Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema … · Aproximación de funcionesInterpolaciónInt. Segm. Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema 2. Interpolación polinómica

Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.

Complementos de Matemáticas, ITT TelemáticaTema 2. Interpolación polinómica

Rafael Bravo de la Parra

Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá

Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica

Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios

Índice

1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios

2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite

3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos



Aproximación de funciones

Aproximar una función f consiste en reemplazarla por otra f̃ pareciday que tenga una forma más simple.Este proceso requiere especificar en qué consiste el parecido y cuál esla clase de funciones más simples entre las que se busca f̃ .

Interpolación polinómicaEn este tema utilizaremos el tipo de aproximación denominadointerpolación y la clase de funciones simples que utilizaremos seránlos polinomios.



Aplicaciones

En el Tema 1 hemos hablado de métodos interpolatorios: el método de Newtono el de la secante se basan en la interpolación lineal.

En el Tema 3 utilizaremos la interpolación polinómica para obtener fórmulasde integración numérica.

Funciones conocidas solo para algunos valores.

CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA

AÑO No HABITANTES AÑO No HABITANTES1594 8.206.791 1930 23.677.0951769 9.159.999 1940 26.014.2781787 10.268.150 1950 28.117.8731797 10.541.221 1960 30.582.9361833 12.286.941 1970 33.956.0471846 12.162.872 1981 37.742.5611857 15.464.340 1991 39.433.9421877 16.622.175 2001 40.499.7911887 17.549.608 2006 44.708.9641900 18.616.630 2007 45.200.7371910 19.990.669 2008 46.063.5111920 21.388.551 2009 46.745.807

¿Cómo estimar la población en instantes distintos de los de la tabla?



CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA

Datos conocidos desde 1900

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Año (+1900)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Millones de Habitantes

Interpolación lineal entre cada dos datos

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Año (+1900)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110




Índice






Resultados fundamentales

Polinomio de grado n: pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 (an 6= 0)

Teorema

Si pn es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces pn(x) = 0 tiene al menos una raíz(posiblemente compleja).

Teorema

Sea pn es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces existen constantes x1, x2, . . . , xk,posiblemente complejas, y enteros positivos m1,m2, . . . ,mk, tales quem1 + m2 + . . .+ mk = n verificando:

pn(x) = an(x− x1)m1 (x− x2)

m2 · · · (x− xk)mk .

Teorema

Sean pn y qn dos polinomios de grado menor o igual que n. Si existen x1, x2, . . . , xk,con k > n, números distintos tales que pn(xi) = qn(xi), i = 1, . . . , k, entoncespn(x) = qn(x) para todo x.



Evaluación de polinomios

pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

Se necesitan menos operaciones para evaluarlo en un punto x0 si se escribe:

pn(x) = a0 + x(a1 + x(· · · (an−2 + x(an−1 + xan)) · · · ))

Algoritmo de Horner para evaluar pn(x0)

bn−1 = an

bk = ak+1 + x0bk+1 (k = n− 1, n− 2, . . . , 0,−1)

Entonces: pn(x0) = b−1

Además si llamamos

qn−1(x) = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · ·+ b1x + b0

se tiene quepn(x) = (x− x0)qn−1(x) + b−1

y, por tanto,p′n(x0) = qn−1(x0)


Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite

Índice






Problema de interpolación de TaylorProblema de interpolación de Taylor

Dados un entero n no negativo, un punto x0 ∈ R y los valores f (x0), f ′(x0),...,f (n)(x0) de una función y sus n primeras derivadas en x0, encontrar un polinomioP(x) de grado ≤ n tal que

P(x0) = f (x0), P′(x0) = f ′(x0), ..., P(n)(x0) = f (n)(x0).

Teorema

El problema de interpolación de Taylor tiene solución única, que se denominapolinomio de Taylor de grado ≤ n de la función f en el punto x0:

P(x) = f (x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(x0)(x− x0)

2

2!+ ...+ f (n)(x0)

(x− x0)n

n!

Teorema

Para n > 1 sea f (x) una función n veces derivable en x0. El polinomio de TaylorP(x) verifica que:

l«ımx−→x0

f (x)− P(x)

(x− x0)n = 0

con la notación o pequeña de Landau f (x)− P(x) = o((x− x0)n) para x→ x0.

Además, P(x) es el único polinomio de grado ≤ n con esta propiedad.Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica


Problema de interpolación de Taylor

Error del polinomio interpolador de Taylor

Teorema

Sean x y x0 dos números reales distintos y f (x) una función con n derivadascontinuas en un intervalo conteniendo a x y x0, en el que también existe f (n+1).Entonces existe un punto ξ entre x y x0 tal que:

f (x)− P(x) = f (n+1)(ξ)(x− x0)

(n+1)

(n + 1)!

