30

Febr

er 2

011

SCM / Notícies / 30Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger»XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger»

Marta Sanz-Solé, presidenta de l’EMS

• Entrevista a Marta Sanz

• Pere Puig, nou director del Departament de Matemàtiques a la UAB

• L’ICM 2010 a Hyderabat

• Relleu a la presidència de la SCM

Cob SCM Num 30.pdf 1 13/04/11 13:38

Societat Catalana de Matematiques

President: Joan de Sola-MoralesVicepres.: Joaquim Ortega-CerdaSecretaria: Merce Farre i CervelloTresorera: Mariona Petit i VilaVocals: Josep Grane i Manlleu

Josep M. Mondelo i GonzalezIgnasi Mundet i Riera

Carles Romero i ChesaAlbert Ruiz i Cirera

Oriol Serra i AlboEsther Silberstein

Manel Udina i AbelloEnric Ventura Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesFebrer 2011. Numero 30

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

enric.ventura@upc.edu

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

Marta Sanz-Sole, presidentade l’EMS.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Assemblea general de socis 2010 1Informe comptable 3Un perıode mes de la SCM 5Salutacio del nou president 6

Internacional 8Marta Sanz-Sole, nova presidenta de l’EMS 8Impressions de l’ICM 2010 13

In memoriam 16Joaquim Font i Arjo (1958-2010) 16Peter J. Hilton (1923-2010) 17B. B. Mandelbrot: cientıfic i matematic 20

Noticiari 24Pere Puig, nou director 24Els nous masters de FPS 25Joint CRG-CRM Meeting 31Els GEMT2010 33Les universitats informen 34

Activitats de la SCM 38Conferencia inaugural 38I Trobada Catalanosueca 417a Jornada d’Educacio Matematica 42Jornada SCM Joves Investigadors 42Informe de la reunio del Cangur a Georgia 43XLVII Olimpıada Catalana de Matematiques 44

Agenda 46

Premis 47Medalles Fields 2010 48

Elon Lindenstrauss 48Ngo Bao Chau 50Stanislav Smirnov 51Cedric Villani 53

Premi Nevanlinna 2010: Daniel Spielman 55Premi Gauss 2010: Yves Meyer 57Premi Chern 2010: Louis Nirenberg 61Entrega del Premi Albert Dou 64

Raco biografic 65

Webs de matematiques 68

Problemes 70

Tesis 74Fe d’errates 78

La Junta informa

Assemblea general de socis 2010

Aquest ultim informe de la Junta sortint de laSocietat Catalana de Matematiques (SCM) re-cull el balanc d’activitats dutes a terme durantl’any 2010, tal com es van presentar a l’assem-blea del 24 de novembre de 2010.

Es va comencar fent esment de les dues ac-tivitats mes tradicionals que, en certa manera,enceten i tanquen el curs escolar. En primer lloc,tenim la conferencia inaugural del curs 2009-2010, que va ser impartida per Marta Sanz, ambel tıtol Les possibilitats de fer diana a les tra-jectories a l’atzar, l’11 de novembre de 2009.Encara no sabıem, llavors, que la Marta seriala nova presidenta de l’European MathematicalSociety (EMS), una notıcia excel.lent per a lamatematica a Catalunya i una gran satisfaccioper a tota la Societat. La segona activitat tra-dicional es la Trobada Matematica, enguany esva celebrar l’11 de juny amb el tıtol de Jovesmatematics catalans al mon. Es va organitzaral voltant de quatre conferencies convidades acarrec de la M. Romero de l’Observatoire As-tronomique de Marseille i de la Universitat deBarcelona (UB), E. Nualart de la UniversitatParıs XIII, J. Marzo de la Universitat Noruegade Ciencia i Tecnologia (NTNU) i M. Casals dela Universitat de Vanderbilt. La nova formulava ser tot un encert, tant pel nivell cientıfic comper la gran capacitat de comunicacio que vanmostrar els ponents.

Una novetat que es gestava des de feia tempsha estat l’organitzacio d’una jornada de recer-ca de joves investigadors, que es va celebrar el 5de novembre de 2010, amb l’objectiu de donara coneixer la recerca dels nostres joves inves-tigadors i afavorir la coneixenca i les relacionsentre els matematics de diferents universitats.En aquesta primera edicio, hi van participar ungrup d’analisi i equacions en derivades parcialscoordinat per X. Tolsa, un grup de probabilitat,processos estocastics i estadıstica coordinat perJ. del Castillo, un grup de metodes algebraicscoordinat per P. Ara i un grup de geometria itopologia coordinat per A. Raventos i J. Aguade.Esperem que la iniciativa pugui continuar en elfutur.

En l’apartat dels premis, tambe tenim el mestradicional, l’Evariste Galois, que aquest any ha

tingut una bona resposta despres d’haver-nefet mes difusio entre els estudiants de master.S’han rebut nou treballs i el tribunal formatper X. Cabre, V. Navarro i A. Raventos vaatorgar el premi a Joan Bosa Puigredon peltreball Completacions de semigrups. Aplicacioal semigrup de Cuntz. L’enhorabona per alJoan i un agraıment especial per al jurat. Alcostat de la tradicio, la SCM va decidir crearun segon premi, l’Albert Dou, amb una dota-cio de 2.500e i una periodicitat biennal, ofert,tal com diuen les bases, a l’autor d’un treballpublicat en els darrers dos anys o inedit, quecontribueixi a fer visible la importancia de lamatematica al nostre mon, a transmetre el co-neixement matematic a un public mes ampli queels mateixos especialistes, i a promoure tot elque pugui ajudar a l’extensio del prestigi de lamatematica a la nostra societat. El premi haestat un exit de participacio, amb tretze treballsrebuts. Es va nomenar un tribunal format perP. Bayer, Y. Chevallard, A. Florensa, J. Girbaui J. Hernandez, coordinat per en X. Mora, queva decidir atorgar el premi a Rosario Delgadopel treball: Matematiques i Internet: 101 anysde teoria de cues. Volem felicitar des d’aquıtots els participants, agrair la feina al tribunali donar l’enhorabona a la Rosario. El treballpremiat el podeu llegir tots a l’ultim numerodel butlletı.

Per acabar aquest apartat d’activitats, esvan esmentar les exposicions que va preparar elgrup del Museu de Matematiques de Catalunya(MMACA): una a la UB del 18 d’octubre al 9 denovembre i una altra a la Universitat Politecnicade Catalunya (UPC) del 17 de novembre al 17 dedesembre del 2010.

En l’apartat de publicacions, es va comentarla sortida del numero 1 del volum 25 del Butlletıde la SCM i el canvi d’editor en cap, carrecassumit per J. Cufı en substitucio d’O. Serra;la sortida del numero 29 de la SCM/Notıcies acura d’E. Ventura i la coordinacio de les publi-cacions electroniques de la Societat per J. Pla,que fa una crida als socis i socies perque con-tribueixin a augmentar-ne el nombre. La no-vetat, en aquest apartat, es l’edicio de la novarevista d’ensenyament NouBiaix, que es proposa

1

abracar totes les etapes educatives i que s’editaen col.laboracio amb la FEEMCAT, compartint-ne al 50 % la feina i els costos d’edicio. Al conselld’edicio de la revista hi participen J. Pla coma coeditor en cap juntament amb M. Edo de laFEEMCAT; M. Udina, E. Ventura i M. Boschcom a representants de la SCM, i L. Almazan,J. Cardenas i J. C. Ferrer com a representantsde la FEEMCAT. El primer numero esta enproces de correccio i s’espera que surti cap alfebrer. Es preveuen dos numeros anuals, un al’hivern i l’altre a la tardor. Esperem que la re-vista tingui una bona acollida i que contribueixia millorar la comunicacio entre el professoratde matematiques de totes les etapes educatives,des d’infantil fins a la universitat.

Pel que fa a les activitats organitzades perla Societat i relacionades amb l’ensenyamentde les matematiques, es van destacar en primerlloc les activitats destinades als alumnes de se-cundaria, que sempre impressionen per la granquantitat de nois i noies que mobilitzen i queindiquem breument a continuacio:• Les proves Cangur 2010, amb la participaciode 20.447 nois i noies de 3r d’ESO a 2n de batxi-llerat i cicles formatius. Enguany la prova es vaorganitzar de manera descentralitzada a Cata-lunya i la Comunitat Valenciana, pel fet que ladata de la prova va coincidir amb la setmana deSant Josep. Si hi afegim els participants de lesBalears, s’obte un total de 23.544 concursants.L’acte de lliurament dels premis va tenir lloc eldia 18 de maig de 2010 a la Sala de Congressosdel campus La Salle de la Universitat RamonLlull i el va presidir el conseller d’Educacio, Er-nest Maragall.• El concurs de relats, que va rebre un total decinquanta-sis propostes amb la participacio d’a-lumnes de Catalunya, Balears i Paıs Valencia.• Els Problemes a l’Esprint, activitat convocadaconjuntament per la SCM, la FEEMCAT i elCREAMat en forma de quatre convocatoriessegons el nivell, des de la primaria fins al bat-xillerat, i en que van participar aproximada-ment 2.900 alumnes de secundaria i cinc-centsde primaria.• La 46a Olimpıada Matematica del 2010, queva arribar als vuitanta-un participants en la faseprevia per via telematica al novembre de 2009 ials setanta-un en la fase catalana, presencial elsdies 12 i 13 de desembre de 2009.

• La 47a Olimpıada Matematica del 2011, ques’inicia amb 146 participants en la fase telema-tica.• L’Estalmat, destinat a l’estımul del talent ma-tematic i que enguany acull la vuitena promocio2010-2012.• Les sessions d’aprofundiment en matemati-ques per a alumnes de segon cicle d’ESO queorganitza la SCM per a alumnes participants enel Cangur i l’Olimpıada, a l’IES La Sedeta, alDepartament de Matematiques de la UniversitatAutonoma de Barcelona (UAB) i a la Facultatde Matematiques i Estadıstica de la UPC.

Al costat d’aquest gran nombre d’activitatson s’involucren molts socis de la Societat, hiha un segon tipus d’activitats mes enfocades al’ensenyament i que segueixen un doble proposit:d’una banda i en l’ambit institucional, estrenyerels lligams entre la SCM i la FEEMCAT; del’altra i en l’ambit dels socis, fer aportacions alcol.lectiu de professors sobre temes relacionatsamb l’ensenyament de les matematiques. Unad’aquestes activitats es la coedicio de la revis-ta NouBiaix que ja s’ha comentat. L’altra esla Setena Jornada d’Ensenyament de les Mate-matiques organitzada en col.laboracio amb laFEEMCAT i la Societat Balear de Matemati-ques (SBM-XEIX). La jornada es va celebrar el17 d’octubre sobre el tema Els ordinadors al’aula des d’infantil fins a la universitat: novesobertures i nous problemes, amb l’estructurahabitual: al matı una taula rodona seguida d’undebat i quatre conferencies a la tarda. Va teniruna participacio d’unes dues-centes persones ies va desenvolupar de manera molt satisfactoria.

En l’ambit internacional, es van esmentar elscongressos internacionals on la SCM ha partici-pat. Hi ha, en primer lloc, la Joint MathematicalConference CSASC 2010, que es va celebrar aPraga al gener de 2010 en col.laboracio ambles societats matematiques d’Austria, Eslovenia,Eslovaquia i la Republica Txeca. En segon lloc,el congres Emerging Topics in Dynamical Sys-tems and Partial Differencial Equations, quees va celebrar a Barcelona del 31 de maig al 4 dejuny, en col.laboracio amb la SCM, la Real Socie-dad Matematica Espanola (RSME), la SociedadEspanola de Matematica Aplicada (SEMA) ila Society for Industrial and Applied Mathe-matics (SIAM). El congres va ser tot un exit,la participacio va superar amb escreix les ex-pectatives i les xerrades plenaries sobre temes

2

divulgatius van ser molt interessants. En tercerlloc, es va fer una mencio especial per a la ITrobada Matematica Catalanosueca que es vaorganitzar seguint un suggeriment de J. Bru-na al voltant de sis grups tematics: geometria,didactica, equacions diferencials, analisi, siste-mes dinamics i matematica discreta. Finalment,es va informar de l’ingres de la SCM, el juny de2010, al Centre International de MathematiquesPures et Appliquees (CIMPA), dedicat a pro-moure la cooperacio internacional en educaciosuperior i investigacio en matematiques per alspaısos en desenvolupament.

A l’assemblea, M. Sanz es va presentar com anova presidenta de l’EMS, va comentar les bonesrelacions entre l’EMS i la SCM i va agrair el su-port que li havien donat tant la SCM i l’Institutd’Estudis Catalans (IEC) com la majoria d’ins-titucions relacionades amb les matematiques aCatalunya. Tambe va expressar la voluntat queels lligams entre l’EMS i la SCM s’enforteixinencara mes durant el seu mandat, i es va posara disposicio de tots per allo que calgui.

Un cop aprovats per consens tant l’estatde comptes del 2009 com el pressupost per al2011, la Junta formada per C. Perello, J. L. So-ler, T. Martınez-Seara i M. Bosch van passarla paraula a la candidatura formada per J. deSola-Morales com a president, J. Ortega i Cerdacom a vicepresident, M. Farre com a secretariai M. Petit com a tresorera. Els candidats vanpresentar el seu programa i, un cop realitzadala votacio, la nova Junta va quedar formalmentelegida amb els resultats seguents: d’un total de106 vots valids i un de nul, hi va haver 103 votsa favor, un en contra i dos en blanc.

En el torn obert de paraules, J. Bruna vasuggerir que la SCM proposi activitats per estarpresent a la Setmana Catalana de la Ciencia.

La Junta sortint va agrair a tots la gran aju-da rebuda durant aquests quatre anys i es vaposar a disposicio del nou equip. En el brindisde comiat es va fer una mencio especial per al’excel.lent tasca realitzada per Nuria Fuster enel dia a dia de la Societat.

Marianna BoschSecretaria de la SCM

Informe comptable de la SCM del 2009 i pressupost per al 2011

Amb aquest document us fem arribar el resum comptable de l’any 2009 i el pressupost previst peral 2011.

Pressupost SCM 2009

Ingressos DespesesConcepte Ajuts IEC Altres ajuts activitats activitats Subtotals

Publicacions 6.600,00 1.000,00 15.000,00 −7.400,00Quotes 28.480,00 28.480,00Despeses de Secretaria 9.980,50 −9.980,50Fons de promocio 5.000,00 −5.000,00Olimpıada 6.000,00 1.000,00 7.000,00 0,0012a Trobada 3.000,00 500,50 4.000,00 −499,505a Trobada Ensenyament 4.000,00 900,00 6.000,00 −1.100,00Cangur 2009 4.000,00 14.000,00 60.999,50 82.999,50 −4.000,00Conferencies per a estudiants 1.000,00 1.500,00 -500,00Altres 1.000,00 1.000,00 0,00Estalmat 6.000,00 6.000,00 12.000,00 0,00Museu de les Matematiques 3.000,00 3.000,00 0,00Total 34.600,00 22.000,00 90.880,00 147.480,00 0,00

A continuacio, us presentem el balanc real de les diferents activitats:

3

Informe comptable SCM 2009

Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses

Publicacions 8.100,00 393,01 18.957,58Quotes 30.420,00Funcionament de la SCM 2.988,60Nomines 3.990,41Fons de promocio 1.593,32 8.051,80Olimpıada fase catalana 2.500,00 2.840,20Olimpıada fase estatal 5.000,00 5.000,00RSME (IMO 2008) 14.000,00Cangur i Olimpıada 2008 7.000,00Cangur 2009 3.600,00 87.824,00 87.044,97Estalmat 3.000,00 3.129,05Conferencies 2.000,00 2.091,0312a Trobada 1.500,00 155,00 2.135,796a Jornada Ensenyament 2.500,00 372,00 3.013,88Museu de les matematiques 2.500,00 2.653,05Traspas quotes EMS i RSME 3531,00Bancs 162,50 1.626,41CEMAT 1.331,18 5.232,63Total 28.693,32 24.600,00 119.326,51 143.770,64

Us detallem les activitats que han estat sub-vencionades amb el fons de promocio. El queconsta com a ingressos d’aquest fons son: elsinteressos d’un diposit que tenim fruit d’unadevolucio del romanent del congres ICM 2006

(International Congress of Mahtematicians), alqual la SCM juntament amb les societats espa-nyoles va contribuir, i els interessos del dipositque tenim amb l’IEC.

Fons de promocio d’activitats 2009

Activitat Organitzador Import

JAEM 2009 FEEMCAT 2.000,00

DSPDES’10 CIMNE 3.000,00

L’algebra a la penınsula Iberica UPC 1.460,20

Higher rank L-functions: the-ory and computations

UPC 1.481,38

Mathematics and computer iSage days

UPC 1.290,75

Total 8.051,80

L’import del fons de promocio a l’inici del’any 2009 era de 47.736,77e. Les despeses vanser de 8.051,80e i els ingressos de 1.593,32e.Aixı, l’any 2009 el fons va tenir un balanc nega-tiu de −6.458,48e i va acabar amb un valor de41.278,29e.

Separant, com es tradicio, els diners del fonsde promocio d’activitats, la societat va comencarl’any 2009 amb un valor positiu de 13.875,56e

i va finalitzar amb un benefici de 28.849,19e iun saldo positiu de 42.724,75e.

I finalment us presentem el pressupost del’any 2011, basant-nos en el fet que l’IEC de mo-ment ha aprovat una prorroga del pressupost del2010 donada la incertesa dels ingressos proce-dents de la Generalitat. Aixo vol dir que mentrela Generalitat no aprovi els seus pressupostosdel 2011 l’IEC, i per tant nosaltres, no podrem

4

tirar-lo endavant. L’IEC ens ha dit que tindraprorrogats els seus pressupostos, cosa que voldir que hi haura el mateix credit que el 2010,pero s’ha acordat fer una retencio del 30 % per

si passes qualsevol cosa. Com que el pressupostdel 2011 s’ha de fer, comptarem que tindrem elsmateixos diners.

Pressupost SCM 2011Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses

Publicacions 7.600,00 21.600,00Quotes 31.080,00Despeses de Secretaria 7.000,00Fons de promocio 7.000,00Olimpıada 5.000,00 1.000,00 7.000,0014a Trobada 5.000,00 500,00 4.000,007a Trobada Ensenyament 5.000,00 1.000,00 6.000,00Cangur 2011 4.000,00 5.000,00 82.000,00 93.380,00Premi Albert Dou 5.000,00Altres 2.000,00 4.000,00 5.000,00Estalmat 3.000,00 3.000,00Museu de les Matematiques 3.000,00 3.000,00Total 32.600,00 10.000,00 115.380,00 157.980,00

M. Teresa Martınez-SearaTresorera de la SCM

Un perıode mes de la SCM

Gairebe amb l’any ha finalitzat el perıode dequatre anys que he estat a la presidencia de laSCM i, en deixar-la, voldria fer uns comentarissobre com he vist el seu funcionament i la sevamissio, si missio se’n pot dir.

El paper fonamental de la nostra SocietatCatalana de Matematiques es contribuir al co-neixement de la matematica, no en el sentit del’ensenyament reglat, que es fa a les escoles iuniversitats, sino procurar exposicions de la situ-acio de la matematica en els seus diversos camps,organitzar concursos de resolucio de problemesentre el jovent, informar a traves del web i deles publicacions, relacionar-se amb societats iinstitucions dedicades a diferents aspectes dela matematica arreu del mon i organitzar acci-ons conjuntes. Tot aixo amb la intencio de fercreixer la presencia, l’interes i el prestigi de lamatematica al nostre medi.

La matematica es un instrument basic pera donar models de com funciona el mon: el seuconeixement i el seu us es indispensable a lavida quotidiana, a la ciencia i a la tecnica, desde la comptabilitat fins a la cosmologia, passant

per gairebe totes les activitats humanes. La ma-tematica ha contribuıt notablement a l’evoluciode la nostra forma de vida.

Tambe, gairebe no cal dir-ho, la matematicaper si sola te una harmonia interna, una arquitec-tura, que li donen un gran valor estetic. No calque sigui util per a la produccio de recursos, pera la ciencia o per a la tecnica per a ser d’interes.Pensem en els problemes matematics que s’hananat resolent darrerament: el problema dels qua-tre colors, el teorema de Fermat, la hipotesi dePoincare... Ja em direu quina importancia pera la vida practica tenen aquests teoremes, peroque importants son per a la satisfaccio de lamatematica... i dels matematics.

Aprendre matematiques requereix un esforcque costa molt de fer si no hi tens interes, i no hitindras interes si no les entens ni t’agraden. Enaquest sentit es important el seu ensenyamentdes de la primaria, on t’ensenyaran les opera-cions aritmetiques i una mica de geometria, ipotser fins i tot t’agradara. Recordo l’impacteque em va causar el teorema de Pitagores queun professor em va exposar a la pissarra, des-

5

pres de la classe, quan jo tenia deu anys. No sesi va canviar la meva vida, ni se si va fer queel meu pensament en matematiques sigui mesaviat geometric que algebraic, en la classificacioque en fa el Poincare, pero d’alguna maneradevia influir.

L’ensenyament de la matematica a l’escolaes fonamental per a despertar-ne i orientar-neel gust. Fins i tot els plans d’estudi son impor-tants. El meu amic Jim Milgram va formar partd’una comissio que va canviar els plans d’estudide la matematica a les escoles elementals deCalifornia perque havien observat un descensen les matriculacions a les carreres de ciencies id’enginyeria.

Un factor important per al desenvolupamentde la matematica es que la gent la conegui i lareconegui, tant en teoria com en la seva utilitat.No hi ha cap disposicio d’ordre general sobrecom s’ha d’ensenyar, pero els estudis a les esco-les i universitats del mon son molts semblants:la matematica i la manera de transmetre-la escom la moda, s’encomana.

Que puc dir sobre la meva visio de la SCMdurant aquests quatre anys passats? Es nomesuna feina mes, un carrec mes?

Potser el mes important ha estat el tracteamb els membres de la Junta i altres personesque han col.laborat per tirar endavant la tascad’aconseguir que la SCM complıs les seves funci-ons, mes que de difusio, de fer quallar un all i olien que es barregen concursos amb conferencies,relacions internacionals amb ajuts, premis ambpublicacions...

La Junta s’ha format amb les persones ques’han fet carrec de les diverses activitats de laSocietat. Es aixı com hem tingut en el seu si alsencarregats de les activitats per als estudiantsde secundaria i batxillerat, de les publicacions,del museu, del web, de portar els comptes i lesactes, d’organitzar conferencies, trobades i jor-nades. I tot ha funcionat gracies a la dedicacio,el treball i el coneixement dels seus membres ialtres col.laboradors. Deu n’hi do de les cosesque s’han portat a terme en aquest quatre anys.

La comunitat matematica catalana es viva ihem tingut l’experiencia agradable que tothomque ha col.laborat amb la Societat ho ha fet debon cor.

Que el nou equip tingui tanta sort com laque hem tingut nosaltres!

Carles PerelloExpresident de la SCM

Salutacio del nou president

En el moment de ser elegit com a nou presidentde la Societat Catalana de Matematiques, lameva primera sensacio es estar prenent un re-lleu que es un honor, i tambe que d’aquı a untemps haure de passar aquest honor a un altre.Sentir-me, per tant, part d’un corrent que vede fa forca temps, pero que ha de durar encarames. Per aixo el primer que faig es agrair a laJunta Directiva sortint, i molt especialment alpresident Carles Perello, la feina que han fet, iel llegat que ens han passat.

Aixo s’assembla molt a la meva sensacio coma matematic: la matematica es una ciencia, noblei antiga, que hem rebut, li hem afegit humilmentla nostra manera de fer, i la transmetem a unsaltres, que la continuaran despres de nosaltres.De la matematica, i tambe de la SCM, m’in-quieta molt principalment una cosa: poder-latraspassar viva, no morta. Poder-la traspassar

encesa, com jo l’he rebuda, no apagada. Per aaconseguir-ho, a la SCM, com a la matematica,necessitem l’ajut de molts, de tots.

La nostra candidatura a Junta Directiva jaha declarat mes d’una vegada que necessitemaquest ajut de tots i que actuarem buscant quela Societat estigui sempre oberta a donar suporta les iniciatives de conreu de la matematica dequalsevol dels sectors de la nostra comunitat,independentment de nivells, titulacions, ubica-cions geografiques o interessos professionals.

La SCM tambe ha de ser, com sempre haestat, el punt de trobada d’aquelles activitatsmatematiques que fan participar a sectors dife-rents, com ara activitats conjuntes entre profes-sors d’ensenyament secundari i professors uni-versitaris o activitats conjuntes entre diversesuniversitats. La Societat ha d’estar oberta a lesdemandes que es rebin en aquestes direccions.

6

Tambe hem dit que ens comprometem a do-nar suport a totes les coses que ja es fan, i quees fan molt be, les quals constitueixen el nuclide l’activitat de la Societat. Ens referim, perexemple, a les publicacions (Butlletı, Notıcies,publicacions electroniques, NouBiaix ), la paginaweb, les trobades, les jornades, els congressos iles conferencies i els premis. Tambe, amb emfasiespecial, a les activitats dirigides a estudiantsd’ensenyament secundari (les proves Cangur,les Olimpıades, els Problemes a l’Esprint) i lacol.laboracio amb Estalmat i el Museu de lesMatematiques a Catalunya (MMACA). Tambeens comprometem a mantenir la xarxa de rela-cions institucionals i col.laboracions de la SCM,comencant naturalment per l’Institut d’EstudisCatalans, de qui som Societat Filial, i de qui re-bem tant de suport, i tambe les relacions amb laFEEMCAT, el Centro Espanol de Matematicas(CEMAT), la International Mathematical Union(IMU), el CIMPA, l’EMS, etc.

A part d’aquestes coses, si podem, voldrıemdedicar alguns esforcos a atraure els joves ma-tematics cap a activitats de la SCM que elspuguin interessar. Els estudiants, al nivell degrau, haurien de poder trobar a la SCM coses in-teressants per fer que els permetessin interactuari intervenir a la Societat. Potser les relacionsinternacionals de la SCM, o algunes activitatsde voluntariat, podrien ser portes que s’obrissinen aquesta direccio.

La veritat es que m’agradaria poder fer cosesque ajudessin els estudiants a trobar feina coma matematics. Pero, almenys de moment, aixoho veig com un objectiu una mica difıcil per a laSCM. L’unica cosa que veig accessible es la d’a-nimar els actuals estudiants de matematiquesal nivell de grau que comptin amb l’ensenya-ment secundari com una possibilitat atractiva iutil. En les circumstancies actuals, hem de reco-neixer que seguim necessitant professors de se-cundaria amb una formacio matematica solida.Difıcilment ajudarem al progres cientıfic i tec-nologic de Catalunya si els nostres estudiantsd’ensenyament secundari no tenen una bona for-macio matematica, l’apropiada al seu nivell, iun bon professorat que els estimuli i els obriportes dins del mon de la matematica i les sevesaplicacions.

Tambe m’agradaria que els grans i els jubi-lats se sentissin comodes amb les activitats dela Societat. Potser en els propers anys tindremforca jubilacions entre matematics que actual-ment tenen un protagonisme important en l’ac-tivitat matematica catalana. Independentmentdel que puguin seguir fent en el futur en relacioamb els llocs de treball que ara ocupen, la SCMels ha d’oferir, dins de les seves possibilitats,l’oportunitat de seguir fent tasques en el monde la matematica, a qualsevol nivell.

I unes idees finals per a una questio poc con-creta, pero que a la meva manera de veure ocupaactualment un lloc central en la matematica ca-talana: la nostra presencia, i si pot ser tambe lanostra influencia, en el mon que ens envolta: enel mon cientıfic, cultural, social i polıtic. De ve-gades el problema d’aquesta presencia el reduıma simplement una presencia en els mitjans decomunicacio. Be, aixo es important, pero no estracta d’aixo. Es tracta que com a matematicstinguem una identitat, i que aquesta identitatsigui coneguda i apreciada socialment. No espas una feina facil, es clar, pero amb totes lesdificultats possibles probablement es la SCMqui esta mes ben situada per a afrontar-la.

La presencia en el mon que ens envolta haurade passar necessariament per realitzar col.lec-tivament activitats que ens aproximin a altrescol.lectius. A aixo, la nostra candidatura a JuntaDirectiva li hem posat el nom de programa Ma-tematica i no matematica. Amb aquest nomvolem descriure el fet que haurem de manifestarcol.lectivament el nostre interes per les questi-ons que actualment preocupen el mon que ensenvolta, encara que el paper de la matematicahi sigui secundari o menor.

La matematica catalana mereix la presenciai la influencia social que reclamem. La docencia,la recerca i les aplicacions de la matematica nohan parat de millorar en volum i qualitat enels darrers anys, i aixo mereix el reconeixementde la societat que ens envolta. Com he dit mesamunt, la matematica es una ciencia noble iantiga (usant uns qualificatius de Carles Riba,encara que ell els apliques a una altra cosa) ique cap societat culta i avancada no pot deixarde valorar i d’apreciar.

Joan de Sola-Morales,President de la SCM

7

Internacional

Marta Sanz-Sole, nova presidenta de l’European Mathematical Society

Els 10 i 11 de juliol de 2010, el Consell Gene-ral de l’European Mathematical Society (EMS)celebrat a Sofia (Bulgaria), escollı la doctoraMarta Sanz-Sole, catedratica de la Facultat deMatematiques de la Universitat de Barcelona,per a ocupar el seu maxim carrec, la presidenciade l’EMS, durant el perıode 2011-2014.

L’EMS es el maxim organ europeu de repre-sentacio de les matematiques, fou fundada l’any1990, i te com a objectius principals el fomenti el desenvolupament de les matematiques enels seus multiples aspectes, des d’una posiciod’identitat europea.

Marta Sanz-Sole te una extensa trajectoriacientıfica i una molt notable projeccio internaci-onal. La seva especialitat son els processos es-tocastics, area en la qual es autora d’una vuitan-tena llarga d’articles en revistes internacionals.Actualment es directora del grup de recerca enprocessos estocastics de la UB, universitat en laqual ha ocupat tambe diversos carrecs de gestio:fou degana de la Facultat de Matematiques elsanys 1993-1996 i vicepresidenta de la Divisiode Ciencies Experimentals i Matematiques elsanys 2000-2003. Durant els anys 2007-2010 haformat part de l’equip de direccio del Centrede Recerca Matematica. En l’esfera internacio-nal ha estat i es membre de nombrosos comitescientıfics de congressos internacionals i de co-missions d’avaluacio i seleccio com, per exemple,els European Young Investigator Awards. Du-

rant els anys 1997-2004 fou membre del ComiteExecutiu de l’EMS, i n’es la presidenta per alspropers quatre anys des del gener de 2011.

L’any 1998 va rebre la Medalla Narcıs Mon-turiol al merit cientıfic i tecnologic de la Gene-ralitat de Catalunya, en reconeixement a la sevallarga i intensa carrera cientıfica. Es un honori una satisfaccio per a la Societat que un delsseus socis hagi arribat a la presidencia de la mesalta institucio de les matematiques europees.Ho anunciavem a l’anterior SCM/Notıcies, totdient que en aquest numero tractarıem el temaamb mes detall. Amb aquesta finalitat, tenimla Marta en directe perque ens ho expliqui enprimera persona:SCM: Bon dia, Marta.MS: Bon dia. M’alegra molt poder conversaruna estona amb vosaltres.SCM: Abans que res, deixa’m felicitar-te peraquest nomenament. Suposo que es una gransatisfaccio personal haver arribat tant amunt...MS: Moltes gracies. Sı, certament hi ha un sen-timent de satisfaccio. Pero suposo que sera mesclar i intens si, en acabar el meu mandat, elbalanc es valorat per la comunitat matematicacom a positiu. De moment preval la pressio quesuposa assumir una gran responsabilitat i enca-rar reptes de forca envergadura.SCM: Per la Societat Catalana de Ma-tematiques es un gran honor que un catala (isoci de la nostra societat) sigui president del’EMS. Mai abans cap catala (ni espanyol) ha-via ocupat un carrec d’aquesta rellevancia en elmon de les matematiques.MS: La nostra incorporacio com a cientıfics benvalorats en els escenaris internacionals es moltrecent. Les analisis quantitatives i qualitativessobre la recerca en matematiques dutes a termede manera sistematica durant els darrers anys,i publicades per l’Institut d’Estudis Catalans,mostren un fet remarcable: la nostra activitatcientıfica, mesurada en termes de publicacions,es comparable a la de paısos amb una forta tra-dicio. En canvi, la nostra presencia en ambitson es prenen decisions i s’impulsen projectes pera la comunitat cientıfica i el progres de la mate-matica es molt baixa. Penso que es una questio

8

de temps i que, a poc a poc, aquest desequili-bri s’anira atenuant. Pero per aixo cal mostraruna imatge positiva, de capacitat i competencia,tant a nivell personal com institucional. Que laSCM valori la meva eleccio com un gran honorem proporciona molta confianca i em confirmael suport institucional en el meu ambit mes pro-per, cosa indispensable per exercir un carrecd’aquestes caracterıstiques.SCM: Quina feina fa el president de l’EMS enel dia a dia?MS: Hi ha una part de feina previsible, i meso menys regular i programable, i una altra partimprevisible. El president de l’EMS, juntamentamb el Comite Executiu, dirigeix i fa un segui-ment de tots els projectes de l’EMS. Una partmolt important d’aquests projectes es concebentotal o parcialment en els diferents comites i esdesenvolupen basicament en el seu si. D’altres,son projectes del mateix Comite Executiu. Ladinamica habitual comporta moltes consultesi discussions (molt Google i correu electronic)aixı com converses personals. Finalment, en lesreunions del Comite Executiu es validen moltesde les propostes que s’han estat discutint percorreu electronic i s’avanca en la gestacio denoves actuacions. Els comites especıfics treba-llen gairebe sempre per correu electronic, perotambe tenen trobades presencials, aproximada-ment una a l’any. Considero molt important l’as-sistencia del president en aquestes reunions. Esuna manera de seguir mes de prop els projectesi d’interactuar de manera fructıfera i personalamb els components dels comites. L’EMS formapart d’un bon nombre de comites internacionals(o hi es invitada regularment). Aixo implica l’as-sistencia a reunions en diferents llocs d’Europa,i tambe de la resta del mon, i el treball pre-vi de preparacio i el derivat de les accions queallı s’acorden. La mateixa naturalesa de l’EMSla porta a ser present en actes de diferent ti-pus relacionats amb les matematiques i amb laciencia en general. Aixo seria aproximadamentla part previsible. Despres hi ha les actuacionsnecessaries en resposta a problemes o questionsque sorgeixen de manera inesperada o imprevi-sible.SCM: Quines idees tens al cap per a implemen-tar durant aquests quatre anys per tal de poten-ciar la recerca matematica i les seves aplicacions,a les institucions i universitats europees?MS: L’impuls i el manteniment d’un alt nivell

en la recerca en matematiques a Europa reque-reix una infraestructura de centres de recercai instituts ben repartits geograficament, bendotats pressupostariament i amb mecanismesd’interaccio solids i estables. D’altra banda, unade les raons de ser de les matematiques es el seuimpacte en els avencos cientıfics i tecnologics, lesseves aplicacions. Finalment, no podem parlarde recerca sense comptar amb un capital humaben preparat i amb bones condicions per exer-cir la professio. A mi m’agradaria poder acabarel meu mandat constatant que l’EMS ha con-tribuıt d’alguna manera en els tres eixos queacabo d’esmentar. En l’aspecte de les infraes-tructures, treballarem per obtenir financamentde la Unio Europea amb l’objectiu de dur a ter-me projectes transnacionals en els quals tambees puguin implicar centres emergents o de paısoson el financament es deficient. Un segon projecteconsisteix en la creacio d’un Institut Europeude Matematiques per a la Innovacio que oferei-xi les matematiques a les industries i coordinixarxes locals d’iniciatives similars ja existents.Aquest projecte s’ha anat gestant en un estudipromogut per la European Science Foundationanomenat Forward look on mathematics andindustry i ara cal fer un pas ferm endavant perconsolidar-lo. M’agradaria tambe posar en mar-xa una fira virtual, i en determinades ocasionspresencial, per ajudar els joves doctors a trobarel lloc de treball mes adequat a la seva formacioi plans de futur; es a dir, una mena de mercaten que els diferents agents —centres de recerca,universitats, empreses, fundacions, etc.— pu-guin fer les seves ofertes i els matematics puguintrobar aquella que els sembli mes convenient.Obviament, tot aixo requereix diners, pero comque no es parteix de zero, simplement un in-tens treball de coordinacio ja podria donar certsfruits.SCM: Tots sabem que aixo de les matemati-ques son molt difıcils es encara una expressioque, desgraciadament, se sent a dir massa sovint.La divulgacio matematica es una bona manerade lluitar-hi en contra?MS: Sı, es clar. La divulgacio cientıfica te coma objectiu augmentar el coneixement de lesciencies; el coneixement allunya les pors i els pre-judicis i pot aconseguir una atraccio pel campcientıfic que es vol divulgar. Ara be, la divulga-cio, com qualsevol acte mediatic transmet mis-satges que poden resultar polemics. Vull dir que

9

la divulgacio cientıfica, i matematica en parti-cular, es quelcom mes complicat del que semblaa primera vista. Per exemple, en matematiqueshi ha una tendencia divulgativa que insisteixmes aviat en els aspectes ludics i estetics de ladisciplina. I em pregunto, es aquest un missatgeque fa incrementar el coneixement de les ma-tematiques? Jo crec que no gaire. Em semblames basic i atractiu explicar, per exemple, comles matematiques intervenen en la tecnologiautilitzada en el diagnostic per la imatge.SCM: Quines altres relacions cal potenciar en-tre matematiques i societat?MS: Qualsevol oportunitat per acostar les ma-tematiques a qui no hi esta familiaritzat i perfer mes entenedora la professio matematica, s’had’aprofitar. Per que els cientıfics que treballen enla reproduccio assistida gaudeixen de prestigi so-cial i els bons escriptors son admirats, per posardos exemples en camps ben diversos? Els resul-tats d’ambdos col.lectius, de manera diferent,tenen consequencies palpables en el benestar deles persones. Els primers ajuden a fer realitatprojectes de vida, els segons participen en el nos-tre lleure i en els moments de fugida de la rutinaquotidiana. Pero es que les matematiques tambefan aixo mateix! El que falta reforcar son les viesde tranferencia d’aquest missatge. Abans hemparlat de la divulgacio, aquesta n’es certamentuna. L’abast pot ser molt ampli pero la profundi-tat del missatge potser no gaire intensa. Tambehem parlat de l’educacio. L’educacio interessaa un ventall molt ampli de la societat i en elsprocessos educatius mes basics, a banda delsprofessionals, hi son tambe presents les famılies.Amb la complicitat dels mestres i professorsel fantasme de les matematiques com a factorde fracas hauria de desapareixer; no es gairedifıcil explicar amb exemples que, de la mateixamanera que calen les llengues per comunicar-nos, calen les matematiques per fer ciencia, ique la ciencia esta en la base del progres de lahumanitat. Una altra via que cal potenciar, es-pecialment en el nostre paıs, es la transferenciadel coneixement matematic al sector productiu.Podrıem parlar d’aixo hores i hores... I no vol-dria acabar sense citar la importancia que te serpresent en associacions, forums, etc. que tenencom a objectiu cercar recursos i fer lobby per laciencia.SCM: Com valores el moment actual de la ma-tematica, com a disciplina cientıfica?

