columnas biaxiales

5/12/2018 columnas biaxiales - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

[ROMEL ALARCÓN]

1. TEMA: COLUMNAS BIAXIALES

2. OBJETIVOS:

• Aprender los diferentes métodos para resolver los miembros a comprension que estansujetos a flexión biaxial.

• Aplicar los métodos de diseño ACI de los elementos compuestos sujetos a flexocompresión biaxial, en los que se reune temas necesarios que permitan el análisis teórico de este tipo deelementos

3. INTRODUCCIÓN:Un ejemplo de miembros a comprensión que están sujetos a flexión en dos planos o flexión biaxial son las columnas esquineras de los edificios, estas columnas estan sujetas a momentosMxx con respecto al eje x, que produce una excentricidad ey de la carga y un momentoMyy con respecto al eje y, que ocasionan una excentricidad ex de la carga, por esto, el ejeneutro se inclinaun ángulo a con respecto al ala horizontal.

El ángulo a depende de la interacción de los momentos flexionantes con respecto a ambos ejes yde magnitud de la carga Pu.

A continuación se ofrecen los diagramas de tensiones de las secciones compuestas de acuerdocon el codigo ACI en estudio, para obtener los valores de las resistencia a compresión, Pn yflexión Mnx , Mny y los metodos aproximados mas simples.

4. FUNDAMENTO TEÓRICO:

4.1. Resistencia de una sección transversal frente a comprensión y flexión en dos planos de

acuaerdo al ACI.

La distribución de tensiones de una sección compuesta de acuerdo al ACI se puede observar enlas figuras siguientes:

Para los dos tipos de sección compuesta, por el equilibrio de las fuerzas enternas y externas setiene:

Resistencia a compresión: Fat FacCc Pn −+=

Y la resistencia a flexión:

Yat Fat Yac FacYcCcey PnMnx **** ++==

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En las que: Acc f Cc *´85.0= Fuerza del concreto a compresión

∑= Fy Aac Fac * Resultante de las fuerzas en el acero a tensión

∑= Fy Aat Fat * Resultante de las fuerzas en el acero a tensión

Ac Área del hormigón en comprensión. Aac Área de la sección de acero en compresión Aat Área de la sección de acero en tensiónGc Centro de gravedad del área de concreto en compresión, que

tiene las coordenadas con respecto al eje neutro Xc y Ycen las direcciones X y Y , respectivamente.

Gac Posición de la resultante de las fuerzas de la sección de aceroen el área a compresión, que tiene las lascoordenadas Xac yYac con respecto al eje neutro en lasdirecciones

X yY

, respectivamente.

Gat Posición de la resultante de las fuerzas de la sección de aceroen tensión, que tiene las coordenadas Xat yYat conrespecto al eje neutro en las direcciones X y Y ,respectivamente.

Distribución de tensiones en una sección rectangular sometidas a esfuerzos biaxiales, de acuerdo al ACI

Distribución de tensiones en una sección circular sometidas a esfuerzos biaxiales, de acuerdo al ACI

Los métodos analizados en las secciones anteriores permiten diseñar columnas rectangulares ocuadradas cuando la flexión está presente únicamente con respecto a uno de los ejes principales.

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Existen situaciones, de ninguna manera excepcionales, en las cuales la compresión axial estáacompañada por flexión simultánea con respecto a los dos ejes principales de la sección. Éste esel caso, por ejemplo, de las columnas esquineras de edificios donde las vigas principales y las

secundarias llegan hasta estas columnas en las direcciones de los dos muros y transfieren susmomentos extremos a la columna en dos planos perpendiculares. Situaciones similares de carga pueden ocurrir en columnas interiores, en particular si la planta de columnas es irregular.

