Cuadernos de 1990. Vol. 11. Núm. 1 págs. 107-162 CÓMO CONSTRUYE EL NIÑO LA SIGNIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ARITMÉTICOS1 Un Problema Curricular2 Leslie P. Steffe3

En el contexto de un estudio para el mejoramiento del currículo, dirigido por el “Centro para el Aprendizaje y Enseñanza de Asignaturas en la Escuela Elemental” en la Universidad de Michigan, se me pidió reseñar una serie de textos de matemáticas ampliamente utilizados en los Estados Unidos. Al hacer esta reseña, uno de mis objetivos fue buscar indicadores que permitieran probar que los autores basaban sus materiales de enseñanza de los números en una teoría sobre cómo construyen los niños la secuencia numérica. Los resultados de mi investigación sirvieron de inspiración para la preparación de este trabajo y me condujeron a recordar una experiencia cuando, estando en la Universidad de Wisconsin, participé en el desarrollo del currículo de matemáticas para la escuela elemental. Lo interesante fue haber montado un programa de investigación concomitante, en el cual el currículo y el desarrollo de la teoría debían recubrirse mutuamente, cada uno proporcionando problemas e intuiciones al otro. No debe sorprender que nuestros intentos para articular las dos actividades defraudaran mis expectativas. Esta experiencia previa me llevó a abandonar el desarrollo del currículo y a concentrarme en los estudios sobre el niño, en un intento por formular modelos viables sobre sus operaciones y conceptos matemáticos. Por esa misma época, pensé que tales modelos se necesitaban desesperadamente en la educación matemática, porque nuestros esfuerzos en el desarrollo curricular se basaban en cómo comprendíamos los adultos las matemáticas.

La forma como organizábamos el currículo de los números hasta 12 era prácticamente la misma que la utilizada por los autores de la serie de textos que yo había reseñado en el estudio para mejoramiento del currículo. En una serie de textos más reciente, dado un conjunto modelo (una representación pictórica), los niños deben aprender la relación “tantos como” trazando líneas entre los elementos pictóricos y los elementos de varias otras representaciones pictóricas (generalmente tres). En el caso de “uno” hasta “cuatro”, se espera que los niños observen la representación pictórica de los elementos perceptuales y aprendan a reconocerlas, diciendo la palabra numérica, y luego, basándose en la relación “tantos como”, sepan que cuatro es el número de cualquier otro conjunto equivalente al conjunto modelo. Para desarrollar el significado desde “cinco” hasta “doce”, se utiliza la relación “uno más que”; se supone que al agregar un elemento perceptual más a una representación pictórica de cinco elementos, los niños aprenden el significado de “seis” y…

                                                            1 Este trabajo fue escrito para la Conferencia sobre el Conocimiento Implícito y Explícito en las Ciencias y en las Matemáticas que se realizó en la Universidad de Tel Aviv, Israel, en octubre de 1988. Aparecerá en Tirosh, D. (Ed.) (1990). Implicit and Explicit Knowledge: An Educational Approach, Ablex: Norwood, New Yersey. 2 Quiero agradecer a las Dras. Iris Levin y Dina Tirosh por sus comentarios y críticas perspicaces de una versión anterior de este texto. Cualquier insuficiencia que subsista me incumbe sólo a mí. 3 The University of Georgia College of Education Mathematics Education Department 105 Aderhold Hall Athens, Georgia 30602 USA

Las actividades “uno más que” están correlacionadas con el conteo de elementos perceptuales. Para encontrar “cuántos” pájaros hay en una representación de pájaros, los niños deben contarlos. El conteo era la única deferencia entre la manera como nosotros y los autores de texto reciente organizábamos el trabajo sobre los números hasta doce.

Este enfoque del número se basa en una teoría de los números cardinales en la que el número cardinal se toma como un objeto que es asignado a cada conjunto, de modo que conjuntos equivalentes, y sólo equivalentes, tienen un mismo objeto que les corresponde (Hausdorff, 1962, p.28). En mi trabajo con los niños, he encontrado que un “enfoque ordinal” del número es mucho más adecuado, por razones que luego se explican en este trabajo. Sin embargo, este no es mi objetivo esencial, porque basar el currículo en cualquiera de estos dos enfoques es equivalente a basar el currículo en la manera como los adultos comprenden las matemáticas y en una visión de la educación matemática de los niños como un proceso de transferencia de información; información que se escribe en textos matemáticos para niños, sin tener en cuenta las matemáticas del niño. La orientación principal de mi trabajo, y quiero que se me comprenda claramente, es especificar las operaciones y los conceptos numéricos de los niños y hacer que éstos sean los fundamentos conceptuales del número en las matemáticas escolares.

LAS MATEMÁTICAS DEL NIÑO Aquellos que creen que las matemáticas son así como son, y no más bien que son lo que

los seres humanos las hacen ser, quizá rechacen mi trabajo inmediatamente porque tal vez no crean que las matemáticas de los niños son legítimas matemáticas. Considero que esto es particularmente desconcertante porque, a mi modo de ver, el conocimiento matemático del otro debe tomarse como relativo a nuestro propio marco de referencia. Se lo puede llegar a conocer a través de la interpretación de lenguaje y de las acciones del otro – formando un posible modelo conceptual. Se postula que estos modelos surgen de las operaciones conceptuales que están disponibles al conocedor. No son otra cosa que una constelación de operaciones conceptuales disponibles que se forman al organizar, o al conferir sentido a los encuentros en experiencias con niños. Tales modelos constituyen las matemáticas de los niños, aún si no se toman para caracterizar cómo es realmente su conocimiento matemático; y se toman como modelos adecuados más que como modelos bien ajustados (von Glasersfeld, 1993). Entonces, pensar que las matemáticas de los niños no son matemáticas legítimas es equivalente a rechazar esencialmente nuestros propios conceptos y operaciones matemáticas.

Las matemáticas para el niño consisten en aquellas operaciones y conceptos matemáticos que, según se hipotetiza, el niño podría aprender. Estas hipótesis se pueden formular de tal modo que constituyan un modelo parecido a lo que Vygotsky (1956) ha llamado la zona de desarrollo potencial del niño –aquello que el niño es capaz de aprender con la ayuda de un profesor. Pero hay diferencia entre mi caracterización de las matemáticas para el niño y la noción de Vygotsky de la zona de desarrollo potencial, porque las matemáticas para el niño poseen la misma naturaleza básica que las matemáticas de los niños. Fundo las matemáticas para los niños en abstracciones de experiencias que parten de la comunicación interactiva con ellos. En algún momento del desarrollo de las matemáticas para los niños, el adulto formula hipótesis sobre lo que el niño podría aprender, basándose en experiencias anteriores con el niño en cuestión y sin haber explorado cómo otros niños podrían alterar un modelo de los elementos de los conocimientos matemáticos del niño. Sin embargo, a estas hipótesis no las llamaría

matemáticas para los niños, de la misma manera que no consideraría mi conocimiento del cálculo como matemáticas para un niño de, digamos 10 años. Elijo pensar las matemáticas para niños particulares, como las matemáticas de algunos otros niños.

Las Matemáticas del Niño y el Solipsismo Como las matemáticas de y para los niños son conceptos del observador, podría parecer

que lo que propongo no es otra cosa que el solipsismo –la tesis de que nuestro propio conocimiento es lo único que puede conocerse y verificarse. Al menos dos autores (Vergnaud, 1987; Wheeler, 1987) lo han interpretado de este modo. Sin embargo, von Foerster (1984) ha rechazado explícitamente el solipsismo.

Entiendo que mis argumentos postulan una afirmación bastante impopular. Una manera de descartarlos consiste en rechazarlos como algo que solamente intenta rescatar el “solipsismo”; se considera que este mundo existe sólo en mi imaginación y que la única realidad es el “yo” imaginante. En efecto, eso es precisamente lo que antes decía, pero hablaba sólo de un único organismo. Como lo demostraré, la situación es muy diferente cuando hay dos. La afirmación solipsista se vuelve añicos cuando además de mi mismo, invento otro organismo autónomo (p.59).

Las matemáticas del niño, como yo las percibo, son mi invención. Pero, según el análisis de von Foerster, las matemáticas del niño no existen sólo en mi imaginación, porque si acepto, por ejemplo, que hay otro organismo no muy diferente del mío, tengo que aceptar que ese organismo puede reclamar que su realidad matemática es la única realidad matemática y que cualquier otra cosa existe solamente en su imaginación, incluida mi propia realidad matemática. Sin embargo, sé que mi propia realidad matemática no es simplemente fruto de la imaginación del otro, y así tengo que aceptar que la realidad matemática del otro es distinta de la mía. Sin embargo, como no tengo acceso directo a la realidad del otro, la única manera como puedo conocerla es haciendo un modelo de ella.

Así, debemos llegar a conocer las matemáticas de y para los niños a través de encuentros en experiencias intensas y extensas. “Conocer” quiere decir hacer modelos de sus operaciones y conceptos matemáticos en evolución. Subrayo “en evolución” porque las matemáticas del niño no son estáticas; deben considerarse como las matemáticas que los niños construyen en contextos de experiencias. En este trabajo discuto algunas de mis concepciones actuales sobre el conocimiento numérico del niño, e indico cómo se aparta radicalmente de lo que aparece en los textos matemáticos para la escuela.

Los modelos que construyo sobre las operaciones y conceptos matemáticos que evolucionan en el niño, se basan, en parte, en mis observaciones sobre el actual contexto de la enseñanza a los niños. Estas experiencias de enseñanza son exploratorias y pretenden descubrir lo que podría ocurrir en la cabeza de los niños. La metodología para el experimento de enseñanza se deriva de la entrevista clínica de Piaget. Sin embargo, igualmente implica experimentación con los medios y los modos de influir sobre su conocimiento; es más que una mera entrevista clínica. La entrevista clínica pretende establecer dónde están los niños, y el experimento se orienta a comprender el progreso que ellos hacen en períodos extensos de tiempo, cuando no existe la intención de enseñar una predeterminada manera de operar.

En las discusiones que siguen, relativas al significado que los niños dan a las palabras numéricas, presento muestras de interacciones comunicativas individuales entre ellos y yo (u otros investigadores que trabajan conmigo), así como interpretaciones de las mismas. Las interpretaciones se basan no sólo en episodios particulares de enseñanza, sino en la secuencia de dichos episodios. Creo que no logro enfatizar suficientemente este punto,

porque una muestra representa solamente un pequeño segmento de un episodio de enseñanza de una filmación en video de media hora, y existen más de sesenta de esas cintas para cada niño.

COMO CONSTRUYE BRENDA SIGNIFICADOS PARA PALABRAS

NUMÉRICAS Consideremos el siguiente intercambio con Brenda, una niña de seis años.4 Le presenté una tarea en la cual, cuatro cuadrados de una colección estaban cubiertos por

una tela (tres eran visibles), le dije que cuatro estaban escondidos y le pedí que descubriera cuántos había en total. Primero, trató de levantar la tela para ver los cuadrados, pero le pedí que tratara de descubrirlos sin mirar los que estaban cubiertos. Contó los tres cuadrados visibles (“B” representa Brenda, y “P” al “profesor”).

Protocolo 1 B: 1, 2, 3 (toca sucesivamente a cada cuadrado visible). P: Aquí hay cuatro (da un golpecito a la tela). B: (Levanta la tela y descubre dos cuadrados) 4, 5 (toca cada cuadrado y vuelve a

poner la tela) P: Bien, te voy a mostrar dos (dobla la tela revelando dos de los cuatro cuadrados).

Aquí hay cuatro, los puedes contar. B: 1, 2, 3, 4, 5 (toca sucesivamente cada cuadrado visible). P: Aquí hay dos más (da un golpecito a la tela). B: (Intenta levantar la tela, así que P la retira). 6, 7 (toca los últimos dos cuadrados). El punto en discusión es el significado del cuatro para Brenda. Su intento de levantar la

tela indica que se daba cuenta de los cuatro escondidos y que intentaba contar la colección de cuadrados. Pero saber sobre los cuadrados ocultos no la llevó a contar.

Otro intercambio proporciona más comprensión sobre el posible significado que para ella tenían las palabras numéricas. Cubrí seis bolitas de una colección con mi mano (tres estaban visibles) y le pedí a Brenda que contara todas las bolitas, después de decirle que había seis debajo de mi mano. Primero contó cinco dedos, diciendo; 1, 2, 3, 4, 5, tocando simultáneamente cada uno de ellos, y luego las tres bolitas visibles 6, 7, 8. Enseguida le dije que yo tenía seis bolitas en mi mano y Brenda contestó: “no veo ningún seis”.

Obviamente, mi concepto de número difería de cualquier significado que Brenda asignara al “cuatro” y al “seis”. ¿Cómo podría comprender yo sus posibles significados? El “procedimiento”, como lo han dicho Cobb y Wheatley (1987) “consiste en desarrollar una comprensión de las matemáticas de los niños para que sus acciones puedan verse como racionales y sensatas. El enfoque de un análisis conceptual, por tanto debe hacerse sobre los significados de los niños” (p.2). Sin embargo, qué nos impediría suponer que Brenda tenía un concepto de número (ella efectivamente contó los elementos perceptuales), y luego tratar de imaginarnos aquello a lo cual tenemos que renunciar en la teoría, por ejemplo, ¿en la de los números cardinales de Hausdorff, de tal manera que los componentes restante parezcan compatibles con lo que Brenda hace cuando resuelve tareas? Esto quizá parezca un modo razonable de proceder, pero creo que es una elección particularmente desafortunada.                                                             4 Brenda participó en un experimento de enseñanza de dos años que se llevó a cabo para estudiar la construcción de conocimientos numéricos en niños de seis años. El protocolo ha sido extraído de una entrevista realizada el 21 de octubre del primer año escolar de Brenda (Steffe y Cobb, 1988). 

Negarse a admitir que los seres humanos construyen el número y aceptar que el número es innato, como lo hacen Gelman y Gallistel (1978), en cuanto profesores de matemáticas, sólo puede engañarnos. En tal caso, podemos asumir que los significados numéricos de los niños pequeños no son disímiles de los nuestros. Un corolario sería enseñar a Brenda como si sus significados captados de algún modo se ajustaran a los significados intencionales de su profesor, como si ella pudiera producir sentido numérico con lo que su profesor dice sobre los números, en la manera como su profesor lo hace, o como lo hacen los autores de textos de matemáticas.

Pluralidades y Colecciones Brenda era incapaz de contar los elementos perceptuales que no podía ver. Esta

interpretación se basa en la noción de colección de von Glasersfeld (1981). Las colecciones son totalidades compuestas que surgen de experiencias y están formadas por elementos perceptuales. En el modelo de von Glasersfeld, tempranamente en la vida, los niños aíslan del flujo de la experiencia señales sensoriomotoras simultáneas, mediante un proceso de formación de unidades5 -separan elementos discretos del flujo de la experiencia. Estos elementos discretos surgidos de experiencias forman las “cosas” de las cuales se abstraen de algún modo los conceptos objeto.