MS: Si pensem en la produccio cientıfica i enla seva repercussio, crec que estem passant perun moment molt bo. La necessitat d’equips mul-tidisciplinaris per abordar projectes i reptes ci-entıfics de gran abast ha ajudat moltıssim avisualitzar el rol important de les matematiques.Els grans avencos cientıfics i tecnologics que es-tan canviant el funcionament de la societat i lanostra manera de viure, han situat les matema-tiques com a la ciencia basica per a la innovacio.En pocs decennis, les matematiques han passatd’un cercle d’influencia reduıt basicament a lafısica a un altre de molt mes ampli. He citatabans la medicina, pero podrıem tambe citarla biologia, l’economia, les tecnologies per a lescomunicacions i la informacio... Es, doncs, unescenari fantastic en el qual les matematiques,a banda de conservar el seu prestigi i activitatcom a ciencia basica i llenguatge de les altresciencies, s’estan posicionant com un elementactiu d’aquesta transformacio global. Ara be,tradicionalment les matematiques s’han desen-volupat en cercles forca reduıts, i ni la majoriade matematics ni les infraestructures disponiblesestan, en molts casos, a punt per adaptar-se aaquest nou escenari. I molts dels que prenen de-cisions sobre polıtiques cientıfiques desconeixenaquestes necessitats. Per tant, seria possible queaquest ritme tan favorable per a les matemati-ques es veies frenat o alentit per la manca desuport en aspectes tan basics com els recursoshumans i les infraestructures.SCM: Es clara, doncs, aquesta tendencia actualde proliferacio d’arees emergents d’aplicacio dela matematica. Creus que es nomes conjunturalo que es tracta d’una tendencia solida a mitja illarg termini?MS: No crec que aixo sigui una moda i pensoque aquesta tendencia es mantindra almenysa mitja termini. Resulta pero arriscat predirque pot passar a llarg termini. La prolifera-cio de noves arees d’aplicacio de les matemati-ques es una consequencia de la dinamica quesegueix el progres cientıfic i tecnologic i es unademanda dels processos d’innovacio. En aquestesdinamiques, les matematiques no estan actuantexclusivament de servidores, de calaix de solu-cions a problemes. Les matematiques hi trobenuna font d’inspiracio i motivacio per a novesteories i estudis. I tambe una bona font de fi-nancament. Per tant, es pot dir que es unaalianca positiva i vigoritzant per a tots els par-

10

ticipants i amb resultats beneficiosos per a lasocietat.SCM: Podem dir, doncs, que el paper de lamatematica en el desenvolupament cientıfic delsegle xxi sera encara mes important i centraldel que ho ha estat en el segle xx?MS: Aixo es exactament el que estem presenci-ant, una gran vitalitat i dinamisme, i tambe uncanvi en les maneres d’exercir la professio d’in-vestigador en matematiques, una actitud mescol.laborativa i oberta. Si la dinamica actual deprogres no es veu frenada per esdevenimentsgreus i indesitjables, crec que, efectivament, lesmatematiques tindran una influencia mes exten-sa que en el passat.SCM: Centrem-nos en Catalunya. Com veus elmoment actual de la matematica catalana?MS: En forca sintonia amb el que esta passanten l’ambit mundial. Hi ha vitalitat i entusiasme,i tenim molts bons matematics, bons equips,bona infraestructura i bones connexions interna-cionals. Aquests son els aspectes positius. Ensfalta el prestigi i el grau d’excel.lencia dels paısosque tenen una tradicio molt mes llarga que lanostra. No crec que assolim aixo a la mateixa ve-locitat que hem aconseguit l’extraordinari graude produccio cientıfica i de projeccio internacio-nal. Pero vull creure que hi arribarem.SCM: Es evident que Catalunya quasi no exis-tia en el mapa del mon matematic abans delsanys seixanta, i que ara te una posicio forca res-pectable i respectada. Pero, tal com comentes,encara queda molt per fer; quina es la nostraprincipal debilitat, i que podem fer, individual-ment i com a col.lectiu, per superar-la?MS: Una de les debilitats que tenim es la frag-mentacio i la tendencia a mantenir petites es-feres de poder, la qual cosa dificulta la creaciod’aliances fructıferes. Aixo impedeix fer quallarprojectes que tinguin impacte en el futur de larecerca a casa nostra, siguin sostenibles i tin-guin una repercussio internacional notable. Perexemple, considero una debilitat que, fins ara, nohaguem estat capacos de teixir els acords neces-saris per oferir un unic programa postdoctoralde matematiques, a l’estil de la Berlin Mathe-matical School. Haurıem d’entendre que per sercompetitius cal deixar en segon pla interessospersonals i amb poca perspectiva de futur.SCM: En vista dels joves que pugen, com ima-gines els nostres departaments de matematiquesd’aquı a vint o trenta anys?

MS: Una altra de les debilitats que em preocupamolt es la rigidesa de les estructures i normes defuncionament que regeixen les universitats. Difi-culten l’atraccio de talents de qualsevol part delmon, no faciliten la promocio selectiva del per-sonal amb criteris de competencia cientıfica, noimpulsen gaire la mobilitat, no incentiven l’excel-lencia. Calen canvis molt radicals per aproximar-nos a un model que, en primer lloc, faci atractivala professio i sigui mes adequat per competir enigualtat de condicions amb els paısos del nostreentorn polıtic reconeguts per la seva excel.lencia.Si les mateixes estructures perduren, no se si elmoment relativament dolc en que estem instal-lats sobreviura gaire anys mes.SCM: L’estiu passat a Bangalore, India, es vanatorgar les ultimes quatre medalles Fields. Esnomes un somni pensar que algun dia puguihaver-hi un medalla Fields catala?MS: Crec que pot ser una realitat. I aquest esun dels objectius que ens haurıem de proposar.Caldria treballar a fons per posar les condicionsque ho facilitin. Em fa la impressio que l’obten-cio de premis de gran prestigi, com les medallesFields, requereixen la conjuncio de diverses cir-cumstancies. La mes clara i amb mes pes estenir candidats competitius. Pero cal tambe queaquests candidats siguin suficientment conegutsi apreciats per la comunitat internacional i as-soleixin el consens del comite que els atorga.Abans he assenyalat que el nivell de producciocientıfica de la comunitat catalana esta a l’al-tura de paısos que tenen medalles Fields. Quananalitzem l’excel.lencia, encara no estem gaireben situats i el nivell de representacio en co-mites internacionals tampoc es bo. I es que aixoes molt mes difıcil d’assolir i requereix esforci perseveranca. Es indispensable seleccionar imimar el talent, proporcionar les bones condi-cions perque doni fruits. Crec que no s’ha fetencara el pas decisiu de crear estructures peral desenvolupament d’una recerca en matemati-ques d’excel.lencia i de dotar-les adequadament.Ara be, sortosament no estem pas a zero i te-nim alguns exemples realment notables que fanveure el futur amb esperanca.SCM: Fa uns anys es va temptejar, sense exit,la possibilitat que Catalunya esdevingues mem-bre directe de l’IMU sense dependre d’Espanya(en el que seria un equivalent a la seleccioesportiva matematica propia). Sera possibleaixo en un futur proper, o els catalans tambe

11

ens hem de resignar a ser ciutadans de segona,matematicament parlant?MS: A la Societat Matematica Europea, la So-cietat Catalana de Matematiques n’es full mem-ber, igual que l’Alemanya, la Suıssa o la LondonMathematical Society, per exemple. Crec queaixo marca una diferencia molt significativa en-tre l’EMS i l’IMU. El que compta a l’EMS esl’existencia d’una comunitat matematica benconsolidada, independentment de l’organitzaciopolıtica del paıs en el qual s’ubica. He comencatfent aquest aclariment per insistir en el fet queni ens hem de resignar a res, ni ens hem de sen-tir comunitat matematica de segona categoria,perque no ho som. Crec que el problema el tel’IMU que, fins ara, no ha mostrat la flexibili-tat necessaria per adaptar els seus estatuts ala realitat cientıfica. I el precedent de l’EMSpot ser un bon exemple per tenir en compte.Caldria continuar treballant per assolir aquestcanvi; i no amb una actitud de victimisme sinomes aviat amb la d’un clar convenciment. Arabe, sense una forta comprensio i receptivitatdel problema per part dels carrecs de l’IMU ialiances solides amb membres de l’IMU que hidonin suport, crec que no ens en sortirem pas...SCM: Quins consells donaries als departamentsde matematiques catalans des d’una perspectivaeuropea?MS: No es facil contestar aixo perque a Cata-lunya hi ha un nombre considerable de depar-taments de matematiques amb caracterıstiquesdiverses, des de molt grans i multiarees finsals petitets. Abans he esmentat un cert temorsobre el desenvolupament futur d’aquests depar-taments i les seves causes. Tambe m’he referita l’esquema de fragmentacio i els seus inconve-nients. Cal emprendre una accio rotunda per al’oferta d’una formacio de postgrau conjunta,amb vocacio internacional. Es necessari disse-nyar una polıtica de personal a mitja i llargtermini. En particular, cal una obertura en lacaptacio de professors i investigadors, introduintcriteris que afavoreixin l’injeccio de cervells quepuguin obrir noves lınies d’investigacio o reforcarles mes solides ja existents. Cal coordinar-se pera la gestacio de projectes de cooperacio per tald’assolir uns nivells crıtics de qualitat i de recur-sos humans que enriqueixin la nostra recerca.SCM: I algun consell per al mon de la se-cundaria, tant important per a la motivacioi formacio inicial dels futurs matematics?

MS: Genericament, caldria prestar molta aten-cio als estudiants que demostren un talent es-pecial en alguna disciplina i es absolutamentnecessari estimular-los de manera especial. Untractament uniforme impedeix el desenvolupa-ment de les aptituds i fomenta la perdua d’in-teres pel coneixement. En el cas concret de lesmatematiques, cal presentar-les en el contextcientıfic i tecnologic del segle actual i valorarels mecanismes del raonament abstracte, de lesdemostracions. El domini de la capacitat enl’argumentacio correcte es un component abso-lutament transversal en qualsevol formacio.SCM: I quins deures ens poses a la SCM, pre-cisament ara que fa poc hi ha hagut renovaciode Junta i de president?MS: Deures en relacio amb l’EMS? Historica-ment, la SCM ha estat un membre molt actiude l’EMS. Fer un llistat exhaustiu de col.labora-cions ocuparia molt d’espai. No puc pero deixard’esmentar que, del 10 al 14 de juliol de l’any2000, Barcelona va ser un aparador fantasticde l’EMS en ocasio del 3ecm (Third EuropeanCongress of Mathematics). I fou aixı gracies ala visio, dedicacio i entusiasme d’un nombrosequip de matematics que vam treballar dirigits icoordinats per Sebastia Xambo, aleshores presi-dent de la SCM. L’EMS considera aquell congrescom un dels mes exitosos que mai s’han celebrat.Per tant, la SCM ha fet molt i molt ben fet pera l’EMS. I es aixo el que voldria demanar alnou equip de govern de la SCM: mantenir unalt nivell d’implicacio amb projectes i comissi-ons de l’EMS, perque l’exit de l’EMS depen delque aporten els seus membres; col.laborar en elconeixement i visibilitat de l’EMS mitjancanttramesa d’informacio periodica als socis de laSCM, i ajudar a la captacio de nous socis indi-viduals de l’EMS.SCM: Finalment, que diries a un jove que, senseconeixer gaire aquest mon, decideix dedicar-se ales matematiques simplement perque m’agra-den?MS: Li diria que, d’entrada, comencem be. Per-que per sentir-se felic i realitzat en una professio,cal que trobem atractiu pels diferents aspectesdel seu exercici. Pero tambe insistiria en el fetque no n’hi ha prou amb sentir-se atret. Igualque per ser un bon pianista no n’hi ha prou ambadorar la musica, sino que cal talent i formacio,per dedicar-se a les matematiques i no patiruna frustracio hauria d’estar segur de posseir

12

un cert talent. El talent que portem en formaincipient el descobreixen mes facilment els queens envolten: professors, famılia, amics. Ales-hores li preguntaria: t’han dit moltes vegadesque serveixes per a les matematiques? Sı? Doncsendavant, ara cal potenciar les teves aptituds,fer-les florir; i aixo nomes es possible amb unproces de formacio molt bo i intens. Cal esforc,

pero goso dir sense dubtes que les matemati-ques son meravelloses i dedicar-s’hi es una bonaaposta.SCM: Marta, moltes gracies per aquestes in-teressants paraules. En nom de la SCM i dela matematica catalana et desitgem els millorsexits i encerts en aquesta nova responsabilitatal capdavant de l’EMS.

Impressions de l’ICM 2010

Del 19 al 27 d’agost de 2010 va tenir lloc a Hy-derabad —la ciutat de les perles, capital del’estat d’Andhra Pradesh i la sisena ciutat mespoblada de l’India— el congres mundial dels ma-tematics, ICM 2010. Aquest congres se celebracada quatre anys des de 1897 (amb interrupcionscausades per les guerres) i es l’esdeveniment cab-dal de la comunitat matematica internacional.L’evolucio del seu programa cientıfic va marcantl’evolucio mateixa de les matematiques al llargde les decades. I haver estat invitat a un ICMcom a conferenciant marca un abans i un des-pres en la carrera de molts matematics. Tambees el lloc on es lliuren des de 1936 les medallesFields i mes recentment altres premis.

En el numero anterior de la SCM/Notıcies,el president Carles Perello va fer-ne un excel.lentresum. Aquı trobareu una cronica mes detalla-da i sobretot mes subjectiva. En molts sentits,l’ICM 2010 va ser com cadascun dels congres-sos mundials anteriors (Madrid 2006, Pequın2002, Berlın 1998, Zuric 1994, etc.). Pero tambeva tenir caracterıstiques ben propies, a causasobretot de la peculiar idiosincrasia ındia.

Un paıs fascinant pero caotic

La Republica de l’India es un paıs d’enormescontrastos, probablement un dels paısos del monon aquesta frase feta es mes escaient. La presi-denta de l’India, Pratibha Patil, ho va destacardurant el seu magnıfic discurs a la cerimoniainaugural de l’ICM, tot citant una vella dita:De qualsevol cosa que digueu sobre l’India, elcontrari tambe es cert. A l’India podeu visitaralguns dels llocs mes luxosos o mes bells delmon, com el Taj Mahal a Agra o el palau delsmaharajas a Jaipur; alhora, a poca distancia,

trobareu indrets on la gent viu en condicionsde pobresa extrema. A Hyderabad s’aixequenedificis espectaculars de moltes multinacionalsde la informatica i les comunicacions a ben pocsquilometres de barris on, cada cop que plou mesdel que es habitual, els carrers i les cases s’om-plen d’aigua i de fang. Hi ha bones autoviesen molts llocs del paıs, pero s’hi ha de conduiramb compte per no xocar amb cap vaca de lesnombroses que s’hi passegen.

Caos de transit en el centre de Hyderabad.

En un paıs aixı, moure’s d’un lloc a un altreno es gens senzill per a un congressista tocat iposat. Els mitjans de transport public nomesson adients per a aventurers, les grans distanciesdificulten molt anar a peu i no es pot ni pen-sar a llogar un cotxe. La solucio mes raonablees gairebe sempre contractar un taxi, a preufet, cada cop que es vol sortir de l’hotel, pera tot el temps que transcorri fins a la torna-da. El taxista s’esperara pacientment a cadalloc que es visiti i a cada botiga on es vagin acomprar records —ell mateix estara encantat derecomanar-ne algunes, de botigues!

13

Un congres ben organitzat

L’ICM 2010 va sortir be; podrıem dir que ambun percentatge semblant d’encerts i d’erradesque els congressos mundials passats mes recents.Va fer-se al palau de congressos mes gran del’India, de 27.000 m2, enganxat a un hotelde cinc estrelles i ubicat a HITEC City (Hy-derabad Information Technology EngineeringConsultancy City), un gran complex d’empre-ses de tecnologia de la informacio de 0,61 km2

situat als afores de la ciutat; una bombolla demodernitat de la qual molts congressistes nomesvaren sortir en comptades ocasions.

La cerimonia inaugural va ser lluıda i, comsempre, emocionant, especialment en els ins-tants previs a l’anunci dels noms dels guanya-dors de la Medalla Fields, un secret que mai nos’escapa abans d’hora. En aquesta ocasio, elspremiats varen ser Elon Lindenstrauss (Univer-sitat Hebrea de Jerusalem), Ngo Bao Chau (Uni-versitat de Chicago, nascut a Hanoi), StanislavSmirnov (Universitat de Ginebra, nascut a Le-ningrad, actual Sant Petersburg) i Cedric Villani(Institut Henri Poincare, Parıs). En un altre ar-ticle d’aquest numero es detallen els seus meritscientıfics. A mes, es va atorgar el Premi Nevan-linna d’aspectes matematics de la informatica aDaniel Spielman (Universitat de Yale), el PremiGauss per a resultats importants amb aplicaci-ons mes enlla de les matematiques a Yves Meyer(Escola Normal Superior de Cachan, Parıs) i laMedalla Chern a una trajectoria brillant de totauna vida a Louis Nirenberg (Courant Institute,Nova York).

Les conferencies plenaries del congres varenser impartides per les vint persones seguents: Da-vid Aldous (Estats Units), Artur Avila (Brasil),R. Balasubramanian (India), Jean-Michel Coron(Franca), Irit Dinur (Israel), Hillel Furstenberg(Israel), Thomas J. R. Hughes (Estats Units),Peter Jones (Estats Units), Carlos Kenig (Es-tats Units), Ngo Bao Chau (Estats Units), Stan-ley Osher (Estats Units), R. Parimala (EstatsUnits), A. N. Parshin (Russia), Shige Peng(Xina), Kim Plofker (Estats Units), NicolaiReshetikhin (Estats Units), Richard Schoen (Es-tats Units), Cliff Taubes (Estats Units), ClaireVoisin (Franca) i Hugh Woodin (Estats Units).

La llista de seccions tematiques va ser practi-cament la mateixa que en els congressos de 2006i 2002. En aquestes seccions es varen impartir

cent seixanta-set conferencies invitades. A mes,el programa cientıfic del congres va incloure propde set-centes cinquanta comunicacions curtes dequinze minuts (com de costum, amb criteris deseleccio no gaire exigents), sessions de posters itres taules rodones sobre aspectes socioculturals,educatius i divulgatius de les matematiques. Elpenultim dia del congres es va oferir una sessiooberta de debat sobre procediments quantita-tius d’avaluacio de la recerca en matematiques,durant la qual es va evidenciar una preocupantmanca de consens i d’alternatives valides alssistemes actuals, basats principalment en elsfactors d’impacte de les revistes, que algunstecnocrates defensaven i molts participants ata-caven amb argumentacions nomes parcialmentconvincents.

Debat sobre ındexs d’avaluacio de la recerca el 26d’agost.

Entre els actes socials complementaris alcongres va destacar l’excel.lent obra de teatre Adisappearing number, de la companyia britanicaComplicite, sobre la vida i la mort de Sriniva-sa Ramanujan i la seva breu col.laboracio ambG. H. Hardy a Cambridge. Qui escriu aques-tes lınies va quedar impressionat d’adonar-se,durant el transcurs d’aquesta obra de teatre,que la seva habitacio d’hotel a Hyderabad eraprecisament la 1729 = 93 + 103 = 123 + 13 (unnumero irrellevant, segons la pıfia llegendariade Hardy). Qui aixo escriu tambe va ser un delstrenta-nou participants al congres que va per-dre la seva partida en una sessio de simultaniesd’escacs amb Viswanathan Anand, actual cam-pio del mon. Un xicot de catorze anys, SrikarVaradaraj, va aconseguir empatar la seva parti-da (que de fet hauria d’haver guanyat, si no s’ha-gues atabalat al final). Val a dir que aquest noi,

14

estudiant de secundaria a Bangalore, va impar-tir una de les comunicacions curtes del congres,a la seccio de matematiques a les ciencies i ala tecnologia, amb el tıtol Derivation and geo-metric proofs of corollaries of the developablesurface equations and industrial applications.Potser en tornarem a sentir a parlar...

Mathematics in Spain

L’espai d’exposicio dels estands va ser el menysvistos dels darrers congressos mundials. Possi-blement les dificultats i el cost del trasllat delmaterial a l’India varen desanimar algunes edito-rials, i els entrebancs per aconseguir equipamentper als estands els varen acabar de deslluir.

Un dels estands tenia per retol Mathema-tics in Spain, amb la qual cosa Espanya vaesdevenir l’unic estat del mon amb un estand al’ICM 2010. En aquest estand es va exhibir do-cumentacio de les societats matematiques (entreaquestes la SCM) i altres institucions, com elCentre de Recerca Matematica (CRM) o algunesuniversitats. Havia estat promogut pel ComiteEspanyol de Matematiques (CEMAT) amb unajut economic del Programa Consolider Inge-nio Mathematica, que a mes va subvencionar laparticipacio de deu matematics espanyols jovesal congres.

La principal atraccio de l’estand va ser unasamarreta de la seleccio espanyola de futbolregalada i signada pel jugador asturia Juan Ma-ta, actualment davanter del Valencia i amic deSantos Gonzalez, de la Universitat d’Oviedo,coordinador de l’estand juntament amb CarlesPerello. L’ambient de bona col.laboracio entrel’equip de persones que varen muntar i vigilaraquest estand, entre elles Oriol Serra en repre-sentacio de la SCM i qui aixo escriu, va ser plei efectiu.

Tanmateix, va sobtar molt que nomes unade les conferencies invitades en tot el congres

fos impartida per matematics espanyols: IsabelFernandez (Universitat de Sevilla) i Pablo Mira(Universitat Politecnica de Cartagena), que va-ren parlar conjuntament sobre superfıcies de cur-vatura mitjana constant en geometries de Thurs-ton tridimensionals. A l’ICM de Madrid, el 2006,hi va haver un conferenciant plenari espanyol(Juan Luis Vazquez) i deu conferenciants invi-tats en les seccions tematiques. Aquesta dava-llada en el congres de 2010 no te cap justificacioen termes de la qualitat de la recerca que es faa l’Estat espanyol. Esperem que no es repeteixiel 2014.

Cal recordar que la representacio en carrecsinternacionals d’alt nivell sı que passa per unbon moment, gracies a Marta Sanz-Sole, quees presidenta de l’EMS des del gener de 2011, ia Manuel de Leon, que es membre del comitePESC (Physical and Engineering Science) dela Fundacio Europea per a la Ciencia des de2006 i va ser reelegit com a membre del ComiteExecutiu de la Unio Matematica Internacionall’any passat a Bangalore just abans de l’ICM.Per cert, la propera presidenta de la Unio Ma-tematica Internacional sera Ingrid Daubechies,de la Universitat de Princeton, tambe la primeradona que assoleix aquest carrec.

Xifres de participacio

Segons el web de l’ICM 2010, el nombre total departicipants inscrits va ser de 2.941 (entre ells1.547 indis), un nombre lleugerament inferiorals 3.441 de Madrid 2006 (amb 1.302 espanyols)i forca inferior als 4.260 de Pequın 2002 (que in-cloıen uns 1.700 xinesos). Nomes 64 participantsde nacionalitat espanyola es varen inscriure aHyderabad. Esperem tambe que aquest nombretorni a creixer en propers congressos mundials,tot i que la gran distancia geografica a Seul hofara difıcil l’estiu de 2014.

Carles CasacubertaUB

15

In memoriam

Joaquim Font i Arjo (1958-2010)

El 18 de novembre va mo-rir el professor Joaquim Fonti Arjo. Sols tenia 52 anys.En Quim, que es com el co-neixıem —costa escriure aixoen passat—, va estar vincu-lat ininterrompudament a laFacultat de Matematiques dela Universitat de Barcelonades de mitjan anys setanta;

primer com a estudiant, despres com a becari,com a ajudant i professor associat, i finalment,durant els darrers vint anys, com a professor ti-tular del Departament de Matematica Aplicadai Analisi. S’havia doctorat a la UB l’any 1990.

Ara, malgrat que ja no podem gaudir de laseva companyia ni perllongar les converses quedurant tants anys hem tingut, ens queden moltsmotius per recordar-lo.

En les mostres de condol que els seus alum-nes, amics i companys han escrit, tothom endiu que era una bona persona i molts escriuenaquestes dues paraules amb majuscules. I es que,per damunt de tot, en Quim era una personaamb principis i valors. No calia haver-lo tractatgaire temps per descobrir la seva honradesa, so-lidaritat, generositat i amabilitat; en definitiva,per adonar-se que era algu com cal. Aixo hosaben be tots els joves que al llarg de molts anyss’han anat incorporant al Departament. Ell erael company que sempre estava a punt per donarun cop de ma, per donar un consell, per fer quetothom estigues i se sentıs integrat i a gust.

A en Quim li agradaven molt les matemati-ques i ensenyar l’ofici encara mes. Els seus alum-nes recorden la paciencia i dedicacio amb que

atenia dubtes i preguntes durant llarguıssimesestones. Era una mostra de la seva dedicacio altreball, la mateixa que va posar a l’hora d’enge-gar l’ensenyament d’informatica a la Universitatde Barcelona. Alguns cops ens deia que sentiaque no se li donava suport en aquesta feina, peroes va mantenir al davant fins que aquest projecteva haver cristal.litzat.

La recerca la va desenvolupar en el campde la mecanica celeste. Les seves contribucionsse centren en uns problemes concrets: l’estu-di de les varietats invariants hiperboliques delspunts d’equilibri del problema restringit de trescossos, l’estudi de les anomenades orbites desegona especie i de les orbites de quasicol.lisioconsecutiva del mateix problema, i l’analisi deles famılies d’orbites periodiques d’alguns po-tencials galactics. Els resultats que va obtenirper aquests problemes son molt acurats i com-plets, tant des d’un punt de vista quantitatiucom qualitatiu i son coneguts i apreciats pelsexperts. En Quim tenia totes les qualitats perser un investigador de primera lınia en aquestcamp: curiositat, interes i recursos, tant teoricscom numerics. Pero la seva opcio personal i ad-mirable va ser dedicar la quasi totalitat del seutemps a l’atencio dels estudiants.

Despres de mes de vint anys d’anar cada diaa fer el cafe plegats, no podem acabar aquest es-crit sense recordar tambe les converses del dia adia, l’aquest matı he sentit a la radio, l’ahirfent zaping o el ja vas veure el Barca. Percert, Quim, l’altre dia li va tornar a fotre cincgols al Madrid, i de les eleccions ja en parlaremuna altra estona.

Els amics del Departament de Matematica Aplicada i Analisi, UB

16

Peter J. Hilton (1923-2010)

Peter John Hilton va finarel 6 de novembre de 2010a Binghamton (Nova York),despres d’una vida llarga iintensa. Ha deixat un am-pli llegat a la topologia,l’algebra i l’educacio mate-matica, a mes d’una pet-ja fonda a Catalunya. Elsfruits del seu talent tambevan recollir-se fora de lesmatematiques.

Apunts biografics

Hilton va neixer a Brondesbury, un barri delnord de Londres, el 7 d’abril de 1923. Quatrefets van marcar la seva vida i la seva carrera:• L’accident de cotxe. Quan tenia deu anys,mentre empaitava un company seu d’escola pelcarrer, el va atropellar un cotxe. Ni el cotxeni el company eren qualssevol: el cotxe era unRolls Royce i el company era Derek Godfrey,que mes tard esdevindria un actor shakespeariamolt distingit. Hilton va haver de passar un llargperıode de recuperacio en un llit de l’hospital ialla s’afecciona a resoldre problemes de matema-tiques, escrivint-ne les solucions en el guix queli embolcallava la cama esquerra. Descobrı laseva passio per les matematiques, que el duria aingressar a la Universitat d’Oxford uns quantsanys mes tard.• El servei d’intel.ligencia militar britanic. L’any1941, amb divuit anys, ja estudiant a Oxford,fou contractat per treballar en el servei d’intel.li-gencia militar britanic a Bletchley en el projecteEnigma, l’objectiu del qual era desxifrar elscodis utilitzats pels alemanys amb la tristamentfamosa maquina d’aquest nom. Tres fets van in-fluir en el seu fitxatge: era molt espavilat, sabiamatematiques i parlava alemany.• John Henry Constantine Whitehead. A Bletch-ley, va treballar i va conviure amb molts ma-tematics professionals, entre ells Henry White-head, Max Newman i Shaun Wylie. Amb totsestablı amistat, pero sobretot amb Whitehe-ad: I became very, very friendly with HenryWhitehead, on first-name, beer-drinking terms.Acabada la guerra, Whitehead li va proposartornar a Oxford per convertir-se en el seu primer

estudiant de doctorat de la postguerra. Enca-ra que Hilton llavors no sabia res de topologia,Whitehead l’encoratja: Oh, don’t worry, Peter,you’ll like it. I aixı va ser.• L’afeccio al teatre i Margaret. De jove, a Hil-ton ja li agradava molt el teatre i participavaen representacions de teatre amateur. Despresde l’exit assolit en el drama de Pushkin TheQueen of Spades, quan els diaris van parlar d’ellcom el millor actor amateur de la temporada,la seguent obra en que va treballar, on repre-sentava un pastor de l’esglesia, fou molt lloadaexcepte la interpretacio del pastor. Aixo el vadesanimar, tot i que el contacte amb el teatreno el podia perdre. En un ball de Nadal, sen-se triar-ho, es va veure obligat a acompanyarMargaret Mostyn (Meg, com sempre li va dir) iaquest fou el seu primer contacte amb una ac-triu professional; el segon, aplaudint-la mentreella interpretava The Wishing Well. Peter i Meges van casar l’any 1949 (el mateix any que elles va doctorar a Oxford) i van tenir dos fills:Nicholas i Timothy.

Hilton va ser Distinguished Professor ofMathematics a la Universitat Estatal de No-va York a Binghamton des de 1982, emerit desde 2003. Anteriorment havia estat lector a laUniversitat de Cambridge i a la Universitat deManchester, i professor a les universitats de Bir-mingham, Cornell, Washington i Case WesternReserve.

La seva investigacio es va centrar en topo-logia algebraica, teoria de categories, algebrahomologica i educacio matematica. Va publicarmes de tres-cents treballs de recerca i va presidirnombrosos comites de prestigi, entre ells el Na-tional Research Council Committee on AppliedMathematics Training.

Va ser autor de disset llibres: An in-troduction to homotopy theory (CambridgeUniversity Press, 1953), Differential calculus(Routledge and Kegan Paul, 1958), Partial deri-vatives (Routledge and Kegan Paul, 1960), Ho-mology theory. An introduction to algebraic topo-logy (amb S. Wylie; Cambridge University Press,1960), Homotopy theory and duality (Gordonand Breach, 1965), Algebraic topology (CourantInstitute, 1969), A Comprehensive textbook ofclassical mathematics (amb H. B. Griffiths; VanNostrand Reinhold, 1970; reeditat per Springer,

17

1978), General cohomology theory and K-theory(London Mathematical Society Lecture NotesSeries, Cambridge University Press, 1971), Lec-tures on homological algebra (American Mathe-matical Society, 1971), A course in homologicalalgebra (amb U. Stammbach; Springer, 1971), Acourse in modern algebra (amb Y.-C. Wu; JohnWiley, 1974), Localization of nilpotent groupsand spaces (amb G. Mislin i J. Roitberg; NorthHolland, 1975), Fear no more (amb J. Pedersen;Addison-Wesley, 1983), Build your own Polyhe-dra (amb J. Pedersen; Dale Seymour Publicati-ons, 1994), Mathematical reflections. In a roomwith many mirrors (amb D. Holton i J. Peder-sen; Springer, 1996), Mathematical vistas. Froma room with many windows (amb D. Holtoni J. Pedersen; Springer, 2002), A mathemati-cal tapestry. Demonstrating the beautiful unityof mathematics (amb J. Pedersen; CambridgeUniversity Press, 2010).

Li fou atorgada la distincio de doctor hono-ris causa per la UAB l’any 1989, i tambe a lesuniversitats de Michigan (1977) i Newfoundland(1983). Va dirigir vint tesis doctorals, la primerael 1960 (M. Arkowitz, Cornell) i la darrera el2000 (Changchao Su, Binghamton).

Algunes de les seves aportacions

En paraules seves, l’any 1985, I think the bestpaper I ever wrote is a paper I wrote under theinfluence of Jean-Pierre Serre on the homotopygroups of the union of spheres [J. London Math.Soc., 30 (1955), p. 154–172]. This was, I think,the first time that Lie algebras were used inhomotopy theory in an effective way.

En efecte, el que s’ha anomenat teoremade Hilton-Milnor es segurament la seva con-tribucio mes rellevant a la topologia algebrai-ca. Aquest teorema proporciona una descom-posicio de l’espai de llacos d’un coproductefinit de suspensions Ω(

∨ni=1 ΣXi) com a pro-

ducte (en general, infinit)∏∞

j=1 ΩΣYj , on cadaYj es un producte reduıt d’alguns dels espaisX1, . . . , Xn. Com a consequencia d’aquest resul-tat s’obte una formula per als grups d’homotopiad’un coproducte finit d’esferes. Per exemple, sin ≥ 2, el grup πn(S2 ∨ S2) es una suma directa⊕n

i=2 πn(Si)τ(i−1), on τ(k) = 1kΣd|k µ(d)2k/d i

µ es la funcio de Mobius.Tanmateix, els treballs de Hilton que han

dut mes el seu segell i que es van perllongarmes en el temps van ser els dedicats a la teoria

de localitzacio. S’hi barrejaven tres especialitatsque ell dominava i estimava: la topologia, la te-oria de grups i les categories. A les seves mans,aquestes especialitats es complementaven perdonar resultats a vegades sorprenents i sempreatractius. El camı que el va dur a aquesta cruıllava ser el fenomen de la cancel.lacio (millor dit, lano-cancel.lacio): si X × Y ∼= X × Z, es dedueixnecessariament que Y ∼= Z? Aquesta preguntate sentit en la topologia i en l’algebra, i de fetes una pregunta tıpicament categorica. Es clarque la mateixa pregunta te sentit si es formulaamb coproductes en comptes de productes, i elsresultats que se’n deriven son d’un altre caire,sovint duals dels anteriors.

Conjuntament amb Guido Mislin i JosephRoitberg, va obtenir resultats brillants i contra-exemples famosos en aquest context. El de mesanomenada va ser el primer exemple, descobertel 1968, d’una varietat topologica compacta queadmet estructura de H-espai (es a dir, una multi-plicacio contınua amb unitat, no necessariamentassociativa) i no es homotopicament equivalenta cap grup de Lie ni a l’esfera S7 ni a cap produc-te d’ells. Aquest espai va quedar batejat com elcriminal, perque va refutar la versio homotopicadel cinque problema de Hilbert (tota varietattopologica que sigui un grup topologic es ungrup de Lie, resolt afirmativament el 1950). Elcriminal de Hilton-Roitberg es un espai X talque X × S3 ∼= Sp(2)× S3, on Sp(2) es el grupsimplectic 2× 2.

Les idees emprades en aquest contraexemplevan propiciar que Hilton, Mislin i Roitberg apro-fundissin en la teoria de localitzacio, on s’aplicaa la topologia algebraica la tecnica aritmeticad’estudiar els espais localitzant-los en cadanombre primer, on sovint adquireixen simetriesaddicionals. El llibre que tots tres van publi-car l’any 1975 es una magnıfica eina didacticai alhora conte molts resultats originals que vancomplementar tot allo que en aquella epoca des-cobriren Adams, Bousfield-Kan, Quillen, Sulli-van i Zabrodsky, entre d’altres. Mes endavant, elproblema del genere (comparar les propietats dedos grups o dos espais X i Y tals que les localit-zacions Xp i Yp son isomorfes per a tot nombreprimer p) va ocupar la recerca de Hilton durantmolt de temps, de fet fins fa ben pocs anys.

L’enfocament categoric d’aquest tipus deproblemes a la teoria d’homotopia va trobartambe en Hilton un mestre i un creador, en

18

col.laboracio amb Beno Eckmann. La dualitatd’Eckmann-Hilton (descrita entre 1958 i 1964)es el fil conductor, encara ara, de molts cur-sos d’introduccio a la teoria d’homotopia. Lesesferes son espais amb un unic grup de coho-mologia pero amb grups d’homotopia difıcilsde calcular (de fet, desconeguts, en general), ien canvi els espais d’Eilenberg-Mac Lane tenenun unic grup d’homotopia pero uns grups decohomologia difıcils de calcular. Aquesta dua-litat entre homotopia i cohomologia consisteixnomes a invertir el sentit de les fletxes en elsdiagrames. Es el mateix tipus de dualitat querelaciona un producte amb un coproducte i unespai de llacos amb una suspensio.

Altra vegada en paraules d’ell, I do thinkthat Eckmann and I did in that way systemati-ze some ideas and we showed how certain ideasare naturally related. Some of these things wereintuitively clear to certain people but had notbeen systematized. By systematizing them, wemade them more readily accessible to students,but also we broadened and extended them subs-tantially.

Certament, els seus articles van servir deguia i d’inspiracio per a molta gent. Hi va ajudarla seva facilitat per encetar treballs en col.labora-cio amb altres persones i la seva gran capacitatper estimular la feina dels seus coautors joves.

La seva influencia a Catalunya

El primer contacte de matematics catalans ambP. Hilton cal situar-lo a l’any 1964 i va ser pura-ment virtual; no en el sentit que te ara el terme,sino perque no fou un contacte fısic, simplementintel.lectual. A l’octubre de 1964, J. Teixidor,catedratic de geometria analıtica i topologia dela UB, decidı seguir com a llibre de text a l’assig-natura de topologia de 5e curs de la llicenciaturade matematiques el llibre Homology theory. Anintroduction to algebraic topology de P. Hilton iS. Wylie, publicat feia poc per Cambridge Uni-versity Press. Fou un revulsiu en l’ensenyamentd’aleshores, mes donat a explicar resultats es-devinguts classics que a introduir els estudiantsen disciplines emergents.

Els estudiants d’aquella epoca no sabien queera la topologia algebraica ni qui era Peter Hil-ton. En l’acte de presentacio de Hilton coma doctor honoris causa per la UAB l’any 1989,Castellet deia: La meva coneixenca amb Hiltonha seguit un proces d’aproximacions successives,

comencant per un llibre, passant per articles derecerca i concloent en un coneixement personal ien una amistat que m’honora, que ens ha portata la col.laboracio cientıfica.

Efectivament, del llibre de text alguns vampassar a llegir-ne articles de recerca i el contactepersonal s’establı per primer cop l’any 1973 alForschungsinstitut fur Mathematik (FIM) del’ETH de Zuric, on Castellet acabava de llegirla seva tesi doctoral, dirigida per B. Eckmann.Hilton i Eckmann, o Eckmann i Hilton, havi-en establert una col.laboracio que des del puntde vista estrictament cientıfic va durar mes dequinze anys i i que va donar lloc no nomes auna profunda amistat, sino tambe a algunesde les pagines mes boniques i interessants deles matematiques de la segona meitat del se-gle xx. Castellet no conegue Hilton fins al 1973,pero a Zuric ja li era familiar sentir parlar en-tre els estudiants de doctorat del Pope i delCopope (referint-se a Eckmann i a Hilton),parodiant grup i cogrup, fibracio i cofibracio,homotopia i cohomotopia, categoria i cocatego-ria... Mai no hem sabut qui era l’un i qui eral’altre.

L’any 1982, quan un dels autors d’aquestanota era catedratic a la UAB i l’altre un estu-diant de la llicenciatura de matematiques, escomencava a crear a la UAB un grup de recer-ca en topologia algebraica amb M. Castellet,J. Aguade (doctorat l’any 1979 i que acabavade tornar d’una estada postdoctoral al FIM deZuric), I. Llerena (doctorada l’any 1977 a laUB) i el jove E. Frau, amb la mirada posada entres estudiants que aviat estarien en condicionsde fer la tesi doctoral: C. Broto, L. Saumell iC. Casacuberta.

Es en aquest marc que J. Aguade i M. Cas-tellet decidiren organitzar el primer congres dematematiques a Catalunya de l’epoca moder-na. Ara en dirıem un minicongres, ja que elnombre de participants fou de trenta-cinc. Peroen una universitat jove i en un paıs que totjust comencava a saber treballar en matemati-ques, l’organitzacio del Workshop on algebraictopology al maig de 1982 fou un salt qualitatiuimportant. Cinc conferenciants de primera lınia(P. Hilton, G. Mislin, L. Smith, C. Wilkerson iA. Zabrodsky) i uns participants de no menysnivell (H. Hiller, J. Hubbuck, U. Koschorke, D.Husemoller, R. Piccinini, Xin-Yao Shen... i unjove doctorand, M. Hopkins, que pocs anys des-

19

pres esdevindria la figura de primer nivell que esara). En aquest congres, Hilton impartı lliconssobre nilpotencia a teoria de grups i a topolo-gia, un dels temes on la seva aportacio va sermes essencial. A tıtol d’anecdota, als que vis-querem aquell congres ens fa gracia recordarque Hilton va arribar a Barcelona procedentd’Alaska i en va marxar en direccio a Singapur,en una epoca que els cientıfics catalans tot justcomencaven a treure el nas al mon. Hilton, quehavia estat tota la vida un gran viatger i estrobava amb seixanta anys en un moment algidde la seva vida, afirmava que escrivia els seusarticles de recerca als avions.

Despres va visitar Barcelona moltes vegadesmes, sovint per a grans ocasions, com el deseaniversari del CRM l’any 1994, on va impar-tir la conferencia de celebracio. Va col.laborardurant anys en treballs sobre nilpotencia, loca-litzacio i genere amb els autors d’aquesta notai en didactica amb N. Gorgorio. Alguns ma-tematics catalans vam visitar-lo a Binghamtonen moments clau de les nostres carreres. Vamaprendre d’ell, no nomes com obtenir resultatsnous en matematiques, sino com gaudir fent-ho i sobretot com transmetre’ls amb claredat iconviccio.

Carles Casacuberta, UBManuel Castellet, UAB

Benoıt B. Mandelbrot: cientıfic i matematic

El 14 d’octubre de 2010 vamorir Benoıt B. Mandelbrot,un cientıfic i matematic influ-ent en les darreres decades. Idiem cientıfic i matematic jaque, tot i la seva influenciaen una part de la comunitatmatematica, influencia que s’-

explica com a impulsor de l’estudi dels conjuntsfractals i, principalment, per donar nom a undels conjunts matematics mes interessants delsdarrers anys, el seu treball va tenir sempre uncaracter interdisciplinari, que ell mateix expli-cava que li havia tancat moltes portes, almenysdurant els primers anys de la seva carrera uni-versitaria.

