Coherencia de la Medida de Riesgo TVaR

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Coherencia de la Medida de Riesgo TVaR

TESIS

PARA OPTAR POR EL TITULO DE

MATEMATICO

PRESENTA:

DIANA CAROLINA TRUJILLO OROZCO

DIRECTOR:

VLADIMIR MORENO GUTIERREZ

Bogota-Colombia

2010

Coherencia de la Medida de Riesgo TvaR

Diana Carolina Trujillo Orozco

Director: Vladimir Moreno Gutierrez

MSc. Matematicas

Noviembre 30 de 2010

Resumen

En el presente trabajo se analiza la coherencia, tipo Delbaen, de las medidas de riesgotipo cuantil: Valor en Riesgo y Valor en Riesgo Condicionado, como el valor esperado deuna medida de probabilidad distorsionada, mediante una formulacion contextualizada enel area actuarial.

Objetivo General:

Caracterizar la coherencia de la medida de riesgo TVaR mediante funciones de distorsionconcavas.

Objetivos Especıficos:

Verificar que la medida de riesgo cuantil VaR no es coherente.

Presentar los principios de calculo de primas como medidas de riesgo.

Contextualizar los axiomas de coherencia en un contexto actuarial.

Demostrar la consistencia de la medida de riesgo distorsionada respecto del ordende dominancia estocastica de primer orden.

1

2

Introduccion

Los principios de calculo de primas son las medidas de riesgo mas importantes en actuarıa,y frecuentemente los actuarios estan interesados en medir las colas superiores de la funcionde distribucion de la variable perdida.

Existe un gran volumen de investigaciones y resultados donde se verifica la incoherencia,tipo Delbaen, de la medida de riesgo V aR ası como nuevas medida propuestas, en distintosescenarios y areas de aplicacion, donde se corrige la dificultad tecnica de la medida V aR.Con diferentes nombres se ha establecido una medida condicional que mide las perdidaspor encima del umbral dado por el V aR, por ejemplo CTE (Conditional Tail Expected),TV aR (Tail – Value at Risk), con diferentes tecnicas y supuestos se ha demostrado queestas medidas son coherentes. Sin embargo, los aspectos tecnicos de estas pruebas exigenun largo y complejo recorrido, la razon de este trabajo es mostrar la coherencia de estamedida condicional fundamentada en las medidas de probabilidad distorsionadas, teorıapropuesta por Wang.

El desarrollo del trabajo se hace en tres secciones. En la primera seccion se presenta unaadaptacion de los axiomas de coherencia de medidas de riesgo dados por Delbaen, relativaa los principios de calculo de primas actuariales. En la segunda seccion se definen lasmedidas de riesgo: Desviacion Estandar, Valor en Riesgo y Valor en Riesgo Condicional,ilustrando sus falencias respecto de los axiomas de coherencia. En la tercera seccion sedemuestra la coherencia de la medida TV aR y se establece la consistencia de la medidade riesgo distorsionada respecto de la dominancia estocastica de primer orden.

INDICE 3

Indice

1. Marco Teorico 41.1. Algunos conceptos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Modelo Actuarial para Seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Principios de Calculo de Primas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Orden Estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Medidas de Riesgo 102.1. Algunas Medidas de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Medidas Coherentes de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Significado de las propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Coherencia de las medidas de riesgo consideradas . . . . . . . . . . . . . 16

3. Coherencia de la Medida de Riesgo TVaR 19

4. Orden Estocastico y propiedades de la medida de probabilidad distor-sionada. 25

5. Conclusiones 27

6. Bibliografıa 28

1 MARCO TEORICO 4

1. Marco Teorico

Todos nosotros hacemos planes constantemente, y tenemos expectativas acerca de lo queocurrira con nuestras vidas en el futuro. Sin embargo, la experiencia nos ha ensenado queesos planes y expectativas en muchas ocasiones no seran realizados. Estas expectativasse pueden ver frustradas por situaciones imprevistas las cuales podrıan traer consigoimpactos socio-economicos.Para poner algunos ejemplos, podemos considerar la situacion en la que un desastrenatural o un incendio destruye total o parcialmente una propiedad, la muerte de unapersona economicamente activa de la cual depende su familia, la perdida de valor de unainversion, etc.

Los eventos anteriormente citados estan sometidos a leyes probabilısticas y por lo tan-to son de caracter aleatorio lo cual nos permite medir el impacto generado en terminosmonetarios. Es en este punto donde las Aseguradoras empiezan a desempenar un pa-pel importante en el diseno y ejecucion de sistemas que tienen como meta principal lareduccion de estos impactos financieros a cambio de un valor economico para la companıa.

El instrumento mediante el cual la aseguradora puede cumplir este objetivo se denominaseguro y esta designado para que una persona o una empresa a traves del pago de unaprima, transfiera total o parcialmente los efectos economicos que tiene un siniestro.

A continuacion daremos algunas definiciones que seran de importancia en el contextoenmarcado por este trabajo.

1 MARCO TEORICO 5

1.1. Algunos conceptos importantes

El Riesgo podrıa pensarse como peligro, o como un cambio con consecuencias negativas.Sin embargo es necesario encontrar una definicion que pueda ajustarse al objetivo deeste trabajo; aunque una sola no sea totalmente satisfactoria en todos los contexto. Sepuede decir que el riesgo es “cualquier evento o accion que puede afectar adversamentela capacidad de una organizacion para lograr sus objetivos y ejecutar sus estrategias”, oen otro sentido, “la probabilidad cuantificable de la perdida o de una devolucion menora la esperada” 1

Definicion 1. El riesgo y su exposicion estan estrechamente relacionados con laincertidumbre, por lo tanto vamos a definirlos como una variable aleatoria en un espaciode probabilidad (Ω,F, P ). La mayorıa de riesgos se modelan mediante su funcion dedistribucion FX(x) = P (X 6 x) la cual indica la probabilidad de que al final de unperiodo considerado el valor del riesgo X sea menor a igual que un numero x dado.