La situación con respecto a la resistencia de columnas cargadas biaxialmente se ilustra en lafigura. Sean X y Y las direcciones de los ejes principales de la sección transversal. En la figura

(a), la sección se somete a flexión sólo con respecto al eje Y, con una excentricidad de la carga e,medida en la dirección X . La curva correspondiente de interacción de resistencias aparece como.Caso (a) en el esquema tridimensional de la figura (d) y se delinea en el plano definido por losejes Pn y Mny. Esta curva puede determinarse con los métodos corrientes para flexión uniaxial.De modo similar, la figura (d ) muestra la flexión con respecto al eje X únicamente, con unaexcentricidad ey medida en la dirección Y. La curva de interacción correspondiente es el Caso

(b) en el plano de Pn y M , en la figura (d). Para el Caso (e), que combina los ejes de flexión X yY , la orientación de la excentricidad resultante se define mediante el ángulo A:

Mnx

Mny

ey

exrc arctantan ==λ

Para este caso, la flexión es con respecto a un eje definido mediante el ángulo θ con respecto aleje X .

El ángulo A de la figura c de fine un plano en la figura d , que pasa a través del eje vertical Pn

conformando un ángulo A con el eje de M, como se indica. En este plano, la resistencia de lacolumna se define mediante la curva de interacción marcada como Caso (c). Para otros valoresde A se obtienen curvas similares para definir la superficie de falla para una situación de cargaaxial más flexión biaxial, como la de la figura d . La superficie es exactamente análoga a la línea

de falla para carga axial más flexión uniaxial. Cualquier combinación de Pu, M, y Muy quecaiga dentro de la superficie puede aplicarse sobre la columna en forma segura, pero cualquier

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P n

P n

P n

X

X

X

C a s o ( a )

C a s o ( b )

C a s o ( c )

M n y o

M n yM n x

M n x o

P n

P nP l a n o c o nc o n s t a n t e

C o n t o r n o d e c a r g a

P l a n o c o nc o n s t a n t e

(a )

(b )

(c )

hc

e x

e y

e y

e x

P n

Y

(d )

θ

λ

λ





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punto que esté por fuera de la superficie representaría la falla. Observe que la superficie de falla puede describirse bien sea mediante un conjunto de curvas definidas por planos radiales que pasan a través del eje de Pn, como lo señala el Caso (c), o por un conjunto de curvas definidas

por intersecciones de planos horizontales, cada uno para una carga constante P, definiendo asílos contornos de carga.

La construcción de una superficie de interacción para determinada columna parecería ser unaextensión obvia del análisis de flexión uniaxial. En la figura c, podrían seleccionarse opcionessucesivas de la distancia c al eje neutro para un valor seleccionado de θ . Para cada una deéstas, utilizando la compatibilidad de deformaciones y las relaciones esfuerzo-deformación paraestablecer las fuerzas en las barras y la resultante de compresión en el concreto, utilizando luegolas ecuaciones de equilibrio para encontrar P, M, y Mny, se podría determinar un solo punto enla superficie de interacción. Cálculos repetitivos, fácilmente realizados mediante computador, pueden establecer entonces una cantidad suficiente de puntos que definen la superficie. La zonade compresión, de forma triangular o trapezoidal como en la figura c, es una complicación y, por lo general, la deformación en cada barra de refuerzo será diferente, pero estas características pueden incorporarse en el análisis.

Sin embargo, la principal dificultad es que el eje neutro no va a ser, en general, perpendicular ala excentricidad resultante dibujada desde el centro de la columna hasta el punto de aplicación dela carga Pn. Para cada selección sucesiva del eje neutro, existen valores únicos de Pn, M, y Mny

y, sólo para casos especiales, la relación Mny /Mnx , será tal que la excentricidad resulte perpendicular al eje neutro seleccionado para los cálculos. El resultado es que, para seleccionessucesivas de c para determinado 0, el valor de A en las figuras c y d variará. Los puntos en lasuperficie de falla establecidos de esta manera se desviarán de dicha superficie para valorescrecientes de Pn, y no representarán un plano de intersección, como en el Caso (c) de la figura

d.