Corolario

Además de las hipótesis del teorema supongamos que para cada t entre x y x0 severifica que |f (n+1)(t)| ≤ Kn+1 constante, entonces:

|f (x)− P(x)| ≤ |x− x0|(n+1)Kn+1

(n + 1)!.



Índice






Problema de interpolación de Lagrange

Problema de interpolación de Lagrange

Dados un entero n no negativo, n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R distintos dos a dos y loscorrespondientes valores f (x0),..., f (xn) de una función, encontrar un polinomio P(x)de grado ≤ n tal que

P(x0) = f (x0), P(x1) = f (x1), ..., P(xn) = f (xn).

Teorema

El problema de interpolación de Lagrange tiene solución única, que se denominapolinomio interpolador de Lagrange de grado ≤ n de la función f en los puntosx0, . . . , xn.



Polinomio interpolador de Lagrange

x 1 6 7 8 9f (x) 40.499791 44.708964 45.20073699 46.06351099 46.74580699

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5Año (+2000)

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Millones de habitantes




x 1 6 7 8 9f (x) 40.499791 44.708964 45.20073699 46.06351099 46.74580699

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5Año (+2000)

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Millones de habitantes

P(x) = −0,01584350508 x4 + 0,3833919843 x3 − 3,191897163 x2 + 10,80272723 x + 32,52141243




n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R, distintos dos a dos, y los valores f (x0),..., f (xn)P(x) = a0 + a1 x + · · ·+ an−1 xn−1 + an xn

Coeficientes Indeterminadosa0 + a1 x0 + · · ·+ an−1 xn−1

0 + an xn0 = f (x0)

a0 + a1 x1 + · · ·+ an−1 xn−11 + an xn

1 = f (x1)...

...a0 + a1 xn + · · ·+ an−1 xn−1

n + an xnn = f (xn)

Forma de Lagrange

Polinomios base de Lagrange, Lj(x), j = 0, . . . , n

Lj(x) =(x− x0) · . . . · (x− xj−1) · (x− xj+1) · . . . · (x− xn)

(xj − x0) · . . . · (xj − xj−1) · (xj − xj+1) · . . . · (xj − xn)=

n∏i=0i 6=j

x− xi

xj − xi

Expresión explícita del polinomio interpolador

P(x) = f (x0)L0(x) + f (x1)L1(x) + · · ·+ f (xn)Ln(x) =n∑

j=0

f (xj)

n∏i=0i 6=j

x− xi

xj − xi



Ejemplo

x 0 1 2sen(x) 0 0.841570 0.909297

sen (0,5) = 0,479426

Interpolando en 0 y 1 se obtiene

p1(x) = 0x− 10− 1

+ 0,841570x− 01− 0

.

Interpolando en 0, 1 y 2 se obtiene

p2(x) = 0(x− 1) (x− 2)

(0− 1) (0− 2)+ 0,841570

(x− 0) (x− 2)

(1− 0) (1− 2)+ 0,909297

(x− 0) (x− 1)

(2− 0) (2− 1)

x = 0,5p1(x) 0.420736p2(x) 0.517441



Ejemplo

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

sen(x)p

2(x)

p1(x)

punto



Fórmula del error

Teorema

Sea f ∈ Cn[a, b] y tal que f (n+1) existe en (a, b). Sean x0,x1, . . ., xn puntos distintosde [a, b] y sea P el polinomio interpolador de Lagrange de la función f en dichospuntos. Entonces, para cada x ∈ [a, b] existe un ξx conm«ın (x0, . . . , xn, x) < ξx < m«ax (x0, . . . , xn, x) tal que

f (x)− P(x) =(x− x0) . . . (x− xn)

(n + 1)!f (n+1)(ξx).

Corolario

En las hipótesis del teorema, si∣∣∣f (n+1)(x)

∣∣∣ ≤ Kn+1 para todo x ∈ [a, b] entonces

|f (x)− P(x)| ≤ |x− x0| . . . |x− xn|Kn+1

(n + 1)!.



Ejemplo

x 0 1 2sen(x) 0 0.841570 0.909297

sen (π/4) = 0,707107

Interpolando en 0 y 1 se obtiene p1(x) = 0,841570 x.

Interpolando en 0 y 2 se obtiene q1(x) = 0,454648 x.

Interpolando en 0, 1 y 2 se obtienep2(x) = 1,22849 x− 0,386921 x2.

