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ColumnasUna columna es un miembro relativamente largo, cargado a
compresion,EI analisis de colum nas es diferente de 1 0 antes
estudiado porque el m odo de falla
e s d ife re nte . E n e l c ap itu lo 3, cu an do se an aliz6
elesfu erzo d e c om pre si6 n, se supuso.queel m iem bro fallaba
por cedencia del m aterial cuando se aplicaba un esfuerzo m ayor
que laresistencia a la cedencia del m aterial. Esto es cierto en el
caso de m iem bros cortos.U~ colum na alta esbelta falla por
pandeo, nombre cornun que recibe la inestabili-dad elastica. E n
lug ar d e ap la star 0desm em brar el m aterial, la colum na se
deflexiona dem anera drastica a una cierta carga critica y luego se
desplom a repentinarnegte. Se puedeusar cualquier m iem bro delgado
para ilustrar el fen6m eno de pandeo. Intentelo con unaregia de m
adera 0 plastico , una barra 0 solera de lg ad a de m etal, 0 un
popote para beber.A l irse increm entando la fuerza de m anera
gradual, aplicada directam ente hacia abajo,se alcanza la carga
critica cuando la colum na com ienza a flexionarse. N orm alm ente,
sepuede retirar la carga sin que provoque un dafio perm anente
puesto que no hay cedencia.A si pues, una col um na fall a por
pandeo a un esfuerzo m enor que la resistencia a la ceden-cia del
material en la columna. E l objetivo de los rnetodos de analisis de
colurnnas espredecir la carga 0 el nivel de esfuerzo al cual una
columna se volveria inestable y sepandearia.RAZON DE ESBELTEZHemos
definido a la colum na como un m iembro esbelto relativamente largo
cargado ac orn presio n. E sta d es crip cio n se plantea en
terminos relativos y no es muy uti I para elana l is is .
La medida de la esbeltez de una colum na ha de tener en cuenta
la longitud, el perfilde la se ccion tran sv ersal y las
dimensiones de la columna, y la manera de sujetar losextrem es de
la colum na en las estructuras que generan las cargas y las
reacciones en lacolumna. La medida de esbel tez comunmente uti
lizada es la razon de esbeltez, definidacomo:
KL i.SR =- =-r r (l4-Jien donde I = longitud real de la colum na
entre los puntos de apoyo 0 d e re stric ci6 n la te ra l
K =factor defijacion detos extremesL, =longitud efectiva,
teniendo en cuenta la manera d e fijar lo s ex trem os (ob-
se rv e q ue L, KL)r ;, radio de giro minima de la secc i6 n
tran sv ersal d e la co lum 7
A continuacion se an al iza cada uno de estos term inos.Longitud
real, L. En una columna simple con la carga aplicada en un ext. . d
i . b . lonzi remo y 1areaccion crea aene otro.Ia longitudreal es,o
viarnente.Ia ongitud entre Suse - tP d d . . d i x re rn osero en
componentes e estructuras carga os a compresion que Isponen de m d
' .. . 'I I " d 1 1 . d e lOS desujecion atera es que impiden que
se pan ee, a ongitu real se considera e t . 1d .., C . n re
ospuntos e restnccion. ada una de las partes, entonces, se
considera com o una colum naaparte. .
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Factor de fijaci6n de los extremos, K. EI factor de fijaci6n de
los extremos mideel grado de limitacion contra rotaci6n de cada
extremo. Por 1 0 general, se consideran trestipos clasicos de
conexiones de extremo~: el ext~em~ de pasa~or, el extremo fijo y
elextreme libre. La figura 14-1 muestra vanas combinaciones de
tipos de extremos con losvalores correspondientes de K. Observese
que se dan dos valores de K. Uno es el valorte6rico y el otro es el
que por 1 0 general se usa en situaciones practices, aunque se
debereconocer que es dificil lograr el extremo verdaderamente fijo,
como se vera a conti-nuaci6n.Los extremos de pasador estan
imposibilitados contra rotaci6n. Cuando una co-lumna con sus dos
extremes de pasador se pandea, adopta la forma de una curva
uniforrneentre sus extremos, como se muestra en la figura 14(a).
