COLISÕES EM DUAS DIMENSÕES - PARTE I -Análise no Referencial LaboratórioSerá estudado o choque não frontal (choque de raspão ) entre uma esfera em movimento e outra em repouso, em um plano horizontal. Na Parte I da experiência as medidas obtidas são analisadas no Referencial Laboratório. Na Parte II a análise é feita no Referencial Centro de Massa.

Com esta experiência (a mais importante do curso) vamos estudar um fenômeno muito comum no nosso dia a dia: as colisões, os choques, as interações. Colisões ou, de uma maneira mais geral, interações são um dos fenômenos mais comuns no nosso dia a dia e são o mecanismo através do qual o ser humano se comunica com o mundo ao seu redor e se insere no seu meio ambiente.

Nas inter-ações, como a própria etimologia da palavra indica, uma ação qualquer acontece entre dois ou mais corpos, uma informação qualquer é trocada entre eles. Qualquer tentativa de entender e de medir características do universo que nos cerca, tanto no microcosmo como no macrocosmo, também é uma interação. Qualquer medida que se faça é uma interação, na qual ou o aparelho de medida, ou o observador, ou ambos, interagem com o objeto (fenômeno) a ser medido (analisado).

É esse o fenômeno que estudaremos. Qual o modelo que construiremos para tentar explicá-lo? Vamos restringir o objeto de nosso estudo à interação, colisão, entre apenas dois corpos além de tudo vamos supor que não haja nenhuma ação de qualquer outro corpo influenciando essa inter-ação entre os dois corpos considerados.

Como base no que já vimos até agora nesse nosso curso, podemos afirmar que o estado de movimento do conjunto dos dois corpos (corpo 1 e corpo 2) não irá se alterar, já que não nenhuma ação externa ao sistema (o conjunto dos dois corpos) sendo exercida sobre ele.

Portanto, como não há nada agindo sobre eles a partir de fora, devemos esperar que o estado de movimento deles não se alterará. Ou seja, o quanto que eles têm de movimento não muda. Isso, em uma linguagem mais técnica, significa: a quantidade de movimento total se conserva. A energia total também se conserva sempre, mas não a energia cinética, que só se conserva em certo tipo de choque, chamado choque elástico.

É difícil testar esse modelo em laboratório, pois sempre existem forças de atrito, que mascaram o resultado final. Como a força de atrito é uma força de contato, se fosse possível efetuar o choque no ar e analisar as trajetórias antes e depois do choque também no ar , os efeitos das forças de atrito seriam reduzidos praticamente a zero. Isso porque a única força dissipativa neste caso seria a resistência do ar, totalmente desprezível se as velocidades forem baixas e as trajetórias curtas. A figura a seguir mostra como se consegue efetuar o choque no ar e medir as velocidades. A esfera 1 desce a canaleta e no fim dela terá velocidade apenas horizontal. Essa velocidade antes do choque pode ser medida através do alcance da

esfera 1, marcado quando ela bate na mesa sem colidir com a esfera 2 ( Movimento de projéteis ). Após o choque, as velocidades das duas esferas também serão medidas pelos seus alcances.

Como antes do choque só havia quantidade de movimento horizontal (a esfera incidente sai da canaleta com velocidade apenas na horizontal), é a quantidade de movimento nessa direção que deve ser conservada e essa pode ser facilmente medida, utilizando uma técnica semelhante à utilizada na experiência de projéteis. Através dos resultados obtidos será possível verificar se foram conservadas a quantidade de movimento e a energia cinética e também calcular a elasticidade do choque. A precisão dos resultados dependerá criticamente dos cuidados tomados no manuseio do equipamento. Deve-se repetir as medidas se os resultados não forem satisfatórios.      a.  material utilizado Rampa de lançamento, 3 esferas de aço, duas delas com massas iguais, balança, cartolina, papel carbono, fio de prumo.

Fig. 8

A Fig. 8 mostra a parte final da rampa de lançamento com um suporte metálico onde se coloca a esfera alvo. O suporte é fixado na canaleta de modo a poder girar , possibilitando alterar o parâmetro de impacto do choque, como mostra a figura.      b.  procedimento A rampa é utilizada para garantir que a esfera incidente tenha sempre a mesma velocidade antes do choque, desde que solta sempre do mesmo lugar.

Como já foi visto na aula de movimento de projéteis, o alcance máximo depende da velocidade horizontal do corpo, que é constante porque não há força resultante nessa direção. Portanto, se soltamos a esfera de um certo ponto da canaleta e deixamos ela cair na mesa, a distância entre a projeção do fim da canaleta até o ponto de impacto é proporcional à velocidade.

