Come le frazioni e le proporzioni,le equazioni costituiscono validi strumenti per risolvere problemi, che vengono chiamati di 1°,2°…a seconda del grado dell’equazione

risolvente.

Per fissare le idee,analizziamo qualche situazione problematica ricavata da contesti diversi e proviamo a risolverla…

Una persona deve costruire uno steccato a forma di trapezio isoscele. Sapendo che la base maggiore è ugualea ciascuno dei lati obliqui,mentre la base minore èi 3/5 di quella maggiore e il perimetro è di 18 metri,calcolate quale sarà la lunghezza di ciascuno dei latidello steccato.

Ricorda che,per la risoluzione

di un problema,occorre individuare:

Obiettivi Quali risultati dobbiamo ottenere?

Dati Quali informazioni ci fornisce il testo del problema?

Incognite Quali sono le grandezze di cui non conosciamo il valore?

DominioCon quale insieme numerico sono rappresentabili le grandezze indicate dalle incognite?

Relazioni

Di quali “risorse” (conoscenze teoriche,strumenti di calcolo)disponiamo per formalizzare le informazioni?

C

BA

D

DATI 1) AB = BC = AD

2) DC = 3/5 AB

OBIETTIVI La lunghezza di ciascuno dei lati dello steccato

INCOGNITE La lunghezza, in metri, del lato AD del trapezio che indicheremo con X

DOMINIO La lunghezza del lato incognito è rappresentabile con un numero naturale diverso da zero,quindi:

x Є N -{0}

RELAZIONE P(ABCD) =18m

ossia

AB+BC+CD+DA=18

FORMALIZZAZIONE

LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE

La base maggiore è uguale

a ciascuno dei lati obliqui;la loro misura sarà un certo numero di metri

x

la base minore è

i 3/5 di quella maggiore

Il perimetro

é =di 18 metri 18

x5

3

xxxx5

3

Quindi la relazione prima indicata

diventa:Rappresenta

una equazione di

1 grado nell’incognit

a x

185

3 xxxx

Due automobilisti partono da due diverse località,Reggio Calabria e Napoli,che distano fra di loro 510 km.

Il primo viaggia alla velocità costante di 90km/h,il secondo alla velocità costante di 80 km/h.

Dopo quanto tempo si incontrano?E a quale distanza da Reggio Calabria?

Provate a dare le vostre risposte:

I due automobilisti si incontrano dopo…………..

Si trovano alla distanza di km…….da Reggio Calabria

Reggio Calabria Napoli

Proviamo adesso a risolvere il problema con lo strumento “equazione” e dopo confrontiamo i risultati e soprattutto il modo di procedere.

Ricordate che in Fisica il rapporto tra lo spazio,percorso da un mobile,e il tempo impiegato a percorrerlo,viene misurato da una grandezza chiamata velocità ed espresso in m/s o km/h.?

In formule:t

sv

Da cui si ricavano facilmente,come vedrete dopo aver studiato le equazioni,

tvs v

st

NEL NOSTRO PROBLEMA:

OBIETTIVI

1. Determinare dopo quanto tempo i due automobilisti si incontrano.

2. Determinare a quale distanza da Reggio Calabria si incontrano.

DATI

a) Distanza tra le due località : km 510

b) Velocità del primo automobilista: 90km/h

c) Velocità del secondo automobilista: 80 km/h

INCOGNITENumero delle ore trascorse dalla partenza al momento in cui gli automobilisti si incontrano : x

DOMINIO

Le ore sono rappresentabili con un numero naturale diverso da zero,quindi:

x Є N -{0}

FORMALIZZAZIONE

LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE

Due automobilisti partendo da due località diverse si incontrano dopo un certo numero di ore

x

Il primo automobilista si muove alla velocità costante di 90 km/h e quindi percorre un certo numero di chilometri

90x

Il secondo automobilista si muove alla velocità costante di 80 km/h e quindi percorre chilometri

80x

Quando i due si incontrano,la somma dei due percorsi

90x+80xcorrisponde =Alla distanza tra le due località 510

LA RELAZIONE : 90x+80x=510

COSTITUISCE

IL MODELLO MATEMATICO

del problema

E’ una equazione di

primo grado in una incognita!

Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata solo per particolari valori attribuiti alla lettera x. Tali particolari valori costituiscono le soluzioni dell’equazione.

Esempio: 2x+1=7 è un’equazione e risulta verificata solo per il valore di x=3 (soluzione)

È di 1° perché il polinomio al primo membro è di 1°.

Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dell’equazione.

2x-6 = 0

Grado di un’equazione intera nella

forma P(x)=0:È il grado del

polinomio

Data una genericax-1+2x = 3x-1

Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.

x – 1 + 2x = 3x - 1

1° membro 2° membro

I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori “verificano” l’equazione.

Esempio: y-9=1Ha come soluzione il valore 10, perché 10-9=1. Diciamo che la soluzione è y=10.

Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza.

5x = 15

x 1° membro 2° membro-3 -15 15-2 -10 15-1 -5 150 0 151 5 152 10 153 15 15

x = 3 è la soluzione cercata

Data un’equazione ax = b determinare una soluzione significa determinare quel particolare valore dell’incognita che rende il primo membro uguale al secondo

Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle equazioni, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Si utilizzano per trasformare un’equazione in una equivalente, di solito più semplice

Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Se si aggiunge o si sottrae una stessa espressione letterale, contenente o no l’ incognita, per entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Se si moltiplicano o o si dividono entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da 0,o per una stessa espressione letterale ( escludere i valori delle lettere che la annullano o che la rendono priva di significato), si ottiene un’equazione equivalente alla precedente.

Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 ; x = 10 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri l’espressione: 6 – 7x:

8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10

Esempio: 8x = -16 ; x= -2 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:

8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2

Ecco la soluzione del primo problema analizzato

L’equazione risolvente era:

185

3 xxxx ossia:

185

18x cioé

5

90

5

18x

Per il secondo principio di equivalenza,moltiplicando ambedue i membri per 5,

diventa 18x = 90

e,dividendo ancora entrambi i membri per 18

si ottiene x= 5 quindi

i lati dello steccato AB=BC=AD =5 metri,mentre il lato DC=3 metri.

Ecco la soluzione del secondo problema analizzatoLA RELAZIONE : 90x+80x=510

Equivale a:

170x=510 ( modello generale; ax=b)ax=b)

Da cuiDa cui

Dividendo ambedue i membri per 170 ( Dividendo ambedue i membri per 170 ( II principio di equivalenzaII principio di equivalenza))

Si ottiene:Si ottiene:

170

510

170

170x

E cioè:

3x Ciò significa che gli automobilisti si incontrano dopo 3 ore dalla partenza

Sostituendo poi quest’ultimo dato nella formula già vista

tvs kmhh

kms 270390

L’incontro avviene a 270 km da Reggio Calabria

Equazioni di primo grado numeriche intere ad un’incognita

Forma normale: è la forma più semplice in cui può presentarsi un’equazione di primo grado ad un’incognita

Ax=B

Risoluzione :

Equazione in forma complessa

Equazione equivalente in forma normale Ax=B

Principi di equivalenza

Equazione determinata

A<>0

Equazione indeterminata

A=0; B=0

Equazione impossibile A=0 B<>0

Soluzione x=B/A

Le equazioni si classificano in base:

alla posizione dell’incognitaintere

fratte

ai coefficientinumeriche

letterali

all’ esistenza di soluzioni

determinate

indeterminate

impossibili

Si dice che un’equazione è intera se l’incognita è presente soltanto nei numeratori.

L’incognita è solo al numeratore.

Un’equazione fratta si ha quando un’incognita è presente anche al denominatore.

L’incognita è presente anche al denominatore.

Quando si risolve un’equazione

fratta,bisogna fare attenzione al dominio,cioè

all’insieme numerico dell’incognita x !

Ad esempio,nell’equazione fratta

Il dominio è rappresentato da R-{0,-1},cioé dall’insieme dei numeri reali tranne 0 e -1.

Ciò significa che la x e quindi la soluzione non potrà mai assumere valore 0 o -1.

I valori 0 e -1 sostituiti

nell’equazione alla x,renderebbero i

denominatori nulli,quindi le frazioni

senza significato e l’equazione impossibile!

1

1

3

4

xx

Abbiamo delle equazioni numeriche quando tutti i coefficienti sono numeri.

Sono tutti numeri

In un’equazione letterale nei coefficienti sono presenti anche le lettere

Contiene delle lettere

Anche le equazioni letterali vanno ridotte alla forma normale ax

= b

Nelle equazioni letterali compaiono oltre alla incognita x altre lettere che possono assumere valore diverso e

dare così luogo ad equazioni

numeriche di tipo diverso.

Ho capito! Le equazioni letterali,sono quelle che si devono

discutere!Le loro soluzioni dipendono dal

valore del coefficiente della incognita x.

Forse è meglio rivedere la slide n.22!

È determinata in quanto ha una sola soluzione:

Un’equazione è determinata se ha un numero finito di soluzioni

Se un’equazione ha infinite soluzioni è detta indeterminata

È indeterminata perché possiede infiniti valori di x, al variare di y e viceversa:

Se y=0 allora x=1;

Se y =1 allora x=0;

Se x=3 allora y=-2 ..ecc.

Esempi:

Questo è un altro caso di equazione indeterminata in quanto

NB: la soluzione di questa equazione è data da qualsiasi numero reale, quindi tale equazione ha infinite soluzioni: tutti i numeri reali.

Un’equazione che non ha soluzioni si chiama impossibile.

Non esiste alcun valore di x che renda vera l’uguaglianza, per questo si dice che è una equazione impossibile.

ax = b con a,b,x

Equazioni determinate

(una soluzione)

ax = b

Equazioniindeterminate

(infinite soluzioni)

0x = 0

Equazioniimpossibili

(nessuna soluzione)

0x = b

Un’equazione di 1°,ridotta alla forma normale,assume in generale la forma:

ClassificazioneEquazioni

RazionaliLe incognite non

compaiono sotto un segno di radice

IrrazionaliLe incognite compaiono sotto un segno di radice

NumericheOltre alle incognite non compaiono altre lettere

letteraliOltre alle incognite

compaiono altre lettere

Interele incognite non compaiono in un

denominatore

FratteLe incognite compaiono anche nei denominatori

Grado di u

n’equazi

one

intera n

ella f

orma

P(x)=0:

È il grad

o del polin

omio