Amb tot, com deiem, la seva popularitat dinsde la comunitat matematica, cientıfica i potserfins i tot mes enlla (ja sabem que de matematicsque transcendeixen la comunitat matematican’hi ha pocs, pero que transcendeixin la comu-nitat cientıfica encara n’hi ha menys..., excepteque el seu comportament social sigui prou singu-lar perque els diaris se’n facin resso. . . ) vinguede la popularitat del que avui en dia en diemconjunt de Mandelbrot. Aquest conjunt va es-tar en el moll de l’os del que a la decada delsseixanta era una nova geometria, que es va ano-menar geometria fractal i en el descobriment dela qual Mandelbrot va estar implicat. Parlaremuna miqueta al final de l’article del significatmatematic i d’alguns resultats d’aquest conjunt(no necessariament deguts al mateix Mandel-

brot) que expliquen perque ha despertat tantd’interes i mostren el potencial que s’amaga ala seva frontera.

Una breu biografia

Benoıt B. Mandelbrot va neixer a Polonia el20 de novembre de 1924 dins d’una famılia ju-eva que provenia de Lituania. La seva famıliatenia un fort accent cientıfic ja que la seva ma-re era fısica i el seu oncle, Szolem Mandelbrot,va ser un matematic significat que va fer car-rera a Parıs i que va influir forca, no semprede manera positiva, en la seva carrera. Nomesla data del seu naixement i la seva condicio dejueu a la Polonia dels anys trenta fa entreveureque la seva infancia no va ser pas un camı deroses. Quan tenia tretze anys, juntament ambla famılia, va anar a viure a Parıs i va entraral Lycee (secundaria francesa); pero quasi im-mediatament (la guerra acabava d’esclatar i elsjueus es temien el pitjor), la seva famılia es vadesplacar a un petit poble, Tulle, de l’interiorde Franca, on potser passarien mes desaperce-buts. Alla va seguir estudiant al Lycee, on vagaudir d’un nombros grup de bons professorsi matematics que fugien, igual que els seus, deles ciutats importants com Parıs atemorits pelsesdeveniments de la guerra.

Finalitzada la guerra, al voltant de 1944, vatornar a Parıs i, despres d’un any al Lycee deParc de Lyon, es va preparar per entrar o be al’Ecole Normale Superieure o a l’Ecole Polytech-

20

nique. Tot i que la seva preparacio en analisino era gaire solida, els seus bons coneixements(i una intuicio innata) de geometria li van per-metre passar els examens d’entrada per cursarels estudis a l’Ecole Normale Superieure, on eramolt difıcil accedir per la gran competitivitat.Malgrat tot, va decidir renunciar-hi i entrar al’Ecole Polytechnique. Segons ell mateix, la radi-calitat matematica de l’estil de Nicolas Bourbakiimperant a l’Ecole Normale Superieure (i en laqual el seu oncle era un destacat membre) el vafer desistir i anar a estudiar a l’Ecole Polytech-nique.

De l’any 1945 al 1947 va estudiar en aques-ta prestigiosa institucio, on va tenir professorstan rellevants com Gaston Julia que, casualment,acabaria donant nom a uns conjunts matematicsque ell mateix havia estudiat anys enrere, els(conjunts de Julia), i que estan fortament rela-cionats amb el conjunt de Mandelbrot. Tambeva coincidir amb Paul Levy, prominent analis-ta i probabilista. Finalitzat aquest perıode vapassar dos anys als EUA, al California Instituteof Techonology (CalTech), pero, tot i les bonesimpressions que en va treure, va decidir tornara Parıs per fer la tesi doctoral.

Va defensar la seva tesi doctoral l’any 1952sota el tıtol Games of Communication. Algunesfonts diuen que la tesi va ser sota la direccio dePaul Levy, pero ell mantenia que la va realit-zar sense cap direccio academica. La inspiraciocientıfica van ser dos llibres de gran impacteen aquell moment: Cybernetics (Norbert Wie-ner) i Theory of games and economic behaviour(Von Neumann i Morgenstern). Finalitzada latesi doctoral va tornar als EUA (aquesta vega-da a Princenton) convidat per Von Neumann,on va tenir els primers contactes amb les novestecnologies del moment (es a dir els primers or-dinadors) i va treballar en diversos camps sensecap lınia de recerca prioritaria.

El 1955 va retornar a Europa i es va casaramb Aliette Kagan. Tot i tenir la intencio d’a-nar a viure a Ginebra per col.laborar amb JeanPiaget, el van reclamar des de Franca (que enaquell moment vivia una gran expansio pel quefa a les seves universitats) per anar a treballarcom a professor de matematica aplicada a laUniversitat de Lille i tambe per anar a donarclasses a l’Ecole Polytechnique. No es va adap-tar (mai, podrıem dir) als interessos de recercadels matematics francesos i, despres de passar

l’estiu de 1958 a l’IBM Thomas J. Watson Rese-arch Center a Yorktown Hights (Nova York), vadecidir allargar l’estada un any. Aquest any esva allagar trenta-cinc anys mes fins que, el 1987,IBM va decidir eliminar el seu departament derecerca basica. Va visitar Barcelona diverses ve-gades: el 1987 va visitar el Museu de la Cienciai va quedar fascinat per la geometria gaudinia-na; el 1996 va donar una conferencia a l’IEC alworkshop Physics and Geometry organitzatper S. Xambo i D. Jou; el 2006 va parlar tambeal Cosmocaixa.

Finalment, l’any 1988 es va incorporar alDepartament de Matematiques de Yale, finsque es va retirar el 2005. Va morir a l’edat devuitanta-cinc anys a Cambridge, Massachusetts,d’un cancer de pancrees.

Podrıem dir que la consolidacio de B. Man-delbrot com a cientıfic de referencia va ser lapublicacio del llibre The fractal geometry of na-ture, l’any 1982. Aquest llibre es un compendi dedues de les seves grans obsessions com a cientıfic.Es d’una banda un llibre de divulgacio cientıfi-ca on el lector pot gaudir de la geometria fractalsense necessitat d’anar mes enlla, pero tambeposa de manifest que objectes amb una novageometria que havien estat observats de maneraindividual i inconnexa per economistes, fısics,enginyers o meteorolegs (l’any 1963 va coincidiramb Eduard Lorentz, poc despres que aquestpubliques sense gaire interes en la comunitatcientıfica del moment el treball sobre dinamicacaotica en sistemes determinıstics) segueixen unmateix patro i es poden entendre com un mateixobjecte matematic.

Els diagrames que s’havien observat en elmercat de valors, les series temporals, les tur-bulencies en mecanica de fluids, el perfil de lescostes dels continents, l’estructura de les fullesdels arbres, observacions cosmologiques, els cris-talls formats per l’aigua en estat de congelacioi tants altres fenomens naturals, eren tots elreflex, mantenia Mandelbrot, d’una nova geo-metria que es va anomenar geometria fractal.L’estudi sistematic de la matematica que en-volta aquests conceptes, en topologia, analisi,geometria o probabilitats, ha estat motiu del tre-ball intens d’una quantitat ingent de matematicsdurant els darrers trenta anys.

En aquest sentit, tota aquesta activitat derecerca al voltant del conjunt de Mandelbrot ide la geometria fractal ha anat molt mes enlla de

21

l’activitat del mateix B. Mandelbrot. Ell va sermes l’impulsor de la nova teoria que no pas partdels avencos que ha generat aquest estudi, peroningu pot negar que la seva participacio en totplegat ha estat decisiva.

La seva recerca i el conjuntde Mandelbrot

El treball de B. Mandelbrot, mes enlla del con-junt que porta el seu nom, es molt extens. Vapublicar mes de trenta llibres, i uns dos-centsarticles en revistes d’economia, finances, fısica,matematica, matematica aplicada, probabilitats,estadıstica, biologia, etc. I tambe va ser moltproductiu en la difusio de la ciencia en gene-ral i de la seva obsessio per la geometria enparticular.

Va rebre durant tota la seva vida una granquantitat de premis i reconeixements academics,tot i que ell sempre se’n va sentir una mica off-sider o incompres. Potser, per un caracter comel seu, mes aviat tibat, els reconeixements novan ser suficients i aixı ho verbalitzava sovint,la qual cosa no el va ajudar a fer amics. No esmenys cert, pero, que el seu perfil tan interdis-ciplinari no te un lloc facil en el mon cientıficactual.

Llegint algunes de les moltes entrevistes quese li van fer (tant en paper, com a la radio o tele-visio) hom veu en Benoıt Mandelbrot una certacontradiccio. Va ser un clar adversari d’una ma-tematica tancada en si mateixa a la Bourbaki(perdoneu la llicencia), i va defensar sempre unavisio global de la ciencia i de la matematica; peroal mateix temps sovint feia referencia explıcita alfet que algunes de les seves aportacions van ser

gracies al seu coneixement profund d’eines neta-ment abstractes mes properes a la matematicaque ell va criticar que no pas a altra cosa. Pot-ser podrıem aprendre de tot plegat que unaformacio solida i un compromıs cientıfic obertserien un bon equilibri. Nogensmenys, un altrematematic frances de la magnitud d’Adrien Do-uady, provinent d’aquesta tradicio bourbakiana,va ser un dels majors entesos en el conjunt deMandelbrot, i la seva publicacio Iteration despolynomes quadratiques complexes (juntamentamb J. Hubbard) l’any 1982 es sense dubte lareferencia classica mes important pel que fa alremarcable conjunt.

No es el nostre interes (i, molt probablement,estaria fora del nostre abast) fer un recull o unrepas exhaustiu de la seva obra. Ens centrarema donar una idea basica del conjunt que porta elseu nom: El conjunt de Mandelbrot. Incidental-ment, l’autoria d’aquest descobriment tampocesta exempta de polemica, possiblement mes acausa de l’actitud de Mandelbrot que no pas aun dubte real sobre la seva influencia, com potllegir-se en un entretingut article titulat Whodiscovered the Mandelbrot set? a la revistaScientific American a l’abril de 1990 (i que esva tornar a publicar l’any 2009).

Com ja hem dit B. Mandelbrot va ser alum-ne de Gaston Julia al Parıs de 1945, quan eraestudiant de l’Ecole Polytechnique. Gaston Ju-lia, i un altre matematic no gaire amic seu denom Evarist Fatou (i que tambe va donar nomals conjunts de Fatou), havien estudiat, en pa-raules del mateix Mandelbrot, conjunts (a Co S2) que es podien entendre com els puntsrepulsors dels iterats de funcions racionals a l’es-fera de Riemann, o posat a l’inreves, com elspunts atractors d’una funcio multivaluada dona-da pels iterats inversos. N’havien deduıt moltespropietats que feien pensar que aquests conjuntseren forca estranys, ja que estaven definits deforma negativa. Tecnicament, el conjunt de Ju-lia son els punts del pla on la famılia d’iterats,fn(z)n≥0, no es una famılia normal en z, en elsentit classic de Montel, i sembla ser que Man-delbrot deduıa d’aquesta definicio que aquestspunts no serien gaire interesants de mirar. Enqualsevol cas, en un primer intent, Mandelbrotva mirar de dibuixar-los, ajudat per l’ordinador,fent us de funcions racionals prou complicades,esperant aixı trobar coses interessants. Els re-sultats eren sorprenentment similars uns amb

22

els altres, pero no semblava facil trobar-ne unpatro global.

Aixı es que Mandelbrot (sense saber-ho, enaquell moment) va decidir dibuixar el conjuntde Mandelbrot. Va considerar la famılia de fun-cions holomorfes mes senzilla que li va venir alcap: Qµ(z) = z2 + µ, µ ∈ C. Era conegut ja delstreballs de Julia i Fatou que per a cada valordel parametre µ el conjunt del qual hem par-lat anteriorment (on la famılia d’iterats no esnormal o conjunt de Julia) pot nomes presentardues opcions: o be es un conjunt connex (enaquells temps la gent els deia drago per la sevasemblanca) o es un conjunt totalment disconnex(anomenat Fatou dust i actualment conjunt deCantor). Aquesta dicotomia correspon de formabijectiva al fet que l’orbita de z = 0 sigui fitadao escapi a l’infinit.

El conjunt de Mandelbrot M es defineix,doncs, com el conjunt de parametres µ del placomplex pels quals el conjunt de Julia corres-ponent no es un conjunt de Cantor sino que esconnex. Com deiem, aquesta definicio es equiva-lent a la seguent:

M = µ ∈ C | Qnµ(0) 9 ∞ .

Observem facilment que es un conjunt fitat (defet de modul menor que 2) ja que si agafem µgran es immediat veure que Qn

µ(0) → ∞, totespiralant en la direccio contraria a les agullesdel rellotge.

Si ara fem un enreixat d’un quadrat de Cde costat 4, per exemple, i pintem de negre elspunts (pıxels) pels quals l’orbita de z = 0 esfitada i de vermell els punts on l’orbita escapa,voila, s’obte el conjunt de Mandelbrot. Certa-ment el conjunt de Mandelbrot es un diagramade bifurcacio (no un pla dinamic on es mostrenles orbites dels punts com es el cas dels conjuntsde Julia). Pot pensar-se com un cataleg de con-junts de Julia, un de diferent per a cada valorde µ. La frontera de M correspon exactamental conjunt de polinomis que s’anomenen estruc-turalment inestables; es a dir, aquells en que lafamılia Qc experimenta bifurcacions.

Les propietats topologiques, aixı com moltsaltres aspectes del conjunt de Mandelbrot, hanfascinat matematics des del comencament fins

avui. El fet que la frontera de M tingui dimen-sio de Hausdorff igual a 2 es una mostra dela complexitat d’aquest conjunt. De fet, compassa sovint en els problemes matematics in-teressants, l’estudi del conjunt i de les sevespropietats connecta diferents arees de la ma-tematica, com podrien ser l’analisi complexa,els sistemes dinamics i la topologia, entre d’al-tres. Una mostra n’es el problema obert centralen aquesta teoria, la conjectura coneguda comMLC. Aquesta conjectura prediu que la fronte-ra de M es localment connexa. Pero aquestaafirmacio te multitud de consequencies i equi-valencies com podria ser, per exemple, que elspolinomis hiperbolics (els que son expansius en elseu conjunt de Julia) son densos al pla complex.

I voldrıem acabar amb una petita anecdota.En la seva primera publicacio sobre el conjuntde Mandelbrot, la que es va publicar a l’articleFractal aspects of the iteration of z 7→ λz(1−z)for complex λ and z. (R. H. G. Helleman (ed.).Annals of the New York Academy of Sciences,357 (1980): Nonlinear Dynamics, p. 249-259),i en la qual es mostrava la imatge del conjunt,l’autor va formular la conjectura que M no eraconnex. Aquesta conjectura es basava en el fetque la imatge (feta amb els mitjans de l’epoca)presentava unes petites illes negres desconnec-tades del cos principal del conjunt que feienpensar que efectivament es podia tractar d’unconjunt disconnex. En qualsevol cas, en l’ultimmoment abans de la seva aparicio, alguna per-sona responsable de la publicacio de l’article vapensar que aquelles illetes eren taques de tinta iva decidir esborrar-les perque la imatge quedesperfecta. Aixı es, doncs, com l’article presentauna conjectura sense cap fonament aparent quela sostingui, tot per un error d’impressio. Mesrocambolesc es encara que el mateix Mandelbroten veure les primeres imatges tambe va pensarque les illetes eren errors numerics, pero se’n vadesdir quan va veure que una de les taques eramassa grossa i estructurada per ser un error...Estava veient el mes gran dels mini-Mandelbrotsets corresponents a perıode 3.

Pero es indubtable que aquest article va obrirtot un mon de preguntes que a la vegada en vangenerar moltıssimes mes, en un arbre que, enca-ra avui, sembla no tenir fi.

Xavier Jarque, UB i URVNuria Fagella, UB

23

Noticiari

Pere Puig, nou director del Departament de Matematiques de la UAB

L’1 de setembre vaig tenir el privilegi de sernomenat director del Departament de Ma-tematiques per la rectora de la UAB. Es permi tot un repte ja que es tracta d’un departa-ment molt gran, gairebe cent trenta persones,amb dues titulacions propies de grau, una dobletitulacio i una gran carrega docent repartida pertot el campus. A mes, despres de la bona gestioduta a terme pel meu predecessor, L. Alseda,aquest carrec resulta un doble repte. L’equip di-rectiu que m’acompanyara en aquest viatge estaformat per J. Mateu, secretari; A. Cima, tercercicle, i S. Cuadrado, economia. Des d’ara, a totsells vull agrair-los la seva dedicacio i paciencia.Quan el mes de juliol el consell del departamentem va triar com a futur director, vaig comentarpublicament alguns dels temes que em preocupa-ven. Em centrare ara en alguns d’aquests temesque penso que poden ser d’interes comu.

Un d’aquests es l’anumerisme. Aquesta esuna paraula relativament nova (innumeracy)que segons alguns va ser introduıda per D. Hofs-tadter. Aquest terme es refereix a la inculturao ignorancia matematica en general, i tambe ala incapacitat d’entendre conceptes matematicssimples de la vida quotidiana. J. Allen Paulosva popularitzar aquest terme a traves del seubest-seller Innumeracy. Mathematical illiteracyand its consequences (1988). Existeix tambe unaversio en castella d’aquest llibre, El hombre anu-merico, i diversos llibres del mateix autor que,seguint en la mateixa lınia de denuncia humorıs-tica, han tingut bastant exit. Aquest es el cas,per exemple, d’Un matematico lee el periodico.

La meva preocupacio prove del fet que aquestanumerisme no nomes el percebem al carrer sinotambe en ambients universitaris. Per adonar-nos-en, nomes cal que ens fixem en els pro-grames dels nous graus universitaris que hanvist disminuıt notablement el seu contingut enmatematiques. I no nomes en matematiques,sino tambe en altres materies de fort contingutquantitatiu o numeric com es l’estadıstica o lademografia. Que esta passant? Em temo queaquesta tendencia cap a un cert anumerismeno es nomes un fenomen de les nostres latituds,en part potenciat per l’extraordinaria influencia

de certs metodes docents que premien l’escasesforc. Hi ha indicis que apunten cap a unaglobalitzacio d’aquest fenomen. Un exemple esla desapareguda seccio de jocs matematics dela revista Scientific American. Tots recordemaquesta emblematica seccio que durant moltsanys va portar magistralment Martin Gard-ner i que va ser continuada posteriorment perHofstadter i Stewart. El 2001 va desapareixerper sempre la seccio de jocs matematics, llavorsanomenada Mathematical recreations, de laversio americana del Scientific American.

Com es possible? Ha deixat de tenir interesper als lectors d’aquesta revista divulgativa deciencia en general, o es una cosa deguda sim-plement a la ineptitud dels editors? Per sort laversio en castella de la revista (Investigacion yCiencia) encara conserva la seccio de jocs ma-tematics, portada actualment per Agustın Rayo.Anteriorment, Juan M. R. Parrondo ens va co-mentar poc abans de deixar de ser el responsabled’aquesta seccio, que tan sols les versions en cas-tella i en frances (seccio anomenada Logique etCalcul, de Jean-Paul Delahaye) de la revistaconserven els jocs matematics. Pero malaura-dament aquestes dues versions que queden arason com una mena de cant del cigne dels jocsmatematics.

Un altre tema que em preocupa es la neces-sitat de difusio de les matematiques a amplissectors de la societat. Crec sincerament que lesmatematiques necessiten ser promocionades enl’ambit social i aquesta es tambe una manera decombatre l’anumerisme. Resulta patetic que unapersona famosa o un polıtic es guanyi les simpa-ties de la seva audiencia manifestant que quananava a l’escola suspenia les matematiques. D’al-tra banda, la gent del carrer te una idea moltdifusa i frequentment equivocada del que son lesmatematiques. Ah pero, es pot investigar en ma-tematiques? I que feu? Descobriu noves maneresper sumar o multiplicar nombres? Aquestes sonalgunes de les preguntes que m’han fet, quanexpliques a coneguts i amics que a la universi-tat no nomes ensenyes matematiques sino quetambe investigues.

24

Tinc la conviccio que en general la gent nos’interessa per les matematiques perque no per-ceben aquests coneixements com alguna cosautil per a la vida real. Es mes, moltes vegadesles matematiques es perceben com una dificultatafegida i innecessaria. El recentment mort direc-tor de cinema Luis Garcıa-Berlanga ho exposamolt divertidament en una de les escenes de laseva magistral pel.lıcula Calabuch. La mestra delpoble escriu a la pissarra un problema que diu:Jose tiene 12 plumas Parker, 4 le han requisa-do. Si de las que le quedan vende 3, ¿cuantasplumas le han quedado? El protagonista, queen realitat es un cientıfic d’alt nivell que estaamagat al poble, comenca a omplir de formulesel seu quadern per resoldre aquest problema.Mentrestant el seu company de pupitre, que

es gairebe analfabet, dona la resposta correctacomptant amb els dits. Al final Jorge, despresd’una bona estona, tambe dona la resposta cor-recta.

La difusio de les matematiques, tant pel quefa als coneixements com explicant-ne la utili-tat, es una tasca molt important pero sovintmenyspreada des dels ambits universitaris. Crecque entre tots podem fer molt si ens ho propo-sem. Per acabar citare una frase que m’agradamolt del llibre Innumercy d’en Paulos que ensha de fer pensar: Voste pot triar entre tenirunes certes nocions clares de matematica o notenir-les, pero ha de saber que si no les te, esvoste una persona molt mes manipulable que enel cas contrari.

Pere PuigDirector del Departament de Matematiques de la UAB

Els nous masters de Formacio de Professorat de Secundariaen Matematiques

El passat curs 2009-2010 fou el primer any de laimplantacio del Master de Formacio de Profes-sorat de Secundaria (FPS) a les universitats ca-talanes. Aquest master substitueix l’antic CAP(Curs d’Aptitud Pedagogica) i haver-lo cursati superat es a partir d’ara un requisit necessa-ri per a tots aquells que es vulguin dedicar al’ensenyament secundari, en qualsevol area oespecialitat.

En el cas concret de les matematiques,aquest master s’ofereix a la UPC, UAB, UBi UOC-UPF i els respectius responsables son elsprofessors Claudi Alsina, Jordi Deulofeu, VicencFont i Pelegrı Viader. Tot i tractar-se formal-ment de masters independents pertanyents a uni-versitats diferents, hem mantingut volgudament

molts contactes i hem intercanviat intervencionspersonals puntuals als diferents masters. Aixo haestat fruit del fet que considerem que el masteres un instrument clau per al futur de la for-macio de professors de secundaria a Catalunyai que esperem que, ben aviat, s’avanci cap acol.laboracions mes estretes i una oferta clara-ment interuniversitaria, amb unes practiquesmes reconegudes i amb un sistema d’acces mescompromes amb l’objectiu que els millors i mesben preparats siguin alhora els mes ben situatsper a accedir-hi.

A continuacio podeu llegir quatre ratlles so-bre el funcionament de cadascun d’aquests qua-tre masters.

C. Alsina, J. Deulofeu, V. Font i P. ViaderCoordinadors

25

El Master de Formacio de Professorat de Secundaria en Matematiques a la UB

Les directrius del tıtol de master que habili-ta per a l’exercici de la professio de professord’educacio secundaria estableixen que: 1) Laseva durada sigui de 60 credits ECTS (siste-ma europeu de transferencia i acumulacio decredits). 2) Les competencies es classifiquen engeneriques, especıfiques (matematiques i la sevadidactica en aquest cas) i les que es desenvolu-pen per mitja de la practica. 3) Els 60 credits esdistribueixen en tres moduls (generic, especıfici practicum). El pla d’estudis del master a laUniversitat de Barcelona esta estructurat en elsmoduls, materies i assignatures seguents quesumen un total de 60 credits:

Modul generic: 15 credits

• Aprenentatge i desenvolupament de la perso-nalitat.— Aprenentatge i desenvolupament de la per-sonalitat (5 credits).

• Processos i contextos educatius.— Context de l’educacio secundaria. Sistemes,models i estrategies (2,5 credits).— Tutoria i orientacio (2,5 credits).• Societat, famılia i educacio.

— Sociologia de l’educacio secundaria (5credits).

Modul especıfic: 25 credits

• Complements per a la formacio matematica.— Complements historics, metodologics i d’a-plicacio dels continguts de matematiques (7,5credits).— Taller de resolucio de problemes i modelit-zacio (2,5 credits).

• Aprenentatge i ensenyament de les ma-tematiques.— Didactica de les matematiques de l’ESO idel batxillerat (5 credits).— Recursos i materials educatius per a l’acti-vitat matematica (5 credits).— Competencies matematiques i avaluacio (2,5credits).

• Innovacio docent i iniciacio a la investigacioeducativa.— Innovacio i investigacio sobre la propiapractica (2,5 credits).

Modul de practicum: 20 credits

• Practicum en l’especialitat.— Practicum I (5 credits).— Practicum II (10 credits).• Treball fi de master.

— Treball de fi de master (5 credits).

El modul especıfic de matematiques i la sevadidactica recull, doncs, tres materies: comple-ments per a la formacio matematica, aprenentat-ge i ensenyament de les matematiques, innovaciodocent i iniciacio a la investigacio educativa.

La competencia professional dels futursprofessors de matematiques de secundaria espot considerar composta per dues macrocom-petencies: 1) la competencia matematica i 2) lacompetencia en analisi didactica de processosd’instruccio matematica, i el desenvolupamentd’aquesta segona competencia es l’objectiu prin-cipal del master. En el master tambe s’ha d’aju-dar a desenvolupar la competencia matematica,pero es pressuposa que aquesta competencia jas’ha desenvolupat, encara que no completament,en els estudis previs que acrediten els alumnesper al seu ingres en el master. La rao per pren-dre aquesta opcio es que la formacio inicial deprofessors de secundaria es sequencial: primer,formacio disciplinaria i, despres, formacio pro-fessionalitzadora.

En el master de la UB les assignatures dela materia de Complements per a la formaciomatematica s’han dissenyat des d’aquesta pers-pectiva i les assignatures programades tenen perobjectiu presentar uns continguts matematicsque complementin els que els futurs professorsvan aprendre en els seus estudis de grau. L’ob-jectiu es que els alumnes coneguin quines sonles aplicacions de les matematiques al mon real,quins van ser els problemes que van originarels objectes matematics que hauran d’ensenyar,que reflexionin sobre els principals processosmatematics, com son la resolucio de problemesi la modelitzacio, etc. En definitiva, unes ma-tematiques amb historia i relacionades amb elsseus contextos d’aplicacio.

A continuacio, es comenten dos aspectes, unde problematic i un altre de positiu, que enaquests moments s’observen en la realitzacio delmaster.

El primer fa referencia al suposit que les as-signatures de la materia de Complements per ala formacio matematica serveixen per comple-

26

mentar i no per substituir la necessaria formacioanterior que ha d’assegurar una competenciamatematica de base. Aquest suposit no s’ajus-ta amb la formacio previa que tenen les duesprimeres promocions d’alumnes de la UB. Enla primera nomes hi havia un alumne amb graude matematiques i en la segona tambe nomesn’hi ha un. En l’altre extrem tenim alumnes quehan cursat pocs credits de matematiques en elsestudis que els han permes accedir al master.Aquest desfasament entre el que es pressuposaque els alumnes saben de matematiques i el queels alumnes saben realment es, probablement,un dels problemes mes importants del masterde FPS i per al qual s’haura de buscar algunasolucio en les futures edicions.

El segon es que el disseny del master de pro-fessorat de secundaria comporta que s’hagi deformar un equip docent en el qual hi ha de par-ticipar professorat de: 1) pedagogia, psicologia isociologia, 2) matematiques, 3) didactica de lesmatematiques i 4) matematiques de secundariaen actiu. Es tracta d’un equip docent que, siarriba a funcionar realment com un equip, potproduir una sinergia important que pot assegu-rar una formacio de professors de matematiquesde secundaria de molta qualitat. Aconseguir laintegracio d’aquest equip es un repte importanti difıcil, pero l’experiencia que tenim a la Univer-sitat de Barcelona, del primer any d’imparticiodel master i del temps que portem del segon,ens fa ser optimistes en aquest aspecte.

Vicenc FontUB

El Master de Formacio de Professorat de Secundaria en Matematiques a la UAB.Inici d’un nou projecte i balanc del primer curs

El curs 2009-2010 s’ha iniciat a la UAB, comen altres tres universitats catalanes (UB, UPC iUPF) l’especialitat de matematiques del masterde secundaria, un master universitari presenci-al d’un curs de durada (60 ECTS), format pertres grans moduls: formacio psicopedagogica (15ECTS, comu a totes les especialitats), formacioespecıfica (27 ECTS, 15 de didactica i 12 decomplements de formacio disciplinaria) i practi-cum (18 ECTS, 12 de practiques d’ensenyamenti 6 del treball de fi de master), estructura de-terminada en gran part per les directrius delMinisteri d’Educacio de l’Estat espanyol.

Un total de vint-i-nou estudiants (procedentsde vuit titulacions: matematiques, enginyeria—telecomunicacions, informatica i industrial—,arquitectura, fısica, economia i ADE), han re-alitzat aquesta primera edicio del master a laUAB. Han impartit la docencia cinc professorsdel Departament de Didactica de les Matema-tiques (ensenyament, aprenentatge de les ma-tematiques, innovacio, seguiment de les prac-tiques i del treball de fi de master), dos delDepartament de Matematiques (complementsde formacio), quatre de pedagogia, psicologia isociologia, a mes de setze tutors de practiquespertanyents a dotze centres de secundaria, majo-ritariament de les comarques de Barcelona. En

aquesta breu ressenya, exposarem les principalscaracterıstiques del master i del que ha estat elprimer curs, centrant-nos en el seu desenvolu-pament i destacant els aspectes que considerempositius i aquells que haurien de millorar.

Disseny i organitzacio del master

El disseny del currıculum de formacio ha depossibilitar que els futurs professors tinguin unaprimera aproximacio a la professio, reconeguinles interrelacions entre els coneixements delsdiferents camps del saber que influeixen en laseva formacio, i al mateix temps puguin expe-rimentar com es pot incidir en la formacio del’alumnat de secundaria. Per aixo s’ha planifi-cat el currıculum pensant en les competenciesprofessionals que s’han de desenvolupar, queresumim en les tres seguents:

1) Ensenyar matematiques de manera que totsels alumnes, d’acord amb les seves capacitats,puguin aprendre sabers socialment i cultu-ralment rellevants, i els puguin aplicar a laseva vida personal, laboral i academica.

2) Orientar l’alumnat en la seva recerca perdefinir la seva personalitat, la seva manerad’aprendre i el seu futur.

3) Formar part d’un col.lectiu que col.labora enla definicio i aplicacio d’un projecte educatiu

27

de centre, juntament amb altres instituci-ons i grups relacionats amb l’exercici de laprofessio.

Ningu discuteix la importancia de les practi-ques als centres de secundaria, ni la necessitatd’impulsar una reflexio en l’accio que permetianalitzar, valorar i reorganitzar la intervencioeducativa, pero aixo requereix establir un procesdialectic entre teoria i practica, superant visionsdel practicum com a aplicacio de coneixementsteorics, pero tambe com a l’unic element validper a la formacio.

Per aixo, el disseny del master preveu cincfases, dues de les quals corresponen al practicum:la segona (observacio) i la quarta (intervencioacompanyada i autonoma), tractant d’integrarla formacio teorica i la practica, i donant lapossibilitat als estudiants de contrastar els ense-nyaments rebuts en els moduls academics ambla realitat de les aules de secundaria. En ladarrera de les fases es redacta el treball de fide master i es presenta davant d’un tribunal.Aquest treball, una de les novetats principalsdels nous masters, serveix per posar en comules competencies desenvolupades i verificar-nela seva adquisicio, i consisteix en una reflexioi aprofundiment sobre la unitat didactica rea-litzada en les practiques, des del punt de vistadel contingut, de les activitats d’aprenentatgedissenyades, de la seva gestio a l’aula i de laseva avaluacio.

El desenvolupament del primer curs: con-sideracions

El treball en el modul especıfic, que ocupa quasila meitat del master, s’ha centrat d’una bandaen una revisio dels grans conceptes i processosdel currıculum de matematiques de secundaria(ESO i batxillerat), en la lınia coneguda ambel nom de matematica elemental des d’un puntde vista superior, iniciada per F. Klein fa unsegle. De l’altra, el curs ha proporcionat einesdidactiques per ensenyar matematiques, a par-tir de l’analisi d’activitats per a l’aula i de l’estu-di de casos; tambe s’ha ocupat de la rellevanciaque per a nosaltres te la resolucio de problemes,entesa com una de les activitats centrals a l’aulade matematiques, aixı com del coneixement i lapractica de recursos per a l’ensenyament (ma-terials, textos, programari, recursos a la xarxa,etc.); tambe s’ha tractat el disseny i programa-

cio d’activitats i unitats didactiques, tant per al’ESO com per al batxillerat, amb una atencioespecial al paper del context i del llenguatge enl’ensenyament de les matematiques.

Al llarg del curs hem comptat amb la valuosaparticipacio de diversos professors: visitants deDepartaments de Didactica de les Matematiques(A. Arcavi, Israel; M. Doorman i K. Gravemei-jer, Holanda), professors dels altres masters desecundaria de Catalunya (C. Alsina, A. Auba-nell i P. Viader) i professors tutors de secundaria(A. Cirera, P. Cobo i X. Vilella). Tots ells hanaportat la seva visio com a experts ja sigui enl’ambit de la recerca, del desenvolupament curri-cular o de la gestio de la classe de matematiques.

El primer curs ha mostrat aspectes positiusi altres que s’han de millorar. A partir de lesvaloracions tant de professors com d’estudiantspodem concloure que l’estructura temporal delmaster es adequada, encara que una mica massacomprimida (1.500 hores de treball global delsestudiants exigeixen una elevada dedicacio); caldistribuir millor el temps per evitar moments enels quals els estudiants tenen exces de treballs.Una estructura com la nostra exigeix un alt ni-vell d’organitzacio i de coordinacio entre el pro-fessorat, especialment en l’avaluacio, si realmentvolem desenvolupar i avaluar competencies pro-fessionals. Tanmateix, els estudiants han valoratpositivament tant les practiques professionalscom els moduls academics, pero han estat crıticsamb l’exces de tasques d’avaluacio que els hasuposat la realitzacio del master.

Globalment, podem afirmar que el master elsha proporcionat un primer contacte amb la pro-fessio d’ensenyant de matematiques, mostrant-los l’interes i alhora la dificultat del que significaavui ensenyar-les. Cal tenir present, pero, queuna formacio inicial com aquesta es, com el seunom indica, tan sols el primer pas i que tots elsque ens dediquem a l’ensenyament de les ma-tematiques sabem que la formacio permanenten tots els ambits relacionats amb la professio esindispensable. Tambe hem tractat de transmetreaquesta visio als nostres estudiants, alguns delsquals estan continuant aquest curs 2010-2011la seva formacio en el camp de la recerca endidactica de les matematiques.

Sens dubte, el master representa un pas enda-vant en la formacio del professorat de secundariarespecte a la formacio anterior, tant quantitati-vament com qualitativa. Avui podem assegurar

28

que, per primera vegada al nostre paıs, tenimuna formacio inicial de caracter professionalitza-dor que complementa la formacio disciplinaria,imprescindible pero no suficient, del grau. Unavegada definida l’estructura i iniciat el nou mo-

del de formacio, aconseguir que aquesta es con-solidi i tingui la maxima qualitat es el repteque tenim tots aquells que creiem que una bonaformacio del professorat es un dels principalsindicadors per millorar l’educacio.

Jordi Deulofeu PiquetUAB

El Master de Formacio de Professorat de Secundaria en Matematiques a la UPC

La Universitat Politecnica de Catalunya haconfiat al seu Institut de Ciencies de l’Edu-cacio (ICE) l’oferta dels tres masters de Ma-tematiques, Formacio Professional i Tecnologia.En el cas de Matematiques es dediquen 28 ECTSa la formacio didactica essencial estrictamentlligada a l’activitat docent, estrategies, bonespractiques, innovacions, practica reflexiva, etc.Es considera essencial el practicum a centres desecundaria i la formacio psicopedagogica, que enel cas de la UPC ha comportat la contractaciodirecta de gent en actiu en aquest camp que potaportar una visio molt concreta de la situacioactual.

El bloc de matematiques va ser dissenyatper Claudi Alsina, Iolanda Guevara i DamiaSabate, i inclou els apartats seguents:

1) Matematiques del segle xxi per a secundaria(7 ECTS) te com a continguts el currıculumde matematiques a l’ESO i al batxillerat; ele-ments d’historia de les matematiques per asecundaria i complements formatius sobreles matematiques de secundaria.

2) Ensenyament i aprenentatge de les matema-tiques a secundaria I (7 ECTS) versa sobrela didactica de: espai i forma; estadıstica iprobabilitat, i canvi, relacions i mesura.

3) Ensenyament i aprenentatge de les matema-tiques a secundaria II (8 ECTS) versa sobrela didactica de: calcul i nombres; resoluciode problemes; modelitzacio i aplicacions, icompetencies i avaluacio.

4) Innovacio docent i iniciacio a la recerca enl’ambit de l’educacio matematica (6 ECTS)

versa sobre la practica reflexiva; la recerca apartir d’experiencies d’aula, i les tendenciesinternacionals en innovacio i recerca.

En l’ambit de professorat hom compta ambprofessorat de secundaria (I. Guevara i Ll. Ro-sello) i de la UPC (C. Alsina, J. L. Dıaz-Barrero,J. Gomez, P. Grima i M. R. Massa). Tambees programen conferencies convidades o de col-laboracio amb els altres masters (A. Aubanell,J. Deulofeu, P. Viader, A. Goma, D. Sabater...).

S’han involucrat tambe molts matematics dela UPC per tutoritzar alumnes, per dirigir ca-dascun dels tres treballs de fi de master i per ferles comissions que jutgen aquests treballs. Enel practicum es compta amb professorat de ma-tematiques de secundaria d’arreu de Catalunya.

Les classes teoriques tenen lloc a l’ICE ia la Facultat de Matematiques i Estadıstica(FME) de la UPC i els alumnes opten per la viarapida (1 curs) o la via lenta (2 cursos). Quanta l’avaluacio tots els processos son d’avaluaciocontinuada.

Amb quaranta-vuit alumnes el 2009-2010 itrenta el 2010-2011, s’ha aconseguit restringirl’oferta a un sol grup i tots els alumnes son deprimera opcio i de molt diverses formacions uni-versitaries (entre les quals d’estaquen enginyers,arquitectes, economistes, etc.), molts amb ex-periencies professionals amplies pero amb unamarcada vocacio per a ser professors/res de ma-tematiques.

Creiem que la formacio inicial es molt impor-tant i que cal oferir-la amb la maxima qualitati molt focalitzada a formar practicament bonsprofessors de matematiques.

Claudi AlsinaCoordinador Bloc Matematiques Master UPC

29

Master de Formacio del Professorat de Secundaria UPF-UOC.Experiencia del primer any de matematiques, 2009-2010

Estructura del master

Ens hem inclinat per una estructura molt obertaamb grans moduls mes que en assignatures ato-mitzades. En aixo, hem seguit les recomanacionsde l’Agencia Nacional d’Avaluacio de la Quali-tat i Acreditacio (ANECA) alhora que ens hapermes un disseny mes flexible del currıculum.

De la part del modul generic (15 credits) sen’ha encarregat la UOC a traves de tres assig-natures. Aquestes assignatures son de caractertrimestral pero la manca de temps ha fet quees fessin sense solucio de continuıtat i amb unaforta carrega de treball per part de l’alumne.

Quant a la part de didactica (25 credits),l’hem organitzada en tres moduls:

1) Complements de formacio curricular (5 cre-dits). En aquest modul hem treballat: his-toria dels principals conceptes matematics idescripcio dels currıculums d’ESO i de bat-xillerat.

2) Innovacio docent i introduccio a la metodo-logia de la investigacio didactica (5 credits).Aquesta part ha consistit en: introduccio alsrecursos TIC de les matematiques de l’ESO idel batxillerat (GeoGebra, full de calcul coma eina didactica, calculadora Wiris, Mood-le...), metodologia de l’avaluacio, introduccioa la investigacio en didactica de les matema-tiques, i practica reflexiva.

3) Aprenentatge i ensenyament de les matema-tiques (15 credits). Aquı hem treballat direc-tament la didactica de les diferents branquesde les matematiques que es desenvolupen enl’ESO i el batxillerat: aritmetica, geometria,estadıstica i probabilitat, i analisi.

El practicum (20 credits. Inclou 6 credits del

Treball de Final de Master, TFM)

El model de practicum pel qual hem optat teles caracterıstiques seguents:

1) Una durada extensa, de l’ordre de 200-240hores.

