Coefficients Non Constants

8/14/2019 Coefficients Non Constants

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quations diffrentielles linaires du premier ordre coefficients non constants avec second membre

EQUATIONS DU PREMIER ORDRE

1


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Groupement B 1999quations diffrentielles (TP1)

Dans cette question, on se propose de rsoudre sur l'intervalle ]0, +[ l'quation diffrentielle du premier ordre :

( E 1) : t x 2 x = 0o x dsigne une fonction inconnue de la variable relle strictement positivet .

1 Dterminer sur l'intervalle ]0, +[ une primitive de la fonction f dfinie, pour t > 0, par f (t ) =t 2 .

2 Rsoudre l'quation diffrentielle ( E 1).

3 Dterminer la solution de ( E 1) vrifiant la condition : x = 1 pour t = 1.

Exploitation des vhicules moteurquations diffrentielles (TP1)

Soit ( E ) l'quation diffrentielle : ( )( ) y x x y x 2lnln += o y est une fonction de x dfinie sur ]1, +[.

1 Calculer, sur l'intervalle ]1, +[, une primitive de la fonctionh dfinie par :h( x) =

x x ln1 (avec x > 1)

en remarquant que cette fonction est de la forme( )( ) xu xu

.

2 Rsoudre l'quation diffrentielle ( E ). Vrifier que la fonctiondfinie par ( x) = x (ln x)2, pour xvariant dans l'intervalle ]1, +[, est une solution particulire de cette quation.

2


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Groupement Bquations diffrentielles (TP1)

Dans les rgions de production, on peut contrler le taux de sucre des melons avec un rfractomtre mesure rapide.

Pour contrler les melons, Sophie utilise un rfractomtre dont le taux d'avarie1 est constant. Lafonction de fiabilit 1 R de cet appareil associe chaque rel positif t la probabilit ( )t R1 pour que cetappareil n'ait pas de dfaillance dans l'intervalle de temps [0,t ]. Cette fonction est solution del'quation diffrentielle suivante :

( ) ( ) 01 =+ t yt y (1)1. Dterminer toutes les solutions de l'quation diffrentielle (1).

2. Sachant que ( ) 101 = R , exprimer ( )t R1 en fonction de 1 et det .Germaine utilise un autre type de rfractomtre dont le taux d'avarie( )t 2 est une fonction du tempst, (t 0).Sa fonction de fiabilit2 R est solution de l'quation diffrentielle suivante :

( ) ( ) 02

11 =

++ t y

t t y (2)

3. Dterminer toutes les solutions de l'quation diffrentielle (2).

Sachant que ( ) 102 = R , dterminer la fonction2 R .

Moteurs combustion interne (extrait)quations diffrentielles (TP1)

Une fonction ( )t xt vrifie, pour toutt de l'intervalle ]0,[ l'quation diffrentielle :

( ) ( ) t t t xt t x 2coscossin =

Rsoudre cette quation diffrentielle sur l'intervalle ]0,[ et dterminer la solution ( )t xt vrifiantla condition :

22=

x

Calculer x(0) et x().

3


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Chaudronnerie et tuyauterie industriellequations diffrentielles (TP1) , calcul diffrentiel et intgral (TP1).

1 A l'aide d'une intgration par parties, dterminer les fonctions primitives F de la fonction dfiniesur R par :

( x) = x cos x.2 Dterminer toutes les fonctions y de la variable x, dfinies sur R*+, qui vrifient l'quation

diffrentielle :0=+ y y x

o y dsigne la drive premire de y.3 Soit l'quation diffrentielle : ( E ) x x y y x cos=+ .

Dduire de la premire question une solution particulire de l'quation ( E ) que l'on cherchera sous

la forme : x x K

y)(

0 = o K est une fonction dterminer.

4 Dduire des questions prcdentes la solution g de l'quation diffrentielle ( E ), dfinie sur R*+,telle que g () = 0.

4


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Groupement Bquations diffrentielles (TP1) ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP6)

Soit l'quation diffrentielle du premier ordre :

( E ) xt t t x =+ 22 11dans laquelle x dsigne une fonction de la variable rellet et x' sa drive premire.1 Vrifier que la fonction constante x = 0 est une solution de ( E ).