Cuando el niño puede hacer seguimiento a un concepto objeto y reconocer la diferencia que existe entre emplearlo una vez y emplearlo más de una vez, en una situación experiencial, entonces, su uso repetido produce una pluralidad de elementos perceptuales. Por ejemplo, digamos que el niño reconoce una situación perceptual como una “ilustración”6 del concepto que ha asociado con la palabra “taza”. El puede continuar explorando su campo visual, asimilando otra combinación de señales sensoriales y luego otra. Si él le sigue la pista a la utilización repetida de su concepto de taza, podrá pronunciar la palabra “tazas”. Las tazas estarán circunscritas al campo visual del niño, siempre y cuando él perciba como un fondo la mesa en la cual están colocadas. En ese caso, las tazas sobre la mesa forman una pluralidad circunscrita en la experiencia, o una colección.

La noción de colección de von Glasersfeld es compatible con el modelo de Piaget (1927) para el proceso de desarrollo que da lugar a la concepción en el niño del objeto externalizado, objetos permanentes, que se considera poseen una existencia en su propio espacio y tiempo, independientemente del sujeto que tiene la experiencia de ellos. Brenda podría emplear su concepto objeto asociado con “bolita” para reconocer (asimilar) experiencias sensoriomotrices actuales como ejemplo del objeto. Para que Brenda creyese que había bolitas escondidas, tendría que utilizar su concepto objeto para crear una re-presentación7 de una bolita, independientemente de la ausencia o presencia de señales perceptuales. Existen buenos indicios que señalan que Brenda podía emplear su concepto objeto de ambas maneras, como sería de esperarse en niños de seis años de edad. Podía crear tanto elementos figurales como perceptuales. Pero estos elementos figurales aparentemente no estaban disponibles como elementos para contar.

Volviendo ahora al significado del “cuatro” y del “seis” para Brenda, durante nuestros intercambios, diría que ella no tenía ningún concepto objeto para las palabras. Sé, por otras entrevistas con Brenda, que ella reconocía arreglos lineales y triangulares de tres                                                             5 Nota de la traductora: En el original aparece “unitizing”, se traduce como “formación” de unidades. 6 Nota de la traductora: En el original aparece “instatiation”, se traduce como “ilustración”, “ejemplificación” o “poner en términos concretos”, según el caso. 7 Una re-presentación de un elemento perceptual es una recreación de la experiencia del elemento en su ausencia. 

elementos como “tres”, y dos elementos cualesquiera como “dos”, después de mirar el arreglo solamente un instante. Sin embargo, cuando se le mostró un arreglo cuadrado de cuatro puntos tuvo que contar los puntos antes de poder decir “cuatro”. No había indicación de que ella pudiera re-presentar un arreglo de cuatro puntos y contar sus elementos re-presentados8. Más aún, ella no reconocía una fila de cuatro puntos como “cuatro” ni tampoco un dominó de “cinco”; ella no podía decir cuántos puntos contenían estos arreglos sin contarlos efectivamente. Su significado para las palabras numéricas “cuatro” y sucesivas, tenía que efectuarse contando realmente las colecciones y no existía independientemente de las colecciones contadas. No había conceptos objetos para estas palabras y ellas se remitían a la experiencia transitoria de contar las colecciones o a sus resultados. Ella era consciente de contar de manera bastante parecida a como tenía conciencia de saltar lazo, por ejemplo. Antes de la actividad, saltar lazo no sería un significado de “tres”. Pero si coordinaba 1, 2, 3 con los saltos, eso sería contar y la experiencia sería un significado de “tres”. Los niños como Brenda, para quienes las colecciones deben estar disponibles para establecer unidades que pueden contar, se llaman contadores de elementos unitarios perceptuales (Steffe, von Glasersfeld, Richards y Cobb, 1983). Saben contar, pero necesitan una colección de bolitas, cuentas, dedos, saltos de lazo, etc. para ejecutar la actividad.

Una de las primeras manifestaciones de independencia de la percepción inmediata en el conteo, se presenta cuando el niño puede contar una colección de elementos, aún si no están dentro de su campo de acción o de percepción inmediatos. En este caso, un niño puede intentar contar los elementos de una colección oculta, coordinando la producción secuencial de imágenes visualizadas de los elementos perceptuales con la producción secuencial de palabras numéricas. En tal caso, diría que el niño contó elementos unitarios figurales. Cuando un niño puede solamente contar los elementos unitarios perceptuales, llamo su esquema de conteo esquema de conteo perceptual y cuando puede contar igualmente elementos unitarios figurales, lo llamo un esquema de conteo figurativo.

Conciencia de Pluralidad Subsiste la pregunta: ¿por qué Brenda parecía estar consciente de los elementos ocultos

pero, y esto es lo esencial, no podía contarlos? Una consciencia de pluralidad requiere la producción de una imagen visualizada de un elemento perceptual conjuntamente con sus repeticiones efectivas. Es una conciencia de más de un elemento unitario perceptual. Las repeticiones crean una colección de elementos unitarios perceptuales porque ahora los elementos perceptuales se consideran desde el punto de vista de su unitariedad o totalidad. Una pluralidad figural es el resultado de la experiencia de la re-presentación repetitiva de un elemento unitario perceptual, es ausencia de material sensorial. Cuando se presenta un contexto de experiencias que forma una frontera para el proceso de creación de elementos unitarios figurales, podríamos considerar a estos elementos unitarios figurales cono una colección figural. En el caso de Brenda, la tela y mi mano formaron semejante contexto posible de la experiencia. Pero pienso que Brenda ni podía re-presentar repetitivamente sus conceptos objeto y por tanto, no podía hacer colecciones figurales.

Si así fuera, como parece indicarlo su incapacidad para re-presentar una colección de dos elementos perceptuales (Steffe y Cobb, 1988, p.99), entonces aún tenemos que explicar, en qué sentido estaba ella consciente de los elementos ocultos. Para explicar esto                                                             8 Una re-presentación de un patrón sensorial es una recreación del patrón sin que haya disponible material sensorial actual. 

tengo la siguiente hipótesis: para que los objetos existan en el espacio y en el tiempo para el niño, independientemente de su experiencia, él debe ser capaz de re-presentarse el material bajo la forma de un concepto objeto. De otro modo, nada habría en la conciencia del niño que pudiera “existir”. Considero que éste es el sentido en el cual Brenda estaba consciente de los elementos ocultos.

Una conciencia de la pluralidad figural requiere de la re-presentación de un elemento unitario perceptual conjuntamente con su repetibilidad. Como Brenda podía re-presentar un elemento unitario perceptual pero no una colección de dos elementos unitarios perceptuales, hay motivos para creer que ella no representó repetidamente un elemento unitario perceptual, la repetibilidad no era una propiedad de sus elementos unitarios figurales. Para algunos niños, la creación de colecciones figurales debe ser más exigente de lo que los adultos esperamos que sea.

Una colección de pluralidad (perceptual o figural) debe ser pensada como indispensable para activar el conteo; y la ausencia de conteo de elementos unitarios figurales es indicativa de una inhabilidad para hacer colecciones figurales. ¿Cómo construyó Brenda colecciones figurales?, es la interesante historia que enseguida narraré.

Brenda usa Patrones de Dedos Para Brenda la construcción de colecciones figurales implicaba el uso de patrones de

dedos. El siguiente protocolo es un extracto de un episodio de enseñanza realizado con Brenda el 19 de Marzo de su primer año escolar.

Protocolo 2 P: (Señala cuatro cuadrados) ¿Los ves? B: Asienta con la cabeza) P: (Oculta los cuatro cuadrados y muestra otros tres cuadrados) ¿Los ves?

(Esconde los tres cuadrados). B: (Levanta cuatro dedos al mismo tiempo) Cuatro (Cierra la mano y en

secuencia levanta los mismos cuatro dedos) 1, 2, 3, 4 (sigue levantando en secuencia los dedos de la otra mano) 5, 6, 7.

Ahora Brenda parecía haber construido conceptos objeto a los cuales se refería “cuatro” y “tres”. El acto de levantar simultáneamente cuatro dedos mientras dice “cuatro”, y luego cerrar la mano y en secuencia levantar los mismos cuatro dedos mientras dice “1, 2, 3, 4” (contando), es una fuerte indicación de que re-presentaba el patrón de dedos y luego contaba los elementos del patrón re-presentado. En otras palabras, “cuatro” podría referirse a un todo unitario re-presentado que incluía elementos unitarios figurales que podían aislarse y contarse secuencialmente. Los dedos de su patrón de dedos figurativo eran elementos unitarios figurales contables.

Resulta especialmente significativo que Brenda pudiera coordinar la implementación de un patrón de dedos para “tres” con sus expresiones “5, 6, 7”. Esto demuestra que “tres” remitía a un patrón de dedos re-presentado, cuyos elementos podían coordinarse con tres palabras numéricas cualesquiera, en secuencia. Hizo coordinaciones similares utilizando patrones de dedos asociados con “dos”, “cuatro” y “cinco”. Su habilidad para re-presentar estos patrones de dedos y para contarlos en un conteo continuo proporciona la base necesaria para que los consideremos como conceptos figurales de las palabras numéricas implicadas. En ningún momento pude observar que Brenda construyera significados para las palabras numéricas utilizando la relación “uno más que”, una relación que aún tenía que construir. Sin embargo, descubrí que ella podía establecer una relación entre dos

colecciones, ya fuera contando los elementos unitarios perceptuales de estas colecciones o emparejándolos físicamente uno a uno. Pero estas relaciones eran de la misma naturaleza que su significado transitorio para las palabras numéricas y no podían utilizarse como fundamentos para construir conceptos objeto para las palabras numéricas.

La activación del Conteo. Hay un problema fundamental sugerido por el protocolo 2. Aparte de la capacidad de Brenda para re-presentar patrones de dedos, ¿cómo podemos explicar que en el protocolo 2 el conteo estuviera activado, mientras que en el 1 no lo estaba? No podía detectarse algo diferente en la situación social de los dos protocolos, que pudiera sugerir que Brenda esperaba contar en el protocolo 2, pero no en el 1. De hecho, en el protocolo 1 le insinué que contara, pero en el 2 no lo hice.

Las conexiones semánticas que Brenda había establecido previamente entre patrones de dedos perceptuales y las palabras numéricas, “dos”, “tres”, “cuatro” y “cinco”, eran resultado del conteo. Si un niño cuenta los dedos de un patrón de dedos, “1, 2, 3” relacionando el patrón de dedos contados con la última palabra dicha, esto constituye un acto de abstracción seudoempírica (Piaget, 1980). La actividad de contar se puede suspender porque el patrón encarna sus resultados. Pienso que los actos de conteo se registran en el patrón de dedos, y que la actividad del niño los ha introducido en éste. Si, posteriormente, un patrón de dedos es aislado, esta asimilación puede activar los registros, lo que a su vez activa la respuesta “tres”, sin la intervención de la actividad de contar.

Reflexiones sobre el patrón de dedos. Un patrón de dedos le proporciona al niño la oportunidad de construir el significado dual que resulta del conteo –unitario y al mismo tiempo compuesto. Parece ser que los elementos de un patrón de dedos aparecen simultáneamente en el campo perceptual del niño y el patrón de experiencias da al niño algo sobre lo cual reflexionar. Sin este significado dual me parecería poco posible que un niño reflexionara sobre los resultados del conteo y que aislara una conexión entre la última palabra dicha durante el conteo y el patrón de dedos, el protocolo 3, extraído de un episodio de enseñanza realizado el 10 de febrero, indica claramente que Brenda efectivamente reflexionaba sobre sus patrones de dedos perceptuales.

Protocolo 3

P: (Coloca tres bolitas frente a Brenda) ¿Cuántas bolitas hay? B: Tres (inmediatamente) P: ¿Cuántas bolitas tenemos aquí? (Coloca cuatro bolitas frente a Brenda) B: (Toca cada bolita) 1, 2, 3, 4. P: (Coloca vasos de papel sobre las bolitas) ¿Cuántas bolitas tenemos en total? B: (Mira fijamente delante de sí, durante unos veinticinco segundos con las manos en

el regazo) ¡Espero que sean siete! P: ¡Son siete efectivamente! ¿Cómo lo hiciste? B: ¡Conté con mis dedos! La reflexión requiere que el sujeto que reflexiona “sostenga un objeto inmóvil a una

cierta distancia”. Durante los veinticinco segundos que Brenda miró fijamente delante de sí, desplegó una intensa concentración y parecía que estaba consciente de lo que hacía con sus dedos, mientras estos permanecían en su regazo. Parecía que ella mantenía inmóviles los patrones de dedos en sus campos táctiles y cinestésico y luego contaba los elementos de estos patrones. Sus patrones de dedos perceptuales evidentemente le proporcionaron

totalidades compuestas de las cuales estaba consciente. Todo el protocolo me indica que la internalización de sus patrones de dedos al menos comenzaba.

Internalización de los patrones de dedos La internalización puede conducir a la visualización bajo cualquier modalidad sensorial.

Es el proceso que conduce a la habilidad para representar un elemento sensorial sin que las señales sensoriales pertinentes estén disponibles en la percepción actual, o en la habilidad para ejecutar una actividad motora sin la presencia de las señales cinestésicas del movimiento físico actual. La mirada fija de Brenda hacia adelante, mientras contaba, me indica que estaba re-presentando el componente visual de sus patrones de dedos al mismo tiempo que creaba material sensorial en sus campos cinestésico y táctil. Utilizar en la re-presentación los registros visuales de su patrón de dedos, al tiempo que se establecen los registros cinestésicos y táctiles, sirve para internalizar los registros ejecutados.

Que estableciera sus patrones de dedos en sus campos táctil y cinestésico, mientras los visualizaba en su campo visual, me indica que Brenda comenzaba a internalizar el componente cinestésico implicado en levantar simultáneamente los dedos. De la misma manera, que cuente sus dedos mientras mira fijamente delante de sí, me indica que mientras contaba comenzaba a internalizar el movimiento individual de sus dedos. El protocolo 2 indica más o menos la finalización del proceso de internalización, y Brenda podía ahora establecer colecciones figurales específicas –sus patrones de dedos. Sus patrones de dedos eran ahora conceptos objeto conectados con las palabras numéricas “uno” hasta “cinco”, y ella tenía disponibles para contar elementos figurales contables: sus dedos.

