zero

Re Imz z i= + z

2 2(Re z) (Im z)z = + .

Distanţa dintre două puncte ( , )z x y= şi ( , )w u v= este dată de

2 2( ) ( )z w x u y v− = − + − .

Pentru fiecare număr real pozitiv , există o infinitate de numere

complexe diferite r

( , )z x y= a căror valoare absolută este . rAcestea sunt punctele de pe cercul cu centrul în origine şi de rază

, care are ecuaţia r 2 2 2x y r+ = sau, echivalent, z r= .

Cercul cu centrul într-un punct şi de rază are

ecuaţia

(0 0 0,z x y= ) r

( ) ( )2 2 20 0x x y y− + − = r sau, echivalent, 0z z r− = .

Modulul are următoarele proprietăţi: 1) z 0≥ , ( )z∈C ; 00 =⇔= zz ;

2) z z− = , ( )z∈C ;

3) Re z z≤ , Im z z≤ , ( )z∈C ;

4) z w z w+ ≤ + , z w z w− ≤ − , ( ),z w∈C ;

5) zw z w= , ( ),z w∈C ;

6) 11 1 1z zz z

−− = = = , ( ), 0z z∈ ≠C ;

7) zz

w w= , ( ), ,z w w 0∈ ≠C .


Conjugatul unui număr complex Printre punctele care au aceeaşi valoare absolută ca şi ( , )z x y= ,

există un punct care joacă un rol special. Acesta este punctul ( , )x y− , simetricul punctului ( , )x y faţă de axa reală, care se numeşte conjugatul lui ( , )z x y= şi se notează ( , )z x y= − .

Sub forma algebrică, conjugatul numărului complex z x iy= + este z x iy= − .

Deci, conjugatul unui număr complex ( ),z x y= oarecare îl putem scrie sub una din formele următoare:

( , )z x y= − ;

z x iy= − ;

Re Imz z i z= − .

Din definiţii rezultă următoarele proprietăţi:

1) z z= , ( )z∈C ;

2) z z= , ( )z∈C ;

3) z w z w+ = + , ( ),z w∈C ;

4) z w z w⋅ = ⋅ , ( ),z w∈C ;

5) z zw w

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ), ,z w w 0∈ ≠C ;

6) Re2

z zz += , Im

2z zz

i−

= , ( )z∈C ;

7) 2z z z⋅ = , ( )z∈C .


Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică (polară) a numerelor complexe

Dacă este un număr complex nenul, atunci z x iy= + ,x yz z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

este un punct de pe cercul unitate. Prin urmare, există θ ∈ astfel

încât ( ), cos ,sinx yz z

θ θ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Rezultă că (cos sin )z z iθ θ= + . Adesea se notează r z= . Aceasta este forma polară (trigonometrică) a numărului complex

. z x iy= +Un număr real θ astfel încât cosx z θ= şi siny z θ= este un

argument al unui număr complex z x iy= + . Oricare număr complex are o infinitate de argumente, care diferă între ele printr-un multiplu întreg de 2π . Notăm arg z θ= . Pentru 0z = , argumentul este nedefinit.

Pentru oricare număr complex nenul , argumentul (unic determinat) care aparţine intervalului

z( ],π π− se numeşte argumentul

principal al lui z şi se notează Arg z . Avem următoarele relaţii:

Arg zπ π− < ≤ , arg Arg 2z z kπ= + 0, 1, 2, 3,k = ± ± ± ⋅⋅⋅, .

Argumentul principal Ar al unui număr complex nenul este

determinat, prin definiţie, astfel:

g z z

1) dacă xz = , ( )∞∈ ,0x , atunci Arg 0z = ;

2) dacă iyxz += , ( )∞∈ ,0, yx , atunci Arg 0,2

z π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

;


3) dacă iyz = , ( )∞∈ ,0y , atunci Arg2

z π= ;

4) dacă iyxz += , ( )∞∈− ,0, yx , atunci Arg ,2

z π π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

;

5) dacă xz = , ( )0,∞−∈x , atunci Arg z π= ;

6) dacă iyxz += , ( )0,, ∞−∈yx , atunci Arg ,2

z ππ⎛ ⎞∈ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

7) dacă iyz = , ( )0,∞−∈y , atunci Arg2

z π= − ;

8) dacă iyxz += , ( )0,, ∞−∈− yx , atunci Arg ,02

z π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Avem, de asemenea, următoarele relaţii:

1) Arg Argz z= − , ( )0z x≠ < ;

2) ( )1 2 1 2 1 2, arg arg (mod 2 )z z z z z z π= ⇔ = = ;

3) ( )1 2 1 2arg arg arg (mod 2 )z z z z π= + ;

4) (cos sin )n nz r n i nθ θ= + , 1,2,3,n = ⋅⋅ ⋅ ;

5) (cos sin ) cos sinni n i nθ θ θ+ = + 1,2,3,nθ , = ⋅⋅⋅ ;

6) ( )π2modarg1arg zz

−= , ( )0z ≠ ;

7) 11 2

2

arg arg arg (mod 2 )z z zz

π= − , ( )2 0z ≠ .


Folosind ecuaţia lui Euler

cos sinie iθ θ θ= + ,

oricare număr complex 0z ≠ poate fi scris în forma exponenţială

iz re θ= .

Fie şi . 111

θierz = 222

θierz =Atunci forma polară a produsului este ( )21

2121θθ += ierrzz .

Prin inducţie, , θinnn erz = 1,2,3,n = ⋅⋅ ⋅ . Formula lui Moivre

(cos sin ) cos sinni n i nθ θ θ+ = + 1,2,3,θ , n = ⋅⋅ ⋅

are forma polară

( ) θθ inni ee = , 1,2,3,n = ⋅⋅ ⋅ . Forma polară a inversului unui număr complex nenul este

.

θirez =θierz −−− = 11

Forma polară a câtului a două numere complexe şi

este

111

θierz =

0222 ≠= θierz ( 21

2

1

2

1 θθ −= ierr

zz ) .

Rădăcinile de ordinul ale unui număr complex n Fie (cos sin )z r iθ θ= + . Fie un număr întreg pozitiv. nUn număr complex ( )0000 sincos θθ irz += este o rădăcină de

ordinul a numărului complex , dacă ; scriem n z zz n =0nzz 1

0 = .


Deoarece ( ) ( θθθθ sincossincos 000 irninr n +=+ ) este forma

echivalentă a ecuaţiei , rezultă soluţiile următoare: zz n =0

nrr 1

0 = , ( ).,3,2,1,020 ±±±=

+= k

nkπθθ

Notăm că există soluţii distincte, pentru n 1,,2,1,0 −= nk . Prin urmare, un număr complex , are exact rădăcini de ordinul distincte:

0≠z nn

1 1 2 2cos sinn n k kz r in n

θ π θ π+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

0,1,2,3, , 1k n, = ⋅⋅ ⋅ − .

Geometric, rădăcinile de ordinul ale unui număr complex

sunt vârfurile unui poligon regulat cu laturi înscris într-un cerc cu centrul în origine şi de rază egală cu

n zn

n zr =0 .

Diferenţa dintre argumentele a două rădăcini de ordinul

succesive ale unui număr complex este egală cu

n

nπ2

.

Rădăcinile de ordinul ale unităţii sunt: n

2 2cos sinkk kin nπ πω = + , . 0,1,2,3, , 1k n= ⋅⋅ ⋅ −

Geometric, rădăcinile de ordinul n ale unităţii sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris într-un cerc cu centrul în origine şi de rază . 10 =r

Dacă notăm 12cos sinin n

2π πω ω= = + , atunci rădăcinile de

ordinul ale unităţii sunt n kkω ω= , 0,1,2,3, , 1k n= ⋅⋅ ⋅ − , i.e.

2 31, , , , , n 1ω ω ω ω −⋅⋅⋅ . Observăm că . 10 ==ωω n


Produsul a două rădăcini oarecare de ordinul ale unităţii este, de asemenea, o rădăcină de ordinul n a unităţii.

n

Suma tuturor celor n rădăcini ale unităţii este egală cu zero:

2 3 1 11 01

nn ωω ω ω ω

ω− −

+ + + + ⋅⋅ ⋅ + = =−

.

Dacă este o rădăcină particulară de ordinul n a unui număr complex , atunci toate rădăcinile de ordinul ale lui sunt

0zz n z

. 10

2000 ,,,, −nzzzz ωωω

Mulţimi de puncte în planul complex O noţiune de bază este vecinătatea unui punct. Mulţimea punctelor interioare unui cerc cu centrul în şi cu raza

, i.e. 0z

0r >{ }0:z z z r∈ − <

se numeşte vecinătate a punctului . 0zAceastă mulţime se numeşte disc de centru şi de rază 0z r . Mulţimea

{ }0: 0z r z z R∈ ≤ < − <

se numeşte coroană circulară de centru şi de raze 0z r şi R . Un punct se numeşte punct interior al unei mulţimi dacă există

o vecinătate a lui care conţine numai puncte din mulţime. w

wUn punct se numeşte punct exterior al unei mulţimi dacă există

o vecinătate a lui care nu conţine puncte ale mulţimii. w

wDacă un punct nu este nici punct interior, nici punct exterior al

unei mulţimi se numeşte punct frontieră al mulţimii. w

Mulţimea tuturor punctelor frontieră ale unei mulţimi se numeşte frontiera mulţimii.

O mulţime se numeşte mulţime deschisă dacă nu conţine nici un punct frontieră al ei.


O mulţime este deschisă dacă şi numai dacă oricare punct al său este punct interior.

Oricare vecinătate a oricărui punct este mulţime deschisă. Exemple de mulţimi deschise: mulţimea vidă, mulţimea tuturor

numerelor complexe, intersecţia oricăror două mulţimi deschise, reuniunea oricărei familii de mulţimi deschise, exteriorul oricărui cerc, oricare coroană circulară.

Fie şi 0z ∈ 0>ε . Mulţimea

{ }0: 0z z z ε∈ < − <

se numeşte vecinătate punctată a punctului . 0zO mulţime se numeşte închisă dacă conţine toate punctele sale

frontieră. Mulţimea vidă, mulţimea tuturor numerelor complexe, intersecţia

oricărei familii de mulţimi închise, reuniunea oricăror două mulţimi închise sunt mulţimi închise. Mulţimile { }0: 0z r z z R∈ ≤ ≤ − ≤

şi { }0:z z z∈ − ≥ r sunt, de asemenea, mulţimi închise.

Închiderea unei mulţimi este mulţimea închisă constând din toate punctele mulţimii împreună cu frontiera mulţimii.

Există mulţimi care nu sunt nici deschise, nici închise. Exemplu: mulţimea { }: 0 1z z∈ < ≤ nu este nici deschisă, nici închisă.

De asemenea, există mulţimi care sunt deschise şi închise. De exemplu, mulţimea vidă şi mulţimea tuturor numerelor complexe sunt mulţimi deschise şi închise.

Oricare mulţime finită este mulţime închisă. Fie . Mulţimea definită prin 1 2,z z ∈

[ ] ( ){ }1 2 1 2, : 1 ,0z z z z t z tz t 1= ∈ = − + ≤ ≤

sau, echivalent,

[ ] ( ){ }1 2 1 2 1, : ,0z z z z z t z z t 1= ∈ = + − ≤ ≤

se numeşte segment cu originea şi extremitatea . 1z 2z


Fie şi 2>n 1 2, , , nz z z ∈ .

Mulţimea se numeşte linie poligonală determinată de

punctele .

[∪1

11,

−

=+

n

iii zz ]

1 2, , , nz z z

O mulţime deschisă este mulţime conexă dacă oricare două puncte ale ei pot fi unite printr-o linie poligonală conţinută în mulţime.

Oricare vecinătate a oricărui punct este mulţime conexă.

Oricare coroană circulară este mulţime conexă.

Cele mai importante mulţimi în teoria funcţiilor complexe sunt domeniile.

O mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu. Oricare vecinătate a oricărui punct este domeniu. Oricare coroană circulară este domeniu. Un domeniu împreună cu unele din punctele, niciunul sau toate

punctele frontierei sale se numeşte regiune. Oricare două puncte dintr-un domeniu pot fi unite printr-o linie

poligonală conţinută în domeniu. Linia poligonală poate avea laturile paralele cu axele de coordonate.

Oricare punct dintr-un disc poate fi unit cu centrul discului prin două segmente de dreaptă, conţinute în disc: unul paralel cu axa reală şi altul paralel cu axa imaginară.

O mulţime se numeşte mărginită dacă oricare punct al mulţimii este în interiorul unui cerc { }:z z∈ = R . Altfel, mulţimea este

nemărginită. Dacă este o mulţime mărginită, atunci diametrul mulţimii

este, prin definiţie, numărul real A A

{ }diam sup , ,A z w z w A= − ∈ .

Un punct se numeşte punct de acumulare (sau punct limită) al unei mulţimi dacă oricare vecinătate a lui conţine cel puţin un punct al mulţimii distinct de . Echivalent, un punct nu este

0z

0z

0z 0z


punct de acumulare al unei mulţimi dacă există o vecinătate a lui care nu conţine puncte din mulţime distincte de .

0z

0zNotăm că originea este singurul punct de acumulare al mulţimii

{ }, 1, 2,3,nz i n n= = . Un punct de acumulare (limită) al unei mulţimi poate să fie sau să

nu fie în mulţime. De exemplu, punctele limită ale mulţimii deschise { }: 1z z∈ < sunt { }: 1z z∈ ≤ , adică toate punctele mulţimii şi

toate punctele de pe frontieră { }: 1z z∈ = .

O mulţime este închisă dacă şi numai dacă conţine toate punctele sale de acumulare (limită).

Oricare punct al unui domeniu este punct de acumulare al acelui domeniu.

Oricare vecinătate a unui punct limită al unei mulţimi conţine o infinitate de puncte ale mulţimii.

Fie o mulţime. O familie S { }αG de mulţimi deschise se numeşte acoperire deschisă a mulţimii , dacă . Familia S αα GS ∪⊆ { }αG poate fi nenumărabilă.

O mulţime este compactă dacă oricare acoperire deschisă a sa conţine o subacoperire finită.

Oricare mulţime finită este compactă. O mulţime este compactă dacă şi numai dacă este închisă şi mărginită. Teorema lui Cantor. Dacă { }∞=1nnK este un şir descrescător de mulţimi compacte nevide din planul complex astfel încât lim diam 0nn

K→∞

= , atunci atunci există un punct unic 0z ∈

astfel încât . ■ { }01

zKnn

=∞

=∩


Fie E şi F două mulţimi de puncte din plan şi un punct Ea∉ . Distanţa dintre punctul şi mulţimea a E este definită prin

( )dist , inf

z Ea E a z

∈= − .

Distanţa dintre mulţimile E şi este definită de F

( ) { }dist , inf , ,E F z z z E z F′ ′′ ′ ′′= − ∈ ∈ .

Punctul de la infinit Planul complex finit poate fi extins cu un punct “ideal”, numit

punctul de la infinit şi notat cu simbolul ∞. Punctele planului împreună cu punctul de la infinit formează

planul complex extins, numit şi planul lui Gauss. Fie 0>ε . Mulţimea

{ }: 1z z ε∈ >

se numeşte vecinătate a punctului de la infinit. Pentru a interpreta geometric punctul de la infinit, folosim

reprezentarea numerelor complexe prin puncte ale unei sfere. Considerăm sfera unitate cu centrul în originea planului complex. Unim polul nord al sferei cu fiecare punct din plan. Dreapta determinată de punctul

N zz din plan şi de polul nord al sferei

intersectează suprafaţa sferei într-un singur punct N

P . Astfel fiecare punct de pe sferă, cu excepţia polului nord, este imaginea unui anume punct din plan. Asociem polului nord al sferei punctul de la infinit şi obţinem o corespondenţă bijectivă dintre punctele sferei şi punctele planului extins. Sfera este cunoscută ca sfera lui Riemann, iar corespondenţa se numeşte proiecţia stereografică a planul lui Gauss pe sfera lui Riemann.

N


Observăm că exteriorul cercului unitate cu centrul în origine din planul complex corespunde emisferei nordice fără ecuator şi fără polul nord. Dreptele din plan sunt cercuri care trec prin punctul de la infinit.

Dacă oricare vecinătate a lui ∞ conţine cel puţin un punct al unei mulţimi date din planul complex, atunci spunem că ∞ este punct de acumulare al acelei mulţimi.

De exemplu: punctul de la infinit este punct de acumulare al mulţimii { }, 0,1, 2,3,nz ni n= = .

De asemenea, domeniile { }: Im 0z z∈ > , { }: Re 0z z∈ > , au ca punct de acumulare punctul de la infinit.

Remarcă. O mulţime este nemărginită dacă şi numai dacă

punctul de la infinit este unul din punctele sale de acumulare.

2

FUNCŢII ELEMENTARE

Funcţii elementare Transformări elementare

Fie şi A B mulţimi de numere complexe. O funcţie de o varibilă complexă cu valori complexe, definită pe

A , cu valori în B se notează :f A B→ . Folosim adesea expresia ”funcţia ( )f z “, unde z este o variabilă

complexă care aparţine domeniului de definiţie al funcţie f . Funcţii elementare Cele mai importante funcţii elementare sunt funcţia polinomială,

funcţia raţională, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile trigonometrice, funcţiile hiperbolice.

1) Funcţia polinomială

Funcţia ( ) 1 2

1 2 1 0n n

n nP z a z a z a z a z a−−= + + + + + , ( )z∈ ,

cu 0 1 2, , , , na a a a ∈ , 0≠na , , este polinomul de gradul n . 0≥nCazuri particulare importante sunt: funcţia constantă, funcţia

identitate, funcţia liniară, funcţia pătratică, funcţia putere naturală.


(a) ( ) 0== zPw , (Polinomul identic nul);

(b) , (Funcţia constantă); 0 0( ) ,w f z z z= = ∈C

(c) , (Funcţia identitate); ( )w f z z= =

(d) , (Funcţia afină); ( ) , ,w f z az b a b= = + ∈C

(e) , (Funcţia pătratică); ( ) 2zzfw ==

(f) , (Funcţia putere). ( ) ,nw f z z n= = ∈N

2) Funcţia raţională

Funcţia ( ) ( )( )zQzPzR = , cu condiţia ( ) 0Q z ≠ , unde şi

sunt polinoame, se numeşte funcţie raţională.

( )P z

( )Q zCazuri particulare importante sunt: funcţia inversiune, funcţia

liniar-fracţionară (transformarea omografică sau transformarea lui Möbius), funcţia lui Jukovski.

(a) 1( )w f zz

= = ;

(b) ( ) , , , , , 0az bw f z a b c d ad bccz d

+= = ∈ − ≠

+C ;

(c) 1 1( )2

w f z zz

⎛= = +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ .

3) Funcţia exponenţială Funcţia { }exp : \ 0z → , definită prin expresia următoare:


( )exp cos sinxz e y i y= + , ( )z x iy= + , se numeşte funcţie exponenţială. Această funcţie este notată şi . ze

Pe axa reală funcţia exponenţială de o variabilă complexă coincide cu funcţia exponenţială de o variabilă reală.

Din definiţie rezultă următoarele proprietăţi: (i) , 0ze ≠ ( )z∈ ;

(ii) 0x i xe e+ = , ( )x∈ ; 0 1e = ;

(iii) , cos siniye y i y= + ( )y∈

= Im sinz xe e=

;

(iv) ; 2 1ie π =

(v) , , Re cosz xe e y y ( )z x iy= + ;

(vi) Rez ze e= , ( )z∈ ;

(vii) , Arg Imze z= arg Im 2 ,ze z k kπ= + ∈ , ( )z∈ ;

(viii) , 1 2 1 2z z z ze e e+ = ( )1 2,z z ∈ ;

(ix) 2z i ze eπ+ = , ( )z∈ ;

(x) 1 z

z ee

−= , ( )z∈ ;

(xi) 1

1 2

2

zz z

z

e ee

−= , ( )1 2,z z ∈ ;

(xii) z ze e= , ( )z∈ .


Funcţia exponenţială de o variabilă complexă este o funcţie periodică cu o perioadă pur imaginară 2 iπ .

Dacă restriţionăm domeniul de definiţie la o mulţime de forma { }0 0: Im 2z y z y π∈ < ≤ + , atunci funcţia exponenţială este

bijectivă pe { }\ 0 . Funcţia

( ]{ } { }exp : : , , , \ 0z z x iy x y π π∈ = + ∈ ∈ − → ,

se numeşte determinarea principală a funcţiei exponenţiale.

4) Funcţia logaritmică Fie ecuaţia ze w= cu necunoscuta z x iy= + . Atunci avem

xw e= şi Arg w y= , de unde rezultă că ln Argz w i= + w .

Notăm Log ln Argw z w i w= = + .

Dacă domeniul de definiţie al funcţiei zw e= este restricţionat la fâşia { }: Imz zπ π∈ − < ≤ , atunci inversa sa este funcţia

logaritmică principală Logz w= . Funcţia definită prin

Log ln Argz z i z= + , ( )0z ≠ , unde Arg zπ π− < ≤ , se numeşte determinarea sau ramura principală a logaritmului.

Această funcţie este extensie a funcţiei logaritmice reale: Log ln Arg lnx x i x x= + = , ( )0x > .

5) Funcţia putere a unui număr complex cu exponent complex

Dacă şi r este un număr real oarecare, atunci 0x > lnr r xx e= . Pentru , ,z c z 0∈ ≠C , funcţia se numeşte ramura

principală a funcţei putere.

c c Logz e= z


6) Funcţii trigonometrice Din formulele , , rezultă,

pentru oricare număr real cos sinixe x i x= + cos sinixe x i x− = −

x ,

sin2

ix ixe exi

−−= ,

cos2

ix ixe ex−+

= .

Principalele funcţii trigonometrice sinus şi cosinus de o variabilă complexă sunt definite prin ecuaţiile următoare:

sin2

iz ize ezi

−−= , ( ) ; z∈

cos2

iz ize ez−+

= , ( ) . z∈

Aceste formule sunt numite formulele lui Euler. Proprietăţile şi formulele importante din trigonometrie sunt

valabile şi în cazul complex. Dar, formula fundamentală , valabilă şi în

planul complex nu implică

2 2sin cos 1z z+ =sin 1z ≤ sau cos 1z ≤ .

Avem sin 0z = dacă şi numai dacă z kπ= , k∈ ,

cos 0z = dacă şi numai dacă ( )2 12

z k π= + , k∈ ,

adică zerourile funcţiilor sinus şi cosinus sunt toate reale.

7) Funcţii hiperbolice Funcţiile sinus hiperbolic şi cosinus hiperbolic sunt definite de:


sh2

z ze ez−−

= , ( )z∈ ;

ch2

z ze ez−+

= , ( )z∈ .

Între funcţiile hiperbolice şi funcţiile trigonometrice există relaţiile următoare:

( )sh siniz i z= , ( )ch cosiz z= , ( )z∈ ;

( )sin shiz i z= , ( )cos chiz z= , ( )z∈ .

Funcţia constantă, funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică se numesc funcţii elementare primitive (fundamentale). Cu ajutorul lor se construiesc celelalte funcţii elementare.

Toate funcţiile care se pot obţine printr-un număr finit de operaţii elementare (adunare, înmulţire, împărţire şi compunere) cu funcţii elementare primitive se numesc funcţii elementare.

Transformări elementare Interpretarea geometrică a funcţiilor de o variabilă complexă

conduce la rezultate care au aplicaţii în fizică. Expresii ca translaţie, rotaţie şi simetrie sunt folosite pentru a

exprima caracteristici geometrice dominante ale unor funcţii. Informaţii despre transformări se obţin punând în evidenţă

imaginile unor puncte, curbe şi domenii. 1) Translaţia ( )w f z z c= = + Aplicaţia ( )w f z z c= = + , unde este o constantă

complexă, este o translaţie de vector c a planului. Adică, imaginea oricărui punct

1c c ic= + 2

( ),z x y= este punctul . ( )1 2,z x c y c= + +


Un domeniu şi imaginea sa printr-o translaţie sunt geometric congruente.