Dterminer sur R {1, 1} les nombres rels A, B et C tels que l'on ait l'identit :

( ) t C

t B

t A

t t

t +++=

+111

12

2

et rsoudre ( E ) sur R {1, 1}.

2 Dterminer la solution particulire1 x de ( E ) telle que ( ) 3221 = x .

On considre le rel qui satisfait, pour chaquet diffrent de 1 et de 1, au x conditions suivantes :

tan = t ,22


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Groupement B 2002quations diffrentielles (TP1) ; fonctions d'une variable relle ; calcul diffrentiel et intgral 1 (TP1)

1 Soit l'quation diffrentielle ( E ) : 321 x y y x x =+ .a) Montrer qu'il existe deux constantes rellesa et b telles que, pour tout rel non nul x :

( ) 111

22 ++=

+ xbx

xa

x x

b) Rsoudre sur R* l'quation diffrentielle ( E o) : 01 2 =+ y y x xc) Trouver une solution particulire de ( E ) de la forme y = ax + b, a et b tant des rels

dterminer.

d) En dduire la solution gnrale de ( E ).e) Trouver la solution particulirede ( E ) vrifiant :(0) = 2.

2 On considre la fonctionde la variable relle x dfinie par :

( x) = 21 x x

x+

+

Soitc la reprsentation graphique dedans le plan rapport au repre orthonormal (O ; ,i j ).a) Etudier la parit de. Qu'en dduit-on pour c .

b) Etudier la fonctionsur l'intervalle [0, +[.c) Montrer que la droite d'quation y = x + 1 est as ymptote c quand x tend vers +.d) Tracer c ainsi que les asymptotes et la tangente au pointO.

N.B. Les deux questions peuvent tre traites de faon indpendante.

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Groupement B 2002quations diffrentielles (TP1) ; fonctions d'une variable relle ; calcul diffrentiel et intgral 1 (TP1 - TP3)

1 On considre l'quation diffrentielle ( E ) : ( ) 21 x y x y x =+ , o x appartient l'intervalle]0, +[.

a) Vrifier que la fonction dfinie sur ]0, +[ par ( ) x x = est une solution particulire del'quation ( E ).

b) Rsoudre l'quation ( E ) dans ]0, +[. (On commencera par rsoudre l'quation sans secondmembre associe).

c) Dterminer la solution particulire g de ( E ) dfinie sur ]0, +[ telle que : ( ) e111 += g

2 Dans cette question, on considre la fonctiondfinie sur R par ( x) = x x x + e .a) Calculer ( ) x f et ( ) x f . Dmontrer que la fonction f admet un minimum positif et en dduire le

signe de ( ) x f sur R.

b) Dresser le tableau des variations de la fonction. (On rappelle +=+ x

x

x

elim )

c) Soit c la courbe reprsentative de la fonction dans un repre orthonormal (O ; ,i j ) (unitgraphique 2 cm). Dmontrer que la droited d'quation y = x est asymptote c et tudier la positionde c par rapport d quand x +.

Tracer la tangente enO la courbec , puis la droited et la courbec .

d) SoitG dfinie sur R par G( x) = ( ) xbax + e .

Dterminer les relsa et b tels que ( ) x x xG = e . Calculer alors, en cm2, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbec , la droited et la droite d'quation x = 2.

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Groupement B (Nouma - septembre 1999)quations diffrentielles (TP1) ; fonctions d'une variable relle ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP7 - TP9)

Cet exercice a pour but d'tudier une solution sur R de l'quation diffrentielle :22e4 x y xy =+ ( E )

1 Rsolution de l'quation diffrentielle.

a) Vrifier que la fonction numriquedfinie sur R par ( ) 22e x x x f = est solution de ( E ).

b) Dterminer la solution gnrale sur R de l'quation diffrentielle : 04 =+ y xy .c) En dduire la solution gnrale de l'quation ( E ).