Como a esfera incidente tem apenas velocidade na direção horizontal e o choque se dá em um plano horizontal (o plano que contém os centros das duas esferas), a esfera alvo também receberá dela apenas velocidade na direção horizontal, consequentemente, a distância entre o ponto onde ela caiu na mesa até a projeção do suporte onde ela estava é proporcional à sua velocidade após a colisão. E a distância entre o ponto onde a esfera incidente bate na mesa após o choque até a projeção do fim da canaleta é proporcional à sua velocidade após o choque. Portanto, marcando-se esses pontos e medindo-se as distâncias, pode-se testar o modelo físico do choque em duas dimensões, verificando as leis de conservação. As posições das esferas em um determinado instante serão marcadas utilizando-se o movimento vertical. O tempo de queda poderá ser determinado facilmente medindo-se h ± Δ h. Antes de iniciar as medidas, meça as massas das três esferas que você vai utilizar.

Comece fazendo alguns lançamentos com e sem choque para regular a melhor altura do fim da canaleta em relação à mesa, para evitar que alguma das esferas caia fora da cartolina utilizada para marcar os pontos. Convém que a altura da qual a esfera é solta (acima da parte horizontal da canaleta) não seja muito grande e também que a altura do fim da canaleta em relação à mesa não seja muito alta. Assim se minimizam os efeitos de eventuais irregularidades na

canaleta e obtém-se uma melhor distribuição dos pontos experimentais na cartolina. Se esses efeitos fossem iguais para cada lançamento, eles não seriam importantes para o estudo que se quer fazer. Mas eles podem variar a cada lançamento e por isso convém reduzir o percurso da esfera sobre a canaleta. As medidas serão feitas com esferas de massas iguais e depois (com outra cartolina) com esferas de massas diferentes. Em ambos os casos serão selecionados 7 parâmetros de impacto diferentes (isso é, 7 posições diferentes da esfera alvo), dispostos razoavelmente espaçados e dos dois lados da canaleta. Procure alinhar cuidadosamente os centros de massa das duas esferas na mesma horizontal e sempre evitar que o centro de massa da esfera alvo esteja para trás do centro de massa da esfera incidente. Para cada parâmetro serão feitos 5 lançamentos. Em nossa convenção, "1" é a esfera incidente e "2" a esfera alvo. Marque as origens:   O1 é a origem para a esfera incidente (a projeção na mesa do fim da canaleta), O2 é a origem para a esfera alvo (a projeção na mesa do pino onde o alvo está apoiado, marque esse ponto cuidadosamente usando o fio de primo fixado no pino). O segmento  O1i    é proporcional à velocidade inicial (antes do choque) da esfera incidente, Os segmentos  O1j ( j variando de 1 até 7)    são proporcionais às velocidades finais (depois do choque) da esfera incidente, para os parâmetros de impacto de 1 até 7 (cada j é a posição média de cada um dos 5 lançamentos, para cada parâmetro de impacto), Os segmentos  O2j ( j variando de 1 até 7)   são proporcionais às velocidades finais (depois do choque) da esfera alvo, para os parâmetros de impacto de 1 até 7 (as posições médias dos 5 lançamentos para cada parâmetro de impacto j ), Marque cuidadosamente na cartolina todos os pontos de impacto, seguindo a convenção acima. Só coloque o carbono após efetuar alguns lançamentos e ter uma idéia de onde as esferas cairão. Use pedaços pequenos de carbono, só nos pontos de impacto previamente estimados, para possibilitar uma melhor visão do conjunto.

     c.  relatório (sempre que for o caso, os itens devem ser respondidos para as medidas com esferas de massas iguais e diferentes)1. Demonstre claramente que os segmentos O1j e O2j são proporcionais às velocidades depois do choque e O1i à velocidade da esfera incidente antes do choque. Determine numericamente a(s) constante(s) de proporcionalidade, 2. justifique claramente as diferenças que você obteve nas medidas com esferas de mesma massa e com massas diferentes,3. determine as direções dos vetores velocidade de cada esfera e seus módulos antes e depois do choque, fazendo a média (vetorial) para cada parâmetro de impacto, 4. determine os vetores quantidades de movimento de cada esfera antes e depois do choque, 5. no caso de esferas de massas diferentes, qual a constante (ou quais as constantes) de proporcionalidade entre os alcances e as quantidades de movimento? Justifique claramente, 6. mostre que no Referencial Laboratório, a energia cinética é a soma da

energia cinética de translação do CM mais a energia cinética no Referencial CM. Antes do choque temos: E C L   =  (1/2)Mv 2   +  E C CM ,   onde M = m 1 + m 2

7. determine graficamente, na cartolina ou em uma cópia dela, o vetor velocidade relativa de aproximação antes do choque ( v 1i - v 2i ) e o de afastamento ( v 2f - v 1f ) depois do choque, para três parâmetros de impacto diferentes,

8. a partir dos resultados do item 7., você pode concluir alguma coisa a respeito do tipo de choque?