En la práctica, la carga mayorada Pu, y los momentos mayorados M , y Muy, que deben ser resistidos, se determinan mediante el análisis del pórtico de la estructura. Por consiguiente seestablece el valor real de A = arctan (Muy/Mux) y se necesita únicamente la curva del Caso (c),

figura d , para verificar si la columna de prueba es adecuada. Se describe un método decomputador iterativo para establecer la línea de interacción para el valor particular de Aaplicable.

Como alternativa, se utilizan métodos aproximados más simples. Éstos se describen acontinuación:

4.2. MÉTODO DEL CONTORNO DE CARGA:El método del contorno de carga se basa en la representación de la superficie de falla de la figura d , mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de P. La forma

general de estas curvas puede aproximarse mediante una ecuación de interacciónadimensional:

0.1

2

0

1

=

+

α α

ny

ny

nxo

nx

M

M

M

M

Donde:

yn e P M *=

M M nx =0 cuando 0=nyM

xnny e P M *=

nyny M M =0 cuando 0=M

Además a, y a, son exponentes que dependen de las dimensiones de la columna, de la cantidad y

distribución del acero de refuerzo, de las características esfuerzo-deformación unitaria del aceroy del concreto, de la cantidad de recubrimiento de concreto y del tamaño de los flejes

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transversales o espirales. Cuando a, = a, = a, las formas para estos contornos de interacción soncomo las mostradas en la figura para valores específicos de a.La introducción de los coeficientes del Código ACI para reducir a resistencias de diseño las

resistencias a carga axial y a flexión, no presenta dificultad alguna. Se aplican los coeficientesapropiados a Pn, M, y My, y se define una nueva superficie de falla, similar a la original

pero dentro de ésta. Con la introducción de los coeficientes y con a, = a, = a, la ecuaciónanterior se transforma en:

0.1

0

=

+

α α

φ

φ

φ

φ

ny

ny

nxo

nx

M

M

M

M

Obviamente los coeficientes también pueden utilizarse en la descripción de los contornos decarga para la superficie de resistencias de diseño cambiando los títulos de las coordenadas deacuerdo con dicha ecuación.Los cálculos publicados por Bresler indican que los valores de a están en el intervalo de 1.15 a

1.55 para columnas cuadradas y rectangulares. Los valores cercanos al valor inferior de esteintervalo son los más conservadores. En la referencia 8.7 se encuentran métodos y ayudas dediseño tendientes a una estimación más definida del valor de a.En la práctica se conocen los valores de Pu, M, y Muy a partir del análisis de la estructura.Para una sección de columna tentativa, los valores de Mnxo y Mnyo correspondientes a lacarga Pu pueden encontrarse fácilmente mediante los métodos usuales para flexión uniaxial.Luego, remplazando a Mnx , con M , y a Mny con, como alternativa, dibujando M , y Muy

en la figura 8.16, se puede confirmar que una combinación particular de momentos mayoradoscae dentro del contorno de carga (diseño seguro) o por fuera del contorno (falla) y es posibleentonces modificar el diseño si es necesario.Se presenta un método aproximado relacionado con el método del contorno de carga, en el cualel contorno curvo de carga se remplaza por una aproximación bilineal.Esto conduce a un método de diseño de prueba en que los momentos de flexión biaxial unmomento equivalente de flexión uniaxial. Gráficos de diseño basados en este métodoaproximado se encuentran en el ACI Column Design Handbook.Los diseños tentativos que se obtienen de esta manera deben verificarse mediante el método delcontorno de carga descrito anteriormente o con el método de la carga inversa que se presenta acontinuación.