Valor en x = π/4 Error Estimación del errorp1(x) 0,660520 0,046587 0,084273q1(x) 0,357356 0,349751 0,476973p2(x) 0,725748 0,018641 0,034119



Error en la interpolación lineal

Interpolación Lineal

Sea f ∈ C2([a, b]) y llamemos h = b− a.Si conocemos una cota M2 de |f ′′(x)| en [a, b] entonces el errorcometido al usar interpolación lineal con x0 = a y x1 = b se puedeacotar:

|f (x)− p1(x)| ≤|(x− x0)(x− x1)|

2M2.

y calculando el máximo el máximo de |(x− x0)(x− x1)| en [a, b] sereduce a

|f (x)− p1(x)| ≤h2

8M2 para todo x ∈ [a, b]



Índice






Forma de Newton. Construcción por recurrencia

Entero n ≥ 1, n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R distintos y una función f definida en ellos.

P(x) = pn−1(x) + qn(x)

= pn−1(x) + cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)

= pn−2(x) + qn−1(x) + cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)

= pn−2(x) + cn−1 (x− x0) · . . . · (x− xn−2)

+cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)

= · · ·

P(x) = c0

+c1 (x− x0)

+c2 (x− x0)(x− x1)· · ·+cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)



Diferencias divididas de una función.Entero n ≥ 1, n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R distintos y una función f definida en ellos.

Definición

Se denomina diferencia dividida de la función f en los puntos x0, . . . , xn alcoeficiente de xn en el desarrollo en potencias de x del correspondiente polinomiointerpolador de Lagrange.Esta diferencia dividida se representa mediante f [x0, . . . , xn].El entero n se llama orden de la diferencia dividida.

El valor de una diferencia dividida es independiente del orden en que seescriban sus argumentos. Para cualquier permutación σ:

f [x0, x1, . . . , xn] = f [xσ(0), xσ(1), . . . , xσ(n)].

Los coeficientes ci que aparecen en la forma de Newton del polinomiointerpolador son diferencias divididas de la función:

P(x) = f [x0]

+f [x0, x1] (x− x0)

+f [x0, x1, x2] (x− x0)(x− x1)· · ·+f [x0, x1, . . . , xn] (x− x0) · . . . · (x− xn−1)



Cálculo de las diferencias divididas

Teorema

Si x0, . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definidaentonces

f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]

xn − x0




Teorema


f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]

xn − x0

x0 f [x0] = f (x0)

p0(x) = f [x0]




Teorema


f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]

xn − x0

x0 f [x0] = f (x0)

x1 f [x1] = f (x1) f [x0, x1] =f [x1]− f [x0]

x1 − x0

p1(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0)




Teorema


f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]

xn − x0

x0 f [x0] = f (x0)

x1 f [x1] = f (x1) f [x0, x1] =f [x1]− f [x0]

x1 − x0

x2 f [x2] = f (x2) f [x1, x2] =f [x2]− f [x1]

x2 − x1f [x0, x1, x2] =

f [x1, x2]− f [x0, x1]

x2 − x0

p2(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1)




Teorema


f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]

xn − x0

x0 f [x0] = f (x0)x1 f [x1] = f (x1) f [x0, x1]x2 f [x2] = f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

x3 f [x3] = f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] =f [x1, x2, x3]− f [x0, x1, x2]

x3 − x0

p3(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1)

+ f [x0, x1, x2, x3](x− x0)(x− x1)(x− x2)



Ejemplo, Censo español siglo XXI.

Datos

Año 1 6 7 8 9Hab. (106) 40,499791 44,708964 45,200737 46,063511 46,745807

Tabla de diferencias

1 40,4997916 44,708964 0,84183467 45,200737 0,491773 -0,05834368 46,063511 0,862774 0,1855005 0,0348348719 46,745807 0,682296 -0,090239 -0,091913167 -0,015843505

Polinomio de grado 4, forma de Newton

p3(x) = 40,499791 + 0,8418346(x− 1)−0,0583436(x− 1)(x− 6)+ 0,034834871(x− 1)(x− 6)(x− 7)−0,015843505(x− 1)(x− 6)(x− 7)(x− 8).



Índice






Convergencia de los polinomios de interpolación

f función definida en el intervalo [a, b].

Consideramos una sucesión de puntos de interpolación en [a, b] cada vez más densa:

Elegimos x(0)0 ∈ [a, b], interpolamos y obtenemos p0(x) = f (x(0)

0 ).

Elegimos x(1)0 , x(1)

1 ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p1(x).

Elegimos x(2)0 , x(2)

1 , x(2)2 ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p2(x).