Este es el caso basico de pandeode columna y el valor de K = 1.0 se
aplica a column as con dos extremos de pasador. Un'tipo ideal de
extreme de pasador es la articulaci6n de rotula que permite el giro
de lacolumna en cualquier direccion con respecto a cualquier eje.
Unajunta de pasador cilin-drico, permite la libre rotacion con
respecto al eje del pasador, aunque crea algo de res-triccion en el
plano perpendicular a su eje. Por esta razon se debe tener cuidado
al aplicarfactores de fijacion a pasadores cilindricos. Se supone
que el extremo de pasador estaguiado de tal modo que la linea de
accion de la carga axial no cambia.
En teoria, los extremos fijos impiden perfectamente la rotaci6n
de columna en susextremes. A medida que la columna tiende a
pandearse, la curva de deflexion del eje de la
p p
Form a de la- columna\ pandeada\J L
aloresteoriccs Ambos extremesde pasadorK= 1.0K= 1.0
Ambos extremesfijos
K=O.5K = 0.65alorespractices
(a) (b)
FIGUR.\ 14-1 Valores de K para longitudefectiva, Le=KL. para
diferentes conexione s de extremes-(e) (d)
p
\p
1I+/ ,
)If!j_ I\ 1 1LI tUn extreme fijoy el.otro libre
K=2.0U n extreme fijo
y el otro de pasadorK=O.7
K= 2.10 K = 0.8
columna debe aproximarse al extremo fijo con una pendiente cero,
como se ilustra en lafigura 14-1(b). La figura pandeada se arquea
hacia afuera ala mitad pero exhibe dopuntos de inflexi6n donde se
invierte la direccion de la curvatura cerca de los extremo SEl
valor te6rico del factor de fijaci6n de los extremos es K= 0.5, el
cual indica que lacolumna actua como si fuera s610 la mitad de
larga de 10que realmente es. Las columna acon extr~m~s fijos son
mucho mas rigidas que las columnas con extrernos de pasador y :
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-~-- - ~---~----- - ~---- --~-----,-----------------
EI extremo libre de W 1a columna puede girar y tambien
trasladarse. Pero como Ipuede moverse en cualquier direccion, este
es el peor caso de fijaci6n de los extremos de Iuna columna. EI
unico modo practice de usar W 1a columna con un extremo libre es
tener 'el extremo opuesto fijo, como se ilustra en la figura 14.1
(c). Una columna como esa en Iocasiones se conoce como el caso del
astabandera porque el extremo fijo se comporta icomo un astabande
ra inser tada profundamen te en W 1 orificio de ajusteapretado,
mientras Iiel otro extreme libre puede moverse en cualquier
direcci6n. Conoeida como la condici6n ide extreme libre, el valor
teorico deKes 2.0. Un valor practice es K= 2.10.
En la figura 14-1 (d) se rnuestra la cornbinacion de un extrerno
fijo yun extremo depasador. Notese que la curva de deflexion se
aproxima al extreme fijo con una pendientecero mientras que el
extreme de pasador gira libremente. EI valor teorico de K = 0.7
seaplica a esa condici6n de fijaci6n mientras que en la practica se
recomiendaK = 0.80.Longitud efectiva, Le . La longitud efectiva
combina la longitud real con el factor defijacion de extremes: L,
=KL. En los problemas de este libro se usan los valores
practicesrecomendados del factor de fijaci6n de extremos, como se
muestra en la figura 14-1. Ensuma, para c alc ula r la lo ng itu d
efectiva se usaran las siguientes relaciones:
iltud efectiva 1. Columnas con extremos de pasador:2. Columnas
con extremes fijos:
L,=KL= 1.0(L)=LL,=KL=O.65(L)3. Columnas con extremos libres: L.=
KL =2.1 OCL)
4. Columnas con pasadores fijos y el otro fijo: L,=KL
=O.SOCL)
Radio de giro, r. La medida de esbeltez de la seccion
transversal de la columna es suradio de giro, r, defini da
como:
Radio de giro r= {f (14-2)en deride I = momenta de inercia de la
seccion transversal de la columna con respecto a
uno de los ejes principales.A = area de la seccion
transversal.