2) Simultaneıtat en el temps amb els modulsteorics: les classes presencials corresponentsa la part de didactica de les matematiquess’imparteixen durant la tarda, i els alumnesfan les practiques en horari de matı.

3) Els coordinadors del practicum dels centres iels mentors (nom que donem als tutors delcentre) tenen consideracio de professors delmaster. Aixo ens permet una millor integra-cio dins el projecte docent que es tradueix en:

a) Els mentors imparteixen alguna de les ses-sions teoriques a la Universitat basant-seen la seva experiencia docent.

b) Els coordinadors de centre, al seu torn,tambe poden participar, si aixı ho desit-gen, en un seminari permanent que anome-nem Els dilluns del master, dirigits alsalumnes de totes les especialitats i obertsa tota la comunitat docent.

c) Els mentors formen part del tribunal exa-minador del Treball Final de Master delsseus tutorands i, alhora, son avaluadorsexterns del TFM d’altres estudiants.

4) El TFM es avaluat de manera publica per untribunal format pel mentor de l’alumne, eltutor universitari del practicum de l’alumnei un tercer professor del master.

Aquest model de practicum te les con-sequencies immediates seguents:• La simultaneıtat dels moduls teorics amb lespractiques permet una bona retroaccio entre elsconeixements teorics i l’experiencia diaria delcentre.• El fet que la gran majoria del professoratde l’especialitat siguin professors de secundariaamb una gran experiencia docent i, alhora, unbon domini de les matematiques, fa que els co-neixements que es posen a l’abast de l’alumnesiguin els idonis per a la seva formacio com afutur professional de l’ensenyament.• La participacio dels mateixos mentors i coor-dinadors en la formacio dels futurs professionalsincideix en la seva formacio en el mateix sen-tit assenyalat en el punt anterior, amb efectesmultiplicadors.

Coses per millorar

• L’avaluacio per competencies i, en concret,l’avaluacio del practicum , ha estat una dificul-tat del primer curs del Master. Aixo es a causade diversos factors:

— una preparacio insuficient del nostre esque-ma d’avaluacio;

30

— el fet que molts mentors hagin estat forma-dors per primera vegada;

— i per ultim, com un factor mes alarmant,la diversitat de preparacio matematica delsnostres alumnes, de la qual parlarem unamica mes avall.

• L’assignacio de l’alumnat a una o una altrauniversitat, que s’ha fet de manera centralit-zada en tot l’ambit de Catalunya a traves del’Oficina de Preinscripcio Universitaria prenentcom a unic criteri la nota mitjana de l’expedientde la llicenciatura. Aixo ha tingut dos efectesimmediats:

a) El primer, clarament pervers, sobre l’accesdels estudiants mes capacitats, perque la notamitjana dels llicenciats en matematiques o enfısiques es inferior a la dels llicenciats en, perexemple, ADE.

b) El descobriment de les escasses competenciesmatematiques de molts dels nostres alumnesens ha obligat a improvisar classes de matema-tiques que, com que estaven fora de programai, en consequencia, no estaven subjectes a ava-luacio, han tingut un efecte limitat, encaraque positiu.

Davant d’aquesta situacio, des de la UPF-UOC, advoquem per l’establiment d’una provad’acces, unica per a tot Catalunya, que permetiordenar els alumnes de l’especialitat de matema-tiques amb un criteri que no sigui la qualificaciomitjana de la carrera. En l’elaboracio d’aquestaprova, hi haurien de participar totes les universi-tats del territori que imparteixen l’especialitat itots els alumnes, independentment de la seva ti-tulacio d’acces al Master, haurien de realitzar-la.

Una prova aixı tindria, com a mınim, dosefectes:• Un de dissuasiu per a aquells estudiants ambuna titulacio no gaire adient (diferent de ma-tematiques i fısica) i que, en aquests moments,entren en l’especialitat de matematiques perquela seva especialitat desitjada es cursa en alguncentre allunyat (cas de l’especialitat d’economiaque nomes s’ofereix a la Universitat Rovira iVirgili de Tarragona).• Un altre seria la creacio de cursos preparatorisper a la prova dirigits als que realment desitgenser professors de matematiques i no se sentenprou segurs en els seus coneixements basics.

Pelegrı ViaderCoordinador del Master

Joint CRG-CRM Meeting on Mathematics in Genomicsand Systems Biology

El 22 d’octubre de 2010 tingue lloc el JointCRG-CRM Meeting on Mathematics in Geno-mics and Systems Biology, organitzat pel Centrede Regulacio Genomica (CRG) i el Centre deRecerca Matematica (CRM), amb el suport delsrespectius projectes del Programa ConsoliderIngenio. La trobada tingue lloc al Parc deRecerca Biomedica de Barcelona (PRBB).

L’objectiu principal i original de la troba-da, promoguda per J. Bruna (CRM) i R. Guigo(CRG), era posar en contacte directe dues comu-nitats cientıfiques, els biolegs i els matematics.Son multiples i creixents les interfıcies entre ma-tematiques i biologia, i amb ciencies de la salutmes generalment, genomica, biologia de siste-mes, epidemiologia, neurociencia, dinamica depoblacions, farmacologia, visio per computador,robotica, etc. Es prou coneguda la cita de J. E.Cohen Mathematics is biology’s next micros-

cope, only better; biology is mathematics’ nextphysics, only better. En els darrers anys s’haconformat el terme de biomatematica, que al-guns prefereixen anomenar biologia quantitativa.En resposta a aquesta dinamica, la majoria delsinstituts de recerca en matematiques arreu delmon han posat o estan posant en marxa equipsde recerca en biomatematiques. El CRM es und’aquests instituts, i despres d’una crida compe-titiva, ha posat en marxa un equip de recercaen biomatematiques liderat pel doctor TomasAlarcon. D’altra banda, son ja uns quants elsinvestigadors en matematiques a Catalunya queen els darrers anys s’han implicat en projectesde recerca compartits amb experimentalistes delcamp de la biologia.

Tematicament la trobada es va centrar, na-turalment, en els temes d’interes dels investiga-dors en biologia del PRBB. L’us de tecniques

31

computacionals i estadıstiques per a gestionar,analitzar i extreure informacio d’interes en bi-ologia de grans bases de dades —ambit que esconeix genericament com a bioinformatica— fouevidentment present en algunes de les presenta-cions. Molt significativament per als matematics,la trobada va servir per a copsar que hi ha tambenecessitats de modelitzacio matematica d’un al-tre caire i molt terreny per explorar. A tıtold’exemple, el desenvolupament de models ma-tematics que permetin tractar simultaniamentfenomens en sistemes multiescala, on hi convi-uen agents a escales d’interes molt diferents, fouquelcom que va apareixer en mes d’una ocasio.Pero tambe, en la lınia computacional, la neces-sitat d’implementar altres algorismes basats enuna modelitzacio previa de l’estructura ocultad’aquests grans volums de dades. Els investiga-dors participants foren d’una banda una ampliarepresentacio dels caps de lınia del CRG, ma-tematics del CRM i de les universitats catalanes,i tambe una bona part de fısics que treballen ensistemes complexos i biofısica.

El programa d’activitats va constar de duesconferencies invitades, d’una serie de presenta-cions curtes i d’una taula rodona de cloenda.

Les conferencies invitades van ser: Gene-tic tools for studying the anatomy and functi-on of the drosophila nervous system, imparti-da pel doctor Gerald Rubin, director de Jane-lia Farm Research Campus, i The analysis ofnon-pathogenic SIV infection in natural hostsexemplifies the need for new mathematical geno-me representations, a carrec del doctor ArndBenecke de l’Institut des Hautes Etudes Scienti-fiques (IHES) de Parıs.

Les presentacions van ser les seguents:• Design of biological systems, L. Serrano(CRG).• Gene function and evolution, G. G. Tarta-glia (CRG).• Integrative modeling of biological systems,T. Alarcon (CRM).• Sensory systems and behavior, Y. Jaeger(CRG).• Bioinformatics and genomics, R. Guigo(CRG).• On population models of the interactionbetween bacteria and their bacteriophages, A.Calsina (UAB).• Functional genomics, R. Castelo (Grup deRecerca en Informatica Biomedica, GRIB).

• Metagenomics, G. Valiente (CRG).• Algebraic tools in phylogenetics, M. Casa-nellas (UPC).• Alternative splicing, J. Valcarcel (CRG).• Metazoan systems, B. Lehner (CRG).• Network analysis for biological systems, F.Comellas (UPC).• Comparative bioinformatics, C. Notredame(CRG).• Sensory cell biology and organogenesis, H.Lopez-Schier (CRG).• Modularity and steady states of signalingpathways, E. Feliu (UB).• Gene network engineering, M. Isalan(CRG).• Neuroscience through dynamical systems,A. Guillamon (UPC).• Sensory systems and behaviour, M. Louis(CRG).• Modules and statistical models of complexbiological networks, R. Guimera (URV).• Non parametric hidden Markovmodels withapplications in copy number variation, O. Pa-paspiliopoulos (UPF).

En la taula rodona de cloenda s’acorda enprimer lloc, i per tal d’afavorir futures col.labo-racions, organitzar una pagina web amb lesadreces de contacte de tots els participantsi totes les presentacions: http://big.crg.cat/maths genomics systemsbiology.

Tambe es discutiren accions concretes queincentivin sinergies entre els col.lectius presents.Entre les idees aportades que el CRM i el CRGpodrien canalitzar destaquem les seguents:• En l’ambit de projectes de final de mas-ter, investigadors del CRG podrien suggerirmitjancant el web projectes per a estudiantsde matematiques, en la lınia de la convo-catoria del CRM (http://www.crm.cat/CALLS/Beca treball 2010.pdf).• En l’ambit de formacio doctoral, organitzarcada any una trobada adrecada a estudiants delperıode docent dels programes de doctorat dematematiques per presentar projectes de tesid’interes per al CRG i susceptibles de ser codi-rigits per matematics.• Finalment, en l’ambit institucional va sorgirla idea de crear en el si de l’IEC una seccio con-junta de la Societat Catalana de Biologia i dela SCM amb el nom de Biologia matematicai computacional, idea que es fara arribar alsrespectius presidents.

32

Els GEMT2010

Els Grups d’Estudi de Matematica i Tecnologiad’aquest any (GEMT2010) es van celebrar el 6,7 i 8 de juliol de 2010. Els organitzadors vanser: Aureli Alabert, Tim Myers i Jordi Saludes.Hi van assistir una trentena d’investigadors, lamajoria dels quals podeu veure en la fotografiaque acompanya aquest escrit. L’estructura vaser la mateixa dels altres anys: tres problemes,presentats al matı del primer dia, i tres grupsque hi treballen durant tres dies.

Tambe hi ha hagut alguns canvis, que noson pas de fons pero que marquen algunes direc-cions interessants, principalment perque obrenaquesta activitat a nous grups de participants imostren tambe que els canvis son possibles i queno hem de conformar-nos amb fer el mateix anyrere any. El primer canvi esta en el nom: aquestany el nom oficial ha estat GEMT2010/78thESGI, perque els nostres grups d’estudi han en-trat a formar part de la llista dels anomenatsEuropean Study Groups with Industry. Aixoha obert la participacio a diversos investigadorsestrangers, principalment del Regne Unit, ques’han interessat pels problemes que havıem plan-tejat. Aquesta participacio ha fet que l’idiomapredominant en les presentacions i en les dis-cussions hagi estat l’angles. Aixo sens dubtetambe ha marcat una diferencia respecte alsanys anteriors.

L’altre canvi ha estat en el lloc de realitzacio.Aquest any s’han fet al CRM, al campus de Be-llaterra. Des del punt de vista de l’organitzacioaixo ha estat forca important, perque l’expe-riencia del CRM en l’organitzacio de trobadesinternacionals ha representat una bona ajudaper al comite organitzador, pero tambe perqueha posat de manifest que no hi ha hagut pasfalta de participacio pel fet que no es fessin a laUPC, lloc on s’havien fet fins ara.

Aquesta darrera reflexio ens porta a un puntque ha estat discutit diverses vegades, i que pro-bablement mereixeria ser tornat a consideraren el futur. En general, els Grups d’Estudi ques’organitzen a tot el mon tenen una universitato un centre de recerca que els acull, pero la granmajoria dels participants no pertanyen pas aaquesta universitat. Aixo fa que durant els diesque dura l’activitat els participants resideixinjunts i fora del seu ambient de treball habitual,cosa que afavoreix una dedicacio molt intensa

a la solucio dels problemes i alhora facilita elscontactes personals, que moltes vegades son l’o-rigen de posteriors col.laboracions cientıfiques.Com diem, aquest es un tema de debat, i queno te una solucio facil: si be son certes les ra-ons que hem donat per a fer els Grups d’Estudien un marc allunyat de l’activitat quotidiana,tambe es cert que aixo encareix enormement elseu pressupost d’organitzacio.

Els problemes

El primer problema es titulava Mesures de lapressio sanguınia i va ser presentat per V. Ri-bas, de l’empresa Sabirmedical. Aquesta empre-sa es dedica a la fabricacio i comercialitzacio dediversos aparells medics i esta treballant en laproduccio d’un aparell de monitoratge continude la pressio sanguınia, amb la finalitat de po-der ser usat en un medi hospitalari, i que tinguicaracter no invasiu i una completa fiabilitat. Leseines actualment utilitzades, per a les quals esbusca alternativa, son el cateter intravenos i elclassic esfigmomanometre. Aquesta empresa jate una llarga experiencia en mesures no inva-sives d’altres magnituds corporals, com la delnivell d’oxigen a la sang, i totes les experienciessemblen indicar que a partir de les mesures d’a-questes altres coses s’hauria de poder deduir lade la pressio sanguınia.

L’empresa ja ha treballat amb metodes es-tadıstics basats en correlacio, amb resultats ini-cials acceptables pero de moment no totalmentsuficients. I es dirigia als GEMT2010 amb laintencio de buscar nous camins, basats en la mo-delitzacio matematica. Els models actuals peral sistema circulatori es basen principalment enequacions diferencials amb retard en el temps, ies pensa que una comprensio mes gran d’aquestsmodels i de les seves variants hauria d’ajudar acomprendre la relacio entre la pressio sanguıniai les altres variables que ja es poden mesurar demanera comoda i no invasiva. Els participantsvan familiaritzar-se amb aquests models i vanfer un conjunt de suggeriments en la direccioque interessa a l’empresa.

El segon problema fou la Prevencio de riua-des al riu Ebre, presentat per J. Quevedo, delgrup de recerca Sistemes Avancats de Control dela UPC. Per a evitar riuades en les parts baixes

33

del curs del riu, es preveu seleccionar un conjuntd’arees al costat del llit del riu en les parts mesaltes que puguin ser inundables, sota control, encas de cabals molt grans i previsio d’avingudes.Aquestes arees actuarien de diposits i estarienseparades del curs del riu per comportes, ambles quals es realitzaria el control desitjat. Na-

turalment, en una primera fase aquestes areesquedarien inundades, pero posteriorment l’aiguaembassada hauria de tornar al riu, entre altrescoses per deixar buida de nou l’area inundadaperque fos susceptible de tornar-se a inundar,fins i tot potser al cap de poc temps.

Grup de participants.

El problema, doncs, seria determinar el pro-grama de les sequencies i dels temps necessarisper a l’embassament i desembassament, adaptata cada situacio inicial, que pot ser molt dife-rent en cas que l’avinguda tingui el seu origenen un afluent o un altre. En aquest problema,que involucra tambe problemes de representa-cio del terreny i de mecanica de fluids, tambevan obtenir-se alguns resultats preliminars quepoden ser d’utilitat.

El darrer problema va se presentat perE. Foch, de Cisco Systems, i es titulava Consu-micio d’ample de banda i models de facturacio.Es tracta d’un problema comercial, en el qual esvoldrien decidir bones polıtiques de tarifes per

part dels proveıdors d’Internet, que tinguin encompte els estalvis grans en l’ample de bandaque es poden produir quan els pics de demandaper part de clients diferents succeeixen en horesdel dia o dies de la setmana diferents.

Els sistemes actuals de facturacio, que adme-ten dues modalitats anomenades respectivamentfacturacio per volum i per percentil, no estansuficientment estudiats com perque els clientsi els proveıdors puguin guiar-se per una logicaprecisa al moment d’elegir entre un dels dos sis-temes. Els investigadors dels GEMT tambe vanfamiliaritzar-se amb el problema i van iniciarl’estudi d’algun dels fenomens associats als dossistemes de facturacio.

Joan de Sola-MoralesUPC

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB durant la tardor 2010

La Facultat de Matematiques de la UB va inau-gurar el curs 2010-2011 el 22 de setembre ambla conferencia del doctor Ignasi Mundet titula-da Progressions aritmetiques de tots colors.Mundet ens va introduir al mon de les progres-sions aritmetiques i la coloracio d’aquestes, finsa arribar a mostrar-nos el celebrat teorema deGreen-Tao, el qual estableix l’existencia de pro-

gressions aritmetiques de nombres primers ar-bitrariament llargues. Com en altres ocasionsl’escrit d’aquesta conferencia es podra llegir enel Butlletı de la SCM. En el mateix acte, esva lliurar el Premi August Palanques a CarlosDomingo Salazar, l’estudiant amb el millor expe-dient academic de primer cicle de l’ensenyamentde matematiques del curs 2009-2010.

34

L’exposicio Experiencies matematiques,orgnitzada per l’Associacio per a Promoure iCrear un Museu de Matematiques a Catalu-nya i patrocinada per la Facultat, ha estat alvestıbul de l’edifici historic del 18 d’octubre al9 de novembre. Aquesta exposicio consta d’unconjunt de moduls que posen de manifest as-pectes intuıtius i visuals de les matematiques ique conviden a la participacio i a la interaccio.L’exposicio ha estat visitada per multitud d’es-coles i particulars, que han pogut gaudir de lesexplicacions fetes per monitors.

Les mol.lecules d’ADN cıclic en el nucli de lescel.lules tenen forma de nus.

Dins del marc de col.laboracio amb els profes-sors de l’ensenyament secundari, han continuatles diverses activitats que ja fa anys porta aterme la Facultat. Aixı, el 3 i 10 de novembreva tenir lloc la xerrada-taller per a alumnes debatxillerat Nusos, enllacos i trenes, impar-tida pel doctor Carles Casacuberta, a la qualvan assistir un total de set-cents cinquanta-cincalumnes de vint-i-nou centres de Catalunya. Ala xerrada vam entendre les dificultats que pre-senta el problema de la classificacio de nusos iles seves aplicacions. Al taller vam aprendre afer i desfer diferents tipus de nusos, inclosos elsde corbata, i vam poder veure si eren equivalentso no.

El semestre de primavera, i concretamentels dies 19 i 26 de gener, va tenir lloc la xerrada-taller 1 + 1 > 2 programant formigues acarrec de la doctora Maite Lopez, on vam apren-dre com en els sistemes complexos, les accionssimples dels individus en combinar-se podenproduir efectes sofisticats. Les inscripcions pera les xerrades-taller es fan durant el mes desetembre. Si esteu interessats a rebre informa-cio ho podeu sol.licitar per correu electronic asecundaria@maia.ub.es.

Com cada any, des de la Facultat hem con-tinuat donant suport als treballs de recerca enmatematiques, posant en contacte els nostresalumnes i professors amb els alumnes i tutorsde batxillerat que ho han demanat. Tornarem acomencar aquesta activitat durant els primersmesos de 2011.

L’edicio d’enguany de la Matefest/Infofest,la nostra particular festa de les matematiquesi la informatica, tindra lloc el matı del 4 de maig.Aquesta festa singular l’organitzen els alumnesde la Facultat i esta adrecada als alumnes desegon cicle d’ESO i tambe de batxillerat. Enaquesta jornada, podem experimentar amb lesdiverses vessants de les matematiques i de lainformatica, en les paradetes i estands repartitsper tot l’edifici historic de la UB. Al llarg delmatı tambe es podra assistir a conferencies itallers.

Trobareu informacio sobre aquestes altresactivitats (jornada de portes obertes, tallersd’intel.ligencia artificial, trobada anual de pro-fessors de secundaria, etc.) a la pagina web dela Facultat, a www.mat.ub.edu.

I per finalitzar us fem saber que la Facultatha enregistrat un petit reportatge sobre les sor-tides professionals de les matematiques. Aquestvıdeo recull el testimoni de diversos matematicsque treballen en diferents camps com institutsde recerca, empreses de consultoria, ensenya-ment, etc. Us convidem a veure aquest vıdeo(i el seu paral.lel per als estudis d’informatica)a la web de la Facultat, dins l’apartat FutursEstudiants – Informacio d’interes.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

35

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UAB durant la tardor 2010

El Departament de Matematiques de la UABsegueix organitzant activitats amb l’objectiud’apropar les matematiques a la societat i, espe-cialment, als joves que estan cursant els estudisde secundaria, i d’impulsar la col.laboracio ambels seus professors.

Des de fa uns anys, el Departament acull es-tudiants de primer de batxillerat dins del progra-ma Estades de batxillerat, coordinat dins delPrograma Argo de la UAB. Les estades oferidesper la UAB, i que els estudiants poden escollirde manera optativa dins dels seus estudis de bat-xillerat, donen l’oportunitat de coneixer de propel mon universitari i l’oferta d’estudis que podenseguir en un futur. A mes, ofereixen la possibili-tat d’iniciar el treball de recerca com a continua-cio d’un tema tractat durant l’estada i comptaralhora amb l’assessorament del professorat delDepartament.

Durant tres setmanes de juliol de 2010 ungrup de cinc estudiants van participar en aques-tes estades sota la coordinacio de N. Castellana.L’objectiu va ser l’elaboracio d’un dossier dematerial didactic sobre questions matematiques;van tocar temes diversos com teoria de grafs,geometria i teoria de jocs. Tambe es van disse-nyar un conjunt d’activitats, amb el material ijustificacions matematiques corresponents. Des-pres de l’experiencia, certament positiva, dosdels participants van decidir seguir i centrar elseu treball de recerca en un dels temes tractats.

Destaquem tambe les sessions per a la pre-paracio de les proves Cangur i de les OlimpıadesMatematiques que actualment s’estan organit-zant des del Departament de Matematiques. Lessessions de preparacio de les Olimpıades, queestan coordinades per J. J. Carmona, no son solsd’utilitat per a la preparacio d’aquestes provessino que tambe donen l’oportunitat d’introduirels alumnes en l’estudi de tipus de problemesmolt rics i que els ajudaran en el bon desenvo-lupament de la seva activitat matematica. Lessessions de preparacio de les proves Cangur,coordinades per J. Gascon, reuneixen un bongrup d’estudiants de l’ESO de diversos instituts.Els nois i noies son guiats en la resolucio de

problemes i, en particular, dels tipus que apa-reixen en les proves Cangur. Si esteu interessatsa participar en aquestes sessions podeu posar-vos en contacte a traves de l’adreca secundaria@mat.uab.cat.

No podem oblidar la cita anual amb els Dis-sabtes de les matematiques, que es fan durantla primavera. Un any mes, aquestes jornadesorganitzades pel Departament de Matematiqueses duen a terme els dissabtes al matı. Durant elmatı els participants gaudeixen d’una xerrada di-vulgativa, un petit esmorzar i un taller-concurson estan convidats a practicar, experimentar icontrastar el que previament se’ls hagi introduıttant amb jocs com amb endevinalles i concur-sos. Aquest any l’organitzacio es a carrec deJ. M. Mondelo. Seguint amb la tradicio iniciadaen l’edicio de 2010, s’ha fet un Dissabte de lesmatematiques conjuntament amb el Departa-ment de Fısica amb motiu de la doble titulaciode matematiques i fısica que ofereix la UAB.La inauguracio va ser el 5 de marc a la salad’actes del Rectorat i es van impartir dues xer-rades. J. Gonzalez va parlar del principi d’econo-mia en la natura amb la xerrada De princesesfenıcies, herois grecs, ocells, abelles i problemesde maxims i mınims. Les sessions del 12 i 19de marc i el 2 i 9 d’abril es van fer a la Facultatde Ciencies. J. Girbau va parlar de geometria irelativitat; J. M. Mondelo ens va guiar en el dis-seny de missions espacials; S. Serna va introduirles matematiques en el tractament d’imatgesdigitals; i, finalment, despres de les eleccions,X. Mora ens descobrira diferents metodes devotacio amb situacions concretes per saber sipodrıem fer-ho millor.

Per a mes informacio sobre aquestes i al-tres activitats podeu consultar el web del de-partament, www.uab.cat/matematiques/, en elcorresponent apartat de divulgacio. A mes ames, des del departament s’esta actualitzant lallista de distribucio per correu electronic per in-formar puntualment de totes aquestes activitats.Us hi podeu subscriure a traves de la pagina:mat.uab.cat/matuab-divulga.

Natalia CastellanaOrganitzadora, UAB

36

Activitats de la FME de la UPC durant el quadrimestre de tardordel curs 2010-2011

La Facultat de Matematiques i Estadıstica(FME) de la UPC dedica el curs 2010-2011 almatematic hongares Paul Erdos (1913-1996).

En la inauguracio del Curs Erdos, celebradael 22 de setembre, el professor Laszlo Lovaszde la Universitat Eotvos Lorand de Budapestva impartir la conferencia Paul Erdos: frompuzzles to the birth of sciences. En acabar, eldega de la FME, J. Quer, va lliurar un obsequi,com a mostra d’agraıment i de reconeixement,al professor M. Martı Recober amb motiu de laseva jubilacio. A l’acte hi van assistir el rectorde la UPC, A. Giro, i el vicerector de Docenciai Estudiantat, X. Colom.

Un dels esdeveniments mes significats de ca-da curs es l’entrega de diplomes als nous titulatsper la FME, davant d’amics i familiars. L’actede lliurament als titulats el curs 2009-2010, undels mes concorreguts dels darrers anys, es vacelebrar el 5 de novembre i hi va participar elvicerector de Polıtica Internacional de la UPC,P. Dıez. En aquesta ocasio, els padrins van serM. Becue per als estudis d’estadıstica i J. Franchper als de matematiques.

Pel que fa a activitats adrecades a estudi-ants d’ESO i batxillerat, al mes d’octubre vancomencar les sessions preparatories per a les pro-ves Cangur i l’Olimpıada Matematica. Un cursmes, tambe, la Facultat acull diverses sessionsde treball dins del projecte Estalmat.

Durant aquest quadrimestre de tardor, ames, molts estudiants de secundaria d’arreu deCatalunya han visitat la FME amb motiu de l’-exposicio Experiencies matematiques. Aques-

ta exposicio, organitzada pel Museu de Ma-tematiques de Catalunya, ha estat ubicada ala Facultat des del 17 de novembre fins al 17de desembre, despres del seu pas per l’edificihistoric de la Universitat de Barcelona.

Un altre esdeveniment que ens ha donat l’o-portunitat d’acollir estudiants de secundaria, enaquest cas d’arreu d’Espanya, ha estat el pro-grama Campus cientıficos de verano que laFECYT (Fundacion Espanola para la Cienciay la Tecnologıa) i el Ministeri d’Educacio vanengegar l’estiu de 2010. Concretament, diversosgrups d’estudiants de 4t d’ESO i de 1r de batxi-llerat van venir a la FME, durant el mes de juliol,per participar en els projectes que el campus deCatalunya va oferir en l’area de matematiques.

Un any mes, l’ABEAM (Associacio de Bar-celona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de lesMatematiques) va celebrar la seva Jornada Di-dactica Matematica a la FME. Aquesta darreraedicio, la tretzena, va tenir lloc el dissabte 13 denovembre. Una activitat destinada a un publicmatematic general, incloent estudiants de totsels nivells, va ser la conferencia-taller Historyof the ‘Pythagorean theorem’ before and afterPythagoras, que el professor Robin Hartshor-ne, de la Universitat de California, va impartir el10 de novembre a la sala d’actes de la Facultat.

Seguint una tradicio ja molt arrelada a laFME, el desembre es va celebrar el concert deNadal que organitzen els nostres alumnes i que,d’alguna manera, marca la fi del quadrimestrede tardor. Trobareu mes informacio al web dela FME www.fme.upc.edu.

Bernat PlansVicedega de Relacions, FME

37

Activitats de la SCM

Conferencia inaugural del curs 2010-2011

El 24 de novembre de 2010 el doctor J. Girbauva pronunciar la conferencia L’equacio d’Ein-stein del camp gravitatori, amb motiu de l’acteinaugural del curs 2010-2011 de la SCM. L’ac-te va constar de dues parts ben diferenciades:en la primera, el conferenciant va explicar comA. Einstein va arribar a formular la teoria gene-ral de la relativitat, i la segona es va dedicar alproblema que es coneix amb el nom d’estabilitatlineal de l’equacio d’Einstein, questio aquestad’interes teoric i practic, perque la linealitza-cio de l’equacio d’Einstein dona lloc a l’equaciod’ones del camp gravitatori i, per tant, a poderpostular l’existencia d’aquestes ones.

La relativitat especial tracta dels fenomensfısics en absencia de forces gravitatories. L’es-pai on tenen lloc aquests fenomens s’anomenal’espai-temps i ve modelat per l’anomenat es-pai de Minkowski, que es l’espai R4 dotat d’uncert producte escalar (o metrica) η. Les qua-tre coordenades s’acostumen a escriure en l’or-dre (x1, x2, x3, tx), les tres primeres espacials il’ultima temporal. El producte escalar abansesmentat ve donat per

η(X, Y ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 − c2txty ,

on c es la velocitat de la llum. Un observadorinercial no es altra cosa que un sistema de re-ferencia a l’espai de Minkowski. Les transfor-macions de Lorentz, que relacionen les quatrecoordenades de dos sistemes inercials, son lesisometries de l’espai de Minkowski (aquelles quepreserven el producte escalar). Aquesta cons-truccio geometrica (posterior a la formulacioinicial d’Einstein) permet interpretar qualsevolproblema cinematic en termes geometrics, perexemple la contraccio de les longituds i la dila-tacio del temps pel moviment uniforme. L’espaide Minkowski no es euclidia pero es pla per-que les geodesiques (aquelles corbes de mınimalongitud que uneixen dos punts fixos de l’espai-temps) son les rectes de R4, que tambe son lestrajectories que descriuen les partıcules lliures.

El problema que es planteja ara es comcal modificar l’esquema geometric anterior per

encabir-hi els camps gravitatoris. La solucio quedona Einstein es la de corbar l’espai-temps (i,per tant, modificar la seva metrica). En un llen-guatge mes precıs, es tracta de substituir l’espaide Minkowski (R4, η) per una 4-varietat de Lo-rentz (V, g) convenient. Per tant, en la teoria dela relativitat general el camp gravitatori no ac-tua directament sobre les partıcules sino que laseva accio es manifesta en la modificacio dela metrica de Minkowski η. Per a un observa-dor de la varietat de Lorentz (V, g) resultant,la vida de les partıcules sera descrita per unageodesica de l’espai-temps (V, g) perque no de-tectara cap mena de forca sobre aquestes.1 Ambla diferencia que ara, en general, les geodesiquesno seran rectes com en el cas de la metrica deMinkowski η. Per a aquest observador les forcesgravitatories no existeixen sino que son fruitd’una eleccio de coordenades. De fet, si explici-tem les equacions de les geodesiques arribarema un resultat ben conegut. Una corba x(τ) esuna geodesica si ∇xx = 0, que en coordenadess’escriu d2xλ/dτ2 = −

∑Γλ

µν(dxµ/dτ)(dxν/dτ).Els Γ s’anomenen sımbols de Christoffel i depe-nen de les derivades primeres de la metrica g.Per tant, l’expressio anterior es pot interpretarcom l’equivalent relativista de la segona llei deNewton F = ma, amb F = −m∇Φ per a un po-tencial gravitatori Φ donat. A causa d’aquestasemblanca, els components gαβ de g se’ls anome-na potencials gravitatoris. A diferencia del casnewtonia, pero, no tenim un unic potencial Φsino deu, perque g es un tensor simetric d’ordre2 en una varietat de dimensio 4.

Com es determina la metrica g? En fısicaclassica la resposta la dona l’equacio de Poisson∆Φ = 4πKρ. En relativitat general es l’equaciod’Einstein, objecte d’aquesta conferencia:

G(g) = χT .

Els dos tensors G i T son simetrics i d’ordre 2i, per tant, l’equacio d’Einstein es un sistemade deu equacions diferencials en les quals hiapareixen els deu potencials gravitatoris gαβ . Eltensor d’impulsio-energia T , que evidentment fa

1Observeu que d’aquesta manera el camp gravitatori actua sobre totes les partıcules de la mateixa forma, indepen-dentment de la seva massa o estructura interna, que es el tret que diferencia la forca gravitatoria de les altres forcesfonamentals de la naturalesa.

38

el paper de la densitat ρ, ha de complir les equa-cions de conservacio de la materia div(T ) = 0.Tot plegat imposa sobre el tensor G les condici-ons seguents: ha de ser d’ordre 2, simetric, dedivergencia nul.la i, per analogia amb l’equaciode Poisson, ha de dependre fins a les deriva-des d’ordre 2 en g. Es pot veure que el tensorRic− 1

2Rg compleix tots els requisits anteriors(aquı Ric es el tensor de Ricci i R es la cur-vatura escalar). L’equacio d’Einstein es, doncs,Ric(g)− 1

2Rg = χT , que tambe es pot escriure

Ric(g) = χT − 12trg(T )g .

En absencia de materia, T = 0, obtenimRic(g) = 0. Si tenim en compte que el tensorde Ricci es una contraccio del tensor de cur-vatura de la varietat, i si recordem que l’espaide Minkowski es pla, no es d’estranyar que unasolucio de Ric(g) = 0 sigui g = η. O a l’inreves,si T 6= 0 la metrica de Minkowski deixa de seruna solucio: la materia corba l’espai-temps.

Una vegada establerta l’equacio d’Einstein,cal preguntar-se per l’existencia i unicitat dela solucio, aixı com quines dades inicials sonnecessaries (problema de Cauchy). Cal, pero,adonar-se d’una diferencia substancial entre l’e-quacio de Poisson i la d’Einstein: la primeraobeeix a l’esquema classic de tenir en un costatla font del camp (la densitat ρ) i a l’altre un ope-rador diferencial que actua sobre el camp Φ, quees la incognita. En l’equacio d’Einstein, en canvi,aquest esquema es trenca perque la incognita gtambe apareix en el segon membre. A mes, caltenir present que el tensor d’impulsio-energia hade complir d’entrada dues condicions. Primera,ha de ser conservatiu, div(T ) = 0, la qual cosacomporta que aquestes quatre equacions s’ha-gin d’acoblar amb el sistema de deu equacionsdonat per l’equacio d’Einstein. Segona, i com aconsequencia de la primera, el tensor T haurade dependre de quatre variables que defineixinla distribucio de la materia en l’espai-temps, afi de tenir el mateix nombre d’equacions qued’incognites. Situem-nos, per exemple, en el casdel tensor d’impulsio-energia d’un fluid perfecte:

T = (ρ + p)u⊗ u + pg .

Les noves incognites son la densitat ρ, la pressiop i el camp de velocitats u del fluid (de quatrecomponents). En total sis incognites, que es re-dueixen a quatre perque s’imposa que u sigui

unitari i que existeixi una equacio d’estat querelacioni ρ i p.

Finalment, una altra diferencia entre les du-es equacions rau en l’estructura mateixa del’equacio diferencial. El laplacia euclidia ∆ =∂2

∂x21+ ∂2

∂x22+ ∂2

∂x23

que apareix en l’equacio de Pois-son es un operador el.lıptic i, per tant, molt benestudiat en la literatura. En canvi, l’expressioen coordenades de la part principal del tensorde Ricci,

Rαβ '12gλµ(∂λ∂αgβµ + ∂β∂µgλα

− ∂λ∂µgβα − ∂β∂αgλµ)

(aquı ∂λ ≡ ∂∂xλ

), es bastant mes complicadai d’entrada no pot ser classificada ni com el-lıptica, ni hiperbolica, ni parabolica. Aquestasituacio encara es veuria agreujada si el siste-ma div(T ) = 0 aportes derivades segones eng i en les altres incognites que apareixen enl’expressio de T . En resum, per poder plante-jar el problema de Cauchy cal imposar sobreT que depengui de quatre parametres i queel sistema div(T ) = 0 estigui desacoblat deRic(g) = χT − 1

2trg(T )g. Afegint-hi algunescondicions mes tecniques, es pot demostrar que,si les dades de Cauchy pertanyen a uns certs es-pais (de Sobolev) i compleixen unes condicionsde lligam sobre una hipersuperfıcie espacial dela varietat de Lorentz, el problema de Cauchyesta ben posat (well posed), es a dir, que 1) lasolucio existeix, es unica llevat difeomorfismesi es del mateix espai que les dades de Cauchy;i 2) la solucio depen contınuament de les da-des inicials (estabilitat de Cauchy). L’expressiollevat difeomorfismes indica que, com que lesequacions estan escrites en forma tensorial i pertant son valides en qualsevol referencia, semprees tindra la llibertat d’escollir un cert sistemade coordenades.

Una vegada establertes les condicions queens garanteixen l’existencia i unicitat de l’equa-cio d’Einstein, el pas seguent hauria de ser trobaraquesta solucio, es a dir, resoldre exactamentl’equacio d’Einstein. Pero nomes en alguns casosen els quals l’espai-temps te simetria esfericaaixo es possible. Nomes que considerem l’equaciod’Einstein amb T = 0, Ric(g) = 0, ens trobemamb una equacio irresoluble exactament pero dela qual coneixem una solucio particular, que esg = η, la metrica de Minkowski. Pero podrıemintentar cercar solucions properes a η de la for-

39

ma η + h perque si h es petit

Ric(η + h) = Ric(η)︸ ︷︷ ︸=0

+DηRic(h) + · · ·

i Ric(η + h) = 0 per hipotesi. Es costum ales-hores resoldre l’equacio lineal DηRic(h) = 0, enel benentes que g = η + h sera una solucio deRic(g) = 0, propera a η. Pero aixo es nomes unahipotesi i, per tant, te sentit definir el concep-te seguent: una equacio es linealment establesi les solucions de la seva equacio linealitzadason realment proximes a les vertaderes solucionsde l’equacio original. El seguent es un exem-ple d’una equacio algebraica senzilla (perque espugui resoldre exactament) que no es estableper linealitzacio: sigui f : R2 → R donada perf(x1, x2) = x1x2. Una solucio particular de l’e-quacio f(x1, x2) = 0 es (0, 0) i les solucions mesproperes es troben en la direccio dels eixos decoordenades, perque les solucions exactes sonx1 = 0 o x2 = 0. En canvi, de l’equacio linea-litzada deduirıem erroniament que en qualsevoldireccio hi trobarıem solucions, perque en (0, 0)la linealitzada es 0 · h1 + 0 · h2 = 0 i qualsevolh = (h1, h2) es solucio. Aquesta inestabilitat esdeguda al fet que no en totes les direccions quedona l’equacio linealitzada (en aquest exemple,totes) existeix una corba de solucions de l’equa-cio original (aquı, els eixos de coordenades).2

Precisament la definicio estricta d’estabilitat li-neal es la seguent: una equacio f(x) = y0 eslinealment estable (o estable per linealitzacio)en x = x0 si per a tota solucio h de l’equaciolinealitzada Dx0f(h) = 0 existeix una corbaλ → x(λ) de solucions de l’equacio original quees tangent a h en x0.

El mateix A. Einstein va fer us del metode delinealitzacio per poder postular l’existenciade les ones gravitatories. Imaginem que l’universes descrit per un tensor d’impulsio-energia T pe-tit, que podem considerar com una pertorbacio

de T = 0. La corresponent metrica g compliral’equacio Ric(g) = χT − 1

2tr(T )g. Per ser Tpetit, g sera propera a η, g = η + h amb h petit.Si anomenem L(h) a la suma dels termes linealsen h de la diferencia Ric(η+h)−Ric(η), tindrem

Ric(g) = Ric(η + h) ' Ric(η) + L(h) .

Fent S = T− 12tr(T )g, veiem que l’equacio d’Ein-

stein Ric(g) = χS s’aproxima per L(h) ' χS.Einstein es va adonar que si, a mes a mes, s’im-posa div(h) = 1/2d(tr(h)) l’equacio anterior estransforma en

12

(∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+∂2

∂x23

− 1c2

∂2

∂t2

)hαβ = χSαβ .

En el buit, S = 0 i obtenim l’equacio d’ones.Es interessant observar que aquest procedi-

ment no respon a l’esquema de linealitzar unaequacio del tipus f(x) = y0 amb y0 fix de la qualsabem una solucio particular x0, f(x0) = y0, (enl’exemple anterior seria y0 = 0), sino al cas d’u-na equacio del tipus f(x) = y0 + q amb q petitpero variable, on coneixem una solucio particu-lar x0 de f(x) = y0 (en el cas d’Einstein, x0 = η,y0 = 0 i q = T ). Aquesta nova situacio requerirauna nova definicio d’estabilitat no basada en elconcepte de tangencia, sino en el fet de podergarantir un acotament de l’error comes en con-siderar les solucions de l’equacio linealitzada encomptes de les solucions reals.