El levantar los dedos en secuencia en el protocolo 2 me indica que la repetibilidad se volvía una propiedad de los elementos figurales. Utilizar sus patrones de dedos evitó la necesidad de establecer la repetibilidad como una propiedad de elementos unitarios figurales más generales para crear colecciones figurales, puesto que ella levantó simultáneamente sus dedos para establecer un patrón de dedos. Sin embargo, la acción que fue introducida a nivel sensoriomotor, al contar los dedos de sus patrones de dedos perceptuales y los movimientos furtivos de sus dedos, como los que deben haber tenido lugar en el protocolo 3, estaban implícitos en los patrones de dedos re-presentados. Se explicitaron cuando Brenda levantó sus dedos en secuencia pronunciando sincrónicamente palabras numéricas para ejemplificar los patrones de dedos. Brenda externalizaba lo que previamente había sido internalizado y sus patrones de dedos sensoriomotores, establecidos por el conteo, reflejaron de sus conceptos objeto.

El 5 de mayo la solución que Brenda dio a una tarea indica una externalización más completa de los actos motores implícitos en sus patrones de dedos. Después de que el profesor le presentara el problema: “Tú tienes trece muñecas y yo tengo cuatro. ¿Cuántas muñecas tenemos entre los dos?, Brenda le preguntó si podía contar y luego en secuencia levanto los diez dedos, cerró una mano, y en secuencia levantó tres dedos por segunda vez mientras decía simultáneamente “1, 2, …, 13”. Parece ser que ahora ella se centraba en la actividad de contar, más que en la percepción global de los elementos que había establecido al contar (es decir, un patrón de dedos). Esto le confirió a Brenda un mayor poder generador porque ahora no quedaba en jaque cuando se le agotaban los dedos. En particular, Brenda volvió a contar tres dedos cuando estableció la colección de trece dedos. Como esta colección no podía delimitarse a través de una verificación visual, infiero que estaba delimitada por el principio y el fin de la actividad que ella ejecutaba mientras la creaba. Esto es importante porque indica que ella trascendía la percepción visual al

establecer el resultado del conteo, lo cual condujo a establecer patrones de dedos sofisticados.

Patrones de Dedos Sofisticados Una segunda pregunta, que el protocolo 2 suscita, se refiere a si sus patrones de dedos

son ahora numéricos y no sólo figurativos9. Un indicador de su naturaleza figurativa era su especificidad. “Cuatro”, por ejemplo, remitía a los cuatro dedos de cualquiera de sus manos, excluyendo los pulgares, y “cinco” remitía solamente a la mano abierta. En el protocolo 3, “tres” remitía a un patrón de dedos que ella ejecutaba en la mano que le quedaba, después de haber utilizado un patrón de dedos para “cuatro”, con el índice, el corazón, el anular y el meñique de la otra mano. Brenda no empleó el pulgar y los dedos de la mano que le quedaba para completar el patrón de dedos para “tres”; ella no partió entre las dos manos su patrón de dedos para “tres”.

Como lo vemos, en los protocolos 4 y 5, un segundo indicador del carácter figurativo, más que numérico, de sus patrones de dedos, era la necesidad que Brenda tenía de crear, para las palabras numéricas, tanto un significado proveniente de la experiencia, como uno figurativo. Antes del 19 de marzo, en el momento del protocolo 2, Brenda había establecido patrones de dedos perceptuales para las palabras numéricas desde el “seis” hasta el “diez”. Para el 7 de noviembre, en su segundo año escolar ella construyó estos patrones de dedos como conceptos figurativos, al mismo tiempo que construía sofisticados patrones de dedos para las palabras desde el “once” hasta el “quince”. Para mí, la construcción de estos sofisticados patrones de dedos fue una sorpresa total.

Protocolo 4 P: (Cubre once bolitas con una tela y luego coloca tres por encima de la tela).

Ahora hay tres más. B: Once (simultáneamente levanta cinco dedos de la mano izquierda y uno de la

mano derecha, para indicar “once”). 1, 2, 3 (en secuencia levanta tres dedos restantes dedos) ¡Catorce!

Los patrones de “once” hasta “quince” implicaban que tomaba una mano abierta como

un patrón de dedos abreviada para “diez”. Para clarificar la naturaleza de los sofisticados patrones de dedos de Brenda, le pedí cerrar los ojos, cuando solucionaba una tarea que implicaba “ocho” y “cinco”.

Protocolo 5 B: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (levanta en secuencia 5 dedos de la mano izquierda y tres de

la mano derecha). 1, 2 (levanta en secuencia los dos dedo restantes) 3, 4, 5 (menea en secuencia tres dedos de su mano izquierda). ¡Trece!

Brenda dijo “trece” sin que en su campo visual estuviera su mano derecha abierta y los

tres dedos de la izquierda. Esto me indica que los resultados de su operación eran reconocidos en sus campos táctil y cinestésico, utilizando un patrón de dedos internalizado para “trece” –una mano abierta y tres dedos. El contexto determinaba si este patrón de dedos debían llamarse “ocho” o “trece”. En efecto, estos sofisticados patrones de dedos

                                                            9 Un patrón de dedos numérico se crea aplicando la operación de formación de unidades a un patrón de dedos figurativo. Los patrones de dedos numéricos tienen la propiedad de la movilidad y no están limitados a patrones específicos de dedos. 

confirman, que cuando levantaba en secuencia trece dedos, como antes lo describí, ella estaba consciente de los resultados de contar hasta “Trece”.

Los Significados Duales de las Palabras Numéricas Al llegar al primero de febrero de su segundo año escolar, los patrones de dedos de

Brenda la llevaron a significados duales para las palabras numéricas hasta el “quince”. En el protocolo 6 Brenda contó hasta encontrar “quince más nueve”.

Protocolo 6

B: “1, 2, 3,…, 15” (simultáneamente levanta diez dedos) “16, 17,…, 24” (doblando en secuencia nueve dedos).

Para dar significado al “quince” Brenda podía simplemente expresar la secuencia

adecuada de palabras de conteo10 o levantar diez dedos. En cualquiera de los dos casos, creaba un significado generado por la experiencia para “quince”. Sin embargo, había progresado porque había restringido las coordinaciones involucradas en el conteo. Esto es lo que yo denomino conteo de elementos unitarios verbales.

Durante los dos años que duró el experimento de enseñanza, no hubo indicación alguna de que Brenda interiorizara sus patrones de dedos creando patrones de dedos numéricos. Así que ahora paso a explorar el significado de las palabras numéricas para José, otro participante del mismo experimento de enseñanza, en parte para ilustrar lo que quiero decir con la interiorización de patrones.

CÓMO CONSTRUYE JOSÉ SIGNIFICADOS PARA LOS TÉRMINOS

ARITMÉTICOS Antes de explorar la interiorización, hay otra pregunta, que en el caso de Brenda, dejé

implícita al discutir las colecciones figurales y que ahora quiero explicitar. La pregunta es: “¿Pueden los niños hacer colecciones figurales utilizando colecciones perceptuales cuyos elementos no están dispuestos por ellos en un patrón, y tomar sus elementos como contables?” Para investigar esto, expongo el siguiente diálogo con José. El protocolo ha sido tomado de una entrevista que se llevó a cabo el 16 de octubre de su primer año escolar.

Protocolo 7

P: (Presenta dos telas que José supone cubren cuadrados). Aquí hay seis y aquí cinco. ¿Cuántos cuadrados hay en total?

J: (Mueve secuencialmente los dedos de la mano izquierda, moviendo el dedo índice dos veces) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (continúa moviendo en secuencia los dedos de la mano izquierda) 7, 8 (dedo del corazón y anular) 9,10 (índice y dedo del corazón) 11, 12 (sin mover los dedos).

Esta era la primera vez que trabajaba con José, y por tanto, no había ejercido influencia

previa alguna sobre la forma como él respondería a mi pregunta. En estos momentos del experimento de enseñanza José no había establecido patrones de dedos como significados para las palabras numéricas salvo para “dos” y “diez”. En efecto, no fue sino hasta el tres

                                                            10 Una secuencia de palabras de conteo es una secuencia de palabras numéricas cuyos elementos léxicos significan elementos contables.

de diciembre del mismo año escolar cuando observé que José utilizaba un patrón de dedos para “tres”.

El Significado de José para “cinco” y “seis” Como José no tenía ningún patrón de dedos conectado con “seis”, la interpretación de la

primera parte de su episodio de conteo se vuelve interesante. ¿Tenía él un concepto objeto asociado con “seis” distinto a un patrón de dedos, o hay otro modo de explicar su comportamiento? Prefiero atribuirle una conciencia de la pluralidad figural de los cuadrados y una intención de contarlos. Como quería contar, la falta de material perceptual para ejemplificar su concepto de “cuadrado” y formar elementos contables lo ponía en su estado de activación, buscando algo para contar. Me parece razonable que José “invocara” registros de sus actos anteriores de conteo, en su búsqueda de saber si “seis” se refería al conteo de los cuadrados. Que José tuviera éxito en ello, me indica que, por lo menos, los registros auditivos de sus anteriores actos de conteo estaban internalizados –podían ser re-presentados en ausencia de material sensoriomotor actual.

Secuencia figurativa de palabras numéricas. La “imagen de la secuencia típica de palabras numéricas” se refiere a un registro más o menos permanente del aspecto cinestésico o auditivo de las palabras numéricas dichas en el orden normal (Steffe, et al., 1983, p. 26). Cuando estos registros se pueden emplear en la representación, la secuencia de palabras numéricas se internaliza y la llamo “figurativa”. La activación de la imagen de la secuencia típica de palabras numéricas puede, a su vez, activar la ejemplificación de los registros, lo cual quiere decir, pronunciar palabras numéricas en secuencia a partir de “uno”. Como José se encontraba en un estado de activación y en su campo visual no tenía cuadrados para contar, generó entonces elementos sensoriomotores, levantando los dedos como elementos contables.

Para explicar el origen del acto motor de levantar los dedos tenemos que remitirnos a los momentos en los cuales José contó elementos unitarios perceptuales en otros episodios de conteo. El acto de contar un elemento unitario perceptual ocurre simultáneamente con el acto de enunciar una palabra numérica y con el hecho de representar en una instancia concreta un concepto objeto, en el cual la simultaneidad a menudo está determinada en la experiencia por un acto motor de guía –un movimiento de los dedos. Como su intención era contar los cuadrados, y cómo no había material perceptual alguno que pudiese emplear como cuadrado, ejecutó los actos motores de guía que sus palabras numéricas significaban y los tomó como elementos contables. La centración de la atención en el acto motor de guía media entre la enunciación de una palabra numérica y la ilustración de un concepto objeto, cuando no hay material perceptual alguno se pueda emplear para ejemplificarlo, es lo que considero, en el conteo como substitución de un acto motor por un elemento unitario figural.

Por eso, no veo razón alguna para creer que José necesitase un concepto objeto de “seis” con el fin de contara como lo hacía, y esto no constituía parte necesaria de mi explicación. Sin embargo, sí creo que el “seis” se refería a una pluralidad figural, pero no había necesidad alguna de que él “viera” seis elementos unitarios figurales individuales que aparentemente co-ocurrían en algún patrón. El significado de contar “seis” eliminaba esa necesidad. Sin embargo, una secuencia internalizada de palabras de conteo era esencial para completar la búsqueda de algo para contar, y para que el conteo se actualizará exitosamente creando a través de la experiencia un significado para “seis”.

La explicación de la primera parte del episodio de conteo de José es lo que quiero llamar contador de elementos unitarios motores. Cuando Brenda fue capaz de levantar en secuencia sus dedos, al contar hasta “trece”, le llamé de la misma manera, porque creo que en ese momento ella se volvió consciente de la pluralidad figural de los dedos. En este caso, ser contador de elementos unitarios motores tiene un sentido más restringido que el que expliqué para José. En contraste con Brenda, José podía emplear casi cualquiera de sus conceptos objeto para crear pluralidades figurales, y en parte su conciencia de estas pluralidades activó el conteo.

Continuación del conteo de José. Regreso a la segunda parte del episodio de conteo de José, que es encantadoramente consistente con mi explicación de la primera. Después de decir “seis” y de levantar su dedo índice, siguió diciendo “7, 8” mientras levantaba el dedo del corazón y el anular; luego volvió a levantar el índice y el dedo del corazón mientras decía “9, 10”. En este punto, parecía estar “perdido en el conteo”, pero siguió enunciando otras dos palabras numéricas “11, 12”. Parecía que no usaba un concepto objeto relacionado con “cinco” para seguir la pista del conteo y continuar con tanto más allá de “seis”. Su comportamiento al contar me indicó que tenía la intención de contar todos los elementos ocultos; y, al separar de la primera parte la continuación del conteo, me indicaba además que estaba consciente de que experimentaba una separación en los elementos que contaba. La conciencia de la segunda parte, aunada con un significado de conteo para el “cinco”, lo activó a continuar11. Empleó su patrón de dedos en un intento de seguirle la pista a su continuación del conteo, pero no le hizo seguimiento a su empleo de ese patrón, creando, como resultado de su actividad, un patrón para “cinco”.

Seguimiento de la continuación del conteo Es interesante especular si la conciencia de José sobre la pluralidad figural indicaba un

concepto de número. En otras palabras, ¿deberíamos acaso considerar que él resultado del conteo de José, hasta “seis”, ilustra un concepto numérico de “seis”? Aunque he presentado un contra-argumento, es ciertamente una interpretación posible y puedo imaginar que alguien haga, porque hubo una época en la que ello interpretaba de la misma manera un comportamiento de conteo equivalente. (Seteffe, Richards y von Glasersfeld, 1979). Desde esa época, me he vuelto consciente de un criterio más esencial para atribuir conceptos numéricos aún niño. Si José hubiera hecho seguimiento a su continuación del conteo-creando, en el acto, un concepto para “cinco”-entonces yo estaría dispuesto a atribuirle las operaciones que son necesarias para que los niños construyan los números.

El 18 de marzo de su primer año escolar José efectivamente hizo seguimiento a una continuación del conteo, de un modo que me indicó que él controlaba sus acciones en el episodio de conteo. Muy tempranamente, en enero de su primer año escolar, José había establecido como conceptos figurativos patrones lineales y de dominio para sus palabras numéricas hasta “seis”. El profesor presentó a José una tarea de “elementos faltantes”, que él interpretó a su manera.

Protocolo 8

P: (Coloca un trozo de tela delante de José) ¿Ves las galletas de chocolate que están debajo? (El profesor y José están fingiendo). Colocan encima de la tela el

                                                            11 La explicación de por qué se activó una continuación del conteo, en lugar de “1, 2, 3, 4, 5”, puede comprenderse si uno piensa que la colección figural de cuadrados de José está separada en la experiencia. En este caso, su intención podría ser la de contar todos los cuadrados percibidos en la experiencia como separados, comenzando por “uno” y continuando hasta contarlos todos.

número que indica cuantas te gustaría poner debajo (José coloca “8” encima de la tela. El profesor levantar otra tela que está al lado) ¿Ves las galletas de chocolate que están acá?

