Compiti_SdC_16_ottobre_2010

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI - Compito 1

Lo studente è tenuto a dedicare 30 minuti alla soluzione di ogni esercizio

Per la sufficienza, occorre rispondere positivamente alla prima domanda di ogni esercizio

ESERCIZIO 1

Per la struttura isostatica in figura:

a) definire tratto per tratto la curva delle pressioni e tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione: momento flettente M, taglio T e sforzo assiale N;

b) calcolare il momento di incastro in A con il metodo delle catene cinematiche.

c) Impostare il calcolo per la rotazione relativa della cerniera in B mediante il Principio dei lavori virtuali.

ESERCIZIO 2

a) Risolvere la struttura reticolare di figura determinando gli sforzi nelle aste, impiegando i metodi dei nodi e delle sezioni.

b) Valutare l’energia elastica del sistema.

c) Calcolare lo spostamento del punto C e l’energia potenziale totale del sistema.

ESERCIZIO 3

a) Calcolare la posizione dell’asse neutro e tracciare il diagramma della tensione associata alla forza N di trazione.

b) Definire il nocciolo centrale d’inerzia.

c) Valutare il carico massimo Nmax che si può applicare alla sezione supponendo amm=160 N/mm2.

ESERCIZIO 4

La trave è costituita da due tratti a sezione circolare di diametro D1=1 cm, D2=2 cm e risulta sollecitata da una trazione uniforme p=50 N/mm2.

a) Calcolare e rappresentare graficamente per ciascuno dei tratti i diagrammi dello sforzo assiale N=N(z), della tensione =(z), della deformazione =(z) e dello spostamento w=w(z) assumendo come modulo elastico del materiale E=2,1x105

N/mm2.

b) Calcolare l’energia elastica del sistema considerando tutti i contributi delle deformazioni.

c) Esprimere l’energia potenziale totale del sistema. N.B. Non si possono chiedere chiarimenti relativi alla soluzione degli esercizi. Se qualche cosa non è chiara, oppure

mancano dei simboli, lo studente può operare coerentemente con le ipotesi introdotte personalmente.

Nome_________________________ Cognome_____________________________ N.matr.______________

A

L L

2L

16 – 10 – 2010

q

2B

B = 2 cm, b = B/10

σam= 160 N/mm2

B

B

2B B B

N

B

L

F

2L

C

z

x

O L=50 cm

p

L=50 cm

D1 = 1 cm, D2 = 2 cm



Per la sufficienza, occorre rispondere positivamente alla prima domanda di ogni esercizio ESERCIZIO 1



b) calcolare le reazioni del vincolo in B con il metodo delle catene cinematiche.

c) Scrivere la formula e valutare l’energia potenziale totale del sistema ESERCIZIO 2

a) Risolvere la struttura iperstatica e disegnare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione, supponendo la sollecitazione esterna costituita da un carico uniformemente distribuito applicato al tratto BC.

b) Calcolare la rotazione del nodo D.

c) Disegnare la deformata elastica della struttura. ESERCIZIO 3 Per lo stato piano di tensione rappresentato a fianco:

a) calcolare la componenti principali di tensione e l’angolo di rotazione tra l’asse X e la normale alla giacitura su cui è applicata la componente principale di tensione massima.

b) Calcolare il valore massimo della tensione tangenziale e l’angolo tra l’asse X e la normale alla giacitura corrispondente alla massima tensione tangenziale.

c) Rappresentare lo stato di tensione assegnato nel piano di Mohr, indicando i punti corrispondenti alle giaciture individuate ai punti a) e b).

ESERCIZIO 4 Si consideri un filo BC d’acciaio di lunghezza L e sezione retta circolare di area A, sollecitato da un carico distribuito con legge triangolare lungo l’altezza del filo. Indicata con q0 l’ordinata massima del carico triangolare: a) ricavare e rappresentare il campo di spostamento w=w(z), il campo di deformazione

( )z , il campo di tensione ( )z , nonchè il diagramma dello sforzo

assiale N=N(z), assumendo:

L = 3 m, A = 5 cm2, E = 2,1*105 N/mm2, 0 10 kN/mq

b) Calcolare l’energia potenziale totale del sistema.