Como tanto I como A son propiedades geometric as de la seccion
transversal, el radio degiro, r, tambien lo es. En el apendice A-I
sedan formulas para calcularrde varios perfilescomunes. Adernas de
r se dan otras propiedades de algunos de los perfiles estandar
delapendice. Para los que no se da r,con los valores disponibles de
[y A Yla ecuacion (14-2)se puede calcular r de rnanera muy
simple.
N6tese que el valor del radio de giro, r,depende del eje con
respecto al eual se va acalcular. En la mayoria de los casos, se
tiene que detenninarel eje con respecto al eual elradio de giro es
minima, porque ese es el eje con respecto al cualla columna
probable-mente se pandeara, Considerese, par ejemplo, W 1a colwnna
de secci6n rectangular cuyoancho sea mucho mayor que su espesor,
como se ilustra en la figura 14-2. Se puedeusaruna regla graduada
simple para demostrar que cuando se carga a compresi6n axial
conpoca 0 ninguna restriccion en los extremos, la columna siempre
se pandeara con respectoal eje que pasa por la dimension minima. En
el caso del rectangulo rnostrado en las figuras14-2(b)y(c):
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Fuerza I\x y \
y X IIII
I. __ --,-
y
Ca)
Seccion transversal de columna
h-----Eje de pandeo critico
P ara el eje r - Y . r= 0.289/ ,(b) Para el ejeX-X. r=
O.289h
(e)
FIGUR-\. 14- 2 Pandeo de una columna rectangular esbelta. (a)
Aparicncia general de la columna pandeada.(b) Radio de giro con
respecto al eje Y-Y. (c) Radio de giro con respecro al eje X-X
en donde t es el espesor del rectangulo, N6tese
que:rx=O.289h
en donde h es la altura del rectangulo y queh > t. Por
tanto:rx >ry
y por tanto rv es el radio minimo de giro en la seccion,Para las
vigas de patin ancho (apendice A-7) y para las vigas American
Standard(Apendice A-8), el valorminiimo de re s el calculado con
respecto al eje Y-Y; es decir:
Asimismo, para tuberia estructural rectangulartapendice A-9), el
radio rninimo degiro es el calculado con respecto al eje Y-Y. En la
tabla se dan valores de r.Para angulos estructurales de acero,
lIamados perfiles L, ni el ejeX-Xni el eje Y-Yproporcionan el radio
de giro minimo. Tal como se ilustra en el apendice A-5, el
rmineSelca1culado can respect a ~Ieje Z-Z, can los vaJores dados en
la tabla.
Para secciones simetricas, eJ valor de ,. es el mismo can
respecto a cualquier eje '
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principal. Tales perfiles son las secciones circulares solidas 0
huecas y las secciones
Resumen del metcdepara calcular larazon de esbeltez
14-3 RAZON DE ESBELTEZ DE TRANSICION
Razon de esbeltezc > de translclen
" -i,Cuanco se considera larga una columna? La respuesta a esta
pregunta requiere la deter-minacion de la razon de esbeltez de
transicion, 0de la constante de columna Ce,
1'-'C(' = \':::..:.:._, S,Las reglas sign ientes tienen que ver
con el valor de C e,
," -.": " _'_,',",. .. ", " ',' ',;~. :,,:~.:
',L':;'~;:,~".;'!j.'.~'t\I;.i~Si larazon de esbeltezefectiva
real,L)res mayor que C; entonces lacol#a;?.~'es larga, y a1
analizar la columna se debe usar la formula de Euler~,:;::'iAK:~j'"
' : ' ; ~ ~ , 6 t ~ : ''.,Sila razon real, Le/r'e's menor que
CC'entonces lacolumnaes corta. ~ste;',caso, se debe usar la formula
de 1. B, Johnson, los reglamentos especiales 0la 'formula del
esfuerzo de compresi6n directo, como se vera en secciones
pos-teriores. ," ,'. '.
