Coculescu 2005

CONCURSUL DE MATEMATICA NICOLAECOCULESCU

EDITIA a II-aSLATINA 26 noiembrie 2005

Clasa a V-a

1. Sa se determine toate numerele naturale care mpartite la 13 dau ctul c si restulr si mpartite la 11 dau ctul r si restul c:

Costel Anghel, C.N. I. Minulescu Slatina

2. Pentru a duce cadouri copiilor dintr-un sat, Mos Craciun merge pe un drum de-alungul caruia locuiesc spiridusii. La primele trei case numerotate de la 1 la 3 locuiescspiridusi buni, care i dau lui Mos Craciun un numar de cadouri egal cu numarul casei;la cea de-a patra casa locuieste un spiridus rau, care i cere lui Mos Craciun un numarde cadouri egal cu numarul casei. La urmatoarele trei case numerotate de la 5 la 7 locuiesc de asemenea spiridusi buni, care i dau lui Mos Craciun un numar de cadouriegal cu numarul casei; la cea de-a opta casa locuieste un spiridus rau, care i cere luiMos Craciun un numar de cadouri egal cu numarul casei si asa mai departe, pna lacasa cu numarul 2005: Aati numarul de cadouri pe care le poate oferi Mos Craciuncopiilor.

Emil Ciolan, C.N. I. Minulescu Slatina

3. Fie numarul A = 101001000100001::: .a) Daca cifra 1 apare scrisa de 2005 ori n A; de cte ori apare cifra 0?b) De cte ori apare cifra 0 n scrierea numarului A; daca acesta are 2005 cifre?

Marius Perianu, C.N. I. Minulescu Slatina

4. Strazile unui orasel sunt ca n gura alaturata (sunt 8 strazi orizontale si 8verticale, iar intersectiile strazilor sunt vrfurile patratelelor):

n cte moduri se pot aseza opt copii la intersectiile strazilor astfel nct oricare doidintre ei sa nu se vada? (Se considera ca doi copii se vad daca sunt asezati pe aceeasistrada verticala sau orizontala.)

Eduard Buzdugan, C.N. I. Minulescu Slatina

NOTA.1. Timp de lucru 3 ore.2. Toate subiectele sunt obligatorii.3. Fiecarui subiect i se acorda de la 0 la 7 puncte.

1



Clasa a VI-a

1. Sa se determine numerele naturale abc; a 6= 0; care ndeplinesc conditia:

abc = a+ 5b+ 52c:


2. Se scriu numerele naturale de la 1 la 2002; unul dupa altul, obtinndu-se numarul

A = 123456:::20012002:

Sa se determine restul mpartirii lui A la 15:Emil Ciolan, George Mihai, C.N. I. Minulescu Slatina

3. Sa se determine toate numerele prime p pentru care 2p + p2 este numar prim.Aurel Chirita, C.N. I. Minulescu Slatina

4. Se considera unghiurile \A0OA1; \A1OA2; :::; \An1OAn (n 2 N; n 2); cu inte-rioarele disjuncte doua cte doua si suma masurilor 180; astfel nct:

m\A1OA2

= 2m

\A0OA1

m\A2OA3

= 2m

\A1OA2

:::::::::::::::::::::::::::::

m\An1OAn

= 2m

\An2OAn1

:

Sa se determine n si masura unghiului \A0OA1; stiind ca este exprimata printr-unnumar natural.

Florian Dumitrel, Marius Perianu, C.N. I. Minulescu Slatina


1



Clasa a VII-a

1. Sa se demonstreze ca nu exista n 2 N astfel nct 225n 4 sa e produsul adoua numere naturale consecutive.

Mircea Popescu, C.N. I. Minulescu Slatina

2. Sa se ae numerele naturale n astfel nct o tabla de sah nn sa poata acoperitacu piese de forma

care sa nu se suprapuna.Marius Perianu, Emil Ciolan, C.N. I. Minulescu Slatina

3. Fie A0; B0; C 0 mijloacele laturilor [BC] ; [CA] ; [AB] ale unui triunghi ABC siI intersectia bisectoarelor triunghiului. Sa se demonstreze ca segmentele [IA0] ; [IB0] ;[IC 0] pot laturile unui triunghi.

Florian Dumitrel, C.N. I. Minulescu Slatina

4. Pe laturile unui patrat ABCD se considera punctele M 2 (AB) ; N 2 (BC) ;P 2 (CD) si Q 2 (DA) astfel nct:

m[ABQ

= m

\BCM

= m

\CDN

= m

\DAP

= 15:

Notam fEg = BQ \ CM; fFg = CM \DN; fGg = DN \ AP si fHg = AP \BQ:a) Aratati ca EFGH este patrat.b) Sa se exprime aria patratului EFGH n functie de aria patratului ABCD:



1



Clasa a VIII-a

1. a) Daca a; b 2 R astfel nct a+ b = 2; sa se arate capa2 + 8b+

pb2 + 8a ja bj :

b) Gasiti perechile (m;n) 2 NN pentru care pm2 + 8n si pn2 + 8m sunt simultannumere rationale.