N.B. Non si possono chiedere chiarimenti relativi alla soluzione degli esercizi. Se qualche cosa non è chiara, oppure mancano dei simboli, lo studente può operare coerentemente con le ipotesi introdotte personalmente.


B

L L

L

L

F

16 – 10 – 2010

C

B

L L L

q L

x = -13 N/mm2 y = 3 N/mm2 xy = 6 N/mm2

x

y

xy

x

y

B

D

A

B

C

L

0

z

q0


Lo studente è tenuto a dedicare 30 minuti alla soluzione di ogni esercizio Per la sufficienza, occorre rispondere positivamente alla prima domanda di ogni esercizio

ESERCIZIO 1



b) calcolare le reazioni del vincolo in B con il metodo delle catene cinematiche;

c) scrivere l’espressione dell’energia potenziale totale del sistema. ESERCIZIO 2

a) Risolvere la struttura iperstatica di figura mediante il metodo delle forze; tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione e disegnare la deformata elastica.

b) Valutare la rotazione delle sezioni in A e in B.

c) Risolvere la struttura con il metodo delle deformazioni. ESERCIZIO 3 Data la trave isostatica di figura, la cui generica sezione è rappresentata al di sotto mediante la sua linea media di spessore costante b , soggetta ad uno sforzo assiale N applicato nel baricentro della sezione: a) valutare i massimi carichi ammissibili a trazione (N>0) e a compressione (N < 0) assumendo:

L = 2 m; B = 5 cm; b=B/10; E=2,1*105 N/mm2 ; amm=160 N/mm2 ; Valutare i massimi carichi come al punto a), nel caso in cui: b) il vincolo in C sia un incastro;

c) il vincolo in C sia un doppio pendolo.

ESERCIZIO 4 Assegnato il campo di spostamento:

u=u(x,y,z)=3x2y2+2yx, v=v(x,y,z)=-y2x+3y, w=w(x,y,z)=0 1) calcolare le componenti del tensore di deformazione e verificare se lo stato di deformazione è piano.

2) Calcolare le componenti di tensione nel punto 0 1, 2,1P supposto il materiale omogeneo, isotropo ed elastico lineare,

assumendo E=2,1*105 N/mm2 e v = 0.3.

N.B. Non si possono chiedere chiarimenti relativi alla soluzione degli esercizi. Se qualche cosa non è chiara, oppure

mancano dei simboli, lo studente può operare coerentemente con le ipotesi introdotte personalmente.


BB

2B

s

sezione

16 – 10 – 2010

B

L

L

F

L L L

L

N

L L L

A M

B

C D



Per la sufficienza, occorre rispondere positivamente alla prima domanda di ogni esercizio

ESERCIZIO 1

Per la struttura isostatica di figura:

a) definire la curva delle pressioni e tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione.

b) Impostare il calcolo per valutare lo spostamento verticale del punto B mediante il Principio dei Lavori Virtuali, dopo aver tracciato il diagramma del momento fittizio.

ESERCIZIO 2

a) Risolvere la struttura iperstatica di figura mediante il metodo delle forze o delle deformazioni e considerando la deformabilità assiale dei due pendoli CB e BD come indicato, essendo E il modulo elastico e A l’area della sezione retta delle aste.

b) Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione e disegnare la deformata elastica nei due casi di: EA e EA 0.

c) Impostare la soluzione della struttura impiegando il Principio dei lavori virtuali.

ESERCIZIO 3 Per la trave appoggiata agli estremi e sollecitata dalla forza F in mezzeria come mostrato in figura:

a) valutare lo spostamento verticale nella mezzeria C e la rotazione agli appoggi mediante il Principio dei Lavori Virtuali.

b) Calcolare la rotazione in A con il teorema di Castigliano

c) Calcolare lo spostamento in C attraverso il teorema di Clapeyron. ESERCIZIO 4 Sia assegnata la funzione delle tensioni di Prandtl

= 2,5x2 + 0,4y2 -10

per la sezione ellittica del cilindro di Saint-Venant sollecitato a torsione dal momento torcente Mz.

a) Calcolare il tensore di sforzo e il tensore di deformazione in corrispondenza del generico punto (x,y,z) del solido cilindrico.

b) Determinare l’angolo unitario di torsione e il campo di spostamento u, v, w.

c) Definire i semidiametri dell’ellisse, il valore del momento torcente e la funzione di ingobbimento.