Tots aquests temes tractats en la conferencia(relativitat general, plantejament del problemade Cauchy, nou concepte d’estabilitat i aplica-cions) son estudiats en un llibre de recent pu-blicacio escrit pel conferenciant i per qui escriuaquestes lınies. En particular, es pot assegu-rar que l’equacio d’Einstein es estable en g = η ique, per tant, la hipotesi d’Einstein (a partir del’equacio de la qual es pot predir l’existencia deles ones gravitatories), es del tot correcta.

Lluıs BrunaProfessor de matematiques de secundaria

2El lector pot comprovar que en totes les altres solucions, (a, 0) i (0, a) amb a 6= 0, l’equacio es estable.

40

I Trobada Catalanosueca de MatematiquesForsta svensk-katalanska konferensen i matematik

Del 16 al 18 de setembre de 2010 es va fer, a laseu de l’IEC a Barcelona, la primera trobadaentre les societats matematiques de Suecia i Ca-talunya. La iniciativa havia nascut pocs mesosabans en ocasio del semestre tematic de siste-mes dinamics al CRM, inspirada en les trobadesbilaterals que la SCM comparteix amb diversessocietats matematiques europees.

D’esquerra a dreta, H. Shahgholian, A. Bjorner,M. Benedicks i C. Faber, en el moment de rebre

l’obsequi de mans del president de la SCM.

Les relacions entre matematics suecs i ca-talans van resultar ser ben abundants, la qualcosa es va reflectir en l’organitzacio de diver-ses sessions tematiques amb coordinadors d’u-na i altra part: analisi complexa i harmonica(Bo Berndtsson i Joaquim Ortega), didacticade la matematica (Christer Bergsten i Mari-anna Bosch), equacions en derivades parcials(Henrik Shahgholian i Neus Consul), geometria(Carel Faber i Miguel A. Barja), matematicadiscreta (Svante Linusson i Oriol Serra) i siste-mes dinamics (Michael Benedicks i Tere Seara).Aquestes sessions van dinamitzar una gran par-ticipacio amb mes de cent assistents, dels qualsprop de quaranta eren suecs.

A mes d’un intens programa de xerradesen cadascuna de les sessions, vam poder gaudird’excel.lents conferencies plenaries, tant de ma-tematics de prestigi internacional ben reconegutcom Michael Benedicks, Anders Bjorner, CarelFaber o Henrik Shahgholian, tots ells professorsde la prestigiosa Kungliga Tekniska Hogskolan,o sigui, del Reial Institut Tecnologic d’Esto-colm, com de brillants matematics joves comRobert Berman, de la Universitat de Goteborg,o professionals reconegudes com Eva Jablonka,establerta a la Universitat Tecnologica de Lulea.

Al banquet que es va fer el dijous al mateixpati de l’IEC, i en el qual la metereologia ensva obsequiar amb una descomunal tempesta detardor que va deixar impressionadıssims els nos-tres convidats, el president de la SCM, CarlesPerello, va fer entrega als conferenciants plenarisi al president de la Societat Matematica Sueca,Tobias Ekholm, del llibre Historia de Catalunyail.lustrada, que segur que els ajudara a tenir unconeixement millor del nostre paıs.

A mes dels coordinadors de les sessions, queper part catalana van integrar el comite orga-nitzador local, cal agrair especialment la tas-ca de J. M. Mondelo, responsable de la pa-gina web, www.iecat.net/institucio/societats/SCMatematiques/SCCM1/.

En la sessio de cloenda, i en nom de la So-cietat Matematica Sueca, Anders Bjorner vaagrair a la SCM l’organitzacio d’una trobadaque va ser valorada molt positivament, i es vacomprometre a organitzar una segona edicio aSuecia en un futur proper.

Les sinergies generades per aquesta mena decontactes bilaterals amb nacions europees d’unnivell cultural i cientıfic admirables, donaranprobablement una dinamica col.laboracio ci-entıfica i academica que esperem veure reflectidauna vegada mes a Suecia amb motiu de la pro-pera trobada, suecocatalana aquesta vegada.

Oriol SerraUPC

41

7a Jornada d’Educacio Matematica

El dissabte 16 d’octubre de 2010 tingue lloc ala seu de l’Institut d’Estudis Catalans de Bar-celona, la 7a Jornada d’Educacio Matematica,en les tres darreres edicions de la qual, la nos-tra Societat (la SBM-XEIX) ha estat convidadacom a organitzadora. Com es preceptiu, obrirenla sessio del matı els presidents de les tres so-cietats organitzadores: Carme Aymerich de laFEEMCAT, Carles Perello de la SCM i JosepLluıs Pol de la SBM-XEIX.

El matı es va dedicar ıntegrament a la taularodona amb tot un seguit de participants que ensferen reflexions sobre com canvia l’ensenyamenti l’aprenentatge amb la utilitzacio dels ordina-dors a l’aula, quines possibilitats tenen, quinesdificultats i obstacles cal aprendre a superar,quin valor afegit aporta l’us dels ordinadors,si cal preservar algunes caracterıstiques fona-

mentals de l’ensenyament/aprenentatge de lesmatematiques que poden quedar en segon termeamb l’us dels ordinadors, etc. Els ponents foren,d’esquerra a dreta en la fotografia: Rosa Estela(Matematica Aplicada III, UPC), Elisabet Sa-guer (IES J. Vicens Vives, Girona), Ferran Ruiz(Consell Superior d’Avaluacio del Sistema Edu-catiu), Consol Anguila (CEIP Puig d’Arques,Cassa de la Selva) i Rafel Cortes (Conselleriad’Educacio i Cultura de les Illes Balears).

Durant l’horabaixa fou el torn de la presen-tacio d’experiencies amb dues lınies paral.leles.En Bernat Ancochea (IES Serra de Marina, Pre-mia de Mar) ens explica la seva experienciadel curs 2009-2010 en el Projecte 1× 1. En Se-bastia Mora (CEIP Enric Grau Fontsere, Flix)ens parla de les matematiques i les TIC al ci-cle superior de primaria a partir d’experienciesamb GeoGebra en entorns 1 × 1. En MiquelCirer i en Jaume Monreal (IES Baltasar Porcel,Andratx) ens feren viure l’us de les TIC a la dar-rera Olimpıada Nacional d’ESO duta a termea Mallorca amb la comunicacio (Es)TIC com-petint. Finalment, na Teresa Sancho (UOC)ens parla de L’us de les eines telematiques al’educacio (matematica) superior: de la necessi-tat, virtut. Un dia ben aprofitat per enfortirllacos i animar mes de cent cinquanta partici-pants a seguir innovant en el camp de la nostraprofessio.

SBM-XEIX

Primera Jornada SCM de Joves Investigadors en Matematiques

La SCM va organitzar el 5 de novembre, alslocals historics de l’IEC, la Primera JornadaSCM de Joves Investigadors en Matematiques,en la qual uns quaranta investigadors que es-tan acabant la seva tesi doctoral, o que fa pocque l’han presentada, ens varen exposar els seustreballs.

Per la impossibilitat de representar-hi totala variabilitat de la recerca en matematiquesque es fa al nostre paıs, triarem tan sols quatregrans temes, que es desenvoluparen en sessionsparal.leles. Si la iniciativa te continuıtat, el desigde la SCM es que hi vagin participant totes leslınies de recerca en matematiques actives en el

nostre entorn. Un dels objectius era afavorirel contacte entre joves que treballen en temesafins, pero que pel fet d’estar en grups i uni-versitats diferents, poden tenir un alt grau dedesconeixement entre si.

En aquesta edicio, cada lınia s’ha organitzatamb la mes gran llibertat possible. Els respon-sables inicials, triats per una simple questio decomoditat dels promotors, han buscat col.labo-racio en altres directors de tesis, i entre totshan determinat els participants en les sessions.Nomes hi ha hagut tres condicions de contorn:l’hora del cafe, la del dinar i que en cada sessiohi hagues una barreja de ponents de diferents

42

universitats. Les quatre lınies tractades han es-tat: analisi i equacions en derivades parcials;probabilitat, processos estocastics i estadıstica;metodes algebraics, i topologia i geometria.

Les tres primeres lınies han inclos tambe enel programa una conferencia d’un investigadorsenior, escollit pels organitzadors de la sessio.

Els conferenciants foren:– Luıs Vega, de la Universitat del Paıs Basc, quefeu la xerrada A new approach to Hardy’s un-certainty principle.– Agata Smoktunowicz, de la Universitat d’Edin-burgh, amb Free algebras, algebraic algebrasand their cousins.– Carmen Armero, de la Universitat de Valencia,que impartı la conferencia Un passeig, curtet irelaxat, pel mon de la inferencia bayesiana.

La SCM vol agrair l’esforc de tots els orga-nitzadors i els participants a la Jornada, queaconseguiren que un divendres de novembre, enple trimestre de tardor, la jove recerca en ma-tematiques es mostres en el bell marc de la Casade Convalescencia.

Acabem remarcant el desig, expressat aquellmateix vespre per alguns participants, que lainiciativa tingui continuıtat.

Josep Lluıs SoleUAB

Informe de la reunio del Cangur a Georgia

Com en anys anteriors, els representants delspaısos que pertanyen a l’associacio KangourouSans Frontieres (KSF) han assistit a la reu-nio que enguany ha organitzat l’associacio deGeorgia a Tbilisi. Des que es va fer aquestareunio a Catalunya (a Barcelona, concretament,l’any 2006) els paısos que ho han organitzathan estat Austria (Graz), Alemanya (Berlın) iBielorussia (Minsk).

L’objectiu fonamental d’aquestes reunionsfou la seleccio dels problemes per a les provesCangur, les quals, a Catalunya i les Balears, s’-han dut a terme el 17 de marc de 2011. A la Co-munitat Valenciana, atesa la coincidencia ambla setmana de les falles, s’han fet (obviamentamb problemes diferents) el 24 de marc.

El programa de treball que varem tenir alllarg dels dies 13, 14, 15 i 16 va ser el seguent.

En la sessio d’obertura, es van comentar di-versos temes que s’haurien d’aprovar a la sessiofinal.

Els dos professors encarregats del lloc webde KSF van explicar com havia funcionat i lesdificultats que havien sorgit en la baixada delsproblemes proposats i en la seva valoracio.

Es va quedar que a la sessio final es farial’eleccio del nou president de l’associacio (re-glamentariament, hi ha d’haver eleccions a lapresidencia cada tres anys).

Pel que fa als problemes proposats per lesdiferents comissions dels paısos participants, esva proposar a l’assemblea que:

• caldria tenir molta cura perque l’enunciat delproblema fos correcte, almenys una de lesopcions fos correcta, nomes una opcio fos cor-recta i que els distractors fossin escollits ambmolta cura,

• que no es podrien proposar problemes identicsen mes d’un nivell i que, si aixo passava, nomeses proposarien en el nivell mes baix,

• que tots els problemes haurien d’estar classi-ficat per punts i per categoria i els que no hiestiguessin serien rebutjats.

Es va fer notar que els estatuts i el reglamentque apareixen a la pagina web de KSF no estanactualitzats i que cal posar-los al dia.

Durant els dies 14 i 15 es va treballar pergrups per escollir els problemes definitius que esportaran a les comissions Cangur dels paısosparticipants per tal que es puguin fer les ade-

43

quacions i les traduccions corresponents. Final-ment el dissabte a la tarda ens van lliurar unCD que contenia els problemes definitius delscinc nivells.

A l’assemblea general del dissabte 16 d’oc-tubre es van tractar els temes seguents:

1) El tresorer de KSF va donar un full amb elscomptes de l’any 2010 i el pressupost per al’any 2011. Ambdos informes van ser accep-tats per unanimitat.

2) Es va acceptar l’entrada com a membres deple dret als paısos: Armenia, el Brasil, l’Irani Portugal. Es va acceptar l’entrada com amembres provisionals als paısos: Colombia, In-donesia, la Costa d’Ivori i Tunısia. I Mongoliacontinua com a membre provisional. Pel quefa a la peticio de la Xina i Singapur se’lsdira que demanin l’admissio l’any vinent jaque no tenim prou informacio sobre les sevespeticions.

3) Eleccio del nou president. Hi havia dues can-didatures, la del president anterior (Franca) ila del representant d’Eslovenia. A la votacio,A. Dedelicq (Franca) obtingue divuit vots iG. Dolinar (Eslovenia) n’obtingue vint-i-vuit.Per tant, G. Dolinar va ser escollit nou pre-sident de KSF. Immediatment el nou presi-dent va proposar nomenar president d’honora l’anterior president, que va ser qui va fundarl’associacio i n’ha estat el president fins ara.

4) S’ha decidit crear un grup de treball per feruna darrera revisio dels enunciats, respostes igrafics dels problemes, ja que cada any apa-reix algun error no detectat.

5) Normativa sobre la publicacio dels problemes:no es pot donar publicitat abans d’un mesdespres del dia de la prova, ja que no tots elspaısos fan la prova el mateix dia.

6) Per a l’any 2012 la data de la prova Cangursera el dijous 15 de marc.

7) Lloc per a les properes reunions. El 2011 Es-lovenia, el 2012 Xipre, el 2013 el Regne Unit(que ja havien estat acceptades) i el 2014 Puer-to Rico. Suecia es proposa com a organitzadorde la reunio a partir de 2014.

8) Ates que el nombre de representants a la reu-nio anual continua creixent, les despeses del’organitzacio creixen pero a un ritme mesgran. Es per aquesta rao que s’aprova aug-mentar de 250e a 300e la quota per personaa partir de 2011.

A la Comissio Cangur de Catalunya ja nomesli quedava traduir els problemes, revisar-los,imprimir-los, repartir-los a les diferents seus iesperar que arribes el 17 de marc per poder veu-re complert el desig que la prova es desenvolupicom ha estat previst i com ha transcorregut elsanys anteriors.

Marta BeriniPresidenta de la Comissio Cangur

XLVII Olimpıada Catalana de Matematiques (OCM)

El 17 i 18 de desembre de 2010 es va ce-lebrar simultaniament a Tarragona, Lleida,Girona i Barcelona la XLVII Olimpıada Ca-talana de Matematiques (primera fase de l’O-limpıada Matematica Espanyola 2011). L’orga-nitzacio d’aquesta edicio de l’OCM ha estata carrec de la Comissio d’Olimpı ades de laSCM. Pot trobar-se informacio detallada al webwww.cangur.org/olimpiades/47oli/index.htm.

El mes important, sense cap dubte, han es-tat els participants que han competit per for-mar part dels equips que representaran Ca-talunya a l’Olimpıada Matematica Espanyola(OME) a Pamplona al marc de 2011. La compe-ticio ha consistit en la resolucio de sis problemes

en dues sessions, els dies 17 i 18. El jurat haestat format pel doctor J. Pla Carrera, president(UB); J. Burillo Puig, vocal (UPC) i M. Barri-onuevo Penalves, secretaria (IES Ernest Lluch,Barcelona). Aquest jurat s’ha encarregat de pro-posar la prova, elaborar els criteris de correccio,puntuar les solucions presentades pels concur-sants i proclamar els guanyadors. En nom dela SCM volem agrair-los l’excel.lent treball quetan desinteressadament han realitzat.

Els problemes proposats han estat:

1) Tenim 2.010 cartes numerades d’1 al 2.010.Demostreu que si agafem 11 cartes qualsse-vol, n’hi ha dues (numerades i i j), d’entreaquestes 11, que compleixen i < j ≤ 2i.

44

2) En un cercle de radi r hi inscrivim el decagonregular de vertexs A1, A2, A3, . . . , A10. De-notem per |AiAj | la longitud del segmentAiAj . Demostreu que

|A1A4| − |A1A2| = r .

3) Denotem per S(n) la suma

S(n) = 2010 n2010 − 2009 n2009 + · · ·++ 4n4 − 3n3 + 2n2 − n .

Comproveu que el nombre

T = S(1) + S(2) + S(3) + S(4) + S(5)++ S(6) + S(7) + S(8) + S(9)

es positiu i calculeu-ne la xifra de les unitats.4) Una urna conte b boles blanques i v boles

vermelles, amb b ≥ 0, v ≥ 0 i b + v ≥ 3.Si s’extrauen 3 boles de l’urna sense reem-placar-les, la probabilitat que totes siguinblanques es p. Pero, si afegim una bola blan-ca a l’urna, la probabilitat que les tres bolessiguin blanques augmenta d’una tercera part.Quin es el valor maxim de v que permet quees compleixin aquestes condicions?

5) Tenim un triangle rectangle ABC de catetsAC i CB de longituds a i b i hi inscrivim unquadrat Q0 = CA0Q0B0 de manera que elpunt A0 es troba en el catet CA, el punt B0

en el catet CB i el punt Q0 en l’hipotenusaAB.

Calculeu el valor q del costat CA0 del qua-drat, en funcio de a i b. Repetim el proces nvegades inscrivint, respectivament, quadratsRk+1, Sk+1 en els triangles AAkRk i BBkSk,en que els punts Rk son en el segment AQ0

i els punts Sk en el segment BQ0. Si rn i sn

son les longituds dels costats dels quadratsRn i Sn, demostreu que n

√q = n

√rn + n

√sn.

6) Tenim m capses C1, C2, . . . , Cm que contenenfitxes. El nombre de fitxes de cada una esq1 ≥ 0, q2 ≥ 0, . . . , qm ≥ 0, respectivament.Considerem un nombre fix n ≤ m.

Volem aconseguir, amb una serie d’actua-cions, que totes les caixes acabin tenint elmateix nombre de fitxes. Cada actuacio queefectuem s’ajustara a l’accio seguent: elegimn capses i col.loquem una fitxa mes en cadauna de les capses elegides de manera que, des-pres d’haver actuat, les n capses que hagimelegit tindran una fitxa mes que abans del’actuacio i la resta tindra el mateix nombrede fitxes que abans de l’actuacio. Demostreu:

a) Si mcd(m,n) = d > 1, aleshores hi hauna distribucio inicial de fitxes en les mcapses que no permet aconseguir mai que,despres de qualsevol nombre d’actuacions,totes les capses tinguin el mateix nombrede fitxes.

b) Si mcd(m,n) = 1, aleshores es possiblefer un nombre finit d’actuacions successi-ves fins a aconseguir que, al final de totesles actuacions, totes les capses tinguin elmateix nombre de fitxes.

El jurat va acordar d’atorgar els premisseguents:

Primers premis: Eduard Vazquez Espı n, Institutde Palleja (Baix Llobregat), 2n de batxillerat;Ferran Alet Puig, Aula Escola Europea (Barce-lona), 2n de batxillerat, i Darı o NieuwenhuisNivela, Aula Escola Europea (Barcelona), 1r debatxillerat.

Segons premis: Marc Felip Alsina, Col.legi Bell-lloc del Pla (Girona), 4t d’ESO; Eric MilesiVidal, Col.legi Pare Manyanet (Barcelona), 1rde batxillerat, i Marc Sanchez Alfonso, AulaEscola Europea (Barcelona), 1r de batxillerat.

Tercers premis: Joan Estevez Estudis, InstitutJaume Vicens Vives (Girona), 2n de batxillerat;Julia Alsina Oriol, IES Jaume Callı s (Vic), 1rde batxillerat, i Jordi Barcelo Mercader, Col.legiJesus i Maria (Barcelona), 1r de batxillerat.

F. Alet Puig, D. Nieuwenhuis Nivela i J. Alsi-na Oriol ja van obtenir premi en la XLVI OCM.

Josep Grane i Jose Luis Dı az-BarreroComissio d’Olimpıades

45

Agenda

Taller Didactic de Matematiques per a laSecundaria

Data i lloc: del 4 de febrer a l’1 d’abril de 2011a la UPF.Coordinadors: Pelegrı Viader i Antoni Goma.http://www.idec.upf.edu/curs-de-perfeccionament-

de-taller-didactic-de-matematiques-per-a-la-secundaria

Short Courses and Workshop on SpectralFunctionsData i lloc: del 14 al 19 de marc de 2011 alCRM.Comite cientıfic: H. Hedenmalm, N. Makarov,J. Ortega-Cerda i M. Sodin.

http://www.crm.cat/wkspectral

Workshop on Dynamics and C∗-algebras

Data i lloc: del 6 al 8 d’abril de 2011 al CRM.Comite cientıfic: N. P. Brown, J. Cuntz, M. Dar-darlat, G. A. Elliott, M. Rordam i A. S. Toms.

http://www.crm.cat/wkalgebras

Congres Heights in Diophantine andArakelov Geometry, Dynamical Systemsand Computer Algebra

Data i lloc: del 26 al 30 d’abril de 2011 a Tossade Mar.Comite organitzador: J. I. Burgos, C. D’Andrea,M. Sombra i P. Philippon.

http://www.imub.ub.es/heights2011/index.html

Advanced Course on Krein-de BrangesSpaces of Entire Functions and Old andNew Spectral Problems

Data i lloc: del 2 al 6 de maig de 2011 al CRM.Comite cientıfic: H. Hedenmalm, N. Makarov,J. Ortega-Cerda i M. Sodin.

http://www.crm.cat/acdebrange

Short Courses and Workshop on HilbertSpaces of Entire Functions and SpectralTheory of Self-adjoint Differential Opera-tors

Data i lloc: del 30 de maig al 4 de juny de 2011al CRM.Comite cientıfic: H. Hedenmalm, N. Makarov,J. Ortega-Cerda i M. Sodin.

http://www.crm.cat/wkentire

Los Problemas del MilenioData i lloc: de l’1 al 3 de juny de 2011 a la UB.Comite organitzador: I. Mundet, F. J. Soria iP. Tradacete.

http://garf.ub.es/Milenio/index.html

Conference on Structure and Classificati-on of C∗-AlgebrasData i lloc: del 6 al 10 de juny de 2011 al CRM.Comite cientıfic: N. P. Brown, J. Cuntz, M. Dar-darlat, G. A. Elliott, M. Rordam i A. S. Toms.

http://www.crm.cat/calgebras

Financial Engineering Summer School2011

Data i lloc: del 14 al 17 de juny de 2011 a laBorsa de Barcelona.Comite cientıfic: J. Bruna i J. L. Fernandez.

http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/

2010-2011/FESS2011/

Advanced Course on Dynamical Systems

Data i lloc: del 14 al 23 de juny de 2011 al CRM.Comite cientıfic: G. Elliott, A. S. Toms.

http://www.crm.cat/acdynamical

Exploratory Workshop on EmergingInfectious Diseases and MathematicalModelling

Data i lloc: de l’11 al 15 de juliol de 2011 alCRM.Comite cientıfic: B. Ainseba, T. Alarcon i G. F.Webb.

http://www.crm.cat/diseases

Geometric and Asymptotic Group The-ory with Applications (GAGTA-5)

Data i lloc: de l’11 al 15 de juliol de 2011 alcampus de Manresa de la UPC.Comite organitzador: E. Ventura, J. Burillo, S.Cleary, L. Ciobanu, Y. Antolın, L. Bacardit, J.Rubio, J. Delgado, A. Fossas i E. Lopez.

http://www.epsem.upc.edu/∼gagta5/

46

Logic Colloquium 2011

Data i lloc: de l’11 al 16 de juliol de 2011 a laUB.Comite organitzador: D. Aspero, A. Atserias,J. Bagaria, F. Bou, E. Casanovas, V. Dalmau,P. Dellunde, M. Esteban, R. Jansana, D. Pa-lacın, J. Potier i D. Virgili.

http://logic2011.org/?cmd=home

Infinity Conference

Data i lloc: del 18 al 22 de juliol de 2011 alCRM.Comite cientıfic: S. Friedman, J. Baldwin, M. L.Bonet, J. C. Martınez, M. Rathjen.

http://www.crm.cat/cinfinity

European Women in Mathematics

Data i lloc: del 5 al 9 de setembre de 2011 alCRM.Comite cientıfic: N. Uraltseva, V. Baladi,E. Bayer, C. Bernardi, C. Bessenrodt, A. Grassi,U. Hamenstaedt, D. McDuff, R. Piene, V. Sos,U. Tillmann, M. Vergne.

http://www.crm.cat/ewm

Joint Mathematical Conference of theAustrian, Catalan, Czech, Slovak and Slo-venian Mathematical Societies

Data i lloc: del 25 al 28 de setembre de 2011 aKrems (Austria).Comite cientıfic: M. Drmota, J. Kratochvil,B. Maslowski, K. Mikula, R. Nedela, M. Ober-guggenberger, T. Pisanski, P. Semrl, O. Serra iJ. de Sola-Morales.

http://www.dmg.tuwien.ac.at/OMG/

OMG-Tagung/index.html

International Conference on FunctionSpaces, Weights, and Variable ExponentAnalysis

Data i lloc: del 26 al 30 de setembre de 2011 alCRM.Comite cientıfic: K. Kazarlan, S. Samko,V. Temlyakov.

http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/

2011-2012/cspaces/web-cspaces/

Premis

La Unio Matematica Internacional (IMU) atorga quatre premis de la maxima rellevancia, cadaquatre anys coincidint amb la celebracio dels congressos mundials de matematics (ICM). Es tractade les medalles Fields, que reconeixen exits matematics destacats, el Premi Rolf Nevanlinna, quehonora els grans resultats en aspectes matematics de les ciencies de la informacio, el Premi CarlFriedrich Gauss, que es concedeix a la contribucio en matematiques que hagi trobat millors i mesimportants aplicacions fora de les matematiques, i la Medalla Chern, atorgada a una persona ambexits del mes alt nivell de reconeixement en el camp de les matematiques.

Les medalles Fields van ser atorgades per primera vegada l’any 1936, el Premi Rolf Nevanlinnael 1982, el Premi Carl Friedrich Gauss el 2006 i la Medalla Chern es nova, s’ha concedit per primeravegada aquest 2010. Els ultims premiats es van anunciar el 19 d’agost durant la cerimonia d’oberturade l’ICM 2010 a Hyderabad, India. Elon Lindenstrauss, Ngo Bao Chau, Stanislav Smirnov i CedricVillani obtingueren les medalles Fields, Daniel Spielman el Premi Nevanlinna, Yves Meyer el PremiGauss i Louis Nirenberg la Medalla Chern.

A continuacio trobareu una traduccio al catala dels work profiles dels guardonats, reproduıda enaquest numero de la SCM/Notıcies amb el permıs de l’IMU (els documents originals en angles elspodeu trobar al web de l’ICM 2010, http://www.icm2010.org.in/).

47

Medalles Fields 2010

Elon Lindenstrauss, Universitat Hebrea de Jerusalem, Israel

For his results on measure rigidity in ergodic theory, and their applications to number theory.

Elon Lindenstrauss ha desen-volupat eines teoriques ex-traordinariament potents enel camp de la teoria ergodi-ca, un camp de les matema-tiques desenvolupat inicial-ment per a comprendre lamecanica celeste. Despres lesha usades, juntament amb el

seu profund coneixement d’aquesta teoria, pera resoldre tota una serie de problemes obertsen arees de les matematiques aparentment allu-nyades de la teoria ergodica. Els seus metodess’espera que continuın donant molt de fruit enles matematiques de les properes decades.

La teoria ergodica estudia els sistemes dina-mics, que son simplement normes matematiquesper a descriure com evoluciona un sistema ambel temps. Aixı, per exemple, un sistema dinamicpot descriure una bola de billar movent-se peruna taula de billar sense fregament i sense forats.La bola viatjara en lınia recta fins que xoquiamb el costat de la taula, i en rebotara comsi es tractes d’un mirall. Si la taula es rectan-gular, aquest sistema dinamic es forca senzill ipredictible, ja que una pilota enviada en qualse-vol direccio acabara rebotant en cadascun delsquatre costats amb un angle consistent. Perosuposem que la taula de billar te extrems arro-donits, com un estadi. En aquest cas, una bolades de gairebe qualsevol posicio inicial i dirigi-da a gairebe qualsevol direccio, passara per totl’estadi sencer amb els angles de rebot variantenormement. Els sistemes amb aquest tipus decomportament complex s’anomenen ergodics.

La forma en que els matematics precisenaquest fet que les trajectories es propaguin pertot l’espai es a traves de la nocio de la inva-riancia de mesura. Una mesura pot ser consi-derada com una forma mes flexible de calculararees, i tenir una mesura invariant assegura es-sencialment que si dues regions de l’espai d’algu-na manera tenen arees iguals, els punts viatjaranen el seu interior el mateix percentatge de temps.En canvi, a la taula rectangular (que per des-comptat no es ergodica), el centre rebra moltpoc transit en la majoria de les direccions.

En molts sistemes dinamics, hi ha mes d’u-na mesura invariant, es a dir, mes d’una for-ma d’assignar arees per les quals gairebe totesles trajectories travessin arees iguals amb igualfrequencia. De fet, sovint hi ha infinites mesu-res invariants. El que Lindenstrauss va mostrar,pero, es que en certes circumstancies nomes pothaver-hi molt poques mesures invariants. Aixoresulta ser una eina molt potent, una mena demartell capac de trencar problemes oberts forcadifıcils.

I efectivament, Lindenstrauss a continuaciomaneja habilment el seu martell per a trencaralguns d’aquests problemes. Un exemple d’aixoel trobem en el camp de les aproximacions di-ofantiques, que tracta de trobar nombres raci-onals utilment propers a certs nombres irracio-nals. π, per exemple, es pot aproximar bastantbe com a 22

7 . El nombre racional 17957 hi es una

mica mes a prop, pero el seu denominador moltmes gran el fa menys convenient que l’apro-ximacio anterior. A principis del segle xix, elmatematic alemany Johann Dirichlet va propo-sar un estandard per a jutjar la qualitat d’unaaproximacio: l’error d’una aproximacio racionalpq ha de ser inferior a 1

q2 . A continuacio va de-mostrar, amb una prova no gaire complicada,que hi ha un nombre infinit d’aproximacionsa qualsevol nombre irracional que compleixinaquesta norma (es a dir, va demostrar que per aqualsevol nombre α ∈ R, existeix un quantitatinfinita d’enters p i q tals que |α− p

q | <1q2 ).

Fa vuitanta anys, el matematic britanic JohnEdensor Littlewood va proposar un estandardanaleg al de Dirichlet per a l’aproximacio si-multania de dos nombres irracionals: va pensarque hauria de ser sempre possible trobar apro-ximacions p

q per a α i rq per a β de manera que

el producte dels dos errors fos tan petit com esvolgues (mes precisament, l’afirmacio fou queper a qualssevol nombres reals α i β i qualsevolε > 0, existiran aproximacions p

q per a α i rq per

a β tals que |α− pq ||β −

rq | <

εq3 ). Littlewood va

donar el problema als seus estudiants de post-grau, pensant que no hauria de ser gaire mesdifıcil que la prova de Dirichlet. Pero la conjectu-ra de Littlewood resulta ser extraordinariament

48

difıcil i, fins fa poc, no hi ha hagut progressossubstancials.

Be, doncs, Lindenstrauss ha aplicat les se-ves eines de teoria ergodica al problema, en untreball conjunt amb Manfred Einsiedler i Ana-tole Katok. La teoria ergodica pot semblar unaeleccio estranya per a un problema que no invo-lucra sistemes dinamics ni temps, pero aquestsestranys aparellaments son de vegades els mespotents. Heus aquı una manera de reformular elproblema de Littlewood per a poder entreveureuna connexio amb l’aproximacio diofantica. Enprimer lloc imaginem un quadrat unitat, i iden-tifiquem la vora superior amb la vora inferiorper obtenir un cilindre. Ara enganxem la voradreta amb la vora esquerra i obtindrem una for-ma geometrica anomenada tor, que s’assembla aun donut. Es pot enrotllar tot el pla coordenatsobre el tor enganxant un punt (x, y) al puntdel quadrat unitat que te com a coordenadesles parts fraccionaries de x i de y. Aquest tores l’espai del nostre sistema dinamic. A conti-nuacio, definim una transformacio mitjancant(x, y) 7→ (x+α, y+β). Si α i β son irracionals (omes precisament, no racionalment relacionats),aquest sistema dinamic es ergodic. La conjec-tura de Littlewood es converteix en l’afirmacioque aquestes trajectories passen arbitrariamenta prop de l’origen, despres d’aplicar la trans-formacio una quantitat suficient de vegades. Elnombre de vegades que hom aplica la trans-formacio es precisament el denominador de lesfraccions que aproximen α i β.

Usant una nova formulacio de la conjecturade Littlewood en termes d’un sistema dinamicmes complex, Lindenstrauss i els seus col.labo-radors han fet un gran avenc en la conjectura:demostren que si hi ha parells de numeros per

als quals la conjectura es falsa, n’hi ha nomesmolt pocs, una porcio negligible de tots ells.

Un altre exemple del poder de les tecniquesde Lindenstrauss es la seva prova del primer casno trivial de la conjectura d’unicitat ergodica del’aritmetica quantica. Els sistemes ergodics apa-reixen amb certa frequencia en la fısica, ja quetan bon punt tenim tres cossos que interactuen,per exemple, el sistema comenca a comportar-sed’una manera una mica ergodica. Pero si aques-tes interaccions tenen lloc a escala quantica,no es poden descriure amb les eines ordinariesde la teoria ergodica, perque la teoria quanticano permet camins ben definits per a punts enposicions ben definides, sino que nomes es potconsiderar la probabilitat que un cos estigui enuna posicio particular en un moment determinat.L’analisi matematica d’aquests sistemes es extra-ordinariament difıcil, i els fısics s’han de basar,de moment, nomes en simulacions numeriques,sense un suport matematic ferm.

La conjectura d’unicitat ergodica quanticadiu, mes o menys, que si es calcula l’area usantla mesura que es natural en dinamica classica lla-vors, a mesura que l’energia del sistema augmen-ta, aquesta distribucio de probabilitats esdevemes i mes uniforme en l’espai. A mes, aquestamesura es l’unica per la qual aixo es cert. Lin-denstrauss va ser capac de demostrar aixo enun context aritmetic per a determinats tipus desistemes dinamics, tot establint un dels primersgrans avencos rigorosos en la teoria del caosquantic.

Aquests son nomes dos exemples dels resul-tats notables de Lindenstrauss. Els seus metodes,eines i punts de vista molt possiblement donaranmolts mes resultats en els propers anys.

Julie Rehmeyer

49

Ngo Bao Chau, Universitat Parıs-Sud, Franca

For his proof of the fundamental lemma in the theory of automorphic forms through the intro-duction of new algebro-geometric methods.

Ngo Bao Chau ha eliminatun dels grans impedimentsper a un ambicios programa,de decades de durada, des-cobrint connexions ocultesentre arees de les matema-tiques aparentment allunya-des entre si. D’aquesta mane-ra, ha posat una base solidaper a un gran cos teoric, i ha

desenvolupat tecniques que molt possiblementdonaran lloc a una allau de nous resultats.

El camı cap a l’assoliment de Ngo va co-mencar el 1967, quan el matematic Robert Lan-glands va tenir una visio molt audac i avancadad’una mena de tunel matematic que connectados camps que semblaven estar a anys llum dedistancia l’un de l’altre. La seva proposta era tanambiciosa i poc realista, que la primera vegadaque va mencionar-la al gran teorista de nombresAndre Weil, va comencar amb aquesta frase migavergonyint-se’n: Si voste esta disposat a llegir[la carta] com a pura especulacio li ho agraire;si no estic segur que te una paperera a ma. Acontinuacio, Langlands proposa tota una seriede conjectures fascinants, que han demostrat,des de llavors, ser un full de ruta per a una granarea de recerca.

La gran majoria d’aquestes conjectures nohan estat comprovades encara, i es preveu queocuparan molts matematics de generacions futu-res. Tanmateix, el progres del programa fins araha estat un poderos motor per a nous resultatsmatematics, incloent la prova d’Andrew Wilesde l’ultim teorema de Fermat, o la prova deRichard Taylor de la conjectura de Sato-Tate.La plena realitzacio del programa de Langlandsunificaria molts dels camps de les matematiquesactuals, com la teoria de nombres, la teoria degrups, la teoria de representacions, o la geome-tria algebraica.

Langlands va esbossar un pont sobre una se-paracio de les matematiques que data del tempsd’Euclides, la separacio entre magnitud i multi-tud. Les magnituds son la forma matematica dela mantega, una entitat contınua de coses que espoden dividir en trossos tan petits com es vulgui.Lınies i corbes, el pla i l’espai on vivim, i fins i

tot els espais de dimensions superiors son totsmagnituds, i son normalment estudiades amb leseines de la geometria i l’analisi. Les multituds,en canvi, son com els fesols, objectes discretsque es poden posar en munts, pero que no espoden dividir sense perdre la seva essencia. Elconjunt de tots els nombres es l’exemple canonicde multitud i s’estudien amb les eines de la teo-ria de nombres. Langlands va predir que certsnombres que sorgeixen en l’analisi —en concret,els valors propis de certs operadors de formesdiferencials sobre certes varietats de Riemann,anomenades formes automorfes— eren en reali-tat un codi que, si es desxifra, classifica objectesfonamentals del mon aritmetic.

Una de les eines desenvolupades des del pro-grama de Langlands es la formula de la tracade Arthur-Selberg, una equacio que mostra comcerta informacio geometrica pot calcular infor-macio aritmetica. Aixo te valor per si mateix i,a mes, es un primer pas en la demostracio delprincipi de functorialitat de Langlands, un delsgrans pilars del seu programa. Pero Langlandsva topar amb un obstacle molest en tractar d’u-tilitzar la formula de la traca. Va anar trobantunes sumes finites complicades que claramentsemblaven iguals, pero que ell no trobava lamanera de demostrar per que. Semblava un pro-blema senzill, que hauria de poder-se resoldreamb una mica de joc combinatori, de maneraque el va anomenar lema —el terme usat perfer referencia a un resultat menor, pero util— iel va assignar a un estudiant de postgrau.

Quan l’estudiant de postgrau no va poderdemostrar-ho, ho va provar amb un altre. Des-pres, ell mateix s’hi va posar a treballar. I vaconsultar amb d’altres matematics. Al mateixtemps, a mesura que tothom fracassava, la ne-cessitat urgent del resultat es feia cada vegadames evident. Aixı, el problema va passar a serconegut amb un nom lleugerament mes gran:lema fonamental.

Despres de tres decades de treball, nomes unspocs casos especials han pogut ser efectivamentdemostrats. La falta d’una prova general va serun obstacle tan gran per al progres, que moltsmatematics van comencar simplement a suposarque el lema fonamental era cert i a desenvolupar

50

resultats que en depenien. Aixı s’ha creat un costeoric enorme de resultats que s’esmicolarien siel lema fonamental resultes ser fals.

Ngo Bao Chau fou qui finalment resolgueel problema obert. Les complicades identitatsdel lema fonamental que va obtenir poden servistes sorgint de manera natural dels sofisticatsobjectes matematics coneguts com a fibracionsde Hitchen. El seu enfocament fou totalmentnou i inesperat: les fibracions de Hitchen sonobjectes purament geometrics propers a la fısicamatematica, gairebe l’ultima cosa que s’esperavaque pogues ser rellevant per a aquest problema,en la part mes pura de la matematica pura.

Va esdevenir rapidament evident que Ngohavia trobat una profunda connexio. El seu en-focament va convertir la complexitat molesta iincomoda del lema fonamental en una senzillai natural afirmacio sobre fibracions de Hitchen.Fins i tot, abans de completar la seva prova, jahavia aconseguit una cosa encara mes impressi-onant: generar una veritable comprensio sobreel tema.

A mes, posant el problema en aquest marc

molt mes general, Ngo es va dotar de noves ipoderoses eines per a l’assalt definitiu. El 2004,va provar alguns casos especials importants idifıcils treballant amb el seu exdirector de tesi,Laumon Gerard. I el 2008, utilitzant els seusmetodes nous, resolgue el problema en tota laseva generalitat.

Els metodes de Ngo son tan nous que elsmatematics esperen que serviran per a tractartambe altres problemes oberts. Un primer objec-tiu es una altra peca del programa de Langlands,la seva teoria de l’endoscopia.

Les seves tecniques fins i tot podrien assenya-lar el camı cap a una possible prova completadel principi de functorialitat, que estaria ben aprop d’una plena realitzacio de la visio originalde Langlands. Langlands mateix, que te prop desetanta anys i encara esta plenament actiu ma-tematicament, ha desenvolupat un enfocamentaltament especulatiu, pero a l’hora atractiu, peral problema. No esta encara gaire clar que aques-tes idees puguin portar a una prova completa,pero si ho fan, hauran de recolzar en les ideesgeometriques que Ngo ha introduıt.

Julie Rehmeyer

Stanislav Smirnov, Universitat de Ginebra, Suıssa

For the proof of conformal invariance of percolation and the planar Ising model in statisticalphysics.

Stanislav Smirnov ha po-sat una base matematicamolt ferma a una area emer-gent de la fısica matemati-ca. Ha donat demostracionselegants de dues conjecturesantigues i fonamentals de lafısica estadıstica, i ha trobat

simetries sorprenents en models matematics defenomens fısics.