2) Transformarea ( )w f z bz= = Aplicaţia definită de ecuaţia w bz= , unde 0b ≠ este un număr

complex, transformă oricare punct 0z ≠ în punctul determinat de ww b z= şi Arg Arg Argw z b= + .

Această transformare constă dintr-o rotaţie a vectorului în jurul originii de unghi şi o dilataţie, dacă

zArgb 1b > , sau o contracţie,

dacă 1b < .

Dacă 1b = , adică ib e θ= , atunci transformarea w bz= este o rotaţie în jurul originii de unghi θ .

De exemplu, aplicaţia w iz= este o rotaţie a fiecărui punct în jurul originii, în sensul contrar acelor de ceasornic, cu un unghi de

z

2π radiani. 3) Transformarea afină ( )w f z bz c= = + Transformarea afină (sau liniară) definită de funcţia liniară

se obţine prin compunerea translaţiei cu transformarea

( ) ,w f z bz c b= = + ≠ 0w z c= + w bz= .

Adică, transformarea liniară constă dintr-o rotaţie, o dilataţie sau o contracţie, urmate de o translaţie.

4) Inversiunea ( ) 1w f zz

= =

Funcţia definită de ( ) 1w f zz

= = se numeşte inversiune.


Oricare punct 0z ≠ este transformat prin funcţia 1wz

= într-un

punct determinat de w 1wz

= şi . Arg Argw z= −

Mai întâi, observăm că imaginea unui punct de pe cercul unitate

1z = prin funcţia inversiune 1wz

= este simetricul său faţă de axa

reală, deoarece 1w = şi Arg Argw z= − . Semicercul superior este transformat în semicercul inferior şi

invers. Deci, cercul unitate este transformat în el însuşi.

Imaginea unui cerc z r= prin transformarea inversiune 1wz

=

este cercul 1wr

= .

Semicercul superior este transformat în semicercul inferior şi invers.

Punctele din interiorul cercului unitate, diferite de origine, sunt aplicate pe punctele din exteriorul cercului unitate şi invers, deoarece

1 1z w< ⇔ > şi Arg Argw z= − .

Discul punctat 0 z r< < , de rază , este transformat în

exteriorul discului de rază

r1r

, 1wr

> , şi invers.

Astfel, oricărei vecinătăţi a originii îi corespunde o vecinătate a punctului de la infinit şi invers.

Dacă scriem 21 1 zz z

⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

, atunci transformarea 1wz

= rezultă

din compunerea inversiunii faţă de cercul unitate cu simetria faţă de axa reală.


5) Transformarea lui Möbius ( ) az bw f zcz d

+= =

+

Transformarea lui Möbius sau transformarea omografică este

definită de ( ) az bw f zcz d

+= =

+, unde , , ,a b c d ∈ şi 0ad bc− ≠ .

Condiţia 0ad bc− ≠ asigură că transformarea nu este constantă. Mulţimea tuturor transformărilor lui Möbius formează un grup. Dacă , transformarea lui Möbius se reduce la o transformare 0c =

liniară. Dacă , transformarea lui Möbius poate fi scrisă sub forma 0c ≠

1a bc adwc c cz d

−= + ⋅

+.

De aici deducem că transformarea lui Möbius este compusa a trei transformări: o translaţie, o inversiune şi iarăşi o translaţie. Această transformare aplică cercurile şi dreptele pe cercuri şi drepte, imaginea unei drepte este o dreaptă sau un cerc, precum imaginea unui cerc poate fi o dreaptă sau un cerc.

În planul extins, dreptele sunt considerate cercuri care trec prin punctul de la infinit.

Ecuaţia ( )( )( )( )

( )( )( )( )

1 2 3 1 2 3

3 2 1 3 2 1

w w w w z z z zw w w w z z z z− − − −

=− − − −

defineşte în mod unic o transformare a lui Möbius care aplică trei puncte distincte date pe trei puncte distincte specificate

, respectiv. 1 2 3, ,z z z

1 2 3, ,w w wRaportul anarmonic a patru puncte este definit prin 1 2 3 4, , ,z z z z

[ ] ( )( )( )( )

4 1 2 31 2 3 4

4 3 2 1

, , ,z z z z

z z z zz z z z− −

=− −

.

Raportul anarmonic a patru puncte este invariant faţă de o transformare a lui Möbius: [ ] [ ]1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,w w w w z z z z= .


6) Transformarea ( ) 2w f z z= = Un punct oarecare z este transformat prin 2w z= în punctul

determinat de w

2w z= şi Arg 2Argw z= . Astfel această transformare aplică întreg planul pe el însuşi. Un cerc z r= este transformat în cercul 2w r= .

Un semidisc z r< şi 0 Arg z π≤ ≤ este transformat în discul

întreg 2w r< .

Imaginea domeniului unghiular Arg zα β< < este domeniul unghiular 2 Arg 2wα β< < .

În coordonate carteziene transformarea 2w z= devine . 2 2 2u iv x y ixy+ = − +

Deci, prin această transformare imaginea punctului ( ),a a este

punctul . ( )20, 2aSemidrepta 0y x= > şi semidreapta 0y x= < sunt aplicate

amândouă pe semiaxa w iv= , . Dreptele paralele cu axele de coordonate sunt transformate în parabole.

0v >

Imaginea hiperbolei 2 21x y c− = , ( 1 0c )≠ este dreapta 1u c= .

Imaginea hiperbolei 22xy c= , ( )2 0c ≠ este dreapta 2v c= . 7) Transformarea ( )w f z z= =

Ramura principală a funcţiei w = z , determinată de 12w z= şi

1Arg Arg2

w = z , aplică domeniul Arg zπ π− < < pe semiplanul

drept Arg2 2

wπ π− < < .


Imaginea cercului z r= este semicercul drept Arg

2zi

w re= . 8) Transformarea ( ) zw f z e= = Transformarea zw e= , determinată de Re zw e= , Arg Imw z= ,

transformă fâşia ( ) ( )2 1 Im 2 1 ,k z k kπ π− < ≤ + ∈ pe mulţimea

punctelor diferite de origine. În acest caz Log 2z w k iπ= + . Considerăm Im zπ π− < ≤ . Prin transformarea zw e=

segmentul de dreapta 0 ,x x yπ π= − < ≤ este aplicat pe cercul 0xw e= , dreapta 0Im z y= este aplicată pe 0Arg w y= .

Fâşia 0 Im z π< < este aplicată pe semiplanul superior 0 Arg w π< < , în timp ce fâşia Im 0zπ− < < este aplicată pe semiplanul inferior.

Notăm că axa reală este aplicată pe semiaxa reală pozitivă şi dreapta y π= este aplicată pe semiaxa reală negativă.

Deci, fâşia Im zπ π− < ≤ este aplicată bijectiv pe întreg planul, exclusiv originea.

Regiunea dreptunghiulară 1 2x x x≤ ≤ , 1y y y2≤ ≤ este

transformată în regiunea 1 2x xe w e≤ ≤ , 1 2Argy w y≤ ≤ mărginită

de arce de cerc şi segmente de dreaptă. 9) Transformarea ( ) sinw f z z= =

Transformarea sinw z= este o aplicaţie bijectivă a fâşiei 2 Re 2zπ π− ≤ ≤ , pe semiplanul superior Im . Im 0z ≥ 0w ≥

Regiunea dreptunghiulară xπ π− ≤ ≤ , c y d≤ ≤ este aplicată prin transformarea sinw z= pe regiunea mărginită de două elipse cu aceleaşi focare.


10) Transformarea ( ) cosw f z z= = Deoarece ( )cos sin 2w z z π= = + , transformarea cosw z=

este aceeaşi cu transformarea sinw Z= precedată de translaţia 2Z z π= + .

Transformarea cosw z= aplică segmentul xπ π− < ≤ , pe o elipsă. 0 0y y= >

Remarcă. Transformarea lui Jukovski ( )1

2 1w z z= + aplică

cercul unitate 1z = pe intervalul închis [ ]1,1− , celelalte cercuri pe

elipse şi semidreptele Arg z θ= pe arce de hiperbole.

3

ANALITICITATE

Limite şi continuitate Diferenţiabilitate

Ecuaţiile Cauchy-Riemann Analiticitate

Funcţii armonice

În teoria funcţiilor complexe considerăm patru clase de funcţii: 1) funcţii de o variabilă reală, cu valori reale; 2) funcţii de o variabilă reală, cu valori complexe; 3) funcţii de o variabilă complexă, cu valori reale; 4) funcţii de o variabilă complexă, cu valori complexe. Limite

Fie un domeniu şi un punct de acumulare pentru . D ⊆ 0z DFie . :f D →Prin definiţie, limita funcţiei f în punctul este , şi scriem 0z 0w

00lim ( )

z zf z w

→= , dacă pentru oricare 0ε > există 0δ > astfel încât

0 00 ( )z z f z w .δ ε< − < ⇒ − <

Dacă limita funcţie f există, în punctul , atunci ea este unică. 0z


Observaţii (i)

0 00 0lim ( ) lim ( )

z z z zf z w f z w

→ →= ⇔ = , i.e.

0 0

lim ( ) lim ( )z z z z

f z f→ →

= z ;

(ii) 0 0

0 0lim ( ) lim ( )z z z z

f z w f z w→ →

= ⇒ = , i.e. 0 0

lim ( ) lim ( )z z z z

f z f→ →

= z .

Cazuri particulare: 0 0z z z z→ ⇔ → ; 0 0z z z z→ ⇒ → ;

0 0z z→ ⇔ → ; 0 0 0z z z z→ ⇔ − → .

Funcţia ( )f z de o variabilă complexă z x iy= + poate fi scrisă

( ) Re ( ) Im ( )f z f z i f= + ⋅ z sau ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + , unde şi ( , ) Re ( )u x y f z= ( , ) Im ( )v x y f z= .

Între limita unei funcţii complexe de o variabilă complexă şi limitele componentelor sale reale de două variabile reale există o legătură strânsă.

Teoremă. Fie un domeniu, D ( )0 0 0,z x y= un punct de

acumulare pentru , D ( )0 0 0,w u v= . Fie o funcţie , :f D →

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + , ( )z x iy D= + ∈ . Atunci

00lim ( )

z zf z w

→=

dacă şi numai dacă

( ) ( )0 00, ,

lim ( , )x y x y

u x y u→

= şi ( ) ( )0 0

0, ,lim ( , )

x y x yv x y v

→= .

Demonstraţie. Deoarece

00lim ( )

z zf z w

→= este echivalentă cu

00lim ( )

z zf z w

→= , rezultă că

( ) ( )0 0 0, ,lim Re ( ) Re lim ( )

x y x y z zf z f

→ →z= şi

( ) ( )0 0 0, ,lim Im ( ) Im lim ( )

x y x y z zf z f

→ →z= .


Invers, din ultimele două relaţii rezultă 0

0lim ( )z z

f z w→

= . În final,

avem ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0, , , ,

lim ( ) lim ( , ) lim ( , )z z x y x y x y x y

f z u x y i v→ → →

x y= + ⋅ .

Continuitate Definiţie. Fie un domeniu. Fie şi D ⊆ :f D → 0z D∈ .

Funcţia f este continuă în punctul dacă 0z0

0lim ( ) ( )z z

f z f z→

= , adică

∀ 0ε > , ∃ 0δ > : 0 0( ) ( )z z f z f zδ ε− < ⇒ − < .

O funcţie este continuă într-un domeniu, dacă este continuă în

fiecare punct din domeniu. Teoremă. Funcţia ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este continuă într-un punct 0 0z x iy0= + dacă şi numai dacă funcţiile şi

sunt continue în punctul

( , )u x y( , )v x y ( )0 0,x y .

Demonstraţie. Dacă ( )f z este continuă în , atunci oricare ar

fi 0z

0ε > , există 0δ > astfel încât 0z z δ− < implică

0( ) ( )f z f z ε− < . Din 0z z δ− < rezultă inegalităţile:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0, , , , , ( ) ( )u x y u x y v x y v x y f z f z ε− − ≤ − < .

Astfel, din continuitatea funcţiei ( )f z în punctul rezultă

continuitatea funcţiilor şi în punctul 0z

( , )u x y ( , )v x y ( )0 0,x y .

Reciproc, dacă şi sunt continue în ( , )u x y ( , )v x y ( )0 0,x y ,

atunci continuitatea funcţiei ( )f z în rezultă din inegalitatea 0z

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0( ) ( ) , , , ,0 0f z f z u x y u x y v x y v x y− ≤ − + − .


Multe proprietăţi ale funcţiilor continue de o variabilă complexă pot fi deduse din proprietăţile corespunzătoare ale funcţiilor reale de două variabile reale.

Dacă ( )f z este continuă într-un punct , atunci 0z ( )f z este

continuă în . 0z Dacă două funcţii sunt continue într-un punct, atunci suma şi produsul lor sunt continue în acel punct; câtul lor este continuu în oricare punct în care numitorul este diferit de zero. Polinoamele sunt funcţii continue în întreg planul complex. Propoziţie. Fie o funcţie f definită pe o vecinătate a unui punct

şi fie imaginea acelei vecinătăţi conţinută într-un domeniu pe care este definită o funcţie .

0zg

Dacă f este continuă în şi este continuă în 0z g 0( )f z , atunci

funcţia compusă [ ]( )g f z este continuă în . ■ 0z Diferenţiabilitatea unei funcţii într-un punct Definiţie. Fie o funcţie f de o variabilă complexă al cărei

domeniu de definiţie conţine o vecinătate a unui punct . 0zFuncţia f este diferenţiabilă (sau - diferenţiabilă) în dacă 0z

există 0

0

0

( ) ( )limz z

f z f zz z→

−−

. Această limită se numeşte derivata funcţiei

f în punctul şi se notează 0z0

00

0

( ) ( )( ) limz z

f z f zf zz z→

−′ =−

. Cu alte

cuvinte, o funcţie f este diferenţiabilă în , dacă există 0z ( )0f z′ .


Definiţia derivatei mai poate fi scrisă în felul următor:

0 00 0

( ) (( ) limh

)f z h f zf zh→

+ −′ = ,

unde valoarea 0( )f z h+ este definită pentru h suficient de mic.

Notăm că tinde către zero, trecând prin puncte din plan, nu numai de-a lungul axei reale.

h

Există o altă definiţie, echivalentă, a diferenţiabilităţii unei funcţii

într-un punct. Definiţie. O funcţie f este diferenţiabilă într-un punct dacă

există c astfel încât 0z

∈ ( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) 0f z f z c z z z z zε= + − + − ,

unde 0

lim ( ) 0z z

zε→

= .

Demonstrăm echivalenţa celor două definiţii. Presupunem că

( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) 0f z f z c z z z z zε= + − + − , unde c este o constantă şi

0

lim ( ) 0z z

zε→

= . Atunci 0

0

( ) ( ) ( )f z f zc zz z

ε−=

−+ şi, trecând la limită,

0

0

0

( ) ( )limz z

f z f zcz z→

−=

−. Astfel, rezultă că f este diferenţiabilă în

şi

0z

0( )f z c′ = . Reciproc, dacă 0( )f z′ există, atunci avem 0( )c f z′= şi

00

0

( ) ( )( ) ( )f z f zz fz z

ε − z′= −−

. Deci, dacă f este diferenţiabilă în

, atunci 0z ( )( ) ( )0 0 0( ) ( ) ( ) 0f z f z f z z z z z zε′= + − + − , cu

0

lim ( ) 0z z

zε→

= .


Există o diferenţă fundamentală între cazul unei variabile reale şi cazul unei variabile complexe.

Propoziţie. Oricare funcţie reală de o variabilă complexă

definită pe un domeniu are derivata egală cu zero sau derivata nu există. Demonstraţie. Fie un domeniu şi fie o

funcţie reală de o variabilă complexă. Presupunem că există D ⊆ :f D →

( )0f z′

într-un punct 0z D∈ . Atunci, avem simultan:

0 00 0

( ) ( )( ) limhh

f z h f zf zh→

∈

+ −′ = ∈ ,

0 00 0

( ) ( )( ) limihh

f z ih f zf zih→

∈

+ −′ = ∈ .

Din condiţiile de mai sus rezultă că ( )0 0f z′ = sau ( )0f z′ nu

există. În plus, dacă derivata există în fiecare punct al domeniului , atunci funcţia este constantă.

D

Cazul unei funcţii complexe de o variabilă reală t∈ poate fi

redus la cazul real.

Dacă ( ) ( ) ( )1 2f t f t if t= + , atunci ( ) ( ) ( )1 2f t f t if t′ ′′ = + .

Existenţa derivatei ( )f t′ este echivalentă cu existenţa simultană

a derivatelor ( )1f t′ şi ( )2f t′ . Formulele de derivare de bază pentru funcţiile de o variabilă

complexă sunt aceleaşi ca în cazul funcţiilor reale de variabilă reală.


Propoziţie. Dacă o funcţie ( )f z are derivată într-un punct şi are derivată în punctul

0z( )g z 0( )f z , atunci funcţia compusă

[ ]( ) ( )F z g f z= are derivată în punctul şi derivata ei este 0z[ ]0 0( ) ( ) ( )F z g f z f z′ ′ ′= 0 . ■

Proprietatea de diferenţiabilitate a unei funcţii implică proprietatea

de continuitate a funcţiei. Propoziţie. Dacă f este diferenţiabilă în , atunci 0z f este continuă în . 0z Demonstraţie. Dacă f este diferenţiabilă în , atunci din

egalităţile

0z

[ ] ( )0 0 0

00 0

0

( ) ( )lim ( ) ( ) lim lim 0z z z z z z

f z f zf z f z z zz z→ → →

−− = −

−=

rezultă că 0

0lim ( ) ( )z z

f z f z→

= .

Observaţie. Reciproca nu este adevărată. Continuitatea unei

funcţii într-un punct nu implică existenţa derivatei în acel punct. De exemplu, funcţia ( ) 2f z z= este continuă în oricare punct

din plan, dar nu este diferenţiabilă decât în origine. Fie funcţia ( ) 2f z z= . Pentru oricare avem: z

( ) ( ) ( )( )2 2

.

z h zf z h f z z h z h zzh h h

zh hz hh hz z hh h

+ −+ − + + −= =

+ += = + +

Dacă , atunci 0z = ( )0 0f ′ = .


Fie . Atunci 0z ≠

0 0

0 0

( ) ( )( ) lim lim

( ) ( )lim lim .

h hh h

h hh h

f z h f z hf z z z h z zh h

f z ih f z ihz z ih zih ih

→ →∈ ∈

→ →∈ ∈

⎛ ⎞+ −′ = = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ −= = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠z

+

= − +

De aici rezultă că ( )f z′ există dacă şi numai dacă

z z z z+ = − + , adică 0z = . Deci, ( ) 2f z z= este diferenţiabilă numai în origine,

. ( )0 0f ′ =Acest exemplu arată că o funcţie poate fi diferenţiabilă într-un

punct, dar nu este diferenţiabilă în nici o vecinătate a acelui punct. De asemenea, părţile reală şi imaginară ale unei funcţii f de o

variabilă complexă pot avea derivate parţiale de toate ordinele continue într-un punct şi f să nu fie diferenţiabilă în acel punct.

Ecuaţiile Cauchy-Riemann Fie o funcţie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + , z x iy= + . Următoarele ecuaţii diferenţiale sunt cunoscute sub numele de

ecuaţiile Cauchy-Riemann (sau ecuaţiile D’Alembert-Euler):

( ) ( )

( ) ( )

, ,

, ,

u v

.

x y x yx yv ux y xx y

∂ ∂⎧ =⎪∂ ∂⎪⎨∂ ∂⎪ = −⎪∂ ∂⎩

y

Ecuaţiile Cauchy-Riemann ne dau o condiţie necesară, dar nu şi

suficientă, pentru diferenţiabilitatea funcţiei într-un punct.


Propoziţie. Dacă o funcţie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este diferenţiabilă în punctul 0 0z x iy0= + , atunci derivatele parţiale

de ordinul întâi există în punctul ( )0 0,x y şi satisfac ecuaţiile lui

Cauchy-Riemann în punctul ( )0 0,x y .

Demonstraţie. Calculăm limita raportului 0 0( ) ( )f z h f zh

+ −,

întâi când prin valori reale, apoi prin valori imaginare. 0h →

( ) ( )

0 00 0

0 0 0 0 0 0 00 0

0 0 0 0

( ) ( )( ) lim

( , ) ( , ) ( , ) ( ,lim lim

, , .

h

h h

f z h f zf zh

u x h 0 )y u x y v x h y v x yih h

u vx y i x yx x

→

→ →

+ −′ =

+ − + −= + ⋅

∂ ∂= +∂ ∂

Dacă pe axa imaginară 0h → ( )0ih h→ ⇔ → 0 , atunci

( ) ( )

0 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

( ) ( )( ) lim

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim

, , .

h

h h

h h

f z ih f zf zih

u x y h u x y v x y h v x yiih ih

u x y h u x y v x y h v x yih h

v ux y i x yy y

→

→ →

→ →

+ −′ =

+ − + −= + ⋅

+ − + −= − ⋅ +

∂ ∂= −∂ ∂

Dar, funcţia ( )f z fiind diferenţiabilă în punctul , cele două

expresii trebuie să fie egale: 0z


( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0( ) , , , ,u v v u0f z x y i x y x y i x y

x x y y∂ ∂ ∂ ∂′ = + = −∂ ∂ ∂ ∂

.

Egalând părţile reale şi părţile imaginare, obţinem:

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,

, ,

u vx y x yx yv u .x y xx y

∂ ∂⎧ =⎪∂ ∂⎪⎨∂ ∂⎪ = −⎪∂ ∂⎩

y

(Ecuaţiile Cauchy-Riemann)

Observaţie. Derivata funcţiei ( )f z în punctul este dată de

oricare din ecuaţiile următoare: 0z

( ) ( )0 0 0 0( ) , ,u v0f z x y i x

x xy∂ ∂′ = +

∂ ∂,

( ) ( )0 0 0 0( ) , ,v u0f z x y i x

y yy∂ ∂′ = −

∂ ∂.

Aceste ecuaţii pot fi scrise, mai concis, astfel:

( )0 0( ) ,f0f z x

xy∂′ =

∂,

( )0 0( ) ,f0f z i x y

y∂′ = −∂

.

Derivata 0( )f z′ mai poate fi calculată cu una din următoarele

formule:


( ) ( )0 0 0 0( ) , ,u u0f z x y i x

x yy∂ ∂′ = −

∂ ∂,

( ) ( )0 0 0 0( ) , ,v v0f z x y i x

y xy∂ ∂′ = +

∂ ∂.

Exemplu. Considerăm funcţia ( ) 2 2 2f z z x y= = + . Avem

şi ( ) 2 2,u x y x y= + ( ),v x y 0= şi derivatele parţiale:

( ), 2u x y xx∂

=∂

, ( ), 0v x yy∂

=∂

, ( ), 2u x y yy∂

=∂

şi ( ), 0v x yx∂

=∂

.

Observăm că ecuaţiile Cauchy-Riemann nu sunt satisfăcute pentru

. Prin urmare, 0z ≠ ( )f z′ nu există, dacă 0z ≠ . Ecuaţiile Cauchy-Riemann sunt satisfăcute numai pentru

, dar aceasta nu garantează existenţa derivatei 0x y= = ( )0f ′ . Satisfacerea ecuaţiilor Cauchy-Riemann într-un punct nu este

suficientă pentru diferenţiabilitatea funcţiei în acel punct. Dar, cu anumite condiţii de continuitate, avem următoarea teoremă.