Cuando se va a analizar una columna dada paid determinar la
carga que sopcrtara,en primer lugar habra que calcular el valor de
C c Y la razon real LJr para decidir quemetodo de analisis se debe
usar. Notese que Cedepende de la resistencia a la cedencia, s,y del
modulo de elasticidad E del material. Cuando se trabaja con acero,
por 1 0 general s econsidera E =207 GPa (30 x I061b/plg2). Con este
valor y suponiendo un intervalo devalores de resistencia a la
cedencia, se obtienen los valores de C,rnostrados en la
figura14-3,
(14-3)
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Resistencia ala cedencia, s r (ksi)o 10 20 30 40 50 60 70
150140130120110
Razcn de 100esbeltez de
transicion, Cc 9080
706050
I I I I ! I 1\ '1\ I IAluminio
!\ E=69GPa(IO.Ox I06lb/pll)\ -,I ~I I~ 1I
I J
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Pa ra a lum in io , E e s ap ro xim ad am en te d e 69 GPa (lOx
106Ib/pli) . E n la figura 14-4se m uestran los val o res
correspondientes de C e o
14-4 F6RMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS
Formula de Euler0. para columnaslargas
~Formula de Euler'-/ para columnas
largas
Formula de J. B.~ Johnson para'-/columnas cortas
Para colum nas largas cuya razon de esbeltez es m ayor que el
valor de transicion C sepuede usar la form ula de E ulerpara pred
ecir la carga critica co n la q ue la co lumn a comen-z ar ia a p
an de ars e. La f orm u la e s:. . .
(14-4)
e n d on de A es el area de la secci6n transversal de la colum
na. O tra forma de expresar estaform ula seria en funci6n del m om
enta de inercia,puesto que;Z - =I IA . Ento nc es, la f orrn u-la
se transfonna en:
(14-5)
14-5 F6RMULA DE J. B. JOHNSON PARA COLUMNAS CORTASS i la raz6n
de esbeltez efectiva real de una colum na, Lfr, es m enor que el
valor de transi-ci6n C e o la form ula de E ulerpredice una carga
critica exorbitante. U na f6nnula recom en-dada para el disefio de
rnaquinas en el intervale de L.lr m eno r que Ce es la f6nnula de
J. B .Johnson.
(14-6)
E sta es una form a de un conjunto de ecuaciones llam adas
ecuaciones parab6licas, y con-cuerda perfectam ente bien con el com
portam iento de colum nas de acero de m aquinariatipica,
La formula de Johnson da el m ismo resultado que la f6nnula de
Euler de la cargacritica a la raz6n de esbeltcz de transicion Ce.
Entonces, en el Ca3U de columnas muycortas, la carga critica se
aproxim a a la pronosticada por la ecuaci6n del esfuerzo dec omp re
si6 n d ire cto , a=PIA . P orconsiguiente, se puede decirque la
form ula de Johnsonse aplica m ejor a colum nas de longitud
intennedia.
14-6 FACTORES DE DISENO PARA COLUMNAS Y CARGA PERMISIBLED ebido
a que una colum na fall a p orpandeo y por falla U ltim a 0cedencia
del m aterial, losm etodos antes utilizados para ca1 cular el
esfuerzo de disefio no se aplican a colum nas.