· · ·Elegimos x(n)

0 , x(n)1 , . . . , x(n)

n ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos pn(x).

¿Se cumple que l«ımn→∞

pn(x) = f (x) para x ∈ [a, b]?

Aumentar el grado de los polinomios de interpolación no siempre es aconsejable.



Ejemplo de Runge

f (x) =1

1 + x2 en el intervalo [−5, 5]

Para cada n = 1, 2, . . . se interpola en n + 1 abcisas equiespaciadas en [−5, 5]:x(n)

i = −5 + 10i/n, i = 0, 1, . . . , n y se obtiene el polinomio interpolador pn(x).Se tiene que l«ım

n→∞|pn(x)− f (x)| =∞ para |x| > 3,63.

−5 0 5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Función de Rungep

5(x)

p10

(x)



Convergencia de los polinomios interpolantes

Teorema (Faber)

Para cualquier sucesión de nodos en las condiciones definidas anteriormente, existeuna función continua f tal que

l«ımn→∞

(m«ax

x∈[a,b]‖pn(x)− f (x)‖

)=∞.

Teorema (Marcinkiewicz)

Para cada f ∈ C([a, b]), existe una disposición de nodos de interpolación en [a, b],como la definida anteriormente, para la que los polinomios de interpolación pn(x)verifican que

l«ımn→∞

(m«ax

x∈[a,b]‖pn(x)− f (x)‖

)= 0.



Índice






Interpolación de Hermite

Problema de interpolación de Hermite

Dados una función f , k veces derivable en el intervalo [a, b],n + 1 puntos distintos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] yn + 1 números naturales m0,m1, . . . ,mn, con mi ≤ k para i = 0, . . . , n,encontrar un polinomio pN(x) de grado menor o igual queN = m0 + m1 + . . .+ mn + n tal que

f (xi) = pN(xi), f ′(xi) = p′N(xi), . . . , f (mi)(xi) = p(mi)N (xi) para i = 0, . . . , n.

En este caso se dice que pN(x) interpola a f (x) en

m0+1︷︸︸︷x0, . . . , x0 ,

m1+1︷︸︸︷x1, . . . , x1 , . . . ,

mn+1︷︸︸︷xn, . . . , xn

Teorema

El problema de interpolación de Hermite tiene una solución y ésta es única



Interpolación de Hermite: casos particulares

En el caso n = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomio de Taylor de gradom0.

En el caso m0 = m1 = · · · = mn = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomiointerpolador de Lagrange.

El caso m0 = m1 = · · · = mn = 1 se denomina polinomio de Hermiteestricto.



Interpolación de Hermite: Fórmula del error

Teorema

Sean x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] n + 1 puntos distintos, m0,m1, . . . ,mn n + 1 númerosnaturales, y f ∈ CN([a, b]) y tal que existe f (N+1) en (a, b) conN = m0 + m1 + . . .+ mn + n. Si pN(x) es el polinomio interpolador de Hermiteasociado entonces para cada x ∈ [a, b] existe un punto ξx tal quem«ın(x0, . . . , xn, x) < ξx < m«ax(x0, . . . , xn, x) verificando

f (x)− pN(x) =(x− x0)

m0+1 . . . (x− xn)mn+1

(N + 1)!f (N+1)(ξx).

Corolario

En las hipótesis del teorema, si∣∣∣f (N+1)(x)

∣∣∣ ≤ KN+1 para todo x ∈ [a, b] entonces

|f (x)− PN(x)| ≤ |x− x0|m0+1 . . . |x− xn|mn+1KN+1

(N + 1)!.



Interpolación de Hermite: Diferencias Divididas con Nodos Repetidos

m0+1︷︸︸︷x0, . . . , x0 ,

m1+1︷︸︸︷x1, . . . , x1 , . . . ,

mn+1︷︸︸︷xn, . . . , xn

Supongamos que xi < xi+1 para i = 0, . . . , n− 1 y renombremos la sucesión anteriorcomo zi con i = 0, . . . ,N donde N = n + m0 + m1 + . . .+ mn

Teorema

En las condiciones anteriores el polinomio interpolador de Hermite se puedeescribir como:

pN(x) = f [z0] +N∑

k=1

f [z0, z1, . . . , zk](x− z0)(x− z1) · · · (x− zk−1)

donde:

f [zi, . . . , zj] =

f (j−i)(zi)