Teoremă. Fie funcţia ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + definită într-o vecinătate a unui punct 0 0z x iy0= + . Dacă derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor şi există în acea vecinătate, sunt continue în punctul

( , )u x y ( , )v x y( 0 0, )x y şi satisfac ecuaţiile

Cauchy-Riemann în ( )0 0,x y , atunci derivata 0( )f z′ există, i.e.

( )f z este diferenţiabilă în . 0z


Demonstraţie. Din teorema de aproximare liniară pentru funcţii cu valori reale de două variabile reale, avem relaţiile următoare:

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 2 0

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )

( , )( ) ( , )( ),

u uu x y u x y x y x x x y y yx y

x y x x x y y yε ε

∂ ∂− = − +

∂ ∂

+ − + −

−

0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 4 0

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )

( , )( ) ( , )( ),

v vv x y v x y x y x x x y y yx y

x y x x x y y yε ε

∂ ∂− = − +

∂ ∂

+ − + −

−

unde ( )

0 0( , ) ( , )lim ( , ) 0 1,2,3,4jx y x y

x y jε→

= = .

Prin urmare:

[ ]

[ ]

[ ]

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 3 0

2 4 0

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( ) ( , )( )

( , )( ) ( , )( )

( , ) ( , ) ( )

( , ) ( , ) ( ).

f z f z u x y u x y i v x y v x y

u ux y x x x y y yx y

v vi x y x x x y y yx y

x y i x y x x

x y i x y y y

ε ε

ε ε

− = − + −

∂ ∂= − + −∂ ∂

⎡ ⎤∂ ∂+ − +⎢

0 0

− ⎥∂ ∂ ⎦⎣

+ + −

+ + −

De aici, rezultă:


( )

[ ]

[ ]

0 00 0 0 0

0 0

00 0 0 0

0

01 3

0

02 4

0

( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) .

f z f z x xu vx y i x yz z x x z z

i y yu vi x y i x yy y z

x xx y i x yz z

y yx y i x yz z

ε ε

ε ε

− −∂ ∂⎡ ⎤= +⎢ ⎥− ∂ ∂ −⎣ ⎦

⎡ −⎤∂ ∂− +⎢ ⎥∂ ∂ ⎦⎣

−+ +

−

−+ +

−

z−

Folosim ecuaţiile Cauchy-Riemann şi obţinem:

( )

[ ]

[ ]

0 00 0 0 0

0 0

00 0 0 0

0

01 3

0

02 4

0

( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) .

f z f z x xu vx y i x yz z x x z z

i y yu vx y i x yx x z

x xx y i x yz z

y yx y i x yz z

ε ε

ε ε

− −∂ ∂⎡ ⎤= +⎢ ⎥− ∂ ∂ −⎣ ⎦

−∂ ∂⎡ ⎤+ +⎢ ⎥∂ ∂ −⎣ ⎦

−+ +

−

−+ +

−

z

Apoi, după simplificare, avem:


[ ]

[ ]

00 0 0 0

0

01 3

0

02 4

0

( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) .

f z f z u vx y i x yz z x x

x xx y i x yz z

y yx y i x yz z

ε ε

ε ε

− ∂ ∂⎡ ⎤= +⎢ ⎥− ∂ ∂⎣ ⎦

−+ +

−

−+ +

−

Deoarece

0 0( , ) ( , )lim ( , ) 0jx y x y

x yε→

= , 0

0

1x xz z−

≤−

şi 0

0

1y yz z−

≤−

,

rezultă

0

00 0 0 0

0

( ) ( )lim ( , ) ( , )z z

f z f z u vx y i x yz z x x→

− ∂ ∂= +

− ∂ ∂.

Exemple 1). Funcţia exponenţială ( )cos sinz xe e y i y= + ( )z∈ este

diferenţiabilă şi ( )ze ′ ze= . În acest caz ( ), coxu x y e y= s

n

şi

. Aplicăm teorema şi obţinem ( ), sixv x y e y=

( ) cos sinx xf z e y ie y′ = + z, ∈ .

2). Funcţia ( ) 2f z z= este diferenţiabilă numai în origine şi

. ( )0f ′ = 0


Funcţii analitice

Analiticitatea este conceptul cel mai important pentru funcţiile complexe.

Definiţie. O funcţie se numeşte analitică într-un punct dacă şi

numai dacă este diferenţiabilă într-o vecinătate a punctului. O funcţie este analitică într-un domeniu dacă şi numai dacă este

diferenţiabilă în fiecare punct al domeniului. O funcţie analitică în întreg planul complex se numeşte funcţie

întreagă. Notă. Noţiunea de funcţie analitică este denumită şi prin termenii

sinonimi: funcţie olomorfă, funcţie regulată, funcţie monogenă.

Observaţii (i) Mulţimea tuturor punctelor în care o funcţie dată este analitică

trebuie să fie o mulţime deschisă. (ii) Oricare funcţie analitică este continuă în domeniul ei de

analiticitate.

Condiţii suficiente pentru analiticitatea unei funcţii într-un domeniu rezultă din condiţii suficiente pentru diferenţiabilitatea funcţiei într-un punct.

Teoremă. Fie o funcţie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + definită într-un domeniu . Dacă şi au derivate parţiale de ordinul întâi continue care satisfac ecuaţiile Cauchy-Riemann în toate punctele domeniului , atunci

D ( , )u x y ( , )v x y

D ( )f z este analitică în domeniul . ■ D Notă importantă. Stabilirea analiticităţii funcţiilor elementare

este un exerciţiu foarte simplu.


Polinoamele, funcţia exponenţială şi funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus sunt funcţii întregi. Dacă două funcţii sunt analitice într-un domeniu , atunci suma şi produsul lor sunt funcţii analitice în .

DD

Câtul a două funcţii analitice în este funcţie analitică în , cu condiţia ca funcţia de la numitor să fie diferită de zero în .

D DD

Dacă o funcţie ( )f z este analitică într-un domeniu şi este o funcţie analitică într-un domeniu care conţine imaginea lui

D ( )g z

f , atunci funcţia compusă [ ]( )g f z este analitică în . D Teoremă. Dacă o funcţie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este analitică într-un domeniu şi dacă D ( ) 0f z′ ≡ în , atunci D

( )f z este constantă. Demonstraţie. Fie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + analitică într-un

domeniu . Din ipoteză rezultă că D 0u u v vx y x y∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂

în ,

deci funcţiile şi sunt constante pe oricare segment de dreaptă din paralel cu una din axele de coordonate. Dar oricare două puncte din domeniul pot fi unite printr-o linie poligonală în interiorul domeniului ale cărei laturi sunt paralele cu axele de coordonate. Astfel,

D

( , )u x y ( , )v x yD

D

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este constantă în . D Corolar. Fie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + analitică într-un domeniu . Dacă una din următoarele funcţii: , , D ( , )u x y ( , )v x y

( )f z , arg ( )f z este constantă în , atunci D ( )f z este constantă.


Demonstraţie. Dacă partea reală sau partea imaginară ( , )u x y

( , )v x y este constantă, atunci ( ) 0u u v vf z i ix y y x∂ ∂ ∂ ∂′ = − = + =∂ ∂ ∂ ∂

în

, deci D ( )f z este constantă. Dacă funcţia modul ( )f z , adică funcţia 2u v2+ este

constantă, atunci avem egalităţile următoare:

0u vu vx x∂ ∂

+ =∂ ∂

şi 0u vu vy y∂ ∂

+ =∂ ∂

. Folosind ecuaţiile Cauchy-

Riemann, obţinem 0u vx y∂ ∂

= =∂ ∂

. Deci, ( ) 0f z′ = în . D

Dacă funcţia arg ( )f z este constantă în , atunci uD kv= , unde este o constantă. k

Observând că ( )Re 1 0ik f u kv+ = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ , rezultă că f este

constantă. Funcţii armonice

Vom vedea mai departe că dacă o funcţie este analitică într-un

punct, atunci are derivate de oricare ordin în acel punct. În particular, existenţa derivatei implică continuitatea derivatei

(echivalent, continuitatea derivatelor parţiale ale părţilor reală şi imaginară ale funcţiei).

O funcţie reală continuă , definită într-un domeniu , se numeşte funcţie armonică în , dacă are derivate parţiale de ordinul întâi şi de ordinul al doilea continue care satisfac pe ecuaţia lui Laplace:

( , )U x y DD ( , )U x y

D

2 2

2 2

( , ) ( , ) 0U x y U x yx y

∂ ∂+ =

∂ ∂.


Dacă ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este o funcţie analitică într-un domeniu , atunci părţile ei reală şi imaginară sunt funcţii armonice în , adică

DD

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

şi 2 2

2 2 0v vx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

Funcţia este, prin definiţie, o funcţie armonică conjugată a

funcţiei u . v

Deci, dacă ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este analitică în , atunci este o funcţie armonică conjugată a funcţiei u .

Dv

Reciproc, dacă este o funcţie armonică conjugată a funcţiei în , atunci funcţia

v uD ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este analitică în . DÎn consecinţă, o funcţie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + este analitică

într-un domeniu dacă şi numai dacă este o funcţie armonică conjugată a funcţiei în .

D vu D

Dacă este o funcţie armonică conjugată a funcţiei într-un

domeniu , nu este în general adevărat că este o funcţie armonică conjugată a funcţiei în . Exemplu. Fie funcţia întreagă

v uD u

v D( ) 2f z z= . Atunci ( ), 2v x y xy= este o armonică conjugată a lui

, dar nu poate fi o armonică conjugată a lui , întrucât funcţia ( ) 2,u x y x y= − 2 u v

v iu+ nu este analitică peste tot. O funcţia este o funcţie armonică conjugată a unei funcţiei într-un domeniu dacă şi numai dacă funcţia este o funcţie armonică conjugată a funcţiei

v uD u

v− în . D

4

INTEGRALA COMPLEXĂ. TEOREMA LUI CAUCHY

Curbe şi domenii Integrala unei funcţii complexe continue de o variabilă reală

Integrala unei funcţii complexe de o variabilă complexă Antiderivate (Primitive)

Teorema integrală a lui Cauchy (Teorema Cauchy-Goursat)

Curbe Fie planul complex finit. • O curbă continuă în planul complex este definită

parametric de o funcţie complexă continuă ( ) ( ) ( ),z t x t iy t a t= + ≤ ≤ b (adică, ( )x t şi sunt

funcţii reale continue, de variabilă reală ). Notăm curba definită de

( )y tt C

( ) ( ) ( ),z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ . Punctul ( )z a se numeşte punctul iniţial al curbei C , iar punctul ( )z b se numeşe punctul terminal al curbei . C

• O curbă : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , se numeşte curbă închisă dacă punctul iniţial coincide cu punctul terminal , i.e.

( )z a( )z b ( ) ( )z a z b= .

• O curbă : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , se numeşte curbă simplă dacă 1 2,a t b a t b< < < < şi 1t t2≠ implică

, adică dacă nu se autointersectează. 1( ) ( )z t z t≠ 2


• O curbă care este simplă şi închisă se numeşte curbă simplă închisă sau curbă Jordan.

• O curbă Jordan împarte planul în două domenii disjuncte: un domeniu mărginit, numit interiorul curbei şi un domeniu nemărginit, numit exteriorul curbei. Curba este frontiera fiecăruia dintre cele două domenii.

• O curbă : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , se numeşte curbă netedă dacă derivata sa ( ),z t′ a t b≤ ≤ , este continuă şi

( ) 0,z t′ ≠ a t b≤ ≤ . • O curbă care are derivată continuă pe porţiuni se numeşte

contur (sau curbă netedă pe porţiuni, sau drum). • Oricare linie poligonală este un contur. • Cercurile, poligoanele (triunghiurile, dreptunghiurile etc.)

sunt contururi simple închise. • “Suma” a două curbe şi este o curbă formată

astfel încât punctul terminal al curbei coincide cu punctul iniţial al curbei . Scriem .

1C 2C C

1C

2C 1 2C C C= +• Oricare contur C poate fi exprimat ca suma unui număr finit

de curbe netede 1 2 nC C C C= + + ⋅⋅ ⋅ + . • Notăm în felul următor: ,

conturul : ( ),C z a b t a t b− + − ≤ ≤

: ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , dar parcurs în sens opus.

• Lungimea unei curbe , este

marginea superioară a tuturor sumelor

: ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤

11( ) ( )n

k kkz t z t −=

−∑ ,

unde 0 1 2 na t t t t b= < < < ⋅⋅ ⋅ < = . • Dacă lungimea unei curbe este finită, curba se numeşte

curbă rectificabilă. • Dacă o curbă nu este contur, atunci lungimea ei poate să nu

fie finită. • Oricare contur este rectificabil. • Fie : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , o curbă netedă.


Lungimea curbei este dată de formula C ( )b

aL z t dt′= ∫ .

• Lungimea unei curbei netede este invariantă faţă de schimbarea reprezentării ei parametrice.

Fie : ( ),C z t a t b≤ ≤ şi două parametrizări

ale curbei netede . Considerăm o funcţie reală

: ( ),C Z r c r d≤ ≤C [ ] [ ]: , ,h c d a b→

continuă, cu derivata continuă şi pozitivă, care aplică intervalul [ ],c d pe intervalul [ ],a b . Un exemplu de astfel de funcţie este funcţia

( ) b a ad bch r rd c d c− −

= ⋅ +− −

, c r d≤ ≤ .

Scriem . Atunci ( ),t h r c r d= ≤ ≤( ) ( ( )),Z r z h r c r= ≤ d ( ) ( ( )) ( ),≤ şi Z r z h r h r c r d′ ′ ′= ≤ ≤ ,

( ) ( )( ) ( ) ( )b d d

a c cL z t dt z h r h r dr Z r dr′ ′ ′ ′= = =∫ ∫ ∫ .

• Un segment de dreaptă [ ]0 1,z z este reprezentat prin ecuaţia

0 1 0( ) ( ),z t z t z z= + − 0 1t≤ ≤ , sau

0 1( ) (1 ) ,z t t z tz= − + 0 1t≤ ≤ . • Lungimea unui segment [ ]0 1,z z este dată de formula

1 1

1 0 1 00 0( )L z t dt z z dt z z′= = − = −∫ ∫ .

Exemple de curbe (1) 1 1: ( ) cos sin , 0 2itC z t e t i t t π= = + ≤ ≤ ;

(2) 2 2: ( ) cos sin , 0 2itC z t e t i t t π−= = − ≤ ≤ ;

(3) 3 3: ( ) cos sin , 0 2itC z t e t i t t π= − = − − ≤ ≤ ;


(4) 4 4: ( ) cos sin , 0 2itC z t e t i t t π−= − = − + ≤ ≤ ;

(5) 5 5: ( ) , 0itC z t e t π= ≤ ≤ ;

(6) 26 6: ( ) , 0 2itC z t e t π= ≤ ≤ ;

(7) 27 7: ( ) , 0 2itC z t e t π= ≤ ≤ .

Primele patru curbe sunt curbe simple închise şi reprezintă cercul

unitate. Ele diferă una de alta prin punctul iniţial sau prin sens. Curbele au punctul iniţial 1 2,C C ( )1,0 , pe când curbele au

punctul iniţial (3 4,C C

)1,0− .

Curbele şi nu sunt curbe simple deoarece sunt parcurse de două ori.

6C 7C

Curbele sunt orientate în sens pozitiv, iar au orientarea în sensul negativ.

1 3,C C 2 4,C C

Curbele 5 5: ( ) , 0itC z t e t π= ≤ ≤ , 26 6: ( ) , 0 2itC z t e t π= ≤ ≤

diferă în sens formal deoarece iau naştere din parametrizări diferite, dar reprezintă amândouă semicercul unitate din semiplanul superior şi au aceeaşi lungime π .

Curbele 1 1: ( ) , 0 2itC z t e t π= ≤ ≤ , 27 7: ( ) , 0 2itC z t e t π= ≤ ≤

reprezintă amândouă cercul unitate, dar lungimea curbei este 21C π ,

iar lungimea curbei este 7C 4π . Domenii

• O mulţime din planul complex se numeşte convexă dacă

pentru oricare două puncte S

,z w S∈ , segmentul [ ],z w este conţinut în . S


• Discurile şi interioarele dreptunghiurilor sunt exemple de mulţimi convexe.

• O mulţime din planul complex se numeşte stelată dacă există un punct în astfel încât, pentru oricare punct

din , segmentul

S0z S z

S [ ]0 ,z z este conţinut în . S• Oricare mulţime stelată este conexă. • Un domeniu D se numeşte domeniu simplu conex dacă toate

punctele din interiorul oricărei curbe simple închise inclusă în D sunt puncte ale lui D .

• Mulţimea punctelor interioare unui contur simplu închis este domeniu simplu conex.

• Frontiera a unui domeniu are o orientare pozitivă, sau este parcursă în sens pozitiv, dacă o persoană care ar merge pe frontieră ar avea totdeauna domeniul în stânga sa.

C

• Frontiera unui disc are orientare pozitivă dacă este parcursă în sensul contrar acelor de ceasornic şi orientare negativă dacă este parcursă în sensul acelor de ceasornic.

• Dacă o curbă simplă închisă este dată fără a specifica domeniul, atunci presupunem că domeniul este interiorul curbei, iar sensul pozitiv este sensul contrar acelor de ceasornic.

Oricare domeniu dublu conex poate fi “transformat” în domeniu simplu conex. Considerăm un domeniu dublu conex cu frontiera formată

din frontiera exterioară şi o frontieră interioară . Construim segmentul de dreaptă , numit tăietură, care uneşte cu .

C1C 2C

AB 1C 2CAtunci domeniul mărginit de conturul , segmentul de dreaptă

, conturul şi segmentul de dreaptă este simplu conex. 1C

AB 2C BAFrontiera este “transformată” în suma de curbe: C

1 2 1 2 1C C AB C BA C AB C AB C C= + + + = + + − = + 2 .


Exemple de domenii (1) Oricare disc circular { }0: 0z z z r∈ ≤ − < (interiorul unui

cerc) este un domeniu simplu conex. (2) Oricare mulţime deschisă şi stelată este domeniu simplu conex. (3) Un disc punctat { }0: 0z z z r∈ < − < (interiorul unui

cerc, exclusiv centrul cercului) nu este domeniu simplu conex. (4) Exteriorul unui cerc { }0:z z z r∈ − > nu este domeniu

simplu conex. (5) O coroană circulară { }0:z r z z∈ < − < R (domeniul

cuprins între două cercuri concentrice) este domeniu dublu conex. Notă importantă. Termenul ”sensul pozitiv” nu este echivalent

cu termenul “sensul contrar acelor de ceasornic”. Pentru o coroană circulară, sensul pozitiv de-a lungul cercului

exterior este sensul contrar acelor de ceasornic, pe când sensul pozitiv de-a lungul cercului interior este sensul acelor de ceasornic.

Integrala unei funcţii complexe continue de o variabilă reală Definim integrala unei funcţiei complexe continue de o variabilă

reală 1 2( ) ( ) ( )f t f t if t= + , a t b≤ ≤ , prin egalitatea:

1 2( ) ( ) ( )b b b

a a a

f t dt f t dt i f t dt= +∫ ∫ ∫ .

Avem: Re ( ) Re ( )b b

a a

f t dt f t dt=∫ ∫ şi Im ( ) Im ( )b b

a a

f t dt f t dt=∫ ∫ .


Din definiţie rezultă proprietatea de liniaritate a integralei:

( )( ) ( ) ( ) ( )b b b

a∫a acf t g t dt c f t dt g t dt+ = +∫ ∫ , c∈ .

Integrala funcţiei complexe continue de o variabilă reală are

următoarea proprietate importantă. Propoziţie. Fie ( )f t , a t b≤ ≤ , o funcţiei complexă continuă de

o variabilă reală. Atunci

( ) ( )b b

a a

f t dt f t dt≤∫ ∫ .

Demonstraţie. Dacă notăm ( )b

a

Arg f t dtα⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠∫ ⎟ , rezultă că

( )

( ) ( ) ( )

Re ( ) Re ( )

( ) ( ) ( ) .

b b bi i

a a a

b bi i

a a

b b bi i

a a a

f t dt e f t dt e f t dt

e f t dt e f t dt

e f t dt e f t dt f t dt

α α

α α

α α

− −

− −

− −

= = =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

≤ = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

≤


Integrala unei funcţii complexe de o variabilă complexă Fie o curbă netedă : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ . Dacă ( )f z este o funcţie complexă continuă pe , atunci C

( ( )) ( )f z t z t′ este continuă pentru a t b≤ ≤ . Definiţie. Integrala unei funcţiei complexe continue ( )f z pe o

curbă netedă : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , este definită de egalitatea:

( ) ( ( )) ( ) .b

C a

f z dz f z t z t dt′=∫ ∫

Un avantaj al definiţiei de mai sus este că ne dă posibilitatea să

folosim proprietăţile integralei Riemann. Integrandul ( ( )) ( )f z t z t dt′ poate fi obţinut prin substituţia

formală ( )z z t= , ( )dz z t dt′= în ( )f z dz . Observăm că, în cazul special în care curba este intervalul real

[ ], : ( ) ,a b z t t a t b= ≤ ≤ , definiţia integralei coincide cu definiţia integralei funcţiei complexe continue de o variabilă reală dată mai sus:

( ) Re ( ) Im ( )b b b

a a af t dt f t dt i f t dt= +∫ ∫ ∫ .

Proprietăţi ale integralei complexe Propoziţie. Dacă : ( ),C z t a t b≤ ≤ şi : ( ),C Z r c r d≤ ≤ , sunt

două parametrizări ale unei curbei C , atunci

( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )b d

a C cf z t z t dt f z dz f Z r Z r dr′ ′= =∫ ∫ ∫ .

(Integrala este independentă de parametrizarea curbei).


Demonstraţie. Considerăm o funcţie reală continuă, cu derivata continuă şi pozitivă, care aplică intervalul

h[ ],c d pe intervalul

[ ],a b . De exemplu, ( ) b a ad bch r rd c d c− −

= ⋅ +− −

. Dacă scriem

, noua parametrizare a curbei este ( ),t h r c r d= ≤ ≤ C( ) ( ( )),Z r z h r c r= ≤ d≤ . Atunci valoarea a integralei este

( ) ( ( )) ( ) ( ( ( )) ( ( )) ( )

( ( )) ( ) .

b d

C a cd

c

f z dz f z t z t dt f z h r z h r h r dr

f Z r Z r dr

′ ′= =

′=

∫ ∫ ∫∫

′

Propoziţie. Fie : ( ),C z t a t b≤ ≤ , o curbă netedă. Fie două

subintervale [ ],a c şi [ ],c b ale intervalului [ ],a b ; fie şi

restricţiile curbei C la subintervalele [1C 2C

],a c şi [ ],c b , respectiv. Fie ( )f z o funcţie continuă pe curba netedă . Atunci C

1 2 1 2

( ) ( ) ( )C C C C

f z dz f z dz f z dz+

= +∫ ∫ ∫ .

Demonstraţie. Avem ( ) ( ( )) ( )b

C a

f z dz f z t z t dt′= =∫ ∫

1 2

( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) .c b

a c C C

f z t z t dt f z t z t dt f z dz f z dz′ ′= + = +∫ ∫ ∫ ∫

Teoremă. Fie un contur cu lungimea şi C L ( )f z o funcţie

continuă pe C , cu ( )f z M≤ pe C . Atunci

( ) ( )C C

f z dz f z dz ML≤ ≤∫ ∫ .


Demonstraţie. Dacă : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , este parametrizarea conturului C , atunci

( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( ( )) ( )

( ) .

b b

C a a

b

C a

b

a

f z dz f z t z t dt f z t z t dt

f z dz f z t z t dt

M z t dt ML

′ ′= ≤ =

′= = ≤

′≤ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

În consecinţă, ( ) ( )C C

f z dz f z dz ML≤ ≤∫ ∫ .

Propoziţie. Fie C− conturul : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , parcurs în sens opus. Atunci

( ) ( )C C

f z dz f z dz−

= −∫ ∫ .