9. os pontos de impacto das esferas na mesa formam uma circunferência ou duas. A partir dessa figura você pode chegar a alguma conclusão quanto ao tipo de choque? Demonstre detalhadamente o porque da resposta, 10. meça os raios das circunferências para cada um dos lançamentos e faça um histograma para o caso de esferas de mesma massa e para o caso de esferas de massas diferentes. Ajuste ao histograma uma gaussiana calculada, de igual área, valor médio e desvio padrão. Para medir os raios, considere cada um dos 5 lançamentos para cada um dos 7 parâmetros de impacto diferentes. Será um total de 35 valores para cada uma das duas esferas, dando um total de 70 valores. Os raios serão as distâncias entre cada um desses 70 pontos e a extremidade do vetor que dá a velocidade do Centro de Massa no referencial Laboratório. 11. o sistema das duas esferas pode ser considerado um sistema isolado na análise do choque? E a força gravitacional, não é uma força externa? 12. faça um estudo detalhado da conservação da energia entre o fim da canaleta (logo antes do choque) e o instante em que as esferas tocam na mesa, quando ambas têm velocidades também na direção y ,

11. na Conclusão, faça uma análise detalhada do choque no Referencial Laboratório (conservação da Quantidade de Movimento, e, eventualmente, da Energia Cinética), verificando quantitativamente se seu modelo foi ou comprovado e dentro de que precisão.

13. ainda na Conclusão, discuta claramente qual o efeito da força de atrito nesta experiência.

Cada aluno deve apresentar uma cópia da cartolina de dados, com os cálculos que ele fez individualmente.

7. COLISÕES EM DUAS DIMENSÕES - PARTE II -Análise no Referencial Centro de MassaOs dados obtidos na aula anterior serão agora analisados no Referencial Centro de Massa, para massas iguais e para massas diferentes. Essa parte da

experiência visa a familiarizar o aluno com o Referencial Centro de Massa (rever o conceito de Centro de Massa).

Análises de fenômenos físicos envolvendo muitos corpos (principalmente em Física das Partículas Elementares) podem ser muito simplificadas quando são feitas em um sistema de referência chamado Referencial Centro de Massa (CM). Freqüentemente não é intuitivo perceber o seu significado, mas ajuda muito pensar que ele é apenas mais um sistema de referência, com a única diferença que a sua origem está no Centro de Massa.

Considere na Rodovia dos Bandeirantes, dois carros que se movem no sentido Interior-São Paulo com velocidades constantes, o da frente com 100 km/h e o de trás com 120 km/h. Quando dizemos essas velocidades, mesmo que não o explicitemos, fica claro que são as velocidades em relação ao chão, que é o sistema de referência que chamamos Referencial Laboratório. Em relação ao carro da frente, isso é, em um sistema de referência no qual o carro da frente está parado (a origem desse sistema está no carro da frente), o carro de trás se aproxima dele a 20 km/h. Isso é bastante intuitivo. E em relação a um sistema de referência cuja origem esteja no Centro de Massa do conjunto dos dois carros? Para visualizarmos melhor como as coisas acontecem nesse referencial, vamos considerar os dois carros com mesma massa. Portanto, em qualquer momento, independentemente das velocidades dos dois carros, o Centro de Massa estará a meia distância entre eles. Para entender melhor isso, vamos considerar uma situação em que a distância que separa os dois carros é 100km, com o CM a 50 km de cada carro. Após 30 minutos o carro de trás percorreu 60 km e o da frente percorreu 50 km e a distância entre eles cai para 90 km, porque o de trás rodou 10 km a mais que o outro. Se a distância entre eles agora é de 90 km, o CM está a 45 km de cada carro, ou seja, em 30 minutos o CM percorreu 55 km. Logo, sua velocidade é 110 km/h, que é igual a (120 + 100)/2. Isso significa que a velocidade do CM em relação ao chão (portanto, no Referencial Laboratório) é a média da velocidade dos dois carros em relação ao mesmo referencial.