J: Eh, eh (no) P: Bueno, vamos a colocar algunas acá. Ahora hay diez galletas debajo de esta tela

(coloca “10” inmediatamente delante de la segunda tela). ¿Cuántas hay acá debajo? (En la tela de al lado).

J: (Toca ocho veces la tela que tiene el número “8”. 1, 2, 3,4, 5,6, 7, 8. (Continuar tocando la otra tela como si cubriera diez galletas) 9,10, 11,12 (completa una fila de cuatro puntos de contacto y luego sigue tocando la tela inmediatamente por debajo de la fila que ha completado) 13,14, 15,16. (Mira al profesor mientras dice “dieciséis” y luego sigue tocando la tela inmediatamente por debajo de las dos filas que ha completado y continúa mirando el profesor) 17,18. (Toca la tela enfáticamente, cuando dice “dieciocho”, para indicar que ha terminado.

Que José mire intensamente la tela que se suponía cubría diez “galletas”, mientras

completaba dos filas de a cuatro y que luego deje de mirar la intensamente para reconocer los patrones sucesivos y mide su profesor, ese indicador decisivo de que él ha hecho seguimiento a su continuación del conteo. Esto indica que reflexionó sobre su actividad de conteo y “evaluó” el punto en el cual se encontraba con relación a ésta. No buscó ni recibió insinuaciones no-verbales que indicaran cuando debía dejar de contar. Se comportó de tal manera que debo atribuirle las operaciones necesarias para crear, en el acto, patrones numéricos.

José era capaz de hacer tanto patrones de dedos numéricos como patrones espaciales numéricos. En el mismo episodio de enseñanza, su profesor colocó "8" sobre una tela, como en el protocolo 7, y "12" por delante de ambas telas. José levantó secuencialmente los dedos, diciendo al mismo tiempo: "1,2, 3,4, 5,6, 7,8", y luego siguió levantando los dos dedos restantes de su mano derecha (el pulgar y meñique) mientras decía: "9,10", enseguida movió el índice y el dedo del corazón de su mano derecha mientras decía "11,12". Después de terminar el conteo quedó con ambas manos abiertas no obstante luego de unos cinco segundos dijo "¡cuatro!". Obviamente, al revisar los resultados del conteo José separó sus primeros ocho actos de conteo de los que realizó posteriormente para contar hasta "doce", y reconoció un patrón de dedos de "cuatro". Como no hubo registros perceptuales explícitos en su campo visual, semejante reconocimiento requiere reflexión. Deduzco que revisó los registros de su conteo continuo, utilizando su operación de formación de unidades. De este modo, creó lo que llamo patrones de dedos numéricos. En ese momento del experimento de enseñanza fue un logro notable para José y fue la primera vez que lo observara resolver "correctamente" una tarea de elementos faltantes nunca observé que Brenda hiciera seguimiento a la continuación de su conteo de la manera en que José lo hizo. Debo subrayar que José hizo seguimiento a su actividad del conteo independientemente, sin ninguna sugerencia. No obstante, los procesos que José empleó para establecer un significado para "diez" ni siquiera se aproximan a los implicados en la relación "uno más que", que él aún tenía que construir.

Reconsideración de esquemas de conteo figurativos. Ahora puedo explicitar un poco mejor la noción de esquemas de conteo figurativos. Ya he dicho que cuando un niño puede crear y contar los elementos de una colección figurativa su esquema de conteo es un

esquema figurativo. Los esquemas de conteo figurativo incluyen aquellos casos en los cuales el niño puede crear y contar actos motores, como lo hizo José, o simplemente puede enunciar, en secuencia, palabras de conteo. En el último caso, el niño ha creado una secuencia internalizada de actos de conteo. Tanto la secuencia de las palabras numéricas implicada como los aspectos cinestésicos, visuales y auditivos del acto de contar, están internalizados. Como el aspecto cinestésico también está internalizado, el niño puede enunciar palabras numéricas en secuencia, sin el acompañamiento de otros actos motores, allí donde las palabras numéricas significan a otros elementos contables. En estos casos (conteo de elementos unitarios motores y verbales) la experiencia de conteo está limitada por el principio y finalización de la misma, y esta experiencia constituye el significado de la última palabra numérica dicha en el momento de contar. Ciertamente, en los protocolos 2, 3 y 6 (de Brenda) y el protocolo 7 (de José) no hubo indicación alguna de que estos niños tomarán los elementos de los patrones figurativos o de las colecciones como una cosa, previa al conteo, porque siempre comenzaron a contar a partir de "uno". En estos protocolos tampoco hubo indicación alguna de que los niños tomarán como una cosa los elementos de las colecciones contadas.

Interiorización del esquema de conteo En el protocolo ocho, cuando José estaba produciendo un patrón consistente en los

registros de los puntos de contacto de su dedo sobre la tela, tuvo que determinar después de cada toque qué patrón había producido, porque no había huellas visibles de sus puntos de contacto. El acto de reconocer simplemente una fila de puntos, al decir una palabra numérica, no requiere un seguimiento intencional de la actividad que produce el patrón. Al producir los patrones, tuvo que recrear sus actos de conteo por la sencilla razón de que no quedaban huellas visuales de los mismos. La figura 1 presenta un diagrama de esta situación después de que José contó "9,10", cuando su intención era seguir contando hasta completar un patrón de "diez".

La re-presentación sola no es suficiente para explicar el comportamiento de seguimiento de José, porque en los protocolos 2,3, 6 y 7, Brenda y José eran capaces de emplear patrones figurativos para seguirle la pista a la continuación del conteo, pero no eran capaces de crear patrones cuando hacían seguimiento intencional del conteo. En ningún momento de los dos años en que trabajé en el experimento de enseñanza, observé que Brenda creara un patrón en la actividad de continuar contando.

Para hacer un seguimiento intencional de la actividad del conteo, como José lo hizo en el protocolo ocho, debe haber una conciencia explícita de un patrón figurativo, lo cual quiere decir, que el niño debe reflexionar sobre el mismo. Para explicar de qué manera José podía estar explícitamente consciente de los patrones figurativos, que empleó al tratar de saber dónde se hallaba después de completar cada acto de conteo, supongo que aplicó su operación de formación de unidades a los elementos de los patrones figurativos. La "revisión", o reprocesamiento de los elementos de los patrones, despoja a los actos figurativos de conteo de sus características sensoriomotoras y crea una secuencia de elementos unitarios abstractos que contiene registros de los actos de conteo (abstracción de lo discreto). La secuencia de elementos unitarios abstractos es lo que llamo un patrón numérico o compuesto -un par de actos de conteo interiorizados. Según mi modelo, el concepto que José finalmente creó para "diez" fue un patrón numérico que contenía los registros de haber contado "9,10, 11,12, 13,14, 15,16, 17,18".

Figura 1.

La reorganización del esquema de conteo de José. Al llegar al 21 de mayo del primer año escolar, José empleaba su esquema de conteo de maneras que antes no eran posibles.

Protocolo 9

P: (Después de que José ha colocado 16 fichas de póker en una tasa). Saca cuatro. J: (Saca cuatro). P: ¿Ahora, cuántas quedan? J: (Pone las manos en el regazo y se concentra manipulando las fichas de póker.

El profesor no puede verlo que José está haciendo). Allí hay 12. P: ¡Cuéntame como lo hiciste! J: (Coloca las fichas de póker en la mesa, una tras otra) 16, 15, 14,13,... allí hay

12.

Protocolo 10 J: (Coloca 14 fichas en una tasa) P: (Coloca algunas fichas en otra tasa). En total hay 20. ¿Cuántas hay aquí? J: ¿Serán 6? P: Correcto. (Saca 3 y vierte la restante en la tasa de José que contiene 14). Aquí

hay ahora 17. ¿Cuántas agregué? J: 15, 16,17... ¡tres!

El cambio de José al emplear su esquema de conteo implica una reorganización subyacente al esquema. Debido a que nunca, antes de este episodio de enseñanza, lo había observado emplearlo de esta manera, no es excesivo decir que su esquema de conteo había sufrido una metamorfosis y que ahora era un esquema interiorizado.

Un acto de conteo interiorizado es un elemento unitario abstracto que contiene registros de un acto de conteo internalizado. Dicho acto también puede representarse mediante la re-presentación de aquello a lo cual los registros remiten. Así, una secuencia interiorizado de actos de conteo es una secuencia de elementos unitarios abstractos que contiene registros de la secuencia internalizada de los actos de conteo que sirvieron como material para su construcción. Llamamos secuencia numérica a una secuencia interiorizada de actos de conteo. En el caso de la construcción inicial, utilizó una "secuencia numérica inicial". Entiendo por secuencia numérica verbal una re-presentación o re-ejecución de una secuencia numérica utilizando los registros auditivos -una secuencia operativa de palabra de conteo. Los elementos léxicos de una secuencia numérica verbal simbolizan elementos unitarios abstractos así como actos de conteo.

Desde la perspectiva de José, él aún no tenía sino una sola secuencia de palabras de conteo. Sin embargo, ahora que la había interiorizado, ciertamente podía usarla diferentemente. De los protocolos 9 y 10 infiero, que las palabras numéricas de José podía simbolizar segmentos iniciales de su secuencia numérica verbal. Por ejemplo, parecía que "dieciséis" simbolizaba la secuencia numérica verbal que reemplazaba con " dieciséis" y descendía hasta "uno". José dividió esta secuencia en "16,15, 14,13" y "12" contando de para atrás, y "doce" simbolizaba el resto de la secuencia. Ésta diferencia es reforzada por el hecho de que José tomó en cuenta "catorce" como algo dado cuando contó hasta "diecisiete". Además, hizo una estimación desconcertantemente acertada de la

numerosidad12 de las fichas que se colocaron junto con las 14 originales. Infiero que su estimación de "seis" se refería a los actos de conteo que hubiese realizado si hubiera empezado a contar a partir de "catorce" y prosigue hasta "veinte".

El seguimiento como retro-alimentación. El ajuste del esquema de conteo de José, que engendró su reorganización del conteo, fue el seguimiento de la continuación del conteo (cf. Protocolo 8). Para explicar lo que quiero decir con "seguimiento" remito de nuevo a la figura 1. La aplicación de la operación de formación de unidades a los actos de conteo re-presentados -"9,10" en la figura- separa los actos de conteo implicados del resto del esquema de conteo internalizado, y los registra a nivel de la interiorización. José, quien pretendía seguir contando, ahora podía tomar los actos de conteo internalizados como pertenecientes a los elementos que estaba contando: a los elementos contables. Así, la aplicación de la operación de formación de unidades hizo posible que los elementos contados retroalimentaran a los elementos contables y es esto lo que, en este caso, llamo "seguimiento". Dicho en términos sencillos, el niño reconstituye los elementos contados como elementos contables. La intención de José de seguir contando diez veces sostuvo este sistema de retroalimentación hasta que cumplió su propósito. El hecho de que José supiera cuando había alcanzado "diez" es la confirmación de que había reconstituido sus elementos contados como contables.

No creo que José "hiciera conteo doble", en el sentido decir que "9 es uno", etc., estaba ocupado del conteo, creó dos patrones de cuatro (patrón numérico); él sabía que dos patrones de cuatro forman un patrón de 8. Esto fue intuitivo, porque se basó en patrones figurativos, un nivel por debajo de aquel en que estaba operando. Que dos patrones de cuatro forman un patrón de 8 estaba implícito en su operación, así como completar un patrón de "diez". Hablando en términos de patrones figurativos, "diez" remitía a dos patrones de cuatro y un patrón de dos. Los patrones numéricos, en los que enfocaba su atención, estaban explícitos.

La auto-regulación del seguimiento. La metamorfosis de su esquema de conteo (cf. Protocolo 9 y 10) se puede explicitar mediante la auto-regulación de la actividad de seguimiento. Como hipótesis propongo lo siguiente: se crea una perturbación porque una parte de su secuencia de palabras de conteo es registrada a nivel de la interiorización y el resto de ella, solamente se internaliza; esto se presenta en dos niveles. Además, supongo que esta perturbación fue neutralizada por la auto-regulación de la actividad de seguimiento. No hago ninguna suposición sobre el número de veces que fue re-aplicada la operación de formación de unidades, ni sobre las veces que palabras numéricas adyacentes pueden haber servido como material para una aplicación particular. La única suposición que hago es que la operación de formación de unidades se volvió a aplicar las veces necesarias para interiorizar su secuencia de palabras numéricas de tipo figurativo. El empleo de su secuencia numérica verbal para asimilar y resolver los elementos faltantes de las tareas en los protocolos 9 y 10, indicó la terminación del proceso de interiorización en José.

El esquema de conteo como concepto numérico. Las palabras numéricas de José desde "trece" hasta "diecinueve" ahora simbolizaban segmentos iniciales de su secuencia numérica verbal. Los segmentos simbolizados, a su vez simbolizaban secuencias de elementos unitarios abstractos, así como la actividad y los resultados de contar, por

                                                            12 La numerosidad de una unidad compuesta puede ser formada al representar mediante una instancia concreta, una secuencia numérica en un contexto de experiencias.

ejemplo, desde "uno" hasta "dieciséis" inclusive. En el protocolo 10, José tomó a "dieciséis" como símbolo de la numerosidad de cualquier secuencia de elementos unitarios perceptuales que él pudiera crear y contar, usando su secuencia numérica verbal. Igualmente podía re-presentar, en sentido ascendente o descendente el segmento inicial simbolizados.

Una secuencia numérica inicial debería pensarse como un patrón numérico elaborado. Su empleo consiste en poner en términos concretos los registros que la componen, o dicho en términos más sencillos, en el conteo. Cuando cuenta, el niño es consciente de los actos de conteo contenidos en el principio y el fin del conteo. Después de contar, el niño reconoce lo que está incluido en las fronteras del conteo pero no toman los resultados delimitados del conteo como una sola cosa, aunque para él se trata de una actividad relacionada. Un elemento lexical de la secuencia numérica inicial simboliza estas operaciones y, como elemento de una secuencia, remite a los elementos lexicales, hasta e inclusive el elemento lexical dado.

La simbolización del segmento inicial de su secuencia numérica verbal provee un significado extensivo a "dieciséis"; los actos de conteo simbolizados por este segmento inicial, constituyen un significado intensivo de "dieciséis" (Thompson, 1982). Debido a la función simbolizadora de las palabras numéricas de José, se podría decir que, desde su perspectiva, el significado de las palabras numéricas era una intención de actuar (Von Engen, 1949). La posibilidad de actuar proporcionó una cualidad dinámica a los significados numéricos de José y le generó confianza para poder resolver una amplia variedad de problemas numéricos. Podemos ver la importancia de estas posibilidades en los protocolos 9 y 1013.