Tot i que el treball de Smirnov es molt teoric,esta relacionat amb algunes preguntes sorpre-nentment practiques. Per exemple, quan l’aiguapot fluir a traves del sol i quan es bloquejada?Per tal que flueixi, els porus a petita escala hand’estar units formant un canal continu d’un lloca un altre. Aquesta es una questio classica dela fısica estadıstica, perque el comportament agran escala d’aquest mateix sistema (si l’aigua

pot fluir a traves d’un canal continu de porus)es determinat per la seva versio a petita escala,el comportament probabilıstic (la probabilitatque en un punt donat del sol, hi hagi un porus).

Tambe es una pregunta natural modelar-ho matematicament. Imaginem que cada puntdel sol es un punt d’un reticle, i li assignemel color blau si l’aigua pot fluir i el groc si nopot. Determinem el color de cada punt amb elllancament d’una moneda ponderada (cares peral groc, creus per al blau). Si un camı de puntsblaus creua d’un costat a l’altre d’un rectangle,l’aigua pot passar d’aquest costat a l’altre.

Aquests models de percolacio es comportend’una manera remarcable. Per als valors extrems,el seu comportament es com hom espera: si lamoneda esta fortament ponderada en contradel blau, l’aigua gairebe amb tota seguretat nopodra circular, i si esta fortament ponderada

51

cap al blau, es gairebe segur que l’aigua circu-lara. Pero la probabilitat que hi hagi circulaciono canvia de manera uniforme a mesura que elpercentatge de punts blaus augmenta. Es gai-rebe segur que l’aigua estara bloquejada men-tre el percentatge de punts blaus sigui inferiora un cert llindar, i un cop se sobrepassa, la pro-babilitat que l’aigua flueixi comenca a creixer.Aquest valor llindar s’anomena el punt crıtic.Aquest canvi brusc de comportament es similaral que succeeix a l’aigua quan s’escalfa: de sob-te, a una temperatura crıtica, comenca a bullir.Per aquesta rao, aquest fenomen s’anomena unatransicio de fase.

Pero, es evident que els sols reals no sonperfectes, amb els porus uniformement espaiatshoritzontalment i verticalment. Per tant, peraplicar aquest model al mon real, ens sorgeixenun parell de questions problematiques. En pri-mer lloc, quant fina ha de ser la malla reticularque considerem? Els fısics estan principalmentinteressats en la comprensio dels processos a es-cala molecular, en aquest cas la malla ha de ser,certament, molt fina. Els matematics a continu-acio es pregunten per les relacions entre modelsamb malles cada vegada mes fines. La seva espe-ranca es que, a mesura que aquestes es facin mesi mes fines, els models s’aproparan a un modelunic que te en efecte una xarxa infinitamentfina, anomenat scaling limit.

Per veure per que no es obvi que l’scalinglimit existeixi, imagineu que elegim un percen-tatge determinat de punts blaus de la malla, ique calculem la probabilitat que els porus s’a-lineın permetent a l’aigua creuar d’un costata l’altre. Ara reduım la mida de la malla i hotornem a calcular. A mesura que la malla es fames i mes fina, les probabilitats que l’aigua creuipot ser que es vagin apropant a un cert nombre,de la mateixa manera que els numeros 1,9, 1,99,1,999, 1,9999... s’acosten cada vegada mes a 2.En aquest cas, aquest nombre sera la probabi-litat de creuament per l’scaling limit. Pero estambe imaginable que les probabilitats de cre-uament vagin saltant i mai no convergeixin capa un lımit concret, com la sequencia de numeros2, 4, 2, 4, 2, 4... En aquest cas, la probabilitatde creuament per l’scaling limit hauria de ser 2o 4? No hi ha una resposta bona, aixı que hemde dir que el scaling limit no existeix.

Una altra questio potencialment problemati-ca es la forma que ha de tenir la malla. Fins i

tot si ens restringim a dues dimensions, hi hamoltes opcions: malles quadrades, malles trian-gulars, malles rombiques... La ideal seria queel model fos universal, de manera que l’elecciode la forma de la malla no importes, pero aixo,obviament, no es cert.

Els fısics estan bastant convencuts que capd’aquests potencials problemes es dolent. Usantla intuıcio fısica, han argumentat de manera con-vincent que el model efectivament convergira aun scaling lımit ben definit, a mesura que la ma-lla es fa fina. D’altra banda, encara que l’elecciode la forma de la malla afecti el punt crıtic, elsfısics s’han convencut que no afectara la majoriade les propietats en que estan interessats.

Els fısics han descobert mes coses sobremalles bidimensionals, incloent certes evidenciesd’una sorprenent i bonica simetria. Imaginemuna malla de qualsevol forma i estirem-la oencongim-la, pero sense modificar els angles.La projeccio de Mercator del globus terraquin’es un exemple: Groenlandia queda enorme jaque les distancies es modifiquen, pero les lıniesde latitud i longitud romanen en angle recte.Els fısics s’han convencut que si es transformenmodels de percolacio bidimensionals d’aques-ta manera, no canviaran els seus scaling limits(sempre que s’estigui a prop dels punts crıtics).O, emprant termes tecnics, estan convencutsque els scaling limits son invariants conformes.

El 1992, John Cardy, un fısic de la Univer-sitat d’Oxford, utilitza aquest fet per aconse-guir un dels grans objectius de la teoria de lapercolacio: una formula precisa que calcula lesprobabilitats de creuament dels scaling limitsde malles bidimensionals a prop del punt crıtic.L’unic problema era que, si be els seus argu-ments fısics semblaven forca convincents, ni ellni ningu mes pogue convertir aquesta intuıciofısica en una demostracio matematica.

El 2001, Smirnov va posar tota aquesta te-oria fısica sobre una base matematica ferma.Va demostrar que els scaling limits son invari-ants conformes, encara que nomes per a mallestriangulars (la forma en que els penics, perexemple, cauen de manera natural quan els po-sem sobre una taula molt junts). En el proces,tambe va demostrar la formula de Cardy pera malles triangulars. La seva prova utilitza unenfocament independent dels usats anteriormentpels fısics i proporciona unes perspectives no-ves i fonamentals. Fins i tot va cobrir un pas

52

crıtic que mancava en la teoria de l’evoluciode Schramm-Loewner, un metode important re-centment desenvolupat en fısica estadıstica.

En un altre exit important, Smirnov utilitzametodes similars per a entendre el model d’Ising,que descriu fenomens com el magnetisme, el mo-viment dels gasos, el processament d’imatges ol’ecologia. Exactament igual que amb la percola-cio, els comportaments a gran escala d’aquestsfenomens estan determinats pel seu comporta-ment probabilıstic a petita escala. Considerem,per exemple, el magnetisme: els atoms en untros de ferro es comporten com imants en minia-tura, amb els electrons que es mouen al voltantdel nucli i creen un camp magnetic en minia-tura. Els atoms intenten atreure els seus veınscap a la seva propia alineacio. Quan suficientsatoms tenen els seus pols nord apuntant cap ala mateixa direccio, el ferro en el seu conjuntes magnetitza. Els matematics modelitzen aixomitjancant la col.locacio dels atoms en els nodesd’una malla, amb regles estadıstiques que de-terminen quan estan alineats amb els pols nordapuntant cap amunt o cap avall.

Igual que el model de percolacio, el modeld’Ising pateix tambe una transicio de fase: amesura que s’escalfa el ferro, els atoms vibren

mes rapidament, i si s’escalfa per sobre d’un certpunt, les vibracions son tan fortes que els atomsveıns de sobte deixen d’estar alineats els unsamb els altres i la peca en conjunt comenca aperdre el seu magnetisme.

Les mateixes preguntes que preocupen elsmatematics i els fısics en percolacio s’apliquentambe al model d’Ising. La malla ha de ser moltfina, ja que s’esta operant al nivell atomic. Aixıdoncs, a mesura que la malla es fa mes i mesfina, el model convergeix cap a una versio infi-nitament fina, un scaling limit? D’altra banda,com afecta la forma de la malla al punt crıtic ia altres propietats? I que passa si estirem o en-congim la malla sense canviar els angles, canvial’scaling lımit?

Per a aquest model, tambe, Smirnov va sercapac de demostrar que els models convergeixencap a un scaling limit a mesura que la mallaes fa mes fina, i que no es veuen afectats perestiraments o encongiments, es a dir, que soninvariants conformes. Despres, juntament ambDmitry Chelkak, va establir la universalitat, es-tenent els resultats a una amplia gamma demalles. Tambe ha fet un treball important enanalisi i sistemes dinamics. La seva obra seguiraenriquint les matematiques i la fısica en el futur.

Julie Rehmeyer

Cedric Villani, Ecole Normale Superieure de Lyon, Franca

For his proofs of nonlinear Landau damping and convergence to equilibrium for the Boltzmannequation.

Cedric Villani ha creat unaprofunda base matematicaper a una gran varietat defenomens fısics. Al centrede gran part de la seva obras’hi troba la seva profun-da interpretacio matematicadel concepte fısic d’entropia,que ha aplicat per solucionar

grans problemes inspirats en la fısica. A mes,els seus resultats han alimentat de nou les ma-tematiques, enriquint ambdos camps, a travesde la connexio.

Villani va comencar la seva carrera matema-tica reexaminant una de les teories mes impac-tants i controvertides de la fısica del segle xix.El 1872, Ludwig Boltzmann va estudiar que pas-sa quan es treu el tap d’un recipient ple de gas

i el gas s’esten per tota l’habitacio. Boltzmannva explicar el proces mitjancant el calcul de laprobabilitat que una molecula de gas estigui enun lloc determinat amb una velocitat particular,en qualsevol moment en particular —abans quela teoria atomica de la materia fos ampliamentacceptada. I es mes impactant encara que laseva equacio crees una fletxa del temps.

La questio era la seguent: quan les moleculesreboten entre si, les seves interaccions son re-gulades per les lleis de Newton, que son per-fectament reversibles en el temps; es a dir, enprincipi, es podria aturar el temps, enviar totesles molecules endarrere en les direccions de lesquals provenen, i es comprimirien de nou dinsel recipient. Pero, l’equacio de Boltzmann noes reversible en el temps. Les molecules gairebesempre van d’un estat de major ordre (per exem-

53

ple, tancades en el recipient) a menor ordre (perexemple, escampades per l’habitacio). O, mestecnicament, l’entropia augmenta.

Durant les decades seguents, els fısics es vanhaver de resignar a l’emergencia de l’entropia deles lleis reversibles en el temps i, de fet, l’entropiaes va convertir en una eina clau de la fısica, la te-oria de la probabilitat i la teoria de la informacio.Una pregunta fonamental, pero, va quedar senseresposta: amb quina rapidesa augmenta l’en-tropia? Experiments i simulacions numeriquespodien proporcionar estimacions aproximades,pero no es tenia una comprensio profunda delproces.

Villani, juntament amb els seus col.labora-dors Giuseppe Toscani i Laurent Desvillettes, vadesenvolupar els fonaments matematics necessa-ris per a obtenir una resposta rigorosa, fins i totquan el gas parteix d’un estat altament ordenatque te un llarg camı per recorrer fins a assolirel seu estat d’equilibri desordenat. El seu desco-briment va tenir una implicacio completamentinesperada: si be l’entropia sempre augmenta,de vegades ho fa rapidament i de vegades meslentament. A mes, els seus treballs posen de ma-nifest certes connexions entre l’entropia i altresarees de les matematiques aparentment senserelacio, com la desigualtat de Korn en la teoriade l’elasticitat.

Despres d’assolir aquesta fita, Villani va di-rigir el seu profund coneixement de l’entropiacap a una altra teoria, tambe inicialment contro-vertida. El 1946, el fısic sovietic Lev DavidovichLandau va fer una afirmacio al.lucinant: en cer-tes circumstancies, un fenomen pot acostar-se al’equilibri sense augmentar l’entropia.

En un gas, els dos fenomens van semprejunts. El gas s’apropa a l’estat d’equilibri i es di-fon per tota l’habitacio, perdent qualsevol ordreque tingues inicialment i augmentant l’entropiael maxim possible. Pero el plasma de Landau,una forma de la materia semblant al gas, queconte tanta energia que els electrons es mante-nen allunyats dels atoms, es una historia moltdiferent. En el plasma, les partıcules carregadesque suren lliurement creen un camp electric que,al seu torn, influeix en el seu propi moviment.Aixo significa que, a diferencia de les partıculesen un gas, que afecten unicament el movimentde les partıcules veınes amb qui col.lisionen, lespartıcules de plasma influeixen tambe en el movi-ment de les partıcules llunyanes que mai toquen.

Aixo significa que l’equacio de Boltzmann per alsgasos no funciona, i enlloc seu s’ha de prendrel’equacio de Vlasov-Poisson, que es reversibleen el temps i, per tant, no implica un augmentde l’entropia.

No obstant aixo, el plasma, com el gas,s’esten i s’acosta a un estat d’equilibri. Es creiaque aixo passava nomes per les col.lisions entreatoms. Pero Landau va argumentar que, finsi tot sense col.lisions, el plasma es mouria capa l’equilibri a causa de la disminucio del campelectric. Ho va demostrar tambe, pero nomesper a una aproximacio lineal simplificada del’equacio de Vlasov-Poisson.

Malgrat la gran quantitat d’estudis durantles seguents sis decades, poc s’ha avancat enla comprensio de per que es produeix aquestestat d’equilibri, o en la demostracio de l’afirma-cio de Landau per l’equacio de Vlasov-Poissoncompleta. L’any passat, Villani, en col.laboracioamb Clement Mouhot, finalment va arribar a unconeixement profund del proces i va demostrarel principi de Landau.

Una tercera area important del treball deVillani inicialment semblava no tenir res a veureamb l’entropia —fins que Villani hi va trobarconnexions profundes que van transformar elcamp. Es va involucrar en la teoria del trans-port optim, que havia sorgit d’una pregunta benpractica: suposem que tenim un conjunt de mi-nes i un conjunt de fabriques, a diferents llocs,amb diferents costos per a moure el mineralde cada mina en particular a cada fabrica enparticular. Quina es la manera mes barata detransportar el mineral?

Aquest problema va ser estudiat per primeravegada pel matematic frances Gaspard Mongeel 1781 i redescobert pel matematic rus LeonidKantorovich el 1938. El treball de Kantorovichsobre aquest problema va fer florir tot un campde recerca nou (la programacio lineal), li va valerel Premi Nobel d’Economia el 1975, i es va esten-dre en una notable varietat d’arees, incloent lameteorologia, els sistemes dinamics, la mecanicade fluids, les xarxes de reg, la reconstruccio d’i-matges, la cosmologia, la col.locacio d’antenesreflectores i, en l’ultim parell de decades, lesmatematiques.

Villani i Felix Otto van fer una de les con-nexions fonamentals quan es van adonar quela difusio d’un gas podria ser entesa en l’ambitdel transport optim. Una configuracio inicial de

54

les partıcules de gas pot considerar-se com lesmines, i una configuracio posterior es pot veurecom les fabriques. (Mes precisament, es tractade la distribucio de probabilitat de les partıculesen cada cas.) Com mes lluny s’hagin de moureles partıcules de gas per anar d’una configuracioa una altra, major sera el cost.

Llavors, hom pot imaginar cadascuna d’a-questes configuracions possibles com correspo-nent a un punt en un paisatge muntanyos abs-tracte. La distancia entre dos punts es defineixcom el cost de transport optim, i l’altura de cadapunt es defineix per l’entropia (els punts baixosamb entropia alta). Aixo li dona una manerad’entendre el que succeeix quan un gas s’escam-pa per una habitacio: es com si el gas rodes pelsvessants d’aquest terreny abstracte, amb les se-ves configuracions canviants segons s’especificaen els punts del seu camı pendent avall.

Suposem ara que hi ha un ventilador bufanta la sortida del recipient del gas, de maneraque aquest no es propaga de manera uniformementre es difon. Matematicament, aixo pot sermodelat distorsionant o corbant l’espai en que el

gas s’esta estenent. Villani i Otto es van adonarque la curvatura de l’espai on el gas es propagaes tradueix en la topografia del paisatge abstrac-te. Aquesta connexio els va permetre aplicar elseu ric coneixement matematic sobre curvatura(en particular, la curvatura de Ricci, que va serfonamental en la solucio recent de la conjecturade Poincare) per a respondre preguntes sobretransport optim.

D’altra banda, Villani i John Lott van sercapacos d’aprofitar aquests enllacos amb eltransport optim per a desenvolupar encara mesla teoria de la curvatura. Per exemple, els ma-tematics no havien trobat la manera de defi-nir la curvatura de Ricci en algunes situacions,com per exemple una cantonada aguda. Villa-ni i Lott (i al mateix temps, utilitzant einescomplementaries, Karl-Theodor Sturm) van sercapacos d’utilitzar la connexio amb el transportoptim per a oferir una definicio i aprofundiren la comprensio matematica de la curvatura.Aquesta profunditat en el desenvolupament denoves connexions entre diferents arees es tıpicadels treballs de Villani.

Julie Rehmeyer

Premi Nevanlinna 2010: Daniel Spielman, Universitat de Yale, EUA

For smoothed analysis of Linear Programming, algorithms for graph-based codes and applicationsof graph theory for Numerical Computing.

La programacio lineal (LP)es una de les eines mes utilsen la matematica aplicada.Es tracta basicament d’unatecnica per a l’optimitzaciod’una funcio objectiu subjec-ta a restriccions lineals d’i-gualtat i de desigualtat. Pot-ser l’algorisme mes antic pera la LP (un algorisme es una

sequencia finita d’instruccions per a resoldre unproblema computacional; es com un programad’ordinador) es el que es coneix com el metodesımplex. L’algorisme sımplex va ser ideat perGeorge Dantzig el 1947, i es extremadamentpopular per a resoldre numericament problemesde programacio lineal, fins i tot avui en dia. Entermes geometrics, les restriccions defineixen unpolıedre convex en un espai de dimensio alta il’algorisme sımplex arriba al punt optim passant

d’un vertex del polıedre a un altre vertex veı.

El metode funciona molt be en la practica,tot i que en el pitjor dels casos (per a inputsconstruıts artificialment) l’algorisme necessitaun temps exponencial. Per tant, entendre la com-plexitat de la LP i la de l’algorisme del sımplexhan estat grans problemes de la informaticateorica. Els matematics han estat intrigats perl’eficacia general del metode del sımplex a lapractica i han intentat durant molt de tempsestablir aquest fet com un teorema matematic.Si be l’analisi del cas pitjor es una eina eficacper a estudiar la dificultat d’un problema, noho es per a estudiar la realitzacio practica d’unalgorisme. Una alternativa es l’analisi del casmitja, on es fa una mitjana dels temps necessarisper a tots els inputs d’una determinada mida.Pero els casos reals que sorgeixen en la practica,poden ser diferents del cas mitja. Aixı, l’analisidel cas mitja no sempre es adequada.

55

El 1979 L. G. Kachian va demostrar que elproblema LP es a P, es a dir, hi ha un algo-risme per a la programacio lineal que funcionaen temps polinomial, i aixo va portar al desco-briment d’algorismes polinomials per a moltsproblemes d’optimitzacio. La creenca generalllavors fou que hi ha una correspondencia realentre ser bo en teoria i ser bo en la practica;que aquests dos aspectes no poden coexistirper a la LP. No obstant aixo, el metode delpunt interior de Narendra Karmarkar del 1984i les seves posteriors variacions, amb comple-xitat polinomica, va trencar aquesta creenca.Els metodes de punt interior construeixen unasequencia de punts accessibles, que es troben al’interior del polıedre, mai en el seu lımit (en-front de la ruta de vertex a vertex seguida perl’algorisme del sımplex), que convergeix a lasolucio. L’algorisme de Karmarkar i els descobri-ments teorics i practics posteriors competeixenen eficacia amb el metode del sımplex i de vega-des son superiors.

Pero, malgrat aquests avencos, el metodedel sımplex segueix sent el metode mes popularper a la solucio de problemes de la LP, i nohi havia cap explicacio satisfactoria del seu ex-cel.lent comportament fins que el bell conceptede smoothed analysis introduıt per Spielman iShang-Hua Teng els va permetre de demostrarun teorema matematic en aquest sentit.

L’smoothed analysis fa una analisi mes re-alista de l’execucio practica de l’algorisme queno pas els escenaris de cas pitjor o de cas mitja.Ofereix una manera, segons Spielman, d’ex-plicar l’exit practic dels algorismes i heurıstiquesque tenen un comportament dolent en el cas delpitjor input. L’ smoothed analysis es un hıbridde les analisis de cas pitjor i cas mitja, quehereta els avantatges d’ambdos. La prova deSpielman i Teng es realment un tour de force,diu Gil Kalai, un professor de matematiquesde la Universitat Hebrea de Jerusalem i pro-fessor adjunt de matematiques i ciencies de lacomputacio a la Universitat de Yale.

La complexitat suavitzada d’un algoris-me ve donada pel rendiment de l’algorisme sotalleugeres pertorbacions aleatories dels pitjorsinputs. Si la complexitat suavitzada es baixa,aleshores l’algorisme del sımplex, per exemple,ha de donar bons resultats en casos practicsen els quals les dades d’entrada estan subjec-tes a sorolls i pertorbacions. Es a dir, si be

pot haver-hi inputs patologics en que el metodefalla, lleugeres modificacions de qualsevol exem-ple patologic dona un problema senzill, en queel metode del sımplex funciona molt be. Atraves de l’smoothed analysis, els teorics podentrobar motius per a apreciar heurıstiques quepreviament havien rebutjat. Mes encara, espe-rem que l’smoothed analysis inspirara el dissenyd’algorismes bons que podrien haver estat re-butjats per tenir una complexitat dolenta en elcas pitjor, ha dit Spielman.

L’Association for Computing Machinery(ACM) i l’European Association for Theoreti-cal Computer Science (EATCS) van atorgar elPremi Godel 2008 a Spielman i Teng per desen-volupar aquesta eina. L’article de Spielman iTeng titulat Smoothed analysis of algorithms:why the simplex algorithm usually takes poly-nomial time, publicat a la revista de l’ACM,va ser tambe un dels tres guanyadors del Pre-mi Fulkerson 2009, atorgat conjuntament perl’American Mathematical Society (AMS) i laMathematical Programming Society (MPS).

Des de la seva introduccio el 2001, l’smoothedanalysis ha estat utilitzat com a base per a unainvestigacio considerable, sobre problemes quevan des de la programacio matematica, l’analisinumerica, l’aprenentatge automatic o la mine-ria de dades. Malgrat aixo, escriu Spielman,encara no sabem si l’smoothed analysis, la mesambiciosa i teorica de les analisis, donara lloc amillores en la practica.

Una segona contribucio important de Spiel-man es troba en l’ambit de la codificacio. Granpart de les comunicacions d’avui en dia utilitzencodificacio, ja sigui per a preservar la confiden-cialitat del contingut o per a evitar errors en lacomunicacio. Els codis correctors d’errors (ECC)son el mitja amb el qual es corregeixen les possi-bles interferencies en una comunicacio. Els ECCstenen un paper significatiu en la tecnologia mo-derna, des de les comunicacions per satel.lit finsa les memories d’ordinador. Els ECC permetenal receptor recuperar el missatge correcte, en-cara que un cert nombre de bits del missatges’hagin corromput, sempre i quan el nombred’errors estigui per sota d’un cert llindar. Elstreballs de Spielman proposen codis que per-meten codificar i descodificar rapidament i quepermeten una comunicacio amb taxes properesa la capacitat del canal de comunicacio.

56

En la teoria de la informacio, el low-densityparity-check code (LDPC) es un ECC lineal,que corregeix bloc a bloc i que permet la trans-missio de missatges a traves d’un canal ambsoroll. Els codis LDPC es construeixen usantuna certa classe de grafs dispersos (on el nombred’arestes es molt menor al maxim possible). Estracta de codis que s’aproximen a la capacitat,la qual cosa significa que existeixen construcci-ons practiques que permeten establir els llindarsde soroll molt a prop del lımit teoricament possi-ble. Usant certes tecniques iteratives, els LDPCpoden ser descodificats en temps lineal respectede la seva longitud de bloc.

Una tecnica important per tal de codificar idescodificar de manera eficient es basa en unsgrafs molt ben connectats, pero alhora dispersos,anomenats expanders. Es aquesta caracterısticacontraintuıtiva i aparentment contradictoria delsexpanders —que estan dispersos pero molt benconnectats— la que els fa molt utils, assenyalaPeter Sarnak, un professor de matematiques dela Universitat de Princeton. Spielman i els seuscoautors han fet una tasca fonamental usantaquests metodes de teoria de grafs i han disse-nyat metodes molt eficients per a la codificacioi descodificacio.

L’article mes famos de Spielman en aquestcamp es Improved low-density parity check co-des using irregular graphs, que va compartir el2002 Information Theory Society Paper Award.(Els grafs regulars, a diferencia dels grafs irre-gulars, son aquells on cada vertex te el mateixnombre de veıns.) Aquest treball va demostrarque els codis LDPC irregulars es comportenmolt millor que els mes comuns, que utilitzengrafs regulars sobre un canal de soroll blanc,gaussia i additiu (AWGN).

Aquesta fou una extensio del treball anteriorEfficient erasure correcting codes, de Spiel-man i altres, que havia introduıt els codis LDPCirregulars i havia demostrat que podien acostar-

se a la capacitat de l’anomenat binary erasurechannel. Aquests codis proporcionen una solucioeficac a problemes com la perdua de paquetsa traves d’Internet i son particularment utilsen la difusio selectiva de comunicacions. Tambeproporcionen una de les millors tecniques cone-gudes de codificacio per a reduir al mınim elconsum d’energia necessari per a aconseguir unacomunicacio fiable en presencia de soroll blancgaussia. Els codis LDPC irregulars han tingutmolts altres usos, incloent el recent estandardDVB-S2 (Digital Video Broadcasting - Satellitev2).

Spielman ha sol.licitat cinc patents per alsECC que ha inventat i quatre d’aquestes ja hanestat concedides per l’oficina de patents delsEstats Units.

Computacio cientıfica combinatoria es elnom donat al camp interdisciplinari en el qualhom aplica la teoria de grafs i els algorismescombinatoris a problemes de ciencies de la com-putacio i d’enginyeria. Spielman ha focalitzatrecentment la seva atencio a un dels problemesmes fonamentals de la computacio: el proble-ma de resoldre un sistema d’equacions lineals,que es fonamental per a aplicacions cientıfiquesi d’enginyeria, programacio matematica i d’a-prenentatge automatic. Ha trobat algorismesremarcables que funcionen en temps lineal i ba-sats en particions de grafs per a diverses classesimportants de sistemes lineals. Aixo ha portattant a considerables avencos teorics com a algo-rismes bons des d’un punt de vista practic.

La bellesa de la interaccio entre teoria ipractica, ja sigui en programacio matematica,en codis correctors d’errors, en la recerca dedispersors que assoleixen l’anomenada fita deRamanujan, en l’analisi d’algorismes, en la teoriade la complexitat computacional, o en l’analisinumerica, es caracterıstica de l’obra de DanSpielman, diu Kalai.

R. Ramachandran

Premi Gauss 2010: Yves Meyer,professor emerit a l’Ecole Normale Superieure de Cachan, Franca

For fundamental contributions to number theory, operator theory and harmonic analysis, andhis pivotal role in the development of wavelets and multiresolution analysis.

57

Quan et sentis competentsobre una teoria, es horad’abandonar-la. Aquest haestat el principi de Meyeren la seva destacada tra-jectoria de mes de quatre de-cades de recerca matematica.Creu que nomes els investi-gadors que son nous en untema poden tenir imaginacio

i aconseguir grans contribucions. En aquest sen-tit, Meyer ha passat per quatre fases diferentsen la seva activitat de recerca, corresponentsa les seves exploracions de quatre arees dife-rents —quasicristalls, el programa de Calderon-Zygmund, ones i l’equacio de Navier-Stokes. Lavarietat de temes en els quals ha treballat es indi-cativa dels seus interessos generals. En cadascund’aquests temes Meyer ha fet contribucions fona-mentals. La seva extensa obra suggereix que nodeixa un camp d’investigacio on ha entrat finsque esta convencut que el tema esta exhauritdes d’un punt de vista logic. Es com si Meyeraparegues en escena, lligues caps desconnectats,dones una imatge unificadora dels diferents en-focaments existents, poses les bases per a unmarc teoric adequat, sempre amb el segell deMeyer, i despres sortıs de l’escena.

Les llavors per als enfocaments altament ori-ginals de Meyer en totes les branques de lesmatematiques en que s’ha aventurat, es vansembrar segurament al principi de la seva car-rera. Va comencar la seva carrera de recercadespres d’haver estat professor de secundariadurant els tres anys seguents a la seva educaciouniversitaria. Va completar el seu doctorat el1966 amb nomes tres anys. Vaig ser el meu pro-pi supervisor quan vaig escriure la meva tesi,diu Meyer. Aquesta perspectiva individualistaha estat el seu segell fins al dia d’avui.

El 1970 Meyer va presentar algunes ideescompletament innovadores en analisi harmonica(una branca de les matematiques que estudia larepresentacio de funcions o senyals com a super-posicio d’ones basiques), que van resultar ser nonomes utils en teoria de nombres, sino tambeen l’anomenada teoria dels quasicristalls. Hi hacerts nombres algebraics anomenats numeros dePisot-Vijayaraghavan i certs nombres conegutscom a nombres de Salem. Aquests tenen algunespropietats notables que apareixen en l’analisiharmonica i l’aproximacio diofantica (aproxima-

cio de nombres reals per nombres racionals). Perexemple, el nombre auri es un d’aquests nombres.Yves Meyer va estudiar aquests numeros i vademostrar un resultat remarcable. El treball deMeyer en aquesta area va portar a les nocionsde Meyer, que han tingut un paper importanten la teoria matematica dels quasicristalls.

Els quasicristalls son estructures ordenadesque omplen l’espai, pero que no tenen simetriade translacio i son aperiodiques en general. Lateoria classica dels cristalls nomes permet si-metries de rotacio d’ordres 2, 3, 4 i 6, pero elsquasicristalls presenten simetries d’ordre 5, entrealtres ordres. Igual que els cristalls, els quasicris-talls produeixen difraccio de Bragg modificada,pero alla on els cristalls tenen una estructurade repeticio simple, els quasicristalls presentenestructures mes complexes com les tesselacionsaperiodiques. Les tesselacions de Penrose sonun exemple d’una d’aquestes estructures ape-riodiques que presenta simetria d’ordre 5. Meyerva estudiar certs conjunts a l’espai euclidia n-dimensional (actualment coneguts com els con-junts de Meyer), que es caracteritzen per unacerta propietat de finitud del seu conjunt dedistancies. La idea de Meyer fou que l’estudid’aquests conjunts inclou l’estudi de possibles es-tructures de quasicristalls. Aquesta base formals’ha convertit en una eina important en l’estudide les estructures aperiodiques en general.

El 1975 Meyer va col.laborar amb RonaldCoifman en el que s’anomenen operadors de Cal-deron-Zygmund. Els importants resultats quevan obtenir van donar lloc a diversos treballsd’altres autors, que alhora han donat lloc aaplicacions en arees com ara l’analisi comple-xa, les equacions en derivades parcials, la teoriaergodica, la teoria de nombres o la teoria ge-ometrica de la mesura. Aquest enfocament deMeyer i Coifman es pot veure com la interac-cio entre dos paradigmes oposats: l’enfocamentclassic d’analisi complex i l’enfocament mes mo-dern de Calderon-Zygmund, que es basa prin-cipalment en tecniques de variable real. Avuien dia, es aquest ultim enfocament el que do-mina, fins i tot per a problemes que en realitatpertanyen a l’area de l’analisi complexa.

L’enfocament de Calderon-Zygmund fou elresultat de la recerca de noves tecniques, ja queels metodes d’analisi complexa no funcionenen dimensions superiors. Aixo va ser fet perS. Mihlin, Calderon i A. Zygmund, els quals van

58

investigar i resoldre el problema per una ampliaclasse d’operadors, que ara es coneixen comals operadors integrals singulars, o operadors deCalderon-Zygmund. Aquests operadors integralssingulars son molt mes flexibles que la represen-tacio estandard d’un operador, segons Meyer.El seu treball conjunt amb Coifman sobre certsoperadors integrals multilineals ha demostratser de gran importancia per al tema. Amb Coif-man i Alan MacIntosh va demostrar la fitacio ila continuıtat de l’operador integral de Cauchy,que es l’exemple mes famos d’un operador inte-gral singular, sobre totes les corbes de Lipschitz.Aixo havia estat un problema obert en l’analisides de fa molt de temps.

Meyer descriu la seva fase d’investigacio so-bre ondetes, que han tingut un gran impacte enel processament del senyal i la imatge, com unasegona vida cientıfica. Una ondeta es una breuoscil.lacio semblant a una ona, amb l’amplitudque comenca a zero, augmenta i disminueix denou fins a zero, semblant a la que pot ser re-gistrada per un sismograf o un monitor cardıac.Pero en matematiques les ondetes estan espe-cialment construıdes per tal de satisfer certesexigencies matematiques, i s’utilitzen en la repre-sentacio de dades o altres funcions. Com a einesmatematiques s’utilitzen per a extreure informa-cio de molts tipus de dades, incloses les senyalsd’audio o les imatges. Generalment son necessa-ris conjunts d’ondetes per a analitzar les dades.Les ondetes es poden combinar amb porcionsd’un senyal desconegut mitjancant la tecnica deconvolucio per a extreure’n informacio.

La representacio de funcions com una super-posicio d’ones no es nova. Es coneix des de prin-cipis del 1800, quan Joseph Fourier va descobrirque podia representar altres funcions mitjancantla superposicio de sinus i cosinus. Les funcionssinus i cosinus tenen una frequencia ben definida,pero s’estenen fins a l’infinit; es a dir, mentreestan localitzades en frequencia, no ho estan enel temps. Aixo significa que, tot i que podemser capacos de determinar totes les frequenciesen un senyal donat, no sabem quan estan pre-sents. Per aquest motiu, un desenvolupamentde Fourier no pot representar adequadament elssenyals transitoris o senyals amb canvis bruscos.Durant decades, els cientıfics han buscat funci-ons adequades mes enlla del sinus i el cosinusper aproximar els senyals entretallats.

Amb la intencio de superar aquest proble-

ma, s’han desenvolupat diverses solucions enles ultimes decades per a representar un senyalalhora en el domini del temps i de la frequencia.L’esforc en aquesta direccio es va iniciar en ladecada de 1930 amb la transformada de Wigner,una construccio deguda a Eugene Wigner, famosmatematic i fısic. Basicament les ondetes sonels blocs de construccio d’uns espais de funcionsque son mes locals que les series de Fourier i lesintegrals. La idea darrere de les representacionsconjuntes temps-frequencia es tallar el senyald’interes en diverses parts i analitzar cada partper separat amb una resolucio igual a la sevaescala. En l’analisi d’ondetes, aquestes funcionsd’aproximacio que es troben en dominis finitsesdevenen forca apropiades per a l’analisi dedades amb discontinuıtats fortes.

La pregunta fonamental que l’enfocamentamb ondetes intenta respondre es com tallarel senyal. La representacio en el domini temps-frequencia te una limitacio imposada pel prin-cipi d’incertesa de Heisenberg que tots dos do-minis, temps i frequencia, no es poden localit-zar simultaniament amb una precisio arbitraria.Per tant, desplegar un senyal en el pla temps-frequencia es un problema difıcil que es podriacomparar amb escriure una partitura i escoltarla musica al mateix temps. Aixı, grups en di-ferents camps d’investigacio han desenvolupattecniques de descomposicio de senyals localit-zades en el temps i d’acord amb les escales deresolucio del seu interes. Aquestes tecniques vanser les precursores de l’enfocament amb ondetes.

La tecnica d’analisi d’ondetes comenca ambl’eleccio d’una funcio ondeta prototip, anome-nada ondeta mare. L’analisi de resolucio deltemps es pot realitzar amb una versio contretai d’alta frequencia de l’ondeta mare. L’analiside resolucio de frequencies es pot realitzar ambuna versio dilatada i de baixa frequencia d’a-questa mateixa ondeta mare. La transformaciod’ondeta, o analisi d’ondetes, es la solucio mesrecent per a superar les limitacions de la trans-formada de Fourier. En l’analisi d’ondetes, l’usd’una finestra modular totalment escalable resolel problema de com tallar el senyal esmentatanteriorment. La finestra es desplaca al llarg delsenyal i per a cada posicio es calcula l’espectre (i.e. la transformacio). A continuacio, es repeteixel proces diverses vegades amb finestres una mi-ca mes curtes (o llargues) per a cada nou cicle.El resultat d’aquesta analisi repetitiva del senyal

59

es una col.leccio de representacions temps-escaladel senyal, cadascuna amb diferent resolucio; endefinitiva, resolucio multiescala o analisi mul-tiresolucio. En poques paraules, l’escala grandona el panorama general, mentre que la petitamostra els detalls. Es com fer zoom sense perduade detalls. Es a dir, l’analisi d’ondetes veu tantel bosc com els arbres.

En geofısica i exploracio sısmica, es podentrobar models per a analitzar la propagacio sub-terrania d’ones. En visio per ordinador s’usendescomposicions multiescala d’imatges, ja quel’escala depen de la profunditat de l’escena. Enel processament d’audio, es desenvolupen bancsde filtres d’ample de banda constant (filtres di-latats) aplicats a l’analisi de sons i de parla, iper a manejar el problema de l’analisi multies-cala del desplacament Doppler dels senyals deradar. Les descomposicions multiescala van serutilitzades en fısica quantica per Kenneth G.Wilson per a la representacio d’estats coherentsi tambe per a analitzar les propietats fractalsde les turbulencies. En neurofisiologia, els mo-dels de dilatacio van ser introduıts pel fısic G.Zweig per a modelar les respostes de les cel.lulessimples del cortex visual i de la coclea auditiva.L’analisi d’ondetes portaria tots aquests enfoca-ments diferents cap a un marc unificat. Meyeres ampliament reconegut com un dels fundadorsd’aquest marc: la teoria d’ondetes.

El 1981, Jean Morlet, un geoleg que treba-llava amb senyals sısmics, havia desenvolupatel que es coneix com a ondetes Morlet, que fun-cionaven molt millor que les transformades deFourier. En realitat Morlet i Alex Grossman, unfısic a qui Morlet s’havia apropat per compren-dre la base matematica del que estava fent, vanser els primers a usar el terme ondeta (waveleten angles) el 1984. Meyer sentı parlar d’aquesttreball i va ser el primer a adonar-se de la con-nexio entre les ondetes de Morlet i altres cons-truccions matematiques anteriors, com ara eltreball de Littlewood i Paley utilitzat per a laconstruccio d’espais funcionals i per a l’analisidels operadors singulars en el programa de Cal-deron-Zygmund.

Meyer va estudiar si era possible construiruna base ortonormal amb ondetes. (Una base or-tonormal es com un sistema de coordenades enl’espai de funcions i, com els familiars eixos decoordenades, cada funcio de la base es ortogonala les altres. Amb una base ortonormal hom pot

representar cada funcio de l’espai en termes deles funcions de la base.) Aixo va portar al seuprimer resultat fonamental en el tema d’ondetes,en un article al seminari Bourbaki on construeixuna gran quantitat de bases ortonormals ambfuncions de classe Schwarz (funcions que tenenvalors nomes sobre una petita regio i que deca-uen rapidament fora). Aquest article va ser ungran avenc que va permetre una analisi posteriorper part del propi Meyer. En aquest article,diu Stephane Mallat, la construccio de Meyerhavia aıllat les estructures clau en les quals jovaig poder reconeixer les similituds amb les ei-nes utilitzades en visio per computador per al’analisi multiescala d’imatges, i en el processa-ment de senyal per als bancs de filtres.

Una col.laboracio entre Mallat i Meyer va do-nar lloc a la construccio de l’analisi matematicamultiresolucio i a una caracteritzacio de les ba-ses ortonormals d’ondetes amb filtres mirall con-jugats, que els permet implementar un primeralgorisme de transformacio d’ondetes que funcio-na mes rapid que l’algorisme de la transformadarapida de Fourier (FFT). Gracies al resultat deMeyer-Mallat, les ondetes esdevenen molt mesfacils d’utilitzar. Hom pot fer ara una analisid’ondetes sense coneixer la formula per a l’on-deta mare. El proces es va reduir a simplesoperacions de fer la mitjana de grups de pıxelsi mirar diferencies, una i altra vegada. El llen-guatge de les ondetes tambe va esdevenir moltmes comode per als enginyers electrics.

