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Colégio Geração Valparaíso - GV. POTENCIAÇÃO. Professor de Matemática: Engº. Gustavo H. R. Salesse. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS. POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL. Um produto de fatores iguais pode escrever-se de forma abreviada. 2x2x2x2 = 2 4. 4 fatores. - PowerPoint PPT Presentation
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Colégio Geração Valparaíso - GV
Professor de Matemática: Engº. Gustavo H. R. Salesse
POTENCIAÇÃO
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS
POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
Um produto de fatores iguais pode escrever-se de forma abreviada.
2x2x2x2 = 24
4 fatores
A isto chamamos POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
24
POTÊNCIA
2 é a BASE (indica o fator que se repete)
4 é o EXPOENTE (indica o número de vezes que o fator se repete)
ATENÇÃO!!
24 é diferente de 2x4
2x4 = 8
24 = 2x2x2x2=16
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS COM A MESMA BASE
DÁ-SE A MESMA BASE E ADICIONAM-SE OS EXPOENTES
Exemplo73x72 = (7x7x7) x (7x7)
= 7x7x7x7x7= 75
=73+2
ENTÃO, 73x72 = 73+2 = 75
POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS
DÁ-SE A MESMA BASE E MULTIPLICAM-SE OS EXPOENTES
(52)3 = 52 x 52 x 52
= 52+2+2
= 53x2 = 56
ENTÃO, (52)3 = 52x3
Exemplo
VAMOS PRATICAR UM BOCADO...
A 105 x 103
105x103 = ___
B 1015
D 10x5 + 10x3C 108
108
A 168
164x16x163 = ___
B 1612
D nenhumaC 164x163
168
A 20 x 25
54x25 = ___
B 58
D 56C 54x53 = 57
56
PotenciaçãoAri vai começar o programa de condicionamento físico para as competições escolares municipais.O programa consiste numa corrida em volta do campo. O número de voltas deve dobrar a cada semana.
Período Nº de voltas1ª semana 22ª semana 2 . 2 = 43ª semana 2 . 2 . 2 = 84ª semana 2 . 2 . 2 . 2 =
16
Para determinar o número de voltas na 3ª semana, devemos fazer:
2 x 2 x 2 3 fatores iguaisPara determinar o número de voltas na 4ª semana, devemos fazer:
2 x 2 x 2 x 2 4 fatores iguais
Para determinar o número de voltas na 2ª semana, devemos fazer:
2 x 2 2 fatores iguais
Representamos essas multiplicações abreviadamente por:
2 x 2 x 2 x 2 = 24
2 fatores
3 fatores
4 fatores
2 x 2 = 22
2 x 2 x 2 = 23 A essa operação chamamos de POTENCIAÇÃO
Potenciação - Indica uma multiplicação de fatores iguais.
53 = 5 . 5 . 5 = 125
53 = ?
Base = FATOR QUE SE REPETE
Potência = resultado da operação.
Expoente = fala para base quantas vezes ela vai se multiplicar.
Leitura de Potências
Expoente 2: (lê-se: ao quadrado) - 72 - sete elevado ao quadrado.
Expoente 3: (lê-se: ao cubo) - 53 – cinco elevado ao cubo.
Expoente 4: (lê-se: quarta potência) - 34 – três elevado a quarta potência.
Expoente 5: (lê-se: quinta potência) - 25 – dois elevado a quinta potência.
Expoente 8: (lê-se: a oitava potência) - 48 – quatro elevado a oitava potência.
Propriedades Básicas da Potenciação
Todo número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.
Todo número elevado a expoente 0 é igual a 1.
1 elevado a qualquer expoente é igual a 1.
a0 = 1
a1 = a
1n = 1
30 = 1; 50050 = 1; (1/5)0 = 1; (0,25)0 = 1
41 = 4; 19881 = 1988; (1/8)1 = 1/8; (0,25)1 = 0,25
14 = 1; 11875 = 1; 1(1/5) = 1; 1(0,25) = 1OBS: Quando um número não tiver expoente escrito, por convenção, o número esta elevado ao expoente 1.