Considero la secuencia numérica inicial de José como un esquema numérico de conteo. En cuanto actividad, el conteo corresponde a la caracterización del esquema que da Piaget (1980): "Toda acción que sea repetible o generalizada a través de su aplicación a nuevos objetos engendra... un esquema" (p. 24). Pero considerar el conteo simplemente como actividad no arroja luz sobre por qué los niños cuentan, ni sobre cuál podría ser el resultado de la actividad para ellos. Con el propósito de llegar a tal fin, von Glasersfeld (1980) dividido la noción de esquema de Piaget en tres partes. Primero, está el reconocimiento por parte del niño de una situación de experiencia como algo previamente vivenciado; en segundo lugar, está la actividad específica que el niño ha llegado a asociar con la situación; y en tercer lugar, está el resultado que el niño espera obtener de la actividad en la situación. El énfasis de von Glaserfeld en situaciones de experiencia se aclara con un comentario que en una crítica al asociacionismo, Piaget (1984) hizo con relación al estímulo.

Un estímulo es realmente un estímulo sólo cuando es asimilado en una estructura y es esta estructura la que desencadena la respuesta. Por consiguiente, no es una exageración decir que la respuesta pre-existe (p. 15).

                                                            13 Los significados intensivos y extensivos de José para las palabras numéricas son más compatibles con la teoría ordinal de los números que con la del cardinal. Sin embargo, si lo que se quiere decir con este término es un objeto asignado a cada conjunto bien ordenado, de tal modo que conjunto similares, y sólo conjunto similares, tengan el mismo objeto que les corresponde, yo no diría que el "dieciséis" está referido a un número ordinal (Hansdorff, 1962, p. 65). De acuerdo con el modelo construido para los conceptos numéricos de José, aunque hay muchos puntos de diferencia, éstos no son muy distintos de los ordinales. Una característica importante de estos conceptos numéricos es que José se centraba en los elementos unitarios constitutivos de las unidades compuestas que construía, más que en las unidades compuestas como una cosa.

Después de que José interiorizara su esquema de conteo definitivamente no es ninguna exageración decir que su secuencia numérica inicial incluía el conteo. Por ejemplo, la palabra numérica "dieciséis", estaba implicada en el proceso de interiorización del conteo y por tanto podía simbolizar las operaciones que estaban involucradas en dicho proceso y su resultado: una secuencia de elementos unitarios abstractos que contenían los registros del conteo. Así, la actividad del conteo había llegado a ser un aspecto de la primera parte de su esquema de conteo.

Generación y acomodación metamórficas. La interiorización del esquema de conteo también surgió en el contexto de patrones en los casos de Tomás y Susana, los compañeros de José en el experimento de los enseñanza. Los conceptos figurativos de las palabras numéricas parecían desempeñar un papel esencial en la construcción de la secuencia numérica inicial para los tres niños. Retrospectivamente, no es de sorprender que la interiorización del esquema de conteo surgiera en el contexto de patrones figurativos, porque un patrón proporciona los niños una unidad "experiencial" cuyos elementos parecen darse simultáneamente; una aprehensión inmediata de pluralidad y de unidad.

Sin embargo, los conceptos figurativos de las palabras numéricas por sí mismos nunca impulsarían al niño hacia adelante al reino de los números. Se requiere su reprocesamiento al utilizar la operación de formación de unidades para crear patrones numéricos. Pero, no puedo imaginarme cómo construirían los niños una secuencia numérica inicial sin que se induzcan perturbaciones en su uso del esquema de conteo. Por ejemplo, antes de que Tomás reorganizará su conteo, perdía la pista del conteo si una tecla cubría la segunda parte oculta de una colección, porque él no reconocía haber tocado la tela cinco veces con su dedo. Él recomenzaba cada vez, sin que su profesor se lo insinuara, y hacía seguimiento de los registros no visuales de sus actos de conteo, creando con el acto un patrón para "cinco" (Steffe, 1988, p. 135). Este era un indicador claro de que estaba consciente de su incertidumbre sobre los resultado de su conteo.

Susana empleó su operación de formación de unidades, en el contexto de patrones, a fin de neutralizar las perturbaciones que experimentaba en la asimilación. En el contexto de una tarea en la que debía descubrir cuántos cuadrados a bien una colección, donde 5 estaban ocultos y 6 visibles, Susana contó los cuadrados visibles y luego trató de emplear sus patrones perceptuales de dedos. Como no tenía suficientes dedos se creó una perturbación que ella neutralizó cambiando por el conteo su esquema operativo de patrones de dedos. Inferí de sus palabras: "los puse mi cabeza", que ya reprocesó los cuadrados visibles que antes había contado empleando su operación de formación de unidades, y luego siguió contando desde "seis" cinco veces más. La independencia que manifestó al pasar de un esquema a otro indica una elección deliberada y reflexión sobre sus acciones. Creo que tanto su elección como su reflexión fueron posibles porque creó compuesto numéricos empleando sus patrones figurativos (Steffe, 1988, p. 178).

Aunque no presento el protocolo para esto, José igualmente re-inicio su esquema de conteo como resultado de una perturbación (Steffe y Cobb, 1988). En el protocolo 8, y su seguimiento de sus actos de conteo, y en la actividad de conteo inmediatamente posterior al protocolo 8, revisó sus registros de anteriores actividades de conteo. De hecho, los tres niños eran capaces de hacer el seguimiento de sus actuales acciones de conteo o de revisar sus acciones de conteo anteriores. Estas modificaciones se revelan como acomodaciones14.                                                             14 Una acomodación funcional de un esquema de conteo es una modificación del esquema que ocurre en el contexto del empleo del esquema. Una acomodación engendradora es una acomodación funcional, es auto-iniciada, implica el uso de elementos conceptuales externos e internos al esquema, conduce a acomodaciones posteriores, e implica o conduce a una reorganización estructural del esquema.

Las acomodaciones metamórficas15 a las cuales condujeron en los casos de Tomás y Susana, ya se habían manifestado el 8 de enero y el cinco de marzo respectivamente. En estas fechas, por primera vez observé reorganizaciones en los esquemas de conteo de ambos niños, los cuales estaban a la par con las reorganizaciones que José logró en los protocolos 9 y 10.

El período de la secuencia numérica inicial Uno de los resultados más significativos aunque sorprendente del experimento de

enseñanza fue que pasaron aproximadamente ocho meses antes de que cualquiera de los tres niños utilizar a su secuencia numérica inicial de una manera que indicara otra reorganización fundamental. Durante este período, surgió un uso novedoso de la operación de formación de unidades que se llama la operación de unión. Esta operación fue identificada por Menninger (1969) en un estudio de la historia cultural de los números. Menninger comentó que en el 2 como unidad "experimentamos la esencia misma del número más intensamente que en otros números, tal esencia consiste en la unión de muchos en uno solo, en hacer equivalentes en la pluralidad y la unidad" (p. 13). Esto es compatible con el análisis de Brouwer (1913, p. 85) de la intuición bási, ca de las matemáticas como la escueta "unicidad del dos".

La pregunta de si dos es una propiedad de dos elementos perceptual es decisiva. Según Menninger, dos uno puede ser una propiedad de dos elementos perceptuales porque no puede ser una propiedad de ningún elemento perceptual individual, y, por tanto, el dos no puede hallarse en la naturaleza. Por el contrario, requiere una operación mental que une a distintos elementos unitarios en una unidad, y dos puede ser una propiedad de esa unidad compuesta.

El intelecto... no encuentran los números sino que los fabrica; examina objetos diferentes, cada uno distinto en sí; e intencionalmente los une en el pensamiento (Caramuel, 1970, p. 44, trac. E. Von Glasersfeld).

Para hacer una unidad de unidades, el niño puede reprocesar una colección de elementos

unitarios perceptuales utilizando la operación de formación de unidades y luego reprocesa estos resultados utilizando la operación de unión, como lo indicó Caramuel. De aquí en adelante, cuando dijo que un niño emplea la operación de unión, me refiero a este proceso. El material para esta operación, sin embargo, no tiene que ser una colección de elementos unitarios perceptuales. Este podría ser, por ejemplo, actos de conteo re-presentados. En algunos casos, el procesamiento de una colección de elementos unitarios perceptuales es simbolizado. En otros, quizás el niño re-presente el material de una secuencia de elementos unitarios abstractos, que creó en el pasado, utilizando la operación de formación de unidades. En estos casos, digo que el niño toma la secuencia de elementos unitarios abstractos implicada como algo dado. Esto puede suceder especialmente en el caso de la secuencia numérica inicial porque un elemento léxico de la secuencia puede simbolizar tanto al conteo como a la secuencia verbal de la cual éste es el último elemento.

Esquemas de suma y resta. Hacia la parte final del período de la secuencia numérica inicial, los niños a menudo consideraron los resultados vivenciales del conteo como

                                                            15 una acomodación metamórficas de un esquema de conteo es una modificación del esquema que ocurre independientemente pero no en alguna aplicación particular del esquema

material para la aplicación de su operación de unión. Más aún, construyeron esquemas de suma y resta utilizando su secuencia numérica inicial. El protocolo 11 es un extracto de un episodio de enseñanza del 14 de diciembre del segundo año escolar de José.

Protocolo 11

P: (Coloca "17,8" frente José). ¿Esto cuántos daría? J: 17,16, 15,14, 13, 12, 11,10 (simultáneamente va levantando sus dedos). Esto da

(pausa)...; ¡nueve!

Resulte improbable que José dijera "nueve" si no hubiera considerado los resultados del conteo como una cosa. Aunque se lo podría entrenar para hacer eso, el modo independiente en que dijo "nueve", junto con el hecho de que efectivamente lo dijo, me indica que él consideraba el resultado del conteo como una cosa -como materia de su operación de unión. Así, fue capaz de "elevarse por encima" de su actividad y de "ver" su secuencia numérica verbal, 17,16,…,2,1 como separada en dos partes (17,16,...,10)16 y en otra parte simbolizada por "nueve".

Es interesante especular respecto a lo que ocurrió antes de que José contara en el Protocolo 11, es decir, lo que sucedió a su concepto de resta. Espero que los actos de resta de José (sus actos de conteo) nos iluminen, porque no estaban simplemente relacionados con "17,8", como el movimiento apropiado de una contradanza lo está con "do-sí-do". Su concepto de resta, basado en sus actos de conteo, parece comprender ser mejor como una secuencia de acciones posibles -acciones interiorizadas-que en el pasado aisló, cuando empleaba su esquema de conteo. Aunque no rastreó la construcción de su concepto de resta, sí vemos su forma inicial en el protocolo 917. Allí, contó en orden descendente sólo después de haber quitado físicamente las cuatro fichas de póker, para descubrir dónde estaba antes de contar las cuatro fichas que quitó. El conteo en orden descendente no había sido activado por expresiones como "16,4". Pero sí proporcionaron una posible experiencia a las abstracciones necesarias para construir un concepto de resta. En contraste, en el protocolo 11, "17,8" simbolizó las acciones de resta.

Así, en el protocolo 11, en vez de quitar físicamente ocho elementos de una colección de 17, utilizó los elementos de un patrón numérico de dedos como símbolo de los elementos quitados. Utilizando este concepto de "ocho", contó "17", luego "16", etc., "partiendo de" la secuencia numérica verbal descendente. Los elementos léxicos de su secuencia numérica verbal eran sus elementos contables y los "contó" registrando cada palabra dicha con el acto de levantar un dedo. Levantar un dedo tenía la fuerza de la enunciación de una palabra numérica de la secuencia "1, 2,..., 8". Funcionalmente hacía un doble conteo, pero José aún no era capaz de un doble conteo explícito. Lo que después explicitaría por ahora estaba solo implícito. Tener en cuenta los resultados del conteo -los elementos de un patrón de dedos contado-como si fuera una cosa, ciertamente constituyó una reinteriorización de parte de su esquema de conteo, así como una acomodación del conteo para poder alcanzar su meta18.                                                             16 Empleo los paréntesis para indicar que José tomaba los resultados de su conteo como una cosa, lo cual quiere decir que tomaba su patrón de dedos como una cosa. 17 Es comprensible que José dijera "16, 15, 14, 13" para encontrar cuántas fichas quedaban bajo la tela en el protocolo 9, porque justamente acababa de contar hasta "dieciséis" para colocar dieciséis fichas en la taza. En su experiencia, se encontraba al "final" de la secuencia numérica verbal que ahora simbolizaba el conteo de las fichas. Cualquier ficha podía corresponder a "dieciséis" porque esa palabra simbolizaba un acto de conteo. Él enunció las cuatro palabras de conteo en orden descendente para ubicarse en el conteo antes de que contara las cuatro fichas visibles. 18 Una acomodación procedimental es una acomodación funcional que implica una modificación de la actividad de contar o una manera novedosa de considerar los resultados del conteo. Una acomodación procedimental puede ser una acomodación engendradora.

Después de contar, tenía una base sólida para establecer conexiones numéricas entre las tres principales palabras numéricas.

Antes de contar, la intención de José parecía ser la de dividir en dos el segmento en orden descendente de su secuencia numérica verbal simbolizada por "17"; la primera parte consistía en ocho elementos léxicos y la segunda en un segmento inicial de una numerosidad aún desconocida. Pero consideró que esta meta sólo estaba implícita en sus acciones. En otras palabras, no creo que conscientemente hiciera planes antes de contar. Simplemente se le ocurrió que así era como debía proceder sin saber por qué, mi tener otra alternativa. La "meta" a la cual aludí arriba fue creada por la activación de su programa de acciones de resta y por su anticipación de lo que sería el resultado. La realización de las acciones era una manera de alcanzar su meta. Vale la pena observar que su estimación de "seis" (cf. protocolo 10) demuestra que era capaz de anticipar el resultado del conteo aunque la operación no se hubiera ejecutado, lo cual implica una conciencia de los resultados del conteo, aunque no necesariamente de por qué contó como lo hizo.

Sea cual sea el sentido que nosotros como adultos demos a los términos "suma", "resta" y "su mando faltante", los tres niños interpretaron nuestras situaciones problema en términos de sus secuencias numéricas iniciales es decir como problema de conteo. El conteo se simboliza con palabras aritméticas. Por ejemplo, quizá la intención de los niños fuera contar hasta "veintiuno", para descubrir cuántos cubos de una colección de 21 estaban ocultos. Si los niños contaran los elementos visibles, podrían aplicar la operación de unión a los elementos contados y luego seguir contando hasta "veintiuno"; allí de nuevo podrían aplicar la operación de unión a sus registros de continuación en el conteo, creando así una totalidad numérica cuya numerosidad podría entonces ser restablecida. Llamamos a estas operaciones secuenciales de unión. Si simplemente se hubiera preguntado a los niños cuántos elementos estaban visibles, esa palabra numérica podría simbolizar una operación de unión y en este caso de nuevo podrían continuar contando. Esta función simbolizadora de las palabras numéricas permitió que los niños parecieran capaces de realizar operaciones más sofisticadas que las operaciones secuenciales de unión. Es importante observar que éstas se realizaron durante la solución del problema y no antes. En este sentido, los niños estaban en el proceso de construcción de esquema de suma y resta más sofisticados que los que he explicado.