Vamos deduzir essa velocidade rigorosamente. Para isso, considere uma situação em que o corpo de massa m1 se aproxima do corpo de massa m2, como no esquema abaixo (onde CM representa a posição do Centro de Massa) :

m1 CM m2 v1il vCMl

v2il

v1CM v2CM

Os índices i se aplicam à experiência de Colisões e se referem às situações antes do choque, os índices f se referem a depois do choque, CM se refere ao sistema Centro de Massa, se refere ao Sistema Laboratório, o

índice 1 se refere à esfera incidente (que se move no caso particular desta experiência), o índice 2 se refere à esfera alvo (que está parada no caso particular desta experiência), v representa velocidade, m as massas.

Pela definição de Centro de Massa, sua coordenada é (em uma dimensão):

(m1 + m2)XCM = m1 x1 + m2 x2 , derivando a expressão acima em relação ao tempo, nós obtemos as velocidades:

(m1 + m2) vCMl = m1v1il + m2 v2il

Essa é pois a velocidade do CM. É importante saber distinguir a velocidade   do    Centro de Massa e a velocidade    no   Centro de Massa. Velocidade do CM significa a velocidade do Centro de Massa no sistema de referência do laboratório (Referencial Laboratório), que é o sistema mais normal de referência, o sistema do dia a dia, associado a uma mesa, ao chão etc. Velocidade no CM significa a velocidade medida em relação a um sistema de referência onde o CM está parado , para isso é necessário efetuar uma mudança do sistema de coordenadas, pois no caso desta experiência, o CM está se movendo em relação ao Referencial Laboratório . Vamos obter as velocidades de cada corpo no Referencial Centro de Massa. A velocidade da esfera 1 em relação ao Centro de Massa é a velocidade com que ela se aproxima do CM menos a velocidade com que o CM foge dela. Ou seja, a

velocidade da esfera 1 em relação ao Referencial Laboratório (v1il) menos a

velocidade do CM em relação ao mesmo sistema (vCMl). Deve-ser notar que o CM se move em relação ao Sistema Laboratório.

A velocidade da esfera 2 em relação ao Centro de Massa é a velocidade com que o CM se aproxima dela menos a velocidade com que ela foge do CM. Ou

seja, a velocidade do CM em relação ao Referencial Laboratório (vCMl) menos

a velocidade da esfera 2 em relação ao mesmo Referencial (v2il). Como estamos orientando o eixo das velocidades de modo que a velocidade da esfera 1 em relação ao CM seja positiva, no caso da esfera 2 a velocidade em relação ao CM fica negativa. Resumindo:

v1iCM = v1il - vCMl

v2iCM = -( vCMl - v2il)

Onde a velocidade do CM é aquela que já foi deduzida acima. Os índices i se referem a antes do choque, mas a situação é a mesma antes e depois do choque.

Podemos ainda obter com que velocidade os dois corpos se aproximam um do outro (ou se afastam). Para isso, basta subtrair a primeira equação acima da

segunda. obtendo-se: v1iCM - v2iCM = v1il - v2il

O resultado acima mostra que a velocidade de aproximação (ou de afastamento) medida no Referencial Centro de Massa é igual à velocidade de aproximação no Referencial Laboratório. Isso é bastante óbvio, porque as velocidades com que os corpos se aproximam ou se afastam não podem depender do particular sistema de referência.

Através dos resultados obtidos na cartolina é muito fácil visualizar tudo o que foi dito acima. Os quesitos do item "c. relatório" vão guiar o aluno para verificar se também no Referencial Centro de Massa foi conservada a quantidade de movimento (como previa nosso modelo, no Referencial Laboratório) e também calcular a elasticidade do choque. A precisão dos resultados dependerá criticamente dos cuidados tomados para traçar os vetores na cartolina. Cada aluno deve apresentar uma cópia da cartolina de dados, com os cálculos que ele fez individualmente.

     a.  material utilizado As medidas são as obtidas na aula anterior, para massas iguais e diferentes.

     b.  procedimento Idem.

     c.  relatório (sempre que for o caso, os itens devem ser respondidos para as medidas com esferas de massa iguais e diferentes)

1. Represente na cartolina todos os vetores velocidades antes e depois do choque no Referencial Centro de Massa.

2. determine as coordenadas do Centro de Massa (CM) antes e depois da colisão; estabeleça a trajetória do CM, diretamente na cartolina original ou em sua cópia,

3. verifique experimentalmente (com os dados registrados na cartolina) se houve conservação de energia cinética (antes e depois do choque). Você pode chegar a alguma conclusão quanto ao tipo de choque? Explique claramente porque, 4. o referencial CM é chamado de referencial do momento nulo. Verifique isso utilizando as velocidades das duas esferas medidas na cartolina ou em uma cópia dela. Discuta em detalhes os resultados obtidos,