En els anys vuitanta la revolucio digital es-tava a l’ordre del dia i hi havia una necessitatcrıtica de trobar algorismes eficients per al pro-cessament del senyal i la imatge. L’estandardJPEG per a compressio d’imatges va ser desen-volupat en aquest moment. El 1987, Ingrid Dau-bechies, una estudiant de Grossman, mentrevisitava el Courant Institute de Nova York imes tard durant el seu treball a l’AT&T BellLabs, va descobrir una classe particular de filtresmirall conjugats amb suport compacte, que nonomes eren ortogonals (com els de Meyer) sinoque tambe eren estables, i es podien implemen-tar usant idees de filtratge digital ben simples.Les noves ondetes eren senzilles de programari eren funcions suaus, a diferencia d’algunes deles funcions de salt anteriorment considerades.Els processadors de senyal tenen ara una einafabulosa: una manera de trencar el senyal digitalen contribucions a diverses escales.

60

Combinant les idees de Daubechies i Mallat,hom pot fer una senzilla transformacio ortogonalque pot ser calculada rapidament pels ordina-dors moderns. Les ondetes de Daubechies con-verteixen la teoria en una eina practica que potser facilment programada i usada per qualsevolcientıfic amb un mınim de formacio matematica.El primer article Bourbaki de Meyer va establir,de fet, les bases del marc matematic adequat pera les ondetes. Aixo va marcar el comencamentde la moderna teoria d’ondetes. En els ultimsanys les ondetes han comencat a oferir una alter-nativa interessant als metodes de transformadade Fourier.

Curiosament, la primera reaccio de Meyer al’obra de Grossman i Morlet va ser I que? Nos-altres els analistes harmonics sabıem tot aixofa molt de temps!. Pero va mirar el treballuna altra vegada i es va adonar que Grossman iMorlet havien fet alguna cosa diferent i mes in-teressant. Es va basar en aquesta diferencia performular finalment la seva construccio basica.La construccio de Meyer de les bases ortonor-mals i els seus resultats posteriors a l’area vanser el descobriment clau que obre la porta a totsels nous desenvolupaments matematics i apli-cacions. Meyer va estar al centre de la catalisique va reunir matematics, cientıfics i enginyersper a la construccio de la teoria i els algorismesresultants diu Mallat.

Del treball de Daubechies i Mallat, se n’hanexplorat moltes aplicacions, incloent el proces-sament del senyal amb multiresolucio, com-pressio d’imatges i dades, telecomunicacions,

analisi d’empremtes dactilars, estadıstica, analisinumerica i processament de la parla. L’algoris-me rapid i estable de Daubechies va ser millo-rat posteriorment en un treball conjunt entreDaubechies i Albert Cohen, un estudiant deMeyer, el qual s’esta utilitzant ara en el nouestandard JPEG2000 per a la compressio d’i-matges i es avui dia part del conjunt d’einesestandard per al processament d’imatges i se-nyals. Tambe s’han desenvolupat tecniques pera la restauracio d’imatges de satel.lit, basadesen l’analisi d’ondetes.

Mes recentment, ha trobat una sorprenentconnexio entre els seus primers treballs en elmodel de sistemes utilitzats per a la construcciode quasicristalls —els conjunts de Meyer— i latecnica del compressed sensing, utilitzada pera la creacio i reconstruccio del senyal, usant elconeixement previ que aquest es compressible.Considerant aixo, ha desenvolupat un nou algo-risme per al processament d’imatges. Una versiod’aquest algorisme s’ha instal.lat a la missioespacial Herschel de l’Agencia Espacial Euro-pea (ESA), l’objectiu de la qual es proporcionarimatges de les estrelles mes antigues i mes fredesde l’Univers.

Que jo sapiga, diu Wolfgang Dahmen,Meyer mai ha treballat directament en unproblema d’aplicacio concreta. Aixı, les ma-tematiques de Meyer son bons exemples de comla investigacio de questions fonamentals de lamatematica sovint produeixen resultats sorpre-nents en benefici de la humanitat.

R. Ramachandran

Premi Chern 2010: Louis Nirenberg, Courant Institute of Mathematical Sciences, EUA

For his role in the formulation of the modern theory of non-linear elliptic partial differentialequations and for mentoring numerous students and post-docs in this area.

Nirenberg es, sens dubte, undels analistes mes destacatsdel segle xx. La seva obra hatingut una gran influencia en eldesenvolupament de diferentsarees de les matematiques i lesseves aplicacions. En particu-lar, ha estat un lıder en la ma-joria dels desenvolupaments de

la teoria d’equacions en derivades parcials (EDP)lineals i no lineals i arees relacionades de l’analisi;

les EDP son les eines matematiques basiquesde la ciencia moderna. Es plantegen en la fısicai la geometria quan els sistemes depenen dediverses variables al mateix temps, i les mesinteressants son no lineals. La importancia deles EDP es clara si atenem al fet que dels setProblemes del Mil.lenni del Clay MathematicsInstitute (CMI), tres son sobre (o estan relacio-nats amb) EDP. El treball de Nirenberg sobreEDP es profund i fonamental. Va desenvoluparconnexions intricades entre analisi i geometria

61

diferencial i les va aplicar a la mecanica de fluidsi a d’altres fenomens fısics.

La tesi de Nirenberg feia referencia a unaquestio fonamental de la geometria: la solucioa un problema d’immersio en geometria dife-rencial que Hermann Weyl havia plantejat alvoltant de 1916: donada una metrica rieman-niana sobre una esfera unitat, amb curvatu-ra de Gauss positiva, es pot immergir aquesta2-esfera isometricament en l’espai tridimensio-nal com una superfıcie convexa? La mateixatesi fou una finestra als principals interessosde Nirenberg —EDP i especialment EDP el-lıptiques. Per donar una resposta positiva a ladifıcil pregunta de Weyl, Nirenberg utilitza lesidees de Charles Morrey. Va demostrar el proble-ma reduint-lo a un problema d’EDP no lineals.Aquesta equacio tambe es una EDP el.lıptica.(En EDP el.lıptiques, els coeficients satisfan unadesigualtat i tenen aplicacions en gairebe totesles arees de les matematiques, aixı com nombro-ses aplicacions en la fısica. Igual que en el casgeneral, una EDP el.lıptica pot tenir coeficientsno constants, i ser no lineal. L’exemple basicd’una EDP el.lıptica es l’equacio de Laplace.)

Com a matematic, J. Mawhin ha assenya-lat en el seu recent homenatge a Nirenberg quel’el.lipticitat es una paraula clau en el treballmatematic de Nirenberg. Mes d’un terc dels ar-ticles de Nirenberg contenen la paraula el.lıpticnomes en el seu tıtol, i una fraccio molt mesgran treballa amb equacions o sistemes el.lıptics.Difıcilment hi ha cap aspecte d’aquestes equa-cions que no hagi tingut en compte, ha dit.Malgrat la seva varietat, les EDP el.lıptiquestenen una teoria ben desenvolupada a la qualNirenberg ha contribuıt en gran mesura. Enel primer any de la seva publicacio (1953) vapublicar tres articles mes, dos dels quals invo-lucraven EDP el.lıptiques no lineals, a les qualsva retornar uns anys mes tard.

Al llarg dels vint anys seguents, amb di-versos col.laboradors, va desenvolupar la teoriade les equacions el.lıptiques i va satisfer certscriteris de regularitat que ell mateix havia for-mulat. Si be ja es coneixien demostracions del’existencia i unicitat de solucions febles perals problemes el.lıptics, Nirenberg va abordarla questio, molt mes difıcil, de quant regular esaquesta solucio feble. (Una solucio feble d’unaEDP no te necessariament definides les deriva-des que apareixen en l’equacio, pero es considera

que satisfa l’esmentada equacio en un sentit ma-tematic determinat.) Avui en dia, el metodede les diferencies de Nirenberg per a provar laregularitat a l’interior i a la frontera es part delque aprenen els estudiants de postgrau en EDP.

Un punt algid de la seva recerca en aquestambit es l’extensio d’aquest fet, que va dur aterme en col.laboracio amb Shmuel Agmon iAvnon Doulis sobre estimacions a priori delssistemes el.lıptics lineals generals. Aquest es undels resultats que mes s’utilitza de l’analisi. Talcom Nirenberg va dir, l’objectiu era obtenir es-timacions generals per a sistemes generals sotacondicions de contorn generals. De fet, la cita-cio per al Steele Prize for Lifetime Achievement,que va rebre de l’American Mathematical Soci-ety el 1994, deia: Nirenberg es un mestre enl’art i la ciencia de l’obtencio i aplicacio d’esti-macions a priori en tots els ambits de l’analisi.

Hi ha preguntes essencials sobre la regula-ritat de les equacions de Navier-Stokes, les so-lucions de les quals determinen el movimentde fluids, que encara estan obertes i constitu-eixen, de fet, un dels Problemes del Mil.lennidel CMI. Un dels millors resultats d’avui diaen aquesta direccio es l’estimacio de Nirenberg-Caffarelli-Kohn sobre la mesura del conjunt desingularitats. Nirenberg creu que el problemaes resoldra aviat, pero requerira una ajuda mesprofunda de l’analisi harmonica.

Sobre la base de les estimacions anteriorsd’Alberto Calderon i Antoni Zygmund, ell i Jo-seph Kohn van introduir el concepte d’operadorpseudodiferencial, una generalitzacio de l’ope-rador de diferenciacio parcial, que es util enl’estudi de la regularitat de les solucions alsproblemes de contorn el.lıptics. Estaven davantd’un problema que involucrava operadors inte-grals singulars (operadors integrals que no estandefinits en un punt) i necessitaven dades, nopresents a la literatura del moment, sobre certespropietats d’operadors integrals singulars. Pertant, van desenvolupar el que necessitaven i elresultat fou la nocio d’operador pseudodiferen-cial, de gran utilitat. Aixo va ajudar a generaruna enorme quantitat de treballs posteriors enaquest camp. Una altra obra important va serla que va fer conjuntament amb Francois Trevessobre la resolubilitat d’EDP generals lineals. Hiha tambe altres resultats destacats en la se-va recerca sobre la regularitat dels problemesde frontera lliure amb David Kinderlehrer i Jo-

62

el Spuck. Aquests problemes han trobat unaamplia gamma d’aplicacions, entre les quals lapropagacio de flames.

Tal com s’ha esmentat mes amunt, Niren-berg, un pioner en EDP no lineals, ha retornatla seva atencio en diverses etapes a les equacionscompletament no lineals, per a fer descobrimentssorprenents. Un exemple n’es la serie d’articlessobre l’existencia de solucions suaus de les equa-cions de tipus Monge-Ampere, que son EDP nolineals de segon ordre amb simetries especials,amb Luis Caffarelli i Spuck. L’estudi que fa Ni-renberg de les solucions simetriques d’equacionsel.lıptiques no lineals utilitzant metodes de mo-viment pla amb Basilis Gidas i Wei Ming Ni, imes tard amb Henri Berestycki, es una enginyo-sa aplicacio del principi del maxim. Mawhin hadit de Nirenberg que es el Paganini del principidel maxim. Gracies a les idees i els metodesde Nirenberg, aixo s’ha convertit en una bellateoria i ha donat lloc a aplicacions en la teoriade la combustio.

Les seguents cites famoses de Nirenberg sonindicatives del seu domini del maneig de la nolinealitat —el problema determina el metode.En la seva conferencia convidada al CongresInternacional de Matematics d’Estocolm (ICM1962), va dir: La majoria dels resultats sobreproblemes no lineals segueixen obtenint a travesdels lineals, malgrat el fet que els problemes nosiguin lineals, i no a causa d’aixo. En la matei-xa conferencia tambe va dir, parlant del resultatd’algu altre: El caracter no lineal de l’equacios’utilitza d’una manera essencial; de fet, obteresultats gracies a la no linealitat, i no malgratla no linealitat.

L’amplia gamma d’interessos de Nirenberginclou tambe geometria diferencial i topologia,on va fer tambe importants contribucions. Enanalisi harmonica, una funcio d’oscil.lacio mitja-na fitada (BMO) es una funcio amb valors realsi amb oscil.lacio mitjana fitada (es a dir finita).Motivat pel treball anterior de Fritz John so-bre elasticitat, Nirenberg, conjuntament ambJohn, va investigar per primera vegada la to-pologia de l’espai d’aquestes funcions, i en vadonar una definicio precisa. Aquest espai s’ano-mena de vegades l’espai de John-Nirenberg. Elsresultats van ser crucials per al treball poste-rior de Charles Fefferman sobre aquest espaide funcions, que s’ha utilitzat posteriorment enmoltes parts de l’analisi i en la teoria de mar-

tingales. Mes recentment, motivat per algunsproblemes no lineals de la fısica, Nirenberg hatornat a aquest camp i, en col.laboracio ambHaim Brezis, ha investigat l’espai de funcionsamb oscil.lacio mitjana nul.la (VMO). Les funci-ons VMO son funcions contınues que s’anul.lena l’infinit i l’espai de funcions que formen es enrealitat un subespai de BMO. Nirenberg i Bre-zis van estendre la teoria del grau en topologiaa les aplicacions de VMO, un resultat que vasorprendre els topolegs.

Una questio fonamental en l’estudi de lesvarietats complexes es la seguent: Quan unaestructura quasicomplexa ve donada per una es-tructura complexa? Una varietat es un espaitopologic que pot ser localment descrit en ter-mes d’espais mes senzills i ben entesos, com elseuclidians. Perque una varietat sigui una varie-tat complexa (on es poden definir les operacionsamb nombres imaginaris) l’existencia d’una es-tructura quasicomplexa es necessaria, pero nosuficient. (Una varietat quasicomplexa es unavarietat suau equipada amb una estructura que,a grans trets, defineix operacions amb nombresimaginaris a cada espai tangent, la varietat dife-renciable associada a cada punt.) Es a dir, cadavarietat complexa es una varietat quasicomple-xa, pero no al reves.

El 1957, Nirenberg, amb el seu estudiant Au-gust Newlander, demostra un resultat fonamen-tal que responia una pregunta seva que haviaestat oberta durant molts anys. Segons Niren-berg, Andre Weil i Shiing-Shen Chern li havienfet parar atencio al problema de demostrar lacondicio d’integrabilitat per a estructures quasicomplexes. La seva resolucio va aplanar el camıper a l’estudi de molts aspectes de les varietatscomplexes, en particular la teoria de la defor-macio. Tot i que el problema es lineal, la provade Newlander i Nirenberg el redueixen a un sis-tema d’EDP no lineals, de manera que cadaequacio involucra derivades respecte d’una solavariable complexa. Aquesta tremenda visio deNirenberg de les propietats de les EDP i la sevahabilitat unica per a connectar-les amb l’analisii la geometria envaeixen tots els seus treballs.

Les desigualtats han tingut sempre un atrac-tiu especial per a Nirenberg, i n’hi ha diversesd’importants associades al seu nom; un resultatmolt important es el conjunt de desigualtatsde Gagliardo-Nirenberg. La cita de l’AMS lesva anomenar una joia menor. La passio de

63

Nirenberg per les desigualtats prove de la sevallarga relacio amb Kurt Friedrichs al CourantInstitute for Mathematical Science (CIMS) a laUniversitat de Nova York, on Nirenberg va anara parar despres de la seva graduacio amb mencioen fısica i matematiques per la Universitat deMcGill el 1945. Tot i que volia fer fısica, graciesa un excel.lent professor de fısica de McGill, pri-mer va fer matematiques seguint l’assessoramentde Richard Courant. Nirenberg reconeix que Fri-edrichs va exercir una gran influencia sobre ell, ique la seva visio de les matematiques esta moltinfluenciada per la de Friedrichs.

Friedrichs era un gran amant de les desi-gualtats i aixo em va influenciar molt. El puntde vista era que les desigualtats son mes in-teressants que les igualtats, les identitats, deiaNirenberg en una entrevista a l’AMS. En al-gun altre lloc, tambe ha dit: M’encanten lesdesigualtats. Aixı que si algu me’n mostra unade nova, li dic: Oh! que bonic, deixa-m’hi pen-sar. Tot i que volia fer el seu doctorat sotala direccio de Friedrichs, va acabar fent-lo ambJim Stoker i el va acabar el 1949. Pero la in-fluencia de Friedrichs es clarament visible enl’eleccio de problemes per part de Nirenberg,sovint procedents de la fısica. Ell no fa distincioentre matematica pura i matematica apli-cada, una actitud que es el resultat de tota laseva carrera al CIMS on nomes hi ha matema-tiques, i la gent s’interessa en problemes purs oaplicats, una herencia de Courant i Friedrichs.Encara que Nirenberg diu d’ell mateix que esmes un solucionador de problemes que no pas uncreador de teories, el seu enfocament dels pro-blemes ha donat lloc a la formulacio de teoriessenceres en diferents arees de les matematiques.

Nirenberg es reconegut per les seves excel-lents conferencies i per les seves lucides redac-cions expositives. Ha publicat mes de centvuitanta-cinc articles i ha tingut quaranta-sisestudiants i dos-cents quaranta-cinc descendentssegons el Mathematics Genealogy Project. Encadascun dels ultims deu anys, els quinze articlesmes citats de totes les matematiques n’inclouenalmenys dos de Nirenberg, segons MathSciNet.El fet que gairebe el noranta per cent dels seusarticles estan escrits en col.laboracio mostra comNirenberg, durant mes de sis decades, ha com-partit el seu coneixement i comprensio mate-matica amb matematics de tot el mon. Tambees molt generos i presenta amb entusiasme elsresultats d’altres matematics en les seves con-ferencies i articles.

Kohn ha dit: La carrera de Nirenberg haestat una inspiracio, els seus nombrosos estudi-ants, col.laboradors i col.legues han apres moltd’ell. A part de les matematiques, Nirenbergens ha ensenyat a tots a gaudir dels viatges,el cinema i la gastronomia. Una apreciacio jus-ta de Nirenberg ha d’incloure tambe el seu sentitde l’humor, sempre present. El seu humor es in-contenible, per la qual cosa en certes ocasionsarriba a la pagina impresa.

En l’entrevista a l’AMS, Nirenberg va dir:Vaig escriure un article amb Philip Hartman,que era elemental pero molt divertit. Aixo es elque intento transmetre a la gent que no sap resde matematiques, com en son de divertides queson! Una de les meravelles de les matematiqueses que vas a qualsevol lloc del mon i coneixesaltres matematics i es com una gran famılia.Aquesta gran famılia es una joia meravellosa.

R. Ramachandran

Entrega del Premi Albert Dou

Com ja sabeu, la Junta de la SCM decidı con-vocar el Premi Albert Dou, en record del pareDou, que ens deixa fa ja un temps. Aquest pre-mi, com es diu a les seves bases, es per a treballsinedits o publicats en els darrers dos anys quecontribueixin a fer visible la importancia de lesmatematiques en el nostre mon, a transmetre elconeixement matematic a un public mes ampli

que els mateixos especialistes, i a promoure totel que pugui ajudar a l’extensio del prestigi dela matematica a la nostra societat. Es vol quetingui una periodicitat biennal.

A la primera edicio s’hi presentaren tretzetreballs, fet que es pot considerar un exit. El Ju-rat comenta l’alta qualitat de tots els treballs, ila dificultat que tingue per a triar el guanyador.

64

Finalment decidı premiar Rosario Delgado peltreball: Matematiques i Internet: 101 anys deteoria de cues.

La SCM agraeix a tots els autors dels tre-balls la seva participacio, i tambe als membresdel jurat la tasca duta a terme.

El premi s’entrega a la guanyadora durantl’assemblea de socis celebrada el novembre, lamateixa en la qual se celebraren les eleccions pera la nova Junta. Creiem que aprofitar l’assem-blea per fer l’acte d’entrega incrementa la sevavisibilitat dins la nostra comunitat matematica,i el fa tambe mes entranyable, ja que incorporar-lo a l’acte conjunt d’entrega de premis que l’IECcelebra per Sant Jordi el deixaria diluıt entreun munt d’altres guardons convocats per l’IECi les societats filials.

Rosario ens explica en el seu treball queels models probabilistes que havien tingut tant

d’exit en el tractament de les xarxes de telefoniafixa a traves de les quals nomes s’enviava la veu,ja no serveixen per a tractar el problema quepresenten les xarxes de comunicacions actualsque permeten la transmissio d’informacio en dis-tintes formes. Ens presenta tambe un model pera aquest nou marc de transmissio, elaborat pelsinvestigadors W. Willinger i M. S. Taqqu, en elqual utilitzen el proces de moviment browniafraccionari amb parametre de Hurst H > 1

2 , elqual es un proces autosimilar i amb memoriallarga. Tots aquests conceptes son introduıtsi explicats, de manera clara i entenedora, enl’article premiat.

El treball guanyador s’ha publicat en el But-lletı, vol. 25, num. 2 de la SCM. Deixeu-medir que encara que no he estat membre del ju-rat, l’he llegit i l’he trobat molt interessant. Usconvido a llegir-lo, si encara no ho heu fet.

Josep Lluıs SoleUAB

Raco biografic

Recordant Joseph Liouville en el 202 aniversari del seu naixement

A Joseph Liouville (1809-1882) se’l coneix generalmentpel seu resultat en variablecomplexa que afirma que totafuncio holomorfa i fitada delcamp complex ha d’esser ne-cessariament una funcio cons-tant. L’aplicacio d’aquest teo-

rema a una funcio polinomica proporciona unademostracio breu i elegant del teorema fonamen-tal de l’algebra. Pero Liouville te molts altresresultats en el seu extens currıculum de recerca;la seva produccio es troba repartida al llarg d’u-nes quatre-centes publicacions. Fou creador delcalcul diferencial fraccionari, caracteritza aque-lles funcions les primitives de les quals podenexpressar-se com una combinacio de les fun-cions elementals, fou creador juntament ambSturm de la teoria espectral per equacions di-ferencials de segon ordre, feu interessants apor-tacions a l’estudi de les funcions el.lıptiques, al’estudi de les equacions integrals, a la mecanicahamiltoniana, a la teoria dels nombres transcen-

dents, etc. La vida de Liouville transcorregueal llarg del segle xix juntament amb Cauchy enla seva primera part i Charles Hermitte en lasegona.

Aquest any 2011 es el 202 aniversari delseu naixement i en aquest raco biografic de laSCM/Notıcies el recordarem exposant algunsdels trets essencials de la seva trajectoria vital,anticipant que aquesta no te vistoses traces vi-tals com les que podem trobar a Arquimedes,Cardano, Galois o Noether, per citar nomes al-guns exemples. La vida de Liouville, tot i queel segle xix va ser polıticament complex perals francesos, va transcorrer sense entrebancs niserioses dificultats economiques que l’impedissindedicar-se exclusivament al mon academic i, enparticular, a les matematiques. Joseph Liouvilleva viure setanta-tres anys i, en aquest temps,Franca va passar de ser un imperi amb NapoleoBonaparte, a ser altra vegada una monarquiaamb la restauracio dels Borbons: Lluıs XVIII(1814, 1824) i Carles X (1824-1830). El governreaccionari de Carles X va portar cap a la re-

65

volucio de 1830, una consequencia de la qualfou la destitucio dels Borbons i la instauraciod’una nova monarquia de caire lliberal en lapersona de Lluıs Felip d’Orleans. Pero el 1848una nova revolucio porta la destitucio de LluısFelip d’Orleans i la proclamacio d’una republica(la segona) que fou presidida per Lluıs Napoleo,nebot de Napoleo Bonaparte. Aquesta republicadura nomes tres anys ja que el 1851, mitjancantun cop d’estat, el mateix Lluıs Napoleo imposade nou un imperi als francesos sota el seu man-dat amb el nom de Napoleo III. Aquest segonimperi va durar fins al 1871, any en que es pro-clama la Tercera Republica, que duraria fins al1940.

Claude-Joseph Liouville, el pare de Joseph ifill d’una famılia acomodada oriunda de la re-gio francesa de La Lorraine, es va casar ambTherese Balland, que tambe pertanyia a unafamılia benestant d’aquella regio del nord-estfrances. El matrimoni vivia a Toul, ciutat prope-ra a Nancy, quan van tenir el seu primer fill Felix.Poc despres, Claude-Joseph, que era capita del’exercit napoleonic, va haver de mudar-se aSaint-Omer, una ciutat del nord-oest properaa Belgica i es en aquest indret on nasque elseu segon fill, el futur matematic Joseph Liou-ville. Al cap d’uns anys, la famılia Liouville varetornar a Toul i es en aquesta ciutat on Li-ouville va anar a l’escola fins als quinze anys.Al voltant d’aquesta epoca va decidir ingressara l’Ecole Polytechnique pero per poder entrar-hi calia tenir un cert nivell de matematiquesi, per aquesta rao, va marxar a Parıs un anyabans per anar al College St. Louis, que erael lloc adient per adquirir un bon coneixementbasic de matematiques. Durant l’any que vaestudiar al College St. Louis, Liouville, a mesd’assistir a les classes ordinaries i per tal d’es-tar al dia, llegia pel seu compte els Annalesde Mathematiques Pures et Appliquees de DiazGergonne. Cal destacar que durant aquest anyva iniciar un bloc de notes on escrivia totes lesidees, comentaris i observacions que li venienal cap sobre les matematiques. Aquest bloc denotes que va utilitzar tota la seva vida es conser-va a la Bibliotheque de l’Institut de France i esuna font d’informacio excel.lent per entrar dinsel mon matematic de Liouville i la comunitatmatematica que l’envoltava.

L’any 1825, amb setze anys, Liouville va in-gressar a l’Ecole Polytechnique. Augustin-Louis

Cauchy, que llavors tenia trenta-sis anys, n’e-ra professor. El curs de calcul que donava elfonamentava sobre el concepte de lımit i erapresentat de manera ben diferent als cursos pre-cedents de Lacroix i Lagrange. Aquests cursosde Cauchy marcarien l’estil en que a partir dellavors es tractaria l’analisi matematica. Cauchy,pero, no va ser professor de Liouville, sino queho va ser Andre-Marie Ampere, que compar-tia amb Cauchy els nous metodes per ensenyarel calcul infinitesimal. Liouville estava satisfetamb les classes d’Ampere i va assistir tambea un curs d’electrodinamica que Ampere dona-va al College Royal, el futur College de France.Els primers treballs de Liouville serien sobreelectrodinamica i teoria de la calor.

L’any 1827, Liouville va decidir que seriaenginyer de camins i va ingressar a l’Ecole desPonts et Chaussees. Ara be, quan ja acabavaels estudis d’enginyeria, per por de no tenir unasalut prou forta per aguantar els rigors climaticsque havien de suportar els enginyers de caminsen l’exercici de la seva professio, va decidir quees dedicaria a les matematiques. Curiosament,Cauchy va estudiar primer a la Polytechniquei mes tard ho va fer a l’Ecole des Ponts etChaussees, pero, havent comencat a treballarcom a enginyer de camins, ho va haver de deixarper motius de salut, ja que no suportava la feinaa l’exterior.

El 1830 es l’any en que mor Fourier; Lagran-ge havia mort el 1813, Laplace el 1827 i Legendremoriria el 1833. Aquest any 1830 Franca s’ai-xeca contra el govern summament reaccionaride Carles X, el rei abdica i es dona pas a unamonarquia de caire lliberal amb Lluıs Felip d’Or-leans, que no era de la dinastia dels Borbons.Cauchy, fidel a tot allo que representava Car-les X, abandona Franca amb quaranta-un anys,i inicia aixı un exili voluntari que l’allunyara du-rant vuit anys del seu paıs i que li va fer deixartots els carrecs academics. Liouville es casa ambvint-i-un anys amb una cosina de la seva mare,Marie-Louise Balland, i inicia llavors una llargacarrera academica que no sera interrompuda finsa la seva jubilacio.

Liouville comenca treballant a l’Ecole Poly-technique com a repetiteur i el 1833 es nomenatlector a l’Ecole Centrale des Arts et Manufactu-res, una escola inaugurada el 1829 i dedicada ala formacio dels enginyers que volien treballaral sector privat, ja que l’Ecole Polytechnique

66

estava dirigida al sector public. En l’exercici dela seva professio docent, Liouville, de la mateixamanera que abans ho havia estat Cauchy, va sercriticat pel fet d’ensenyar unes matematiquesmassa teoriques, d’un nivell massa elevat i ambpoca aplicacio a l’enginyeria. Tambe al voltantd’aquesta epoca comenca a publicar en revistescientıfiques, envia memories a l’Academie desSciences de Parıs per aconseguir ser admes coma membre i es presenta al Grand Prize de l’A-cademie de l’any 1830, premi al qual tambe s’hipresentava Galois (amb dinou anys). El premi, fi-nalment, va ser concedit a Jacobi pel seu treballsobre funcions el.lıptiques i a tıtol postum a Abel,que havia mort l’any anterior a l’edat de vint-i-sis anys. En els seus inicis com a investigador,Liouville va crear el calcul diferencial fracciona-ri amb la finalitat de resoldre certes equacionsintegrals lligades a la resolucio de problemesfısics relacionats amb la interaccio elementalmicroscopica. Liouville va trobar que les interac-cions microscopiques podien ser representadesper funcions que eren solucio de certes equacionsintegrals i que aquestes equacions integrals po-dien ser transformades en equacions diferencialsd’ordre fraccionari i d’aquı la importancia decrear un calcul amb operadors diferencials d’or-dre arbitrari. Tambe en aquesta epoca del 1832,Liouville va proposar-se caracteritzar les funci-ons que admetien primitiva expressable com acombinacio finita de funcions elementals. Pois-son, membre de l’Academie des Sciences, va ferun gran elogi d’aquest treball sobre la integracioen termes finits i li va suggerir que aprofundısen el tema donant-li algunes indicacions. A par-tir d’aquı va haver-hi una bona relacio entrePoisson i Liouville, que naturalment havia d’a-favorir el segon donada la rellevancia de Poissonen el mon matematic frances d’aquells moments.A proposta de Poisson, Liouville tambe va re-soldre problemes relacionats amb la teoria delpotencial. Aquest ultim treball de Liouville foualtament reconegut pels matematics contempo-ranis, mes que no pas els dos anteriors sobre elcalcul fraccionari i la integracio en termes finits,ja que aquests ultims introduıen idees massainnovadores i, per tant, mes difıcils d’entendreper a una gran majoria.

Fora del camp de la recerca, una de lestasques mes meritories de Liouville fou lacreacio per iniciativa privada del Journal deMathematiques Pures et Appliquees, que va co-

mencar a editar l’any 1836. Aquesta revista ma-tematica tenia com a antecedent la revista queel 1810 havia creat Joseph Diaz Gergonne ambel nom d’Annales de Mathematiques Pures etAppliquees i que es coneixia com els Annalesde Gergonne. El 1826, el matematic alemanyAugust Leopoldo Crelle, emulant la revista deGergonne, va crear el Journal fur die reine undandgewandte Mathematik, conegut com el Jour-nal de Crelle. Aquesta revista alemanya va ad-quirir un gran prestigi i va superar amb escreixels Annales de Gergonne. Per aixo, quan Ger-gonne va deixar de publicar els Annales el 1832,Liouville es va proposar la creacio d’una revistamatematica francesa capac de competir ambl’alemanya Journal de Crelle i ho va aconseguir:va sorgir el Journal de Liouville, que encara espublica avui dia. Un fet important relacionatamb aquesta revista es que Liouville va ser elprimer matematic que s’adona del valor que te-nia l’obra de Galois, que fins llavors no haviaestat llegida. Decidı publicar-la al Journal l’any1846 i, sis anys mes tard, el matematic italia En-rico Betti va publicar comentaris sobre aqueststreballs de Galois. Fou d’aquesta manera quel’obra de Galois es va comencar a divulgar entrela comunitat matematica.

A la decada del 1830, Liouville aconseguıel carrec de suppleant al prestigios College deFrance. El carrec consistia a substituir un pro-fessor de plantilla que, per la seva edat, ja nopodia assumir tot el carrec, cas en que el suplentcobrava un terc del salari del professor titular.Cauchy tambe havia fet de suppleant al mateixCollege de France. Mes tard, el 1838, aconseguıser professor d’analisi matematica i mecanica al’Ecole Polytechnique. L’any 1839 cobrı una va-cant a la seccio d’astronomia de l’Academie desSciences i efectua alguns treballs en mecanicaceleste. L’any 1940 fou nomenat membre delBureau des Longitudes, una institucio cientıficacreada el 1875 que es dedicava a l’observacio as-tronomica i a la geodesia; fou aquesta instituciola que es va encarregar d’establir un sistema uni-versal de pesos i mesures que, en particular, vadonar lloc a l’establiment del metre com a unitatde longitud. Liouville fou nomenat membre cor-responent de l’Academia de Berlın a propostade Dirichlet. D’aquesta manera, amb trenta-unanys, Liouville ja havia assolit molt bones posici-ons academiques, tot i aixı ell desitjava una mesbona estabilitat professional, aspirava a alguna

67

catedra. Quan, el 1838, li va arribar l’ocasio decobrir una catedra vacant al College de France,va resultar que feia poc Cauchy havia tornatdel seu exili voluntari i tambe volia aquesta ma-teixa catedra (Cauchy havia perdut les sevesposicions academiques en abandonar Franca).Davant d’aquest notable adversari, Liouville vadecidir no presentar-s’hi, pero llavors va resultarque la catedra va ser concedida al matematicGuglielmo Libri, un comte italia resident aFranca i membre de l’Academie que, no sent nide lluny de la talla de Cauchy, s’havia procuratl’amistat d’influents personatges de la societatfrancesa del moment. D’altra banda, Cauchy noera gens ben vist a causa del seu taranna polıticafı a l’antic regim. Liouville tampoc compar-tia les idees polıtiques de Cauchy, pero li teniaun gran respecte i admiracio com a matematici, davant d’aquesta injustıcia, Liouville va de-cidir deixar el College de France en senyal deprotesta.

Quan l’any 1848, despres de la revolta defebrer que va fer caure la monarquia de LluısFelip, Franca instaura una republica (la segona),Liouville va decidir entrar a la polıtica com a re-publica moderat. Va aconseguir formar part del’assemblea constituent, pero no entra a formarpart de l’assemblea legislativa i, a mes, el seupartit, l’any seguent, va ser derrotat pel partitdel futur Napoleo III. Aleshores, Liouville vaabandonar la polıtica i va dedicar-se al monacademic que li era propi. Tanmateix, va quedarressentit d’aquest fracas del seu partit. Llavorses va descobrir que Libri havia abusat de la confi-anca que li havien dipositat les autoritats corres-ponents en nomenar-lo inspector d’importantsbiblioteques franceses el 1841. Libri s’havia apo-

derat d’una gran quantitat de valuosos llibres imanuscrits, la qual cosa va fer que abandonesFranca i que, per tant, quedes vacant la sevacatedra al College de France. Aquesta vegada,tot i que Cauchy s’hi va tornar a presentar, lacatedra va ser concedida a Liouville que, llavors,va deixar l’Ecole Polytechnique. Durant granpart de la decada del 1850, Liouville va seguirpublicant interessants resultats i va ajudar novesfigures de la matematica francesa, en particularCharles Hermitte, que esdevindria un dels gransmatematics de la segona meitat del segle xix.

Amb el pas del temps la produccio de Li-ouville va anar minvant. A partir del 1857, vacomencar a patir forts dolors de gota i artritisque sovint l’obligaven a anul.lar classes i con-ferencies. Els seriosos problemes de salut deLiouville no li van fer gens agradable l’ultimtram de la seva vida. Liouville morı el 8 desetembre del 1882. La seva tomba es troba alcementiri de Montparnasse de Parıs.

La vida i obra de Liouville ha estat pro-fundament estudiada per Jesper Lutzen i fruitd’aquest estudi es el seu magnıfic llibre JosephLiouville 1809-1882, master of pure and appliedmathematics, publicat el 1990 per Springer.Aquest llibre te unes vuit-centes pagines i re-quereix el seu temps, pero mereix l’esforc perpart de qui estigui interessat en el desenvolupa-ment de la matematica francesa del segle xix.Si el que es vol es una lectura senzilla i breude la vida de Liouville, podeu llegir Remarkablemathematicians de Ioan James, publicat el 2002per Cambridge University Press. I hom pot sem-pre posar Liouville en el Google per obteniruna pluja d’informacio.

Eduard Recasens GallartUPC

Webs de matematiques

Llibres electronics

En l’era digital en la qual ens trobem, el materialen format electronic comenca ja a ser totalmenthabitual i tothom es prepara per a un futur en elqual la gran majoria de continguts circularan enforma de bits i electrons en lloc de tinta i paper(no hi hem arribat ja?). I per tant, els llibres

de matematiques no han de ser una excepcio.Farem una petita repassada a alguns llibres queestan disponibles a la xarxa i donarem algunesadreces de webs a traves de les quals es potaccedir a llibres electronics.

68

Val a dir, tambe, que un dels grans proble-mes que comporta la distribucio de material atraves d’Internet es el de la propietat intel.lec-tual. Lluny de voler fer apologia de la pirateriai de la copia il.legal, intentarem restringir-nosa llibres que no tenen problemes de distribucioja sigui perque a causa de la seva antiguitat jason de domini public o be perque els mateixosautors l’han posat a disponibilitat de tothom atraves del web.

Els Elements d’Euclides es un dels lli-bres que esta disponible per descarrega endiverses edicions. Una traduccio a l’angles, deRichard Fitzpatrick, amb el text grec a l’es-querra i l’angles a la dreta, es pot trobar ahttp://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf,pero sense cap nota al peu de pagina ni ex-plicacio de res. En canvi, l’edicio classicade Thomas L. Heath, amb una gran re-cerca historica i gran quantitat de notes iexplicacions, es pot trobar directament enHTML a http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Euc.+1, encara que, malaurada-ment, sense les figures. Aquesta edicio peroamb figures es accessible a Google books(http://books.google.com/).

Un dels esforcos mes interessants que esfan en aquesta direccio es el del Clay Mat-hematics Institute (famos per haver ofert unmilio de dolars per als Problemes del Mil.len-ni). Aquesta institucio, ubicada a l’area deBoston a la vora de Harvard, te com a ob-jectiu incrementar i divulgar el coneixementmatematic i una de les coses que fa perdur-ho a terme es la divulgacio de les ma-tematiques mes classiques en les edicions mesantigues possible o be originals. A la seva webhttp://www.claymath.org/library/historical/ po-dreu trobar una edicio facsımil de l’edicio ma-nuscrita en grec mes antiga que es coneix, lade la Bodleian Library d’Oxford (de l’any 888),i la primera edicio impresa, en llatı, de l’any

1482. Igualment, hi ha el manuscrit de Riemannde 1859 on formula la seva hipotesi i els KleinProtokolle, els apunts del seminari que va dirigirFelix Klein a Gottingen entre 1872 i 1912.

Un altre llibre que ha estat famos per laseva distribucio gratuıta a traves d’Internet esel llibre classic de Herbert Wilf Generatingfunc-tionology. Aquest llibre es un tractat de com-binatoria des del punt de vista de les funcionsgeneratrius de successions d’enters i es un delsllibres seriosos de matematiques mes agrada-bles de llegir que he trobat mai. Es accessibleen PDF normal i en PDF amb enllacos, es adir, que pots navegar a traves del llibre simple-ment fent clic als enllacos. El podeu trobar alweb de l’autor http://www.math.upenn.edu/wilf/DownldGF.html.

Una petita cerca a Google us permetratrobar webs amb llargues llistes de lli-bres de matematiques per a descarrega. Ahttp://rinconmatematico.com/libros.htm hi hames de cinc-cents llibres de matematiques encastella disponibles, la majoria obtinguts di-rectament dels webs dels autors. Com a exem-ples tenim el d’Allen Hatcher Algebraic topo-logy, Graph theory de Reinhard Diestel o el deGrinstead-Snell Introduction to probability. Finsi tot alguns classics com Theorie des operationslineaires de Stefan Banach, de 1932.

Una altra llista que en conte uns nou-centses http://www.e-booksdirectory.com/ mathema-tics.php, entre els quals hi ha l’antic Demidovichde problemes d’analisi, o Introduction to mathe-matical philosophy de B. Russell. Com us dic, elmon del llibre de matematiques no esta exemptdels avencos tecnologics i de la revolucio que re-presenta el mon digital amb els llibres en formatelectronic, els lectors portatils o les modernestauletes. Val la pena que afegim a la nostra llistade preferits del navegador adreces com aquestes,d’on en podem obtenir forca d’interessants.

Josep BurilloUPC

69

Problemes

En el numero anterior de la SCM/Notıcies feiem festa grossa perque havıem arribat a proposarel problema cente. En aquest numero, gracies a la valuosıssima i desinteressada feina dels nostreslectors, en publiquem la solucio. Pero aixo no completa la festa perque, tot i que son cent elsenunciats proposats, nomes son noranta-vuit les solucions rebudes (i publicades). En efecte, elproblema B47, un enunciat de geometria esferica amb caire d’homenatge personal, i l’A64, publicatsa la SCM/Notıcies14 i 20, respectivament, encara no han estat resolts.

La vida segueix, pero, i ara proposem quatre problemes mes, dos dels quals provenen dels nostresfidels col.laboradors Jose Luis Dıaz-Barrero i Xavi Ros Oton, tots dos de la UPC, Barcelona.