Definicion 2. Un seguro es un contrato concensual mediante el cual una entidad lla-mada Aseguradora se compromete a cubrir economicamente un siniestro previamenteverificado a cambio de una prima establecida por la companıa. Las condiciones regulado-ras del seguro se plasman en un documento llamado poliza el cual establece los terminosy condiciones de dicho seguro.

Las clases de seguros mas comunes son:

1. Seguro de Vida

2. Seguro de Accidentes Personales

3. Seguro de Robo

4. Seguro de Desgravamen

5. Seguro de Renta Vitalicia Previsional

6. Seguro de Vehıculos

1Quantitative Risk Management, Universidad de Stanford pg 1

1 MARCO TEORICO 6

Definicion 3. En la terminologıa de las aseguradoras un siniestro se refiere a la ocu-rrencia de un evento que se contemplo dentro de la poliza de seguro.

Definicion 4. La reclamacion se refiere a la solicitud que hace un asegurado paraobtener los beneficios que se derivan del pago del seguro.

Definicion 5. La perdida corresponde al monto que la aseguradora cubrira de acuerdoa la materializacion del siniestro asegurado.

1.2. Modelo Actuarial para Seguros

Un modelo actuarial para un seguro consta de una coleccion de variables aleatorias defi-nidas en el mismo espacio de probabilidad, cada una de las cuales refleja la cobertura odistintas coberturas asumidas en la poliza.Con una unica cobertura en la poliza, el aspecto cuantitativo del seguro esta dado poruna variable aleatoria X junto con su funcion de distribucion (F.D) o su funcion de den-sidad de probabilidad (f.d.p); la variable aleatoria es no-negativa y se asume que tieneprimer y segundo momentos ordinarios finitos, es decir: E[X] <∞, E[X2] <∞.

La exposicion al riesgo, modelado por la variable aleatoria X puede cubrirse al adquiriruna poliza de seguro. Esta poliza tiene un valor (que refleja el riesgo, el tipo de riesgo yel tiempo de aseguramiento) conocido como prima.

Por equilibrio economico, la prima pura (no-cargada) es E[X], sin embargo para cumplircon la cobertura deben tenerse en cuenta variables que afecten el valor asegurado talescomo comision de mercadeo, gastos de administracion (emision), desviacion del valor delbien asegurado, utilidades, etc. Estos ajustes para la prima pura dan lugar a los principiosdel calculo de primas.

1.3. Principios de Calculo de Primas

En Actuarıa un riesgo se representa por una variable aleatoria no negativa, cuya coberturaesta dada por un contrato de seguro con vigencia en un periodo especıfico de tiempo [0, T ].

Sea Ω el espacio de estados y F la σ - algebra de eventos al tiempo T , P la medida deprobabilidad sobre (Ω,F).El contrato de seguros, que da vida a la cobertura del riesgo, se describe tecnicamente poruna variable aleatoria X, X : Ω −→ R, donde X(ω) representa su pago al tiempo T siel estado ω ha ocurrido. FX y SX representan respectivamente la funcion de distribuciony la funcion de sobrevivencia del riesgo X.Frecuentemente un contrato de seguros incluye un deducible, cuyo objetivo financiero escomprometer responsablemente al asegurado en condiciones moralmente correctas de losamparos considerados. Entonces el interes es considerar los valores ω tales que X(ω) > d;

1 MARCO TEORICO 7

en este caso el contrato paga si X(ω) > d y no paga si X(ω) 6 d. Por lo tanto es utilconsiderar la variable aleatoria,

(X − d)+ := MaxX(ω)− d, 0

Sobre el espacio de probabilidad (Ω,F, P ) se considera el conjunto de variables aleatorias:

L+(Ω,F, P ) := X : Ω −→ R| X v.a y X > 0

Con las siguientes propiedades:

1. aX ∈ L+(Ω,F, P ) para todo a ∈ R a > 0

2. (X − d)+ ∈ L+(Ω,F, P )

3. X − (X − d)+ ∈ L+(Ω,F, P )

Definicion 6. Un Principio de Calculo de Primas, o un principio de precios de seguroses una funcion Π definida de la siguiente manera:

Π : L+(Ω,F, P ) −→ R

Algunas propiedades razonables de un principio de calculo de primas son las siguientes:

1. No recargo injustificado: Π(c) = c para todo c ∈ R, c <∞.Esta propiedad garantiza que ante un riesgo de monto c con probabilidad de ocu-rrencia 1, el capital que la aseguradora debe reservar para cubrirlo debe ser igual ac.

2. Carga no excesiva o no-estafa: Π(X) 6 SupX(ω) | ω ∈ Ω, para todaX ∈ L+(Ω,F, P ).En otras palabras, si existe un monto maximo de reclamacion para un riesgo, de-notado por xm, entonces ΠX ≤ xm. Claramente es inutil reservar mas capital queel monto maximo de reclamacion.

3. Carga no negativa: Esta propiedad exige que Π(X) ≥ E[X], esto significa que laprima no debe ser menor al valor esperado de la reclamacion.

4. Consistencia: Π(aX+b) = aΠ(X)+b, para toda X ∈ L+(Ω,F, P ) tal que aX+b ∈L+(Ω,F, P ) con a, b ∈ [0,∞]

5. Monotonicidad: Si X 6 Y , con X, Y ∈ L+(Ω,F, P ) entonces Π(X) 6 Π(Y )

6. Subaditividad: Π(X1 +X2) 6 Π(X1) + Π(X1) para todo par X, Y ∈ L+(Ω,F, P )tal que X+Y ∈ L+(Ω,F, P ) La subaditividad refleja la idea de que el riesgo puedeser reducido por la diversificacion.