Propriedades Operatórias da Potenciação
am.am=am+
nRepetimos a base e somamos os
expoentes.
1. Produto de potência de mesma base.
85 . 87 = 85 + 7 = 812; 12 . 12 = 12 1 + 1 = 122; 52 . 53 = 52 + 3 = 55
am:m=am-
nRepetimos a base e subtraimos os
expoentes.
47 : 45 = 47 - 5 = 42; 113 : 11 = 113 - 1 = 112; 43 : 44 = 4 3 - 4 = 4- 1
2. Divisão de potência de mesma base.
Propriedades Operatórias da Potenciação
3. Potência de potência.
(am)n=am.n
Repetimos a base e multiplicamos os expoentes.
(35)7 = 35 . 7 = 335; (102)3 = 10 2 . 3 = 106
4. Potência de um produto ou de um quociente.(a.b)n=an.
bn
(a/b)n=an/bn
Elevamos cada fator ao expoente.
Elevamos numerador e denominador ao expoente.
(2 . 3)7 = 27 . 37; (12 : 5)3 = 123 : 53
Exercícios
1. Em 72 = 49, responda:a) Quem é a base?b) Quem é o expoente?c) Quem é a potência?
2. Em 25 = 32, responda:a) Quem é a base?b) Quem é o expoente?c) Quem é a potência?
a) base: 7b) expoente: 2
c) potência: 49
a) base: 2
b) expoente: 5
c) potência: 32
Exercícios
4. Calcule as potências:
5. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do produto de potências de mesma base:
3. Escreva na forma de potência:
b) 5 . 5 . 5 . 5 =
a) 4 . 4 =
c) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = d) 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 =
42 54
15 86
a) 1300 =
b) 122 = c) 2850 =
d) 25 =
e) 03 =
f) 1081 =
1 12 . 12 = 144 1
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 0 1
b) 4- 2 . 46 =
a) 25 . 23 =
d) 33 . 36 . 3-1 =
c) 83 . 8-1 =25 + 3 = 28
4-2 + 6 = 44
83 + (- 1) = 82
33 + 6 - 1 = 38
Exercícios
7. Reduza a uma só potências, aplicando a propriedade da potência de potência:
8. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade potências de um produto ou quociente:
6. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base:
a) (2 . 5)3 =
c) (4 : 7)2 = b) (4 . 6)5
= d) (3 . 9)4 =
23 . 53
45 . 65 42 : 72 34 . 94
a) (32)3 =
b) (22)5 =
c) (65)x =
d) (5-2)3 =
b) 55 : 53 =
a) 49 : 46 =
c) 6 : 65 =
d) 108 : 103 =
49-6 = 43
55-3 = 52
61-5 = 6- 4 108-3 = 105
32.3 = 26 22.5 = 210
65x 5(- 2).3 = 5- 6
NÚMEROS RACIONAIS FRAÇÕES
A Joana e o André parecem terem voltado ao tempo da pré-primária! Toda a tarde fazem figurinhas, pintam, contam … que giro!
Afinal, já estão no 6º Ano! Estão trabalhando com números racionais, frações … sei lá … nomes esquisitos ! ! !
Anda ! Vamos olhar!eh..eh!!?
Escreve para cada caso a fração que representa a porção pintada.
32
41
88
33
23
34
45
44
63
Ah!...Muito bem! Afinal tu também gostas destas brincadeiras…
Então, agora, responde-me :De todas aquelas frações, quais as que representam números menores que 1?
Parabéns! Está correto.
32
41
63
Concluímos que: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1. Chamam-se FRAÇÕES PRÓPRIAS.
Números menores que a unidade?
E quais daquelas frações representam números maiores que 1?
23
34
45
Parabéns, outra vez!
Concluímos que: quando o numerador é maior que o denominador, a fração representa um número maior que 1. Chamam-se FRAÇÕES IMPRÓPRIAS.