A si que, 1a carga permlsible se ca1 cula dividiendo 1 a carga
de pandeo critica con laformula de E uler [ecuaci6n (14-4)] 0 la
f6nnula de Johnson [ecuacion (14-6)] por unf ac to r d e d is efio
, N. Es d ec ir :
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.0Carga permisiblesobre una columna
- " ' "
P . = PcrQ N (14-7) \
en donde Pa = carga segura permisiblePcr = carga de pandeo
criticaN= factor de disefio
La seleccion del factor de disefio es la responsabilidad del
disefiador amenos que elproyecto figure en W1 reglamento. Los
factores a consltlerar en la seleccion de un factorde disei'io son
sirnilares a los utilizados para determinar factores de disefio
aplicadosa esfuerzos. Un factor cornun utilizado en el disefio
rnecanico esN=3.0, Yla razon por laque se seleccion6 este valor es
la incertidumbre con respecto a las propiedades del mate-rial, la
fijacion de los extremos, 1 0 recto de la columna 0 la posibilidad
de que la carga seaplique con algo de excentricidad y no a 10 largo
del eje de la columna. En ocasionesse usan factores mayores en
situaciones criticas y para columnas muy largas.En la construccion
de edificios, donde el disefio estaregido por las
especificacionesdel Arne rican Institute of Steel Construction,
AISC, se recomienda un factor de 1.92 paracolurnnas largas. La
Aluminum Association requiere N= 1.95 para columnas largas,Veanse
las secciones 14-9 y 14-10.
14-7 RESUMEN-METODO DE ANAuSIS DE COLUMNASEI objetivo de esta
seccion es resumir los conceptos pre~entados en las secciones
14-:-2a14-6 en un procedimiento que se pueda usar para analizar col
umnas, Se puede aplicar. a colurnnas rectus de secci6n transversal
unifonne a 10 largo de elias, en las que la carg3de compresion se
aplica alineada con el eje centroidal de la columna. En fin de
cuentas, sesup one que se conocen los factores siguientes:
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Metodo deanallsls de columnas
_ '
.; .' /- ... "
1. La longitud real, L. . ;. :~. ,2. La manera de conectar la
columna a sus apoyos .. : j . Ce, la columna es larga, Use la
formula de Euler para calcular Iacarga critica de pandeo:
'.-: 'p = liEA ,
. ' Cf, (SRf
b. Si SR.Ice> la columna es c011a:Use la formula de Johnson
para CafC\l~''. _lar la carga critica de pandeo:' ., '
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14-8 PERFILES EFICIENTES PARA SECCIONES TRANSVERSALESDE COLUMNAC
uando se disefia una columna que va a soportar una carga
especificada, el d isefiadortien e la respon sabilid ad d e
seleccio nar la fo rm a g eneral de su seccio n tran sversal y
deter-m inar las dirnensiones requeridas. L os principios
siguientes pueden ayudar en la selec-c io n in ic ia l d el p erfi
1 .
Un p er fil eficiente es aquel que utiliza una pequefia c an tid
ad d e m ate ria l para reali-zar una funcion dada. Para columnas,
el objetivo es incrementar al m aximo el radio degiro con el objeto
de reducir la raz6n de esbeltez. N6tese tambien que com o r = . . .
J I I A ,m axirnizando el m ornentp de inercia para un area dada
tiene el m ism o efecto .
C uando se analizo el m omento de inercia en los capitulos 7 y
8, se sefialo que esdeseable disponer toda el area posible de la
secci6n transversal tan lejos del centro idecom o sea posible, En
las vigas, an aliz ad as e n el c ap itu lo 8, por 10 general s61 0
un eje erael im portante, el eje con respecto al cual ocurria la
flexion. En columnas, el pandeo engeneral puede ocurrir en
cualquier direccion, Par consiguiente, es deseable que las
pro-piedades sean uni form es con respecto a cualquier eje. L a
secci6n circular hueca, cornun-m ente lIam ada tuba, es un perfil
muy eficiente para usarse como colum na. Le sigue decerca el tube
cuadrado hueco. Tarnbien se pueden usar secciones com puestas de
seccio-nes estructurales estandar, como se m uestra en la figura
14-5.
L as colurnnas de edi ficios con frecuencia se arm an con
perfiles especiales de patinancho I lamadas secciones para columna.