2 Etude de la fonctiondfinie au 1 a) .a) tudier les variations deet prciser ses limites aux bornes de son ensemble de dfinition. b) Soitc la courbe reprsentative dedans le plan muni d'un repre orthonormal (O ; ,i j ),

(unit : 8 cm).Dterminer une quation de la tangentet la courbec au point d'abscisse 0.Quelle est la position dec par rapport t ?

c) Tracer la droitet et la courbec .3 Calcul d'aire

a) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limit par la courbec , les axes du repre et la droited'quation x = a , a tant un rel strictement positif.

b) Dterminer la limite de cette aire quanda tend vers +.

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Groupement B 2003quations diffrentielles (TP1) ; calcul diffrentiel et intgral 1 (TP2 + intgration par parties)

1 a) Rsoudre sur ]0, +[ l'quation diffrentielle : 02 =+ y y x .

b) Rsoudre sur ]0,+[ l'quation diffrentielle : 212

x

x y y x

+=+ ( E ). On cherchera une

solution particulire g de lquation ( E ) de la forme : ( )( )2 x

xk x g = , o k est une fonction

dterminer, drivable sur ]0, +[.

c) Dterminer la solution particulirede ( E ) telle que(1) = 1 4

.

2 La fonctiontant solution de ( E ) :a) Montrer que +=

31

312

31

d)(2d1

d)( x x f x x

x x x f x .

b) En intgrant par parties, et aprs justification, montrer que :

( ) = 313

1d)()1(33d)( x x f x f f x x f

c) La fonctiontant la solution particulire de ( E ) dtermine au 1 b), dduire de 2 a) et b) que :

( ) ++= 3

1 2

3

1d

133)1(d)( x

x

x f f x x f

Indiquer une valeur exacte de cette intgrale, puis une valeur approche par excs 310 .

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Groupement B (Nouma 2003)quations diffrentielles (TP1) - calcul diffrentiel et intgral 1 (TP1 - TP3)

A - quation diffrentielle.

On considre l'quation diffrentielle ( E ) suivante, o y dsigne une fonction de la variable relle x,dfinie et drivable sur l'intervalle ]0,+[ et o ln dsigne la fonction logarithme nprien :

( E ) x y y x ln= .1) Rsoudre, sur l'intervalle ]0,+[ l'quation diffrentielle : 0= y y x .2) Vrifier que la fonctionh, dfinie pour tout rel x appartenant l'intervalle ]0,+[ par

1ln)( = x xh , est une solution particulire de ( E ).

En dduire l'ensemble des solutions de (E).3) Dterminer la solution f de ( E ) qui vrifie f (l) = 1.

B - tude d'une fonction.Soit la fonction f , dfinie sur l'intervalle ]0,+[ par f ( x) = 2 x 1 ln x.1) Dterminer la limite de f en 0 et montrer que la limite de f en+ est+.2) Calculer la fonction drive f de f .

En dduire les variations de f sur l'intervalle ]0,+[.

C - Reprsentation graphique ; calcul d'aire.

On notec la courbe d'quation )( x f y = dans un repre orthonormal (O ; ,i j ) du plan.1) tudier la position dec par rapport la droited d'quation : y = 2 x 1.2) Tracer la partie de la courbec pour 0 < x 3 ainsi que la droited . (Unit graphique : 4 cm).3) a) Vrifier que la fonction x x x x H ln: est une primitive sur l'intervalle ]0,+[ de lafonction x x ln .

b) Reprsenter sur le graphique le domaine dlimit par la courbec , la droited et les droiteset d'quations respectives : 2

1= x et x = 1.

c) Calculer, en 2cm , l'aire de ce domaine. (On en donnera une valeur dcimale approche par excs 210 prs).

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Chaudronnerie et tuyauterie industrielleCalcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP5 - TP8 - TP9) ; fonction d'une variable relle ; quations diffrentielles (TP1)

Partie A : Rsolution d'une quation diffrentielle.

On considre l'quation diffrentielle : x y y x ln1+=+ (1)o y dsigne une fonction de x dfinie sur ]0, +[.1 Rsoudre l'quation diffrentielle : 0=+ y y x .2 Vrifier que la fonction g dfinie sur ]0, +[ par g ( x) = ln x est solution de l'quation (1).3 a) Dduire des deux questions prcdentes la forme gnrale des solutions de l'quation (1).

b) Dterminer parmi les solutions de l'quation (1) la solutionvrifiant(1) = 1.