Demonstraţie. Fie conturul : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ .

Pentru a obţine conturul C− , parcurs în sens invers sensului în care este parcurs conturul C , facem schimbarea de variabilă

. Atunci avem: ,s a b t a t b= + − ≤ ≤

( )

( )

( ) ( ( )) ( ) 1

( ( )) ( ) ( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ) .

b

C aa a

b bb

a C

f z dz f z a b t z a b t dt

f z s z s ds f z s z s ds

f z s z s ds f z dz

−

′= + − + − − =

′ ′= − − =

′= − = −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

=


Exemplu. Calculăm n

z r

z dz=∫ , pentru n întreg.

Fie ( ) , 0 2itz t re t π= ≤ ≤ , parametrizarea cercului z r= . Atunci

( ) ( )

( ) ( )

2 211

0 0

21

0

cos 1 sin 1 .

ni n tn n it it

z r

n

z dz ir e dt re ire dt

ir n t i n t dt

π π

π

++

=

+

= =

= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

Rezultă că ( )0 1n

z r

z dz n=

= ≠ −∫ ; 1 2z r

dz iz

π=

=∫ .

Valoarea acestei integrale este independentă de raza cercului. Observaţie. Fie ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + o funcţie complexă

continuă pe un contur parametrizat : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ . Dacă notăm ( ( ), ( ))u u x t y t= , , ( ( ), ( ))v v x t y t= ( )dx x t dt′=

şi , avem: ( )dy y t dt′=

( ) ( ( )) ( ) ( )( )

.

b b

C a a

b b

a a

f z dz f z t z t dt u iv dx idy

udx vdy i udy vdx

′= = + +

= − + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

Deci, integrala complexă pe un contur se exprimă în termenii a

două integrale reale pe contur:


( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )C C C

f z dz u x y dx v x y dy i u x y dy v x y dx= − + +∫ ∫ ∫ ,

Această ecuaţie poate fi luată ca definiţie a integralei complexe. Antiderivate (Primitive) Prin definiţie, o antiderivată (sau primitivă) a unei funcţii f este

o funcţie diferenţiabilă F astfel încât . F f′ = Observaţie. Dacă este o funcţie continuă pe un

domeniu şi dacă sunt primitive ale funcţiei :f D →

D ⊆ , :F G D →f în domeniul D , atunci diferenţa F G− este o constantă în D .

Teoremă. Fie este o funcţie continuă pe un domeniu

şi :f D →

D ⊆ : ( ) ( ) ( )C z t x t iy t= + , a t b≤ ≤ , un contur în domeniul D . Dacă există o primitivă a funcţiei ( )f z , atunci

( ) ( ( )) ( ( ))C

f z dz F z b F z a= −∫ .

În particular, dacă C este un contur închis, atunci

( ) 0C

f z dz =∫ .

Demonstraţie. Întrucît are derivata continuă ( )F z ( )f z în D , rezultă următoarele egalităţi:

( )

( ) ( ) ( ( )) ( )

( ( )) ( ( )) ( ( )).

b

C C a

b

a

f z dz F z dz F z t z t dt

d F z t dt F z b F z adt

′ ′ ′= = =

= = −

∫ ∫ ∫

∫


Observaţie. De-a lungul oricărui contur cu punctul iniţial ( )0z z a= şi punctul terminal ( )1z z b= , avem

1

01( ) ( ) ( )

z

z 0f z dz F z F z= −∫ .

Spre deosebire de cazul funcţiilor reale de o variabilă reală, în

cazul complex, continuitatea funcţiei ( )f z nu este condiţie suficientă pentru existenţa unei antiderivate (primitive).

Exemplu. Funcţia ( )f z z= este continuă pe , dar

2 2

2

0 0

2it it

z r

z dz re ire dt ir dt irπ π

π−

=

= ⋅ = =∫ ∫ ∫ 2.

Teoremă. Fie o funcţie continuă pe un domeniu

şi fie :f D →

D ⊆ : ( ) ( ) ( )C z t x t iy t= + , a t b≤ ≤ , un contur în domeniul D . Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) există astfel încât :F D → F f′ = ,

(ii) dacă este închis, atunci C ( ) 0C

f z dz =∫ ;

(iii) ( )C

f z dz∫ depinde numai de punctele iniţial şi terminal ale

conturului . C Demonstraţie. Arătăm că ( ) ( ) ( ) ( )i ii iii⇒ ⇒ ⇒ i

2

.

( ) ( ) :i ii⇒ Aceasta rezultă din teorema precedentă.

( ) ( ) :ii iii⇒ Presupunem că şi sunt contururi cu acelaşi punct iniţial şi cu acelaşi punct final. Cosiderăm conturul

. Acesta este contur închis.

1C 2C

1C C C= −

Deci, din rezultă ( )ii ( ) 0C

f z dz =∫ .


Astfel, avem:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

0C C C C C

f z dz f z dz f z dz f z dz−

= = = −∫ ∫ ∫ ∫ .

Deci, ( ) ( )1 2C C

f z dz f z dz=∫ ∫ şi ( este adevărată. )iii

( ) ( ) :iii i⇒ Definim o funcţie F şi arătăm că este diferenţiabilă

şi că , adică F f′ = F este o primitivă a lui f . Fixăm . Pentru oricare 0z D∈ z D∈ există un contur cu punctul

iniţial şi cu punctul terminal . 0z z

Definim . Arătăm că ( ) ( )0

z

zF z f w dw= ∫ ( ) ( )F z f z′ = .

Întrucât D este domeniu, există 0ε > , astfel încât dacă h ε< ,

atunci segmentul de dreaptă [ ],z z h+ este conţinut în D . Atunci

( ) ( ) ( )[ ]0 ,

z

z z z hF z h f w dw f w dw

++ = +∫ ∫ ,

adică ( ) ( ) ( )

[ ],

1z z h

F z h F zf w dw

h h +

+ −= ⋅ ∫ .

Întrucât

( )[ ]

( ) ( )( ) ( ),z z h

f z f zdw z h z f z

h h+= + − =∫ ,

rezultă că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ],z z h

F z h F z f w f zf z d

h h+

+ − −− = ∫ w .


Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

,

,

,

1

1 sup

sup .

z z h

w z z h

w z z h

F z h F zf z f w f z dw

h h

h f w f zh

f w f z

+

∈ +

∈ +

+ −− ≤ − ≤

≤ ⋅ ⋅ − =

= −

∫

Trecând la limită pentru , obţinem 0h → ( ) ( )F z f z′ = în D . Mai departe vom folosi această teoremă. Teorema integrală a lui Cauchy Teorema integrală a lui Cauchy este teorema fundamentală a

integrării complexe. Ea este numită şi teorema Cauchy-Goursat. Teorema lui Cauchy afirmă: Integrala unei funcţii analitice pe un contur închis într-un domeniu simplu conex este egală cu zero,

sau, echivalent, Integrala unei funcţii analitice pe un contur într-un domeniu simplu conex depinde numai de punctele iniţial şi terminal ale conturului. Acest rezultat este dat, mai întâi, pentru un dreptunghi, apoi

pentru un cerc, în al treilea rând, pentru un contur închis inclus într-un domeniu simplu conex.


Teorema lui Goursat. Dacă ( )f z este o funcţie analitică într-un

domeniu care conţine un dreptunghi şi interiorul său, atunci

.

C

( ) 0C

f z dz =∫

Demonstraţie. Împărţim domeniul dreptunghiular cu frontiera

în patru domenii dreptunghiulare congruente, cu frontierele

dreptunghiuri congruente. Atunci

C

1 2 3, , ,C C C C4

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

de unde rezultă inegalitate următoare:

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz≤ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Există cel puţin una din integralele din partea dreaptă, pe care o

notăm ( )1 ( )C

f z dz∫ , astfel încât

( )1( ) 4 ( )C C

f z dz f z dz≤∫ ∫ .

Apoi repetăm procedeul de mai sus pentru ( )1C şi observăm că

pentru cel puţin unul din cele patru dreptunghiuri, pe care îl notăm

, avem inegalităţile: ( )2C

( ) ( )1 2

2( ) 4 ( ) 4 ( )C C C

f z dz f z dz f z dz≤ ≤∫ ∫ ∫ .


Continuând nelimitat procedeul, obţinem un şir de dreptunghiuri

( ){ }nC şi un şir de integrale ( ){ }( )nCf z dz∫ , cu proprietăţile:

( ) ( )1( ) 4 ( ) 4 ( )n

n

C C Cf z dz f z dz f z dz≤ ≤ ≤ ≤∫ ∫ ∫ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1n nK K K K K +⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ,

unde am notat cu ( )nK , pentru fiecare , reuniunea domeniului

dreptunghiular cu frontiera sa

n( )nC .

Conform teoremei lui Cantor, . ( ) { }01

n

nK z

∞

==∩

Deoarece ( )f z este analitică în , avem 0z

( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0f z f z f z z z z z zη′= + − + − , cu

. ( )0

lim 0z z

zη→

=

Întegrând, obţinem

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0 0 0 0

0 0 0

0 0 .

n n

n n

n n

C C

C C

C C

f z dz f z f z z z z z z dz

f z dz f z z z dz

z z z dz z z z dz

η

η η

′= + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

′= + − +

+ − = −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

=

Prin urmare, pentru 0ε > oarecare şi pentru suficient de mare, n

( ) ( )( ) 0( )4n n n n nC C

dLf z dz z z z dz d Lη ε≤ − < =∫ ∫ ε ,


unde , nd nL sunt diagonala şi perimetrul dreptunghiului ( )nC , pentru

fiecare , iar d , sunt diagonala şi perimetrul dreptunghiului C . n LDeci,

( )( ) 4 ( )n

n

C Cf z dz f z dz dLε≤ ≤∫ ∫ ,

de unde rezultă că ( ) 0C

f z dz =∫ .

Teorema următoare arată că o funcţie analitică într-un disc închis are o primitivă şi, prin urmare, teorema lui Cauchy este adevărată pentru un cerc.

Teoremă. Dacă ( )f z este o funcţie analitică într-un domeniu D

care conţine un disc închis { }0:z z z r− ≤ , atunci

0

( ) 0z z r

f z dz− =

=∫ .

Demonstraţie. Este suficient să demonstrăm că ( )f z are o

primitivă pe un domeniu care conţine discul închis { }0:z z z r− ≤ .

Există cu proprietatea r r′ > 0z z r′− < ⇒ z D∈ .

Arătăm că ( )f z are o primitivă pe domeniul { }0:z z z r′− < .

Pentru aceasta alegem un punct oarecare z x iy= + în discul

deschis { }0:z z z r′− < .

Fie conturul format din segmentul de dreaptă orizontal de la punctul la punctul

1C

0 0z x iy= + 0 0x iy+ , urmat de segmentul de dreaptă vertical de la punctul 0x iy+ la punctul z x iy= + .


Fie, de asemenea conturul format din segmentul de dreaptă vertical de la punctul

2C

0 0z x iy0= + la punctul 0x iy+ , urmat de segmentul de dreaptă orizontal de la punctul 0x iy+ la punctul

. z x iy= +Cele două contururi formează un dreptunghi cu laturile paralele cu

axele de coordonate.

Definim . 1 0 0

0( ) ( ) ( ) ( )x y

C x yF z f z dz f t iy dt f x it i dt= = + + +∫ ∫ ∫

Deoarece integrala de-a lungul fiecărui dreptunghi este zero, rezultă:

1 2 1 2

1 2

0 ( ) ( ) (

( ) ( ) .

C C C C

C C

)f z dz f z dz f z dz

f z dz f z dz

− −= = +

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Adică,

1 2

( ) ( )C C

f z dz f z dz=∫ ∫ .

Deci, . 2 0 0

0( ) ( ) ( ) ( )y x

C y xF z f z dz f x it i dt f t iy dt= = + + +∫ ∫ ∫

Calculăm derivatele parţiale:

( ) ( ) ( )0

( ) (y

y

F z)f x it i dt if x iy if z

y y∂ ∂

= + = + =∂ ∂ ∫ ,

( ) ( ) ( )

0

( ) (x

x

F z)f t iy dt f x iy f z

x x∂ ∂

= + = + =∂ ∂ ∫

şi obţinem ecuaţiile Cauchy-Riemann pentru : ( )F z


( ) ( ) ( )F z F z

i fx y

∂ ∂= − =

∂ ∂z .

Din continuitatea funcţiei ( )f z rezultă continuitatea derivatelor parţiale ale funcţiei . ( )F z

Deci, este analitică în punctul . ( )F z zÎntrucât este oarecare în discul z { }0:z z z r′− < , rezultă că

funcţia este analitică în întreg discul ( )F z { }0:z z z r′− < .

În concluzie, ( ) ( )FF z f zx

∂′ = =∂

în { }0:z z z r′− < ,

adică ( )f z are o primitivă pe discul { }0:z z z r′− < .

Având în vedere o observaţie la teorema din paragraful precedent,

rezultă că 0

( ) 0z z r

f z dz− =

=∫ .

Integrala unei funcţii analitice de-a lungul unei curbe continue Existenţa unei primitive locale (i.e. pe un disc) pentru o funcţie

analitică ne sugerează o definiţie a integralei funcţiei de-a lungul unei curbe continue oarecare (nu neapărat netedă).

Fie : ( ) ( ) ( ),C z t x t iy t a t b= + ≤ ≤ , o curbă continuă într-o

mulţime deschisă G . ⊆Există o partiţie 0 1 2 na t t t t b= < < < < = a intervalului [ ],a b

şi o acoperire finită { }0 1 2, , , , nD D D D a curbei C cu discuri, unde

este un disc centrat în kD ( )kz t astfel încât:


[ ]( )1,k k kz t t D G+ ⊂ ⊂ ( )0,1,2, , 1k n= − .

Presupunem curba : ( ),C z t a t b≤ ≤ , netedă pe porţiuni, adică, pentru , restricţia 0,1,2, , 1k = n − 1: ( ),k k k kC z t t t t +≤ ≤ a curbei

la intervalul : ( ),C z t a t b≤ ≤ [ ]1,k kt t + este de clasă . 1CFie f o funcţie analitică pe G . Dacă kF este o primitivă a funcţiei f pe discul , atunci avem kD

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1

10 0

k

n n

k k k kk kC C

f z dz f z dz F z t F z t− −

+= =

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ .

Astfel, chiar dacă funcţia f nu are o primitivă pe întreaga mulţime deschisă , integrala sa poate fi exprimată în funcţie de primitive locale.

G

Propoziţie. Fie : ( ),C z t a t b≤ ≤ , o curbă continuă oarecare într-o mulţime deschisă . Fie o

partiţie a intervalului

G 0 1 2 na t t t t b= < < < < =

[ ],a b şi fie discurile astfel încât kD G⊂

[ ]( )1,k k kz t t D+ ⊂ , 0,1,2, , 1k n= − . Fie f o funcţie analitică

pe şi G kF o primitivă a funcţiei f pe discul

. Atunci suma kD

( )0,1, 2, , 1k = n −

( )( ) ( )( )1

10

n

k k k kk

F z t F z t−

+=

⎡ ⎤−⎣ ⎦∑

este independentă de alegerile partiţiilor intervalului [ ],a b ,

discurilor şi primitivelor kD kF pe . kD Demonstraţie. Fie 0 1 2 na t t t t b= < < < < = o partiţie a

intervalului [ ],a b . Fie discurile şi kD G⊂ kE G⊂ astfel încât


[ ]( )1,k k kz t t D+ ⊂ şi [ ]( )1,k k kz t t E+ ⊂ ( )0,1, 2, , 1k n= − . Fie kF

o primitivă a funcţiei f pe discul şi fie o primitivă a funcţiei kD kGf pe discul kE . Atunci kF şi sunt primitive pe mulţimea

deschisă şi conexă kG

kD Ek∩ . Deoarece k kF G− este constantă pe , rezultă că kD E∩ k

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1k k k k k k k kF z t F z t G z t G z t+ +− = −

( )0,1, 2, , 1k n= − .

Deci, dată o partiţie a intervalului [ ],a b , atunci valoarea expresiei

este independentă de alegerile

primitivelor şi alegerile discurilor.

( )( ) ( )(1

10

n

k k k kk

F z t F z t−

+=

⎡ −⎣∑ )⎤⎦

Pentru două partiţii oarecare ale intervalului [ ],a b , există o

rafinare comună. Observăm că pentru un subinterval [ ]1,k kt t + , în care a fost inserat un punct , avem: c

( )( ) ( )( )1k k k kF z t F z t+ − =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 .k k k k k kF z t F z c F z c F z t+⎡ ⎤ ⎡= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦

Deci, suma în raport cu noua partiţie păstrează aceeaşi valoare. Având în vedere rezultatul de mai sus dăm următoarea definiţie. Definiţie. Fie f o funcţie analitică pe o mulţime deschisă .

Pentru o curbă continuă G

: ( ),C z t a t b≤ ≤ , în G , definim integrala:


( ) ( )( ) ( )( )1

10

,n

k k k kkC

f z dz F z t F z t−

+=

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑∫

oricare ar fi partiţia 0 1 2 na t t t t b= < < < < = a intervalului [ ],a b ,

oricare ar fi discurile astfel încât kD G⊂ [ ]( )1,k k kz t t D+ ⊂ şi

oricare ar fi kF o primitivă a lui f pe , kD 0,1,2, , 1k n= − . Lemă. Fie 0 0: ( ),C z t a t b≤ ≤ şi 1 1: ( ),C z t a t b≤ ≤ două curbe continue într-o mulţime deschisă , care au acelaşi punct iniţial şi acelaşi punct final. Presupunem că există o partiţie

a intervalului

G

0 1 2 na t t t t b= < < < < = [ ],a b şi există un disc

astfel încât kD G⊂ [ ]( )0 1,k k kz t t D+ ⊂ şi [ ]( )1 1,k k kz t t D+ ⊂ ,

. Fie 0,1,2, , 1k = n− f analitică pe . Atunci G

( ) (0 1C C

)f z dz f z dz=∫ ∫ .

Demonstraţie. Dacă kF o primitivă a funcţiei f pe discul

, atunci kD

( )0,1,2, , 1k = −n kF şi 1kF + sunt primitive ale funcţiei f

pe mulţimea deschisă şi conexă 1k kD D +∩ . Astfel, 1k kF F+ − este funcţia constantă pe 1k kD D +∩ ,

( )0 1k k 1kz t D D+ +∈ ∩ şi ( )1 1 1kk kz t D D+ +∈ ∩ 0,1,2, , 1k n= −, .

În consecinţă,

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 0 1 1 1 1 0 1 1 1k k k k k k k kF z t F z t F z t F z t+ + + + + +− = −

( )0,1, 2, , 1k n= − .

Astfel, avem egalităţile:


( ) ( )0 1C C

f z dz f z dz− =∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1

0 1 1 1 0 10

1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0 0 1 0.

n

k k k k k k k kk

n n n n

n n

F z t F z t F z t F z t

F z t F z t F z t F z t

F z b F z b F z a F z a

−

+ +=

− −

− −

⎡ ⎤ ⎡= − − −⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤ ⎡= − − −⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤ ⎡= − − − =⎣ ⎦ ⎣

∑ ⎤⎦

⎤ =⎦

⎤⎦

Definiţie. Fie 0 0: ( ),C z t a t b≤ ≤ şi 1 1: ( ),C z t a t b≤ ≤ , două

curbe într-o mulţime deschisă . G ⊆Curbele şi se numesc omotope în dacă există o funcţie

continuă 0C 1C G

( ) [ ] [ ], : , 0,1h t s a b G× → , astfel încât:

(∗) ( ) ( )0,0h t z t= şi ( ) (1,1h t z t= ) pentru a t b≤ ≤ .

Funcţia se numeşte omotopie între curbele şi . ( ,h t s) 0C 1C Pentru fiecare [ ]0,1s∈ , funcţia ( ),h t s , a t b≤ ≤ este o

parametrizare a unei curbe continue sC . Familia de curbe continue ( ) ( ): ,s sC h t h t s= , a t b≤ ≤

este o deformare continuă a curbei în curba . (0 s≤ ≤ )1 0C 1C Dacă 0 0: ( ),C z t a t b≤ ≤ şi 1 1: ( ),C z t a t b≤ ≤ au acelaşi punct

iniţial şi acelaşi punct terminal, atunci omotopia ( ),h t s lasă punctele extreme fixate dacă îndeplineşte condiţia:


(∗∗) ( ) ( )0,h a s z a= şi ( ) (1,h b s z b= ) pentru 0 1s≤ ≤ . Dacă 0 0: ( ),C z t a t b≤ ≤ şi 1 1: ( ),C z t a t b≤ ≤ sunt curbe

închise, atunci omotopia ( ),h t s îndeplineşte condiţia:

(∗∗∗) ( ) ( ),h a s h b s= , pentru 0 1s≤ ≤ . O omotopie între curbe cu aceleaşi puncte extreme lasă punctele

extreme fixate. Dacă omotopia ( ),h t s este între curbe închise, atunci fiecare din

curbele ( ) ( ): ,s sC h t h t s= , a t b≤ ≤ , este închisă. Exemple (i) Fie coroana circulară { }: 2 9D z z= ∈ < < şi cercurile

( ) 21 : 3 itC z t e π= , 0 1t≤ ≤ şi ( ) 2

2 : 7 itC z t e π= , 0 t 1≤ ≤ . Atunci

( ) ( ) 2 2, 1 3 4it ith t s s e s eπ π= − ⋅ + ⋅ , 0 1t≤ ≤ , 0 s 1≤ ≤ este o

omotopie în D între şi . 1C 2C

(ii) Fie cercurile ( ) 21 : itC z t e π= şi ( ) ( ) 2

2 : 3 2 3 itC z t e π= + ,

0 t≤ ≤1 . Atunci ( ) ( ) ( )2 2, 1 3 2 3it its s e s eπ π= − + + 0 1th t , ≤ ≤

1

,

, este o omotopie în 0 s≤ ≤ { }\ 0 între şi . 1C 2C

(iii) Dacă este un cerc cu raza şi este un pătrat de 1C 0r > 2C latură centrate în origine, atunci şi sunt omotope în l r> 1C 2C

{ }\ 0 .


(iv) Oricare două curbe continue închise într-o mulţime convexă sunt omotope în . S ⊆ S

Fie , ( )1 1:C z t a t b≤ ≤ şi , ( )2 2:C z t a t b≤ ≤ curbe continue

închise într-o mulţime convexă . S ⊆Atunci ( ) ( ) ( ) (1 2, 1h t s s z t s z t= ⋅ + − ⋅ ) , a t b≤ ≤ , 0 1s≤ ≤ ,

este o omotopie în între şi . S 1C 2C Dacă este omotopie, atunci funcţia ( ,h t s) ( ) ( ), ,1k t s h t s= −

este, de asemenea, omotopie. Notăm că omotopia este o relaţie de echivalenţă. Teorema lui Cauchy. Dacă f este funcţie analitică pe o mulţime deschisă şi dacă şi sunt curbe închise omotope în , atunci

G 0C 1CG

( ) (0 1C C


Demonstraţie. Fie 0 0: ( ),C z t a t b≤ ≤ şi 1 1: ( ),C z t a t b≤ ≤

două curbe închise în şi G ( ) [ ] [ ], : , 0,1h t s a b G× → o omotopie

între şi . Imaginea lui este compactă şi, deci, este la distanţă pozitivă faţă de complementara lui G . Din continuitatea uniformă rezultă că există o partiţie

0C 1C h

0 1 2 na t t t t b= < < < < = a intervalului

[ ],a b şi o partiţie 0 1 20 1ms s s s= < < < < = a intervalului [ ]0,1

astfel încât [ ]( )1, ,i i j jh t t s s+ 1+⎡ ⎤× ⎣ ⎦ este conţinută într-un disc

. ijD G⊂


Considerăm curbele continue definite de ( ): , ,js jC h t s a t b≤ ≤ ,

. Atunci curbele continue ( 0,1,2, ,j = )m ( ): , ,js jC h t s a t b≤ ≤ ,

( )1 1: , ,

js jC h t s a t+ + b≤ ≤ , îndeplinesc condiţia din lema precedentă

şi rezultă ( ) ( ) ( )1

0,1, 2, , 1s sj jC C

f z dz f z dz j m+

= = −∫ ∫ .