5. use a cartolina com os pontos de impacto para determinar as velocidades do CM antes e depois do choque e verifique se houve conservação da quantidade de movimento no Referencial CM. Verifique isso utilizando as velocidades das duas esferas medidas na cartolina ou em uma cópia dela. Discuta em detalhes os resultados obtidos, 6. determine graficamente, na cartolina ou em uma sua cópia, o vetor velocidade relativa de aproximação antes do choque (v1i - v 2i ) e o de afastamento ( v 2f - v 1f ) depois do choque, para três parâmetros de impacto diferentes, no Referencial Centro de Massa, 7. a partir dos resultados dos itens 6., você pode concluir alguma coisa a respeito do tipo de choque? 8. usando os resultados que você obteve, determine a energia cinética em relação ao Referencial CM, 9. Na Conclusão, faça uma análise detalhada do choque no Referencial CM (conservação da Quantidade de Movimento, e, eventualmente, da Energia Cinética), mostrando quantitativamente se seu modelo foi ou não comprovado e dentro de que precisão.Este Relatório deve ser feito nos moldes usuais: Título, Resumo, Introdução, Teoria, Procedimentos, Resultados, Conclusão e Bibliografia. No item "Teoria" reveja os conceitos de Centro de Massa e de Sistemas de Referência

Colisão bidimensionalProf. Luiz Ferraz Netto

leobarretos@uol.com.br 

Normalmente se discutem choques mecânicos entre esferas que colidem frontalmente, ou seja, a direção de suas velocidades é a mesma antes e após a colisão. É o denominado choque (ou colisão) unidimensional, uma vez que os centros de massa permanecem sempre sobre a mesma reta. Para entender, por exemplo, casos de espalhamento de partículas leves que se chocam com partículas pesadas, coisa comum no mundo atômico, devemos estender nossa análise para mais de uma dimensão. Vejamos um caso bidimensional.

Consideremos a colisão perfeitamente elástica da esfera (1) com a esfera (2), negligenciando-se os atritos. Assumiremos que a esfera (2), de massa m2, está em repouso antes da colisão e a esfera (1), de massa m1, apresenta antes da colisão a velocidade v. A velocidade v1 da esfera (1) e a velocidade v2 da esfera (2) após a colisão dependerá da distância , indicada na ilustração a seguir, que é justamente a distância (medida do segmento de perpendicular) entre o centro de massa da esfera (2) e a trajetória inicial do centro de massa da esfera (1).Observe que a colisão só acontecerá se < r1 + r2, onde r1 e r2 são os raios das esferas (1) e (2), respectivamente. Na fase de colisão a força que a esfera (1) aplica na esfera (2) terá a direção da linha que une os centros das esferas ... pois não há atrito (obviamente, pela 3a lei de Newton, a força que (2) aplicará sobre (1) também terá essa direção). Desse modo, como se ilustra, após a colisão a esfera (2) terá uma certa velocidade v2 fará ângulo com a direção do movimento inicial da esfera (1) --- com a horizontal nessa ilustração. A esfera (1) assumirá uma velocidade v1 a ser determinada tanto em módulo como em direção.

Da geometria da situação podemos tirar a seguinte relação:

(r1 + r2) sen =

Antes, durante e após a colisão haverá conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do sistema; logo:

Resolvendo esse sistema de equações obtemos:

Demonstre isso!

Se m1 << m2 o diagrama vetorial das quantidades de movimento será o ilustrado abaixo, onde Q = m.v (quantidade de movimento inicial da esfera 1), Q1 = m.v1 (quantidade de movimento da esfera 1 após o choque) e Q2 = m.v2 (quantidade de movimento da esfera 2 após o choque). 

O que está "escrito" nessa ilustração é: a soma vetorial das quantidades de movimento das esferas (1) e (2) após a colisão (Q1 + Q2) é igual á quantidade de movimento da esfera (1) antes da colisão (Q) (isso porque a 2 estava em repouso!); Q = Q1 + Q2 .Podemos observar ainda dessa ilustração que, caso a colisão fosse frontal ( = 0), teríamos Q2 > 2Q e Q1 > -Q (demonstre isso!). Nesse caso, a velocidade da esfera (1) variará quanto ao sentido e não em seu valor absoluto. A velocidade da 'pesada' esfera (2) não poderá exceder ao valor dado por: v2 = 2vm1/m2 (demonstre isso!).