Partie B :

Soit la fonction dfinie sur ]0, +[ par ( x) = x x

ln1 + .

On dsigne par c la courbe reprsentative de la fonction dans un repre orthonormal (O ; ,i j )d'unit graphique 2 cm.I - tude d'une fonction1 a) Etudier le sens de variation desur ]0, +[.

b) Sachant que ( ) 0lnlim0 = x x x , tudier la limite de( x) quand x tend vers 0.

tudier la limite de( x) quand x tend vers +.c) tablir le tableau de variation de.

2 a) Calculer la drive seconde deet tudier son signe suivant les valeurs de x. b) Soit I le point dec en lequel la drive seconde s'annule. Calculer les coordonnes de I et

dterminer une quation de la tangentet c au point I.3 Tracer t et c en plaant en particulier sur c les points d'abscisses 4 et 6.

II - Calcul d'aire et de volume1 a) En utilisant une intgration par parties, calculer l'intgrale :

= 211 dln x x J b) En dduire une valeur approche 210 prs en 2cm de l'aire du domaine limit par la courbe

c trace au B - I - 3, l'axe des abscisses et les droites d'quations x = 1 et x = 2.

2 a) Calculer l'intgrale : ( ) x x f x J d1

21

22 = .

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b) A et B tant les points de la courbec d'abscisses respectives 1 et21 , A et B tant leurs

projections respectives sur l'axe des ordonnes, on appelled le domaine limit par les segments

[ ] A A , [ ] A B , [ ] B B et l'arc

AB de c .Dduire du a) ci-dessus une mesure, en3cm , du volume engendr par la rotation du domainedautour de l'axe des ordonnes.

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Microtechnique 2000 (Extraits)quations diffrentielles (TP1) ; fonctions d'une variable relle ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP3)

1 Dterminer toutes les fonctions y de la variable x, dfinies sur ]0, +[ qui vrifient l'quationdiffrentielle :

xy 2 y = 0o y' dsigne la drive premire de y.

Soit l'quation diffrentielle ( E ) : xy 2 y = ln x, dfinie sur ]0, +[.On pose g ( x) = x2 h( x). Dterminer la fonctionh telle que g soit solution de l'quationdiffrentielle ( E ).

Dduire de ce qui prcde la solutionY de l'quation diffrentielle ( E ), dfinie sur ]0, +[, telle queY (1) = 0.

2 Soit la fonction numrique dfinie sur ]0, +[ par :( x) =

x x ln

21

21 2

.

tudier les variations dequand x dcrit ]0, +[.3 Dans le plan rapport au repre orthonormal (O ; ,i j ) l'unit tant 2 cm, tracer trs soigneusement

la reprsentation graphique de la fonction.

4 En posantu = x 1, donner le dveloppement limit l'ordre 3 de( x), au voisinage de x = 1.En dduire, au voisinage de 1, la position de la courbe par rapport la parabole d'quation :

2 y = ( )21 x

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Groupement Bquations diffrentielles (TP1) ; fonctions d'une variable relle ; calcul diffrentiel et intgral 1 (TP1 - TP9 - TP10)

Partie ISoit l'quation diffrentielle :

( E ) (1 + x2) y + xy = 2 x1 Dterminer les fonctionsdfinies sur R, solutions de l'quation diffrentielle ( E' ) :

( E' ) (1 + x2) y + xy = 02 a) Vrifier que l'quation ( E ) admet pour solution une fonction g telle que pour tout x rel,

( ) k x g = , k tant un nombre rel dterminer.

b) En dduire la solution gnrale de l'quation diffrentielle ( E ).c) Dterminer la fonctionh, solution de ( E ), qui vrifie la condition :h(0) = 0Partie II

On considre la fonction, dfinie sur R, par :( x) = 2122 x+

1 a) tudier la parit de laonction. b) Dterminer la limite de la fonctionen +; interprter gomtriquement le rsultat obtenu.c) tudier les variations desur [0, +[.

2 Tracer la courbec reprsentative de la fonction dans un reprer orthogonal d'units graphiques(en abscisse 2 cm, en ordonnes 5 cm).