Întrucât 0 0sC C= şi 1msC C= , avem ( ) ( )

0 1C C

f z dz f z dz=∫ ∫ .

Considerând un punct c∈ ca fiind o curbă închisă: ( )z t c= ,

, rezultă că: 0 t≤ ≤1 Oricare curbă închisă în este omotopă cu un punct.

Corolar. Dacă f este funcţie analitică pe o mulţime deschisă G şi este curbă închisă omotopă cu un punct în , atunci C G

( ) 0

C

f z dz =∫ .

Corolar. Dacă f este funcţie analitică pe un domeniu D şi dacă şi sunt curbe cu acelaşi punct iniţial şi cu acelaşi punct final, omotope în

0C 1CD , atunci

( ) (

0 1C C



Demonstraţie. Fie şi curbe cu acelaşi punct iniţial şi cu

acelaşi punct final. Atunci este curbă închisă omotopă cu un punct şi avem următoarele egalităţi:

0C 1C

(0C C C= + − )1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1

0 1

0

.

C C C

C C

f z dz f z dz f z dz

f z dz f z dz

−

= = +

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

În termenii omotopiei un domeniu D este simplu conex dacă oricare curbă închisă în D este omotopă cu un punct.

Oricare două curbe închise dintr-un domeniu simplu conex D

sunt omotope în D . Corolar. Dacă f este funcţie analitică pe un domeniu simplu conex D , atunci pentru oricare curbă închisă în domeniul C D ,

( ) 0

C

f z dz =∫ .

Corolar. Dacă f este analitică pe un domeniu simplu conex D , atunci f are o primitivă în D .

5

FORMULA INTEGRALĂ A LUI CAUCHY

ŞI CONSECINŢE

Formula integrală a lui Cauchy Teorema valorii medii a lui Gauss

Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate Teorema lui Morera

Inegalităţile lui Cauchy Teorema lui Liouville

Teorema fundamentală a algebrei

Formula integrală a lui Cauchy Teorema lui Cauchy afirmă că dacă o funcţie ( )f z este analitică

într-un domeniu simplu conex D , atunci ( ) 0C

f z dz =∫ de-a lungul

oricărui contur închis din C D . Este interesant de cercetat cazul când funcţia este analitică în

punctele domeniului cu excepţia unui număr finit de puncte. Propoziţie. Fie funcţia ( )0( ) 1f z z z= − analitică , excepţie în

punctul şi un contur simplu închis care conţine în interior punctul . Atunci

0z C

0z

0

1 2C

dz iz z

π=−∫ .


Justificare. Aplicând teorema lui Cauchy pentru domeniu dublu conex, rezultă

( ) ( )0

2

0 0 0

2

0

11 1

2 .

iiC z z

z z dz z z dz i e de

i d i

π θθρ

π

ρ θρ

θ π

− =− = − =

= =

∫ ∫ ∫

∫

Teorema următoare generalizează formula 0

1 2C

dz iz z

π=−∫ şi

reprezintă un rezultat fundamental al teoriei funcţiilor analitice. Teoremă. Fie ( )f z o funcţie analitică într-un domeniu simplu conex D care conţine un contur simplu închis C . Dacă este un punct oarecare interior lui , atunci

0zC

00

1 ( )( )2 C

f z .f z di z zπ

=−∫ z

(Formula integrală a lui Cauchy)

Demonstraţie. Fie 0ε > oarecare. Deoarece ( )f z este continuă

în punctul , există 0z 0δ > astfel încât dacă 0z z δ− < , atunci

z D∈ şi 0( ) ( )f z f z ε− < . Fie un cerc 0 0:C z z ρ δ− = < în interiorul conturului . C

Funcţia ( )0( )f z z z− este analitică pe şi în interiorul

conturului , excepţie în punctul .

CC 0z

Atunci, conform teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe, avem:


00 0

( ) ( )

C C

f z f zdz dzz z z z

=− −∫ ∫ .

Putem scrie această egalitate în felul următor:

0 0

0

00

0 0

00

0

( ) ( )( ) 1( )

( ) ( )2 ( ) .

C C C

C

f z f zf z dz f z dz dzz z z z z z

f z f zif z dzz z

π

0

−= +

− − −

−= +

−

∫ ∫ ∫

∫

Avem următoarele inegalităţi:

0 0

00

0 0

( ) ( )( ) ( ) 2 2C C

f z f zf z f z dz dzz z z z

ε πρ πρ

−−≤ < ⋅

− −∫ ∫ ε= .

Facem 0ε → şi obţinem 0

0

0

( ) ( ) 0C

f z f z dzz z−

=−∫ .

În concluzie,

00

( ) 2 (C

f z dz if zz z

π=−∫ ) .

Observaţie. Formula integrală a lui Cauchy exprimă faptul că

dacă o funcţie este analitică în interiorul unui contur simplu închis şi pe contur, atunci valorile funcţiei în interiorul conturului sunt complet determinate de valorile ei pe contur.

Următoarea teoremă arată că, pentru funcţii analitice în interiorul

unui cerc şi pe cerc, media valorilor funcţiei pe circumferinţă este egală cu valoarea funcţiei în centrul cercului.


Teorema valorii medii a lui Gauss. Dacă f este o funcţie

analitică într-un disc închis 0z z r− ≤ , atunci

2

0 00

1( ) ( )2

i .f z f z reπ

θ dθπ

= +∫

Demonstraţie. Înlocuim 0

iz z re θ= + în formula integrală a lui Cauchy şi obţinem:

0

20

00 0

2

00

( )1 ( ) 1( )2 2

1 ( ) .2

ii

iz z r

i

f z ref zf z dz ire di z z i re

f z re d

π θθ

θ

πθ

θπ π

θπ

− =

+= =

−

= +

∫ ∫

∫

=

Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate Teoremă. Fie o funcţie ( )f z analitică într-un domeniu simplu conex care conţine un contur simplu închis şi fie un punct oarecare interior conturului . Atunci derivatele funcţiei

C0z C

( )f z de toate ordinele există, sunt analitice în punctul şi au următoarea reprezentare integrală

0z

( )( )0 1

0

! ( )( ) 1,2,3,2 ( )

nn

C

n f zf z dz ni z zπ + .= = ⋅⋅

−∫ ⋅

(Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate)


Demonstraţie. Fie ( )f z o funcţie analitică în interiorul unui contur simplu închis şi pe conturul simplu închis C ; fie un punct oarecare în interiorul lui C .

C 0z

Arătăm că derivata funcţiei ( )f z în punctul există şi are reprezentarea integrală

0z

( )0 20

1 ( )( )2 C

f zf z di z zπ

′ =−∫ z .

Fie astfel încât h 0z h+ să fie în interiorul conturului C .

Folosim formula integrală a lui Cauchy 00

1 ( )( )2 C

f zf z dzi z zπ

=−∫

şi evaluăm:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

2 20 0 0

2 20 0 0

( ) 1 1 1 ( )2

1 1 ( )2

1 ( ) ( ) .2 2

C

C

C C

f z h f zf z dz

h ih z z h z z

h f z dzi z z z z z z h

f z h f zdz dzi iz z z z z z h

π

π

π π

+ − ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

= +− − − −

∫

∫

∫ ∫

=

Din continuitatea lui ( )f z pe C rezultă ( )( )f z M z C≤ ∈ . Apoi, din inegalitatea:

( ) ( ) ( )2 20 0

( )2 2C

hh f z Mdz Li d d hz z z z hπ π

< ⋅ ⋅−− − −∫ ,

80 ANALIZĂ COMPLEXĂ unde este lungimea conturului C , L 0min

z Cd z

∈z= − şi h d< ,

rezultă ( ) ( )20

0 0

( )lim 02h

C

h f z dzi z z z z hπ→

=− − −∫ . Prin urmare,

( )0 0

0 200

( ) ( ) 1 ( )( ) lim2h

C

f z h f z f zf z dh i z zπ→

z+ −′ = =−∫ .

Deci, avem formula integrală a lui Cauchy pentru derivata întâi:

( )0 20

1 ( )( )2 C

f zf z di z zπ

′ =−∫ z .

Repetăm argumentul de mai sus şi stabilim existenţa derivatei a

doua în punctul şi reprezentarea ei integrală. Avem: 0z

( ) ( )

( )( ) ( )

0 02 2

0 0

02 2

0 0

( ) ( ) 1 1 1 (2

21 ( ) .2

C

C

f z h f z f z dzh i z z h z z

z z hf z dz

i z z h z z

π

π

⎡ ⎤′ ′+ −= −⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

− −=

− − −

∫

∫

)h

Deoarece ( )f z este continuă pe C , limita ultimei integrale când

este egală cu 0h →( )3

0

( )2C

f z dzz z−∫ .

Deci, formula integrală a lui Cauchy pentru derivata a doua este

( )0 3

0

2 ( )( )2 C

f zf z di z zπ

′′ =−∫ z .


Această formulă stabileşte existenţa derivatei a doua a funcţiei în fiecare punct din interiorul conturului. Mai mult,

Dacă o funcţie este analitică într-un punct, atunci derivata ei este analitică în acel punct. Funcţia ( )f z fiind analitică într-un punct , există un disc în

jurul punctului astfel încât funcţia 0z

( )f z este analitică în întreg discul. Formula integrală a lui Cauchy pentru derivata a doua stabileşte

existenţa derivatei a doua ( )f z′′ în oricare punct din disc. Prin urmare, derivata întâia ( )f z′ este analitică în punctul . 0zAplicăm acelaşi argument pentru funcţia analitică ( )f z′ şi

deducem că derivata sa ( )f z′′ este analitică ş. a. m. d. Metoda inducţie matematice conduce la formula generală de

reprezentare integrală a derivatelor

( )( )0 1

0

! ( )( ) 1,2,3,2 ( )

nn

C

n f zf z dz ni z zπ += =

−∫ ⋅⋅⋅ .

Observaţii (1) Dacă o funcţie ( )f z este analitică în interiorul unui contur simplu închis şi pe conturul simplu închis C , atunci valorile derivatelor de toate ordinele ale lui

C( )f z în fiecare punct din

interiorul conturului, 0z

( ) ( )0nf z , există şi pot fi exprimate în

funcţie de valorile funcţiei ( )f z pe conturul C printr-o integrală.

(2) Folosind convenţiile ( ) ( )00 0( )f z f z= şi 0! 1= , putem scrie

( )( )0 1

0

! ( )( ) 0,1,2,3,2 ( )

nn

C

n f zf z dz ni z zπ += = ⋅⋅ ⋅

−∫ .


2

(3) Formulele integrale ale lui Cauchy pot fi extinse la cazul în care conturul este frontiera orientată a unui domeniu multiplu conex. De exemplu, dacă 1C C C= − , atunci

1 2

00 0

1 ( ) 1 ( )( )2 2C C

f z f zf z dzi z z i z zπ π

= −− −∫ ∫ dz .

Calculul unor integrale complexe Formulele integrale ale lui Cauchy

( )( )01

0

( ) 2 ( ) 0,1,2,3,( ) !

nn

C

f z idz f z nz z n

π+ = = ⋅⋅ ⋅

−∫

ne ajută să calculăm unele integrale complexe de-a lungul unui contur.

Exemplul 1. Calculăm integrala ( ) ( )22 9z

z dzz z i= − +∫ .

Punctele 1 3z = şi 2 3z = − sunt în exteriorul cercului 2z = , iar

punctul este în interiorul cercului 0z = −i 2z = .

Funcţia 2( )9

zf zz

=−

este analitică în interiorul cercului 2z =

şi pe cercul 2z = . Aplicăm formula integrală a lui Cauchy şi obţinem:

( )( )

2

2

92 (

z

z zdz if i

z iπ

=

−)= −

− −∫ .


Deci, ( ) ( )22 59z

z dzz z i

π

=

=− +∫ .

Exemplul 2. Calculăm integrala( )2

3

3cos2z

z z dzz π=

−−∫ .

Punctul 0 2z π= se află in interiorul cercului : 3C z = .

Funcţia ( ) 3cosf z z z= − este analitică în interiorul şi pe cercul

3z = . Calculăm derivata funcţiei şi valoarea derivatei în punctul

0 2z π= şi obţinem, respectiv, ( ) 1 3sinf z z′ = + şi ( )2 4f π′ = . Folosim formula integrală a lui Cauchy şi obţinem:

( )

( )23

3cos 2 22z

z z dz if iz

8π ππ=

π− ′=−∫ = .

Exemplul 3. Calculăm integrala ( )3

z

C

e dzz iπ−∫ , unde C este un

contur închis în jurul punctului 0z iπ= . Aplicăm formula integrală a lui Cauchy pentru funcţia ( ) zf z e=

şi obţinem:

( ) 030

( ) ( )C

f z dz if zz z

π ′′=−∫ .

Astfel, ( )3

zi

C

e dz ie iz i

ππ ππ

= = −−∫ .


Teorema lui Morera Observăm, mai întâi, că reciproca teoremei lui Cauchy nu este

adevărată. De exemplu, ( )21 0C

z dz =∫ , unde C este un contur

simplu închis, având originea ca punct interior, dar funcţia 2( ) 1f z = z nu este analitică în interiorul conturului C .

Justificare. Funcţia ( )f z este analitică în domeniul dintre

conturul şi un cerc C z ρ= , cu raza ρ mai mică decât distanţa de la origine la conturul C . Aplicând teorema lui Cauchy pentru domeniu multiplu conex, rezultă:

( ) ( ) 22 22 20

2

0

11 1

0.

iiC z

i

z dz z dz i e de

i e d

π θθρ

π θ

ρ θρ

θρ

=

−

= =

= =

∫ ∫ ∫

∫

Totuşi, există o inversă parţială a teoremei lui Cauchy. Teorema lui Morera. Fie f o funcţie continuă într-un domeniu

D . Dacă ( ) 0C

f z dz =∫ de-a lungul oricărui contur simplu

închis din C D , atunci f este analitică în D . Demonstraţie. Pentru fixat în domeniul 0z D , valoarea funcţiei

0

( ) ( )z

zF z f dζ ζ= ∫ este independentă de drumul de integrare de la

la în interiorul domeniului 0z z D . Alegem suficient de mic în modul aşa încât segmentul de la la

hz z h+ să fie în D .


Avem:

( )0 0

( ) ( ) 1 ( ) ( )

1 ( ) ,

z h z

z z

z h

z

F z h F z f d f dh h

f dh

ζ ζ ζ ζ

ζ ζ

+

+

+ −= −

=

∫ ∫

∫

unde drumul de la la z z h+ este segmentul de dreaptă.

Astfel, folosind faptul că 1 1

z h

zd

hζ

+=∫ , obţinem

( )( ) ( ) 1( ) ( ) ( )z h

z

F z h F z f z f f zh h

dζ ζ++ −

− = −∫ .

Din continuitatea funcţiei ( )f z şi întrucât segmentul de dreaptă

de la la are lungimea z z h+ h , rezultă că

[ ],

( ) ( ) ( ) sup ( ) ( )z z h

F z h F z f z fh ζ

ζ∈ +

+ −− ≤ − f z .

Trecând la limită pentru , rezultă că 0h →

( )0

( ) ( )lim ( )h

F z h F z f z z Dh→

+ −= ∈ ,

adică (( ) ( )F z f z′ = z D∈ ).

Prin urmare este analitică în ( )F z D . Mai mult, are derivate de toate ordinele şi, în particular,

în toate punctele domeniului ( )F z

( ) ( )F z f z′′ ′= D . Deci ( )f z este analitică în D .


Corolar. Fie f funcţie analitică într-un domeniu simplu conex

D şi . Atunci 0z D∈0

( ) ( )z

zF z f dζ ζ= ∫ este funcţie analitică

în D . Observaţie. Dacă o funcţie este analitică într-un domeniu, nu

rezultă neapărat că integrala funcţiei se anulează de-a lungul oricărui contur simplu închis conţinut în domeniu.

Exemplu. Funcţia ( ) 1f z z= este analitică într-o coroana

circulară r z R< < . Dar ( )1z

z dz iρ

2π=

=∫ , cu r Rρ< < ,

deoarece interiorul cercului z ρ= nu este conţinut în coroană, deci

teorema lui Cauchy nu este aplicabilă. Având în vedere teorema lui Morera, formulăm rezultatul următor. Teoremă. O condiţie necesară şi suficientă pentru ca o funcţie continuă să fie analitică într-un domeniu simplu conex este ca integrala ei să fie independentă de drumul de integrare. ■ Inegalităţile lui Cauchy Teoremă. Fie ( )f z o funcţie analitică în interiorul şi pe cercul

0:C z z r− = . Dacă ( )f z M≤ pe C , atunci

( ) ( )0!( ) 1,2,3,nn

nf z M nr

.≤ = ⋅⋅⋅

(Inegalităţile lui Cauchy)


Demonstraţie. Din formulele integrale ale lui Cauchy pentru

derivate ( )( )0 1

0

! ( )( ) 1,2,3,2 ( )

nn

C

n f zf z dz ni z zπ += = ⋅

−∫ ⋅⋅ rezultă

( )0 1 1

0

1

( )! !( )2 2

! !2 .2

nn n

C C

n n

f zn n Mf z dzrz z

n M n Mrr r

π π

ππ

+ +

+

dz≤ ≤ =−

= =

∫ ∫

Cu ajutorul inegalităţilor lui Cauchy demonstrăm următoarea teoremă fundamentală.

Teorema lui Liouville. Oricare funcţie întreagă şi mărginită este

constantă.

Demonstraţie. Fie ( )f z o funcţie întreagă şi mărginită

(( )f z M z≤ ∈ ) . Fie un număr complex oarecare. Atunci,

din inegalitatea lui Cauchy, avem 0z

0( )f z M′ ≤ r pentru oricare

. Facem şi deducem că 0r > r →∞ 0( ) 0f z′ = . Întrucât este oarecare, rezultă că

0z( ) 0f z′ = pe .

Deci, ( )f z este constantă. Teorema lui Liouville afirmă: Dacă ( )f z este funcţie întreagă neconstantă, atunci există un şir

de puncte { }nz astfel încât . ( )nf z →∞ O aplicaţie importantă a teoremei lui Liouville este o demonstraţie

simplă a teoremei fundamentale a algebrei.


Teorema fundamentală a algebrei. Oricare polinom neconstant

are cel puţin un zerou.

Demonstraţie. Fie , 2

0 1 2( ) nnP z a a z a z a z= + + + ⋅ ⋅ ⋅ + 0na ≠ ,

un polinom de gradul n . Presupunem că nu se anulează nicăieri. ( )P z

Atunci 1 ( )P z este funcţie întreagă şi 1lim 0( )z P z→∞

= .

Modulul lui 1 ( )P z este mărginit în întreg planul. Aplicând teorema lui Liouville, rezultă că 1 ( )P z este funcţie

constantă, adică este constant, contrar ipotezei. ( )P z Corolar. Oricare polinom de gradul n are zerouri, fiecare

zerou fiind socotit cu ordinul său de multiplicitate.

n

Corolar. Oricare polinom de grad n ia oricare valoare complexă

de n ori. Demonstraţie. Fie este polinom de gradul n şi un

număr complex oarecare. Atunci

( )P z c( ) ( )Q z P z c= − este polinom de

gradul . nDin corolarul precedent rezultă că are zerouri

. Dar

( )Q z n

1 2 3, , , , nz z z z ( ) 0kQ z = este echivalent cu ( )kP z c= ,

. ( 1,2,3,...,k = )n

6

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

Şiruri şi serii de numere Şiruri şi serii de funcţii

Şiruri şi serii de funcţii analitice Convergenţa uniformă, diferenţierea şi integrarea

Serii de puteri. Serii Taylor Teorema de identitate

Teorema maximului modulului

Şiruri şi serii de numere complexe Fie { }nz un şir de numere complexe.

Spunem că şirul { }nz are limita (sau 0z { }nz converge la )

dacă oricare ar fi 0z

0ε > , există un număr întreg pozitiv astfel încât 0n

0n n> ⇒ 0nz z ε− < . Limita este unică. Fie , n nz x iy= + n 1,2,3,n = ⋅⋅⋅ şi 0 0z x iy0= + . Atunci:

0lim nnz z

→∞= dacă şi numai dacă 0lim nn

x x→∞

= şi 0lim nny y

→∞= .

Expresia 1 2 3 nz z z z+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ , pe care o notăm 1 nnz∞

=∑ ,

se numeşte serie. Numerele 1 2 3, , , , ,nz z z z⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ se numesc termenii seriei. Sumele 1 2 3 ( 1,2,3,n ns z z z z n )= + + + ⋅⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ se numesc

sumele parţiale ale seriei.


Dacă şirul sumelor parţiale { }ns este convergent, spunem că seria converge sau seria este convergentă.

Limita şirului sumelor parţiale se numeşte suma seriei . Notăm .

1limn nn n

z s∞

= →∞=∑

Dacă şirul şirul sumelor parţiale{ }ns nu este convergent, spunem că seria diverge sau seria este divergentă.

Deoarece 1

nn kk

s x i=

= + ⋅1

nkk

y=∑ ∑ rezultă că lim nn

s→∞

s= dacă şi

numai dacă 1

lim Renkkn

x s=→∞

=∑ şi . Adică, 1

lim Imnkkn

y=→∞

=∑ s

Seria cu termeni complecşi 1 nnz∞

=∑ este convergentădacă şi

numai dacă seriile cu termeni reali 1 nnx∞

=∑ şi 1 nny∞

=∑ sunt

convergente. Aplicând criteriul general al lui Cauchy pentru şirul { }ns , obţinem

următorul criteriu general pentru convergenţa seriilor. Seria este convergentă dacă şi numai dacă oricare ar fi

1 nnz∞

=∑0ε > , există un întreg pozitiv ( )N ε astfel încât ( )n N ε>

implică ( )11, 2,3,n p

n p n kk ns s z pε+

+ = +− = < = ⋅⋅⋅∑ .

În cazul particular , rezultă condiţia necesară pentru

convergenţa unei serii:

p=1

Dacă seria 1 nnz∞

=∑ este convergentă, atunci lim 0nnz

→∞= .

Notăm că suma a două serii convergente este o serie convergentă.


Seria se numeşte absolut convergentă dacă seria

modulelor

1 nnz∞

=∑1 nn

z∞

=∑ este convergentă.

Din inegalitatea 1

n nkk k

z= =

≤∑ ∑ 1 kz , deducem că: Oricare serie

absolut convergentă este convergentă. Din inegalităţile , (n n n n nx y z x y n 1,2,3, )≤ ≤ + = ⋅⋅ ⋅

rezultă următoarea echivalenţă:

Seria este absolut convergentă dacă şi numai dacă

seriile

1 nnz∞

=∑

1 nnx∞

=∑ şi 1 nny∞

=∑ sunt absolut convergente.

Orice schimbare a ordinii termenilor într-o serie absolut convergentă cu termeni complecşi nu schimbă suma seriei.

Pentru a verifica dacă o serie cu termeni complecşi 1 nnz∞

=∑ este

absolut convergentă aplicăm oricare din criteriile de convergenţă pentru serii cu termeni reali pozitivi.

De exemplu, criteriul Cauchy: Seria converge absolut

dacă

1 nnz∞

=∑lim 1n

nnz q

→∞= < , sau criteriul D’Alembert: Seria

1 nnz∞

=∑

converge absolut dacă 1lim 1n nnz z q+→∞

= < .