Las propiedades 4 y 5 implican:

1 MARCO TEORICO 8

7. Convexidad: Π(λX + (1 − λ)Y ) 6 λΠ(X) + (1 − λ)Π(Y ) para todo par X, Y ∈L+(Ω,F, P ) tal que λX + (1− λ)Y ∈ L+(Ω,F, P ) con λ ∈ [0, 1]

En la siguiente tabla mostramos los Principios de Calculo de primas mas comunes:

Principios de Calculo de Primas

Principio de Equivalencia: Π = µXPrincipio de Equivalencia Recargada: Π = (1 + θ)µX

Π = µX + θµXPrincipio de Varianza: Π = µX + θσ2

X

Principio de Desviacion: Π = µX + θσXPrincipio de Utilidad: Π = U(µX)

Principio de Percentiles: Π = infx ∈ R | FX(x) ≥ p

Definicion 7. Dada X, variable aleatoria con Funcion de Distrubucion FX , consideremosel numero α tal que 0 < α < 1. El cuantıl α-esimo de X o de su funcion de distribucionF denotado xα se define mediante la siguiente propiedad:

P (X 6 xα) > α y P (X > xα) > 1− α

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1.4. Orden Estocastico

Comparar riesgos, variables aleatorias, es esencial en actuarıa. Existen varias relacio-nes de comparacion, sin embargo en este trabajo se utilizara la relacion de dominanciaestocastica que se definira a continuacion.

Definicion 8. Sean X y Y variables aleatorias. Se dice X precede Y , en el sentido de ladominancia estocastica de primer orden, sı y solamente sı la funcion de distribucion deX siempre excede a la funcion de distribucion de Y , mas exactamente:

X 61st Y sı y solo sı FX(x) > FY (x) para todo x > 0 y existe x > 0 tal queFX(x) > FY (x), o de manera equivalente:

X 61st Y sı y solo sı SX(x) 6 SY (x) para todo x > 0 y SX(x) < SY (x) para algunx > 0.

Esta relacion de orden X 61st Y se indicara simplemente 6.

En la seccion 4 se retomara esta definicion para definir un nuevo orden y estableceralgunas propiedades de preservacion de la medida de riesgo.

2 MEDIDAS DE RIESGO 10

2. Medidas de Riesgo

1. ¿Como cumplir con los requerimientos de capital?

2. ¿Cuales son las caracterısticas deseables de una medida de riesgo?

3. Algunas medidas de Riesgo.

4. Otras direcciones posibles del estudio del Riesgo Financiero.

El mercado financiero comercializa activos cuyos resultado futuros son inciertos y queinvolucran necesariamente riesgo para los inversionistas. Gestionar tales riesgos es deimportancia central para el mercado financiero. Por ejemplo:

Los entes reguladores buscan minimizar la ocurrencia e impacto de colapsos deinstituciones financieras, emitiendo normas de restriccion sobre los tipos y tamanosde transacciones permitidas, tales como lımites en ventas cortas.

Los administradores financieros en empresas de inversion establecen restriccionessobre las actividades de inversionistas individuales, con el animo de evitar nivelesde exposicion que la empresa no puede cumplir en circunstancias extremas.

Inversionistas individuales buscan diversificar sus posiciones de portafolio para evi-tar la excesiva exposicion a movimientos inesperados.

Las Aseguradoras necesitan de capital para pagar las reclamaciones cuando la renovacionde polizas es de un nivel insuficiente del flujo de primas. Los actuarios, responsables deestudiar la exposicion al riesgo determinan que “bienes” son asegurables, y para estos hanconstruido un modelo con el cual se determina el capital requerido en forma directa dela distribucion de las perdidas agregadas. La desviacion de esta medida no es un procesonatural ni elemental, pero su modelacion da como consecuencia una cuantificacion de losefectos del costo del capital sobre escenarios de precios y estrategias de aseguramiento.

Para un asegurado, un asegurador, un ente regulador, un accionista o un administradorde riesgos, es deseable tener elementos cuantitativos para determinar el nivel o nivelesadecuados de capital para dar respuesta financiera a las variaciones de los escenariospronosticados.

El analisis matematico de las medidas de riesgo ha sido y es uno de los temas principa-les de las areas, y sus profesionales, actuarial y financiera desde su inicio, como puedeobservarse en la teorıa de seleccion del portafolio optima, teorıa del seguro optimo, prin-cipios de calculo de primas en el sector asegurador. Actualmente la medida de riesgo dela exposicion al riesgo mas ampliamente utilizada es el Valor en Riesgo ( V aR, por sussigla en ingles Value at Risk), esta medida fue desarrollada y adoptada en respuesta agrandes desastres financieros como Baring’s Bank, Orange County, Metallgesellschaft, aprincipios de la decada de los 90 del siglo XX.


Un tratamiento estandar de la medida V aR se puede hallar en Jorion. La administraciondel riesgo ha sufrido una revolucion desde mediados de los noventa del siglo XX, generadaespecialmente por el uso de la medida V aR y sus variantes. V aR se ha convertido en lamedida estandar de referencia para medir riesgos financieros, por ejemplo Risk MetricsTM

esta basado en V aR. En la practica, dados suficientes datos, V aR es facilmente aplicable.La idea es determinar el nivel de exposicion de una posicion (portafolio) del cual seeste razonablemente seguros no se excedera.

Por ejemplo, supongamos que se sabenlos resultados mensuales de bonos de deuda publi-ca, durante un cierto perıodo de tiempo (algunos retornos seran positivos, otros nega-tivos). Se selecciona un nivel de confianza del 95 %, entonces se quiere determinar laperdida que no se supere en un 95 % de los casos, ası que solamente el 5 % de los retor-nos es inferior a este nivel. Claramente el nivel de confianza del 95 % puede cambiarseası como el periodo de tiempo de un mes. Si X es una variable aleatoria que representauna posicion financiera, que puede sufrir una posible perdida, entonces existe un valor x,el menor, tal que al nivel de confianza del (1–α) % se verifique P (X > x) < α. Aquı xrepresenta un nivel “aceptable” de perdida. Mas adelante se precisara la medida V aR.