Números maiores que a unidade?
E quais representam o número 1?
44
88
33
Parabéns, pela 3ª vez!
Concluímos que: Uma fração representa o número 1 (a unidade) quando o numerador é igual ao denominador.
Representam a unidade?
Agora eu vou brincar contigo!
21
1005 10
25
43
10008 10
96
100312
100012
Descubra as duas frações que são “diferentes” neste grupo.
Pois é… também acertou. As diferentes são:
21
e
43
As outras são: FRAÇÕES DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é 10, 100, 1000… (potência de base 10).
Considera as frações:
Mais um desafio para você:
Escreva sob a forma de numeral decimal, o número representado por cada uma das frações decimais.
1025
100
5
1000
12 100312
1096
Frações com igual denominador….
Na festa de aniversário da Joana, todos os bolos estavam cortados em doze fatias iguais. O gráfico refere-se ao número de fatias de cada bolo, que se comeu durante a festa.
Amêndoa
Chocolate
Noz
0
2
4
6
8
10
12
Nº d
e fa
tias
com
idas
128
Escreve a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo.
Amêndoas Chocolate Noz124
1211
124
128
1211
Conclusão: Frações com igual denominador, representa um número maior a que tiver maior numerador.
Frações com igual numerador…
A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate?
Quando são só duas crianças.
41
31
21
Concorda com o André?
Conclusão: Frações com igual numerador, é maior a que tiver menor denominador.
21
31
41
O André pensou, fez um esquema e depois respondeu.
E se as frações tiverem diferentes numeradores e diferentes denominadores? Como fazer?
42
51
é maior ou menor que ?
É fácil !!!
5,04:242 2,05:1
51
2,05,0
Logo51
42
Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados.
FRACÕES EQUIVALENTES
A Educadora deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho, uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede.O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho . Qual deles pintou mais?
21
42
84
Zezinho Pedrinho Joãozinho21
84
42
5,084
42
21
Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.
84
42
21
84
42
21
Repara:
x 2
x 4
x 2
x 4
: 2
: 4
: 2
: 4
ou
Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.
Faz você:
Por exemplo:
x 3
x 3
: 5
: 5
x 2
x 2
54
1512
3015
63
91
182
Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores.
Então, simplifica até ao máximo a fração:
ou
: 2 : 2
: 2 : 2
: 12
: 12
32 não se pode simplificar mais. Chama-se FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.
3624
1812
96
32
3624
32
: 3
: 3
Colégio Geração Valparaíso - GV
Exercícios
Apostila de Matemática
Página 22
Colégio Geração Valparaíso - GV
07-
a) A fração 4/18, a partir da fração 2/9:
R: 2/9 = 4/18 (x 2)
Colégio Geração Valparaíso - GV
07-
b) A fração 4/15, a partir da fração 12/15:
R: 12/15 = 4/5 (: 3)
Colégio Geração Valparaíso - GV07- . Agora, converse com o seu professor e colegas e elaborem uma regra para encontrar uma fração equivalente a outra:
R: Para encontrar uma fração equivalente a outra, devemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma das frações (ao mesmo tempo) por um mesmo número diferente de zero.
Colégio Geração Valparaíso - GV
08-
a) 6/8 = 42/56b) 44/121 = 4/11c) 20/200 = 2/20d) 12/100 = 3/25e) 3/25 = 15/125f) 20/25 = 4/5
Colégio Geração Valparaíso - GV
09-
a) 3/8
b) 8/8
c) 8/8 + 2/8 = 10/8
R: 2/9 = 4/18 (x 2)
Colégio Geração Valparaíso - GV
09- d)
. Número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais; número fracionário.
. Em matemática, essa palavra também pode significar uma porção maior que o todo, tomado como referência.
Colégio Geração Valparaíso - GV
10-
A – 18/6 18/6 = 3
C – 7/6 7/6 = 1 1/6
D – 18/7 18/7 = 2 4/7
G – 14/9 14/9 = 1 5/9