3 On noted la portion de plan, ensemble des pointsM ( x, y) vrifiant les deux conditions :

0 x et 0 y ( x)On se propose de dterminer une valeur approche de l'aire A de d , exprime en units d'aire.a) Reproduire sur la copie et complter le tableau suivant :

x 0

valeur approche de( x) 0,01 prs par dfaut

valeur approche de( x) 0,01 prs par excs

b) On considre les sommes :

S 1 =

+

+

+

+

534

533

532

53)0(

53

S 2 = ( )

+

+

+

+

3534

533

532

53

53

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Interprter les sommesS 1 et S 2 comme sommes d'aires de rectangles que l'on reprsentera sur legraphique de la questionPartie II- 2.Justifier, l'aide de considrations gomtriques, l'encadrement suivant :

S 1 30 d)( x x S 2c) En utilisant les rsultats nots dans le tableau de la question Partie II - 3 a) dterminer un

encadrement de A .

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Constructions mtalliquesquations diffrentielles (TP1) ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP3 - TP4) ; fonctions d'une variable relle.

Partie A :On considre l'quation diffrentielle, dfinie sur ]-1, +[ :

( E ) ( )1

12+=+

+ x

y y x .

1 a) Intgrer l'quation :( ) 02 =++ y y x sur ]-1, +[. b) Intgrer l'quation ( E ).

2 Dterminer la solutionde ( E ) qui vrifie(0) = 0.

Partie B :

Soit la fonctiondfinie sur ]-1, +[ par : ( ) ( )21ln

++=

x x

x .

0n notec sa courbe reprsentative dans un repre orthonormal (O ; ,i j ), (unit graphique : 2 cm).

1 Calculer la drive f de.

2 tudier les variations de la fonction g , dfinie sur ]-1, +[ par : ( ) ( )1ln12 ++

+= x x x

x g .

Dresser son tableau de variation (on ne demande pas de construire la courbe reprsentative de g ).Montrer en particulier que g s'annule pour une seule valeur > 0.Montrer que 2,5 2,6.En dduire le signe de g , puis de f .

3 Dterminer les limites deen -1 et en +. En dduire la nature des branches infinies dec .4 Dresser le tableau des variations de.5 Dterminer un dveloppement limit d'ordre 2 de( x) au voisinage de 0.

En dduire la position dec par rapport la tangente enO au voisinage de ce point.6 Tracer la courbec .

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Groupement BFonctions d'une variable relle - Calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP3 - TP7 - TP9) - quations diffrentielles (TP1)

Partie A

On considre l'quation diffrentielle ( E ) : ( ) x y x y x 2e212 =+ o y dsigne une fonctionnumrique de la variable relle x, dfinie et drivable sur ]0, +[.1 Rsoudre sur ]0, +[ l'quation diffrentielle ( E ) : ( ) 012 =+ y x y x .

2 Dterminer le rel tel que la fonction g dfinie par ( ) x x g 2e= soit solution de ( E ).

3 En dduire, sur ]0, +[, la solution gnrale de ( E ).

4 Dterminer la solution f de ( E ) vrifiant ( ) 4e3

12

= f .

Partie B

Le plan est muni d'un repre orthogonal (O ; ,i j ) o les units graphiques sont 2 cm sur l'axe desabscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnes.

Soit f la fonction dfinie sur [-1, +[ par ( ) x x x f 22

e14

= et c sa courbe reprsentative dans

(O ; ,i j ). c est reprsente ci-dessous.

1 Dterminer le dveloppement limit de f l'ordre 2 au voisinage de 0.2 En dduire une quation de la tangentet c au point A d'abscisse 0 ; puis tudier la position dec

par rapport t au voisinage du point A. Partie C

On se propose de calculer la valeur exacte en2cm del'aire A de la partie du plan limite par c , l'axe desabscisses, les droites d'quations respectives x = 0 et

x = 2.

1 Calculer l'intgrale

2

0

22 de14

x x x .

On pourra dterminer les relsa , b et c tels quela fonction F dfinie sur [-1, +[ par

( ) ( xcbxax x F 22 e++= soit une primitive de f .

2 Donner la valeur exacte de A .

3 Donner une valeur approche de A 0,1 prs.

Les parties A, B et C sont indpendantes.