Del mateix Xavi Ros es la solucio que publiquem del problema A97, l’unica rebuda. Del problemaA98 n’hem rebudes dues: una del mateix Xavi Ros i l’altra, que publiquem, d’en Joaquim Nadal iVidal, de l’IES de Cassa de la Selva. Amb el problema A99 hem tingut menys sort i no n’hem rebutcap solucio correcta, cosa que ens ha portat a publicar la solucio donada pel mateix proponent.Finalment, en Joaquim Nadal i Vidal aporta l’unica solucio rebuda del problema A100. A tots ells,proponents i resolutors, moltıssimes gracies!

Acabem aquest exordi tot recordant-vos que, si treballeu amb TEX o LaTEX, ens feu forca mesplanera la feina d’elaborar aquesta seccio, tot i que aportacions en qualsevol altre format, tambemanuscrits, son igualment ben rebudes. Les adreces de correu per enviar-nos-les son cromero@xtec.cato be carles.romero.c@gmail.com. Fins aviat!

Problemes proposats

A101. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c tres nombrespositius amb ab + bc + ca = 1. Demostreu que(

a2 + b2 + c2)4(

a2 3

√a

b + c+

+ b2 3

√b

c + a+ c2 3

√c

a + b

)3

≥ 12

.

A102. (D’una olimpıada de fa molts, moltsanys.) Sigui a un nombre real fixat i siguif : R → R una funcio que compleix

f(x + a) =12

+√

f(x)− (f(x))2

per tot nombre real x. Demostreu que f es unafuncio periodica i doneu-ne un exemple pel casa = 1.

A103. (Proposat per Xavi Ros Oton, FME-UPC.) Siguin R i r els radis de les circum-ferencies inscrita i circumscrita a un triangle.Proveu que

R

2r≥ A

H,

expressio en que A i H representen, respec-tivament, la mitjana aritmetica i la mitjanaharmonica dels costats del triangle.

A104. (Proposat per la redaccio.) Tenim unquadrilater en el pla i construım quadrats sobreels seus costats a l’exterior d’aquest quadrilater.Demostreu que els segments que uneixen els cen-tres de quadrats construıts sobre costats oposatsdel quadrilater son perpendiculars i de la matei-xa longitud.

70

Solucions

A97. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c les longitudsdels costats d’un cert triangle 4ABC amb r iR com a radis respectius de les circumferenciesinscrita i circumscrita en aquest triangle. De-mostreu que

a + b

c3 + abc+

b + c

a3 + abc+

c + a

b3 + abc>

1r2 + R2

.

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, FME-UPC.) A continuacio demostrarem que

a + b

c3 + abc+

b + c

a3 + abc+

c + a

b3 + abc≥ 1

R2

es una desigualtat mes forta que la de l’enunciat.Demostrarem en primer lloc que, si X ≥

Y ≥ Z i X ′ ≤ Y ′ ≤ Z ′, aleshores

X

X ′ +Y

Y ′ +Z

Z ′ ≥ 3X + Y + Z

X ′ + Y ′ + Z ′ . (1)

Multiplicant la desigualtat per X ′ + Y ′ + Z ′

veiem que es equivalent a

X

X ′ (−2X ′ + Y ′ + Z ′) +Y

Y ′ (X′ − 2Y ′ + Z ′)+

+Z

Z ′ (X′ + Y ′ − 2Z ′) ≥ 0 . (2)

Pero, en ser X ≥ Y ≥ Z i X ′ ≤ Y ′ ≤ Z ′,tindrem que

X

X ′ ≥Y

Y ′ ≥Z

Z ′ ,

iX

X ′ (Y′ −X ′) +

Y

Y ′ (Z′ − Y ′) +

Z

Z ′ (X′ − Z ′) =

=XY ′

X ′ −X +Y Z ′

Y ′ − Y +ZX ′

Z ′ − Z =

=XY ′

X ′ −X +Y Z ′

Y ′ − Y +ZX ′

Z ′ − (3)

− Z +Y X ′

Y ′ − Y X ′

Y ′ =

=(

X

X ′ −Y

Y ′

)(Y ′ −X ′)+

+(

Y

Y ′ −Z

Z ′

)(Z ′ −X ′) ≥ 0 .

Analogament,

X

X ′ (Z′ −X ′) +

Y

Y ′ (X′ − Y ′)+

+Z

Z ′ (Y′ − Z ′) ≥ 0 . (4)

i, en sumar les desigualtats (3) i (4) obtenim(2) i, per tant, (1).

D’ara en endavant suposarem sense perduade generalitat que a ≥ b ≥ c. Aixo i elfet que a, b i c son costats d’un triangle, que faque a+b > c, que b+c > a i que c+a > b, dona

(a− b)(a + b− c) > 0 , (b− c)(b + c− a) > 0

i, per tant,

c2 + ab ≤ b2 + ca ≤ a2 + bc.

A mes,a + b ≥ c + a ≥ b + c

i podem, doncs, aplicar la desigualtat (1) amb

X =a + b

c2 + ab, Y =

c + a

b2 + ca, Z =

b + c

a2 + bc

iX ′ = c , Y ′ = b , Z ′ = a

per obtenir

a + b

c3 + abc+

b + c

a3 + abc+

c + a

b3 + abc≥

≥ 3

a + b

c2 + ab+

c + a

b2 + ca+

b + c

a2 + bca + b + c

. (5)

Ara tornem a aplicar la desigualtat (1), peroamb

X = a + b , Y = c + a , Z = b + c

i

X ′ = c2 + ab , Y ′ = b2 + ca , Z ′ = a2 + bc .

Resulta

a + b

c2 + ab+

c + a

b2 + ca+

b + c

a2 + bc≥

≥ 32(a + b + c)

a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca(6)

i, per tant, en substituir (6) a (5), obtenim

a + b

c3 + abc+

b + c

a3 + abc+

c + a

b3 + abc≥

≥ 18a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

71

i, finalment, com que ab+ bc+ ca ≤ a2 + b2 + c2,tindrem que

a + b

c3 + abc+

b + c

a3 + abc+

c + a

b3 + abc≥ 9

a2 + b2 + c2

i, per tant, basta demostrar que

a2 + b2 + c2 ≤ 9R2 .

Pero, pel teorema dels sinus, tenim que

a

sinA=

b

sinB=

c

sinC= 2R

i, per tant,

a

2R= sinA ,

b

2R= sinB ,

c

2R= sinC

i, aleshores, tenim

a2 + b2 + c2

4R2= sin2 A + sin2 B + sin2 C

i el que volem demostrar s’expressa ara aixı:

sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ 94

.

Ara, fent servir que sin2 x = 1− cos2 x i posantcos A, cos B i cos C en funcio dels costats deltriangle, segons el teorema del cosinus, es potcomprovar, despres de llargs calculs, que

sin2 A+sin2 B+sin2 C =2+2 cos A cos B cos C .

Si el triangle es obtusangle, cos A cos B cos C <0. Altrament, usant la desigualtat entre les mit-janes geometrica i aritmetica i la convexitat dela funcio cos a l’interval [0, π/2], obtenim que

cos A cos B cos C≤(

cos A + cos B + cos C

3

)3

≤

≤[cos(

A + B + C

3

)]3

= cos3π

3=

18

i, per tant,

sin2 A + sin2 B + sin2 C =

= 2 + 2 cos A cos B cos C ≤ 2 + 218

=94

tal com volıem demostrar.La igualtat s’esdeve quan el triangle es

equilater.A98. (Proposat per Enric Ventura, UPC,Manresa.) Quins son els deu primers de-cimals de 0,0000000001

√0, 0000000001? I els de

1,0000000001√

1, 0000000001?

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal i Vidal, del’IES de Cassa de la Selva..) Tenim0,0000000001

√0, 0000000001 =

= 0, 00000000011

0,0000000001 = 0, 00000000011010.

Observem que nomes que elevem 0.0000000001al quadrat ja obtenim un nombre amb 2·10 = 20decimals (19 zeros i un u) i, com es obvi, en ele-var a 1010 obtindrem un nombre amb 1010 ·10 =1011 decimals, que seran tots zeros menys l’ultim,que sera un u. Per tant, els deu primers decimalsde 0,0000000001

√0, 0000000001 son tots zeros.

Quant a la segona questio, tenim1,0000000001

√1, 0000000001 =

= 1, 00000000011

1,0000000001 .

Considerem ara la funcio f(x) = ax, amb a > 1.Es clar que, per a tot x ∈ R, f ′(x) = ax ln a > 0i, per tant, la funcio es creixent a tot R. Aixovol dir que, si 0 < b < 1, aleshores, a0 = 1 <ab < a1 i, si apliquem aquesta desigualtat amba = 1, 0000000001 i b = 1/1, 0000000001 < 1,tindrem

1 < 1, 00000000011

1,0000000001 < 1, 0000000001 ,

cosa que mostra que els deu primers decimalsde

1,0000000001√

1, 0000000001 =

= 1, 00000000011

1,0000000001

son tots zeros.A99. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.) Sigui an una successio de nom-bres reals positius i sigui x > 0.a) Proveu que la serie

∑ a1 · · · an−1

(x + a1) · · · (x + an)es convergent.b) Proveu que, si

∑ 1an

divergeix, aleshores

∞∑n=1

a1 · · · an−1

(x + a1) · · · (x + an)=

1x

.

Solucio: (Solucio del proponent.) En primerlloc, demostrarem que

a1 · · · an

(x + a1) · · · (x + an+1)=

=a1 · · · an

x(x + a1) · · · (x + an)−

− a1 · · · an+1

x(x + a1) · · · (x + an+1),

72

amb la qual cosa la serie sera telescopica. Enefecte,

a1 · · · an

x(x + a1) · · · (x + an)−

− a1 · · · an+1

x(x + a1) · · · (x + an+1)=

=a1 · · · an(x + an+1)− a1 · · · an+1

x(x + a1) · · · (x + an+1)=

=a1 · · · anx

x(x + a1) · · · (x + an+1)=

=a1 · · · an

(x + a1) · · · (x + an+1).

Aixı, tenim que

N∑n=1

a1 · · · an−1

(x + a1) · · · (x + an)=

=1x− a1 · · · aN

x(x + a1) · · · (x + aN )=

=1x− 1

x

N∏n=1

(an

x + an

)i, quan N →∞, aquest productori convergeix,ja que tots els factors son mes petits que 1. Pertant, la serie es convergent, i

∞∑n=1

a1 · · · an−1

(x + a1) · · · (x + an)=

1x−1

x

∞∏n=1

(an

x + an

).

Aquest productori es zero si, i nomes si, el seuinvers es divergent, es a dir, si, i nomes si,

∞∏n=1

(an

x + an

)−1

=∞∏

n=1

(1 +

x

an

)divergeix. Pero

∞∏n=1

(1 +

x

an

)= exp

( ∞∑n=1

log(

1 +x

an

)),

per tant, el productori divergeix si, i nomessi, aquesta serie divergeix. Finalment, com quelog(1 + x) ∼ x, la serie divergeix si, i nomes si,∑ x

andivergeix, i el productori inicial val zero

si, i nomes si, ∑ 1an

divergeix, tal com volıem veure.

A100. (Proposat per Pelegrı Viader i Canals,UPF, Barcelona.) Fent servir unicament una mo-neda, com poden, tres amics, decidir qui pagales begudes?

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal i Vidal, del’IES de Cassa de la Selva.) Es clar que, amb unasola moneda, nomes podem fer series de diversestirades i assignar resultats que tinguin la ma-teixa probabilitat a cadascun dels amics. Peroaixo es impossible, perque amb n tirades tenim2n resultats, quantitat que no es mai multiplede tres.

Aixo no obstant, tenim una manera facil deresoldre l’embolic: tirem la moneda dues vega-des:

Si surt cara-cara, paga l’AlbertSi surt cara-creu, paga en BernatSi surt creu-cara, paga en CarlesSi surt creu-creu, tornem a comencar

Es realment poc probable que ens hagim depassar la tarda tirant monedes a causa d’una in-sistent frequencia de creu-creu, creu-creu,creu-creu, etc. I si tal cosa s’esdeve, aleshoreses forca probable que la moneda estigui trucadai llavors podem:

a) Regalar la moneda al mag que treballa al locala canvi que ens pagui la ronda.

b) Reptar l’amo del bar a regalar-nos la rondasi surten dues creus.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

73

Tesis

• Gemma Huguet Casades va llegir la seva tesi, dirigida per Amadeu Delshams i AntoniGuillamon, titulada The role of hyperbolic invariant objects: From Arnold diffusion to biologicalclocks, el dia 16 d’octubre de 2008. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada Ide la Universitat Politecnica de Catalunya.

El marc d’aquesta tesi son els objectes invari-ants hiperbolics (tors amb bigotis, cicles lımit,NHIM...), que constitueixen, per a aquesta tesi,els objectes essencials per a l’estudi de diver-sos problemes des de la difusio d’Arnold finsals rellotges biologics. Treballem en tres temesdiferents des d’un enfocament tant teoric comnumeric, amb una especial atencio per a lesaplicacions, especialment en neurobiologia:

• Existencia de difusio d’Arnold per a sistemeshamiltonians a priori inestables.

• Algorismes numerics rapids per al calcul detors invariants i els bigotis associats, pera sistemes hamiltonians utilitzant el metodede la parametritzacio.

• Calcul d’isocrones i corbes de resposta de fa-se (PRC) en sistemes neurobiologics usant elmetode de la parametritzacio.

En la primera part de la tesi, hem consi-derat el cas d’un sistema hamiltonia a prioriinestable amb 2 + 1/2 graus de llibertat sotmesa una pertorbacio de tipus general. A prioriinestable significa que el sistema no pertorbatpresenta un punt d’equilibri hiperbolic amb unaorbita homoclınica associada. El resultat prin-cipal d’aquesta part de la tesi es que per a unconjunt generic de pertorbacions prou regulars,el sistema presenta el fenomen de la difusio d’Ar-nold, es a dir, existeixen trajectories la variableaccio de les quals experimenta un canvi d’ordre 1.La demostracio es basa en un estudi detallat

de les zones ressonants i els objectes invariantsgenerats en aquestes, i ofereix una descripciocompleta de la geografia de les ressonancies ge-nerades per una pertorbacio generica.

En la segona part, desenvolupem metodesnumerics eficients que requereixen poca memoriai operacions per al calcul de tors invariants iels bigotis associats en sistemes hamiltoni-ans (aplicacions simplectiques i camps vectorialshamiltonians). En particular, aixo inclou els ob-jectes invariants involucrats en el mecanismede la difusio d’Arnold, estudiat en el capıtolanterior. Els algorismes es basen en el metodede la parametritzacio i segueixen de prop de-mostracions recents del teorema KAM que nousen variables accio-angle. Donem detalls de laimplementacio numerica que hem dut a terme imostrem alguns exemples.

En la darrera part de la tesi relacionem pro-blemes de temps en sistemes biologics amb al-gunes eines conegudes de sistemes dinamics. Enparticular, usem el metode de la parametritzacioi les simetries de Lie per a calcular numericamentles isocrones i les corbes de resposta de fase(PRC) associades a oscil.ladors i ho apliquem adiversos models biologics ben coneguts. A mesa mes, aconseguim estendre el calcul de PRC enun entorn de l’oscil.lador. Les PRC son utils pera l’estudi de la sincronitzacio d’oscil.ladors aco-blats i una eina basica en biologia experimental(ritmes circadians, acoblament sinaptic i electricde neurones...).

• Ruben Sevilla Cardenas va llegir la seva tesi, dirigida per Antonio Huer-ta Cerezuela i Sonia Fernandez Mendez, titulada NURBS-Enhanced FiniteElement Method (NEFEM), el dia 24 de juliol de 2009. La tesi correspon alDepartament de Matematica Aplicada III de la Universitat Politecnica deCatalunya.

74

Aquesta tesi proposa una millora del classicmetode dels elements finits (Finite Element Met-hod, FEM) per a un tractament eficient de domi-nis amb contorns corbs: el denominat NURBS-Enhanced Finite Element Method (NEFEM).Aquesta millora permet descriure de maneraexacta la geometria mitjancant la seva repre-sentacio del contorn CAD amb non-uniformrational B-splines (NURBS), mentre que la so-lucio s’aproxima amb la interpolacio polinomicaestandard. Per tant, en la major part del do-mini, la interpolacio i la integracio numericason estandards, retenen les propietats de con-vergencia classiques del FEM i faciliten l’aco-blament amb els elements interiors. Nomes esrequereixen estrategies especıfiques per realit-zar la interpolacio i la integracio numerica enelements afectats per la descripcio del contornmitjancant NURBS.

La implementacio i aplicacio de NEFEM aproblemes que requereixen una descripcio acura-da del contorn son, tambe, objectius prioritarisd’aquesta tesi. Per exemple, la solucio numericade les equacions de Maxwell es molt sensible a ladescripcio geometrica. Es presenta l’aplicacio deNEFEM a problemes de scattering d’ones elec-tromagnetiques amb una formulacio de Galerkin

discontinu. S’investiga l’habilitat de NEFEMper obtenir solucions precises amb malles gro-lleres i aproximacions d’alt ordre, i s’explorenles possibilitats de les anomenades malles NE-FEM, amb elements que contenen singularitatsgeometriques dintre d’una cara o aresta d’unelement (vegeu la figura 1). Utilitzant NEFEM,la mida de la malla no esta controlada per lacomplexitat de la geometria. Aixo implica unadrastica diferencia en la mida dels elements i,per tant, suposa un gran estalvi tant des delpunt de vista de requeriments de memoria comde cost computacional. Per tant, NEFEM es unaeina poderosa per a la simulacio de problemestridimensionals a gran escala amb geometriescomplexes.

La resolucio numerica de les equacions d’Eu-ler de la dinamica de gasos es tambe molt sen-sible a la representacio geometrica. Quan esconsidera una formulacio de Galerkin discontinui elements isoparametrics lineals, una produccioespuria d’entropia pot evitar la convergenciacap a la solucio correcta. Amb NEFEM, l’acu-rada imposicio de la condicio de contorn i larepresentacio geometrica exacta proporcionenresultats precisos fins i tot amb una aproximaciolineal de la solucio (vegeu la figura 2).

Figura 1. Scattering d’una ona electromagnetica per a un perfil d’avio que mostra el detall d’un triangle ambuna cantonada en l’interior d’una de les seves arestes.

Figura 2. Malla (esquerra) i distribucions del nombre de Mach amb FEM estandard (centre)i NEFEM (dreta).

75

Una propietat atractiva de la implementacioproposada es que moltes de les rutines usuals enun codi d’elements finits poden ser aprofitades,per exemple rutines per realitzar el calcul de lesmatrius elementals, assemblatge, etc. Nomes esnecessari implementar noves rutines per calcularles quadratures numeriques en elements corbs iemmagatzemar el valor de les funcions de formaen els punts d’integracio.

S’han proposat diverses tecniques d’elementsfinits corbs a la literatura. En aquesta tesi, escompara NEFEM amb altres tecniques popularsd’elements finits corbs (isoparametrics, cartesi-ans i p-FEM), des de tres punts de vista dife-rents: aspectes teorics, implementacio i eficiencianumerica. En els exemples numerics, NEFEM es,com a mınim, un ordre de magnitud mes precıs

comparat amb altres tecniques. A mes, per a unaprecisio desitjada NEFEM es tambe mes eficient:necessita un 50 % dels graus de llibertat que fanservir els elements isoparametrics o p-FEM peraconseguir la mateixa precisio. Per tant, l’us deNEFEM es altament recomanable en presenciade contorns corbs i/o quan el contorn te detallsgeometrics complexos.

Aquesta tesi ha obtingut dos premis: 1) Pre-mi SEMNI a la millor tesi doctoral del 2009en metodes numerics, atorgat per la SociedadEspanola de Metodos Numericos en Ingenierıa;i 2) Premi ECCOMAS a la millor tesi doctoraldel 2009 en metodes computacionals en cienciesaplicades i enginyeria, atorgat per la Europe-an Community on Computational Methods andApplied Sciencies.

• Juan Jose Rue Perna va llegir la seva tesi, dirigida per Marc Noy Serrano,titulada Enumeration and limit laws of topological graphs, el dia 18 de setembrede 2009. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada II de laUniversitat Politecnica de Catalunya.

Aquesta tesi s’emmarca en el context de la com-binatoria enumerativa de grafs definits per con-dicions de menors exclosos, i de mapes en su-perfıcies. Mes concretament, estem interessatsen l’enumeracio (exacta i asimptotica) de diver-ses famılies de grafs i de mapes, aixı com enl’obtencio de lleis lımit per distints parametresque es defineixen en aquestes famılies de maneranatural. Les eines fonamentals en tot l’estudi sonel metode simbolic per a funcions generadores,en la versio desenvolupada per Philippe Flajolet,aixı com l’analisi de singularitats sobre aquestsobjectes. Les eines analıtiques en l’analisi desingularitats permeten l’obtencio d’estimacionsasimptotiques i de lleis lımit per a parametresassociats.

La memoria es divideix en cinc capıtols. Enel capıtol 1 es recorden els conceptes i definici-ons necessaris en el desenvolupament del treballposterior.

En el capıtol 2 es desenvolupa un frameworken el qual s’obte l’enumeracio de grafs definitsper les seves components 3-connexes. Aques-ta teoria compren l’enumeracio de la famıliadels grafs planars, dels grafs serie-paral.lel i delsgrafs K3,3-free, entre altres. El punt clau es apro-

fitar les idees seminals de William Tutte pertal de descompondre mapes en components 3-connexes. S’estudien, a mes, diferents lleis lımit,com son el nombre d’arestes, el nombre de blocs2-connexos, etc. En tots aquests casos, s’obtenenlleis de tipus gaussia. Obtenim, tambe, lleis lımitper a parametres extremals importants, comson la mida del core 2-connex i del core 3-con-nex. En el cas dels grafs planars (i de famıliesamb el mateix comportament), l’analisi donalloc a distribucions de probabilitat associadesa la llei d’Airy associada als mapes (concep-te introduıt per Banderier, Flajolet, Schaefferi Soria), relacionada estretament amb lleis es-tables de parametre 3/2. Finalment, trobemexemples de famılies crıtiques, on el comporta-ment asimptotic depen fortament de la densitatd’arestes que s’esculli.

En el capıtol 3 s’estudia l’enumeracio delsmapes definits sobre la banda de Mobius, amb larestriccio que tots els vertexs es troben sobrela vora. Amb aquestes hipotesis, obtenim l’enu-meracio exacta de les descomposicions simplici-als de la banda de Mobius, resultat ja obtingutper Edelman i Reiner. El metode emprat permetampliar l’enumeracio a les famılies de mapes on

76

el grau de les cares es un nombre fixat, amb lacondicio que la interseccio de dues cares distin-tes es un sımplex de dimensio d < 3. Obtenimtambe lleis lımit per a parametres associats, quecompleten resultats parcials obtinguts per Gao.En el capıtol 4 es realitza un estudi similar sobreel cilindre. Similarment al capıtol 3, els vertexsnomes es consideren sobre la vora del cilindre.Obtenim tambe l’enumeracio exacta per a des-composicions simplicials del cilindre, aixı comde disseccions cel.lulars en k-gons. Cal remarcarque els raonaments emprats son qualitativamentdiferents. Usant el metode dels moments (junta-ment amb la transformacio de Laplace), deduım

lleis lımit no gaussianes per a distints parametresassociats a aquestes famılies de mapes.

Finalment, en el capıtol 5 estenem els resul-tats obtinguts en els capıtols 3 i 4 a superfıciescompactes, tancades i amb vora, amb generearbitrari. El nostre metode (que es basa en apro-fitar l’estructura dels mapes duals associats)permet l’obtencio d’estimacions asimptotiquesper a mapes on els vertexs es troben sobre lavora de la superfıcie, i on els graus de les carespertanyen a un subconjunt dels naturals. Es-tenem, aixı mateix, lleis lımit sobre superfıciesarbitraries emprant novament el metode delsmoments.

• Rosana Tomas Cunat va llegir la seva tesi, dirigida per Josep M. MiretBiosca i Daniel Sadornil Renedo, titulada Volcans d’isogenies de corbes el.lıp-tiques: aplicacions criptografiques en targetes intel.ligents, el dia 4 de marc de2011. La tesi correspon al Departament de Matematica de la Universitatde Lleida.

D. Kohel, i mes endavant M. Fouquet i F. Mo-rain, van estudiar l’estructura dels volcans de`-isogenies d’una corba el.lıptica sobre un cosfinit, on ` es un primer qualsevol, i van donaralgorismes per anar des del terra fins al craterdel volca. Seguint aquests treballs, en aques-ta tesi estudiem propietats noves dels volcansde `-isogenies. Aixı, caracteritzem l’altura d’unvolca de `-isogenies d’una corba el.lıptica so-bre un cos finit Fq a partir de les valoracions`-adiques del cardinal de la corba i de q − 1, ianalitzem detalladament el cas ` = 3. D’altrabanda, per a volcans anomenats regulars donem,segons l’estructura del subgrup de `-Sylow de lacorba, el nivell on esta ubicada dins del volca.

Utilitzant aquest estudi, hem dissenyat unalgorisme que genera, a partir d’una corba do-nada, una llista de corbes isogenes a la corbainicial de manera ordenada segons el grau ` dela isogenia. Amb aquest objectiu, introduım elconcepte `-cordillera, estructura formada pertots els `-volcans sobre un mateix cos, per a un

primer `. Aixı, per recorrer tota una `-cordillerasaltarem d’un `-volca a un altre considerantisogenies de grau un primer `′, diferent de `.

En un vessant mes practic, hem treballaten l’us de la criptografia el.lıptica en disposi-tius com les targetes intel.ligents. Mes concreta-ment, ens hem centrat en els atacs que pateixenaquests dispositius, com els Zero-Value Points(ZVP), presentats per L. Goubin i ampliats perT. Akishita i T. Takagi. En aquesta tesi, propo-sem una contramesura a aquests atacs, seguintla lınia de la proposada per N. Smart. La con-tramesura esta basada en l’us d’una variant del’algorisme esmentat anteriorment que buscacorbes resistents recorrent les `-cordilleres dela corba inicial.

Finalment, estudiem el comportament d’a-quests atacs considerant corbes el.lıptiques do-nades en el model d’Edwards. A diferencia deles corbes el.lıptiques expressades mitjancant l’e-quacio de Weierstrass, les corbes d’Edwards noson vulnerables als atacs ZVP.

• Santi Martınez Rodrıguez va llegir la seva tesi, dirigida per Concepcio RoigMateu i Magda Valls Marsal, titulada Protocolos de seguridad para sistemas deidentificacion por radiofrecuencia, el dia 7 de marc de 2011. La tesi corresponal Departament de Matematica de la Universitat de Lleida.

77

En el camp de la identificacio automatica d’ob-jectes existeix un interes creixent, en el sec-tor industrial, per a la implantacio de sistemesd’identificacio remota per radiofrequencia. Laidentificacio per radiofrequencia RFID (Radio-Frequency IDentification) es un metode auto-matic d’identificacio on els objectes estan pro-veıts d’unes etiquetes que disposen de circuitintegrat i antena, que permeten la seva identifi-cacio a distancia.

Les consultes son generades per via sensefils per un dispositiu anomenat lector RFID.A causa que aquestes consultes son sense fils,ens trobem amb el problema que qualsevol po-dria intentar espiar el canal de comunicacio, ointroduir-hi missatges. A mes, s’ha de conside-rar la possibilitat que alguna de les etiquetespugui caure en males mans, per la qual cosa unaetiqueta mai haura de contenir informacio (enclar) que pugui comprometre al sistema.

Aixı doncs, per fer us de la gran potencialitatque ofereix la identificacio per radiofrequencia,

es necessari dotar els sistemes RFID dels meca-nismes de seguretat apropiats per tal d’evitaraquests problemes.

En aquesta tesi, es proposen protocols de se-guretat, aplicats a RFID, que actuen en dos ni-vells: la capa d’aplicacio i la capa de comunicacio.

Per a la capa d’aplicacio, es proposa un pro-tocol segur per a la identificacio d’etiquetes, ba-sat en l’us de criptografia de corbes el.lıptiquesi en un protocol de coneixement nul.

Per tal de facilitar el calcul de corbes el-lıptiques utils, es desenvolupa un mecanismeparal.lel i automatic que genera aquestes corbesen un temps eficient.

Finalment, per a la capa de comunicacio, esproposa un protocol de control d’acces al me-di que evita que un atacant pugui comptar elnombre d’etiquetes presents en l’entorn. Aquestproblema te sentit en entorns en els quals s’in-cloguin etiquetes RFID en productes clau, compodrien ser els bitllets de curs legal.

Fe d’errates

La recenssio del llibre Stability by linearizationof the Einstein’s field equation de L. Bruna iJ. Girbau, escrita per Josep M. Burgues i pu-blicada a les pagines 66-68 de la SCM/Notıcies29, contenia alguns errors de transcripcio queafectaven el significat matematic d’alguna de lesfrases originals. Aquests errors son responsabili-tat de l’edicio i totalment aliens als autors de larecensio i del llibre en questio, per la qual cosaels esmenem a continuacio, i demanem disculpesals autors i als lectors:

• A la pagina 66, columna esquerra, lınia -7:on diu ...hom canvia a l’equacio per la se-

va “diferencial”, i obte aixı una equacio linealsimilar, ha de dir ...hom canvia a l’equa-cio el terme de l’esquerra per un terme linealrelacionat, i s’obte aixı una equacio lineal.

• A la pagina 66, columna dreta, lınia 9: ondiu ...les solucions de l’equacio d’Einsteins’aproximen en l’ordre 1 a les solucions de lalinealitzada, ha de dir ...les solucions de l’e-quacio d’Einstein osculen a l’ordre 1 amb lessolucions de la linealitzada.

• A la pagina 67, columna esquerra, lınia 7: ondiu ...el volum i regularitat, ha de dir ...lamida i regularitat.

78

birkhauser-science.com

Classification of Higher Dimensional Algebraic Varieties

C.D. Hacon, University of Utah, Salt Lake City, USA; S. Kovács, University of Washington, Seattle, USA

This book focuses on recent advances in the classification of complex projective varieties. It is divided into two parts. The first part gives a detailed account of recent results in the minimal model program. In particular, it contains a complete proof of the theorems on the existence of flips, on the existence of minimal models for varieties of log general type and of the finite generation of the canonical ring. The second part is an introduction to the theory of moduli spaces. It includes topics such as representing and moduli functors, Hilbert schemes, the boundedness, local closedness and separatedness of moduli spaces and the boundedness for varieties of general type. The book is aimed at advanced graduate stu-dents and researchers in algebraic geometry.

2010, 220 p., SoftcoverISBN 978-3-0346-0289-1Oberwolfach Seminars, Vol. 41 24.95 €

Transmission Problems for Elliptic Second-Order Equations in Non-Smooth Domains

M. Borsuk, University of Warmia & Mazury, Olsztyn, Poland

The goal of this book is to investigate the behavior of weak solutions of the elliptic transmission problem in a neighborhood of boundary singularities: angular and conic points or edges. This problem is discussed for both linear and quasilinear equations. A principal new feature of this book is the con-sideration of our estimates of weak solutions of the transmission problem for linear elliptic equations with minimal smooth coeciffients in n-dimensional conic domains. Only few works are devoted to the transmission problem for quasilinear elliptic equations. Therefore, we investigate the weak solutions for general divergence quasilinear elliptic second-order equations in n-dimensional conic domains or in domains with edges. The basis of the present work is the method of integro-differential inequalities. Such inequalities with exact estimating constants allow us to establish possible or best possible estimates of solutions to boundary value problems for elliptic equations near singularities on the boundary. A new Friedrichs–Wirtinger type inequality is proved and applied to the investi-gation of the behavior of weak solutions of the transmission problem. All results are given with complete proofs. The book will be of interest to graduate students and specialists in elliptic boundary value problems and applications.

2010, XI, 218 p. 1 illus. in color., SoftcoverISBN978-3-0346-0476-5Frontiers in Mathematics 27.99 €

Simplicial Methods for Operads and Algebraic Geometry

I. Moerdijk, Utrecht University, The Netherlands; B. Toën, Toulouse University, France

This book is an introduction to two new topics in homotopy theory: Dendroidal Sets (by Ieke Moerdijk) and Derived Algebraic Geometry (by Bertrand Toën). The category of dendroidal sets is an extension of that of simplicial sets, based on rooted trees instead of linear orders, suitable as a model category for higher topological structures. Derived algebraic geometry deals with functors from simplicial commutative rings to simplicial sets subject to a homotopical descent condition. The material in the book is an enhanced versi-on of lecture notes from courses given within a special year on Homotopy Theory and Higher Categories at the CRM in Barcelona.

Table of contents: Part I: Lectures on Dendroidal Sets 1. Operads 2. Trees as operads 3. Dendroidal sets 4. Tensor product of dendroidal sets 5. A Reedy model structure on dendroidal spaces 6. The Boardman-Vogt resolution and homotopy coherent nerve 7. Inner Kan complexes and normal dendroidal sets 8. Model structures on dendroidal sets Part II: Simplicial Presheaves and Derived Algebraic Geometry 1. Motivation and objectives 2. Simplicial presheaves as stacks 3. Algebraic stacks 4. Simplicial commutative algebras 5. Derived stacks and derived algebraic stacks 6. Examples of derived algebraic stacks.

2011, 200 p., SoftcoverISBN 978-3-0348-0051-8Due: February 2011 approx. 29.95 €

Easy Ways to Order for the Americas Write: Springer Order Department, PO Box 2485, Secaucus, NJ 07096-2485, USA Call: (toll free) 1-800-SPRINGER 7 Fax: 1-201-348-4505 Email: orders-ny@springer.com or for outside the Americas Write: Springer Customer Service Center GmbH, Haberstrasse 7, 69126 Heidelberg, Germany Call: +49 (0) 6221-345-4301 Fax : +49 (0) 6221-345-4229 Email: orders-hd-individuals@springer.com Prices are subject to change without notice. All prices are net prices.

Steffen Börm (Kiel University, Germany)Efficient Numerical Methods for Non-local Operators.  2-Matrix Compression, Algorithms and Analysis (EMS Tracts in Mathematics Vol. 14)

ISBN 978-3-03719-091-3. 2010. 441 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro

Hierarchical matrices present an efficient way of treating dense matrices that arise in the context of integral equations, elliptic partial differential equations, and control theory. 2-matrices offer a refinement of hierarchical matrices: using a multilevel representation of submatrices, the efficiency can be significantly improved, particularly for large problems.This books gives an introduction to the basic concepts and presents a general framework that can be used to analyze the complexity and accuracy of 2-matrix techniques. Starting from basic ideas of numerical linear algebra and numerical analysis, the theory is developed in a straightforward and systematic way, accessible to advanced students and researchers innumerical mathematics and scientific computing. Special techniques are only required in isolated sections, e.g., for certain classes of model problems.

Koichiro Harada (The Ohio State University, Columbus, OH, USA)“Moonshine” of Finite Groups (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-090-6. 2010. 83 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 24.00 Euro

This is an almost verbatim reproduction of the author’s lecture notes written in 1983–84 at the Ohio State University, Columbus, Ohio, USA. A substantial update is given in the bibliography. Over the last 20 plus years, there has been an energetic activity in the field of finite simple group theory related to the monster simple group. Most notably, influential works have been produced in the theory of vertex operator algebras whose research was stimulated by the moonshine of the finite groups. Still, we can ask the same questions now just as we did some 30–40 years ago: What is the monster simple group? Is it really related to the theory of the universe as it was vaguely so envisioned? What lays behind the moonshine phenomena of the monster group? It may appear that we have only scratched the surface. These notes are primarily reproduced for the benefit of young readers who wish to start learning about modular functions used in moonshine.

Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry (Heritage of European Mathematics)Athanase Papadopoulos (IRMA, Strasbourg, France), Editor

ISBN 978-3-03719-087-6. 2010. 322 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 78.00 Euro

Lobachevsky wrote his Pangeometry in 1855, the year before his death. This memoir is a résumé of his work on non-Euclidean geometry and its applications, and it can be considered as his clearest account on the subject. It is also the conclusion of his lifework, and the last attempt he made to acquire recognition. The treatise contains basic ideas of hyperbolic geometry, including the trigonometric formulae, the techniques of computation of arc length, of area and of volume, with concrete examples. It also deals with the applications of hyperbolic geometry to the computation of new definite integrals. The techniques are different from those found in most modern books on hyperbolic geometry since they do not use models.The present edition provides the first complete English translation of the Pangeometry that appears in print. It contains facsimiles of both the Russian and the French original versions. The translation is accompanied by notes, followed by a biography of Lobachevky and an extensive commentary.

Individual members of the EMS, member societies or societies with a reciprocity agreement (such as the American, Australian and Canadian Mathematical Societies) are entitled to a discount of 20% on any book purchases, if ordered directly at the EMS Publishing House.

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum FLI C4

Fliederstrasse 23CH-8092 Zürich, Switzerland

orders@ems-ph.orgwww.ems-ph.org

New books published by the

Laurent Bessières, Gérard Besson (both Université Joseph Fourier, Grenoble, France), Michel Boileau (Université Paul Sabatier, Toulouse, France), Sylvain Maillot (Université Montpellier II, France) and Joan Porti (Universitat Autònoma de Barcelona, Spain)Geometrisation of 3-Manifolds (EMS Tracts in Mathematics Vol. 13)

ISBN 978-3-03719-082-1. 2010. 247 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 48.00 Euro

The Geometrisation Conjecture was proposed by William Thurston in the mid 1970s in order to classify compact 3-manifolds by means of a canonical decomposition along essential, embedded surfaces into pieces that possess geometric structures. It contains the famous Poincaré Conjecture as a special case. In 2002, Grigory Perelman announced a proof of the Geometrisation Conjecture based on Richard Hamilton’s Ricci flow approach, and presented it in a series of three celebrated arXiv preprints. Since then there has been an ongoing effort to understand Perelman’s work by giving more detailed and accessible presentations of his ideas or alternative arguments for various parts of the proof. This book is a contribution to this endeavour.

Shmuel Onn (Technion – Israel Institute of Technology, Haifa, Israel)Nonlinear Discrete Optimization. An Algorithmic Theory (Zurich Lectures in Advanced Mathematics)

ISBN 978-3-03719-093-7. 2010. 147 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 32.00 Euro

This monograph develops an algorithmic theory of nonlinear discrete optimization. It introduces a simple and useful setup which enables the polynomial time solution of broad fundamental classes of nonlinear combinatorial optimization and integer programming problems in variable dimension. An important part of this theory is enhanced by recent developments in the algebra of Graver bases. The power of the theory is demonstrated by deriving the first polynomial time algorithms in a variety of application areas within operations research and statistics, including vector partitioning, matroid optimization, experimental design, multicommodity flows, multi-index transportation and privacy in statistical databases.The monograph is intended for graduate students and researchers. It is accessible to anyone with standard undergraduate knowledge and mathematical maturity.

Classification of Algebraic Varieties (EMS Series of Congress Reports)Carel Faber (Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden), Gerard van der Geer (University of Amsterdam, The Netherlands) and Eduard J.N. Looijenga (University of Utrecht, The Netherlands), Editors

ISBN 978-3-03719-007-4. 2010. 346 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 78.00 Euro

Fascinating and surprising developments are taking place in the classification of algebraic varieties. Work of Hacon and McKernan and many others is causing a wave of breakthroughs in the Minimal Model Program: we now know that for a smooth projective variety the canonical ring is finitely generated. These new results and methods are reshaping the field.Inspired by this exciting progress, the editors organized a meeting at Schiermonnikoog and invited leading experts to write papers about the recent developments. The result is the present volume, a lively testimony of the sudden advances that originate from these new ideas.This volume will be of interest to a wide range of pure mathematicians, but will appeal especially to algebraic and analytic geometers.

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iec.cat Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Codi postal:

Poblacio: NIF:

Correu electronic: Telefon: Fax:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de

Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte corrent / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’entitat, oficina i dıgits de control:

Numero de compte o llibreta:

Targeta de credit: Caducitat:

Data: NIF:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2010 son les seguents: 36 euros socis ordinaris, 18 euros socis estudiants i membres de

societats amb conveni de reciprocitat, 72 euros institucions, 23 euros EMS i 25 euros RSME, les dues ultimes

pagant la quota a traves de la SCM.

D’acord amb la Llei organica 15/1999, del 13 de desembre, de proteccio de dades de caracter personal, us informem

que les vostres dades seran incorporades en un fitxer que es responsabilitat de l’Institut d’Estudis Catalans, amb la

finalitat de gestionar els socis i d’enviar comunicacions de les activitats i publicacions de la Societat i de l’Institut

d’Estudis Catalans (IEC). Podeu exercir els drets d’acces, rectificacio, cancel.lacio i oposicio de les vostres dades

personals adrecant-vos per escrit a l’Institut d’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona) o be

enviant un correu electronic a l’adreca lopd@iec.cat.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.