C uentan con patines relativamente anchos ygruesos en cornparacion
con los perfiles par 10 g eneral seleccionados para vigas. Estohace
que el momento de inercia con respecto al eje Y-Y sea mas sim ilar
a aquel con
[ I T ] _ . Ll CUJII+II
(al (h) (c)
_++-- + ---H-r-,
I+
~
(d) (e) (/)
FIGURA 14-5 Ejemplos de perfiles de columna eficientes. (a)
T.ubode secci6n ci.rcularhueco. (b) TIJbecuadrado hueco. (c)
Secci6n tubular hecha de vigas de madera. (d) Angulos de paras
iguales con placas.(e) Canales de aluminio con placas. (I) Dos angu
los de paras iguales.
respecto al eje X-X EI resultado es que los radios de giro con
r~~pecto a los dos ~la.Stambien son casi iguales, La figura 14-6
muestra una comparacion de dos p.erfil,e df.patin ancho de 12 pIg;
uno es una seccion de c?~urr.lla y el ctro es un p e m l de v rga
tlylUlN 6tese que e1 radio de giro m inim o se debe utilizar a1 ca1
cu1 ar 1a razon de esbeltez.
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14-9 ESPEC IFIC AC IO NES DEL AISC ILa s c olumnas son elementos
esenciales demuchas estructuras. EIdisef io y el analis;54columnas
de acero en aplicaciones de construcci6n estan regidas porlas
especificacio~del AISC, el American Institute of Steel Construction
(I). La especificaci6n define C.l1J~carga 0esfuerzo unitario
pennisible para columnas el eual es la earga axial permisibjz f O
.dividida entre el area de la secci6n transversal de la columna.
Las formulas de diSdi1estan expresadas en funci6n de la raz6n de
esbeltez de transicion C,",definidas el1 ~ecuacion (14-3), la
resisteneia a la cedencia del material de la columna y la razo)1J
1esbeltez efectiva Lj/r, CliandoL.lr< Cc: , I;!P o = 1 _ ( L t /
d ] ! . . : . _A 2C; FS ( }.
- . .en donde P,= carga perrnisible 0 de disefio:
= 1 2 : . : (UseE=29xI061b/plg2[200GPa]paraaceroestructt,FS =
factor de seguridad
I!x--~--xl r 0 2 2 ~c:db-,-I r '~i_. 0',265I 3.990
yI
11.99I
12.12
I!Ix r- . . - f-0.390i,
L
x
I I\. 0.606 y12.000----
(a) Perfil de viga W 12 x 16 (b) Seccion de columna W12x 65Area
= 19.1 pllt, = 533 plg~I,. = 175 pig'; X = 5.28plgr. = 3.02 pig
rX'~Y = 1.75rycasi igual a rx
FIGURA 14'-6 Comparacion de un perfil de viga de patin ancho con
una seccion de columna.
Area = 4.71 pllI,= 103plg~. 4I,. = 2.82plg'; X = 4.68plgry =
0.77 pig
rX'';y = 6.08
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EI Column Research Council desarrollo la ecuacion (14-8), la
cual es identica a la formu-la Johnson. EI factor de seguridad FS
es una. funci6n de la raz6n entre la esbeltez efectivay Cccon el
objeto de inc1uir el efecto de encorvadura accidental, una pequefia
excentrici-dad de la carga, esfuerzos residuales y cualesquiera
incertidumbres en la evaluacion delfactor de longitud efectiva K.
La ecuaci6n para FS es:
5 3(L ./r) (L ./r)3FS =3 + sc:- - 8C: (14-9)EI valor de FS varia
desde 1.67 cuando la raz6n (L./ r)/Cc = 0 hasta 1.92 cuando(L/
r)/Cc = 1.0. "..Para columnas largas, LJr> C", se usa la
ecuaci6n de Euler como se defini6 antespero con un factor de
seguridad de 1.92.
A (L./r)\I.92) (14-10)Para acero estructural con E =29 x
106Ib/plg2:
149 X 1061b! 2(L,/r)1 p g (14-11)