18 -10

-8

0

6

1 2

c

1


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Informatique industriellequations diffrentielles (TP1) ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP9) ; fonctions d'une variable relle

Les parties A, B, C sont indpendantes.

A - On considre l'quation diffrentielle : 21

x y y x =+ ( E )

o y est une fonction numrique de la variable relle x, dfinie et drivable sur ]0, +[ et y safonction drive.

1 Dterminer l'ensemble des solutions de l'quation diffrentielle 0=+ y y x .

2 a) Vrifier que la fonction g dfinie sur ]0, +[ par ( ) 21 x x g = est solution de ( E ).

b) Dterminer la solution gnrale de ( E ).c) En dduire la solution particulireu de ( E ) telle queu(1) = 0.

B - Soit la fonction numrique de la variable relle x dfinie sur ]1, +[ par :

( )( ) x x

xln1

ln1

2 =

1 Dterminer les limites deen 1 et en +.

2 Calculer la drivedeet montrer que ( ) ( )3ln2ln

x x

x x = .

3 tudier les variations de.4 Reprsenter graphiquementdans le plan rapport un repre orthogonal.

(units graphiques : 1 cm en abscisse et 10 cm en ordonne).C - 1 Soit la fonction numriqueh de la variable relle x dfinie sur ]1, +[ par :

( ) x

x xh

ln=

a) Calculer la driveh de h. b) Dterminer une primitive F de sur ]1, +[.

2 On dsigne par nv la valeur moyenne desur 1e,e +nn , c'est--dire le rel :

( ) x x f ee

vn

n

e

ennnd1

1

1 +

= + , on est un entier.

a) Calculer nv en fonction de e etn.

b) En dduire la limite denv lorsquen tend vers +.

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Maintenancequations diffrentielles (TP1) ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP4) ; calcul des probabilits 2 (TP3).

Partie A

Soit l'quation diffrentielle ( E ) : ( )

+=

+ x

y y x1

1ln1 o y est une fonction de la variable relle

x, dfinie et drivable sur [0,+[. (ln dsigne la fonction logarithme nprien).1 Donner la solution gnrale de l'quation diffrentielle ( E' ) : ( ) 01 =+ y y x .2 Calculer la fonction, solution particulire de l'quation ( E ), dfinie sur [0,+[ par :

( ) ( ) C x x ++= 1ln ,o C est une constante relle dterminer.

3 En dduire la solution gnrale de l'quation ( E ).4 Calculer la fonction, solution de l'quation ( E ) vrifiant :(0) = 0.

Partie BOn considre une variable alatoire X suivant une loi de Poisson de paramtre inconnu telle que :

( ) 95,01 = X P .1 Dmontrer que est solution de l'quation :( ) ( )95,0ln1ln =+ x x .2 tudier les variations de la fonctiondfinie sur [0,+[ par :( x) = ln(1 + x) x.

En dduire que l'quation du 1 admet une solution unique, , dans [0,+[.Dterminer un encadrement d'amplitude 110 de en indiquant la mthode utilise (graphique l'aide d'une calculatrice ou mthode de dichotomie).

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Groupement B 2004Fonctions d'une variable relle - Calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP3 - TP5 - TP7 - TP8 - TP9)quations diffrentielles (TP1)

Les parties A et B sont indpendantes

- A -

On veut rsoudre sur [-1, +[ l'quation diffrentielle ( E ) : ( ) ( ) x y y x +=+ 1ln21 , o y est unefonction de la variable relle x, dfinie et drivable sur [-1, +[.1. Rsoudre sur [-1, +[ l'quation diffrentielle :( ) 021 =+ y y x .

2. Vrifier que la fonction g , dfinie sur [-1, +[ par ( ) ( ) 411ln

21 += x x g est une solution de ( E ).

3. Dduire des deux questions prcdentes la solution gnrale de ( E ).4. Dterminer la fonction, dfinie et drivable sur [-1, +[, solution de ( E ) et vrifiant la condition

(0) = 0.

- B -

On considre la fonctionh dfinie sur [-1, +[ par ( ) ( ) x x x xh ++= 1ln21

24

2et sa courbe

reprsentativec dans le plan rapport un repre orthonormal (O ; ,i j ) (unit graphique : 2 cm).