4.3. MÉTODO DE LA CARGA INVERSAUn método de diseño simple y aproximado, desarrollado por Bresler, se verificósatisfactoriamente mediante comparación con resultados de gran cantidad de ensayos y cálculos.Es preciso observar que la superficie de interacción de la columna de la figura d puede dibujarsealternativamente como una función de la carga axial Pn y de las excentricidades. ex = Mny/Pn yey = Mnx/Pn, como aparece en la figura. La superficie S, de la figura a puede transformarse en

una superficie de falla equivalente S, como se ilustra en la figura b, donde ex y ey se dibujancontra l/Pn en vez de P . Así que, ex = ey = O corresponde al inverso de la capacidad de lacolumna si ésta se cargara concéntricamente, Po; esta situación se representa con el punto C.Para ey = O y para cualquier valor determinado de e, existe una carga Pnyo(correspondiente almomento Mnyo) que producirá la falla. El inverso de este valor de carga es el punto A. En formasimilar, para e, = O y para cualquier valor de ey, existe algún valor de la carga Pnxo

(correspondiente al momento Mnxo) que producirá la falla; el inverso de éste es el punto B.

Los valores de Pnxo y Pnyo se determinan para excentricidades conocidas de la carga aplicada adeterminada columna, utilizando los métodos establecidos anteriormente para flexión uniaxial ocon las gráficas de diseño para flexión uniaxial.

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1/Pn. exacta1/Pnxo1/Pnyo

1/PnPn

(a)

(b)

PoSuperficie de

falla s1

ex eyex

Aproximación

mediante superficie

plana S´2Superficie

de falla S2

c

1/Po

A

1/Pn. aprox ey

B



[ROMEL ALARCÓN]

Un plano oblicuo S', se define mediante los tres puntos: A, B y C ; este plano se utiliza como unaaproximación a la superficie real de falla S. Observe que para cualquier punto en la superficiecualquier combinación de ex y ey) existe un plano correspondiente S'. Así que

La aproximación de la superficie real de falla S, incluye una cantidad infinita de planos S',

determinados mediante pares de valores particulares de e, y ey, es decir, con los puntos particulares A, B y C.

al l/Pn,exacta, hasta la superficie de falla real, puede estimarse siempre en forma conservadoramediante la distancia l/Pn,aprox , hasta el plano oblicuo ABC (extendido), gracias a la forma decascarón de huevo cóncavo hacia arriba de la superficie real de falla. En otras palabras,l/Pn,aprox . siempre es mayor que l/Pn,exacta, lo cual significa que Pn,aprox siempre serámenor que Pn, exacta.

La ecuación de la carga inversa de Bresler se deduce a partir de la geometría del planoaproximado. Puede demostrarse que:

Po P P P nynxn

1111

00

−+=

Donde:=n P Valor aproximado de la carga última en flexión biaxial con excentricidades e, y ey

=0ny P Carga última cuando sólo está presente la excentricidad e, (ey = 0)

=0nx P Carga última cuando sólo está presente la excentricidad ey (e, = 0)

=0

P Carga última para la columna cargada concéntricamente

La ecuación anterior es suficientemente precisa para propósitos de diseño, siempre y cuando Po P n 10.0≥ . No es confiable cuando predomina flexión biaxial acompañada por una fuerza

axial menor que 10/0 P . Para este caso, en que la flexión predomina fuertemente, la falla seinicia por fluencia en el acero de tensión y esta situación corresponde a la décima parte inferior del diagrama de interacción de la figura 8.15d. En este intervalo resulta conservador y bastante preciso ignorar por completo la fuerza axial y calcular la sección únicamente para flexión biaxial.La introducción de los coeficientes de reducción de resistencia del ACI no cambia el desarrolloanterior de manera fundamental, siempre y cuando el coeficiente sea constante para todos lostérminos; para propósitos de diseño, la ecuación de Bresler puede reestructurarse así:

Po P P P nynxn φ φ φ φ

1111

00

−+=

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Para el intervalo en el cual el método de Bresler es aplicable, por encima de Po10.0 , el valor de es constante excepto que, para excentricidades muy pequeñas, el Código ACI impone unlímite superior en la resistencia máxima de diseño que tiene el efecto de aplanar la parte superior de la curva de interacción de resistencia de la columna.Cuando se utilice el método de Bresler para flexión biaxial, es necesario tomar la curva deresistencia uniaxial sin el corte horizontal para obtener los valores que se van a utilizar en laecuación anterior. El valor de Pnφ obtenido de esta manera debe entonces someterse a larestricción, al igual que para flexión uniaxial, que no exceda Pnφ 80.0 para columnas conflejes o Pnφ 85.0 para columnas reforzadas con espiral.