Şiruri şi serii de funcţii. Convergenţa uniformă Definiţie. Un şir de funcţii { }nf converge punctual la o funcţie f

pe o mulţime dacă oricare ar fi punctul E 0z E∈ şi oricare ar fi 0ε > , există un întreg 0( , )N zε astfel încât dacă 0( , )n N zε≥ ,

atunci 0 0( ) ( )nf z f z ε− < .


Aceasta înseamnă că şirul de numere { }0( )nf z converge pentru

fiecare . 0z E∈

Funcţia limită este definită de ( )0 0 0lim ( ) ( )nnf z f z z E

→∞= ∈ .

Definiţie. Un şir de funcţii { }nf converge uniform la o funcţie f

pe o mulţime dacă oricare ar fi E 0ε > , există un întreg ( )N ε

astfel încât dacă ( )n N ε≥ , atunci ( ) ( )nf z f z ε− < , pentru oricare z E∈ .

Propoziţie. Dacă un şir de funcţii { }nf converge uniform pe o

mulţime , atunci E { }nf converge punctual pe mulţimea . E Convergenţa uniformă permite să permutăm operaţiile de trecere

la limită. Astfel, datorită convergenţei uniforme funcţia limită păstrează multe proprietăţi ale funcţiilor şirului.

Teoremă. Fie { }nf un şir convergent uniform către o funcţie f

pe o mulţime . Dacă fiecare funcţie E nf este continuă într-un punct , atunci funcţia limită 0z E∈ f este continuă în , i. e. 0z

( ) ( )0 0

lim lim ( ) lim lim ( )n nz z n n z zf z f

→ → ∞ → ∞ →= z .

Demonstraţie. Inegalitatea următoare

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n 0 0f z f z f z f z f z f z f z f z− ≤ − + − + −

este adevărată pentru oricare . n

Fie 0ε > , oarecare. Din convergenţa uniformă a şirului { }nf


rezultă că există astfel încât N ( )( ) ( ) 3Nf z f z z Eε− < ∈ .

Deci, 0 0( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3N Nf z f z f z f zε ε− ≤ + − + .

Din continuitatea funcţie Nf în punctul 0z z= , rezultă că există

0δ > astfel încât dacă 0z z δ− < , atunci 0( ) ( ) 3N Nf z f z ε− < . Deci, pentru oricare 0ε > , există 0δ > astfel încât dacă

0z z δ− < , atunci 0( ) ( ) 3 3 3f z f z ε ε ε ε− < + + = .

Fie { }nf un şir de funcţii definite pe o mulţime şi E 0z E∈ .

Asociem şirului { }nf un nou şir de funcţii { }nS definite de

, numit şirul sumelor parţiale. (1( ) ( )n

n kkS z f z z E

== ∑ )∈

0Dacă există 0( ) lim ( )nnS z S z

→ ∞= , spunem că seria

1( )kk

f z∞

=∑

este convergentă în punctul şi are suma 0z 0 01( ) ( )kk

S z f z∞

== ∑ .

Seria 1

( )kkf z∞

=∑ este absolut convergentă dacă seria modulelor

1( )kk

f z∞

=∑ este convergentă.

Dacă şirul sumelor parţiale { }nS converge uniform pe o mulţime

, atunci seria E1

( )kkf z∞

=∑ se numeşte uniform convergentă pe . E

Teoremă. Dacă o serie 1

( )kkf z∞

=∑ este convergentă uniform pe

o mulţime şi dacă toate funcţiile E kf sunt continue pe ,

atunci suma seriei, , este continuă pe .

E

( )S z E


Demonstraţie. Înlocuim, în teorema precedentă, şirul { }nf cu

şirul sumelor parţiale ( )1( ) ( ) 1,2,3,n

n kkS z f z n

== = ⋅ ⋅ ⋅∑ şi avem

( ) ( ) ( )0 0

0lim lim ( ) lim lim ( )n nz z n n z zS z S z z E

→ →∞ →∞ →= ∈ ,

echivalent,

( ) ( ) ( )0 0

01 1lim ( ) lim ( )n nn nz z z z

f z f z∞ ∞

= =→ →= ∈∑ ∑ z E .

De aici rezultă că, pentru 0z E∈ ,

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

0 0

0 0

lim lim lim lim lim

lim .

n nn z z n n z z

nn

S z S z S z

S z S z

→∞ → →∞ →∞ →

→∞

= = =

= =

O condiţie suficientă pentru uniform convergenţa unei serii de

funcţii este dată de următoarea teoremă. Criteriul convergenţei dominate al lui Weierstrass. Fie { }nf

un şir de funcţii definite pe o mulţime E şi { }nu un şir de numere

reale astfel încât ( )n nf z u≤ oricare ar fi z E∈ , 1, 2,3,n = ⋅⋅⋅ .

Dacă seria de numere 1 nnu∞

=∑ converge, atunci seria de funcţii

1( )nn

f z∞

=∑ converge uniform şi absolut pe mulţimea . E Demonstraţie. Convergenţa absolută a seriei

1( )nn

f z∞

=∑ rezultă

aplicând criteriul comparaţiei. Seria cu termeni pozitivi 1 nnu∞

=∑ este


convergentă, i.e. oricare ar fi 0ε > , există un întreg ( )N ε astfel

încât dacă ( )n N ε> , atunci ( )11, 2,3,n p

kk nu pε+

= +< = ⋅⋅⋅∑ .

Dar, pentru oricare z E∈ , rezultă următoarele inegalităţi:

( ) ( ) ( )1 1 11, 2,3,n p n p n p

k k kk n k n k nf z f z u pε+ + +

= + = + = +≤ ≤ < =∑ ∑ ∑ ⋅⋅⋅ .

Astfel, din criteriul Cauchy rezultă că seria 1

( )nnf z∞

=∑ este

uniform convergentă pe . E Teoremă. Dacă un şir de funcţii continue { }nf pe un contur

este uniform convergent către o funcţie

Cf pe C , atunci

lim ( ) lim ( )n nn n

C C

f z dz f z dz→∞ →∞

=∫ ∫ .

Demonstraţie. Deoarece funcţia limită f este continuă pe C ,

există ( )C

f z dz∫ . Fie 0ε > . Din ipoteză rezultă că există un întreg

( ) 0N N ε= > astfel încât dacă , atunci n N> ( ) ( )nf z f z ε− < , oricare ar fi . Atunci, pentru n , avem z C∈ N>

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

n nC C C

nC

f z dz f z dz f z f z dz

f z f z dz Lε

− = −

≤ − <

∫ ∫ ∫

∫

≤

unde este lungimea lui . L C

Astfel, lim ( ) ( )n CnC

f z dz f z dz→∞

=∫ ∫ .


Corolar. Dacă { }nf este un şir de funcţii continue şi dacă seria

1( )nn

f z∞

=∑ converge uniform pe un contur C , atunci

1 1( ) ( )n n

n nC C

f z dz f z dz∞ ∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ .

Demonstraţie. Aplicăm teorema pentru şirul sumelor parţiale

(1

( ) ( )nn kk

S z f z=

= ∑ 1,2,3,n = ⋅ ⋅ ⋅ ) şi obţinem

1

lim ( ) ( )n nn nC C

S z dz f z dz∞

→∞=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ ∫ ,

1

1

1

lim ( ) lim ( )

lim ( )

( ) .

n

n kn n kC C

n

kn k C

nn C

S z dz f z dz

f z dz

f z dz

→∞ →∞=

→∞=

∞

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∫ ∫

∑ ∫

∑ ∫

Deci, 1 1

( ) ( )n nn nC C

f z dz f z dz∞ ∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ⎟ .

Cu ajutorul acestui corolar dăm mai departe o demonstraţie simplă

teoremei lui Taylor pentru funcţii complexe.


Şiruri şi serii de funcţii analitice. Convergenţă uniformă, diferenţiere şi integrare Teoremă. Dacă { }nf este un şir de funcţii analitice pe un

domeniu D care converge uniform la o funcţie f pe toate submulţimile compacte ale domeniului D , atunci f este analitică în D . Demonstraţie. Este suficient să arătăm că ( )f z este analitică

într-un punct arbitrar din domeniul 0z D . Construim o vecinătate a lui conţinută în 0D 0z D . Funcţia

( )f z este continuă pe . Fie C un contur simplu închis oarecare conţinut în . Din ipoteză,

0D

0D ( )nf z este analitică în şi

, pentru fiecare .

0D

( ) 0nCf z dz =∫ n

Astfel, 0 lim ( ) ( )nC Cnf z dz f z dz

→∞= =∫ ∫ .

Din teorema lui Morera rezultă că ( )f z este analitică în . 0DÎn particular, ( )f z este analitică în . 0z Corolar. Dacă { }nf este un şir de funcţii analitice pe un

domeniu D şi seria ( )1 nnf z∞

=∑ converge uniform la ( )f z pe

toate submulţimile compacte ale domeniului D , atunci funcţia f este analitică în D . Demonstraţie. Pentru oricare contur simplu închis inclus în C D

avem: ( )1 1

( ) ( ) 0n nn nC C C

f z dz f z dz f z dz∞ ∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ .


Corolar. Dacă { }nf este un şir de funcţii analitice într-un

domeniu D , uniform convergent la ( )f z pe toate submulţimile compacte ale lui D , atunci

( ) ( )lim ( ) lim ( )n nn nf z f z z

→∞ →∞

′′= ∈D .

Demonstraţie. Fie z D∈ . Fie C un contur simplu închis într-o

vecinătate a punctului conţinută în domeniul 0D z D .

Din ipoteză rezultă că ( )f z este analitică în D . Prin urmare,

( )21 ( )( )

2 C

ff zi z

dζ ζπ ζ

′ =−∫ . De asemenea, şirul

( )2

( )nfzζ

ζ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭

converge uniform la ( )2

( )fzζ

ζ − pentru Cζ ∈ . Atunci

( ) ( )

( )

( )

2

2

2

1 ( )lim ( ) ( )2

( )1 lim2

( )1lim2

lim ( ).

nnC

n

nC

n

nC

nn

ff z f zi z

f di z

f di z

f z

ζ dζπ ζ

ζ ζπ ζ

ζ ζπ ζ

→∞

→∞

→∞

→∞

′′= =

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

′=

∫

∫

∫



domeniu D , uniform convergent la f pe toate submulţimile

compacte ale domeniului D , atunci şirul derivatelor ( ){ }knf de

ordinul este uniform convergent pe toate submulţimile compacte ale lui

kD la ( )kf , i.e.

( )( ) ( ) ( ) (lim ( ) lim ( ) 1,2,3,k

kn nn n

f z f z z D k→∞ →∞

)= ∈ = ⋅⋅ ⋅ .

Demonstraţie. Fie 0z D∈ şi 0 rρ< < , astfel încât discul închis

0z z− ≤ r este înclus în domeniul D . Fie cu z 0z z ρ− ≤ . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )k knf z f z− =

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

0 0

0

1 1

2

1 10

! !2 2

! ! sup .2

nk k

z r z r

nnk k

z r

f fk kd di iz z

f fk k rr d f frz

ζ ζ

π

ζ

ζ ζζ ζ

π πζ ζ

ζ ζθ ζ ζ

π ρζ

+ +− = − =

+ +− =

= −− −

−≤ <

−−

∫ ∫

∫

≤

−

Din convergenţa uniformă a şirului ( ){ }nf ζ la ( )f ζ pe cercul

0z rζ − = , deducem convergenţa uniformă a şirului ( ) ( ){ }knf z la

( ) ( )kf z pe discul închis 0z z ρ− ≤ .



domeniu D şi dacă seria 1

( )nnf z∞

=∑ converge uniform la ( )f z

pe toate submulţimile compacte ale lui D , atunci

( )1 1

( ) ( )n nn n

f z f z z∞ ∞

= =

′⎛ ⎞ ′= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ D .

Mai mult,

( )( ) ( ) (

1 1( ) ( ) 1,2,3,

kk

n nn n

f z f z z D k∞ ∞

= =

⎛ ⎞ )= ∈ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ⋅⋅⋅ .

Demonstraţie. Din corolarul precedent rezultă că ( )f z este

analitică în D . Deci, ( )2

1 ( )( )2 C

ff zi z

dζ ζπ ζ

′ =−∫ , unde C este un

contur simplu închis într-o vecinătate a punctului conţinută în

domeniul

0D z

D . De asemenea,

( )( )2

1 ( )( ) 1,2,3,2

nn

C

ff z d ni z

ζ ζπ ζ

′ = = ⋅−∫ ⋅ ⋅ .

Din ipoteză rezultă că seria ( )2

1

( )n

n

fzζ

ζ

∞

= −∑ converge uniform la

( )2( )f

zζ

ζ − pentru Cζ ∈ . Atunci, rezultă următoarele egalităţi:


( ) ( )

( )

2 21

21 1

( )1 ( ) 1( )2 2

( )1 ( ).2

n

nC C

nn

n nC

fff z di iz z

f d f zi z

ζζ dζ ζπ πζ ζ

ζ ζπ ζ

∞

=

∞ ∞

= =

⎛ ⎞′ = = ⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞′= =⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑∫ ∫

∑ ∑∫

Serii de puteri. Serii Taylor Există o clasă de funcţii speciale pentru care comportarea într-un

punct determină proprietăţi într-o regiune. Această clasă de funcţii are

un rol important în teoria funcţiilor analitice. Cele mai importante

funcţii sunt cele exprimabile ca serii de puteri.

Funcţia limită a unui şir de funcţii exprimabile ca serie de puteri

este întotdeauna analitică în regiunea de convergenţă.

Expresia 0 0

( )nnn

a a z∞

=+ b−∑ , notată în mod convenţional

, unde 0

( )nnn

a z b∞

=−∑ b∈ , na ∈ , z∈ , se numeşte serie de

puteri în . z b−Dacă , seria 0b =

0( )n

nna z b∞

=−∑ se reduce la

0n

nna z∞

=∑ , care

se numeşte serie de puteri în . zProprietăţile seriilor de puteri

0n

nna z∞

=∑ sunt transferabile la

seriile de forma 0

( )nnn

a z b∞

=−∑ înlocuind pe cu z z b− .


Teoremă. Dacă seria 0

nnn

a z∞

=∑ converge într-un punct 0 0z ≠ ,

atunci ea converge absolut pentru 0z z< . Demonstraţie. Dacă seria 00

nnn

a z∞

=∑ este convergentă, atunci

. Deci, există astfel încât 0lim 0nnn

a z→∞

= 0M > 0n

na z M≤ pentru

. 1, 2,3,n =

Deoarece ( )0 0 0n n nn

n na z a z z z M z z= ≤ 1,2,3,n, = ,

rezultă că 0

0

11

nnn

a z Mz z

∞

=≤

−∑ , cu condiţia 0z z< .

Corolar. Dacă seria

0n

nna z∞

=∑ diverge într-un punct 0z z= ,

atunci seria 0

nnn

a z∞

=∑ diverge pentru 0z z> .

Corolar. Dacă seria

0n

nna z∞

=∑ converge pentru oricare

, atunci seria converge pentru oricare z x= ∈ z∈ . Demonstraţie. Dacă seria 00

nnn

a z∞

=∑ diverge într-un punct

, atunci, din corolarul precedent, rezultă că seria

este divegentă pentru 0z ∈

0n

nna x∞

=∑ 0x z> , contrazicând ipoteza.

Teorema lui Cauchy-Hadamard. Fie seria

0n

nna z∞

=∑ şi

limsup nn

nA a

→ ∞= .


(i) Dacă 0A = , atunci seria este absolut

convergentă în tot planul complex; 0

nnn

a z∞

=∑

(ii) Dacă A = ∞ , atunci seria 0

nnn

a z∞

=∑ converge numai în

punctul 0z = ;

(iii) Dacă 0 A< < ∞ , atunci seria converge pentru 0

nnn

a z∞

=∑1z A< şi diverge pentru 1z A> .

Demonstraţie. (i) Din 0 limsup limn n

n n n nA a→∞ → ∞= = = a

rezultă că lim 0nnn na z→ ∞ = pentru oricare z∈ .

Aplicând criteriul lui Cauchy, rezultă că seria 0

nnn

a z∞

=∑

converge, i.e. seria 0

nnn

a z∞

=∑ este absolut convergentă în tot planul.

(ii) Dacă A = ∞ , atunci există un şir crescător de indici { }nk ,

astfel încât nn

kka →∞ .

Pentru oricare 0z ≠ , avem nn nn n

kk kk ka z a z= →∞ .

Deci n

n

kka z →∞ , adică seria nu îndeplineşte

condiţia necesară pentru convergenţă. 0

nnn

a z∞

=∑

(iii) Fie 0 . Dacă A< < ∞ 0z = , atunci seria 0

nnn

a z∞

=∑ se

reduce la termenul constant şi, deci, este absolut convergentă. 0aDacă şi 0z ≠ 1z A< , putem scrie 2z Aε= , cu 0 1ε< < .

Întrucât 1A ε > , din proprietatea limitei superioare rezultă că

există , astfel încât dacă , atunci 1N 1n N> nna A ε< .

Apoi, pentru , avem 1n N> 1nnna z A z ε ε< = < .


Din criteriul lui Cauchy, rezultă că seria 0

nnn

a z∞

=∑ este absolut

convergentă. Dacă 1z A> , atunci ( )1z Aε= , cu 0 1ε< < . Din proprietatea limitei superioare, rezultă că există un şir

crescător de indici { }nk astfel încât nn

kka A→ .

Atunci 1 1nnn

kkka z A z ε→ = > .

Deci, n

n

kka z →∞ , adică seria

0n

nna z∞

=∑ diverge.

1

limsup nn

n

Ra

→∞

= se numeşte raza de convergenţă a seriei.

Dacă limsup 0nn

nA a

→∞= = , atunci . R = ∞

Dacă limsup nn

nA a

→ ∞= = ∞ , atunci 0R = .

Cercul z R= se numeşte cercul de convergenţă al seriei. Interiorul cercului de convergenţă se numeşte discul de

convergenţă al seriei.

O serie de puteri converge în discul de convergenţă z R< şi

diverge în exteriorul cercului de convergenţă z R> .

Pe cercul de convergenţă z R= , o serie converge în toate, în niciunul sau numai în unele puncte. O serie de puteri este definită de coeficienţii ei şi aceşti coeficienţi sunt singurii care determină raza de convergenţă.


Teoremă. Fie o serie 0

nnn

a z∞

=∑ de puteri cu raza de convergenţă

. Atunci seria converge uniform în oricare disc închis 0R >z r≤ , unde r R< .

Demonstraţie. Aplicăm criteriul lui Weierstrass pentru seria de

puteri . Fie astfel încât 0

nnn

a z∞

=∑ 1z 1r z Rρ< = < . Atunci

inegalitatea 1n

n na z a z≤ n este valabilă pentru oricare şi , cu n z

z r≤ . Seria 10n

nna z∞

=∑ converge, deci, conform criteriului lui

Weierstrass, rezultă că seria 0

nnn

a z∞

=∑ este uniform convergentă

pentru z r≤ , r R< .

Există serii de puteri care converg, dar nu converg uniform. Cel

mai simplu exemplu este seria geometrică. Pe de altă parte, există serii de puteri care converg uniform în discul închis de convergenţă. Un exemplu este seria 2

1n

nz n∞

=∑ .

Teorema lui Taylor. Dacă ( )f z o funcţie analitică într-un domeniu D şi este un punct din domeniul 0z D , atunci

( )( )

00

0

( )( )!

nn

n

f zf z zn

∞

=

= −∑ z ,

seria fiind convergentă pentru 0z z δ− < , unde δ este distanţa

de la la frontiera lui 0z D .


Demonstraţie. Fie 0:C zρ ζ ρ− = , ρ δ< . Fie astfel încât z

0 0z z ζ− < − z . Atunci avem ( )( )

C

ff zz

ρ

dζ ζζ

=−∫ dezvoltarea

( ) ( ) ( )

( )( )

0 0 0 0

010 0

1 1 1 11

1 .nn

n

z z z z z z z

z zz

ζ ζ ζ ζ

ζ

∞

+=

= = ⋅− − − − − − − −

= −−

∑

0z

Convergenţa seriei fiind uniformă pe Cρ , integrăm termen cu termen şi obţinem:

( )( )01

0 0

1 ( )nn

nC

z z f dz

ρ

ζ ζζ

∞

+=

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠∑∫

( )( )0 1

0 0

1 ( ) .2

nn

n C

fz z di z

ρ

ζ ζπ ζ

∞

+=

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ ∫

Folosind formula integrală a lui Cauchy, rezultă dezvoltarea în

serie Taylor ( )

(00

0

( )( )!

nn

n

f z )f z zn

∞

=

= ∑ z− .

Astfel, am obţinut următorul rezultat important pentru teoria

funcţiilor analitice.


Teoremă. O funcţie f este analitică într-un punct dacă şi

numai dacă

0z

( 00( ) n

nn )f z a z z∞

== −∑ într-un disc 0z z r− ≤ ,

unde coeficienţii sunt unic determinaţi:

( )0

( )0

10

( ) 1 ( ) 0,1,2,3,! 2 ( )

n

n nz z r

f z f za dzn i z zπ +

− =

= = = ⋅⋅ ⋅−∫ n . ■

Reprezentarea ( )( ) ( )

0

0!

nn

n

ff z

n

∞

=

= ∑ z se numeşte dezvoltarea în

serie Maclaurin a funcţiei ( )f z .

Avem dezvoltările în serie Maclaurin ale funcţiilor elementare:

( )1

11 ;!

z n

ne z z

n

∞

=

= + <∑ ∞

( ) ( ) ( )2 1

1

1sin 1 ;

2 1 !

nn

n

zz zn

−∞+

=

= − <−∑ ∞

( ) ( ) ( )2

1cos 1 1 ;

2 !

nn

n

zz zn

∞

=

= + − < ∞∑

( ) ( )2 1

1sh ;

2 1 !

n

n

zz zn

−∞

=

= < ∞−∑

( ) ( )2

1ch 1 ;

2 !

n

n

zz zn

∞

=

= + <∑ ∞

( ) ( ) (1

1Log 1 1 1 .

nn

n

zzn

∞−

=)z+ = − <∑


Zerourile funcţiilor analitice Dacă o funcţie f este analitică într-un punct , atunci există

astfel încât pentru 0z 0r

0 0z z r− < funcţia f este reprezentată printr-o

serie Taylor ( ) ( )0 01

n

nnf z a a z z∞

== + −∑ , unde ( )0 0a f z= şi

( ) ( )0 !nna f z n= ( )1,2,3,n = .

Dacă este un zerou al funcţie 0z f , atunci 0 0a = . Dacă, în plus,

( ) ( ) ( ) ( )10 0 0 0mf z f z f z−′ ′′= = = = , ( ) ( )0 0mf z ≠ ,

atunci este numit zerou de ordinul al funcţiei 0z m f .

Teoremă. Dacă f este funcţie analitică într-un punct care este un zerou al lui

0zf , atunci există o vecinătate a lui în care 0z

f nu are alte zerouri. (Cu alte cuvinte: zerourile unei funcţii analitice sunt izolate). Demonstraţie. Presupunem că funcţia analitică f are în punctul

un zerou de ordinul . Atunci 0z m

( ) ( ) ( ) ( )0 000,m n

m n mn 0 0f z z z a z z a z z r∞

+== − − ≠ − <∑ .

Notăm ( ) ( )00

nm nn

g z a z z∞

+== −∑ ( )0 0z z r− < şi observăm

că ( )0 mg z a= şi că funcţia ( )g z este continuă în . 0z

În consecinţă, oricare ar fi 0ε > , există 0δ > astfel încât

0z z δ− < ⇒ ( ) mg z a ε− < .


În particular, dacă 2maε = , atunci există εδ astfel încât

0z z εδ− < ⇒ ( ) 2m mg z a a− < .

Rezultă că ( ) 0g z ≠ pentru 0z z εδ− < .