1. a) Dterminer la limite deh en -1. b) tudier les variations deh.

2. Calculer le dveloppement limit deh l'ordre 3 au voisinage de 0. En dduire la position dec par

rapport la parabolep d'quation2

2 x y = au voisinage de l'origine.

3. Construite les arcs de la parabolep et de la courbec dans le mme repre, pour x variant dansl'intervalle ]-1, 3].

4. Dans le demi-plan dfini par x 0, soitd le domaine limit par c , p et la droite d'quation x = 2.

a) Dterminer les relsa et b tels que, pour tout rel x : x

ba

x x

++=+ 11 .

b) En dduire, l'aide d'une intgration par parties, la valeur exacte de l'intgrale( ) +20 d1ln x x .c) Utiliser ce rsultat pour donner une valeur approche 210 en 2cm de l'aire ded .

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MaintenanceFonctions d'une variable relle - Calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP3) - quations diffrentielles (TP1)

Les parties A et B peuvent tre traites indpendamment l'une de l'autre.

Soit ( E ) l'quation diffrentielle : x x xy y =+ e2 ,

o y est une fonction de la variable x, dfinie et drivable sur R et o y est la fonction drive de y .

Partie A1. Rsoudre l'quation diffrentielle ( E 0) : 0=+ xy y .

2. Dterminer deux nombres relsa et b pour que la fonctionh dfinie sur R par ( ) ( ) xbax xh += e soit une solution particulire de l'quation ( E ).

3. Dduire du 1. et du 2. la solution gnrale de l'quation ( E ).

Partie B

Soit f la fonction dfinie sur R par : ( ) ( ) x x x f += e1 et c sa courbe reprsentative dans le repreorthonormal (O ; ,i j ).

1. crire le dveloppement limit d'ordre 2 de la fonction f au voisinage de 0.2. En dduire une quation de la tangentet la courbec au point d'abscisse 0 et la position relative

de c et det au voisinage de ce point.

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Informatique industriellequations diffrentielles (TP1) ; fonctions d'une variable relle ; calcul diffrentiel et intgral 2 (TP1 - TP3)

Cet exercice a pour but : dans la partie II, l'tude d'une fonction solution d'une quation diffrentielle;dans la partie III, la dtermination d'une approximation locale de cette fonction.

Les parties I, II et III peuvent se traiter indpendamment l'une de l 'autre.

Partie IOn veut rsoudre sur R l'quation diffrentielle :

(1) x x y y 222 2 =c'est--dire que l'on cherche les fonctions y de la variable relle x, dfinies et drivables sur R, et tellesque, pour tout rel x, on ait :

( ) ( ) x x x y x y 222 2 = .

1 a) Vrifier que la fonction dfinie sur R par ( x) = ( x + 1)2 est une solution particulire de (1). b) Dterminer la solution gnrale de l'quation (1).

2 Dterminer la solution particulire de l'quation (1) qui s'annule pour x = 0.

Partie II1 On considre la fonction numrique dfinie sur par :

x x x f 2e1)( += .On donne le tableau de variation de :

avec0,80


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Partie III

1 a) Donner le dveloppement limit l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction x x2e .

b) En dduire le dveloppement limit l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction g .2 On considre les fonctionsh et k , dfinies sur I =

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,21 par :

( ) 3234

x x xh = et ( ) ( ) ( ) x x x x xh x g xk 223 e12234 +++== .

On dsigne par k et k les fonctions drives premire et seconde de la fonctionk .a) Calculer ( ) xk et ( ) xk en fonction de x.

b) On admet que pour tout x rel non nul, le rel 2 x + 1 x2e est strictement ngatif.

tudier les variations dek sur I. En dduire le signe dek sur I, puis les variations dek sur I.c) En dduire que pour tout x de I, on a :0,052 k ( x) 0.d) La fonctionh est une fonction polynme qui approche la fonction g sur l'intervalle I.

Justifier que la fonctionh majore la fonction g sur I.Donner un majorant de l'erreur commise en remplaant g ( x) par h( x) sur I.

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Coefficients Non Constants