Para una situación común de diseño en que se dan las dimensiones y el refuerzo para la columnatentativa y las excentricidades ey y e, de la carga, las cargas últimas 0nx P φ y 0ny P φ para

flexión uniaxial con respecto a los ejes X y Y, respectivamente, y la carga última 0 P φ para

cargas concéntricas, pueden encontrarse mediante cálculos o a partir de gráficos de diseño.

Entonces, es posible calcular Pnφ /1 a partir de la ecuación, y de allí se puede obtener n P φ .El requisito de diseño consiste en que la carga mayorada P,, modificada mediante el cortehorizontal mencionado anteriormente, no debe exceder 0nx P φ , si es aplicable.

5. METODOLOGÍA:

Diseño de una columna a flexión biaxial. La columna de 12 x 20 pulg que aparece en la figuraestá reforzada con ocho barras No. 9 distribuidas alrededor del perímetro de la columna quesuministran un área total de A = 8.00 pulg2. Se va a aplicar una carga mayorada P de 275 klb conexcentricidades ey = 3 pulg y e = 6 pulg como se ilustra. Las resistencias de los materiales son f

´c = 4 klb/pulg2 y fy = 60 klb/pulg2. Verifique si el diseño tentativo es adecuado: (a) con elmétodo de carga inversa, y (b) con el método del contorno de carga.

x

8 barras Nº 9

2.5" 2.5"15"

2.5"

2.5"

20"

7"12"

6"

Pu

3"

y

Solución

(a) Mediante el método de la carga inversa se considera inicialmente la flexión con respecto aeje Y. y = 15/20 = 0.75e/h = 6/20 = 0.30.Con una cuantía de refuerzo de Ast/bh = 8.001240 = 0.033.

klb Po Ag

Po

klb Pnyo Ag

Pnyo

876240*65.365.3

420240*75.175.1

==⇒=

==⇒=

φ φ

φ φ

Luego, para la flexión con respecto al eje X, y = 7/12 = 0.58 (tómese 0.60) y e/h = 3/12 = 0.25.

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[ROMEL ALARCÓN]

00356.0876

1

420

1

432

11=−+=

Pnφ

A partir de la cual klb Pn 281=φ . Así que, según el método de Bresler, la carga de diseño dellb Pu 275= puede aplicarse en forma segura sobre la columna.

(b) Según el método del contorno de carga para flexión con respecto al eje Y con

llb Pu 275=φ y 15.1240

275==

Ag

Pnφ

53.0*

=

h Ag

Mnxoφ

De manera que lg*153012*240*53.0 puklbMnxo ==φ .Los momentos para cargasmayoradas con respecto a los ejes Y y X son, respectivamente

lg*8303*275

lg*16506*275

puklbM

puklbMuy

==

==

Para verificar si el diseño tentativo es adecuado se utiliza la ecuación con un exponente a tomadoen forma conservadora igual a 1.15. Entonces, con M Mnx =φ y MuyMny =φ estaecuación indica

002.1507.0495.02980

1650

1530

83015.115.1

=+=

+

Este valor está muy cerca de 1.0 y, por consiguiente, puede considerarse que el diseño también

es seguro utilizando el método del contorno de carga.

6. CONCLUSIONES:

• Se pudo aprender a utilizar las formulas del ACI en los diferentes métodos para resolver columnas biaxiales

7. BIBLIOGRAFÍA:

• Diseño de estructuras de concreto (Nilson Arthur)

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