Descubrir que los niños a lo sumo eran capaces de hacer operaciones secuenciales de unión durante la actividad que proporciona una explicación poderosa para ciertas observaciones que de otro modo no son explicables. Por ejemplo, ninguno de los tres niños fue capaz de hallar estratégicamente pares de números cuya suma fuera 10, por ejemplo. Eran capaces de hallar ciertos pares, pero no de emplear un par dado para generar el siguiente par. Esta era una característica general, porque los niños resolvían cada situación independientemente de situaciones previas relacionadas. Tampoco podían comprender la resta como la inversión de la suma, ni construían una significación para "diez" como una unidad de 10 previa a la actuación. Esta restricción en su comprensión de "diez" les impidió la construcción del conteo de 10 como un esquema anticipatorio y la utilización de este esquema para establecer cuántas unidades de 10 podrían hacerse utilizando una secuencia o colección numérica particular. Por ejemplo, no podían contar independientemente de a 10, dándose cuenta de cuántas veces contaban, para hallar cuántas unidades de 10 podrían caber en 59 cubos. En su salón de clase aprendían reglas lingüísticas para dividir "59" en "cinco dieces y nueve unos", pero eso no tenía ninguna relación con su secuencia numérica.

Secuencias numéricas explícitas y tácitamente articuladas La manera como José resolvían problemas cambió dramáticamente el 29 de marzo de su

segundo año escolar. Una estrategia consistió en estimar en su mando faltante, sumar la estimación al primer sumando y luego edificar si el resultado era la suma correcta.

Protocolo 12

P: (Coloca la expresión "27 + ____= 36" delante de José). Tenemos 27, sumamos algo más y obtenemos 36.

J: Veintisiete - (pausa de unos 20 segundos). Déjeme ver (otra pausa) -veintisiete más siete...; ¡son nueve más!

P: ¡Eso estuvo realmente muy bien ! ¿Hay otro modo de resolver esto? J: Um-Um (no) P: ¿Lo podrías hacer contando de arriba hacia abajo? J: (Levanta secuencialmente los dedos) 36,35,...,27. Nueve.

José parecía considerar a 27 como un número por derecho propio además de ser una

parte de 36, porque no hizo simplemente una estimación y la dejó así no más. Sino que, más bien, después de hacer su estimación la consideró como una posibilidad más que como la respuesta. Después de estimar que el número faltante era 7 lo sumo a 27, continuó hasta 36 y luego sumó la continuación a 7. Estas operaciones indican que él utilizó las unidades a las que se referían los numerales como unidades, como una cosa y también como compuestos. Más aún, 27 y 36 estaban en relación, en la medida en que 27 era una parte que él había desarticulado de 36. Estas afirmaciones se confirman por la facilidad con qué contó 36 hasta 27 en orden descendente el profesor también hizo lo mejor que pudo para enseguida presentar "36 - 9 = ____" como una tarea novedosa.

Protocolo 13

P: Te voy a dar otra tarea. Esta vez vamos a tener que restar algo (presenta el enunciado).

J: (Inmediatamente). Veintisiete. P: ¿Cómo lo supiste? J: ¡Porque acabamos de hacerlo!

José realmente consideraba la resta como la inversión de la suma. De hecho, los dos problemas implicaban partes idénticas del mismo todo, y sólo tenía que recuperar la parte faltante ya conocida. La suma y la resta se podían explicar ahora como operaciones reversibles de parte a todo. "Treinta y seis" remitía a {1,2,3,...,36}; donde las llaves se emplean para connotar una unidad que contiene una secuencia numérica. "Veintisiete" remitía a un segmento de treinta y seis, a {1,2,3,4,...,27}, y la intención de José era hallar la numerosidad del faltante de este segmento de 36 {28,29,30,31,...,36}. Creo que era capaz de desarticular de 36 sus dos partes, y al mismo tiempo de dejarla dentro de 36 (al enfocar su atención en las partes no destruía el todo). 36 permanecía "conjuntamente" con las partes (al menos estaba simbolizada por "36"). Al establecer la numerosidad del faltante, era capaz de moverse de las partes al todo y del todo a las partes estableciendo nuevas partes y combinándolas con las anteriores para producir totalidades parciales. Estas operaciones le proporcionaron gran flexibilidad y constituían una forma compleja de las operaciones que

tenía que ejecutar para comprender, sin tener que contar, que 27 era la respuesta a "36 - 9 = ____".

Cuando se comparan los métodos de José para operar con símbolos numéricos en el protocolo 13 con sus métodos en los protocolos 9 y 10, es como si comparamos niños diferentes. Su secuencia numérica había sufrido otra metamorfosis. Es bastante complejo explicar esto, porque hubo un paso intermedio cuando él aún operaba secuencialmente. Llamó a su secuencia numérica en los protocolos 12 y 13 su secuencia numérica explícitamente articulada porque cualquier palabra de la secuencia simbolizaba un segmento inicial correspondiente, que él consideraba de dos maneras diferentes: como un compuesto y como una unidad. Una segunda característica central era ésta: él era capaz, en el mismo momento, de considerar la unidad compuesta tanto como parte de la secuencia, así como un número en sí mismo. Ahora su secuencia numérica estaba graduada.

La secuencia numérica tácitamente articulada. Las secuencias numéricas iniciales no eran incluyentes, en el sentido en que uno está incluido en dos, dos en tres, tres en cuatro, etc., como el modelo del desarrollo del número de Piaget nos quiere hacer creer (Sinclair, 1971). Para los niños, la secuencia numérica inicial no es sino simplemente eso: una secuencia. Estos niños aún tenían que construir secuencias numéricas articuladas. Una palabra numérica aún debían simbolizar la secuencia numérica hasta e incluyendo esa misma palabra numérica como una cosa. Podía simbolizar las palabras numéricas individuales en secuencia, pero aún tenía que simbolizar una unidad que contuviera a ese secuencia. Los niños aún no habían construido una relación de "uno más que". Eran capaces de aislar las palabras numéricas que preceden y que siguen a una palabra numérica dada, pero una relación de procedencia es muy diferente a una de "uno más que", porque ésta última implica orden con inclusión, mientras que la primera implica orden sin inclusión.

Para explicar cómo habían podido los niños construir una secuencia numérica articulada, paso a las operaciones secuenciales de unión que ilustre en el protocolo 11. Estas ejemplifican la emergencia de la operación de unión en el contexto de la secuencia numérica inicial. La técnica de ocultar una parte de una colección de elementos y luego pedirle a los niños encontrar cuántos estaban ocultos, contribuyó a la aplicación de la operación de unión a segmentos de la secuencia numérica inicial. Sin embargo, realizar operaciones secuenciales de unión no es lo mismo que haberlas simbolizado. De hecho, la diferencia es profunda. Por ejemplo, después de que Susana construyera la secuencia numérica tácitamente articulada, independientemente eligió entre un conteo descendente y un conteo a partir de, desde la primera ocasión en que la observamos; en esa ocasión, Susana utilizó el conteo descendente para resolver un problema de resta19, aunque no habíamos trabajado con ella este tipo de conteo en restas. Este episodio resolutorio fue muy impresionante y con Tomás ocurrió de la misma manera. Su empleo del conteo descendente para resolver una situación de resta fue sorpresivo, puesto que con el no habíamos trabajado de ese modo la resolución de este tipo de situaciones de resta.

Había razones para creer que José había reorganizado su secuencia numérica inicial ya para el 22 de febrero de su segundo año escolar, alrededor de dos meses después del episodio de enseñanza del protocolo 11. Podemos ver el progreso que José hizo en los

                                                            19 Susana resolvió "48 - 37 = ____" tocando en orden las puntos de sus dedos al mismo tiempo que enunciaba "47, 46,45, 44,43, 42,41, 40,39, 38,37" y luego dijo "once", reconociendo el patrón de dedos resultante. Inmediatamente después resolvió "53 - 12 = ____" tocando en orden las puntos de sus dedos, al mismo tiempo que enunciaba "52,51,..., 42". Brincó el pulgar sin decir "cuarenta y dos", un simple error de coordinación.

protocolos 14 y 15, extraídos de un experimento de enseñanza del 15 de febrero de su segundo grado. Justo antes del protocolo 14, José había seguido contando para resolver "19 + 6 = ____".

Protocolo 14

P: (Escribe "19 + 6 = 25" usando numerales de felpa). Bueno, José, ¿puedes encontrar otros números que sumen 25?

J: Veinte más cinco . P: ¿Hay otra manera? J: ¡Dieciocho más siete!

José procedió entonces a utilizar las expresiones apropiadas, como "trece más doce", cada vez que el profesor se los pedía. El rasgo más sobresaliente de su comportamiento fue la manera, como aparentemente generó, sin esforzarse, la secuencia de expresiones apropiadas. Esta fue una de las primeras veces en que se observó que utilizara una estrategia para generar posibles sumandos cuya suma fuera un número fijo. La llamamos estrategia de comprensión local porque José utilizó su más conocidas para generar otras, sumando y restando uno, empezando con la suma que acababa de encontrar. El segundo avance notable fue cuando José fue capaz de coordinar dos secuencias numéricas.

Protocolo 15

P: (Escribe "31 + 6 = 37" utilizando numerales de felpa). ¿Puedes pensar en otros problemas parecidos a este, pero manteniendo el mismo treinta y uno?

J: No, no puedo. P: ¿Qué pasaría si fuera siete en lugar de seis? J: Treinta y uno más siete igual a treinta y ocho. P: ¿Puedes decirme algunos otros? J: Treinta y uno más nueve igual a cuarenta,..., treinta y uno más quince igual a

cuarenta y seis. P: ¿Hasta dónde podrías continuar haciendo ésto? J: Hasta cien.

Las estrategias que José fue capaz de emplear mientras estaba en el período de su

secuencia numérica inicial no eran iterativas. El 14 de diciembre su segundo grado, fue capaz de encontrar la suma de nueve y ocho utilizando dieciocho como la suma de nueve más nueve, y restándole uno, pero no volvió usar esta estrategia. Las estrategias iterativas sólo emergieron el 15 de febrero. En efecto, no observé que emplear a ninguna estrategias hasta el 14 diciembre su segundo año escolar.

Explicar su paso a estrategias iterativas, requiere postular un nuevo empleo de la operación de unión: operaciones progresivas de unión. Ahora podía tomar los resultados del uso de su operación de unión como material de su aplicación. Como consecuencia, una palabra numérica era ahora un símbolo para una unidad que contenía una secuencia numérica de uno hasta e incluyendo ésa misma palabra numérica (o cualquier otro segmento de una secuencia numérica de numerosidad específica indicada por la palabra numérica).

En el protocolo 15, José fue capaz de crear nuevos elementos unitarios al realizar un acto de conteo y al unir los con lo que antecedía. Por primera vez, la actividad de conteo de

José podrías describir sin cómo lo hizo Sinclair (1971) cuando explicaba el modelo de Piaget de la construcción del número. En efecto, José contó doblemente "7 es 38, 8 es 39, 9 es 40,...,15 es 46", allí donde el sumandos constante "31" se sobreentendía. Interpretó las palabras de José para las dos secuencias numéricas en cuestión como sus símbolos para las operaciones progresivas de unión que podía realizar. "Siete", por ejemplo, podía ser unido con los actos de conteo implicados por "seis", pero no veo ninguna razón para creer que esto fue lo que José efectivamente hizo mientras contaba.

La auto-regulación como un proceso de construcción. La auto-regulación se puede utilizar para explicar cómo acomodaciones procedimentales como las que el protocolo 11 ilustra, podía conducir a la reorganización de la secuencia numérica inicial. En el protocolo 11, el concepto de "ocho" de José había sido activado y servía como modelo para el seguimiento de su actividad futura. Las señales sensoriales coordinadas, generadas al enunciar una palabra numérica, y el acto de levantar un dedo retro-alimentaron su modelo y pudo entonces combinarlos, formando elementos discretos derivados de la experiencia, uno tras otro, hasta llenar las huellas que constituían su patrón de dedos numéricos. Sin esta-retroalimentación yo no podría explicar cómo reorganizó José su esquema de conteo.

Una vez que José unió los elementos del patrón de dedos vivenciando en una totalidad unitaria, este patrón quedó "atrás" y creó una unidad abstracta que incluía una secuencia de "huellas"20 que contenían los registros de tal patrón. La representación de su patrón de dedos numérico en una instancia concreta (la retroalimentación había "externalisado" su modelo) se puede considerar como una modificación en su concepto de "ocho". Ahora la palabra se refería a lo que he llamado una "unidad abstracta compuesta".

En el protocolo 10, no es razón para creer que José tomara su patrón de dedos asociado con "15,16, 17" como material para su operación de unión; el simplemente reconocía el patrón de dedos "tres". Sin embargo, en el protocolo 11, tuvo que hacer un acto deliberado para salirse de la experiencia de crear un patrón de dedos, porque para poder enfocar su atención en la secuencia numérica restante, debía considerar que esa actividad se había completado. Tuvo que "elevarse por encima" de su experiencia del patrón de dedos y enfocar su atención en el siguiente elemento léxico en la secuencia descendente. Como este elemento ("nueve") simboliza lo que no se había enunciado, necesariamente había reflexionado sobre lo que estaba siendo.

Esto quizá parezca suficiente para reorganizar su secuencia numérica inicial. Pero tenemos que recordar que las palabras numéricas en cuestión eran "17,16,..., 10" y que éstas estaban involucradas en el contexto de su patrón de dedos. El había creado un concepto objeto novedoso para "ocho", que contenía a estas palabras numéricas. "Ocho: aún remitía a ún segmento inicial de su secuencia numérica inicial. En la medida en que este segmento inicial estaba implícito en el patrón de dedos ejemplificado para "ocho", había construido una unidad abstracta compuesta para "ocho", cuyos elementos contenían registros coordinados de dos segmentos de su secuencia numérica verbal.

Se trata de una reinteriorización de un segmento de la secuencia numérica inicial, pero ésta no se efectuó en un nuevo nivel. Aún se encontraba en el mismo nivel de la secuencia numérica inicial, porque el compuesto numérico para ocho primero se ejemplificó en la experiencia y luego las vivencias resultantes de la operación se reprocesaron; esto constituye una reinteriorización pero no un nuevo nivel. Lo que intento decir puede comprenderse si formulamos una manera posible de operar que José quizá había empleado.