Por otra parte, el valor en riesgo se utiliza para determinar el requerimiento de capitalcon el cual enfrentar las perdidas que superen cierto umbral (α, en el parrafo anterior).Actualmente es un factor establecido en bancos e instituciones financieras, con la orien-tacion y reglamentacion de los entes estatales de control financiero (SuperintendenciaFinanciera, en Colombia). En terminos actuariales, V aR es un valor de reserva de tipocuantıl. En un alto volumen de notas tecnicas actuariales de seguros generales se usael percentil 95 % de la distribucion de perdidas, aproximando la distribucion de perdi-das mediante la distribucion empırica de perdidas, o en el sector financiero y bancarioajustando una distribucion normal multivariada al portafolio.

Nominalmente, este valor de requerimiento de capital, se denomina reserva percentil enel campo actuarial y provision de capital en el sector bancario.Calcular, aproximar o estimar el V aR, significa contar con un modulo, en el modelo deprovisionamiento financiero, en el cual se cuantifique tecnicamente el riesgo asumido. Unelemento clave en la cuantificacion del riesgo, son las medidas coherentes de riesgo.

En el artıculo Coherent Measures of Risk de Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber y David Heath (1999) discuten cuatro propiedades deseables de una medida deriesgo, y denominaron “coherentes” aquellas medidas que las satisfagan. En este capıtulose tratan algunas medidas de riesgo que son coherentes y se describira como usarlas paraque satisfagan los requerimientos de capital. Se presentara el caso de perdida de unaaseguradora y luego ejemplos donde los riesgos recaen sobre activos financieros.

Definicion 9. Una Medida de Riesgo es una funcion que asigna a un riesgo X un numeroreal no negativo, es decir;

ρ : L+(Ω,F, P )→ R+


ρ(X) representa el monto extra de dinero que debe adicionarse a X para hacerlo acepta-ble.

2.1. Algunas Medidas de Riesgo

Sea X una variable aleatoria que denota la perdida de una aseguradora. Por simplicidaden la ilustracion de los ejemplos se supondra que la variable asume un conjunto finito devalores. Sea ρ(X) una medida de riesgo que representa los “activos” que la aseguradoradebera tener en liquidez para pagar todas las perdidas para la cual es responsable.Se consideraran, tres medidas de riesgo:

Desviacion estandar: ρ(X) := Desvα(X) = µX + ασX

Valor en Riesgo: El Valor en Riesgo de X al nivel de confianza 100α% se denota porV aRα(X) o xα, y corresponde al 100α percentıl de la distribucion del riesgo X.Formalmente, V aR se define como:

V aRα(X) := infx|FX(x) ≥ α

o

V aR+α (X) := supx|FX(x) ≤ α

En el caso de variables continuas estos dos valores coinciden, sin embargo paravariables discretas o mixtas no necesariamente. Esta es una medida cuantil y co-rresponde al menor valor de riesgo tal que la probabilidad de que el riesgo sea menosque dicho valor, es mayor o igual a α .

El valor en riesgo se utiliza ampliamente en la gestion de riesgos financieros en unperıodo de tiempo fijo (por lo general relativamente corto). En estas situaciones, ladistribucion normal se utiliza a menudo para describir las ganancias o perdidas. Si ladistribucion de las ganancias o perdidas se limita a la distribucion normal, Valor enRiesgo cumple todos los requisitos de coherencia, para el caso de las distribucioneselıpticas, la medida VaR sigue siendo una medida de riesgo coherente. Sin embargo,la distribucion normal por lo general no se utiliza para describir perdidas por riesgofinanciero (casos credito y operacional), ya que en estos casos no se tiene la condicionde simetrıa, hecho que se refleja en la falta de subaditividad.

Cola del valor en Riesgo: La medida de riesgo valor esperado de la cola de la distri-bucion de perdidas a partir del cuantil V aR, a un nivel de confianza 100α%, sedenota por TV aRα(X), y se define como la perdida esperada dado que esta haexcedido el percentil 100α de la distribucion del riesgo X.


Para variables aleatorias continuas TV aR esta dada por:

ρ(X) := TV aRα(X) = E[X|X > xα] =

∫ ∞xα

(1− FX(x))dx

1− FX(xα)

Suponiendo que esta medida es finita y aplicando integracion por partes y susti-tucion se obtienen las siguientes representaciones equivalentes de esta medida deriesgo:

TV aRα(X) = E[X|X > xα] =

∫ 1

α

V aRα(X)dx

1− α= xα +

∫ ∞xα

(x− xα)dFX(x)

1− Fx(xα)

En el caso de variables aleatorias discretas la medida de riesgo TV aR esta dadapor:

TV aRα(X) = xα +

∑x

(x− xα)+fX(x)

1− FX(xα)

La anterior suma puede implicar infinitos terminos, una forma equivalente consolamente un numero finito de datos se deduce de la siguiente equivalencia:

∑x

(x− xα)+fX(x) =∑x

(x− xα)+fX(x) +∑x

(xα − x)+fX(x)

= E[X]− xα +∑x

(xα − x)+fX(x)

= E[X]− xα +∑x<xα

(xα − x)+fX(x)

Expresion equivalente que al ser reemplazada en la ecuacion para TV aR, se obtieneuna formula que requiere operaciones con solamente un numero finito de valoresdel riesgo.

2.2. Ejemplos

En la siguiente tabla se muestran 25 escenarios de dos variables aleatorias X1, X2 deperdida, para dos seguros generales (por tanto las distribuciones de X1, X2 son sesgadasa la derecha.