Teorema de identitate Comportarea unei funcţii analitice într-un şir de puncte

influenţează comportarea funcţie peste tot. Teoremă. Fie ( )f z o funcţie analitică într-un disc 0z z R− <

şi { }nz un şir de puncte distincte care converge la . Dacă

pentru oricare n , atunci 0z

( ) 0nf z = ( ) 0f z = pentru oricare

din discul

z

0z z R− < . Demonstraţie. Funcţia ( )f z are reprezentarea în serie de puteri:

( ) ( )0 01( ) k

kk 0f z a a z z z z R∞

== + − − <∑ .

Din continuitatea lui ( )f z în , rezultă că 0z

( )0 0( ) lim lim ( ) 0n nn na f z f z f z

→∞ →∞= = = = .

Atunci putem scrie ( ) ( )( )10 1 02

( ) kkk

f z z z a a z z∞ −

== − + −∑

şi avem ( ) (11 02

0 1kk nk

a a z z n∞ −

== + − = ⋅⋅ ⋅),2,3,∑ .

Trecem la limită pentru şi rezultă 0nz → z 1 0a = .


În acelaşi fel, obţinem şi următoarele:

( ) ( )( )2 20 2 03

( ) kkk

f z z z a a z z∞ −

== − + −∑ şi 2 0a = .

Apoi, prin inducţie, rezultă 0na = ( )1,2,3,n = ⋅⋅ ⋅ , adică

( ) 0f z = ( 0z z R− < ) .

Teorema precedentă este generalizată pentru domenii oarecare. Teoremă. Fie ( )f z o funcţie analitică într-un domeniu D şi

{ }nz un şir de puncte distincte care converge la un punct din 0zD . Dacă ( ) 0nf z = pentru oricare , atunc n ( ) 0f z = oricare ar fi din z D . Demonstraţie. Fie un disc inclus în domeniul K D , cu centrul

în punctul limită . Din teorema precedentă rezultă că funcţia pentru

0z( ) 0f z = z K∈ .

Fie . Arătăm, în continuare, că \z D K′∈ ( ) 0f z′ = . Unim punctul limită cu punctul 0z z′ printr-o curbă continuă

inclusă în domeniul L

D . Notăm cu ρ distanţa dintre curba şi frontiera domeniului L D . Dividem curba în arce prin punctele L 0 1 2 1, , , , ,n nz z z z z z− ′⋅ ⋅ ⋅ =

astfel încât 1j jz z ρ+− < ( )0,1,2, , 1j n= ⋅⋅⋅ − .

Construim discurile :j jK z z ρ− < , 0,1,2, ,j n= ⋅⋅ ⋅ .

Prin construcţie, discul este inclus în domeniul jK D şi conţine

centrul al următorului disc 1jz + 1jK + , . 0,1,2, , 1j n= ⋅⋅⋅ −

În discul cu centrul în , funcţia 0K 0z ( )f z se anulează. Presupunem că ( )f z se anulează în toate discurile ,

. jK

1j n≤ −


Arătăm că ( ) 0f z = pentru 1jz K +∈ .

Deoarece 1jz + se află în discul , jK 1jz + este un punct limită pentru o mulţime pe care funcţia se anulează. Atunci, din teorema precedentă rezultă că funcţia ( )f z se anulează în întreg discul 1jK + .

Aceasta implică faptul că funcţia ( )f z se anulează în discul ; în particular,

nK( ) 0f z′ = .

Deoarece \z D K′∈ a fost ales arbitrar, rezultă că ( ) 0f z′ = pentru toate punctele \z D K′∈ .

Deci, ( ) 0f z = pentru z D∈ . O consecinţă a acestei teoreme este teorema de identitate. Teorema de identitate. Fie { }nz un şir de puncte cu un punct

limită într-un domeniu D . Dacă ( )f z şi sunt funcţii analitice în

( )g zD , astfel încât ( ) ( )n nf z g z= pentru oricare n ,

atunci ( ) ( )f z g z= pentru oricare din z D . Demonstraţie. Fie punctul limită al şirului 0z { }nz . Atunci

există un subşir { }knz care converge la . 0z

Notăm ( ) ( ) ( )h z f z g z= − . Deoarece ( ) 0knh z = pentru toate

elementele şirului { }knz , rezultă că pe ( ) 0h z = D .

Această proprietate importantă a funcţiilor analitice este exprimată

şi în forma următoare. Teorema unicităţii. Există cel mult o funcţie analitică ( )f z într-

un domeniu D care admite valori date pe o mulţime de puncte din

ED şi care are cel puţin un punct limită în 0z D .


Demonstraţie. Întrucât este punct limită pentru , putem

alege din un şir de puncte 0z E

E { }nz care diferă de şi diferite între

ele, care converge la . 0z

0z Aplicaţii (i) Teorema identităţii arată că există o singură funcţie întreagă care coincide cu sin x ( x∈ ).

Fie segmentul E 0 z x 2π< = < de pe axa reală. Fiecare punct al mulţimii este punct limită pentru şi

aparţine lui . E E

Teorema identităţii afirmă că există cel mult o funcţie ( )f z care este analitică în şi ale cărei valori pentru z x E= ∈ coincid cu valorile funcţiei ( ) sinf x x= ( 0 2x π< < ).

Această funcţie este ( )( ) 2 siniz izf z e e i−= − = z .

(ii) Aplicăm teorema de identitate pentru demonstrarea identităţii trigonometrice 2 2sin cos 1z z+ = în planul complex.

Funcţia 2( ) sin cos2f z z= + z este o funcţie întreagă. Identitatea ( ) 1f z = pentru oricare 0 2z x π< = < rezultă din

teorema lui Pitagora. Deci, 2 2sin cos 1z z+ = pentru oricare din . z Observaţie Formula integrală a lui Cauchy ne arată că: Valorile unei funcţii analitice pe un contur simplu inchis

determină valorile funcţiei în interiorul conturului. Teorema de identitate ne spune mai mult:


Comportarea funcţiei într-un şir de puncte din interiorul sau de pe conturul simplu închis determină comportarea funcţiei analitice în toate punctele domeniului. Teorema maximului modulului Următoarea teoremă arată că Dacă o funcţie ( )f z este analitică, neconstantă într-o vecinătate

a unui punct , atunci există cel puţin un punct în acea

vecinătate astfel încât 0z z

0( ) ( )f z f z> . Teorema maximului modulului. Dacă ( )f z este analitică şi

neconstantă într-un domeniu D , atunci ( )f z nu are valoare maximă în D . Demonstraţie. Considerăm un disc oarecare 0z z R− ≤ conţinut

în D . Presupunem că 0( ) ( )f z f z≤ pentru 0z z R− ≤ . Pentru fiecare , r 0 r R≤ ≤ , folosind teorema valorii medii a lui

Gauss, avem:

2 2

0 0 00 0

2

0 00

1 1( ) ( ) ( )2 2

1 ( ) ( ) ,2

i if z f z re d f z re

f z d f z

π πθ θ

π

dθ θπ π

θπ

= + ≤ +

≤ =

∫ ∫

∫

de unde rezultă ( )2

0 00

( ) ( ) 0 0if z f z re d r Rπ

θ θ⎡ ⎤− + = ≤ ≤⎣ ⎦∫ .


Ultimul integrand este continuu şi pozitiv. Atunci, pentru în discul închis

z

0z z R− ≤ , avem 0 0( ) ( ) 0if z f z re θ− + = , adică

0( ) ( )f z f z= . Dar aceasta înseamnă că ( )f z este constantă în

discul 0z z R− ≤ .

Prin urmare, ( )f z trebuie să fie constantă în acest disc. Din teorema de identitate rezultă că ( )f z este constantă în întreg

domeniul D . Deci, dacă ( )f z nu este constantă, atunci ( )f z nu are

maximum în D . Corolar. Dacă ( )f z este analitică şi neconstantă într-un

domeniu D mărginit şi este continuă pe închiderea sa D , atunci ( )f z atinge maximul numai pe frontiera lui D .

Observaţie. Este posibil ca modulul unei funcţii analitice

neconstante să atingă minimul într-un domeniu şi nu pe frontieră. De fapt, modulul funcţiei atinge minimul într-un zerou al funcţiei.

7

TEOREMA REZIDUULUI ŞI APLICAŢII

Serii Laurent Clasificarea şi caracterizarea singularităţilor

Teorema reziduului Calculul reziduurilor

Calculul unor integrale complexe Evaluarea unor integrale reale

Serii Laurent

Dacă o funcţie ( )f z este analitică într-un punct , atunci 0z ( )f z

are o reprezentare în serie de puteri ( 00( ) n

nn )f z a z∞

== − z∑ într-o

vecinătate a lui . 0z

Observăm că seria ( )01

nnn

b z z∞ −

=−∑ poate fi considerată o serie

de puteri în variabila ( )01 z z− , convergentă pentru 01 z z R− < , unde R este raza de convergenţă.

Astfel, seria ( )01

nnn

b z z∞ −

=−∑ reprezintă o funcţie 1( )f z

analitică pentru 0 1 1z z R− > = R .

Dacă 2R este raza de convergenţă a seriei ( )00

nnn

a z z∞

=−∑ ,

atunci (2 0( ) n

nn )0f z a z∞

== − z∑ este analitică în discul

0 2z z R− < .


Dacă 1 2R R< , atunci funcţiile 1( )f z şi 2 ( )f z sunt analitice în

coroana circulară 1 0 2R z z R< − < .

În concluzie, funcţia 1 2( ) ( ) ( )f z f z f z= + este analitică în

oricare punct din coroana circulară 1 0 2R z z R< − < .

Notăm na− nb= şi avem

( )( )0

1 00

( ) nnnn

n n

af z az z

∞ ∞−

= =

= +−

∑ ∑ z z−

sau

( )0( ) nn

nf z a z z

∞

=−∞

= −∑ .

Definiţie. O expresie de forma ( 0

nnn

a z z∞

=−∞− )∑ se numeşte

serie Laurent.

Seria Laurent generalizează noţiunea de serie de puteri. Seria Laurent este considerată ca suma a două serii ( )00

nnn

a z z∞

=−∑ şi

( )01

nnn

a z z∞ −−=

−∑ dacă şi numai dacă cele două serii sunt

convergente. Domeniul de convergenţă al unei serii Laurent este o coroană

circulară. Dacă 1 2R Rρ< < , seria Laurent ( 0( ) n

nn )f z a z∞

=−∞= − z∑ este

convergentă uniform pe cercul 0: z zγ ρ− = .

Multiplicăm ( 0( ) nnn )f z a z∞

=−∞= − z∑ cu ( ) 1

01

2kz z

iπ− −− ,

unde este un întreg arbitrar, apoi integrăm termen cu termen de-a lungul cercului

kγ .

Astfel, obţinem:


( )( ) 1

010

1 ( ) 12 2

n knk

n

f z dz a z z dzi iz zγ γπ π

∞− −

+=−∞

= −−

∑∫ ∫ .

Deci

( )( )1

0

1 ( ) 0, 1, 2,2 kk

f z dz a ki z zγπ + = = ± ± ⋅⋅⋅

−∫ .

Această relaţie exprimă coeficienţii unei serii Laurent în funcţie de suma seriei.

Teorema următoare arată că oricare funcţie analitică într-o coroană circulară are o reprezentare în serie Laurent.

Teorema lui Laurent. Dacă o funcţie ( )f z este analitică într-o

coroană circulară 1 0 2R z z R< − < , atunci ( )f z are reprezentarea în serie Laurent

( ) ( )0 1 0( ) nn

n2f z a z z R z z

∞

=−∞

= − < − <∑ R .

Coeficienţii sunt unic determinaţi:

( )( )1

0

1 ( ) 0, 1, 2,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ += = ± ± ⋅⋅⋅

−∫ ,

unde este un contur simplu închis, în jurul punctului , conţinut în coroana circulară.

C 0z

Demonstraţie. Fie un punct oarecare din coroana circulară z

1 0 2R z z R< − < . Funcţia ( )f z este analitică în coroana circulară

închisă 1 0z z 2ρ ρ≤ − ≤ , unde 1ρ şi 2ρ verifică inegalităţile

1 1 0 2 2R z z Rρ ρ< < − < < .


Fie cercurile 1 0 1:C z z ρ− = 2 0 2: zC z ρ− = şi . Scriem formula integrală a lui Cauchy

2 1

1 ( ) 1 ( )( )2 2C C

f ff z di z i z

dζ ζζ ζπ ζ π ζ

= −− −∫ ∫ .

Dacă ζ este pe cercul şi 2C 1 0z z 2ρ ρ≤ − ≤ , atunci avem

( )( )01

0 00 0

0

1 1 1 1

1

nn

n

z zz zz z zz

ζ ζ ζζ

∞

+=

= ⋅ = −−− − −−−

∑ ,

convergenţa seriei fiind uniformă pe cercul . Deci, 2C

( )( )01

0 0

1 1 nn

nz z

z zζ ζ

∞

+=

= −− −

∑ .

Multiplicăm această egalitatea cu ( )

2f

iζπ

şi integrăm termen cu

termen de-a lungul cercului . Astfel, obţinem 2C

( )( )

( )

2 2

010 0

00

1 ( ) 1 ( )2 2

,

nn

nC C

nn

n

f fd di z i z

a z z

ζ ζζ ζπ ζ π ζ

∞

+=

∞

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= −

∑∫ ∫

∑

z z

cu ( )

( )2

10

1 ( ) 0,1,2,3,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ += = ⋅⋅ ⋅

−∫ .


Procedăm în mod similar pentru ζ pe cercul şi avem 1C

( )( )

10

0 10 0

0

1 1 1 1

1

nn

n

zzz z z z zz z

ζζζ

∞−

=

− = ⋅ = −−− − −−−

∑ ,

convergenţa seriei fiind uniformă pe . Deci, 1C

( )( )

10

1 0

1 1nn

n

zz z z

ζζ

∞−

=

− = −− −

∑ .

Multiplicăm această egalitatea cu ( )

2f

iζπ

şi integrăm termen cu

termen de-a lungul cercului . Astfel, avem 1C

( )( )

( )

1 1

10

1 0

1 0

1 ( ) 1 1( )2 2

,

nn

nC C

nn

n

f d f z di z i z z

az z

ζ ζ ζ ζ ζπ ζ π

∞−

=

∞−

=

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

=−

∑∫ ∫

∑

cu ( )

( )1

10

1 ( ) 1,2,3,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ− − += =

−∫ ⋅ ⋅ ⋅ .

În concluzie, ecuaţia

2 1

1 ( ) 1 ( )( )2 2C C

f ff z di z i z

dζ ζζ ζπ ζ π ζ

= −− −∫ ∫

devine

( ) ( )0 00 1

( ) n nn n

n n

f z a z z a z z∞ ∞

−−

= =

= − + −∑ ∑ ,


unde coeficienţii seriilor sunt, respectiv,

( )( )

2

10

1 ( ) 0,1,2,3,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ += =

−∫ ⋅ ⋅ ⋅ ,

( )( )

1

10

1 ( ) 1,2,3,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ− − += = ⋅

−∫ ⋅ ⋅ .

Întrucât 0

( )fzζ

ζ − este analitică în 1 0z z 2ρ ρ≤ − ≤ , din formula

integrală a lui Cauchy rezultă că putem calcula coeficienţii înlocuind şi cu un contur simplu închis oarecare în jurul punctului , cuprins între cercurile şi . Astfel, dezvoltarea

funcţiei în serie Laurent este

na

1C 2C C

0z 1C 2C

( )f z ( 0( ) nnn )f z a z∞

=−∞= − z∑ , cu

( )( )1

0

1 ( ) 0, 1, 2,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ += = ± ± ⋅⋅⋅

−∫ .

Deoarece 1ρ şi 2ρ pot fi alese oricât de aproape de 1R şi 2R , respectiv, această dezvoltare în serie Laurent este valabilă pentru oricare punct din coroana circulară z 1 0R z z R< − < 2 .

Propoziţie. Reprezentarea în serie Laurent a unei funcţii analitice

este unică. Demonstraţie. Presupunem că există două reprezentări ale unei

funcţii analitice în serie Laurent într-o coroană circulară

1 0R z z R< − < 2

)

,

( ) (0 0( ) n nn n

n n

f z a z z b z z∞ ∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑ .


Fiecare serie converge uniform pe un contur simplu închis C în jurul lui , inclus în coroana circulară. 0z

Multiplicăm egalitatea

( ) (0 )n nn nn n

a z z b z z∞ ∞

=−∞ =−∞− = −∑ ∑ ) 1

0kz z0 , cu ( − −−

z

k

,

unde k este un întreg oarecare.

Integrăm apoi, termen cu termen, de-a lungul conturului C . Obţinem astfel egalitatea

( ) ( )1 10 0

n k n kn n

n nC C

a z z dz b z z d∞ ∞

− − − −

=−∞ =−∞

− = −∑ ∑∫ ∫ ,

de unde rezultă că 2 2kia ibπ π= , pentru oricare întreg . k

Deci ( )3, 2, 1,0,1,2,3,k ka b k= = ⋅⋅ ⋅ − − − ⋅⋅ ⋅ . Observăm că seria de puteri pozitive ale lui 0z z− converge în

interiorul cercului 0 2z z R− = , iar seria de puteri negative ale lui

converge în afara cercului 0z z− 0 1z z R− = .

Fie ( 0( ) nn

n)f z a z z

∞

=−∞

= −∑ dezvoltarea în serie Laurent a unei

funcţii ( )f z .

Seria de puteri negative ale lui (10

nnn

a z z−

=−∞−∑ ) 0z z− se

numeşte partea principală a dezvoltării funcţiei în serie Laurent.

Seria de puteri pozitive ale lui ( 00

nnn

a z z∞

=−∑ ) 0z z− se

numeşte partea analitică a dezvoltării funcţiei în serie Laurent.


Clasificarea şi caracterizarea singularităţilor funcţiilor analitice

Definiţie. Spunem că o funcţie ( )f z are o sigularitate într-un punct (sau, este punct singular al funcţiei 0z 0z ( )f z ), dacă funcţia nu este analitică în punctul . 0z

Dacă o funcţie este analitică într-o vecinătate punctată a unei singularităţi , 0z { }0: 0z z z ε∈ < − < , atunci singularitatea

se numeşte singularitate izolată (alternativ, punct singular izolat). 0z

Comportatea unei funcţii ( )f z în vecinătate unei singularităţi

izolate poate fi descrisă după cum urmează: 0z(i) ( )f z este mărginită într-o vecinătate punctată a lui ; 0z

(ii) 0

lim ( )z z

f z→

= ∞ ;

(iii) ( )f z nu satisface nici (i), nici (ii).

Exemple

(1) sin( ) , 0zf z z

z= ≠ .

Funcţia ( )f z este mărginită într-o vecinătate punctată a originii. Exemplul nu este interesant din punct de vedere al singularităţilor, deoarece funcţia ( )f z poate deveni analitică în 0z = , dacă definim (0) 1f = . (2) ( ) 1 , 0.f z z z= ≠ Funcţia ( )f z are o singularitate izolată în origine şi

0lim1z

z→

= ∞ .


(3) 1( ) , 0zf z e z= ≠ . Pentru , avem z x= ∈ 1

0lim x

xe

+→= ∞ şi 1

0lim 0x

xe

−→= .

Astfel, într-o vecinătate a originii, funcţia 1 ze nu este nici mărginită, nici nu tinde la infinit.

Definiţie. Dacă o funcţie ( )f z are o singularitate izolată într-un punct şi dacă 0z

0

lim ( )z z

f z→

există şi este finită, atunci singularitatea se

numeşte singularitate eliminabilă (sau aparentă). Avem următoarele caracterizări importante.

Propoziţie. Fie ( )f z analitică într-un disc punctat

00 z z R< − < şi un punct singular izolat al lui 0z ( )f z . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) Partea principală a dezvoltării funcţiei ( )f z în serie

Laurent este egală cu zero, adică ( )0 0na n= < ;

(ii) 0

lim ( )z z

f z→

există şi este finită;

(iii) ( )0

0lim ( ) 0z z

z z f z→

− = ;

(iv) ( )f z este mărginită. Demonstraţie. Demonstrăm că (iv) implică (i). Fie 0 r R< < şi

fie astfel încât 0M > ( )0( ) 0f z M z z r≤ ≤ − ≤ .

Fie ( )

( ) ( )0 01 00

( ) 0nnnn

n n

af z a z z z z rz z

∞ ∞−

= =

= + − < −−

∑ ∑ <

dezvoltarea funcţiei ( )f z în serie Laurent.


Fie 0 rρ< < . Avem

( )( )

0

10

1 ( ) 1,2,3,2n n

z z

fa d ni zρ

ζ ζπ ζ− − +

− =

= =−∫ ⋅ ⋅ ⋅ ,

de unde rezultă că

1

1 1 22

nn na M

iMπρ ρ

π ρ− − +≤ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Dacă facem 0ρ → , rezultă că ( )0 1,2,3,na n− = = ⋅⋅ ⋅ .

Observaţie. În acest caz, singularitatea izolată a funcţiei ( )f z în

este eliminată, dacă definim 0z0

0 0( ) lim ( )z z

f z a f z→

= = .

Atunci funcţia devine analitică în discul 0z z R− < , iar seria

Laurent este de fapt seria de puteri ( )00( ) n

nnf z a z∞

== −∑ z .

Notă importantă. Pentru scopuri practice, considerăm că o

funcţie care are o singularitate eliminabilă este o funcţie întreagă.

Exemple

(1) Funcţia sin( ) zf z

z= are o sigularitate izolată eliminabilă în

origine.

Funcţia 2

1

sin ( 1)( ) 1(2 1)!

nn

n

zf z zz n

∞

=

−= = + ⋅

+∑ devine funcţie

întreagă, dacă definim (0) 1f = .


(2) Funcţia 1( )

zef zz−

= are un singularitate izolată elimiabilă

în origine şi

11

2

11 1!( ) 1

!

nz

nn

n

ze nf z z

z z n

∞

∞−=

=

−= = = +

∑∑ .

Dacă definim (0) 1f = , funcţia devine întreagă.

Definiţie. Dacă o funcţie ( )f z este analitică într-o vecinătate

punctată a unui punct şi dacă există un întreg pozitiv astfel încât

, atunci spunem că 0z k

( ) (0

0lim ( ) 0,k

z zz z f z a a a

→− = ≠ ≠ )∞ f are un

pol de ordinul în . k 0zUn pol de ordinul 1k = se numeşte pol simplu.

Teorema următoare dă o condiţie necesară şi suficientă pentru ca o

singularitate izolată să fie pol.

Teoremă. Fie ( )f z o funcţie cu o singularitate izolată în . Funcţia

0z( )f z are un pol în dacă şi numai dacă

. 0z

0

lim ( )z z

f z→

= ∞

Demonstraţie. Din definiţie rezultă că dacă o funcţie ( )f z are

un pol în , atunci 0z0

lim ( )z z

f z→

= ∞ .

Dacă 0

lim ( )z z

f z→

= ∞ , atunci 1( )( )

g zf z

= este mărginită într-o

vecinătate punctată a lui . 0z


Deci, funcţia are o singularitate eliminabilă în şi are

dezvoltarea în serie

( )g z 0z

20 1 0 2 0( ) ( ) ( )g z a a z z a z z= + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ .

Astfel rezultă că 0 0

01lim ( ) lim 0( )z z z z

a g zf z→ →

= = = . Coeficienţii lui

nu pot fi toţi zero, deoarece aceasta ar însemna că ( )g z ( )f z ≡ ∞

într-o vecinătate punctată a lui . Fie primul coeficient nenul al

lui . Atunci

0z ka

( )g z

( ) ( ) 10 1 0

1( )( )

k kk kg z a z z a z z

f z+

+= = − + − + ⋅⋅ ⋅ ,

sau

( )( ) ( )2

1 0 2 00

1( )

k k kk a a z z a z zf z z z

+ += + − + − + ⋅⋅⋅−

.

Rezultă că

( )00

1lim 0( ) kkz z

af z z z→

= ≠−

, adică ( )0

01lim ( )k

z zk

z z f za→

− = .