16 – 10 – 2010

L L

B

q

L

L

B

L q EA

EA 2L

C

D

C

L/2 L/2

A B

F



ESERCIZIO 1




c) Scrivere la formula per valutare l’energia potenziale totale del sistema. ESERCIZIO 2

a) Risolvere la struttura iperstatica con il metodo delle forze e disegnare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione, supponendo la sollecitazione esterna costituita da una distorsione termica a farfalla applicata al tratto BC. Sia h l’altezza della sezione della trave.

b) Calcolare lo spostamento verticale del punto A.

c) Impostare la soluzione della struttura con il Principio dei lavori virtuali.

ESERCIZIO 3

Per la struttura isostatica di figura sollecitata dal carico uniformemente distribuito q applicato al tratto CD, della trave infinitamente rigida a flessione CB:

a) determinare il massimo valore di q sopportabile dal pilastro HB costituito da un tubolare quadrato, di spessore b=B/10, di cui in figura è rappresentata e quotata la linea media, assumendo:

L =2 m; B=5 cm;

E=2,1*105 N/mm2 ; amm=160 N/mm2 .

Valutare il massimo carico sopportabile dal pilastro nel caso in cui:

b) l’appoggio in C sia una cerniera fissa;

c) l’appoggio in C e l’incastro in H siano considerati come cerniere fisse.

ESERCIZIO 4

La trave è costituita da due tratti a sezione circolare di diametro D1=1 cm, D2=2 cm e risulta sollecitata da una trazione uniforme p=50 N/mm2.

a) Calcolare e rappresentare graficamente per ciascuno dei tratti i diagrammi dello sforzo assiale N=N(z), della tensione =(z), della deformazione =(z) e dello spostamento w=w(z) assumendo come modulo elastico del materiale E=2,1x105

N/mm2.

b) Calcolare l’energia elastica del sistema considerando tutti i contributi delle deformazioni.

c) Esprimere l’energia potenziale totale del sistema.



B

Bsezione

16 – 10 – 2010

C B +T

-T

L L L

h

A

B C

q

L L

H

D

2L

B

L L

L

L

q

z

x

O L=50 cm

p

L=50 cm

D1 = 1 cm, D2 = 2 cm



ESERCIZIO 1




c) Impostare il calcolo per la rotazione relativa in C mediante il Principio dei lavori virtuali.

ESERCIZIO 2 a) Risolvere la struttura iperstatica con il metodo delle forze e

disegnare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione, supponendo la sollecitazione esterna costituita da una coppia concentrata di modulo pari a M applicata in B.

b) Calcolare la rotazione della sezione in C. c) Risolvere la struttura con il metodo delle deformazioni. ESERCIZIO 3 a) Risolvere la struttura iperstatica impiegando l’equazione della

linea elastica e tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione.

b) Sollecitare la sezione della trave, di cui in figura è rappresentata la linea media di spessore costante b=B/10, con il taglio massimo dello schema risolto in a) applicato all’asse di simmetria della sezione e calcolare la tensione tangenziale massima.

c) Sollecitare la sezione con il momento flettente massimo dello schema risolto in a) il cui asse vettore risulta ortogonale all’asse di simmetria della sezione e disegnare il diagramma della tensione normale.

Assumere:

L =2 m; q=500 N/m B=5 cm.

ESERCIZIO 4 Nel generico punto P=(x,y,z) di un solido deformabile sia definito il campo di spostamento:

u=x2+2y, v=x+3y2, w=x+yz+3z2 (1) a) Calcolare il tensore di deformazione e, supponendo il materiale elastico-lineare omogeneo ed isotropo, ricavare il corrispondente

tensore degli sforzi. Valutare gli invarianti lineari di tensione e di deformazione.

b) Valutare gli invarianti quadratici e cubici di tensione e di deformazione e verificare che lo stato di deformazione definito da u e v in (1) è piano.

c) Esprimere la densità di energia elastica in termini misti, in funzione delle sole componenti di tensione e di deformazione, nonché in funzione delle componenti di spostamento. Controllare che lo stato di tensione corrispondente al campo u e v di (1) non è piano.



C

B

L L L

16 – 10 – 2010

B

L

L

L L L

q

M

C

4B

4B

L

asse di simmetria

q

Documents

Compiti_SdC_16_ottobre_2010