                                                            20 N. de la T. Traduzco "Slots" como huellas.

Si después de contar "17,16", José hubiera re-presentado los dos actos de conteo y tomado los resultados re-presentados como una sola cosa, esto le habría permitido reinteriorizar los dos actos de conteo en un nuevo nivel y habría implicado el seguimiento del conteo descendente, como antes lo expliqué. Esto proporciona al niño la posibilidad de construir operaciones novedosas -operaciones progresivas de unión. Por ejemplo, después de tomar "17,16" como elementos contados, si José re-presentara los dos elementos contados y les aplicará la operación de unión, crearía una unidad de dos elementos contables. Entonces, la enunciación de "15" (no interesa si se coordina o no con levantar un dedo), y la re-presentación de los tres elementos léxicos, implica la re-presentación de la unidad que contiene los registros de enunciar "17,16" y la aplicación de la operación de unión a aquello que es re-presentado. Se le crea al niño la posibilidad de ver a "17, 16, 15," de dos maneras: como una unidad que contiene registros de los tres elementos, en la cual los primeros dos contienen registros de pertenecer a la unidad creada como resultado de operaciones previas. Estos son registros de operaciones progresivas de unión creadas al operar. Para crear operaciones progresivas de unión, el niño opera sobre los elementos re-presentados de la secuencia numérica inicial, utilizando la operación de unión.

Seguir contando hasta ocho veces crea una secuencia numérica novedosa "1,2, 3,4, 5,6, 7,8" que contiene los registros de operaciones progresivas de unión a un nivel de interiorización "superior" al de la secuencia numérica inicial. Se trata de una recurrencia de la operación de desarticulación que engendró dicha secuencia, pero más sofisticadas. El doble conteo y las operaciones progresivas de unión son introducidas como novedades, novedades que engendran la secuencia numérica tácitamente articulada; una secuencia de elementos unitarios abstractos que contiene registros de actos de conteo, pero con una característica adicional: cuando en la re-presentación se emplean los registros auditivos, los elementos léxicos de la secuencia numérica verbal simbolizan operaciones progresivas de unión.

Nuevamente, no es posible que un niño complete la construcción de la secuencia numérica tácitamente articulada en el contexto de la solución de problemas, como lo describí previamente. No sé cuántas de estas soluciones de problemas se requieran para que un niño sea capaz de crear una secuencia numérica parcial a un nivel superior al de la secuencia numérica inicial, y un sistema de retro-alimentación desde la secuencia numérica inicial hasta la secuencia parcial, que sea lo suficientemente fuerte como para sostener la autorregulación de la operación de desarticulación antes de que el proceso de reinteriorización se complete. No obstante, esto es lo que se necesita para construir la secuencia numérica tácitamente articulada.

Durante el período aproximado de dos meses, entre el 14 de diciembre y el 22 de febrero, José tuvo oportunidades de resolver problemas de la manera que he descrito (cf. Steffe, 1988, p. 209). Más aún, el proceso que un niño emplea cuando resuelve un problema solamente puede inferirse, así que es posible que la reinteriorización de la secuencia numérica inicial ocurriera cuando yo, como profesor, menos lo esperaba. Aunque no he calculado cuántos o cuáles problemas José haya resuelto, aparentemente fueron suficientes como para sustentar el tipo de perturbaciones que he explicado y para activar la auto-regulación de la aplicación de la operación de unión a las re-presentaciones de su secuencia numérica inicial. Sin apelar a la auto-regulación para completar la reinteriorización de su secuencia numérica inicial iniciada en contextos de experiencias, no podría explicar las reorganizaciones subyacentes que lo condujeron a su comportamiento de conteo en los protocolos 14 y 15.

La secuencia numérica explícitamente articulada El período de José de la secuencia numérica tácitamente articulada fue preparatorio para

el surgimiento de la secuencia numérica explícitamente articulada, que el protocolo 12 ilustra. Episodios de experiencias, como los que se ilustraron en los protocolos 14 y 15, sólo pueden animar al niño a aplicar la operación de unión a segmentos figurativos de la secuencia numérica tácitamente articulada, creando así una unidad que contiene a tales segmentos. Nuevamente, esto parece conducir a una reorganización interna de la secuencia numérica de José. Las nuevas operaciones permiten al niño obrar de un modo que ya no es secuencial. Una palabra numérica puede ahora simbolizar a una unidad que contiene a una secuencia tácitamente articulada. Obviamente, las operaciones secuenciales simbolizadas se pueden llevar a cabo, pero el niño descubre nuevas posibilidades si las deja inexpresadas.

Un resultado importante es que la relación de inclusión, implícita en la secuencia numérica tácitamente articulada, ahora se hace explícita. El niño puede "ver" la relación de inclusión en la secuencia numérica reorganizada, porque está simbolizada por la secuencia y, por tanto, puede desarticular intencionalmente un segmento de la secuencia numérica explícitamente articulada de su inclusión en la secuencia que lo contiene, y tratar lo como una unidad por derecho propio. El niño igualmente puede ejecutar éstas operaciones utilizando unidades para las cuales no hay símbolo explícito (como el resto de 27 en 36). Además, puede reemplazar lo que se sacó, lo cual es otra manera de decir que al efectuar éstas operaciones el niño no destruye los registros de la secuencia numérica original. Ahora puede tener dos secuencias numéricas una al lado de la otra, y comprender que una de ellas puede estar incluida en la otra, mientras que antes, sólo podía coordinar dos secuencias numéricas diferentes. Estas operaciones reversibles, de parte a todo, son muy sofisticadas y decisivas para el progreso matemático del niño.

COMENTARIOS FINALES

Utilización de las palabras "implícito" y "explícito" En este artículo las palabras "implícito" y "explícito" las he utilizado de diversas

maneras; quiero ahora ampliar su sentido. Primero, dije que los movimientos de dedos de Brenda estaban implícitos en sus patrones de dedos figurativos y que los movimientos se volvieron explícitos cuando al contar levantó los dedos secuencialmente (cf. p. 119-120). También dije que los actos de conteo de José "1,2, 3,4, 5,6, 7,8" estaban implícitos en su patrón de dedos numéricos asociado con "8" y podían ser explicitados al contar (cf. p. 146). En términos más generales, diría que los actos de conteo de José estaban implícitos en una secuencia de elementos unitarios abstractos. La aplicación de la operación de formación de unidades a elementos sensoriomotores o figurativos "los despoja" de su material sensoriomotor. Como hay registros del material sensoriomotor dejado atrás por la acción de despojo, los registros señalan lo que están implícito en el patrón unitario que "surgió" de los elementos antecedentes. Aunque la discusión sobre el patrón de dedos de Brenda, no involucró la operación de formación de unidades, esta se podría haber elaborado de esa manera.

En otra ocasión, empleé "implícito" de modo un poco diferente. Cuando hablaba de un esquema de resta que José había construido, dije que el esquema tenía una meta implícita en sus acciones (cf. p. 139). Definitivamente existe una etapa en la construcción de esquemas de suma y resta en la que los esquemas están interiorizados y disponibles para su empleo, pero en la que el niño no es consciente de la suma y de la resta como operaciones. En este caso, si el niño asimila una situación utilizando su esquema de resta, las tres partes

del esquema son empleadas en la asimilación y no sólo la primera parte, porque todas tres están contenidas (o están implícitas) en la primera parte. En el caso de José, "17,8" podía simbolizar el resultado del conteo, porque esta actividad estaba registrada en la secuencia simbolizada de elementos unitarios abstractos. Darse cuenta de los posibles resultados de la actuación, o anticiparla, quiere decir que la respuesta del esquema ha sido activada pero no actualizada. El estado de activación (o meta) constituye una perturbación que puede neutralizarse mediante la actuación y es por esto por lo que dije que la meta estaba implícita en las acciones de resta de José. La meta no podía separarse del esquema; o más bien, ésta fue posible mediante el funcionamiento del esquema. Para que una meta se vuelva explícita, no se puede preferir a ninguna actividad en particular, como lo ejemplifica el protocolo 12. Aquí, las operaciones de asimilación parte-todo fueron suficientes para que José creara una meta, sin que existiera un modo particular de operación.

En tercer lugar, en el protocolo 8 José utilizó implícitamente patrones figurativos para "diez". Organizó su actividad de conteo en dos secuencias de cuatro elementos unitarios abstractos (dos patrones numéricos) y luego en un par de elementos unitarios abstractos. Dije que el patrón figurativo estaba implícito en su operación, por haber organizado así su actividad de conteo (cf. p. 132). El patrón para "diez" estuvo activo a través de toda su actividad de conteo y proporcionó el modelo que empleó para organizar dicha actividad. Él estaba "adentro" del patrón, reprocesando su material en subpatrones numéricos. Este empleo de una estructura "al interior de la etapa" en la creación de novedades, que condujo a la reorganización vertical, puede contrastarse con el uso que enseguida dio a estos términos.

En cuarto lugar, identifique cinco etapas en el esquema de conteo. En cada etapa, los productos de las operaciones en una etapa anterior se vuelven explícitos en la etapa actual en cuanto ahora se pueden tomar como material para operar (fueron utilizados como material en el procesamiento que condujo a un cambio de etapa). Como previamente lo señalé, cuando los niños están en la etapa de la secuencia numérica inicial, el conteo en la resta "a partir de" es para ellos un método de resta, pero no se dan cuenta de por qué restan de ese modo mide por qué les funciona. Después de construir la secuencia numérica tácitamente articulada, los niños pueden tomar decisiones respecto a contar descendiendo hasta, o contar a partir de, cuando resuelven problemas de resta y pueden explicar por qué operan de ese modo. Pero el "sustraendo" y la "diferencia" que crean mediante la resta son resultados que ellos tomarán como material para operaciones subsiguientes, cuando construyan la secuencia numérica explícitamente articulada. En esta etapa, los niños son capaces de emplear ambas partes y de "volverlas a unir" para formar el minuendo. Esta nueva capacidad de operación permite la construcción de la inversión entre suma y resta, pero las operaciones parte-todo aún tienen que convertirse en material para operar.

Finalmente, comenté que el doble conteo estaba implícito en los actos de conteo de José, y que estos actos tenían la fuerza del doble conteo (p. 139). Además, comenté que la relación de inclusión estaba implícita en la secuencia numérica tácitamente articulada (cf. p. 148). Este uso del término es distinto al del cuarto caso, porque en este, para que las operaciones implicadas en el doble conteo estuvieran implícitas, el niño tendría que ser capaz del doble conteo: "cuatro es uno, cinco es dos, etc.". Si yo quisiera decir que el doble conteo estaba implícito para el niño en el cuarto sentido del uso del término, debería ser capaz de inferir que el niño era capaz del doble conteo y que él o ella se daban cuenta de los resultados del doble conteo pero que no podrían utilizarlos como material para otras operaciones. El niño sabría cómo contar doble y de ese modo, se daría cuenta del doble

conteo, pero no se daría cuenta de la estructura de la operación. Esto quizá parezca confuso, pero cuando dije que los actos de conteo llevaban la fuerza del doble conteo y se ése comentario desde la perspectiva de aquella parte de mis conocimientos matemáticos que no incluían el conocimiento matemático de José. Mi análisis de "implícito" y "explícito" en los cuatro primeros casos se hace solamente desde el punto de vista del actor -aquella parte de mis conocimientos matemáticos que sí incluye el conocimiento matemático del niño.

Cuando se tiene en cuenta el conocimiento de dos personas, los términos "explícito" e "implícito" adquiere nuevos significados. Como observador, digo que el doble conteo está implícito si el niño levanta sus dedos para hacer registros del conteo en orden descendente, aunque no pueda hacer doble conteo. El comportamiento del niño se ajusta a mi concepto de doble conteo en la medida en que puedo ver las coordinaciones que hace, por qué levantar un dedo mientras dice "dieciséis" funciona como un doble conteo. El patrón de dedos del niño para "ocho" funciona como un dispositivo "automático" de conteo y hace posible la coordinación funcional. Entonces, cuando el niño es capaz de funcionar como si utilizara operaciones que no le están disponibles, yo, como observador, digo que esas operaciones están implícitas. Esto quizá sólo parezca un asunto de semántica, pero es una distinción importante, porque lo que un observador alcance a "ver" de la manera como actualmente funciona un niño puede ser un precursor de novedades que el niño construya en etapas subsiguientes.

La distinción entre lo que es implícito o explícito, en un marco de referencia, en oposición a dos marcos de referencia, se hace desde el punto de vista del observador. No obstante, se pueden hacer tanto distinciones dentro del modelo como distinciones entre modelos. Por ejemplo, desde la perspectiva de las distinciones dentro del modelo la secuencia numérica inicial es una reorganización del esquema figurativo de conteo, y la secuencia numérica tácitamente articulada es una reorganización de la secuencia numérica inicial. Desde esta perspectiva, tenemos que preguntarnos si cualquier secuencia numérica es lo que Fischbein (1978) llama una intuición primaria, porque se introducen novedades en el proceso de construcción, las cuales no poseen raíces naturales -si por "raíces naturales" se entienden raíces basadas en experiencia sensorial. Por ejemplo, al utilizar la operación de formación de unidades el niño que opera introduce el doble conteo a través del reprocesamiento de segmentos re-presentados de la secuencia numérica inicial. En otras palabras, el niño introduce el doble conteo a través de sus operaciones sobre los productos de operaciones anteriores.

El niño también construye la secuencia numérica inicial auto-regulando el uso de la operación de formación de unidades. Así, esta operación tampoco tiene "raíces naturales". Como éste es el primer concepto matemático, si hablamos desde el punto de vista del actor, mi única conclusión es que ninguna construcción de las matemáticas se puede categorizar como una intuición primaria. Desde este punto de vista, si existe alguna parte de las matemáticas que se quisiera llamar intuitiva, y ciertamente ése es el caso, me parece que habría que considerarla al menos como una intuición secundaria. Las matemáticas no poseen raíces naturales, sino que el organismo operador las introduce como una novedad.

Igualmente, es importante anotar que, mientras los niños están en una etapa cualquiera del aprendizaje del esquema de conteo, realizan operaciones que engendran la siguiente etapa. Los productos de las operaciones de una etapa cualquiera allanan el camino para la siguiente etapa, pero se requiere una reorganización para alcanzar la siguiente. De modo que, aún en éste caso muy elemental, los niños reorganizan su esquema de conteo a medida que alcanzan una nueva etapa. La totalidad del esquema de conteo es reorganizada y no tan

sólo trozos de él, que es lo que Fischbein considera como lo necesario para una intuición secundaria. La reorganización que conduce a la secuencia numérica explícitamente articulada es la cuarta, de modo que podría llamarse una intuición de cuarto orden más bien que una intuición secundaria.

Nadie está obligado a construir las matemáticas, ni siquiera la secuencia numérica inicial. Pero la comprobación de que casi todos los seres humanos sí construyen los conceptos y operaciones matemáticos elementales hace que sea razonable trazar una distinción entre lo que serían intuiciones primarias y secundarias. Creo que esta distinción se basa en dos marcos de referencia -el conocimiento de Fischbein de las matemáticas (y de la física), que no incluye las matemáticas de los niños, y su conocimiento de las matemáticas de los niños. Esta distinción fundamental y esencial es especialmente importante cuando está en consideración lo que las matemáticas escolares podrían ser.