În consecinţă, ( )f z are un pol de ordinul în . k 0z Corolar. Dacă o funcţie ( )f z are un pol de ordinul în , atunci

k 0z( )f z poate fi dezvoltată în serie Laurent de forma

( )0( ) nnn k

f z a z∞

=−= − z∑ .


Demonstraţie. Funcţia

( )( ) (1 0

0

1 0( ) k k kk a a z z a

f z z z + )= + − + ⋅⋅ ⋅ ≠−

este analitică în . 0z

Din continuitate, rezultă că există o vecinătate a lui în care 0z

( )0

1 0( ) kf z z z

≠−

.

Deci, ( 0( ) k)f z z z− este analitică în şi are dezvoltarea 0z

( ) (0 00

( ) k mm

m)f z z z c z z

∞

=

− = −∑ , adică ( )00

( ) m km

m

f z c z z∞

−

=

= −∑ .

Notăm , n m k= − n na c k+= şi avem ( 0( ) nn

n k)f z a z z

∞

=−

= −∑ .

Avem, deci următorul criteriu pentru recunoaşterea polilor. Propoziţie. Fie ( )f z analitică într-un disc punctat

00 z z R< − < , cu un punct singular izolat al lui 0z ( )f z . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) Partea principală a dezvoltării funcţiei ( )f z în serie Laurent are un număr finit de termeni nenuli,

adică şi 0ka− ≠ ( )0na n− k= − < − ;

(ii) 0

lim ( )z z

f z→

= ∞ ;

(iii) ( ) (0

0lim ( ) 0,k

z zz z f z a a a

→)− = ≠ ≠ ∞ .


Observaţie. În acest caz partea principală a dezvoltării în serie Laurent a funcţiei ( )f z , într-o vecinătate a unui pol de ordinul k , are un număr finit de termeni nenuli şi coeficientul termenului nenul cu cel mai mic exponent este

0z

0ka− ≠ , i.e.

( )( )

1

000

( ) nnnn

n k n

af z az z

∞−

= =

= +−

∑ ∑ z z− .

Exemple

(1) Funcţia (2( ) 0zef z z

z)= < < ∞ are un pol de ordinul al

doilea în origine, după cum rezultă din dezvoltarea următoare: 2

2 2 21

1 1 1 1 1( ) 1! 2! 3!

zn

n

e zf z zz z n z z

∞

=

⎛ ⎞= = + = + + + + + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 4!z

⋅

(2) Funcţia (2

sin( ) 0zf z zz

)= < < ∞ are dezvoltarea:

3 5 2

2 2

sin 1 1( )3! 5! 3! 5!

z z z z zf z zz z z

⎛ ⎞= = − + − ⋅ ⋅ ⋅ = − + − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠,

de unde rezultă că ( )f z are un pol simplu în origine.

(3) Funcţia ( )

(21( ) 1 01

f z zz

)= − >−

este de forma unei

serii Laurent (cu un singur termen nenul) în 1 0z − > şi are un

pol de ordinul al doilea în 0 1z = .


Definiţie. O singularitate izolată care nu este nici sigularitate

eliminabilă (aparentă), nici pol se numeşte sigularitate izolată

esenţială.

Observaţie. Un punct singular izolat al unei funcţii 0z ( )f z este

punct singular izolat esenţial dacă şi numai dacă partea principală a dezvoltării în serie Laurent a funcţiei ( )f z , într-o vecinătate a lui , are o infinitate de termeni nenuli:

0z

( )( )0

1 00

( ) nnnn

n n

af z az z

∞ ∞−

= =

= +−

∑ ∑ z z− .

Exemple

(1) Funcţia 21

2 4 6

1 1 1 1 1( ) 12! 3!

zf z ez z z

= = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ are o

singularitate izolată esenţială în origine.

(2) Funcţia 2 2 6 10

1 1 1 1 1 1( ) sin3! 5!

f zz z z z

= = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ are o

singularitate izolată esenţială în origine.

(3) Funcţia 2 23 5

3

1 1 1 1( ) sin3! 5!

1 16 120

f z z zz z z z

zz z

⎛ ⎞= = − + −⋅⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + − ⋅⋅⋅

⋅

are o singularitate izolată esenţială în origine.


Teorema lui Weierstrass. Dacă ( )f z are o sigularitate izolată esenţială în şi dacă , 0z 0r > 0ε > şi a∈ sunt date, atunci

există cu z 0z z r− < astfel încât ( )f z a ε− < .

Demonstraţie. Fie a un număr complex oarecare şi 0ε > .

Presupunem că ( ) 0f z a ε− ≥ > oricare ar fi într-un disc punctat z

00 z z δ< − < . Notăm 1( )

( )g z

f z a=

−.

Atunci ( ) 1g z ε≤ pentru 00 z z δ< − < .

Rezultă că are o singularitate eliminabilă în şi putem

scrie

( )g z 0z

( ) ( )20 1 0 2 0

1( )( )

g z a a z z a z zf z a

= = + − + −−

+ ⋅ ⋅ ⋅ .

Observăm că 0

01lim

( )z za

f z a→=

−.

Sunt posibile două cazuri: 0 0a = sau 0 0a ≠ .

Dacă , atunci 0 0a ≠0 0

1lim ( )z z

f z aa→

= + şi ( )f z are singularitate

eliminabilă în . 0zDacă , presupunem că este primul coeficient nenul. Atunci

0 0a = ka

( ) ( )( ) ( )2

1 0 2 00

1( ) k k kk a a z z a z z

f z a z z + += + − + − + ⋅⋅ ⋅− −

şi

( ) ( ) ( )0 0

0 01lim ( ) lim ( )k k

z z z zk

z z f z a z z f za→ →

− − = − = .

Astfel rezultă că ( )f z are un pol de ordinul în . k 0z


Întrucât ipoteza exclude amândouă cazurile, inegalitatea ( ) 0f z a ε− ≥ > nu poate fi adevărată.

Corolar. Dacă ( )f z are o singularitate izolată esenţială în

şi este un număr complex oarecare, atunci există un şir 0z

a { }nz

astfel încât şi 0nz z→0

lim ( )n

nz zf z a

→= .

Demonstraţie. Fie { }nδ un şir cu 0nδ > şi lim 0nn

δ→∞

= . Atunci,

conform teoremei, există un şir { }nz astfel încât ( ) 1nf z a− < n

pentru 00 n nz z δ< − < . Deci, ( )nf z → a zcând . 0nz → Singularitatea de la infinit Definiţie. O funcţie ( )f z are o sigularitate izolată în punctul de

la infinit dacă ( )f z este analitică într-o vecinătate a lui ∞ , exclusiv

punctul de la infinit, adică dacă există un număr real R astfel încât

( )f z este analitică pentru R z< < ∞ .

Notăm că ( )f z este analitică pentru z R> dacă şi numai dacă

(1 )f z este analitică pentru 1 1z R< . Deci, ( )f z are o singularitate izolată în ∞ dacă şi numai dacă

(1 )f z are o singularitate izolată în 0 .


Mai mult, sigularitatea lui ( )f z în punctul de la infinit este

eliminabilă, pol sau esenţială după cum singularitatea lui ( )1f z în

origine este eliminabilă, pol sau esenţială, respectiv. Exemple

(1) Funcţia 2( ) 1f z z= + are un pol de ordinul doi în z = ∞ , deoarece 2(1 ) 1 1f z z= + are un pol de ordinul doi în 0z = .

(2) Funcţia ( ) zf z e= are o singularitate izolată esenţială în , deoarece z = ∞ 1(1 ) zf z e= are o singularitate izolată esenţială

în . 0z = Comportarea funcţiilor întregi Dacă

0( ) k n

nnf z a

== z∑ este un polinom de gradul k , atunci

funcţia ( ) ( )1

0

11 k k nk nk n

f z a a zz

− −=

= +∑ are un pol de ordinul în

.

k

0z =Deci, ( )f z are un pol de ordinul în k ∞ .

O funcţie întreagă f are un pol de ordinul în k ∞ dacă şi numai

dacă ( )( )lim 0,kz

f z A A Az→∞

= ≠ ≠ ∞ .

Mai mult, dacă ( )( )lim 0,kz

f z A A Az→∞

= ≠ ≠ ∞ , atunci ( )f z

este un polinom de gradul . k Astfel, o funcţie întreagă transcendentă nu poate avea un pol în

punctul de la infinit.


Adică, funcţiile întregi transcendente trebuie să aibă singularităţi esenţiale în punctul de la infinit.

Teorema Weierstrass arată că o funcţie întreagă transcendentă devine arbitrar de aproape de fiecare valoare complexă în afara oricărui cerc z R= .

Exemplu de sigularitate care nu este izolază

Funcţia ( )1( )

sin 1f z

z= are o singularitate în origine, deoarece

0lim ( )z

f z→

nu există. Punctele ( )1 1, 2, 3,nz nnπ

= = ± ± ± ⋅⋅⋅ sunt

singularităţi ale lui f . Oricare vecinătate punctată 0 z ε< < a

singularităţii 0z = conţine singularităţi ( )1nz nπ= ale lui ( )f z ,

deoarece lim 0nnz

→∞= .

Deci, originea este o sigularitate care nu este singularitate izolată a

funcţiei ( )1( )

sin 1f z

z= .

Reziduul unei funcţii analitice într-un punct singular izolat Dacă funcţia ( )f z este analitică într-o vecinătate punctată a lui

, atunci 0z ( )f z are o reprezentare în serie Laurent

( )0( ) nnn

f z a z∞

=−∞= − z∑ ,

cu ( )

( )10

1 ( ) 0, 1, 2,2n n

C

fa d ni z

ζ ζπ ζ += = ± ± ⋅⋅⋅

−∫ ,


unde este un contur simplu închis care înconjoară punctul şi este conţinut în vecinătatea punctată a lui . (Teorema lui Laurent).

C 0z

0z

Definiţie. Coeficientul 11 ( )

2 C

a fiπ− = ∫ z dz , din dezvoltarea în

serie Laurent a funcţiei ( )f z , se numeşte reziduul funcţiei ( )f z în punctul . 0z

Notăm ( )0 1Rez ;f z a−= . Notă. Ecuaţia 1( ) 2

Cf z dz i aπ −= ⋅∫ poate fi folosită pentru

calcularea unor integrale. Exemple. Fie C un contur simplu închis care înconjoară originea.

(1) 1 2z

C

e dz iπ=∫ ;

Din serie de puteri 12

1 112!

zez z

= + + + ⋅⋅⋅ , rezultă că 1 1a− = .

(2) 2

1sin 0C

dzz

=∫ ;

Din 3 5

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1sin3! 5!z z z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ⋅⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ , rezultă că 1 0a− = .

(3) 2 1sin3C

z dzz

iπ= −∫ ; Rezultă 1

16

a− = − din seria de puteri

2 23 5 3

1 1 1 1 1 1sin3! 5! 6 120

z z zz z z z z z

⎛ ⎞= − + − ⋅ ⋅ ⋅ = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ .


Teorema reziduului

Teorema reziduului generalizează formula 1( ) 2C

f z dz i aπ −= ⋅∫ .

Teorema reziduului. Fie ( )f z o funcţie analitică în interiorul unui contur simplu închis C şi pe acest contur, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate 1 2 3, , , , nz z z z⋅ ⋅ ⋅ din interiorul conturului C . Fie

( ) ( ) ( )1 2Rez ; , Rez ; , , Rez ; nf z f z f⋅ ⋅ ⋅ z

reziduurile funcţiei ( )f z în punctele 1 2 3, , , , nz z z z⋅ ⋅ ⋅ , respectiv. Atunci

( )1

( ) 2 Rez ;n

kkC

f z dz i f zπ=

= ⋅∑∫ .

Demonstraţie. În jurul singularităţilor , construim cercuri

exterioare două câte două, conţinute în interiorul conturului . kz kC

CDin teorema lui Cauchy pentru domeniu multiplu conex rezultă:

1 2

( ) ( ) ( ) ( )nC C C C

f z dz f z dz f z dz f z dz= + + ⋅⋅ ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫ .

Deoarece ( ) ( )( ) 2 Rez ; 1,2, ,

k

kC

f z dz i f z k nπ= ⋅ = ⋅⋅⋅∫ ,

ecuaţia de mai sus se reduce la formula

(1

( ) 2 Rez ;n

kkC

)f z dz i f zπ=

= ⋅∑∫ .


Observaţie. Formula integrală a lui Cauchy este un caz particular al formulei din teorema reziduului.

Justificare. Fie ( )f z o funcţie analitică în interiorul unui contur

simplu închis şi pe acest contur, care înconjoară punctul , cu condiţia

C 0z

0( ) 0f z ≠ .

Atunci funcţia 0

( )( ) f zg zz z

=−

are un pol simplu în şi 0z

( )01

( ) nn

n

g z a z z∞

=−

= −∑ .

Apoi,

( ) ( ) ( )20 1 0 0 1 0( )z z g z a a z z a z z−− = + − + − + ⋅⋅⋅ .

Reziduul funcţiei în este ( )g z 0z

( )0 0

1 0lim ( ) lim ( ) ( )z z z z

a z z g z f z f− → →= − = = 0z .

Astfel,

00

( ) ( ) 2 ( )C C

f z dz g z dz i f zz z

π= = ⋅−∫ ∫ .

Calculul reziduurilor

Metoda de bază pentru calcularea reziduului unei funcţii analitice ( )f z într-un punct singular izolat este dezvoltarea funcţiei în

serie Laurent într-o vecinătate punctată a lui (i.e. 0z

0z 00 z z r< − < )

şi determinarea coeficientului termenului ( )01 z z− din această dezvoltare.


Observaţie. Dacă o funcţie ( )f z este analitică într-o vecinătate punctată a unui punct şi dacă 0z ( )f z are un pol de ordinul k în , atunci reziduul lui 0z ( )f z în se calculează astfel: 0z

( ) ( ) ( )( )

0

1

0 01Rez ; lim ( )

1 !

kk

z zf z z z f z

k

−

→⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

.

Justificare. Fie ( )f z analitică, cu un pol de ordinul în . k 0zAtunci

( ) ( ) ( )1

0 0( ) ( )k n kn

n k

z z f z a z z g z z z−

+

=−

− = − + −∑ 0k ,

unde este o funcţie analitică în . ( )g z 0z

Diferenţiem apoi de 1k − ori şi calculăm valoarea în . 0z

Astfel, rezultă

( ) ( ) ( )( )

0

1

0 01Rez ; lim ( )

1 !

kk

z zf z z z f z

k

−

→⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

.

Există o altă metodă de calcul pentru reziduul unei funcţii ( )f z

într-un pol , dacă funcţia poate fi scrisă sub forma unui cât 0z( )( )( )

p zf zq z

= .

Propoziţie. Fie o funcţie de forma ( )( )( )

p zf zq z

= , unde ( )p z şi

sunt funcţii analitice în şi ( )q z 0z 0( ) 0p z ≠ .


(i) Dacă un pol simplu (0z 0( ) 0q z = şi 0( ) 0q z′ ≠ ) al funcţiei ( )f z , atunci reziduul lui ( )f z în polul simplu este dat de

formula 0z

00

0

( )Rez ( ; )( )

p zf zq z

=′

.

(ii) Dacă un pol dublu (0z 0 0( ) ( ) 0q z q z′= = şi 0( ) 0q z′′ ≠ ) al funcţiei ( )f z , atunci reziduul lui ( )f z în polul dublu este 0z

[ ]0 0

0 20 0

( ) ( ) ( )2Rez ( ; ) 2( ) 3 ( )

p z p z q zf zq z q z

0′ ′′′= −

′′ ′′.

Demonstraţie. Notăm că este punct singular izolat al lui 0z ( )f z

dacă şi numai dacă 0( ) 0q z = . (Aceata rezultă printr-un argument de continuitate şi din faptul că

zerourile unei funcţii analitice care nu este identic nulă sunt puncte izolate).

Dezvoltăm funcţiile ( )p z şi în serii Taylor într-un disc

centrat în şi obţinem, pentru

( )q z

0z 00 z z r< − < ,

( ) ( )( )

0 0 00

0 0 0

( ) ( )( )

( ) ( ) 2!p z p z z z

z z f zq z q z z z

′+ − + ⋅⋅⋅− =

′ ′′+ − + ⋅⋅⋅,

respectiv,

( ) ( )( )

2 0 0 00

0 0 0

( ) ( )( )

( ) 2! ( ) 3!p z p z z z

z z f zq z q z z z

′+ − + ⋅⋅⋅− =

′′ ′′′+ − + ⋅⋅⋅.

Astfel, rezultă că ( )0

00 0

0

( )Rez ( ; ) lim ( ) 0,( )z z

p zf z z z f zq z→

= − =′

≠


sau

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

0

0

00 0

0

0 0

0

Rez ; Rez ; lim

lim 0,

z z

z z

z z p zpf z zq q

p z p zq z q z q z

z z

→

→

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =− ′−

z

≠

respectiv,

( ) ( )[ ]0

2 0 0 00 0 2

0 0

( ) ( ) ( )2Rez ; lim ( ) 2 .( ) 3 ( )z z

p z p z q zf z z z f zq z q z→

′ ′′′′⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ′′ ′′

Exemple

(1) Funcţia cos( )sin

zf zz

= are punctele singulare izolate nz nπ=

. ( )0, 1, 2,n = ± ± ⋅⋅⋅ Fiecare din aceste puncte este pol simplu, iar reziduul funcţiei este

( ) ( )( ) cosRez ; 1 0, 1, 2,( ) sinn

p n nf z nq n n

π ππ π

= = = = ± ± ⋅⋅⋅′

.

(2) Funcţia ( )1( )

1zf zz e

=−

are un pol de ordinul al doilea în

origine. În acest caz, ( ) 1p z = , ( )( ) 1zq z z e= − , (0) 0q = , (0) 0,q′ =

(0) 2,q′′ = (0) 3q′′′ = .


Reziduul funcţiei în acest pol este

[ ]2

(0) 2 (0) (0) 1Rez ( ;0) 2(0) 3 2(0)

p p qfq q′ ′′′

= −′′ ′′

= − .

Calculul unor integrale complexe

Prezentăm acum câteva aplicaţii ale teoremei reziduului la calculul unor integrale complexe.

1. Calculăm integrala 1

( 3)C

dzz z −∫ , unde C este un contur

simplu închis oarecare.

Funcţia 1( )

( 3f z

z z=

)− are doi poli simpli 1 0z = şi 2 3z = .

Reziduul funcţiei f în 1 0z = este 0 0

1 1lim ( ) lim3 3z z

zf zz→ →

= = −−

,

iar reziduul în 2 3z = este 3 3

1 1lim( 3) ( ) lim3z z

z f zz→ →

− = = .

Analizăm toate cazurile posibile.

Dacă este interior şi 1 0z = 2 3z = este exterior conturului ,

atunci

C

1 12( 3) 3 3C

dz i iz z

2ππ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ .

Dacă este exterior şi 1 0z = 2 3z = este interior conturului C ,

atunci 1 12

( 3) 3 3Cdz i i

z z2ππ= ⋅ =

−∫ .


Dacă amândoi polii sunt interiori conturului , atunci C

( )11Rez ;3

f z = − şi ( )21Rez ;3

f z = .

Deci,

1 12

( 3) 3 3Cdz i

z zπ ⎛ ⎞1 0= − + =⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ .

2. Calculăm integrala ( )

4 3

317 21C

z z z dzz

− − +−∫ de-a lungul

unui contur simplu închis care conţine 0 1z = în interior.

Punctul este un pol de ordinul 3 pentru funcţia 0 1z =

( )

4 3

317 2( )1

z z zf zz

− − +=

−.

Atunci reziduul funcţiei f în pol se calculează astfel: 0 1z =

( ) ( )3 21 1 1

1 1lim 1 ( ) lim 12 6 32! 2z z

a z f z z− → →

′′⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ z = .

Deci,

( )

4 3

317 2 6 .1C

z z z dz iz

π− − +=

−∫


Evaluarea unor integrale reale folosind teorema reziduului

Reamintim că integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫ este, prin definiţie,

( )limR

aRf x dx

→∞ ∫ , dacă această limită există.

Aplicăm teorema reziduului la evaluarea unor integrale reale.

1. Calculăm 2

11

dxx

∞

−∞ +∫ .

Funcţia complexă 2

1( )1

f zz

=+

are poli simpli în 1z i= − şi

. 2z i=Considerăm conturul C format din segmentul real [ ],R R− , cu

, urmat de semicercul 1R > z R= din semiplanul superior (i.e. iz R e θ= , cu 0 θ π≤ ≤ ).

Atunci, în interiorul lui este numai polul C 2z i= . Reziduul funcţiei în acest pol simplu este dat de

1lim( ) ( )2z i

z i f zi→

− = .

Deci, 2

1 121 2C

dz iz i

π π= ⋅ =+∫ .

Avem 2 2 2 20

1 1 11 1 1

Ri

iR C

dx dz Rie dx z R e

πθ

θ θ−

= − ⋅+ + +∫ ∫ ∫ .


Observăm că

2 2 2 20 0

2 20

2

11 1

1

0.1

ii i

i

R

RRie d dR e R e

R dR e

RR

π πθ

θ θ

π

θ

θ θ

θ

π →∞

⋅ ≤ ≤+ +

≤ =−

= ⎯⎯⎯→−

∫ ∫

∫

Astfel rezultă că

2 2 2

1 1 1lim lim1 1 1

R

R RR C

dx dx dzx x z

π∞

→∞ →∞−∞ −

= = =+ + +∫ ∫ ∫ .

2. Calculăm 2

0

1cos

da b

π

θθ+∫ , pentru şi b , cu a a b> .

Deoarece 0 2θ π≤ ≤ , putem considera cercul unitate 1z = sau,

echivalent, iz e θ= .

Folosind definiţia funcţiei trigonometrice cos2

i ie eθ θ

θ−+

= şi

dz iz dθ= , 1iez

θ− = , obţinem 1cos

2z zθ +

= , sau cos2

z zθ += .


Atunci ( ) ( )

2

0 1

1 1cos 2 1z

izd da b a b z z

π

θθ =

=+ +∫ ∫ z

+.

Funcţia

( ) ( ) 2

1 2 1( )2 1 2

izf za b z z i bz az b

= = ⋅+ + + +

are doi poli simpli:

2 2

1a a bz

b− + −

= şi 2 2

2a a bz

b− − −

= .

Polul este în interiorul cercului unitate, iar polul este în

exteriorul cercului unitate.

1z 2z

Avem

( ) ( )1

1 1 2 2

1 1Rez ; lim ( )z z

f z z z f zi a b→

= − = ⋅−

.

În fine,

( )( )

2

2 20 1

1 1cos 2 1z

izd dza b a b z z a b

π πθθ =

= =+ + +

2−

∫ ∫ .


B I B L I O G R A F I E

1. Ahlfors, Lars V.: Complex Analysis, McGraw-Hill, New York,

1966.

2. Boboc, Nicu: Funcţii complexe, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1969.

3. Conway, John B.: Functions of one Complex Variable, Springer

Verlag, Berlin, 1973.

4. Churchill, Ruel V., Brown, James W., and Verhey, Roger F.:

Functions of complex variables, McGraw-Hill, Inc., 1974.

5. Lang, Serge: Complex Analysis, Addison-Wesley, Reading, 1977.

6. Markusevici, A. I.: The Theory of Analytic Functions: A Brief

Course, Mir Publisher, 1983.

7. Mayer, Octav: Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, Editura

Academiei, Bucureşti, 1981.

8. Mocanu, Gheorghe: Introducere în teoria funcţiilor complexe,

Editura Universităţii din Bucureşti, 1996.

9. Silverman, Herb: Complex Variables, Houghton Mifflin

Company, Boston, 1975.

10. Stoka, Marius: Funcţii de variabilă reală şi funcţii de variabilă complexă, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964.

Documents

Complex Analysis