Embed Size (px)
DESCRIPTION
combinatorica
Citation preview
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
CombinatoricaCalculul unor sume
1. Să se calculeze sumele: a) n
n3n
2n
1n nC...C3C2C
b) 1n
C1....
3
C
2
C
1
C nnn
2n
1n
0n
.
Rezolvare.
a) Metoda 1 Utilizând formula k k 1n n 1
kC nn C nCk 1 kCn 1
k
şi aplicând-o fiecărui termen
în parte obţinem:
1n2n1n1nC....1
1nC01nCnnnC....nC21
nC
1n1n
nCnnC
.........................
1nnCnC3
1nnCnC2
1nnC1
nC1
n2
n
23
12
0
.
Metoda 2 Notăm nnnC.....3
nC32nC21
nCnS . Rescriem suma nS , utilizând
formula combinărilor complementare , knn
kn CC :
013n2n1nnnCnC1n.....nC3nC2nCnS . Adunând această sumă cu suma iniţială
vom obţine: 1n2nnSn2nnS2nnC.....1
nC0nCnnS2
b) Folosind formulak 1
k k 1n 1n n 1k
n
n 1C 1C C
n 1C k 1k 1
1
şi aplicând-o fiecărui termen în
parte obţinem:
1n
11n2n2
1n
1.....
4nC
3
2nC
2
1nC
1
0nC
........................
1nC1n
1nC
3
1
1nC1n
1nC
2
1
1nC1n
1nC
1
1
3
32
21
10
Am ţinut cont că: n2....21nC0
1nC....31nC1
1nC .
2. Să se deducă egalităţile:
a)
4
ncos
n2.....nCnCnCnC 6420 ;
b)
4
nsin
n2.....nCnCnCnC 7531 .
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
Rezolvare.Plecăm de la numărul complex i1z , care scris sub formă trigonometrică devine:
z 1 i 2 cos isin4 4
.
Formula lui Moivre dă
4
nsini
4
ncos
n2ni1nz (1).
Aplicând pentru acelaşi număr complex formula lui Newton şi ţinând seama de
puterile lui i, avem:
.....
7n
C5n
C3n
C1n
Ci.....nCnCnCnCni1 6420 (2).
Din (1) şi (2) prin identificarea părţilor reale şi imaginare, rezultă egalităţile cerute.
.....
7n
C5n
C3n
C1n
Ci.....6nC4
nC2nC0
nC4
nsini
4
ncos
n2
n nn n 1 30 22 cos i 2 sin C C ..... i C C .....n n n n4 4
4
ncos
n2.....2
nC0nC şi
4
nsin
n2.....3
nC1nC .
3. Să se arate că 0 3 6 1 nnC C C ..... 2 2cosn n n3 3
Rezolvare.
Fie1 i 3 1 i 3 2 2
cos i sin2 2 2 3 3
, o rădăcina cubică a unităţii ( 3 1
şi 2 1 0 ). În dezvoltarea n 0 1 2 2 3 3 4 4
n n n n n1 k C kC k C k C k C .... luăm
pe rând 2k 1, k ,k şi obţinem: n 0 1 2 3 4
n n n n n2 C C C C C ....
n 0 1 2 2 3 4
n n n n n1 C C C C C ....
n
2 0 2 1 2 3 2 4n n n n n1 C C C C C ....
Adunând membru cu membru cele 3 egalităţi vom obţine
nnn 2 0 3 6
n n n2 1 1 3 C C C ...... (3). Deoarece
1 i 31 cos i sin
2 2 3 3
, 2 1 i 3
1 cos i sin2 2 3 3
, din
egalitatea (3) obţinem egalitatea din enunţ.
4. Să se calculeze sumele: a) n
n2n
1n
0n C1n....C3C2C ;
b) nn
2n
1n
0n C1n2....C5C3C ;
c) nn
2n
1n
0n C1n4....C9C5C ;
d) nn
2n
1n
0n C3n4....C11C7C3 ;
e) nn
1n
0n C1kn4....C5kC1k .
Indicaţii. a) Notăm n
nC1n.....nC3nC2nCnS 210 . Rescriem suma nS , utilizând
formula combinărilor complementare , knn
kn CC :
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
012n1nnnC1nnnC.....nC3nC2nCnS . Adunând această sumă cu suma iniţială
vom obţine:
n22nnS2n
nC.....1nC0
nC2nnS2 n 1S n 2 2
n
.
5. Să se calculeze sumele:
a)1n
C....
3
C
2
CC
nn
2n
1n0
n
;
b) 2n1n
C....
43
C
32
C
21
C nn
2n
1n
0n
;
c)2n
C....
4
C
3
C
2
C nn
2n
1n
0n
;
d) 1n
C1....
4
C
3
C
2
C nnn
3n
2n
1n
.
Indicaţii.
a) Utilizând formula k k 1n n 1
1C C
n 1
1
k 1
, se obţine:
n
0k
1k1n
n
0k
1k1n
n
0k
nn
nn
2n
1n
0n
n C1n
1
1n
C
1k
C
1n
C....
3
C
2
C
1
CS
01n
1n1n
11n
01n
1n1n
21n
11n CC....CC
1n
1C....CC
1n
1
1n
12C2
1n
1 1n0
1n1n
.
6. Să se calculeze n
1 i 3
2 2
în două moduri (aplicând formula lui Moivre şi
formula binomului lui Newton), apoi să se deducă egalităţile:
a) 3
n2cos21.....C27C9C3C nn6
n4n
2n
0n
;
b)
3
n2sin
3
21.....C9C3C
1n1n5n
3n
1n
.
Indicaţii. n n
1 i 3 2 2 2n 2ncos i sin cos i sin
2 2 3 3 3 3
;
n n n 10 1n n
1 i 3 1 1 i 3C C .....
2 2 2 2 2
etc.
7. Demonstraţi identităţile:
a)
4
ncos22
2
1.....CCC 2
n1n8
n4n
0n ;
b)
4
nsin22
2
1.....CCC 2
n1n9
n5n
1n .
8. Fie .....CCCCS 6n
4n
2n
0n1 şi .....CCCCS 7
n5n
3n
1n2 . Să se arate că:
a) n1 2S iS 1 i
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
b) n22
21 2SS .
Indicaţii.
Se dezvoltă n1 i după formula binomului lui Newton;
b) nn n 2 2
1 2 1 2 1 21 i S iS S iS 1 i S S 2 n22
21 2SS .