Escenarios de Perdidas

Escenario X1 X2

1 264,89 119,86

2 1552,69 1836,92

3 765,95 787,93

4 846,00 894,66

5 699,56 699,42

6 614,18 585,58

7 803,76 838,35

8 669,66 659,55

9 328,37 204,50

10 641,32 621,76

11 951,11 1034,81

12 369,36 259,15

13 1021,11 1128,15

14 432,44 343,25

15 459,93 379,91

16 402,79 303,72

17 511,71 448,95

18 894,25 959,01

19 536,98 482,64

20 1113,53 1251,37

21 562,29 516,38

22 587,93 550,58

23 486,17 414,89

24 1252,53 1436,70

25 1436,70 741,96

Promedio 700,00 700,00

Desviacion 300,00 400,00

Estandar

Sea α = 80 %, y xα = 894, 25, el percentil 80 % de la distribucion normal estandar.V aR0,8(Xj) es el 80th percentil de Xj, es decir el 6th valor mayor de Xj.TV ar0,8(Xj) es el promedio del 20 % del techo de cada variable aleatoria, en este caso,es el promedio de los cinco valores superiores de las Xj. En la siguiente tabla se dan losvalores de las tres medidas de riesgo para las Xj:


Valor de las primas de riesgo

ρX X1 X2

Desv80% 940 1020

V aR80% 894,25 959,01

TV aR80% 1178,19 1337,59

La aseguradora podrıa contar con una parte de sus activos como una responsabilidadpara cubrir lo que espera pagar, pero algun dinero adicional podrıa ser necesario. Elmonto de dinero adicional para este evento contingente es lo que se conoce como capitalrequerido, es decir:

Capital = ρ(X)− µXEn la siguiente tabla se dan los montos de capital requeridos, de acuerdo con cada medidade riesgo:

Capital Adicional

ρ(X) X1 X2

Desv80% 252,49 336,65

V aR80% 194,25 259,01

TV aR80% 478,19 637,59

En estos ejemplos, para las tres medidas se observa que los activos requeridos son mayoresque las perdidas esperadas. Artzner et al., demostraron que esto siempre es cierto paralas medidas Desviacion Estandar y TVaR. En el caso de la medida V aR es posibleencontrar casos donde los activos requeridos sean menores que las perdidas esperadas. Seconsidera el caso, por ejemplo, cuando las perdidas son cero para mas de α% escenarios,entonces en este caso el V aRα sera cero.Tambien se observa que hay un incremento mayor en los activos requeridos para la medidaTV aRα que para las otras dos medidas.

El punto de estos ejemplos y comentarios es informar que no todas las medidas de ries-go son apropiadas para el establecimiento de requisitos de capital. La teorıa “MedidasCoherentes de Riesgo” busca especificar las propiedades de las medidas de riesgo que sondeseables y encontrar las medidas que cumplan con estas propiedades.

2.3. Medidas Coherentes de Riesgo

En el conjunto L+(Ω,F, P ) se define lo que sigue:

Definicion 10. Una funcion ρ : L+(Ω,F, P ) → R es llamada una Medida de RiesgoCoherente si ρ(0) es finito, y si ρ cumple las siguientes propiedades:


Acotamiento: E[X] 6 ρ(X) 6Max(X)

Cargo Injustificado: Si X = b, con probabilidad 1, entonces ρ(X) = b

Invarianza por escala y traslacion: Si m ∈ R, entonces ρ(X +m) = ρ(X) +m

Subaditividad: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y )

Homogeneidad Positiva: Si λ > 0, entonces ρ(λX) = λρ(X)

Cabe anotar que si ρ(X) > 0, entonces se necesita adicionar dinero a la posicion finan-ciera y representa un costo para la institucion financiera que cubre X.Si ρ(X) < 0, entonces este monto puede ser retirado de la posicion financiera y conside-rarlo como una ganancia para la institucion.

2.4. Significado de las propiedades

Acotamiento: Los activos que una companıa debe tener en liquidez para responder consus obligaciones deben ser mayores que el valor esperado de la perdida, pero menores queel monto maximo de la perdidas ya que es innecesario guardar mas captital del que senecesita.Invarianza de Efectivo: Si cada perdida es incrementada por un valor constante α,entonces el monto total necesario debera incrementarse en la misma cantidad.Subaditividad: Este axioma captura la necesidad de la diversificacion en los portafo-lios, por ejemplo cuando dos aseguradoras se unen para coasegurar, ellas no necesitanincrementar sus activos totales, es mas, si la union es efectiva para coaseguramiento ellaspueden reducir los activos necesarios expuestos para esta operacion.Homogeneidad Positiva: Si una aseguradora adquiere un contrato de reaseguramien-to cuota parte en un porcentaje α, entonces ella puede reducir sus activos para estaoperacion en este porcentaje.Artzner, Delbaen, Eber y David Heath, demuestran que TV aRα(X) es una medida deRiesgo Coherente.

2.5. Coherencia de las medidas de riesgo consideradas

1. Desviacion estandar:La medida de desviacion estandar se calcula tomando el promedio de la distribuiciony luego adicionando un recargo (proporcional a la desviacion estandar del riesgo). Laventaja de esta medida es su facilidad de calculo, sin embargo esta medida de riesgo nosatisface el axioma de monotonıa.