La experiencia de la incertidumbre la pregunta sobre cómo puede el niño llegar a darse cuenta de una incertidumbre en los

resultados de sus operaciones es central para la formulación de una teoría de la construcción de conocimiento. Con relaciona esta pregunta, cierto progreso se puede alcanzar a partir del caso concreto de Tomás, de quien ya hablé. Tomás aún construya patrones numéricos, pero ya había construido patrones figurativos como significados de las palabras numéricas hasta "cinco". Su esquema de conteo era figurativo y, como José, él era un contador de elementos unitarios motores. Ante una colección de elementos para contar, en la cual los elementos estaban escondidos tras dos pantallas, una que ocultaba siete y la otras cinco, Tomás trató de contar los elementos comenzando por "uno". Típicamente señaló la pantalla que ocultaba los siete elementos y al mismo tiempo enunció la siete primeras palabras numéricas y luego siguió, señalando la segunda pantalla, y al mismo tiempo enunció "8,9,...". Los puntos de contacto de Tomás formaban una fila pero no había huellas visibles y, por ende, ningún patrón visual que fuera obvio para el observador. Sin embargo, "cinco" tenía sentido para Tomás en la medida en que al escuchar la palabra enunciada, podía visualizar el patrón de dominó de cinco; y este patrón sirvio para la formulación de metas: contar cinco veces más. No obstante, él no era capaz de parar el conteo en un acto específico de conteo para alcanzar su meta, por la sencilla razón de que el patrón figurativo no era empleado para mantener la huella del conteo, ni tampoco podía utilizarlos para reconocer cinco actos de conteo. Sin embargo, era una meta activa. Así pues, como los resultados del conteo no retro-alimentaban la meta que activaba el conteo, esta no se podía alcanzar mediante la realización de la actividad. Lo cual crea una incertidumbre con respecto a cuándo parar de contar. De hecho, condujo a que Tomás reiniciará su esquema de conteo y utilizar a su operación de formación de unidades para reprocesar los resultados re-presentados del conteo en la creación de un sistema de retroalimentación.

Las matemáticas de los niños y la educación Experimentos de enseñanza. Las matemáticas de los niños consisten en los esquemas

matemáticos de los niños que pueden funcionar confiable y eficazmente, y en la forma como esos esquemas pueden ser modificados a medida que se los emplea. La metodología del experimento de enseñanza se desarrolló con el propósito explícito de aislar éstos esquemas y sus modificaciones. En general, un experimento de enseñanza, incluso uno de dos años, no se emprende para reemplazar la totalidad de las experiencias educativas de los

niños en las matemáticas. Más bien, la meta es el estudio de operaciones matemáticas de los niños y los episodios de enseñanza constituyen ocasiones para la observación. Los investigadores no presuponen que exista una relación causal entre lo que acontece en los episodios de enseñanza y lo que niño aprende. Todo lo contrario, el experimento de enseñanza se realiza en el contexto del funcionamiento del programa escolar de matemáticas y los cambios que se observan en los episodios de enseñanza podrían ser efectivamente el resultado de lo que aconteció en el salón de clase de matemáticas. Los episodios de enseñanza son suplementarios respecto al programa escolar de matemáticas y así, se convierten en una ventana sobre las operaciones matemáticas que los niños construyen tanto dentro como fuera de los episodios de enseñanza.

Como un experimento de enseñanza consiste en una secuencia de episodios de enseñanza, es posible observar las modificaciones que los niños introducen en sus esquemas. La meta es la de aprender las matemáticas de los niños; es por esto por lo que es esencial ser partícipe de sus construcciones cognitivas. Piaget (1964) destacó la experiencia como un factor crucial en el desarrollo intelectual y esto se aplica a los investigadores quienes pretenden adquirir conocimientos respecto a las estructuras conceptuales de los niños y su evolución. Mi propósito es desarrollar al máximo mi experiencia y reflexionar sobre esa experiencia porque los conocimientos matemáticos de los niños, siempre que e inevitablemente, son pensados en términos de mi propio marco de referencia y por tanto sólo pueden conocerse en términos de mis propios conceptos y operaciones. No conozco ningún otro camino para la formulación de una teoría viable sobre las construcciones cognitivas de los niños en matemáticas.

Una teoría de las construcciones cognitivas siempre será relativa a aquellos que la construyen. Los investigadores que elaboran una teoría de las matemáticas de los niños, por supuesto puede ser que nunca descubran cuáles son los conocimientos "reales" del niño en un sentido ontológico. Lo que sí podemos y debemos intentar es construir un modelo que sea compatible con nuestras observaciones de los niños; y puesto que suponemos, como lo hacen los científicos, que hay alguna regularidad en nuestro mundo de experiencias, podemos llegar a una conclusión parcial después de la cual quizás sintamos justificada la proyección del modelo al futuro y formulemos predicciones respecto a futuras experiencias con niños. La "generalidad" de los modelos que se construyen depende de las construcciones teóricas empleadas en los análisis conceptuales, que incluyen la construcción de modelos, y de la capacidad de razonamiento y de intuición de los constructores de los modelos. Pero tener algo que explicar constituye una parte esencial de la construcción de modelos cognitivos -uno debe construir algo semejante a una intuición primaria- y es por esto por lo que la teoría y la observación se apoyan mutuamente.

Las matemáticas de la escuela. Siempre subsiste la pregunta respecto a la totalidad de las experiencias educativas de los niños en matemáticas y cómo modelos construidos en un experimento de enseñanza pueden contribuir a estas experiencias. Personalmente, no veo ninguna alternativa viable a hacer de las matemáticas del niño las matemáticas de la escuela. De no hacer esto, me parece que se continuaría apelando a las matemáticas que nosotros los adultos conocemos para que sean las matemáticas de la escuela; una práctica que trivializan las matemáticas que los niños efectivamente construyen.

Por ejemplo, las secuencias numéricas de los niños en una cultura dada no pueden tomarse como si estuvieran imbuidas de todo su significado cultural, aunque solo fuese porque las operaciones que simbolizan pueden variar notablemente entre los niños, para no mencionar las diferencias entre niños y adultos. Es muy significativo que la secuencia

numérica verbal se construyera mucho antes de que se estableciera un sistema acabado de numerales escritos.

Nuestras investigaciones hasta ahora nos han demostrado que las leyes que gobiernan a los primeros numerales, el ordenamiento y el agrupamiento, de hecho no corresponden a la regla de la secuencia, la cual es una gradación paso tras paso. Por tanto, la escritura de los numerales no es meramente la representación de la secuencia de las palabras numéricas (Menninger, 1969, p. 53).

La observación de Menninger de que las secuencias numéricas de los romanos y de los

indo-europeos difieren sólo en detalles menores, pero que sus sistemas de numeración difieren radicalmente, demuestra la independencia de los sistemas verbales y escritos. También proporciona una perspectiva respecto a por qué puede subsistir una atención no resuelta entre las secuencias numéricas verbales y los numerales escritos de los niños.

Sean lo que sean, las organizaciones numéricas que están disponibles para los niños, inicialmente están simbolizadas por sus secuencias numéricas verbales. Debido a la manera como se enseña la aritmética, estas secuencias numéricas verbales a menudo no sirven como base para que los niños construyan el sistema escrito. El enfoque actual del "valor posicional" para la enseñanza de las secuencias numéricas, utilizado por la mayoría de los programas matemáticos escolares, sirve de ejemplo. Aunque lógicamente impecable, este enfoque sentado en los cardinales exige muchísimo de la operación de unión de los niños. Después de construir un diez, se requiere que los niños construyan un diez y uno más (una operación progresiva de unión) y que llamen a eso "once" y que sigan construyendo así hasta formar dos dieces. Luego tienen que tomar éstos dos dieces juntos como una unidad para formar una unidad compuesta que implica tres rangos. Deben "ver" a veinte como una unidad que contiene dos unidades, cada una de las cuales contiene diez unidades. Para dar significado a "veinte", como "dos dieces", tienen que descomponer a la unidad contenedora en dos dieces y luego descomponer los dos dieces y percibir esas unidades simples como "veinte", porque eso estaba implicado en el establecimiento de dos dieces. Esta composición y descomposición de unidades es muy exigente porque implica la construcción de una unidad de unidades de unidades.

Los niños que sólo han construido la secuencia numérica inicial tienen que formar una unidad de unidades durante la actividad y al operar superiormente no pueden tomar como algo dado a la unidad abstracta compuesta resultante. Así se ve la enorme brecha entre las operaciones de que disponen los niños y la exigencia que se les hace en el programa escolar para trabajar con "veinte". Estos niños consideran a "veinte" en términos de los significados intensivos y extensivos que bosquejé para unidades de uno. La organización de éstos dos significados en una unidad de unidades de unidades, como acabo de describirlo, no es posible para estos niños en su futuro inmediato. La situación sólo es un poquito mejor para los niños cuyas palabras numéricas simbolizan operaciones parte-todo, pues aún tienen que construir una unidad de unidades de unidades. Pueden encontrar, por ejemplo, cuántos dieces caben en cien, contando de a diez, pero tienen que realmente registrar la actividad para encontrar el resultado. Previo al conteo, no visualizan 100 cubos, por ejemplo, como ya divididos en tantas unidades abstractas compuestas de diez. Son capaces de construir estas operaciones de participación, pero esa es una etapa de aprendizaje más allá de las cinco que ya identifiqué.

Así, los resultados de experimentos de enseñanza pueden tener una importancia fundamental para la enseñanza de las matemáticas en la escuela elemental si las matemáticas en cuestión son las matemáticas de los niños. Puesto que estas matemáticas han estado, y continúan estando aisladas en la comunicación matemática interactiva entre adultos y niños (así como entre los niños) en los lugares de aprendizaje, mi esperanza es que sean consideradas seriamente por otros profesores de matemáticas cuando intenten construir programas educacionales en matemáticas, que sean armónicos con los métodos y modos de operación de los niños.

TRADUCCIÓN: MARÍA CRISTINA TENORIO DE SAMPSON

BIBLIOGRAFÍA Brouwer, L.E.F. (1983). Intuitionism and formalism. Bulletin of the American

Mathematical Society, 20, 81-96 Caramuel, J. (1977). Meditatio prooemialis, mathesis biceps. In A. Parea, P. Soriano, & P.

Terzi (Eds.). L´aritmetica binaria e le altre aritmetiche di Giovanni Caramuel, Vescovo de Vigevano. Vigevano, Italy: Academia Tiberina. (Original Work Published in 1970).

Cobb, P. & Steffe, L.P. (1983). The constructivist researcher as teacher and model builder. Journal for Research in Mathematics Education, 14, 83-94.

Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht, Holland: D. Reidel. Gelman, R. & Gallistel, C.R. (1978). The child´s understanding of number. Cambridge:

Harvard University Press. Hausdorff, F. (1962). Set Theory. New York: Chelsea Publishing Company. Hunting, R. (1983). Emerging methodologies for understanding internal processes

governing children´s mathematical behavior. The Australian Journal of Education, 27(1), 45-61.

Menninger, K. (1969). Number words and number symbol: a cultural history of numbers. Cambridge: The MIT Press.

Piaget, J. (1973). La construction du reel chez l´enfant. Neuchatel: Delachaux et Niestle. Piaget, J. (1964). Developmental and learning. In R.E. Ripple, V.N. Rockcastle (Eds.)

Piaget rediscovered: A report of the conference on cognitive studies and curriculum development (pp. 7-29). Ithaca: Cornell University Press

Piaget, J. (1980). Adaptation and intelligence: Organic selection and phenocopy. Chicago: University of Chicago Press.

Piaget, J. (1980). The psychogenesis of knowledge and its epistemological significance. In Piatelli-Palmarini, M. (Eds.), language and learning: The debate between Jean Piaget and Noam Chomsky (pp. 23-34). Cambridge: Harvard University Press.

Sinclair, H. (1971). Number and measurement. In M.F. Rosskopf, L.P. Steffe, & S. Taback (Eds.) Piagetian cognitive development research and mathematical education (pp. 149-159). Washington, D.C.: NCTM.

Steffe, L.P. (1983). The teaching experiment in a constructivist research program. In M. Zweng et al. (Eds.), Proceedings of the forth international congress on mathematical education (pp. 469-471). Birkhauser Boston, Inc.

Steffe, L.P. (1988). Lexical and syntactical meanings: Tyrone, Scenetra, and Jason. In L.P. Steffe, & P. Cobb (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer Verlag.

Steffe, L.P., von Glasersfeld, E., Richards, J., & Cobb, P. (1983). Children´s counting types: Philosophy, theory, and application. New York: Praeger Scientific.

Steffe, L.P. & Cobb, P. (Whith E. von Glasersfeld) (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer Verlag.

Steffe, L.P., Richards, J., & von Glasersfeld, E. (1979). Experimental models for the child´s acquisition of counting and of addition and subtraction. In K. Fuson & W.E. Geeslin (Eds.), Explorations in the modeling of the learning of mathematics (pp. 27-44). Columbus: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education.

Thompson, P. (1982). A theoretical framework for understanding young children´s concepts of whole number numeration (Doctoral dissertation, University of Georgia, 1982). Dissertation Abstracts International, 43, 1868A.

Thompson, P. (1982). Were lions to speak, we wouldn´t understand. Journal of Mathematical Behavior, 3(2), 145-165.

Van Engen, H. (1949). An analysis of meaning in arithmetic. Elementary School Journal, 49, 321-329, 395-400.

von Foerster, H. (1984). On constructing a reality. In P. Watzlawick (Ed.), The invented reality: How do we know what we believe we know? London: W.W. Norton.

von Glasersfeld, E. (1980). The concept of equilibration in a constructivist theory of knowled. In F. Benseler, P.M. Hejl, & W.K. Kock (Eds.), Autopoiesis, communication, and society (pp.75-85). Frankfurt: Campus Verlag.

von Glasersfeld, E. (1981). An attentional model for the conceptual construction of units and number, Journal for Research in Mathematics Education, 12, 83-94.

von Glasersfeld, E. (1983). Learning as constructive activity. In J.C. Bergeron & N. Herscovics (Eds.), Proceedings of the Fifth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. PMEna, Montreal, Canada.

Vygotsky, L.S. (1956). Learning and mental development at school age. In A.N. Leontiev & A.R. Luri (Eds.), Selected psychological works (pp. 438-452), Moscow. (Article written in 1934).

Vergnaud, G. (1987). Abaud constructivism. In J.C. Bergeron, N. Herscovics, & C. Kieran (Eds.), Psychology of mathematics education: PME-XI (pp. 42-54). Montreal, Canada.

Wheeler, D. (1987). The world of mathematics: Dream, myth, or reality? In J.C. Bergeron, N. Herscovics, & C. Kieran (Eds.), Psychology of mathematics education: PME-XI (pp. 55-66). Montreal, Canada.