(j− i)!, zj = zi (⇔ zl = zi , i ≤ l ≤ j)

f [zi+1, . . . , zj]− f [zi, . . . , zj−1]

zj − zi, zj 6= zi



Ejemplo

f (x) = cos x, [0, 1], x0 = 0, x1 = 1, m0 = 2 y m1 = 1

z0 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 1 y z4 = 1

p4(x) = f [z0] + f [z0, z1](x− z0) + f [z0, z1, z2](x− z0)(x− z1) + f [z0, z1, z2, z3](x− z0)(x− z1)(x− z2)

+ f [z0, z1, z2, z3, z4](x− z0)(x− z1)(x− z2)(x− z3)

0 10

0 1 −0,50 0.0403

0 1 −0,4597 0,037622−0,4597 0,0779

1 0,5403 −0,38177−0,84147

1 0,5403

p4(x) = 1− 0,5 x2 + 0,0403 x3 + 0,037622 x3(x− 1)


Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

Índice






Interpolación lineal segmentaria

Definición

Dado [a, b] y una partición ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Denotamos conL(x) a una función que verifica: L(x) ∈ C([a, b]) y, para cada [xi−1, xi],i = 1, . . . , n, L(x) restringida a [xi−1, xi] coincide con un polinomio de gradomenor o igual que 1.

L(x) interpola a los datos (xi, yi) (i = 0, . . . , n) si verifica

L(xi) = yi (i = 0, . . . , n)

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Año (+1900)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110




Interpolación lineal segmentaria

Evaluación

Localizar el intervalo tal que x ∈ [xi, xi+1]. (Algoritmo de localización)

L(x) = yi + (x− xi)yi+1 − yi

xi+1 − xi, xi ≤ x ≤ xi+1, i = 0, . . . n− 1.

Error

Si yi = f (xi) con f ∈ C2[a, b]:

|L(x)− f (x)| ≤ 18

h2 m«axx∈[x0,xn]

∣∣f ′′(x)∣∣ = O(h2)

donde h es la distancia máxima entre dos nodos adyacentes

Derivada

L′(x) =yi+1 − yi

xi+1 − xi, xi < x < xi+1, i = 0, 1, . . . n− 1.

|L′(x)− f ′(x)| = O(h), x 6= xi, x0 < x < xn.



Función de Runge f (x) = 11+x2

L(x) interpolante lineal segmentaria determinado en n + 1 nodos equidistantes

−5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1f(x)L

10(x)

L4(x)

Nodos L4

Nodos L10

xj = −5 + j10n

, j = 0, 1, . . . , n

n ‖f − L‖∞50 9.33e-03100 2.46e-03200 6.22e-04400 1.50e-04800 3.75e-05

1600 9.37e-063200 2.34e-066400 5.86e-07



Interpolación de Lagrange vs segmentaria

Coste de evaluación en un punto

Lagrange: se incrementa con el número de datos.

Segmentaria: no crece con el número de nodos.

Convergencia uniforme

Lagrange: no está garantizado.

Segmentaria: si

Derivabilidad

Lagrange: Indefinidamente derivable.

Segmentaria: Sólo continua.



Índice






Interpolación cúbica de Hermite a trozos

Definición

Dado [a, b] y una partición ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Denotamos conC(x) a una función que verifica: C(x) ∈ C1([a, b]) y, para cada [xi−1, xi],i = 1, . . . , n, C(x) restringida a [xi−1, xi] coincide con un polinomio de gradomenor o igual que 3.

C(x) interpola a la función f (x) si verifica

C(xi) = f (xi) y C′(xi) = f ′(xi) (i = 0, . . . , n)

La fórmula del error para interpolación de Hermite:

|C(x)− f (x)| ≤ h4

384m«ax

x∈[x0,xn]|f (4)(x)|, x0 < x < xn

|C(x)− f (x)| = O(h4), x0 < x < xn.|C′(x)− f ′(x)| = O(h3), x0 < x < xn.|C′′(x)− f ′′(x)| = O(h2), x0 < x < xn x 6= xi.|C′′′(x)− f ′′′(x)| = O(h), x0 < x < xn x 6= xi.



Ejemplo

Interpolación cúbica de Hermite a trozos

x 0 1 2f (x) = sen(x) 0 0.841470 0.909297f ′(x) = cos(x) 1 0.540302 -0.416146

C(x) =

{x− 0,1585x2 − 0,1426x2(x− 1) si x ∈ [0, 1]0,8414 + 0,5403(x− 1)− 0,4724(x− 1)2 − 0,0115(x− 1)2(x− 2) si x ∈ [1, 2]

El error que se comete es menor que 1/384.Por ejemplo sen (π/4) = 0,707107 y C(π/4) = 0,706491


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Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema … · Aproximación de funcionesInterpolaciónInt. Segm. Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema 2. Interpolación polinómica