En el siguiente ejemplo se demuestra esta falencia:


Perdida del Funcion de Perdida del Funcion de

Riesgo X Probabilidad Riesgo Y Probabilidad

de X de Y

1,5 0,95 2 0,95

2 0,04 2 0,04

2 0,01 2 0,01

La perdida esperada del riesgoX es E[X] = 1,525 , y su desviacion estandar es 0,48733972,la perdida del riesgo Y es E[Y ] = 2 con desviacion estandar 0. Tomando α = 1, tenemosque las primas de riesgo son :

Desv1(X) = 1,525 + 1.(0,48733972) = 2,01233972; Desv1(y) = 2 + 1.(0) = 2

Es decir ρ(X) ≥ ρ(Y ) , aun cuando el riesgo X es “menos riesgoso” que el riesgo Y , yaque en algun estado la perdida del riesgo Y es al menos mayor que la del riesgo X .Por lo tanto, la medida de riesgo, desviacion estandar no satisface el axioma de mono-tonıa.Para las medidas de riesgo V aR y TV aR consideremos los riesgos X y Y , dados acontinuacion :

Riesgo X :

X P (X = x)

0 0,93

1 0,04

2 0,03

Riesgo Y :

Y P (Y = x)

0 0,960

0,5 0,005

2,5 0,035

2. Valor en Riesgo: Calculamos V aR0,95(X) .

Para los riesgos dados se construye una tabla con la funcion de distribucon para deter-minar el valor infx|Fx(x) ≥ 0,95 y supx|Fx(x) ≤ α . Similarmente, para el riesgoY .


Riesgo X Fx(X) Riesgo Y Fy(Y )

0 0,93 0 0,960

1 0,97 0,5 0,965

2 1,00 2,5 1,000

V aR0,95(X) = 1 V ar+0,95(X) = 0

V aR0,95(Y ) = 0 V ar+0,95(Y ) = 0

Suponiendo que estos dos riesgos son independientes, se combinan aditivamente:

Riesgo X + Riesgo Y F (X + Y = x+ y)

0 0,89280

0,5 0,89745

1 0,93585

1,5 0,93605

2 0,96485

2,5 0,99755

3,5 0,99895

4,5 1,00000

Entonces V aR0,95(X+Y ) = 2 y por lo tanto, V aR0,95(X+Y ) > V aR0,95(X)+V aR0,95(Y ).Lo cual verifica en este caso que esta medida no es subaditiva para todas las distribucionesde riesgos, y por lo tanto no es coherente.

3. Cola del Valor en Riesgo:

Examinando los riesgos X y Y , los valores de TV aR para los dos riesgos son:

TV aR0,95(X) = 1,6 TV aR0,95(Y ) = 1,8

Y para el portafolio agregado de los riesgos X y Y se tiene que la medida TV aR es:TV aR0,95(X + Y ) = 2,4215, que muestra que esta medida satisface el axioma de subadi-tividad ya que

TV aR0,95(X + Y ) 6 TV aR0,95(X) + TV aR0,95(Y )

.

3 COHERENCIA DE LA MEDIDA DE RIESGO TVAR 19

3. Coherencia de la Medida de Riesgo TVaR

En los anteriores ejemplos ilustrativos, se ha mostrado que las medidas de riesgo Des-viacion estandar y Valor en Riesgo fallan en uno de los axiomas de coherencia, y que lamedida percentil TV aR satisface el axioma de subaditividad, axioma fundamental paradispersar el riesgo en la agregacion a traves de portafolios, sin embargo debe demostrarseque esta medida es coherente de acuerdo al enfoque de Delbaen. Para este fin se presentala teorıa y algunos resultados de Wang, especıficamente las medidas de riesgo distorsiona-das, las cuales se desarrollaron a partir de las investigaciones sobre el principio de calculode primas de Wang (1995).

Definicion 11. Una funcion de distorsion es una funcion g : [0, 1]→ [0, 1] que satisfaceser no decreciente, g(0) = 0 y g(1) = 1

Definicion 12. Una medida de riesgo distorsionada asociada con una funcion de distor-sion g, para una variable aleatoria X con funcion distribucion FX es

ρg(X) =

∫ ∞0

g(1− FX(x))dx

La medida de riesgo distorsionada ajusta el valor de la medida de probabilidad para darmas peso a eventos de riesgo de valor mayor. La funcion g(1 − FX(x)) se puede inter-pretar como un riesgo ajustado de la funcion de sobrevivencia del riesgo X. Entonces latransformacion F ∗X := g(FX(x)) define una distribucion de probabilidad “distorsionada”.

Utilizando probabilidades distorsionadas, se puede definir una distorsion que produzcalas medidas percentil V aR y TV aR.

Medida V aR: Funcion de Distorsion

g(t) =

0, si 0 6 t < 1− α1, si 1− α < t 6 1

Entonces la medida de riesgo distorsionada es

ρg(X) =

∫ ∞0

g(1− FX(x)dx =

∫ xα

0

1dx = vα

donde xα = F−1X (α)

Medida TV aR: Funcion de Distorsion

g(t) =

t

1− α, sı 0 6 t < 1− α

1, sı 1− α < t 6 1


Teorema 13. La medida de riesgo distorsionada es Homogenea Positiva. Esto es

ρg(λX) = λρg(X)

Demostracion 14. Por definicion,

ρg(X) =

∫ ∞0

(1− FX(t))dt =

∫ ∞0

g(SX(t))dt

Luego,

ρg(λX) =

∫ ∞0

g(SλX(t))dt

Definamos una nueva variable aleatoria Y = λX

Por lo tanto:

FY (y) = P (λX 6 y)

= P (X 6y

λ)

= FX(y

λ)

Entonces:

ρg(λX) =

∫ ∞0

g(SλX(t))dt

=

∫ ∞0

g(SX(t

λ))dt

=

∫ ∞0

λg(SX(τ))dτ

= λ

∫ ∞0

g(SX(τ))dτ

= λρg(X)

Teorema 15. La medida de riesgo distorsionada cumple el axioma de Invarianza porEscala y Traslacion. Esto es

ρg(X +m) = ρg(X) +m


Demostracion 16. Analogamente a la demostracion anterior, definamos una nueva va-riable aleatoria Y tal que:

Y = X +m

Por lo tanto:

SY (t) = P (X +m > t)

= P (X > t−m)

= SX(t−m)

Entonces:

ρg(X +m) =

∫ ∞0

g(SX+m(t))dt

=

∫ m

0

g(SX+m(t))dt+

∫ ∞m

g(SX+m(t))dt

=

∫ m

0

g(SX(t−m))dt+

∫ ∞m

g(SX(t−m))dt

=

∫ m

0

g(1)dt+

∫ ∞m

g(SX(t−m))dt

= m+ ρg(X)

= ρg(X) +m

Teorema 17. La medida de distorsion esta acotada superiormente por elMax X |X > 0

Demostracion 18. Denotemos por xmax := Max X |X > 0.Tenemos que P (X 6 xmax) = 1

P (X > xmax) = SX(xmax) = 0

Por lo tanto:

ρg(X) =

∫ ∞0

g(SX(t))dt

=

∫ xmax

0

g(SX(t))dt

Pero g(t) 6 1, ası

ρg(X) 6∫ xmax

0

g(1)dt

6∫ xmax

0

dt = xmax


Asıρg(X) 6 xmax

Los siguientes dos Teoremas establecen condiciones necesarias y suficientes para los axi-mos de coherencia acotamiento y subaditividad.

Teorema 19. La medida de riesgo distorsionada ρg(X) =

∫ ∞0

g(1 − FX(x))dx es infe-

riormente acotada por E[X] si y solo si g(t) > t ∀t ∈ [0, 1].

Demostracion 20. ⇒)Sea ρg(X) inferiormente acotada.

Supongamos que existen a, b tal que 0 6 a < b 6 1 tal que ∀t ∈ [a, b], g(t) < t.Sea X una variable aleatoria tal que a < X < b y consideremos la variable aleatoria Ydefinida como sigue:

Y =

a si X 6 a

X, si a < y 6 b

b, si b < X

Entonces,

SY (y) =

1 si y 6 a

SX(y), si a < y 6 b

0, si b < y

Por tanto:

E[Y ] = a+

∫ b

a

SX(y)dy

Como a < SX(y) < b, entonces g(SX(y)) < SX(y) y ası:

E[Y ] = a+

∫ b

a

SX(y)dy

E[Y ] > a+

∫ b

a

g(SX(y))dy = ρg(Y )

Conclusion que contradice el supuesto que la medida de riesgo ρg esta inferiormenteacotada por el valor esperado del riesgo.


⇐)Si g(t) > t ∀t ∈ [0, 1] entonces g(1− FX(x)) > 1− FX(x) por tanto∫ ∞

0

g(1− FX(x))dx >∫ ∞0

(1− FX(x))dx = E[X]

El axioma de subaditivad se caracteriza por la concavidad de la funcion de distorsiong, esta condicion fue establecida implıcitamente en Wang (1996) y probada en Wang yDhaene (1998) para riesgos comonotonos. En el siguiente teorema se presenta el resultadode Wang y Dhaene, sin la condicion de comonoticidad, prueba atribuida a Hesselager O.(1999).

Teorema 21. La medida de distorsion ρg(X) =

∫ ∞0

g(1 − FX(x))dx es subaditiva si y

solo si g es una funcion de distorsion concava.

Demostracion 22. ⇒)Sea ρg una medida de distorsion subaditiva.Supongamos que g es estrictamente convexa en un subintervalo cerrado [a, b] de [0, 1].

El numerob− a

2∈ [0, 1]. Sea c =

a+ b

2∈ [a, b]

De la convexidad estricta de g en [a, b] se tiene que:

Para todo z tal que z <b− a

2g(c+ z)− g(c) g(c)− g(c− z).

Sean X y Y variables aleatorias, con funcion de distribucion conjunta discreta. Para

cualquier γ > 0 y para cualquier z <b− a

2tenemos que :

Y X 0 γ + z

0 1− c− z z

γ + z2

z 0

γ + z 0 c− z

Las medidas de riesgo para estas dos variables aleatorias estan dadas por:

ρg(X) = (γ + z) g(c)

ρg(Y ) =(γ +

z

2

)g(c) +

z

2g(c− z)

ρg(X + Y ) =(γ +

z

2

)g(c+ z) +

z

2g(c) + (γ + z)g(c− z)

Por tanto:


ρg(X + Y )− (ρg(X) + ρg(Y )) =(γ +

z

2

)(g(c+ z)− g(c))− (g(c)− g(c− z))

> 0

En consecuencia ρg(X+Y ) > ρg(X)+ρg(Y ) que contradice la subaditividad de la medidaρg

⇐)

Supongamos que g es una funcion de distorsion concava.Sea SX(x) = 1− FX(x).En primer lugar, al asumir que la funcion de distorsion es concava se tiene que paracualquier a, b con a < b y x > 0 se verifica que :

g(b+ x)− g(a+ x) 6 g(b)− g(a) (1)

Se demuestra el resultado para cualquier variable aleatoria X , y una variable aleatoriadiscreta Y tomando valores en 0, 1, 2, . . . , n . Notese que por adicion de escalar, laprueba tambien sera valida si Y toma valores en k, k + 1, k + 2, . . . , k + n, y pormultiplicacion por escalar para Y tomando valores en kh, h(k+1), h(k+2), . . . , h(k+n)con h > 0.Cualquier variable aleatoria se puede aproximar por una variable aleatoria tipo Y con hsuficientemente pequeno.