2. Fie n; k 2 N astfel nct n5 11k + 2: Sa se arate ca n5 11k + 10:Costel Anghel, C.N. I. Minulescu Slatina

3. Fie A0; B0; C 0 mijloacele laturilor [BC] ; [CA] ; [AB] ale unui triunghi ABC si Iintersectia bisectoarelor triunghiului.a) Sa se demonstreze ca I se aa n interiorul triunghiului A0B0C 0:b) Daca fA1g = IA \ B0C 0; fB1g = IB \ C 0A0; fC1g = IC \ A0B0; sa se arate ca

dreptele A0A1; B0B1 si C 0C1 sunt concurente.

4. Fie ABCD un tetraedru si punctele M 2 (AB) ; N 2 (BC) ; P 2 (CD) ;Q 2 (DA) : Sa se arate ca cel mult doua din dreptele MN; NP; PQ si QM pot trecesimultan prin centrele de greutate ale triunghiurilor ABC; BCD; CDA respectiv DAB:Aratati ca este posibil ca exact doua dintre dreptele date sa treaca prin centrele degreutate mentionate.



1



Clasa a IXa

1. Fie A o multime innita de numere naturale nenule, cu proprietatea:

8x; y 2 A; x > y ) x y 2 A:

Sa se demonstreze ca exista a 2 N astfel nct A = fma j m 2 Ng :Florian Dumitrel, C.N. I. Minulescu Slatina

2. Fie M mijlocul laturii [BC] a unui triunghi ABC: Notam cu I si J centrelecercurilor nscrise n triunghiurile ABM respectiv ACM: Dacam

[AIB

m

[MIJ

=

90; sa se demonstreze ca [AB] [AC] :Florian Dumitrel, Marius Perianu, C.N. I. Minulescu Slatina

3. Fie p 2 N; p 2; xat. Sa se detremine a 2 R astfel nct

[x] +

x+

1

a

+

x+

2

a

+ :::+

x+

p 1a

= [ax] ; 8x 2 R:


4. Fie triunghiul ABC de ortocentru H si A1; B1; C1 simetricele lui H fata demijloacele laturilor [BC] ; [CA] ; [AB] : Notam cu Ha; Hb; Hc ortocentrele triunghiurilorA1BC; AB1C respectiv ABC1: Sa se arate ca dreptele AHa; BHb si CHc sunt concurenten centrul de greutate G al triunghiului ABC:



1



Clasa a Xa

1. Fie a; b; c 2 (0;1) distincte si n 2 N: Sa se compare numerele A = anb+bnc+cnasi B = abc (an2 + bn2 + cn2) :

George Mihai, C.N. I. Minulescu Slatina

2. a) Daca a; b sunt numere irationale pozitive, rezulta ca ab este irational?b) Determinati functiile f : N ! N n f0; 1g cu proprietatea

logn+1 f(n) = logf(n+2)(n+ 3); pentru orice n 2 N:

Marius Ghergu, C.N.V. N. Titulescu Slatina

3. Fie k; n 3 doua numere naturale impare si x1; x2; :::; xn 2 R astfel nct

x21 + x22 + :::+ x

2n = 1 si x

k1 + x

k2 + :::+ x

kn = 0:

Aratati ca min1i



Clasa a XIa

1. Pe o tabla de sah mm se plaseaza aleatoriu doi nebuni, unul alb si unul negru.Care este probabilitatea ca ei sa se atace?

Mihai Grigore Slatina, Octavian Mara Timisoara

2. Fie A 2Mn (R) astfel nct A3 = 4In 3A: Sa se demonstreze ca

det (A+ In) = 2n:


3. Fie (an)n1 un sir de numere strict pozitive cu proprietatea

an1 (an+2 an)n an+1; (8)n 2:

Calculati limn!1

annsi limn!1

(2an n):Marius Ghergu, C.N.V. N. Titulescu Slatina

4. Fie (an)n1 un sir de numere reale pozitive convergent la 1: Sa se calculeze

limn!1

nXk=1

1

n+ kan:



1



Clasa a XIIa

1. Fie functia f : R! R; f (x) = x1 + 3 cos2 x

si F o primitiva a sa. Sa se calculeze

F () F (0) :Florian Dumitrel, C.N. I. Minulescu Slatina

2. Fie (G; ) un grup si n 2 N astfel nct aplicatiile f; g : G ! G; f (x) = xn;g (x) = xn+1 sunt morsme de grup. Daca n plus f este surjectiva, atunci (G; ) estegrup abelian.

3. Fie functia f : R! R; f (x) = ex2 si F primitiva sa care se anuleaza n origine.a) Sa se demonstreze ca pentru ecare numar natural n 1 ecuatia F (x) = 1n are o

unica solutie reala xn:b) Sa se calculeze lim

n!1nxn si lim

n!1n2 (xn xn+p) ; p 2 N:Florian Dumitrel, C.N. I. Minulescu Slatina

4. Fie G un grup de ordin impar n care mai mult de o treime din elementele lui Gcomuta ntre ele. Sa se arate ca G este abelian.


1

Documents

Coculescu 2005