Se hace induccion matematica sobre n:

(i) Para n = 0, Y0 = 0 casi seguramente, y ρ(Y0) = 0, entonces para cualquier variablealeatoria X se tiene que:

ρg(X + Y0) =

∫ ∞0

g(SX+Y0)dt

=

∫ ∞0

g(P (X + Y0 > t))dt

=

∫ ∞0

g(P (X > t))dt

= ρg(X) + 0

= ρg(X) + ρg(Y0)

(ii) Se supone que el resultado es cierto para n. Es decir:

ρg(X + Yn) 6 ρg(X) + ρg(Yn)

4 ORDEN ESTOCASTICO Y PROPIEDADES DE LA MEDIDA DEPROBABILIDAD DISTORSIONADA. 25

(iii) Demostrar que el resultado es cierto para n+ 1

Sea el par (X, Yn+1) con Yn+1 tomando valores en 0, 1, 2, . . . , n, n+ 1, es decir:

ρg(X + Y ∗) 6 ρg(X) + ρg(Y∗) (2)

Con ω0 = P (Y = 0) y SX|0(t) = P (X > t|Y = 0) se tiene para t > 0 que:

SY (t) = (1− ω0)SY ∗(t)

SX(t) = ω0SX|0(t) + (1− ω0)SX(t)

SX+Y (t) = ω0SX|0(t) + (1− ω0)SX+Y ∗(t)

Aplicando la ecuacion (1) y las anteriores ecuaciones, se tiene que:

= g(SX+Y (t))− g(SX(t))− g(SY (t))

= g(ω0SX|0(t) + (1− ω0)SX+Y ∗(t))− g(ω0SX|0(t) + (1− ω0)SX(t))− g((1− ω0)SY ∗(t))

6 g((1− ω0)SX+Y ∗(t))− g((1− ω0)SY ∗(t))− g(1− ω0)SX(t))

= g(1− ω0)

g((1− ω0)SX+Y ∗(t))

g(1− ω0)

− g((1− ω0)SY ∗(t))

g(1− ω0)− g((1− ω0)SX(t))

g(1− ω0)

Sea h(S(t)) :=g((1− ω0)S(t))

g(1− ω0)una nueva funcion de distorsion no decreciente y concava,

ya que g(1− ω0) es una constante positiva.

Integrando respecto a t en el intervalo [0,∞), ambos miembros de la desigualdad anteriory empleando la desigualdad (2) se tiene que:

ρg(X + Y ) 6 ρg(X) + ρg(Y )

Con los anteriores teoremas podemos concluir que la medida de riesgo distorsionadaes coherente. Ası, como hemos asociado a la medida de riesgo TV aR una funcion dedistorsion, entonces TV aR es coherente.

4. Orden Estocastico y propiedades de la medida de

probabilidad distorsionada.

Proposicion 23. Toda funcion de distorsion preserva el orden estocastico de primerorden.

Demostracion 24. Supongamos que X 6 Y , y sea g una funcion de distorsion. Co-mo g es no decreciente y SX(x) 6 SY (x) entonces g(SX(x)) 6 g(SY (x)) por lo tanto∫ ∞0

g(SX(x))dx 6∫ ∞0

g(SY (x))dx , es decir, ρg(X) 6 ρg(Y )

4 ORDEN ESTOCASTICO Y PROPIEDADES DE LA MEDIDA DEPROBABILIDAD DISTORSIONADA. 26

A continuacion se define otra relacion de ordenamiento de riesgos.

Definicion 25. Para cualquier para de riesgos X y Y , si:∫ ∞x

g(SX(t))dt 6∫ ∞x

g(SY (t))dt para todo x > 0 entonces se dice que X precede a Y

en dominancia estocastica de segundo orden, y se simboliza X 62 Y .

Proposicion 26. Sea g una funcion de distorsion estrictamente concava.Si X 62 Y y las funciones de sobrevivencia SX , SY se cortan una sola vez, entoncesρg(X) 6 ρg(Y ).

Demostracion 27. Como

∫ ∞x

g(SX(t))dt 6∫ ∞x

g(SY (t))dt entonces E[X] 6 E[Y ].

Sea t0 el punto donde se cortan (una vez) las funciones de sobrevivencia de manera quese satisfacen las desigualdades siguientes:

SX(t) > SY (t) t < t0

SX(t) 6 SY (t) t > t0

Como X 62 Y entonces SX(t) < SY (t) para algun t > t0, y/o SX(t) > SY (t) para algunt < t0.Se construye la siguiente funcion de sobrevivencia :

SZ(x) := MaxSX(t), SY (t)

Entonces:

ρg(Z)− ρg(X) >ρ(SX(t0))

SX(t0)

∫ ∞t0

[SY (t)− SX(t)]dt

y

ρg(Z)− ρg(Y ) 6ρ(SX(t0))

SX(t0)

∫ t0

0

[SY (t)− SX(t)]dt

Siendo alguna de las dos desigualdades estricta.Por lo tanto,

ρg(Y )− ρg(X) >ρ(SX(t0))

SX(t0)

∫ ∞t0

[SY (t)− SX(t)]dt > 0

Luegoρg(X) < ρg(Y )

5 CONCLUSIONES 27

5. Conclusiones

El rapido crecimiento del sector financiero ha generado la necesidad de desarrollarformas tecnicas para calcular los requerimientos de capital cuando existe exposicional riesgo.

La medida de riesgo V aR ha respondido a estas necesidades en algun sentido; perola Teorıa de la Medida ha permitido identificar una buena medida de riesgo llamadaTV aR que mejora los calculos realizados con V aR

Las funciones de distorsion proporcionan una herramienta matematica muy sencillapara formalizar la coherencia de la medida de riesgo TV aR.

Es necesario investigar sobre la optimizacion de algoritmos que permitan hacercalculos mas precisos en Administracion de Riesgo.

6 BIBLIOGRAFIA 28

6. Bibliografıa

Schied Alexander, Follmer Hans, CONVEX AND COHERENT RISK MEASURES,2008.

Artzner Philippe, Delbaen Freddy, Eber Jean-Marc, Heath David, COHERENTMEASURES OF RISK, 1998.

Duffie Darrell, Schaefer Stephen, QUANTITATIVE RISK MANAGEMENT: CON-CEPTS, TECHNIQUES AND TOOLS, 2004.

Denuit Michael, Dhaene Jan, Goovaerts Marc, Kaas Rob, ACTUARIAL THEORYFOR DEPENDET RISKS, MEASURES, ORDERS AND MODELS, 2005.

Documents

Coherencia de la Medida de Riesgo TVaR